大学物理（下）结课论文
对称性原理在电磁学中的运用
北京理工大学 03110901班
刘伟 20090481 2010年12月
摘要
对称性原理是凌驾于一切物理规律之上的原理。群论是描述对称性的数学语言。在数学与物理学中对称性的概念逐步发展，已近具有了十分广泛的含义。总结起来，对称性原理可以简单的表述为：对称性的原因必然导致对称性的结果。
对称性的种类有很多，包括镜像对称性、转动与平移对称性、时间平移与反演对称性等。本文主要镜像对称性（即宇称）在电磁学中的运用。通过一些具体的实例，在某些具体镜像对称条件下，对电场与磁场分布进行定性与半定量分析。
关键词
对称操作 镜像对称性 极矢量 轴矢量
正文
一 相关概念
我们把使一个系统从一个状态变换到另一个与之等价的状态的过程叫做“对称操作”。镜像对称即通常所说的“左右对称”。显然对于镜像对称系统，对系统作关于镜像对称面的左右置换的过程就是一次“对称操作”，因为操作前后，系统的状态保持不变。我们又把镜像对称的操作叫做“镜面反射”。
按照矢量在镜面反射操作下的变换方式，可以把矢量划分为极矢量和轴矢量。对极矢量作镜面反射，则与镜面垂直的分量反向而与镜面平行的分量不变。如位置矢量r (如图0-1)、速度矢量v 等。对轴矢量作镜面反射，与镜面垂直的分量不变而与镜面平行的分量反向。如角速度矢量ω（如图0-2所示）、角加速度矢量α等。（两个极矢量的叉积一定是轴矢量，如ω=2v
v r ?）。
从库仑定律出发，可以论证，静电场E 极矢量，从毕奥-萨伐尔定律出发，
可以论证，磁感应强度B 是轴矢量（r l Id B ?∝）。值得注意的是，变化磁场下
的感应电场感E 有具备了类似轴矢量的性质。
二 应用实例
在电磁学中，对于具有镜像对称面的系统，研究镜像对称面内任一场点P ，有如下两个重要结论：
（1） 极矢量静电场E 总在镜像对称面内。（以下简称结论（1））。
（2） 轴矢量磁感应强度B 总垂直于镜像对称面。（以下简称结论（2））。 下面通过一些电磁学问题实例，来探讨以上结论的应用。
Ⅰ 论证均匀带电球体在空间任一点P 处产生电场必沿矢径r 的方向。
很显然，对均匀带电球体，过球心O 的任意平面都是系统的镜像反射面。如图2所示，过OP 的两个平面α、β都是带电系统的镜像对称面，由结论（1）可以知道，P 点电场强度E 必同时在α、β平面内，即必沿两平面交线OP 方向，也就是矢径r 的方向，命题得证。
Ⅱ 在北京理工大学精品教材《大学物理》下册中，有这样一道习题（8-8）：如图3-1所示，一点电荷q 放在一无限大接地金属平板上方h 处，求板面上距离q 为R 处的感应电荷面密度。
对于这个题目，我们手中可用的工具只有静电平衡条件，似乎很难下手，
要求解出来总觉得还缺了点什么。如果我们从对系统的对称性开始作定性分析，问题也就迎刃而解了。
不难看出，该带电系统关于h 所在铅直轴呈现轴对称分布。绕h 轴旋转任意角度θ都不改变电荷分布。由对称性的原因必然导致对称性的结果，可以知道，以q 在平面上投影O 为中心的r 任意同心圆处有相同的电荷面密度。如图3-2，形式上可以画出一组组感应电荷“等密度线”321σσσ……
我们希望能够求出P 处上表面的电场强度p E （已知其方向与板面垂直），
通过σ=p E 0ε来求解。由静电平衡条件可知内表面处E =0，设q 在P 处产生电场
为0E ，如图3-3所示，则带电平面在下表面处产生电场为1E =0E -。
q 在P 处上表面产生电场任为0E ，关键在于求出带电平板在P 上表面处
产生的电场强度2E ，这里就要用到极矢量E 关于镜像对称的性质了。
下面单独研究带电平面，题干3-1图示的纸面是平板的一个镜像对称面，
有结论（1）可知，1E 、2E 都应在图示平面内，空间电场便简化到二维纸面上分
析。显然平板自身平面也是其镜像对称面，将1E 分解为平行镜面（即自身平面）
x 方向和垂直镜面y 方向上，对带电平板关于自身平面对称操作，由极矢量镜面
反射特性可得：x E 2 =x E 1 ，y E 2 =-y E 1 ，2E 得求。
接下来对2E 与0E 矢量叠加，结合静电平衡条件：p E 与带电平面垂直，
可求得p E =2E +0E ，如图3-5所示p E 大小为23002cos 2R
qh E E p πεθ==，可知P
处感应电荷面密度为3
02R qh E p πεσ-=
-=。 利用点电荷向空间辐射电场各向同性的性质（即球对称性），可以很巧妙地求解一些电通量问题，现有一例：
Ⅲ 如图4-1，求距圆面（O ，r ）中心轴线h 处的点电荷q 对圆面的
电通量。
当然，从库仑定律出发，结合叫繁杂的积分，此题可解。但如果我们能够充分利用点电荷电场的球对称性，结合高斯定律，便能更快得到答案。
如图4-2，以q 为中心，以圆面为截面有唯一确定球面（P ，R ）与之对应。且有R=22r h +,过圆面的电通量大小与过上球冠弧面的电通量大小相同。而球面上“电通量面密度”大小处处相同，不难求出上球冠面积为S=2)(h R R -π,很快得出)1(24)(242200202r
h h q R q h R R q R S +-=-==Φεεππεπ。 Ⅳ 如图5-1，证明无限大均匀载流平面外任一点的磁感应强度B 的方向平行与载流平面且与电流方向垂直。
如图5-2，过任意场点P ，以电流方向为交线方向，可作载流平面的镜像对称面，由结论（2）可知，P 处磁感应强度B 垂直于镜像对称面，即平行于载流平面且与电流方向垂直，命题得证。
前面已经提到，静电场是极矢量，但变化的磁场产生的感应电场却具有了轴矢量的特性，通过以下例子对比说明。
Ⅴ1 如图6-1，在无限长均匀带电圆柱体（R,ρ）内有偏心圆柱形空腔，偏心距为d,求空前内电场分布。
对称性分析：如图6-1，显然过21O O 且垂直于图截面的平面为带电系统的镜像对称面α，而点电荷产生的静电场E 极矢量，又结论（1）可知，镜像对称面内各点的电场强度矢量E 必在镜像对称面α内，由图截面本身也是带电系
统的镜像对称面β，平面α、β交线上的场点电场强度E 必沿21O O 方向，即d 的
方向。
以上结论可以通过定量计算得以证明。如图6-2，对空腔内任一场点P ，可看作是整个带正电圆柱体与带负电空腔产生电场的叠加。作同心圆柱体高斯面，
可求得p E =)(2210r r -ερ=d 0
2ερ,可知空腔内有匀强电场，沿d 方向。 这是极矢量E 的情况，再看下面感应电场感E 的情况。
Ⅴ2 如图7-1，在带柱形偏心空腔的无限长直螺线管内有均匀变化的磁场k dt
B d = （k>0）,偏心距为d,求空腔内的感应电场分布。
对称性分析：如图7-1，同上题，过21O O 且与图截平面垂直的平面任为
系统的镜像对称面，但感E 不同于静电场E ，它具有轴矢量的特性，可知感E 应与
镜像对称面垂直。
以上结论同样可以通过定量计算得以证明。如图7-2，对空腔内任一场点P ，感E 可以看作是整个柱面空间内变化的磁场产生的1感E 与空腔内相反方向
同步变化磁场产生2感E 的叠加，作同心环状安培回路，有
感E =1感E +2感E =d k r r k r dt B d r dt B d 2
)(2)21(212121-=--=?--?- ，可知空腔内有匀强感应电场，大小d E 2
k =感，方向与d 垂直。 通过以上对比可知，电荷产生的有源场E 与变化磁场产生的无源闭合
感应电场感E 的镜像对称性有本质区别。
结束语
以上各应用实例都是基于一定得假设，即电磁学的定律具有空间反射等不变性。对电场或磁场的一些分布问题，可以先从对称性原理的角度作定性分析，再结合半定量的分析与计算得到求解。
实际上我们平时在解决一些具体问题时，都自觉或不自觉的用到了对称性原理。比如大学物理电磁学中，高斯定律与安培环路定律固然广泛使用，但对于实际问题，必须把握系统的对称性，才能真正运用这些定律对问题作简单化求解。
对平日里遇到的一些对称性问题进行归纳总结并作适当延伸，有助于培养我们的对称性思维，解决更多对称性并不明显但又确实存在的实际问题。
参考文献：
《定性与办定量物理学》 赵凯华 著 高等教育出版社；
《对称》H.Weyl 钟金魁译商务印书馆；《大学物理学》国防工业出版社。
物理学中的对称性 摘要：物理学中关于对称性探索的一个重要进展就是建立诺特定理，定理指出，如果运动定律在某一变换下具有不变性，必然相应地存在着一条守恒定律。守恒定律与对称性之间也存在着莫大的联系，各种守恒定律的出现不是偶然的，是物理规律具有多种对称性的必然结果。 关键词：物理学、对称性、守恒定律 对称现象遍布于自然界中，人体的左右对称，平面镜成像的对称，正方形的中心对称等等。对称现象是物质世界某种本质和内在规律的体现，物理学以研究物理世界规律为对象，是研究自然界中物体运动变化规律的一门科学，它是自然科学中的一个重要的组成部分，那么物理中蕴含着对称性也是必然的。例如：宏观物质世界中的时空对称性，微观物质世界中的对称性，物理量之间的对称性，物理学中的形体对称性等。物理学是美的，这些对称性都完美的体现出了物理学之美。本文将分别从四个方面来研究物理学中的对称性。前三个方面主要讲解物理学中对称性的概念、对称性与守恒定律以及物理学中的形体对称，第四个方面是通过对电与磁的对称性分析，用更直观的对比来认识物理学中的对称性。一、什么是对称性？ 按照对称的定义来讲，对称就是指物体相对而又相称，或者说它们相仿，相等。所谓对称性是指：某种变化下的不变性。自然界中的事物的对称性表现在两方面。第一：物体的形状或几何形体的对称性。例如：五角星的旋转对称，正方体的中心对称性。这是根据对称性的定义，我们使五角星和正方体都绕它们的中心旋转180°，在这样的变换下，变换后图形具有不变性。第二：事物进程或物理规律的对称性。所谓物理规律的对称性是指：物理规律在某种变换下的不变性。例如：一个物体做平抛运动，水平初速度为V，抛出时离水平地面的高度为H，空气阻力忽略不计。在其他外部条件都相同的情况下，在不同的地方使该物体做如上所述的运动，该物体的运动状况是否相同呢？我们知道，平抛运动可以看成
对称性模型 由于物质世界存在某些对称性，使得物理学理论也具有相应的对称性，从而使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中，应用这种对称性它不仅能帮助我们认识和探索物质世界的某些规律，而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题，这种思维方法在物理学中为对称法，利用对称法分析解决物理问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，出奇制胜，快捷简便地解决问题。 对称法作为一种具体的解题方法，虽然高考命题没有单独正面考查，但是在每年的高考命题中都有所渗透和体现。从侧面体现考生的直观思维能力和客观的猜想推理能力。所以作为一种重要的物理思想和方法，相信在今后的高考命题中必将有所体现。 在高中物理模型中，有很多运动模型有对称性，如（类）竖直上抛运动的对称性，简谐运动中的对称性，电路中的对称性，带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动中几何关系的对称性. 简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向不确定）。运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。(从某点到达最大位置和从最大位置再回到这一点所需要的时间相等、从某点向平衡位置运动的时间和它从平衡位置运动到这一点的对称点所用的时间相等). 现将对称模型分为空间对称模型和时间对称模型 1、空间对称模型 例1：如图1所示：在离地高度是h，离竖直光滑的墙是 s处，有一个弹性小 1 球以初速度 v正对着墙水平抛出，与墙发生弹性碰撞后落到地面上，求小球落地 点与墙的距离。 【解析】：小球与墙的碰撞是弹性碰撞，碰撞前后 的动量对于墙面的的法线是对称的。如墙的另一面同一高 度有一个弹性小球以相同的速度与墙碰撞，由于对称性， 它的轨迹与小球的实际轨迹是对称的。因此碰前的轨迹与碰
目录 摘要 (1) Abstract (1) 1 引言 (1) 2 对称性 (1) 2.1镜像对称 (2) 2.2 转动对称 (2) 2.3平移对称 (2) 2.4置换对称性 (2) 3 物理定律的对称性 (3) 3.1物理定律的空间平移对称性 (3) 3.2物理定律的转动对称性 (3) 3.3物理定律对时间的平移对称性 (3) 3.4物理定律对于匀速直线运动的对称性 (3) 4 对称性与物理定律的关系 (3) 5 对称性在物理学中的应用 (4) 6结论 (5) 参考文献 (5)
物理学中的对称性 摘要：从自然界中的对称性开始，讲解了物理学中转动对对称性开始称，平移对称，置换对称；还讲解了物理定律中的空间平移对称性，转动对称性，时间平移对称性，匀速直线运动的对称性；进而说明了物理定律与对称性的关系和对称性在物理学中的应用，以及对称性导致物理问题发生和解决。 关键词：对称性；物理定律；守恒 Discuss the Symmetry Secondary Physics Abstract:From the nature of the symmetry of the begining, explain the physics rotation on symmetry started to call, translational symmetry, permutation symmetry; also explained the laws of physics in the spatial translational symmetry, rotational symmetry, time translation symmetry, the symmetry uniform motion in a straight line; then describes the physical laws and symmetry and symmetry in the application of Physics, as well as symmetry leads to physical problems and solutions. Key words:symmetrical; the laws of physicsl; conservation 1引言 对称性是自然界最普遍、最重要的特性[1]。近代科学表明，自然界的所有重要的规律均与某种对称性有关，甚至所有自然界中的相互作用，都具有某种特殊的对称性——所谓“规范对称性”。实际上，对称性的研究日趋深入，已越来越广泛的应用到物理学的各个分支：量子论、高能物理、相对论、原子分子物理、晶体物理、原子核物理，以及化学（分子轨道理论、配位场理论等）、生物和工程技术。 2对称性 什么是对称性？对称性首先来源于生活，对称式自然界中十分普片的现象，从总星系到星系团，从银河系到太阳系，地球，从原生物到各种动植物，都具有不同程度
毕业设计（论文）题目：对称性在积分计算中应用 学院：数理学院 专业名称：信息与计算科学 学号：0741210102 学生姓名：鲍品 指导教师：张晓燕 2011年5 月20 日
对称性在积分计算中的应用 摘要 对称性的应用很广泛，尤其在数学，物理学，化学等方面都有体现[1]。本论文主要是探讨一下对称性在积分计算中的应用。 积分在微积分学中既是重点又是难点，特别是在解决积分计算问题上，方法比较灵活。常见的积分方法有换元法和分部积分法，这些方法在解决一般的问题上还是奏效的，但是对于复杂的微积分计算和证明问题就显得有些心有余而力不足。假如我们稍仔细地观察题目，很多时候我们会发现积分区域或被积函数具有某种对称性。如果我们将对称性巧妙地应用到解决这类问题中去，不仅简化了计算过程而且还节省计算时间。 利用对称性解题方法比较灵活也十分重要。接下来本论文将从定积分，重积分，曲线积分以及曲面积分四大方面入手，深入探讨对称性在积分计算中的应用。最后分析利用对称性解题的条件与优势，总结出应用相关性质解题时要注意哪些方面。 关键词 定积分，重积分，曲线积分，曲面积分，对称性，奇偶性
Abstract The application of symmetry is very widespread, particularly in mathematics, physics, chemistry and other aspects of embodied. This paper is to explore the symmetry in the integral calculation. Integral calculus is difficult in both the focus, especially in solving the problem of integral calculation, the method more flexible. The common integral method are the substitution of variables and the integration by parts. These methods are effective in the solution general question, but appear regarding the complex calculus computation and the proof question somewhat has more desire than energy. If we carefully observe the subject a little, usually we will find regional integration or product function has a symmetry. If we applied the symmetry skillfully to solve such problems, this not only simplifies the calculation process but also save computing time. More flexible use of problem-solving approach symmetry is also important, Then the paper will be integral, double integral, curve and surface integrals four points in a bid to further investigate the symmetry in the integral calculation. Finally, we solve problems by analyzing the symmetry of the conditions of use and advantages, summed up the nature of problem solving application related to the attention of what. Key words definite integral, heavy integral, curvilinear integral, surface integral, symmetry, parity
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编号： 本科毕业论文 数学的对称性及其在若干数学问题中的应用 系院：数学科学系 姓名：冯克飞 学号：0831130103 专业：小学教育（数学方向） 年级：2008级 完成日期：2012年5月
对称是自然界和人类社会中普遍存在的形式之一,是其运动、变化和发展的规律之一。人们在认识和解决具有对称或对等以及反对等性的问题过程中产生和形成的思想、方法,我们称之为对称思想方法;数学家们用数学的思想、方法解决这类问题所产生和形成的思想与方法,我们称之为数学对称思想方法。数学的对称性在数学解题与分析中具有重要的作用。本文将围绕着数学对称性的基本性质及其在实际的数学解题中的应用展开对数学对称性的全面分析，旨在充分揭示对称性在数学中作为一种工具和方法的优势，加深对数学对称性的理解和认识，以求在数学教学或实际解题中充分发挥对称性的应用。 关键字：数学对称；几何运用；对称思想；对称原理 Abstract Symmetry is one of the common form in nature and human society, is one of the movement, change and development of the law. People understand and resolve with symmetric or opposition of the process and the formation of ideas, methods, which we call a symmetric way of thinking; mathematicians use mathematical thinking, methods to solve such problems and the formation of ideas and methods, which we call the mathematical symmetry of thinking. Mathematical symmetry plays an important role in mathematical problem solving and analysis. This article will focus on the basic nature of the mathematical symmetry and its actual mathematical problem solving to commence a comprehensive analysis of mathematical symmetry, to fully reveal the symmetry in mathematics as a tool and method of the advantages of deepen understanding and awareness of mathematical symmetry, in order to give full play to the application of symmetry in mathematics teaching, or practical problem solving. Keywords: mathematical symmetry; geometry use; symmetrical thinking; symmetry principle
物理知识结构的对称美 句容市后白中学陈国军212400 【摘要】：正确发现知识体系间的联系，不但有助于理解掌握知识，也有利于加深对知识本身的认识。哲学的辩证统一教会我们物体现象之间都是联系的。指导我们认识事物及规律的本质。 【关键词】：对称性、最小作用原理、诺特定理 高中物理的各个板块中都会不同程度的出现应用对称性。正确的观察、理解有利于发现深层次的对称。正确的使用对称规律会使问题得以简化，使得某些颇难解的问题迎刃而解。法拉第跟据电和磁的对称，成功的得到了法拉第电磁感应定律，德布罗意跟据逆向对称思想得到了物质波假说，而且还获得诺贝尔物理学奖。 一、形体上的对称性 形体上的对称是最直接的对称，常常使得我们可以不必精确地去求解就可以获得一些结论。例如：上抛一个自由运动的小球，小球的上升和下降是对称的，其运动特征也高度对称，位置、速度大小、能量的对称，不用解就知道是对称的。再如一个无阻力的摆球摆动起来，左右是对称的，向左边摆动的高度与右边摆边的高度一定是相等的，从中间平衡位置向左摆到最高点的时间一定等于从中间平衡位置向右摆到最高点的时间，平衡位置两边等当位置处摆球的速度和加速度的大小必定是相等的，等等。再例如一张无限大平面方格子的导体网络，方格子每一边的电阻是r，在这张方格子网络的中间相邻格点连出两条导线，问这两条导线之间的等效电阻是多少？这个问题涉及到
无穷多个回路和无穷多个节点，要用直流电路中普遍的基尔霍夫方程组将得到无穷多个方程，难以求解。然而这一无穷的方格子网络具有形体上的对称性，利用对称性分析，求解变得相当简单。在高中阶段只能利用对称性，设想用一根导线连接到一个格点，通以电I，电流从网络的边缘流出，由于从该格点向四边流过的电流具有对称性，因此流过与该可知点连接的每一边的电流必定是I/4。再设想电流I从网络的边缘流入，再从网络中心的一个格点上连接的一条导线从上流出，根据同样的对称性分析，流过与该格点连接的每一边的电流也必定是I/4。我们要求解的情形正是这两种情形的叠加，电流I从连接到一个格点的导线流入，从连到相邻格点的导线流出，而在网络边缘，两种情形流出和流入的电流相互抵消。结果在连接导线的两相邻格点之间的那条边上通过的电流是上述两种情形的叠加，即为I/2，这条边的电阻是r，这意味剩下的电流I/2通过其它边，它相应的电阻应是r，换句话说，从相邻格点来看，这一无穷方格子网络的等效电阻是两个阻值为r 的并联，其等效电阻为r/2。由此可以看出，对称性分析在物理学中非常有用，一旦明确了具有对称性，问题常常变得简单可解。 二、物理量及物理规律的对称性 以上谈到对称性的时候，提到的“事物”不一定限指一个具体物件的形体，物理学家更注意到物理规律的对称性。直线运动中的位移、速度、动量、加速度，和曲线运动的角位移、角速度、角动量、角加速度对称，还有力和力矩对称。直线的规律速度时间规律、速度位移
对称性原理在物理学中的重要性
6、对称性原理在物理学中的重要性 《自然杂志》１９卷４期的‘探索物理学难题的科学意义' 的９７个悬而未决的难题：２３．自然界是否存在七种对称性晶体？７７．ＣＰ不守恒难题只能在中性Ｋ介子衰变中见到吗？７８．引起ＣＰ对称性破坏的力是什么？８７．是否存在中性，稳性，质量至少大于４０ＧｅＶ的超对称粒子？美籍华人著名的物理学家、诺贝尔奖金获得者李政道把“一些物理现象理论上对称，但实验结果不对称”、“暗物质问题、暗能量问题”、"类星体的发能远远超过核能，每个类星体的能量竟然是太阳能量的1015倍"、“夸克禁闭”称为是21世纪科技界所面临的四大难题。这些问题都于对称性原理存在着密切的联系。近代科学表明，自然界的所有重要的规律均与某种对称性有关，甚至所有自然界中的相互作用，都具有某种特殊的对称性——所谓“规范对称性”。实际上，对称性的研究日趋深入，已越来越广泛的应用到物理学的各个分支：量子论、高能物理、相对论、原子分子物理、晶体物理、原子核物理，以及化学（分子轨道理论、配位场理论等）、生物（DNA的构型对称性等）和工程技术。 对称美在于：在杂乱中形成规律，在无序中引入秩序。物理学的第三个特点是它的和谐性和统一性。自然界本身就是和谐统一的，自然美反映到物理学理论中，就显示出统一与和谐的物理学美的规范。物理学规律的统一、有序与神秘的和谐、自恰常常使一些物理学家感到狂喜和惊奇。而物理学家们创造出来的系统的思想
所表现的统一与和谐之美又使更多的人感到愉快。我们可在门捷列夫的元素周期表中感到这一体系结构的“诗意”。在牛顿对天地间运动规律的统一之中；在焦耳迈尔对热功的统一之中；在法拉第、麦克斯韦对电与磁的统一之中；在E=MC2所表示的质能统一之中；在广义相对论的引力、空间、物质的统一之中；我们都会感到一种和谐的满足。守恒与对称和统一、和谐的观念紧密相连。守恒和对称会给人一种圆满、完整、均匀的美感。从阿基米德的杠杆原理到开普勒第二定律表现的角动量守恒，以及动量守恒、能量守恒等，都符合守恒的审美标准。在数学中，方程与图形的对称处处可见，这也是数学美的重要标志。中心对称、轴对称、镜像对称等，都是诗人愉悦的形式。笛卡尔建立的解析几何学是在数学方程与几何图形之间建立的一种对称。爱因斯坦于1905年提出了具有革命性意义的狭义相对论，从其新思想的来源看，不仅是逻辑的，而且具有美学的性质，是一种对称美的追求。电磁场的基本方程――麦克斯韦方程组就具有一定程度的优美的数学对称性。它确定了电荷、电流、电场、磁场的普遍规律与联系，用完美而对称的数学形式奠定了经典电动力学的基础。对称性原理简单说就是从不同角度看某个事物都是一样的。在所有这样的对称中，最简单的是左右对称。例如：从镜子里看左右颠倒了的脸，它都是一样的。有些事物比人脸有着更大的对称性。立方体从六个相互垂直的不同方向看，或者颠倒它的左右来看，都是一样的。球从任何方向来看都是相同的。这样的对称性千百年来愉悦和激发着艺术家和科学家。但对称性在物理学
目录 1引言 (1) 2对称思想的本质 (1) 3数学的对称性 (2) 3 .1公式的对称性 (2) 3 .2图形的对称性 (2) 3 .3对称式和轮换式 (3) 3 .4对称的其他应用 (4) 4数学思维在对称思想中的应用 (6) 4.1对称思想的简洁性 (6) 4.2对称思想的灵活性 (6) 4.3对称思想的广泛性 (7) 5数学能力在对称思想中的培养 (8) 5.1数学判断能力在对称思想中的培养 (8) 5.2数学记忆能力在对称思想中的培养 (8) 5.3数学转化能力在对称思想中的培养 (9) 5.4数学解题能力在对称思想中的培养 (9) 6结论 (10) 参考文献 (12) 致谢 (13)
浅谈对称思想在数学教学中的应用 数学系本1202班李然 指导教师：杨树勍 摘要：对称好像是世间万物的一种表象或形式，而且它已经成为各种学科的一些表现形式和理论之一，我们所讲的对称是解题的思想方法，因为它合乎情理。应用好对称思想对初中生学习数学有很大的帮助，尤其是对学生的思维品质、学习数学的能力的培养有极大的好处。对称既可以锻炼学生的思维、又可以拓展学生的视野、丰富学生的想象能力、成就学生强大的数学头脑...... 关键词：数学能力，思维品质，对称思想。 On the application of symmetry thought in Mathematics Teaching Ran Yi Class 2, Mathematics Department Tutor: Yang ShuQing Abstract:symmetry seems to be all things in the world to a representation or form, and it has become one of a variety of disciplines, some form of expression and the theory, we speak of symmetry is the thinking method of solving, because of its reasonable. Good use of symmetry thought of junior high school students' mathematical learning a great help, especially on students' thinking quality, the cultivation of ability in mathematics learning have great benefits. Symmetry can exercise the students' thinking, and can broaden the students' horizons, enrich the students' imagination, student achievement powerful mathematical mind... Key words: mathematical ability, thinking quality, symmetrical thought.
中国校外教育学 科 教 育 08/2009 对称性在数学解题中的应用 ◆ 胡晓明(湖南女子职业大学经济管理系,湖南 长沙) 在数学领域,对称性问题很多,重视对称性的研究,不仅增强解题技巧,而且对数学的发展也是十分有益的。本文主要介绍对称 性在解题中的应用,分为三个部分:第一部分介绍对称性在几何中的应用;第二部分介绍对称性在积分中的应用;第三部分介绍对称性在方程中的应用 。 对称性几何积分方程 数学是研究美的科学,几何是数学中对美的研究尤其突出的,对称是数学中完美性最突出的,生活中的对称是美的表现,宇宙中有许许多多具有某种对称性东西,它必然反映到研究物质空间形式和数量关系的数学中来。数学的许多研究对象、研究手段都与对称性有关,大量的公式及定理的形式也具有赏心悦目的对称美。因此,如果能在分析问题、处理问题时有意识地利用事物的对称性,并使人们的思维过程与之相适应,不但可以更好的把握事物的本质,还可以使思维和推理过程更简洁,更快地打开思路,并能快捷地解决问题。 在几何、积分、方程中,许多问题的解决都采用了对称性原理。下面,以三种类型题为例,初步讨论对称性在数学解题中的应用。 几何中的对称主要是轴对称和中心对称。轴对称:任一对对应点的连线段被对称轴垂直平分;中心对称:任一对对应点的连线段过对称中心,且被中心平分, 几何中的对称性是极为普遍的,并有相对的固定规律。一、对称性在几何中的应用 在几何方面,对称性较为直观,通过画出几何图形就能容易地发现具有对称性的对象。球、圆、双曲线、抛物线等的对称性是很直观的,利用它们的对称性可以解决许多几何问题。 图1 1.解决平面几何问题 例1.证明等腰三角形的两底角相等。分析:此题的常规证法是通过作等腰三角形底边上的高而得到两个全等的三角形,从而由对应角相等来证明命题成立。若我们能发现△ABC 与△ACB 的对称性就能够更简单地证明。 证明:如图1所示,在△ABC 与△ACB,因为∠A =∠A,AB =AC,AC =AB.所以△ABC ≌△ACB.因此∠B =∠C 。 当然,此题用常规思维,通过作底边上的高同样比较容易证到所要证的结论。但利用对称性来证明是一种很好的证明方法,更加简单,能够培养人的发散思维。 2. 解决解析几何问题 此题的关键是挖掘直线x =2是y =f (x )的图像的对称轴的隐含条件,在此可以体会到对称性的重要作用。 二、对称性在积分中的应用 以上各种类型的积分,都是利用对称性来解题,充分体现了数学分析的对称美,其中包括公式的对称、符号的对称、运算的对称,达到事半功倍的效果,更有利于人们开拓视野,发现新知。 三、对称性在方程中的应用 中国古代数学在方程方面创造了辉煌的业绩。中国古代的方程就是现代的线性方程组,方程术就是线性方程组的解法,在方程的计算中,应用了对称方法。首先,方程的列法必须掌握各数量关系的平衡、和谐。才能够准确地为实际问题建立模型。其次,解方程也是利用对称性的,开始我们是利用等式的基本性质来解方程,后来我们利用等式的基本性质推出移项法则,利用它来解,但是我们还是利用了对称性。 例3.同学们乘坐公共汽车去参观,出发半小时后,小明乘高速客车追赶,问多少时间追上?公共汽车速度:60km /h 高速客车:80km /h 。 分析:这是一道初中的数学问题,也是常见的物理现象,我们根据题意可以很快列出方程。由题意知这是相对速度问题或者为等距离问题: (1)等距离思路 解:设经过x 小时追上,则经过x 小时后,公车行驶时间为,距离为0.5 +x;高速客车行驶时间为60(0.5+x ),距离为x .两者从同一地点出发,追 上时肯定行驶距离相等。 60(0.5+x )=80x x =1.5(小时)(2)相对速度思路 公车早出发半个小时,也就是说,在小明开始出发时,公车已经行驶60×0.5=30km 了,这距离也就是两者相比多出来的。但是小明的车快啊,所以这部分多出来的距离必须靠速度的差距来弥补。他们的速度差距是多少?就是了,用这个速度80-60=20km /h,行驶x 小时后赶上,方程式不是很简单吗? (80-60)x =60×0.5 结果还是1.5小时. 无论用那种方法列方程,都体现了对称思想,解的过程也一样。通过以上运用对称性解答题目,可知解题的简洁和快捷。参考文献: [1]王择.初等数学中的对称性及其应用[J ].蒙自师专学报,1995, (12):54-63. [2]孔令辉.对称性在数学中的应用[J ].赣南师范学院学报,2002, (6):83-85. [3]陈运新.对称性在积分中的应用[J ].数学理论与应用,2000,(4): 40-43. [4]陈自高.数学中的对称美与应用[J ].科学教育创新论坛,2006, (5):242-254. 1 5 4
模型组合讲解一一对称性模型 马秀红王世华 ［模型概述］ 对称法作为一种具体的解题方法，虽然高考命题没有单独正面考查，但是在每年的高考 命题中都有所渗透和体现。从侧面体现考生的直观思维能力和客观的猜想推理能力。所以作 为一种重要的物理思想和方法，相信在今后的高考命题中必将有所体现。 ［模型讲解］ 1.简谐运动中的对称性 例1.劲度系数为k的轻质弹簧，下端挂一个质量为m的小球，小球静止时距地面的高 度为h,用力向下拉球使球与地面接触，然后从静止释放小球（弹簧始终在弹性限度以内）则： A.运动过程中距地面的最大高度为2h B.球上升过程中势能不断变小 C.球距地面高度为h时，速度最大 D.球在运动中的最大加速度是kh/m 解析：因为球在竖直平面内做简谐运动，球从地面上由静止释放时，先做变加速运动， 当离地面距离为h时合力为零，速度最大，然后向上做变减速运动，到达最高点时速度为零，最低点速度为零时距平衡位置为h,利用离平衡位置速度相同的两点位移具有对称性，最高 点速度为零时距平衡位置也为h,所以球在运动过程中距地面的最大高度为2h,由于球的振 k k 幅为h,由a x可得，球在运动过程中的最大加速度为 a h，球在上升过程中动 m m 能先增大后减小，由整个系统机械能守恒可知，系统的势能先减小后增大。所以正确选项为 ACD。 2.静电场中的对称性 例2. （2005上海高考）如图1所示，带电量为+ q的点电荷与均匀带电薄板相距为2d, 点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。若图中b点处产生的电场强度为零，根据对称 性，带电薄板在图中b点处产生的电场强度大小为多少，方向如何？（静电力恒量为k）。 解析：在电场中a点:图1
正方形的对称性的应用 一、正方形的轴对称性的应用： 例1：如图,正方形A B C D 的边长为12,点E 是B C 上的一点,5B E =,点F 是B D 上一动点.（1）A F 与F C 相等吗?试说明理由.（2）设折线E F C 的长为y ，试求y 的最小值,并说明点F 此时的位置. [练习]如图，正方形A B C D 中，P 是对角线A C 上一动点，,P E A B P F B C ⊥⊥，垂足分别为,E F 小红同学发现：P D E F ⊥，且PD EF =，且矩形P E B F 的周长不变．不知小红的发现是否正确，请说说你的看法． 中心对称性： 例1：如图正方形A B C D 中，,A C B D 交于点O ，E 是O C 上一点，A F B E ⊥，垂足为A ，交O B 于点G .求证：A G B E = [练习]如图，正方形A B C D 中，,A C B D 交于点O ，四边形O R S T 是正方形，求证： 无论将正方形O R S T 绕点O 怎样转动，两个正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积不变. A B C D F F E P D C B A G F E O D C B A D
二、正方形中旋转对称性的应用： 例1：如图，△AMN 内接于正方形A B C D ，若45M A N ∠=?，10,8A B M N ==. (1)求证：D N B M M N +=DN+BM=MN. (2)求C M N ?的面积. [练习] 1.如图，点P 是正方形A B C D 内一点，且1,2,A P B P D P === ，求正方形 A B C D 的边长 2. 如图，点P 是正方形A B C D 内一点，且15P A D P D A ∠=∠=?，求证：B P C ?是等边三角形. N M D C B A P A B C D P A B C D
对称性原理在物理学中的表现形式 在近代科学的开端，哥白尼对日心说的数学结构做了美学说明和论证，他从中看到令人惊异的“对称性”与“和谐联系”——这可以说是科学美学的宣言书.开普勒醉心于宇宙的和谐，他在第谷的庞杂数据中清理出具有美感的行星运动三定律，并由衷地感到难以置信的狂喜和美的愉悦.伽利略对落体定律的揭示，在纷繁的事实多样性中求得统一的定律.牛顿的严整而简单的力学体系把天地间的万物运动统摄在一起，他推崇和倡导节约原理，并认为上帝最感兴趣的事情是欣赏宇宙的美与和谐.这一切，谱写了近代科学的美的协奏曲.以相对论和量子力学为代表的现代科学，更是把科学审美发挥到了极致.撇开这些理论的抽象的理性美和雅致的结构美不谈，令人叫绝的是，数学实在和物理实在之间的（神秘的）一致是由群的关系保证的，科学理论中审美要素的存在是由群的真正本性决定的——对称性或不变性（协变性，invariance）之美跃然纸上！ (1)经典物理学中的对称性原理 在原始的意义上，对称是指组成某一事物或对象的两个部分的对等性.物理是研究客观世界的最基本规律的一美科学，而它们在很多方面存在着对等性，例如：正电荷和负电荷、电荷的负极与正极、光速的可逆性、空间与时间、正功与负功、质子与中子、电子与正电子等均具有对称性.万有引力公式F=GMm/r2与静电力公式F=KQ1Q2/r2，弹性势能公式E=0.5kx2与动能公式E=0.5mv2，凸透镜成象公式1/u+1/v=1/f与并联电阻公式1/R1+1/R2=1/R、弹簧串联公式1/k1+1/k2=1/k，欧姆定律公式I=U/R与压强公式P=F/S、密度公式ρ=m/V 、电场强度E=F/Q、电压U=W/Q与电容C=Q/U，安培力F=BIL与电功W=Uit，重量G=ρgV与热量Q=cm Δt等均具有相似性根据这些相似性.开普勒用行星轨道的椭圆对称性代替了古希腊人所坚持的圆形对称性, 开普勒第一定律：每个行星都沿椭圆轨道运行，太阳就在这些椭圆的一个焦点上. 物理学中有一些规律属于基本定律，它们具有支配全局的性质，掌握它们显然是极端重要的.例如力学中的牛顿定律是质点、质点组机械运动（非相对论）的基本定律，电磁学的麦克斯韦方程组是电磁场分布、变化的基本定律，物理学中还有另外一种基本定律的表述形式，这就是最小作用原理（变分原理），它可表述为系统的各种相邻的经历中，真实经历使作用量取极值.可以看出最小作用原理的表述形式与牛顿定律、麦克斯韦方程组的表述形式极不相同.牛顿定律告诉我们，质点此时此刻的加速度由它此时此刻所受的力和它的质量的比值决定；麦克斯韦方程组告诉我们，此时此刻的电场分布由此时此刻的电荷分布以及此时此刻的磁场的变化决定，此时此刻的磁场分布由此时此刻的电流分布以及此时此刻的电场
谈数学中的对称美与在解题中的应用 吴恋，数学计算机科学学院 摘要本文首先讨论了数和式中的对称美.其次运用对称思想来解决数学问题.在数学问题的解题过程中，巧妙地构造对称美，从整体上把握问题的实质，优化解题过程.先是就对称在微积分中的应用，列举了一些重要的结论及其在解题中的具体应用.再研究了几何图形中的对称美.然后讨论了数学中其它方面的对称美.特别是对称在记忆数学公式和数学方法中的应用.最后探讨了对称思想在数学教学中的应用，通过在数学教学中落实对称的数学美的思想方法，从而促进学生形成学习数学知识的良好的、积极的情感行为，更好地理解数学知识，提高学生解决数学问题的能力. 关键词：对称；数学美；轮换对称性；积分区间；对称性原理；数学思想 1引言 对称美 对称性的感受逐惭成为一项美学准则，广泛应用于建筑、造型艺术、绘画以及工艺美术的装饰之中.你可以从许多中、外著名的建筑、艺术珍品中看到.天坛的建筑、天安门的建筑、颐和园长廊的建筑以及各种花瓶、古人饮酒的爵和各种花边等等是旋转对称、左右对称和平移对称的典型例子.这些对称美给人以匀称、均衡、连贯、流畅的感受，因而体现着一种娴静、稳重、庄严. 在现实世界中,既有形态各异的自然对称,又有巧夺天工的人工对称,它们构成了一幅人与自然和谐的优美画卷.因此,对称是宇宙和自然界的基本属性,也是事物适应周围环境而生存发展和繁衍生息的自然规律,充分展现出事物协调环境、自我完善的、和谐的自然美.
数学中的对称美 美，不仅存在于艺术、文学中，存在于大自然以及社会生活中，而且也存在于自然科学中，存在于数学之中.早在两千多年前，古代哲学家、数学家普洛克拉斯曾说过：“哪里有数，哪里就有美.”这就是说，数学中也充满了美的因素. 作为一门科学，数学在其内容结构上和方法上都具有自身的某种美，即数学美.数学美的内容非常丰富，包括普适美、对称美、简洁美、比例美、和谐美、奇趣美等特性.其中对称性是数学美的重要特性之一，正如德国著名的数学家和物理学家魏尔所说的：“美和对称性紧密相连”.数学对称美是数学美的重要组成部分,它普遍存在于初等数学与高等数学的各个分支，在数学研究中有着重要的作用,一直是数学们长期追求的目标，有时甚至把它作为一种尺度，是数学创造与发现的美学方法之一. 在数学中，不少的概念与运算，都是由人们对于“对称”问题的探讨派生出来的.数学中众多的轴对称，中心对称图形和等量关系都被赋予了平衡、协调的对称美.对于数学概念，也是一分为二地成对出现的：整－分，奇－偶，和－差，曲－直，方－圆，分解－组合，平行－交叉，正比例－反比例……，都显得那么的稳定、和谐、协调、平衡，如此地奇妙动人. 2数和式的对称美 数的对称美 在数学中，如果一个整数，它的各位数字是左右对称的，我们就称这个数是对称数.例如：1234321、123321等. 对称数可以分为奇位对称数和偶位对称数.奇位对称数是指位数是奇数的对称数，奇位对称数位数最中间的那个数字称为对称轴数.偶位对称数是指位数是偶数的对称数，偶位对称数没有对称轴数.
现代物理学理论中的非对称性问题 哥德尔定理指出，在任何公理化形式系统中，总存留着在定义该系统的公理基础上既不能证明也不能证伪的问题，也就是说任何一个理论都有解决不了的问题. 人类原来以为大自然是对称的和完美的.然而，自李政道与杨振宁发现了弱力的宇称不对称以后，自发性破缺就成为了最前沿的一个科学话题，日本科学家还因研究这个获了诺奖.但是，对称的自发破缺问题，一直没有得到质的突破.这一是由于对自然界的来龙去脉与本质没有搞清楚，二是物理学上有一个普适性的定理：热力学的不可逆定律——任何事物的热能都只能由高向低转化，而不可能由低向高转化.这个定律经过了科学的严格检验，确实很符合自然的根本规律.所以，这个规律也造成了对称性的自发破缺：没有了可逆的热力学反应，世界只会由高向低转化，哪来的对称呢？在宏观世界，热力学不可逆定律对对称的自发性破缺问题的影响与决定性作用还不是十分明显.但是，在量子世界，粒子的热力学定律效应就清楚地显示出来了——科学实验证明，粒子与反粒子并不严格遵守PCT联合对称律！实际上，这就是世界对称的自发性破缺的缘由.既然微观世界的粒子与反粒子都不严格遵守对称律，破坏了联合对称律，那么，由微观世界构成的宏观世界的对称破缺的累积效应，当然会造成明显的宏观对称破缺效应.从真空到化学反应式中的极化现象，同样是由于这个原因.平衡是造成对称的原因.但是，由于这种平衡是以动态的非线性方式进行的，所以必然造成对称的破缺.那么，对称的自发破缺与热力学的不可逆定律，真的是全部不可违犯的吗？也不全是.例如，粒子与反粒子的大致对称.甚至，宏观世界也是大致对称的. 这说明事物是可可逆的与可反演的.而在动力学中，这种可逆的反演现象更加明显——你施以一个动力，马上会有一个反动力相对应.但是，无论这种可逆与对应的力如何运动，它们都不是完全对称的，而是存在着自发的对称破缺，而只能保持大致的对称.但是，热力学定律的不可逆反应规律，却制约了人们对世界可逆性的根本性思考.热力学定律的不可逆反应规律，基本上是不可更改的.热力学第二定律作为一个选择原则表明，时间对称破缺意味着存在一个熵垒，即存在不允许时间反演不变态.力学定律对于时间是对称的，但是熵增原理对于时间是不对称的.在经典物理里面，描述热力学第零定律的热传导方程和斯蒂芬-波尔兹曼定律都不具有协变对称性. 在我们的宇宙里，对称的量子数是不守恒的，其中第一个重要发现就是宇称不守恒，现在还有不少东西不守恒.在惯性测量坐标系变换下的某些对称的绝对物理量和某些对称的