第五章 三角函数与三角变换
第一篇：知识与技能篇
§5.1任意角
一、知识要点（罗列条目） 1、我能想起来的知识点：
（1） （2） （3）
2、我未想到的知识点（查阅课本）：
（1） （2） （3） 二、知识点自测：
（1）你的手表慢了5分钟，只需将分针旋转 就可以将它校准。 （2）现在是8点15分，若将分针旋转－540°，那么时间为 。
（3）体育中的“转体两周半”动作名称指身体按 方向转体 度，也可以写作 。
（4）下列说法正确的是（ ）
A.小于0
90的角是锐角 B. 大于0
90的角是钝角 C. 0°～90°间的角一定是锐角 D.锐角一定是第一象限角 （5）下列角分别是第几象限角：
①－135° ②215° ③－375° ④－270° ⑤425° ⑥1025° （6）请写出终边与下列角相同的角的集合
①30° ②90° ③－90° ④210° ⑤0° ⑥180°
（7）在－360°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它们分别是第几象限角.
（8）终边在二、四象限平分线上的角可表示为（ ）
A. 0
18045()k k Z ?+∈ B. 0
18045()k k Z ?-∈ C. 0
36045()k k Z ?+∈ D.以上结论都不对 （9）若,αβ的终边互为反向延长线，则有（ ）
A. αβ=
B. 0360()k k Z αβ=?+∈
C.
0180αβ=+ D. 00360180()k k Z αβ=?++∈
（10）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合－360°～360°的元素写出来：
①0
75- ②0
135 §5.2弧度制
一、知识要点（罗列条目） 1、我能想起来的知识点：
（1） （2） （3）
2、我未想到的知识点（查阅课本）：
（1） （2） （3） 二、知识点自测：
（1）圆中一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数为（ ）
A. 1
B.
12 C. 566ππ或 D. 533
ππ或 （2）2rad α=-，则α的终边在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 （3）已知一个扇形的周长为
849
π
+，圆心角为80 ，求这个扇形的面积。 （4）已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值。 （5）已知2 rad 的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长。 §5.3任意角的三角函数 一、知识要点（罗列条目） 1、我能想起来的知识点：
（1） （2） （3）
2、我未想到的知识点（查阅课本）：
（1） （2） （3） 二、知识点自测：
（2）①终边在则 ,0sin θθ> ②终边在则 ,0cos θθ> ③
终边在则 ,0tan θθ>
（3）确定下列三角函数值的符号.
① 250cos ②)4
sin(π
- ③πtan ④)150cos( -
（4）已知角α的终边经过点M （4,x -）且53
cos -=α，求x 的值；
（5）已知角α的终边经过P （4,3a a -）（0a ≠），求2sin α+cos α. （6）已知点(,2)(0)p m m -<为角α终边上一点，且cos 3
m
α=，求sin α和tan α的值。 （7）判断下列各式的符号：
①sin340cos 265?
； ②23sin 4tan()4
π
?-
。 （8）已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，判断角α的终边在第几象限。 （9）利用三角函数线，求满足1
sin 2
α≤的角α的集合。 （10）若342
ππ
α-
<<-，利用三角函数线比较sin α、cos α、tan α的大小。 §5.4同角三角函数的基本关系
一、知识要点（罗列条目） 1、我能想起来的知识点：
（1） （2） （3）
2、我未想到的知识点（查阅课本）：
（1） （2） （3） 二、知识点自测：
（1）已知αα,53
sin -=是第二象限角，求αcos 、αtan 的值.
（2）已知,5
3
sin -=α求αcos 、αtan 的值.
（3）已知tan α=，且α是第二象限角，求sin ,cos αα. （4）已知2tan =α，求αsin 、αcos 的值.
（5）已知2tan =α，求ααα22cos 41
cos sin sin 32+-x 的值.
（6）已知)0(2
3
1cos sin πθθθ<<-=
+，求θsin 、θcos .
（7）已知,3tan -=?求22224sin sin cos cos 2sin sin cos 5cos αααα
αααα
--+-的值.
（8）已知sin 3cos αα=，求 22
2sin 3cos αα-的值。
（9）求证：3
31
sin (1)cos (1tan )sin cos tan θθθθθθ
+
++=+。 §5.5三角函数的诱导公式 一、知识要点（罗列条目） 1、我能想起来的知识点：
（1） （2） （3）
2、我未想到的知识点（查阅课本）：
（1） （2） （3） 二、知识点自测： （1）已知2
1
)sin(-
=+απ，计算 ①)5sin(απ- ②)(cos 2)sin()2sin(12ααππα--+-+
（2）已知33)6cos(=-απ，求)6
(sin )65cos(2πααπ--+
（3）已知3tan =α，试求)
sin(2)cos(4)
sin(3)cos(2αααπαπ-+-+-+的值.
（4）已知3
1
)75cos(=
+α ，求)105cos(α- （5）已知sin()2cos()αππα-=-，求
sin()5cos(2)
3cos()sin(2)
παπαπαπα-+----的值。
（6）已知2cos(
)6
3π
α-=
，求2sin()3
π
α-
。 （7）已知1sin(30)3α-=
，求1cos(60)
tan(30)1sin(60)
ααα++
-++ 的值。 （8）已知21)sin(-
=+απ，求)2
tan(απ
- （9）已知33)6cos(=-απ，求)3
sin(απ
+
（10）化简ααπ
πα2cos 2)2
sin()cos(1-+-+
（11）证明：已知x x f 17cos )(cos =，求证x x f 17sin )(sin = §5.6正弦函数、余弦函数的图象
一、知识要点（罗列条目）
1、我能想起来的知识点：
（1） （2） （3）
2、我未想到的知识点（查阅课本）：
（1） （2） （3） 二、知识点自测：
（1）画出下列函数的简图
①[]π2 ,0,sin 1∈+=x x y ②[]π2 ,0,cos ∈-=x x y
（2）作函数cos(), ,666y x x π
ππ??
=+
∈-????
的图象。
（3）根据图象求满足sin x >
的x 的集合。 （4）在)2 ,0(π内，求①满足0cos
??
?-∈43,43ππx 上的简图。 §5.7正弦函数、余弦函数的性质 一、知识要点（罗列条目） 1、我能想起来的知识点：
（1） （2） （3）
2、我未想到的知识点（查阅课本）：
（1） （2） （3）
二、知识点自测：
（1）求下列函数的最大值、最小值，并写出取得最大值、最小值时自变量x 的集合。
①1cos +=x y ，R x ∈ ②R x x y ∈-=,2sin 3 （2）不通过求值，比较下列各组数的大小：
①)18
sin(π
-
与)10
sin(π
-
②)523cos(π-
与)4
17cos(π
- ③ 194sin 与 160cos （3）已知()f x 是定义在R 上的周期函数，其最小正周期为4，且()f x 为奇函数，若(1)4f =，求
[(7)]f f 的值。
（4）判断下列函数的奇偶性
①)2
cos(π
+
=x y ②2cos +=x y
③x y sin =·x cos ④)3
cos(π
+=x y
（5）设函数()sin(4)3
f x a b x π
=--，其中,a b 为实常数，x R ∈，已知函数()f x 的值域是[1，5]，
求的,a b 的值。
（6）设,a b 为实常数，且0a >，已知函数2()cos sin f x x a x b =-+的最大值为0，最小值为4-，求,a b 的值。
（7）求下列函数的周期：
①2sin(
)3
2y x π
π
=-
②13cos()24
y x π=-+ （8）已知函数2cos(
)3
y x π
ω=-的最小正周期是4π，求ω的值。
（9）已知函数sin()(0)4
y x π
ωω=+
>的最小正周期是
23
π
，求ω的值。 （10）求函数]2 ,2[),3
21sin(πππ
-∈+=x x y 的单调区间.
（11）求函数]2 ,2[),2
1
3sin(πππ-∈-=x x y 的单调区间.
（12）设有函数()sin()3f x a kx π
=-和函数()cos(2)6
g x b kx π
=- （0,0a b >> ，0k >），若
它们的最小正周期之和为
32π，且()()22f g ππ=，()()144
f ππ
=-，求这两个函数的解析式。
（13）已知函数()sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+>≤≤是偶函数，其图象经过点3(,0)4M π
且在区间[0,]2
π
上是单调函数，求,ω?的值。
§5.8正切函数的性质与图象 一、知识要点（罗列条目） 1、我能想起来的知识点：
（1） （2） （3）
2、我未想到的知识点（查阅课本）：
（1） （2） （3） 二、知识点自测：
（1）不通过求值，比较下列值的大小：
①)413tan(π-
与)5
12tan(π
- ② 1519tan 与 1493tan （2）根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的集合：
①3tan 3-x ≥0 ②x tan 1-≥0
（3）求函数)32tan(π
π+=x y 的定义域、周期和单调区间。
（4）设有函数()sin()3
f x a x π
ω=+和函数()tan()3
g x b x π
ω=+
（0ω>），若它们的最小正周
期之和为
32π，且()()22f g ππ=，()()144
f ππ
=+，求这两个函数的解析式。 （5）已知正切函数()tan()(0,0,)2
f x A x A π
ω?ω?=+>><的图象与x 轴相交的两相邻交点坐
标为(
,0)6π
和5(
,0)6
π
，且过点(0,3)-，求其解析式。
（6）已知函数2cos (0)y m n x n =->的最大值是32，最小值是1
2
-，求函数tan(42)y m n x =+的
最小正周期。 （7）求2
1sin cos ,[0,]4cos x x y x x
π
-=
∈的最值。 §5.9函数sin()y A x ω?=+的图象 一、知识要点（罗列条目）
1、我能想起来的知识点：
（1） （2） （3）
2、我未想到的知识点（查阅课本）：
（1） （2） （3） 二、知识点自测：
（1）将函数x y sin =图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的3倍后所得图象的函数表达式是（ ）
A ．x y 3sin =
B ．x y 31sin =
C ．x y sin 3=
D ．x y sin 3
1
=
（2）要得到函数)62sin(ππ-=y 的图象，只需将函数2
sin x
y =的图象（ ）
A ．向右平移
6π个单位 B ．向左平移6π
个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向左平移3
π
个单位
（3）把函数)42sin(π+=x y 的图象向右平移8
π
，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的21，则
所得图象的函数是（ ）
A ．)834sin(π+
=x y B ．)8
4sin(π+=x y C ．x y 4sin = D ．x y sin = （4）为了得到函数)6
2sin(π
-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）
A ．向右平移
6π个单位长度 B ．向右平移3π
个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3
π
个单位长度
（5）如何由函数sin y x =的图象得到函数12cos()24
y x π
=-+的图象； （6）函数sin y x =的图象可由cos(2)6
y x π
=-
的图象经过怎样的变化而得到？
（7）下图是某简谐运动的图象。试根据图象回答下列问题：
①这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
②从O 点算起, 到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动？如从A 点算起呢？ ③写出这个简谐运动的函数表达式。 （8）已知函数)3
2sin(2π
+=x y
①求它的振幅、周期、初相； ②说明)3
2sin(π
+
=x y 的图象可由x y sin =的图象经怎样的变换而得到？
（9）函数) sin(?ω+=x A y ，（0,0>>ωA ）的振幅是3，最小正周期是72π，初相是6
π
，那么它的
解析式是 .
（10）右图是函数) sin(2?ω+=x y （0,2
||><
ωπ
?）的图象，则ω、?的值是（ ） A ．6
,1110π?ω==
B ．6,1110π
?ω-==
C ．6
,2π
?ω=
= D ．6
,2π
?ω-
==
（11）三角函数)(x f y =的图象如图所示，其
周期为2π，那么=)(x f （ ）
A ．)1sin(
x + B ．)1sin(--x C ．)1sin(-x D ．)1sin(
x - （12）在两个弹簧上各挂一个质量分别为1M 和2M 的小球，做上下自由振动。已知它们在时间()t s 离开平衡位置的位移1s 和2s 分别由下列两式确定：15sin(2)6
s t π
=+
，210cos2s t =。则在时间
23
t π
=
时，1s 与2s 的大小关系是（ ） A ．1s >2s B ．1s <2s C ．1s =2s D ．不能确定
（13）已知某种交流电电流()I A 随时间()t s 的变化规律可以拟合为函数)2
I t π
π=-
，
[0,)t ∈+∞。则这种交变电流在0.5s 内往复运动的次数为_________次。
§5.10三角函数模型的简单应用 一、知识要点（罗列条目） 1、我能想起来的知识点：
（1） （2） （3）
2、我未想到的知识点（查阅课本）：
（1） （2） （3）
二、知识点自测：
（1）某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数) sin(?ω+=x A y +b .
①求这段时间的最大温差。
②写出这段曲线的函数解析式。
（2）交流电的电压E （单位：伏）与时间t （单位：秒）的关系可用E=2203 )6
100sin(π
π+
t 来表
示，求①开始时电压；②电压值重复出现一次的时间间隔；③电压的最大值和第一次获得最大值的时间。
（3）某港口水的深度y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：时）的函数，记作)(t f y =，下面是某
经长期观察，)(t f y =的曲线可以近似地看成函数b t A y += sin ω的图象。
①试根据以上数据，求出函数)(t f y =的近似表达式；
②一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为 安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）。某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米。如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）？ §5.11两角差的余弦公式 一、知识要点（罗列条目） 1、我能想起来的知识点：
（1） （2） （3）
2、我未想到的知识点（查阅课本）：
（1） （2） （3） 二、知识点自测：
（1）利用诱导公式和差角余弦公式求下列各式的值：
①0
cos80cos 20sin80sin 20+；
②
001cos5sin1522
+；
③(00
cos15+。
（2）已知ββππα,135
cos ),,2(,54sin -=∈=x 是第三象限角，求)cos(βα-的值。 （3）已知4cos ,(,)52πααπ=-∈，求cos()6π
α-的值。
（4）已知12cos(),31332πππ
αα-=
<<，求cos α的值。 （5）已知12cos(),,sin(),,0292322βαππαβαπβ-=--=<<<<，求cos 2
αβ
+的值。
（6）已知,αβ为锐角，1cos ,sin()7ααβ=+=
β的值。 （7）已知12123cos(),cos(),,2131322
ππαβαβαβπαβπ-=-+=<-<<+<，求cos 2β及角β。
§5.12两角和与差的正弦、余弦、正切公式
一、知识要点（罗列条目）
1、我能想起来的知识点：
（1） （2） （3）
2、我未想到的知识点（查阅课本）：
（1） （2） （3） 二、知识点自测： （1）利用公式求值：
①sin
12
12
π
π
-； ②722sin
cos sin sin 18999
ππππ-； ③0
sin13cos17cos13sin17+； ④?
?
-+15
tan 115tan 1。 （2）已知,53
sin -
=αα是第四象限角，求sin()4πα-，cos()4πα+，tan()4
πα-的值。 （3）已知
,13
12
)cos(,53)sin(,432=--=+<
<<βαβαπαβπ
求α2cos 、sin 2α及tan 2β的值。
（4）已知43
cos ,cos()55
ααβ=+=，且,αβ都为锐角，求sin β的值。
（5）求0000
tan 20tan 4020tan 40+的值。 （6）已知11
sin cos ,cos sin 23
αβαβ-=
-=，求sin()αβ+的值。 （7）求000
00
tan 20tan 40tan120tan 20tan 40
++的值。 （8）已知13
cos(),cos()55
αβαβ+=
-=，求tan tan αβ的值。 §5.13二倍角的正弦、余弦、正切公式
一、知识要点（罗列条目） 1、我能想起来的知识点：
（1） （2） （3）
2、我未想到的知识点（查阅课本）：
（1） （2） （3） 二、知识点自测：
（1）利用公式求值、化简：
①2(sin cos )αα-； ②4
4
cos sin αα-； ③
111tan 1tan αα--+； ④5cos cos 1212
ππ
；
⑤
00
1sin10cos10
-。 （2）在△ABC 中，5
4
cos =
A ，tan 2
B =，求)22tan(B A +。 （3）求?
?
?
80cos 40cos 20cos 的值。 （4
）求00sin50(1)的值。 （5）已知31
sin()cos()444
x x ππ-
-=- ，求cos 4x 。 （6）已知1tan()42π
α+=；①求tan α的值；②求2sin 2cos 1cos 2αα
α
-+的值。
（7）已知,2tan =
x 求
x
x x x
cos sin 1sin 2cos 22
+--的值。 §5.14简单的三角恒等变换 一、知识要点（罗列条目） 1、我能想起来的知识点：
（1） （2） （3）
2、我未想到的知识点（查阅课本）：
（1） （2） （3）
二、知识点自测：
（1）求下列函数的周期、最值、单减区间。。
①x x y cos 3sin +=； ②24tan(
)sin (
)sin 24
4
y x x x π
π
=-+。
（2）已知tan()2tan αββ+=，求证：3sin sin(2)ααβ=+。 （3）已知函数2
225()cos ()sin ()sin cos 3622
x x
f x x x a ππ=-+-+（0a >为常数）的最大值为3，求a 的值。
（4）某工人要从一块圆心角为45
的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m ，求割出的长方形桌面的最大面积。
§5.15正弦定理
一、知识要点（罗列条目） 1、我能想起来的知识点：
（1） （2） （3）
2、我未想到的知识点（查阅课本）：
（1） （2） （3）
二、知识点自测：
（1）△ABC 中,sinA ：sinB ：sinC=2：3：4,则三角形是（ ）.
A.锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D.不可能是钝角三角形 （2）在△ABC 中，已知a ＝8,Ｂ＝60°,C=75°,求边b ； （3）在△ABC 中，已知a ＝10,Ｂ＝60°,C=45°,求边c 。
（4）已知△ABC 中，AB ＝1,∠C=60°,解三角形； （5）在△ABC 中，若a ＝50,b=256,A=45°, 解三角形；
（6）在△ABC 中,已知b ＝∠B=30°, 解三角形。 （7）△ABC 中,a ：b ：c ：=2：3：4,求
C
B
A sin sin sin 2-的值.
（8）解三角形，是否可以不解就能判断三角形的个数：
①45a b A === ； ②5,4,120a b A ===
； ③7,14,30a b A === ； ④50,72,135a b A ===
。 §5.16余弦定理
一、知识要点（罗列条目） 1、我能想起来的知识点：
（1） （2） （3）
2、我未想到的知识点（查阅课本）：
（1） （2） （3） 二、知识点自测：
（1）在△ABC 中，已知60b cm =，34c cm =,45A =
，解三角形； （2）在△ABC 中，已知8b =，3c =,60A =
，解三角形；
（3）在△ABC 中，已知6a =，3c =,150b =
，解三角形；
（4）在△ABC 中，已知7a =，8b =，3c =,，解三角形；
（5）已知在△ABC 中，若a:b:c=1：2 （6）在△ABC 中，若2
2
2
a c
b ab -+=，求C 。
（7）在△ABC 中，已知sinA=
C B C
B cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状。
（8）在△ABC 中，若
,cos cos cos C
c
B b A a ==判断△AB
C 的形状； （9）在锐角△ABC 中，,2.1==b a 求C 的取值范围. §5.17应用举例
一、知识要点（罗列条目） 1、我能想起来的知识点：
（1） （2） （3）
2、我未想到的知识点（查阅课本）：
（1）
（2） （3）
二、知识点自测：
（1）如图，一艘船以32.2n mile/h 的速度向正北航行.在A 处看灯塔S 在船的北偏 东20°的方向，30min 后航行到B 处，在B 处看灯塔在船的北偏东65°的方向， 已知距离此灯塔6.5n mile 以外省区为航行安全区域，这艘船继续沿方向航行吗？
（2）AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，按照如图设计的测量建筑物高度
AB 的方法。测得20CD m =，45α=
，30β= ，测角器的高度为20h cm =，求AB 的高度。
（3）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶， 到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上，行驶5km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南的方向上，行驶5km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD 。
（4）甲船在A 处遇险，在甲船正西南10海里B 处的乙船收到甲船的报警后，测得甲船是沿方位角
105 的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近，如果乙船要在40分钟内追上甲船，则乙船要以多
大速度，以何方位角航行？
（5）若在测量中，某渠道斜坡的坡度,2:1=i 设α为坡度，那么cos α为（ ）
A ．
55 B ．5
5
2 C ．21 D ．2
（6）已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的（ ）
A ．北偏东10°
B ．北偏西10°
C ．南偏东10°
D ．南偏西10°
（7）在静水中划船的速度是每分钟40m ，水流的速度是每分钟20m ，如果船从岸边A 处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为（ ）
A ．15°
B ．30°
C ．45°
D ．60°
（8）在△ABC 中，B=45°，C=60°，1)a =，求△ABC 的面积
（9）在△ABC 中，若三内角满足,sin sin sin sin sin 222C C B B A +?+=则角A 等于（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
（10）在△ABC 中，若cos a A+bcosB=ccosC ，则这个三角形一定是（ ）
A ．锐角三角形或钝角三角形
B ．以a 或b 为斜边的直角三角形
C ．以c 为斜边的直角三角形
D ．等边三角形
（11）已知锐角三角形ABC 中，4,1,AB AC ==
△ABC 的面积为?则,3的值为（ ）
A ．2
B ．—2
C ．4
D ．—4
（12）已知△ABC 中，3,5,0,ABC
S AB AC AB AC ?===?<
且求 BC 的值。
第二篇：提高篇
§1三角函数的图象和性质
1、“五点法”作简图、图像变换与求函数解析式
例1：已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02
A π
ω?>><<）的图象与x 轴的交点
中，相邻两个交点之间的距离为
2
π，且图象上一个最低点为2(,2)3M π
-. (Ⅰ)求()f x 的解析式；（Ⅱ）当[,]122
x ππ
∈，求()f x 的值域.
知识剖析：
方法剖析：
规范解答：（一步只解决一个问题）
解后反思：
变式训练：
已知函数)2
||,0,0)(sin()(π
ω>?+ω=A x A x f 的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的
第一个最大值点和最小值点分别为（2,0x ）和（2,30-π+x ）. （1）求)(x f 的解析式；
（2）将y =f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的3
1
（纵坐标不变），然后再将所得图象向x 轴正方
向平移
3
π
个单位，得到函数y =g (x )的图象.写出函数y =g (x )的解析式并用列表作图的方法画出y =g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象.
例2：已知函数())cos()f x x x ω?ω?=+-+（0π?<<，0ω>）为偶函数，且函数
()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为
π2
． （Ⅰ）求π8f ?? ???
的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移
π
6
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间． 知识剖析：
方法剖析：
规范解答：（一步只解决一个问题）
解后反思：
变式训练：
已知函数()sin(),f x x ω?=+其中0ω>，||2
π
?<
（I ）若cos
cos,sin
sin 0,4
4
π
π
??3-=求?的值； （Ⅱ）在（I ）的条件下，若函数()f x 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于
3
π
，求函数()f x 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数()f x 的图像象左平移m 个单位所对应的函数是偶函数。 2、三角函数的性质
例3：已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω??
=+ ??
?
（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03??????
，上的取值范围．
知识剖析：
方法剖析：
规范解答：（一步只解决一个问题）
解后反思：
变式训练：
1、已知函数22s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是2
π
． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．
2、已知函数2()2sin
cos 444
x x x
f x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令π()3g x f x ??
=+
??
?
，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 例4：（1）求函数2
4
74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。
（2）已知函数2π()2sin 24f x x x ??=+
???，ππ42x ??
∈????
，． （I ）求()f x 的最大值和最小值；
（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ??∈????
，上恒成立，求实数m 的取值范围．
知识剖析：
方法剖析：
规范解答：（一步只解决一个问题）
解后反思：
变式训练：
已知函数()b x a x x x f ++??
? ?
?
-+??
?
?
?
+=cos 6πsin 6πsin （R b a ∈,，且均为常数），
（1）求函数()x f 的最小正周期；
（2）若()x f 在区间??
?
???-0,3π上单调递增，且恰好能够取到()x f 的最小值2，试求b a ,的值．
巩固练习：
1．已知函数2
π()cos 12f x x ??
=+
??
?
，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值． （II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．
2、已知函数()2cos (sin cos )1
f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84??????
，上的最小值和最大值．
3、已知函数22()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =+∈ （I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；
（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？ 已知函数()2sin()cos f x x x π=-.
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ??
-???
?上的最大值和最小值. 4、设函数2()sin(
)2cos 1468
x x f x ππ
π=--+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期．
（Ⅱ）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4
[0,]3
x ∈时()y g x =的最大值．
5、设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为
23
π． （Ⅰ）求ω的最小正周期．
（Ⅱ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2
π
个单位长度得到，求()y g x =的单调增区间．
6、已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-
上的值域 7、已知函数f (x )=a +b sin2x +c cos2x 的图象经过点A （0，1），B （
4π，1）,且当x ∈［0, 4
π
］时，f (x )取得最大值22－1．（Ⅰ）求f (x )的解析式；（Ⅱ）是否存在向量m ，使得将f (x )的图象按向量m 平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出满足条件的一个m ;若不存在，说明理由． 8、设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=?π?图像的一条对称轴是直线8
π
=x 。
（Ⅰ）求?；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间； （Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像。
§2三角变换
1、给值求值：
例1：
已知tan 222θπθπ=-<<
，求
2
2cos sin 1
2
)
4
θ
θπ
θ--+的值.
知识剖析：
规范解答：（一步只解决一个问题）
解后反思：
变式训练：已知0αβπ<<
4，为()cos 2f x x π?
?=+ ?8??的最小正周期，1tan 14αβ????=+- ? ?????
，，a (cos 2)α=，b ，且 a b m =．求22cos sin 2()
cos sin ααβαα
++-的值．
例2：已知
310,tan cot 43παπαα<<+=- （Ⅰ）求tan α的值；
（Ⅱ）求
2
2
5sin 8sin
cos
11cos 8
2
2
2
2
2α
α
α
α
πα++-?
?- ?
?
?的值。
知识剖析：
方法剖析：
规范解答：（一步只解决一个问题）
解后反思：
变式训练：已知5
1cos sin ,02
=
+<<-
x x x π
. （I ）求sin x －cos x 的值；
（Ⅱ）求x
x x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322
++-的值.
2、给值求角 例3：已知0,14
13
)cos(,71cos 且=β-α=
α<β<α<2π,
(Ⅰ)求α2tan 的值.
【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料 一、选择题 1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++? ?=++<< ?+++-? ?的最小值为 （ ） A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】 2 2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+++= ++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x ???? ++ ? ?????=+= +=???? ++ ? ? ???? ， 则()21tan 0sin 32f x x x x π? ?= +<< ?? ?， 322222 21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x ' ' ' --+????=+=-+= ? ????? . 令()cos 0,1t x =∈，() 32 61g t t t =--+为减函数，且102g ??= ??? ， 所以当03 x π <<时， ()1 1,02 t g t <<<，从而()'0f x <； 当 3 2 x π π << 时，()1 0,02 t g t << >，从而()'0f x >. 故( )min 33f x f π??== ??? . 故选：A 【点睛】 本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题. 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，
高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ， 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度， 直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 （答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角，则2 α 是第_____象限角 （答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。
（数学4必修）第一章 三角函数（上）[基础训练] 一、选择题 1．设α角属于第二象限，且2cos 2cos α α -=，则2 α角属于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0 -； ③)10tan(-；④9 17tan cos 107sin πππ.其中符号为负的有（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 3．02120sin 等于（ ） A ．23± B ．23 C ．23- D ．2 1 4．已知4sin 5 α= ，并且α是第二象限的角，那么 tan α的值等于（ ） A .43- B .34 - C .43 D .34 5．若α是第四象限的角，则πα-是（ ） A .第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 6．4tan 3cos 2sin 的值（ ） A .小于0 B .大于0 C .等于0 D .不存在 二、填空题 1．设θ分别是第二、三、四象限角，则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限． 2．设MP 和OM 分别是角18 17π的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式： ①0< 4．设扇形的周长为8cm ，面积为2 4cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 。 5．与02002-终边相同的最小正角是_______________。 三、解答题 1．已知1tan tan αα， 是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根， 且παπ273< <，求ααsin cos +的值． 2．已知2tan =x ，求 x x x x sin cos sin cos -+的值。 3．化简：)sin()360cos() 810tan()450tan(1)900tan()540sin(00000x x x x x x --?--?-- 4．已知)1,2(,cos sin ≠≤ =+m m m x x 且， 求（1）x x 33cos sin +；（2）x x 44cos sin +的值。 数学4（必修）第一章 三角函数（上） [基础训练] 一、选择题 1.C 22,(),,(),2422k k k Z k k k Z π π α π παππππ+<<+∈+<<+∈ 当2,()k n n Z =∈时， 2α在第一象限；当21,()k n n Z =+∈时，2α在第三象限； 而cos cos cos 0222α αα =-?≤，2α∴在第三象限； 2.C 00sin(1000)sin 800-=>；000 cos(2200)cos(40)cos 400-=-=> 三角函数专题训练 19．（本小题满分12分） 在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，设向量(,cos ),(,cos )//.m a B n b A m n m n ==≠u r r u r r u r r 且， （Ⅰ）若sin sin A B +=6，求A ； （Ⅱ）若ABC ?的外接圆半径为1，且,abx a b =+试确定x 的取值范围． 17．（本小题共12分） 已知函数()sin()(0,||)2f x M x M πω??=+>< 的部分图象如图所示． （I ）求函数()f x 的解析式； （II ）在△ABC 中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、若(2)cos cos ,()2 A a c B b C f -=求的取值范围． 17．（本小题满分12分）已知向量231444x x x m (sin ,),n (cos ,cos )==．记()n m x f ?= （I ）若32f ()α=，求23 cos()πα-的值； （Ⅱ）在?ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足 ()2cos cos a c B b C -=，若13f (A )+= ，试判断?ABC 的形状． 17、海岛B 上有一座高为10米的塔，塔顶的一个观测站A ，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角45°的D 处。（假设游船匀速行驶） （1）求该船行使的速度（单位：米/分钟）（5分） （2）又经过一段时间后，游船到达海岛B 的正西方向E 处，问此时游船距离海岛B 多远。（7分） 19．解：因为(,cos ),(,cos )//m a B n b A m n ==u r r u r r 且， 所以cos cos a A b B =，-------------------------------------------1分 由正弦定理，得sin cos sin cos A A B B =， 《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???- 三角函数总结及统练 一. 教学内容： 三角函数总结及统练 （一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系： 倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2 正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan = 三角函数的平移及伸缩变换 一、单选题(共8道，每道12分) 1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 2.已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整 个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数，则y ＝f(x)的表达式时( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 3.已知函数，若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 4.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 6.已知函数的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值是( ) A.π B. C. D. 答案：D 1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动02π???? << ?? ? 个单位长度， 所得的部分图象如右图所示，则?的值为（ ） A ．6 π B ．3 π C ．12 π D ．23 π 2．已知函数()sin 23f x x π??=+ ?? ? ，为了得到()sin 2g x x =的图象，则 只需将()f x 的图象（ ） A ．向右平移3π个长度单位 B ．向右平移6 π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3 π 个长度单位 3．若113sin cos αα +=sin cos αα=（ ） A ．13- B ．13 C ．13-或1 D ．13或-1 4．2014cos()3 π的值为（ ） A ．12 B ． 3 2 C ．12- D ．32 - 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A 2 1k -．2 1k - C 2 1k -．2 1k k -- 6．若sin a = -45 ，a 是第三象限的角，则sin()4 a π +=（ ） （A ）-7210 （B ） 7210 （C ）2 - 10 （D ） 210 7 ．若 55 2) 4 sin(2cos -=+ π αα，且)2 ,4(ππα∈，则α2tan 的值为（ ） A ．3 4- B ．4 3- C ．4 3 D ．3 4 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是 （ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在)0,2 (π-上单调递减 C ．)(x f 的最大值为2 D ．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数2（ωφ），φ＜2 π的图象，那么 A.ω=11 10，φ=6 π B.ω=10 11，φ6π C.ω=2，φ=6 π D.ω =2，φ6 π 10．要得到函数sin(4)3 y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x =的 图象（ ） A ．向左平移3 π个单位 B ．向右平移3 π 个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12 π个单位 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象 三角函数的图像的变换口诀解读 变T 数倒系数议，变A 伸压 y 无疑， 变φ 要把系数提，正φ 左进负右移． 周期变换是通过改变x 的系数来实现的，即周期T 的变化只与ω有关而与φ无关．这是因为ω π 2=T ，故要使周期扩大或缩小m (m >0) 倍，则须用 x m 1去代原式中的x (纵坐标不 变)，故有“变T 数倒系数议”之说． 相位φ变换实质上就是将函数的图像向左或向右平移．当先作周期变换后作相位变换时，须提出系数ω，这是因为周期变化时改变了x 的值，此时其初相位（非0初相）同时也改变相应得到改变，且改变的倍数相同．当先作相位变换后作周期变换，由于此时x 的系数为1，系数提不提无影响，为了统一记忆我们也视为提出系数“1”．因而有“变φ要把系数提”之说． 三角函数图像的周期﹑振幅﹑相位等变换的问题是历年高考中常考查的内容．对此类命题的求解，无论三种变换怎样摆设，先要弄清哪是原函数的图像，哪是新函数的图像，再据本歌诀所述，很快就可得到解决． 例1 为了得到 y =) 62sin(π-x 的图像，可以将函数 y = cos2x 的图像 (2004年高考) ( ) (A)向右平移6 π 个单位长度 (B)向右平移3 π 个单位长度 (C)向左平移 6 π 个单位长度 (D) 向左平移 3 π 个单位长度 解法1 ∵ y = cos2x =) 4 (2sin )2 2sin(π π + =+ x x , 而 y =] 3 )4 [(2sin )6 2sin(π π π - + =- x x ， 由此可得 只须将函数y = cos2x 的图像向右平移3 π 个单位长度即可．故选(B)． 解法2 ∵ y =)62sin(π - x ) 6 22 cos( ππ x + -=，即y ) 3(2cos π - = x , 而已知的函数为y = cos2x , 由此可得，须将函数y = cos2x 的图像向右平3 π 个单位即可．故选(B)． 点评 由于当ω ?- =x 时, 相位0 =+?ω x ．因而，我们可称此时的相位为零相位．由此可 见，在作相位变换时，其平移的数值与方向是由两个0相位对应的x 值的差来决定的．对于本题而言，由于两个0相位对应的x 的值分别为12 π与4 π - ，故所作的平移就是要将已知函数 的0相位对应的点) 0 ,4(π - 移到点)0 12 ( ，π 处．易知要平移的数值是： 3 )4 (12 π π π = - -，方向是向 右的．显然这一方法就是“五点作图法”中的第一零点判断法． 例2 已知函数 f (x ) =) 5 sin( 2π + x (x ∈R ) 的图像为C, 函数 y = ) 5 2sin(π - x (x ∈R ) 的图 像为C 1, 为了得到C 1，只需把C 上所有的点先向右平移 ，再将 ． ( ) (A) 5 2π个单位，横、纵坐标都缩短到原来的2 1 (B) 5 2π个单位，横、纵坐标都伸 高中数学三角函数复习专题 一、知识点整理 1角的概念的推广： 正负，范围，象限角，坐标轴上的角； 2、角的集合的表示： ① 终边为一射线的角的集合： x|x 2k ② 终边为一直线的角的集合： xx k 3、任意角的三角函数: (1) 弧长公式：1 aR R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，1为弧长 (2) 扇形的面积公式 :S 1 -IR R 为圆弧的半径，1为弧长。 2 (3) 三角函数定义： 角 中边上任意一点P 为(x,y)，设|OP| r 则： sin — ,cos r x J r tan y r=寸孑圧 x 女口：公式 cos( ) cos cos sin sin 的证明 (4)特殊角的三角函数值 ③两射线介定的区域上的角的集合: x2k ④两直线介定的区域上的角的集合： x k x k ,k Z ? k 360', k Z ,k Z = | ，k Z ； 反过来，角 的终边上到原点的距离为 r 的点P 的坐标可写为：P r cos ,r sin 4 x 4 4 sin cos tan - -si n + cos -ta n - + si n -cos -ta n + -si n -cos + tan 2 . -si n + cos -ta n 2k + + si n + cos + tan sin con tan 2 + cos + sin + cot 2 + cos -si n -cot 3 2 -cos -si n + cot 3_ 2 -cos + sin -cot 三角函数值等于 的同名三角函数值，前面 加 上一个把 看作锐角时，原三角函数值的 符 号；即：函数名不变，符号看象限 三角函数值等于 的异名三角函数值，前面 加 上一个把 看作锐角时，原三角函数值的 符号； 即:函数名改变，符号看象限： sin x 比如 cos 一 x 4 cos x cos x sin 一 (6)三角函数线：(判断正负、比较大小，解方程或不等式等) 如图，角 的终边与单位圆交于点P ,过点P 作x 轴的垂线, 垂足为M ，则 过点A(1,0)作x 轴的切线，交角终边0P 于点T ，贝U (7)同角三角函数关系式： ③ 平方关系：sin 2 a cos 2 a 1 ①倒数关系： tan acota 1 ②商数关系: tana ^ina cosa (8)诱导公试 高三数学三角函数专题训练 1.为得到函数πcos 23y x ?? =+ ?? ? 的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12 个长度单位 C ．向左平移 5π6 个长度单位 D ．向右平移 5π6 个长度单位 2.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则M N 的最大值为（ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．2 3.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2倍（纵坐标不变），得到的图 象所表示的函数是( ) A .sin(2)3 y x π =-，x R ∈ B.sin( ) 2 6 x y π =+ ，x R ∈ C.s in (2)3 y x π =+，x R ∈ D.sin(2) 3 2y x π=+ ，x R ∈ 4.设5sin 7 a π=，2cos 7 b π=，2tan 7 c π=，则( ) A.c b a << B.a c b << C.a c b << D.b a c << 5.将函数sin(2)3 y x π =+ 的图象按向量α 平移后所得的图象关于点(,0) 12 π - 中 心对称，则向量α的坐标可能为（ ） A ．(,0)12π - B ．(,0)6 π - C ．( ,0)12 π D ．( ,0)6 π 6.函数2 ()sin 3sin cos f x x x x =+ 在区间 ,42ππ?? ???? 上的最大值是( ) A.1 B.13 2 + C. 3 2 D.1+ 3 7.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =( ) A.2 1 B. 2 C.2 1- D.2- 《图象变换的顺序寻根》 题根研究? 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m，其间经过4种变换： 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例，讨论4种变换的顺序问题. 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？ 【解法1】第1步，横向平移： 将y = sin x向右平移，得 第2步，横向伸缩： 将的横坐标缩短倍，得 第3步：纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 第4步：纵向平移： 将向上平移1，得 【解法2】第1步，横向伸缩： 将y = sin x的横坐标缩短倍，得y = sin 2x 第2步，横向平移： 将y = sin 2x向右平移，得 第3步，纵向平移： 将向上平移，得 第4步，纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 【说明】解法1的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法2 中有的变换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大. 【质疑】对以上变换，提出如下疑问： （1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？ （2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）？ （3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反—— 如|| > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩”？ 【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ()+m中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f ()，则x、y在形式上就“地位平等”了. 《图象变换的顺序寻根》 题根研究 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m，其间经过4种变换： 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例，讨论4种变换的顺序问题. 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？ 【解法1】第1步，横向平移： 将y = sin x向右平移，得 第2步，横向伸缩： 将的横坐标缩短倍，得 第3步：纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 第4步：纵向平移： 将向上平移1，得 【解法2】第1步，横向伸缩： 将y = sin x的横坐标缩短倍，得y = sin 2x 第2步，横向平移： 将y = sin 2x向右平移，得 第3步，纵向平移： 将向上平移，得 第4步，纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 【说明】解法1的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法2中有的变 换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大. 【质疑】对以上变换，提出如下疑问： （1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？ （2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）？ （3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反—— 如|| > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩”？ 【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f ()，则x、y在形式上就“地位平等”了. 如将例1中的变成 它们的变换“方向”就“统一”了. 对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量有变”？这是因为在“一次”替代：x→中，平移是对x进行的. 故先平移（x→）对后伸缩（→）没有影响； 但先收缩（x→）对后平移（→）却存在着“平移”相关. 这 三角函数复习专题 一、核心知识点归纳： ★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ?? ≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当22 x k π π=+ () k ∈Z 时，max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =； 当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,22 2k k π πππ? ? - + ??? ? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ??++??? ? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ? ?+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心 (),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 ★★2.正、余弦定理：在ABC ?中有: 函 数 性 质 ①正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC ?外接圆半径） 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =??=??=? ? sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ? =?? ? =?? ? =?? 注意变形应用 ②面积公式：111 sin sin sin 222 ABC S abs C ac B bc A ?= == ③余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ?=+-?=+-??=+-? ? 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 二、练习题 1、角α的终边过点 b b 则且（,5 3 cos ),4,--=α的值（ ） A 、3 B 、-3 C 、3± D 、5 2、已知2π θπ<<,3 sin()25 πθ+=-，则tan(π-θ)的值为（ ） A ．34 B ．43 C ．34- D ．4 3 - 3、2(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 4、为得到函数πcos 3y x ? ?=+ ?? ?的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ） A ．向左平移π 6个长度单位 B ．向右平移 π 6 个长度单位 C ．向左平移5π 6 个长度单位 D ．向右平移 5π 6 个长度单位 5、()sin()(0,0,||)2 f x A x A ωφωφπ =+>>< 是( ) A. y = 2sin(x -4π) B. y = 2sin(x +4π) C. y = 2sin (2x -8π) D. y = 2sin (2x +8 π ) 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + — 1、函数y=sin(x+π)，x∈R和y=sin(x- 6- O 3 )，x∈R的图象与y=sin x的图象有什么联系？2 个单位所得的曲线是 2 sin x的图象，试求y=f(x)的解析式。 3 )y=sin2x 3 ) 3 ) 3 ) 3 ) 3 )，x∈R的简图。 π2 3 )，x∈R 6 )，x∈R 三角函数图像的变换 题型归纳： 系？ π 34 )，x∈R的图象与y=sin x的图象有什么联 - π-π 3 1y π5ππ 6 34x 2、函数y=3sin(2x+π (1)y=sin x(2)y=sin x y=sin(x+π 4、函数f(x)的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移 π y=1 5、函数y＝Asin(ωx＋φA>0,ω>0，｜φ｜＜π） 的图象如图，求函数的表达式. y=sin(2x+π y=3sin(2x+π y=sin(2x+π y=3sin(2x+π ★☆作业：（A组） 1、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： 3、画出函数y=3sin(2x+π y 2x+ 3 x 3sin(2x+π) 3 （3）y=4sin(x- π （4）y=sin(2x+π 第1页共2页 6 ) ，x ∈R （2） y = 1 sin( 3 x - （1） y = 5 sin( 1 x + 4 ) ，x ∈R 6、把函数 y ＝cos(3x ＋ π A.向右平移 π 4 C.向右平移 12 （3） y = 3sin(2 x － ) ，x ∈R （4） y = 2 cos( x + π ) ，x ∈R 3 ，φ ＝－ 6 B.A ＝1，Ｔ＝ 2 3 ，φ ＝－ 4 D.A ＝1，Ｔ＝ 3 sin(2x + 3 sin(2x + （1） y = 8sin( － ) ，x ∈[0,＋∞） （2） y = 1 7 ) ，x ∈[0,＋∞） 2 的图象的一部分，求这个函数的解析式。 4、(1)y ＝sin(x ＋ π (2)y ＝sin(x － π (3)y ＝sin(x － π 4 )是由 y ＝sin(x ＋ 4 )向 5、若将某函数的图象向右平移 π 10、设函数 y = sin （x - π A.y ＝sin(x ＋ 3π B.y ＝sin( x ＋ π C.y ＝sin(x － π D.y ＝sin(x ＋ π 2、说明下列函数的图像由正弦函数或余弦函数经过了怎样的变换。 π 2 2 π 4 )的图象适当变动就可以得到 y ＝sin(－3x )的图象，这种变动 可以是( ) π π π 4 B.向左平移 D.向左平移 12 ★★☆☆作业( B 组)： 7、如图：是函数 y ＝A sin(ω x ＋φ ）＋2 的图象的一部分，它 的振幅、周期、初相各是 ( ) π 1 1 6 4 A.A ＝3，Ｔ＝ 4π π 4π 3π 3 ，φ ＝－ 4 C.A ＝1，Ｔ＝ 2π 3π 4π π 3 ，φ ＝－ 6 8、如左下图是函数 y ＝A sin （ω x ＋φ ）的图象的一段，它的 解析式为 ( ) A. y = 2 π 2 x 3 ) B. y = 3 sin( 2 + π 2 π 4 ) C. y = 3 sin(x - 3 ) D. y = 2 2π 3 ) 3、不画简图，直接 写出下列函数的振幅、周期和初相，并说明这些 函数的图象可由正弦曲 线经过怎样的变化得出（注意定义域）： x π 4 8 3 cos(3x + π 4 )是由 y ＝sin x 向 平移 个单位得到的. 4 )是由 y ＝sin x 向 平移 个单位得到的. π 平移 个单位得到的. 2 以后所得到的图象的函数式是 y ＝sin(x ＋ 表达式为( ) 4 ) 2 ) π 4 )－ 4 4 ) π 4 )，则原来的函数 高中数学第四章-三角函数知识点汇总 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：2 11||2 2 s lr r α= = ?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 r y =α sin ； r x = αcos ； x y = α tan ； y x = α cot ； x r = α sec ；. y r = α csc . 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： SIN \C O S 三角函数值大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 (3) 若 o高三数学 三角函数专题训练(含解析)
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