![【随堂优化训练】2014年数学(人教A版)必修5课后作业：第2章 数列]](https://img.doczj.com/imgbc/05n30otodrl72uzfovs5-c1.webp)
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第二章 数列
2．1 数列的概念与简单表示法 2．1.1 数列的概念及表示方法
1．下列说法不正确的是( ) A ．数列可以用图象来表示 B ．数列的通项公式不唯一 C ．数列的项不能相等
D ．数列可以用一群孤立的点表示 2．关于以下4个数列： (1)－1,1，－1,1，…； (2)1,3,5,7，…； (3)12，13，14，1
5，…； (4)－27,9，－3,1. 正确的叙述是( )
A ．(1)(2)是无穷数列，(3)(4)是有穷数列
B ．(2)(3)是无穷数列，(1)(4)是有穷数列
C ．(1)(2)(3)是无穷数列，(4)是有穷数列
D ．(2)是无穷数列，(1)(3)(4)是有穷数列 3．已知数列{n 2＋n }，那么( ) A ．0是数列中的一项 B ．21是数列中的一项 C ．702是数列中的一项 D ．以上答案都不对
4．已知数列{a n }的前4项为1，3，5，7，则数列{a n }的通项公式可能为( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝2n －1 C ．a n ＝2n ＋1 D ．a n ＝2n ＋1
5．已知数列1，3，7，15，…，2n －1，…，那么63是该数列的第几项( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
6．在数列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，…中，x 的值是( ) A ．19 B ．20 C ．21 D ．22 7．图K2-1-1是关于星星的图案构成的一个数列，请写出这个数列的一个通项公式．
图K2-1-1
8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n ＋1)，另一个数列{b n }可用b n ＝a n ＋1
a n
表示，则{b n }
的通项公式为__________．
9．已知数列{a n }的前4项分别为1,0,1,0，则下列各式可作为数列{a n }的通项公式的个数有( )
①a n ＝12[1＋(－1)n ＋
1]；
②a n ＝sin 2n π
2；
③a n ＝12
[1＋(－1)n ＋
1]＋(n －1)(n －2)；
④a n ＝1－cos n π2，(n ∈N *)；
⑤a n ＝?
????
1 (n 为正偶数)，0 (n 为正奇数)；
⑥a n ＝1－(－1)n ＋
1
2
.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．已知数列的通项公式为a n ＝4n 2＋3n
，试问：110和16
27是不是它的项？如果是，是第几
项？
2．1.2 数列的递推公式
1．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2，且a 1＝1，则a 4＝( ) A ．8 B ．6 C ．9 D ．7
2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A.?
????
a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *) B.?????
a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ∈N *
，n ≥2) C.?????
a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋(n ＋1) (n ∈N *
，n ≥2) D.?????
a 1＝1，a n ＝a n －1＋(n －1) (n ∈N *)
3．已知数列{a n }满足a 1＞0，且a n ＋1＝1
2
a n ，则数列{a n }是( )
A ．递增数列
B ．递减数列
C ．常数列
D ．摆动数列
4．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10＝( ) A ．－165 B ．－33 C ．－30 D ．－21
5．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝tan n π
3
，则a 2＝( )
A.2 33 B ．－2 33
C ．2 3
D ．－2 3
6．(2014年浙江宁波模拟)设a ∈R ，数列{(n －a )2}(n ∈N *)是递增数列，则a 的取值范
围是( )
A ．a ≤0
B ．a <1
C ．a ≤1
D ．a <3
2
7．已知数列{a n }，a n ＝1n (n ＋2)
(n ∈N *)，求1
120是这个数列的第几项．
8．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ????1＋1
n ，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n
C ．2＋n ln n
D ．1＋n ＋ln n 9．在图K2-1-2中，(1)(2)(3)，…是由花盆摆成的图案．
图K2-1-2
根据图中花盆摆放的规律，猜想第4个图形中花盆数为__________，记第n 个图形中的花盆数为a n ，当n >1时，a n 与a n －1的递推关系为__________．
10．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，S n ＝n 2
·a n ，求数列{a n }的通项公式．
2.2 等差数列
2．2.1 等差数列的定义及通项公式
1．设数列{a n }的通项公式a n ＝f (n )是一个函数，则它的定义域是( ) A ．非负整数 B ．N *的子集 C ．N *
D ．N *或{1,2,3，…，n }
2．在等差数列{a n }中，a 1＝21，a 7＝18，则公差d ＝( ) A.12 B.13
C ．－12
D ．－13
3．已知数列{a n }，对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为( ) A ．公差为2的等差数列 B ．公差为1的等差数列 C ．公差为－2的等差数列 D ．非等差数列
4．在等差数列{a n }中，a 1＝1，公差d ＝3，若a n ＝2014，则n ＝( ) A ．669 B ．665 C ．671 D ．672
5．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差是( )
A ．－2
B ．－3
C ．－4
D ．－5
6．在等差数列{a n }中，已知a 1＝3，a n ＝21，d ＝2，则n ＝________. 7．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，求a 6.
8．一个三角形的三个内角A ，B ，C 成等差数列，则sin(A ＋C )＝( )
A ．－12 B.12
C ．－32 D.3
2
9．在1和2之间插入2个数，使它们与1,2组成等差数列，则该数列的公差为______．
10．在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 2为方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的根，求数列{a n }的通项公式．
1．(2013年上海)在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝30，则a 2＋a 3＝________. 2．已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝( )
A ．－2
B ．－1
2
C.1
2
D ．2 3．若{a n }是等差数列，a 3，a 10是方程x 2－3x －5＝0的两根，则a 5＋a 8＝( ) A ．3 B ．－5 C ．－2 D ．－3
4．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13
＝( )
A ．120
B ．105
C ．90
D ．75
5．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20＝( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．7
6．在等差数列{a n }中，若a 7＝m, a 14＝n ，则a 21＝________.
7．四个数a ，x ，b,2x 成等差数列，求a
b
的值．
8．等差数列{a n }的各项均为正数，若a 3a 5＋a 3a 8＋a 5a 10＋a 8a 10＝64，则a 1＋a 12＝________.
9．(2014年上海模拟)函数f (x )＝A sin ?
???ωx ＋π
6(ω>0)的图象与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为π
2
的等差数列，要得到函数g (x )＝A sin ωx 的图象，只要将f (x )的图象向右平移
________个单位．
10．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次．奥运会如因故不能举行，届数照算．
(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式； (2)如图K2-2-1,2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？
图K2-2-1
2．3.1等差数列的前n项和
1．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d＝() A．2 B．3
C．6 D．7
2．(2013年安徽)设S n为等差数列{a n}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝() A．－6 B．－4 C．－2 D．2
3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7＝()
A．13 B．35
C．49 D．63
4．等差数列{a n}各项都是负数，且a23＋a28＋2a3a8＝9，则它的前10项和S10＝() A．－15B．－13C．－11D．－9
5．设数列{a n}是公差为d的等差数列，前n项和为S n.当首项a1与公差d变化时，若a4＋a8＋a9是一个定值，则下列各数中也是定值的是()
A．S9B．S11
C．S13D．S15
6．在等差数列{a n}中，公差d＝2, S20＝60，则S21＝()
A．100 B．84
C．66 D．62
7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝72，求a2＋a4＋a9的值．
8．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a m－1＋a m＋1－a2m＝0，S2m－1＝38，则m＝() A．38 B．20
C．10 D．9
9．在等差数列{a n}，{b n}中，若a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{a n＋b n}的前100项之和为____________．
10．已知一个等差数列的前4项之和为21，末4项之和为67，前n项和为286，求该数列的项数n.
2.3.2等差数列前n项和的性质
1．在等差数列{a n}中，S10＝120，那么a1＋a10＝()
A．12 B．24 C．36 D．48
2．已知等差数列{a n}，a n＝2n－19，那么这个数列的前n项和S n()
A．有最小值且是整数
B．有最小值且是分数
C．有最大值且是整数
D．有最大值且是分数
3．在等差数列{a n}中，a1＋a7＝42，a10－a3＝21，则前10项的和S10＝()
A．720 B．257
C．255 D．不确定
4．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a7＋a13是一确定的常数，下列各式：
①a21；②a7；③S13；④S14；⑤S8－S5，其中结果为确定常数的是()
A．②③⑤B．①②⑤
C．②③④D．③④⑤
5．等差数列{a n}前n项和为S n，满足S20＝S40，则下列结论中正确的是()
A．S30是S n中的最大值
B．S30是S n中的最小值
C．S30＝0
D．S60＝0
6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S12＞0，S13＜0，则S1，S2，S3，…，S12中值最大的是()
A．S5B．S6
C．S7D．S8
7．若等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3＝－13，a2＝3，求S n的最大值．
8．等差数列{a n}的首项a1＝－5，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4.6，则抽去的是()
A．a6B．a8
C．a10D．a11
9．若在等差数列{a n}中，S10＝100，S20＝110，则S40＝()
A．130 B．30
C．－140 D．－170
10．已知数列{a n}的前n项和是S n＝32n－n2，求数列{|a n|}的前n项和S n′.
2.4 等比数列
2．4.1 等比数列的定义及通项公式
1．已知等比数列的通项公式为a n ＝2n ，则a 1，q 分别为( ) A ．2,2 B ．2,1 C ．1,2 D ．1,1
2．在等比数列{a n }中，若a 2＝3，a 5＝24，则数列{a n }的通项公式为( ) A.32·2n B.32
·2n －2 C ．3·2n －2
D ．3·2n －1
3．2与4的等比中项是( ) A ．2 2 B ．－2 2 C ．±2 2 D ．不存在
4．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 2
5，a 2＝1，则a 1＝( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2
5．(2013年江西)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第4项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24
6．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16
7．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求这四个数．
8．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 3＝( ) A ．±4 B ．4 C ．－4 D ．8 9．(2014年广东肇庆一模)已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 5＝________.
10．在数列{a n }中，a 1＝1,2a n ＋1＝???
?1＋1n 2·a n (n ∈N *
)．证明：数列????
??a n n 2是等比数列，并求数列{a n }的通项公式．
1．在等比数列{a n }中，已知a 1＝1, a 4＝8，则a 5＝( ) A ．16 B ．16或－16 C ．32 D ．32或－32
2．已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2
3．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为( ) A ．x 2－6x ＋25＝0 B ．x 2＋12x ＋25＝0 C ．x 2＋6x －25＝0 D ．x 2－12x ＋25＝0
4．(2012年广东茂名一模)在等比数列{a n }中，若a 3，a 9是方程3x 2－11x ＋9＝0的两根，则a 6的值是( )
A ．3
B ．±3
C ．±3
D ．以上答案都不对
5．已知{a n }是等比数列，且a 1a 9＝64，a 3＋a 7＝20，则a 11＝( ) A ．1 B ．64 C ．64或1 D ．±1
6．等比数列{a n }满足a 1a 5＝1
2
，则a 2a 23a 4＝________. 7．在等比数列{a n }中，a 7a 11＝6，a 4＋a 14＝5，求a 20
a 10
的值．
8．设数列{a n }是等比数列，且a 5a 6＝81，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝__________. 9．2，x ，y ，z,162是成等比数列的5个正整数，则y ＝( ) A ．54 B ．27 C ．18 D ．±18
10．已知数列{a n }与等比数列{b n }满足b n ＝2a n ，n ∈N *. (1)判断{a n }是什么数列，并证明；
(2)若a 8＋a 13＝1
2
，求b 1·b 2·…·b 20的值．
2．5.1 等比数列的前n 项和
1．(2014年广东清远一模)在等比数列{a n }(n ∈N *)中，若a 1＝1，a 4＝1
8
，则该数列的前
5项和为( )
A ．2－????123
B ．2－???
?124 C ．2－????125
D ．2－???
?126 2．在等比数列{a n }中，a 1＝1, 前3项和S 3＝3，则公比q ＝( ) A ．1 B ．－2
C ．1或－2
D ．－1或2
3．在1和16之间插入3个正数a ，b ，c ，使1，a ，b ，c,16成等比数列，则这个等比数列所有项的和为( )
A ．28
B ．29
C ．30
D ．31
4．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －
1，则数列{a n }的前5项和S 5＝( ) A.31
2 B ．62 C.341
2
D ．682 6．(2013年北京)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝__________.
7．在等比数列中{a n }中，已知a 1＝1，a 4＝8，求： (1)数列{a n }的通项公式； (2)数列{a n }的前n 项和S n .
8．等比数列{a n }的公比q ＞0, 已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝______.
9．已知a ≠0，则S ＝1＋a ＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝____________________.
10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .
2.5.2 等比数列前n 项和的性质
1．在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项和S 3＝21，则公比q 的值为( )
A ．1
B ．－1
2
C ．1或－12
D ．－1或1
2
2．在公比为整数的等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18, a 2＋a 3＝12，则这个数列的前8项之和S 8＝( )
A ．513
B ．512 C.225
8
D ．510 3．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n ＝( ) A ．80 B ．30 C ．26 D ．16
4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9
S 6
＝( )
A ．2 B.7
3
C.8
3
D ．3 5．某工厂去年产值为a ，计划5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内这个工厂的总产值是( )
A ．1.14a
B ．1.15a
C ．10(1.15－1)a
D ．11(1.15－1)a
6．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10
＝( )
A ．12
B ．10
C ．8
D ．2＋log 35
7．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，求S 4
a 2
.
8．在等比数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若S 6＝48，S 12＝60，则S 18＝________.
9．一个等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1
＝________.
10．项数为偶数的等比数列的所有项之和等于它的偶数项之和的4倍，第2项与第4项之积为第3 项与第4项之和的9倍，求该数列的通项公式．
2.6 数列求和
1．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1≠d ，S 20＝10m ，那么下列各式中与m 相等的是( ) A ．a 3＋a 5 B ．a 2＋2a 10 C ．a 20＋d D ．a 9＋a 12
2．设等比数列{a }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q ＝( )
A.12 B ．－12 D 3．数列{a n }的通项公式为a n ＝1
n ＋n ＋1
，若S n ＝9，则n ＝( )
A ．9
B ．10
C ．99
D ．100
4．在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 14＝6，a 4＋a 17＝5，则a 17
a 4
＝( )
A.32
B.23
C.1
6
D ．6 5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列????
??
1a n ·
a n ＋1的前100项和为( )
A.100101
B.99101
C.99100
D.101100
6．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10＝( )
A ．18
B ．24
C ．60
D ．90
7．求数列11×3，12×4，13×5，…，1
n (n ＋2)
，…的前n 项和S n .
8．数列1，12，12，13，13，13，14，14，14，1
4，…的前100项的和为( )
A ．13914
B ．131114
C ．14114
D ．14314
9．数列{a n }是等差数列，公差d >0，S n 是{a n }的前n 项和．已知a 2a 3＝40，S 4＝26. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)令b n ＝1
a n ·a n ＋1
，求数列{b n }前n 项和T n .
10．(2013年湖南)设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1≠0,2a n－a1＝S1·S n，n∈N*.
(1)求a1，a2，并求数列{a n}的通项公式；
(2)求数列{na n}的前n项和．
第二章 数列
2．1 数列的概念与简单表示法 2．1.1 数列的概念及表示方法
1．C 2.C 3.C 4.A 5.C 6.C 7.a n ＝n (n ＋1)
2
8．b n ＝n ＋2
n 9.C
10．解：设110是数列{a n }中的项，∴a n ＝4n 2＋3n ＝1
10
，即n 2＋3n －40＝0，(n ＋8)(n －5)
＝0.∴n ＝－8(舍去)，n ＝5.
∴1
10
是数列{a n }中的第5项． 同理设1627是数列{a n }中的项，∴a n ＝4n 2＋3n ＝1627，
即4n 2＋12n －27＝0，(2n －3)(2n ＋9)＝0.
∴n ＝32(舍去)或n ＝－9
2(舍去)．
∴16
27不是数列{a n }中的项．
2．1.2 数列的递推公式
1．D 2.B 3.B 4.C 5.D 6.D 7．解：依题意，得120＝n (n ＋2)．
∴n 2＋2n －120＝0，即(n ＋12)(n －10)＝0. ∴n ＝－12(舍去)，或n ＝10. ∴1
120
是数列{a n }的第10项． 8．A 解析：a 2＝a 1＋ln2，a 3＝a 2＋ln 32，a 4＝a 3＋ln 4
3，…，a n －1＝a n －2＋ln n －1n －2，a n
＝1
n a -＋ln n n －1，故a n ＝a 1＋ln2＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n －1n －2＋ln n
n －1
＝a 1＋
ln ?
????2×32×43×…×n －1n －2×n n －1＝a 1＋ln n ＝2＋ln n . 9．37 a n －a n －1＝6(n －1) 10．解：∵a 1＝1，S n ＝n 2·a n ， ∴当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2·a n －1.
∴a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1?a n a n －1＝n －1
n ＋1
.
∴a n ＝a n a n －1· a n －1a n －2·a n －2a n －3
·…· a 3a 2·a 2
a 1·a 1
＝n －1n ＋1· n －2n ·n －3n －1·…· 24·13·1＝2n (n ＋1)
.
显然当n ＝1时，2n (n ＋1)＝1，∴a n ＝2
n (n ＋1)
，n ∈N *.
2．2 等差数列
2．2.1 等差数列的定义及通项公式
1．D 2.A 3.A 4.D 5.C 6.10 7.13 8.D 9.13
10．解：根据韦达定理，得?????
a 1＋a 2＝a 3，
a 1·a 2＝a 4.
即????? a 1＋a 1＋d ＝a 1＋2d ，a 1·(a 1＋d )＝a 1＋3d ，解得?????
a 1＝2，
d ＝2.
故a n ＝a 1＋()n －1d ＝2n .
2．2.2 等差数列的性质 1．15 2.B 3.A 4.B 5.B
6．2n －m 7.13 8.8 9.π
12
10．解：(1)由题意知：举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列．
数列的通项公式为a n ＝1896＋4(n －1)＝1892＋4n (n ∈N *)． (2)假设a n ＝2008，由2008＝1892＋4n ，得n ＝29. 假设a n ＝2050,2050＝1892＋4n 无正整数解．
∴所求通项公式为a n ＝1892＋4n (n ∈N *)，2008年北京奥运会是第29届奥运会，2050年不举行奥运会．
2．3 等差数列的前n 项和 2．3.1 等差数列的前n 项和 1．B 2.A 3.C 4.A 5.C 6.B 7．解：数列{a n }是等差数列， 由S 9＝72，又S 9＝9a 5，∴a 5＝8.
∴a 2＋a 4＋a 9＝(a 2＋a 9)＋a 4＝(a 5＋a 6)＋a 4＝3a 5＝24. 8．C 解析：∵数列{a n }是等差数列，∴a m －1＋a m ＋1＝2a m .由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，
得2a m －a 2m ＝0，∴a m ＝2或a m ＝0(舍去)．又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)
2＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10.
9．10 000 解析：S 100＝100(a 1＋b 1＋a 100＋b 100)
2
＝50×(25＋75＋100)＝10 000.
10．解：设这个数列为{a n }，则 ?????
a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝67.
∴a 1＋a n ＝22. ∵S n ＝n (a 1＋a n )2
＝286，∴n ＝26.
2．3.2 等差数列前n 项和的性质 1．B 2.A 3.C 4.A
5．D 解析：∵{a n }为等差数列，S 20＝S 40，
∴a 21＋a 22＋…＋a 40＝0.S 60＝(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋(a 21＋a 22＋…＋a 40)＋(a 41＋a 42＋…＋a 60)＝3(a 21＋a 22＋…＋a 40)＝0.
6．B
7．解：∵a 2＝3，a 3＝－13，∴d ＝a 3－a 2＝－16. ∴a 1＝a 2－d ＝19.
∵a 2>0，a 3>0，且d <0，
∴S n 的最大值为S 2＝a 1＋a 2＝19＋3＝22. 8．B 9.C
10．解：∵a 1＝S 1＝32×1－12＝31， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝33－2n .
又由a n ＞0，得n ＜16.5，即{a n }前16项为正，以后皆负．
∴当n ≤16时，S n ′＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝32n －n 2；
当n ＞16时，S n ′＝a 1＋…＋a 16－a 17－a 18－…－a n ＝S 16－(S n －S 16)＝2S 16－S n ＝512－32n ＋n 2.
∴S n ′＝?
????
32n －n 2
(n ≤16)，
512－32n ＋n 2
(n >16).
2．4 等比数列
2．4.1 等比数列的定义及通项公式 1．A 2.C 3.C 4.B 5.A 6.B
7．解：设所求的四个数分别为a ，x －d ，x ，x ＋d ，
则????
?
(x －d )2
＝ax ， ①a ＋(x －d )＋x ＝19， ②(x －d )＋x ＋(x ＋d )＝12. ③
解得x ＝4.代入①②，得?
????
(4－d )2
＝4a ，
a －d ＝11.
解得????? a ＝25，d ＝14或?????
a ＝9，
d ＝－2.
故所求四个数为25，－10,4,18或9,6,4,2. 8．B 9.16
10．证明：∵2a n ＋1＝????1＋1
n 2·a n ， ∴a n ＋1＝1
2·????1＋1n 2·a n . ∴a n ＋1()n ＋12＝12·????1＋1n 2
()n ＋12·a n ＝12·a n
n
2. 因此数列????
??a n n 2是以首项为a 112＝1，公比为1
2的等比数列．
∴a n n 2＝1·????12n －1＝12n －1，即a n ＝n
2
2n －1.
2．4.2 等比数列的性质 1．A 2.A 3.D 4.C 5.C 6.14 解析：a 1a 5＝12?a 23＝12，a 2a 23a 4＝a 43＝14. 7．解：因为a 7a 11＝a 4a 14＝6，又a 4＋a 14＝5，
所以????? a 4＝2，a 14＝3或?????
a 4＝3，a 14＝2. 所以a 20a 10＝q 10＝a 14a 4.所以a 20a 10＝32或a 20a 10＝23
.
8．20 解析：log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·…·a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝5log 381＝5×4＝20.
9．C 解析：由已知，得y ＝2×162＝18. 10．解：(1)数列{a n }是等差数列．证明如下： ∵b n ＝2a n ，∴log 2b n ＝a n .∴a n －1＝log 2b n －1(n ≥2)．
∴a n －a n －1＝log 2b n
b n －1
.
∵数列{b n }为等比数列， ∴b n b n －1为常数，log 2b n b n －1也为常数． ∴数列{a n }为等差数列． (2)∵b n ＝2a n ，
∴b 1·b 2·b 3·…·b 20＝2a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20.
由(1)知：{a n }为等差数列，且a 8＋a 13＝1
2
，
∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20＝10(a 8＋a 13)＝5. ∴b 1·b 2·b 3·…·b 20＝25＝32.
2．5 等比数列的前n 项和 2．5.1 等比数列的前n 项和
1．B 2.C 3.D 4.B 5.D 6.2 2n ＋
1－2 7．解：(1)由已知a 1＝1，a 4＝8， ∴a 1q 3＝8，易得q ＝2.
∴a 2＝2n －
1.
(2)∵S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1－2n 1－2＝2n
－1.
8.15
2 9.11或1－a 111－a
10．解：(1)依题意，得a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2) 由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0.
又q ≠0，从而q ＝－1
2
.
(2)由已知，可得a 1－a 1???
?－1
22＝3，故a 1＝4. 从而S n ＝4????1－????－12n 1－???
?－12＝83????
1－????－12n .
2．5.2 等比数列前n 项和的性质 1．C 2.D 3.B 4.B 5.D
6．B 解析：由a 5a 6＋a 4a 7＝18，得a 5a 6＝9.所以log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·…·a 10)＝log 3(a 5·a 6)5＝log 395＝log 3310＝10.
7．解：∵q ＝2，
∴S 4＝a 1(1－24)1－2＝15a 1.
∴S 4a 2＝15a 12a 1＝152
. 8．63 解析：在等比数列{a n }中，(S 12－S 6)2＝S 6·(S 18－S 12)，
∴S 18＝(S 12－S 6)2S 6＋S 12＝(60－48)
2
48
＋60＝63.
9.56
10．解：设数列{a n }共有2n 项，则
(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n )＝4(a 2＋a 4＋…＋a 2n )． 显然q ≠1，且a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1 ＝3(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n )． ∴a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1＝13
，即q ＝13.
又a 2·a 4＝9(a 3＋a 4)，∴a 21q 4＝9a 1q 2
(1＋q )，∴a 1＝108.
∴a n ＝108·????13n －1＝43n
－4.
2．6 数列求和
1．D 2.D 3.C 4.B
5．A 解析：由a 5＝5，S 5＝15，得a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝1＋(n －1)＝n .故
1a n a n ＋1＝
1
n (n ＋1)
＝1n －1n ＋1.又1a 1a 2＋…＋1a 100a 101＝11－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.故选A. 6．C 解析：由a 24＝a 3a 7，得
(a 1＋3d )2
＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )． 则2a 1＋3d ＝0.
再由S 8＝8a 1＋56
2
d ＝32，得2a 1＋7d ＝8.
则d ＝2，a 1＝－3.
所以S 10＝10a 1＋90
2
d ＝60.
7．解：∵1n (n ＋2)＝12?
???1
n －1n ＋2，
∴S n ＝1
2????????1－13＋????12－14＋…＋????1n －1n ＋2 ＝12????1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－12n ＋2－1
2n ＋4.
8．A 解析：由1＋2＋…＋n ＜100，即n (n ＋1)＜200，得n ≤13.当n ＝13时，
n (n ＋1)
2
＝91，∴????1＋12＋12＋13＋13＋13＋…＋113＋114＋114＋…＋114＝13＋914
. 9．解：(1)S 4＝4
2
(a 1＋a 4)＝2(a 2＋a 3)＝26，
又∵a 2a 3＝40，d >0，∴a 2＝5，a 3＝8，d ＝3. ∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝3n －1.
(2)∵b n ＝1a n ·a n ＋1＝1
(3n －1)(3n ＋2)
＝13???
?1
3n －1－13n ＋2， ∴T n ＝13????????12－15＋????
15－18＋…＋????13n －1－13n ＋2
＝13????12－13n ＋2＝n
2(3n ＋2). 10．解：(1)∵S 1＝a 1，
∴当n ＝1时，2a 1－a 1＝S 1·S 1.又∵a 1≠0，∴a 1＝1.
当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －a 1S 1－2a n －1－a 1
S 1
＝2a n －2a n －1?a n ＝2a n －1?{a n }是首项为
a 1＝1，公比为q ＝2的等比数列，即a n ＝2n －
1，n ∈N *.
(2)令T n ＝1·a 1＋2·a 2＋3·a 3＋…＋n ·a n ?qT n ＝1·qa 1＋2·qa 2＋3·qa 3＋…＋n ·qa n ?qT n ＝1·a 2＋2·a 3＋3·a 4＋…＋n ·a n ＋1. 上式左右错位相减，得
(1－q )T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －na n ＋1
＝a 11－q n 1－q
－na n ＋1＝2n －1－n ·2n
?T n＝(n－1)·2n＋1，n∈N*.
数列单元测试题 命题人：张晓光 一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符号题目要求的。) 1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 2 2 ＝1，则数列{a n }的公差是( ) A.1 2 B ．1 C ．2 D ．3 2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( ) A.a 5a 3 B.S 5 S 3 C.a n ＋1a n D.S n ＋1S n 3．设数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋a n ＋1＝2，则a 2011的值为( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－2 4．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13 (a 5＋a 7＋a 9)的值是 ( ) A ．－5 B ．－15 C ．5 D.15 5．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n 为正偶数 时，n 的值可以是( ) A ．1 B ．2 C ．5 D ．3或11 6．各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，1 2a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5 的值为( ) A.1－52 B.5＋12 C.5－12 D.5＋12或5－12 7．已知数列{a n }为等差数列，若a 11 a 10 <－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大 值n 为( ) A ．11 B ．19 C ．20 D ．21 8．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－1 2 ，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ， 则Πn 中最大的是( ) A ．Π11 B ．Π10 C ．Π9 D ．Π8 9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 5，a m ＝2011，则m ＝( ) A ．1004 B ．1005 C ．1006 D ．1007 10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝6n －4，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，则在数列{a n }的前 100项中与数列{b n }中相同的项有( ) A ．50项 B ．34项 C ．6项 D ．5项 二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．已知数列{a n }满足：a n ＋1＝1－1 a n ，a 1 ＝2，记数列{a n }的前n 项之积为P n ，则P 2011＝________. 12．秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n }， 已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．
________ 高二数学必修 5 数列单元测试 一、选择题： 时间 120 分钟 满分 100 分 3 分，共 30 分 . ） （本大题共 10 小题，每小题 1. 在数列－ 1， 0， 1 ， 1 ， ， n 2 中，是它的 9 8 n 2 A ．第 100 项 B ．第 12 项 C ．第 10项 D ．第 8项 2. 在数列 { a n } 中， a 1 2 ， 2a n 1 2a n 1，则 a 101 的值为 A ． 49 B ． 50 C ． 51 D ．52 3. 等差数列 { a n } 中， a 1 a 4 a 7 39 ， a 3 a 6 a 9 27 ，则数列 { a n } 的前 9 项的和等于 A ． 66 B ． 99 C ． 144 D ． 297 4. 设数列 {a n } 、 {b n } 都是等差数列，且 a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100，那么 a n +b n 所组成的数列的第 37 项的值是 ( ) .37 C 5．已知－ 7， a 1， a 2，－ 1 四个实数成等差数列，－ 4， b 1， b 2， b 3，－ 1 五个实数成等比数列，则 a 2a 1 = b 2 A ． 1 B ．－ 1 C ． 2 D ．± 1 6. 等比数列 {a n } 中，前 n 项和 S n =3n +r ，则 r 等于 ( ) .0 C 7．已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S 1 5 9 13 17 21 ( 1) n 1 (4n 3) , n 则 S 15 S 22 S 31 的值是（ ） A. -76 B. 76 C. 46 D. 13 8． 6．已知等差数列 {a n } 的公差 d ≠0, 若 a 5、a 9、 a 15 成等比数列 , 那么公比为 A ． 3 B ． 2 C ． 3 D ． 4 4 3 2 3 9．若数列 { a } 是等比数列 , 则数列 { a +a } n n n+1 A ．一定是等比数列 C ．一定是等差数列 10．等比数列 {a n } 中， a 1 =512，公比 q= 1 2 B ．可能是等比数列 , 也可能是等差数列 D ．一定不是等比数列 ，用Ⅱ n 表示它的前 n 项之积：Ⅱ n =a 1 · a 2 a n 则Ⅱ 1 ，Ⅱ 2 ， ，中最大的是 A ．Ⅱ 11 B ．Ⅱ 10 C ．Ⅱ 9 D ．Ⅱ 8 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、填空题 ：( 本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20分。) 11．在数 {a n } 中，其前 n 项和 S n =4n 2－ n － 8，则 a 4= 。 12. 设 S n 是等差数列 a 5 5 S 9 的值为 ________. a n 的前 n 项和，若 ，则 S 5 13．在等差数列 { a } 中，当 a ＝ a a 3 9 { a } 中，对某些正整数 r 、s ( r ≠ s ) ，当 a ( r ≠ s ) 时， { a } 必定是常数数列。然而在等比数列 r n r s n n ＝a s 时，非常数数列 { a n } 的一个例子是 ____________． 14. 已知数列 1, ，则其前 n 项的和等于 。 15. 观察下列的图形中小正方形的个数，则第 n 个图中有 个小正方形 . 三、解答题：（本大题共 5 小题，共 50 分。解答应写出文字说明，或演算步骤） 16. （本小题满分 8 分）已知 a n 是等差数列，其中 a 1 25, a 4 16
绝密★启用前 高中数学必修五综合考试卷 第I卷（选择题） 一、单选题 1．数列的一个通项公式是（） A．B． C．D． 2．不等式的解集是（） A．B．C．D． 3．若变量满足，则的最小值是（） A．B．C．D．4 4．在实数等比数列{a n}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于( ) A．8B．－8C．±8D．以上都不对 5．己知数列为正项等比数列，且，则（）A．1B．2C．3D．4 6．数列 1111 1,2,3,4, 24816 L前n项的和为（） A． 2 1 22 n n n + +B． 2 1 1 22 n n n + -++C． 2 1 22 n n n + -+D． 2 1 1 22 n n n + - -+ 7．若的三边长成公差为的等差数列，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为（） A．B．C．D． 8．在△ABC中，已知,则B等于( ) A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120° 9．下列命题中正确的是( ) A．a＞b?ac2＞bc2B．a＞b?a2＞b2 C．a＞b?a3＞b3D．a2＞b2?a＞b 10．满足条件，的的个数是( ) A．1个B．2个C．无数个D．不存在
11．已知函数满足：则应满足（）A．B．C．D． 12．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，且成等比数列，则为（）A．-2B．-3C．2D．3 13．等差数列的前10项和，则等于（） A．3 B．6 C．9 D．10 14．等差数列的前项和分别为，若，则的值为（）A．B．C．D． 第II卷（非选择题） 二、填空题 15．已知为等差数列，且－2＝－1,＝0,则公差= 16．在中，，，面积为，则边长=_________. 17．已知中，，，，则面积为_________. 18．若数列的前n项和，则的通项公式____________ 19．直线下方的平面区域用不等式表示为________________． 20．函数的最小值是_____________． 21．已知，且，则的最小值是______． 三、解答题 22．解一元二次不等式 （1）（2） 23．△的角、、的对边分别是、、。 （1）求边上的中线的长；
高中数学必修5数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足 1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+=Q . （2）证明：由已知1 13--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---Λ 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++=L ， 所以证得312n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{ }n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{ }n b 的各项为正， 其前n 项和为n T ，且315T =，又112233 ,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{ }n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式， 可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=.
必修五数列复习综合练习题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.2011是等差数列：1，4，7，10,…的第几项( ) （A ）669 （B ）670 （C ）671 （D ）672 2.数列{a n }满足a n =4a n-1+3,a 1=0，则此数列的第5项是（ ） （A ）15 （B ）255 （C ）20 （D ）8 3.等比数列{a n }中，如果a 6=6,a 9=9,那么a 3为（ ） （A ）4 （B ）2 3 （C ） 9 16 （D ）2 4.在等差数列{a n }中，a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,则a 20=( ) （A ）-1 （B ）1 （C ）3 （D ）7 5.在等差数列{a n }中，已知a 1=2,a 2+a 3=13,则a 4+a 5+a 6=( ) （A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45 6.记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2=4，S 4=20，则该数列的公差d=（ ） (A)2 (B)3 (C)6 (D)7 7.等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1=1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是（ ） （A ）90 （B ）100 （C ）145 （D ）190 8.在数列{a n }中，a 1=2,2a n+1-2a n =1,则a 101的值为（ ） （A ）49 （B ）50 （C ）51 （D ）52
9.计算机是将信息转化成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如 （1101）2表示二进制的数，将它转化成十进制的形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数16111???位 转换成十进制数的形式是（ ） （A ）217-2 （B ）216-1 （C ）216-2 （D ）215-1 10.在等差数列{a n }中，若a 1+a 2+a 3=32,a 11+a 12+a 13=118,则a 4+a 10=（ ） （A ）45 （B ）50 （C ）75 （D ）60 11.（2011·江西高考）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n +S m =S n+m ,且a 1=1,那么a 10=（ ） （A ）1 （B ）9 （C ）10 （D ）55 12.等比数列{a n }满足a n >0,n=1,2,…，且a 5·a 2n-5=22n (n ≥3),则当n ≥1时，log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1=（ ） （A ）n(2n-1) （B ）(n+1)2 （C ）n 2 （D ）(n-1)2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上） 13.等差数列{a n }前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和 为______. 14.（2011·广东高考）已知{a n }是递增等比数列，a 2=2,a 4-a 3=4,则此数列的公比q=______. 15.两个等差数列{a n },{b n }, 12n 12n a a a 7n 2 b b b n 3 ++?++= ++?++,则55a b =______. 16.设数列{a n }中,a 1=2,a n+1=a n +n+1，则通项a n =_____.
必修5数列 2．等差数列{}n a 中，()46810129111120,3 a a a a a a a ++++=-则的值为 A ．14 B ．15 C ．16 D ． 17 3．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前项的和最大． 解：0912129=-=S S S S ， 10111211111030,00a a a a a a ∴++=∴=∴=>， ，又 4．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为． 解：∵ ，，， ，，1001102030102010S S S S S S S --- 成等差数列，公差为D 其首项为10010=S ， 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，，． ①求出公差d 的范围； ②指出1221S S S ，， ， 中哪一个值最大，并说明理由． 解：①)(6)(610312112a a a a S + =+=36(27)0a d =+> ② 12671377666()013000 S a a S a a a S =+>=<∴<>∴， 最大。 1． 已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，===+等于() A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 794121215a a a a a +=+∴= A 2． 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-==． 54
3． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则． 4． 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知50302010==a a ，． ①求通项n a ；②若n S =242，求n ． 解：d n a a n )1(1-+= 1 1 10201930 123050 21019502 n a d a a a a n a d d +==??==∴∴=+??+==??，解方程组 5．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m ，以后每分钟比前一分 钟多走1m ，乙每分钟走5m ，①甲、乙开始运动后几分钟相遇?②如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么，开始运动几分钟后第二次相遇? 故第一次相遇是在开始运动后7分钟． 故第二次相遇是在开始运动后15分钟 10．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(2 1 -++= n n a n S ． ①求证：数列{}n a 是等差数列； ②求数列{}n a 的通项公式； ③设数列? ?? ?? ? +11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立? 若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由． 12122(1)(1)() 2n n n n n n n a n a a a a a ++++∴+=++∴=+∴数列{}n a 为等差数列． ②1)1(311-+==+n n a n na a ，
第2章 数 列(A) (时间：120分钟 满分：160分) 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 011，则序号n 等于________． 2．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12＝________. 3．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为________． 4．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于________． 5．已知在等差数列{a n }中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为______． 6．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4＝________. 7．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q ＝________. 8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝________. 9 10．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是______秒． 11．已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10 ＝________. 12．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 取到最大值的n 是________． 13．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56 是数列中的第________项． 14．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1a 100－1 <0.给出下列结论：①01成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是______．(填写所有正确的序号) 二、解答题(本大题共6小题，共90分) 15．(14分)已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0. (1)求{a n }的通项公式； (2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式． 16．(14分)已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n . 17．(14分)已知数列{log 2(a n －1)} (n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n <1. 18．(16分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n . (1)设b n ＝a n 2 n －1.证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和． 19．(16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝12 S n (n ＝1,2,3，…)． (1)求数列{a n }的通项公式；
一、知识纲要 (1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项． (5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法． 二、方法总结 1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想． 2．等差、等比数列中，1a 、n a 、n 、)(q d 、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法． 3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等． 三、知识内容： 1.数列 数列的通项公式：?? ?≥-===-)2() 1(111n S S n S a a n n n 数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321 1、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、有穷数列：项数有限的数列． 4、无穷数列：项数无限的数列． 5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 7、常数列：各项相等的数列． 8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列 {}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 10、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 例1.已知数列{}n a 的前n 项和为n n S n -=2 2,求数列{}n a 的通项公式. 当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适 合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 2.等差数列 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 等差数列的判定方法: （1）定义法：对于数列 {}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。 （2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。 等差数列的通项公式： 如果等差数列 {}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。 说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。 等差数列的前n 项和：①2)(1n n a a n S += ②d n n na S n 2 ) 1(1-+ = 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。 等差中项： 如果a ， A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2 b a A += 或b a A +=2 说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 等差数列的性质： （1）等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有 d m n a a m n )(-+=
数学必修5等差数列练习题 一、选择题：(每题5分，共40分) 1．记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公差d =（ ） A 、2 B 、3 C 、6 D 、7 2．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ） A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 3．若等差数列的前5项和，且，则（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 4．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138 B ．135 C ．95 D ．23 5．已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ）A ．165 - B ．33- C ．30- D ．21- 6．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（ ） （A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45 7．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ） A.130 B.170 C.210 D.260 8．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ） A.5 B.4 C. 3 D.2 二、填空题：(每题5分，共20分) 1．已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = ___________ 2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12=-8,S 9=-9,则S 16= . 3．在△ABC 中，若三内角成等差数列，则最大内角与最小内角之和为_____ . 4．在数列}{n a 中，31=a 0,(2,)n n N =≥∈，则n a = 三、解答题(每题10分，共40分) 1．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，求 S 6S 12 的值。 2．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390， 求这个数列的项数n 。 {}n a 525S =23a =7a =
数列 1. 等差数列 通项公式：1(1),n a a n d n *=+-∈N 等差中项：如果2 a b A += ，那么A 是a 与b 的等差中项 前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 若n a 是等差数列，且k l m n +=+，则k l m n a a a a +=+ ? 等差数列的通项求法应该围绕条件结合1,a d ，或是利用特殊项。 ? 等差数列的最值问题求使0(0)n n a a ≥≤成立的最大n 值即可得n S 的最值。 例1.{}n a 是等差数列，538,6a S ==，则9a =_________ 解析：513113248,33362 a a d S a d a d ?=+==+ =+=，解得10,2a d ==，916a = 例2.{}n a 是等差数列，13110,a S S >=，则当n 为多少时，n S 最大？ 解析：由311S S =得1213 d a =- ，从而 21111(1)249()(7)2131313n a n n S na a n a -=+?-=--+，又10a >所以1013 a -< 故7n = 2. 等比数列 通项公式：11(0)n n a a q q -=≠ 等比中项：2G ab = 前n 项和：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??=--?=≠?--? 若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+，则m n p q a a a a ?=? 例.{}n a 是由正数组成的等比数列，2431,7a a S ==，则5S =__________
高二数学知识点总结高二数学必修5等比数列 知识点总结 等比数列在人们的日常生活中运用比较广泛，也是高二数学课本重点知识点，下面是WTT给大家带来的高二数学必修5等比数列知识点总结，希望对你有帮助。 高二数学必修5等比数列知识点 高二数学学习方法 (1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。 (2)建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 (3)熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。 (4)经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然;经常对习题进行类化，由
一例到一类，由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。 (5)阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。 (6)及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。 (7)学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。 (8)经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。 (9)无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。 看了“高二数学必修5等比数列知识点总结”的人还看了： 1.高二数学等比数列公式归纳 2.高中数学必修五等比数列及其前n项和知识点总结 3.高二数学必修5等差数列知识点 4.高中数学必修5等比数列练习 5.高一数学必修5等比数列的前n项和知识点总结
高一数学必修五第二章 数列 测试题 一.选择题（每小题5分，共60分） 1、已知数列｛n a ｝的通项公式)(43*2N n n n a n ∈--=,则4a 等于 ( ). A 、1 B 、 2 C 、 0 D 、 3 2、在等比数列{n a }中,已知91 1=a ,95=a ，则=3a ( ) A 、1 B 、3 C 、1± D 、±3 3、等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ） A 、81 B 、120 C 、168 D 、192 4、数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（ ） A 、n a =n 2-(n-1) B 、n a =n 2 -1 C 、n a =2)1(+n n D 、n a =2) 1(- n n 5、已知等差数列{}n a 中,288a a +=,则该数列前9项和9S 等于( ) A 、18 B 、27 C 、36 D 、45 6、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a = （ ） A 、8 B 、7 C 、6 D 、5 7、已知数列3,3,15,…,)12(3-n ,那么9是数列的 （ ） A 、第12项 B 、第13项 C 、第14项 D 、第15项 8、等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和是( ) A 、130 B 、170 C 、210 D 、260 9、设{}n a 是等差数列，1359a a a ++=，69a =，则这个数列的前6项和等于（ ） Ａ、12 Ｂ、24 Ｃ、36 Ｄ、48 10、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ） A 、5 B 、4 C 、3 D 、2 11、已知数列 2 、 6 、10 、14 、3 2 …那么7 2 是这个数列的第几项（ ） A 、23 B 、24 C 、19 D 、25
必修5 数列 单元测试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1．S n 是数列{a n }的前n 项和，log 2S n ＝n (n ＝1,2,3，…)，那么数列{a n }( ) A ．是公比为2的等比数列 B ．是公差为2的等差数列 C ．是公比为1 2的等比数列 D ．既非等差数列也非等比数列 2．一个数列{a n }，其中a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 5＝( ) A ．6 B ．－3 C ．－12 D ．－6 3．首项为a 的数列{a n }既是等差数列，又是等比数列，则这个数列前n 项和为( ) A ．a n －1 B ．Na C ．a n D ．(n －1)a 4．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为( ) A ．63 B ．64 C ．127 D ．128 5．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)的值等于( ) A ．－8 B ．8 C ．－9 8 D.98 6．在－12和8之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成和为－10的等差数列，则n 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线的斜率为( ) A ．4 B.1 4 C ．－4 D ．－14 8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19＝( ) A ．55 B ．95 C ．100 D ．190 9．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＋a 4＋a 15是一个确定的常数，则在数列{S n }中也是确定常数的项是( ) A ．S 7 B ．S 4 C ．S 13 D ．S 16 10．等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝31，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝62，则通项是( ) A ．2 n －1 B ．2 n C ．2 n ＋1 D ．2 n ＋2 11．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是( ) A ．4或5 B ．5或6 C ．6或7 D ．不存在
等差数列测试题 一、选择题（每小题5分，共40分） 1.设数列11,22,5,2，……则25是这个数列的 ( ) A.第六项 B.第七项 C.第八项 D.第九项 2.在-1和8之间插入两个数a ,b ，使这四个数成等差数列，则 ( ) A. a =2，b =5 B. a =-2，b =5 C. a =2，b =-5 D. a =-2，b =-5 3.首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( ) A.d ＞83 B.d ＞3 C.83≤d ＜3 D.83 ＜d ≤3 4．等差数列}{n a 共有n 2项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且3312-=-a a n ，则该数列的公差为 ( ) A ．3 B ．-3 C ．-2 D ．-1 5．在等差数列}{n a 中，,0,01110>，则在n S 中最大的负数为 ( ) A ．17S B ．18S C ．19S D ．20S 6.等差数列{a n }中，a 1=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是: ( ) A.a 11 B.a 10 C.a 9 D.a 8 7.设函数f (x )满足f (n +1)= 2)(2n n f +(n ∈N *)且f (1)=2,则f (20)为 ( ) A.95 B.97 C.105 D.192 8．已知无穷等差数列{a n }，前n 项和S n 中，S 6S 8 ,则 ( ) A ．在数列{a n }中a 7最大 B ．在数列{a n }中,a 3或a 4最大 C ．前三项之和S 3必与前11项之和S 11相等 D ．当n ≥8时，a n <0 二、填空题（每小题6分，共30分） 9．集合{}*6,,且60M m m n n N m ==∈<中所有元素的和等于_________. 10．在等差数列{}n a 中，37104118,14.a a a a a +-=-=-记123n n S a a a a =++++L ，则13S =_____
必修五阶段测试二(第二章 数列) 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2017·山西朔州期末)在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，且a 3a 7＝4a 4，则a 8等于( ) A ．16 B ．32 C ．－16 D ．－32 2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝????? 3n ＋1(n 为奇数)，2n －2(n 为偶数)，则a 2·a 3等于( ) A ．8 B ．20 C ．28 D ．30 3．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 3＝b 3，2b 3－b 2b 4＝0，则数列{a n }的前5项和S 5为( ) A ．5 B ．10 C ．20 D ．40 4．(2017·山西忻州一中期末)在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( ) A ．102 B.9658 C.9178 D ．108 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ) A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．等差数列{a n }中，a 10<0, a 11>0, 且a 11>|a 10|, S n 是前n 项的和，则( ) A ．S 1, S 2, S 3, …， S 10都小于零，S 11，S 12，S 13，…都大于零 B ．S 1，S 2，…，S 19都小于零，S 20，S 21，…都大于零 C ．S 1，S 2，…，S 5都大于零，S 6，S 7，…都小于零 D ．S 1，S 2，…，S 20都大于零，S 21，S 22，…都小于零 7．(2017·桐城八中月考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )，且S 25＝100，则a 12＋a 14等于( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．不确定 8．(2017·莆田六中期末)设{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0 C ．S 9>S 5 D ．S 6和S 7均为S n 的最大值 9．设数列{a n }为等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是前n 项和，则( ) A ．S 4＜S 5 B ．S 6＜S 5 C ．S 4＝S 5 D ．S 6＝S 5 10．(2017·西安庆安中学月考)数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，且1a n －1＋1a n ＋1＝2a n (n ∈N *，n ≥2)，则a 6等于( )
m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m n n n m n n n n --=--=--=-+=-+==-+1 ; )1()()1(1 111变式：推广：通项公式：递推关系：必修5 数列 二、等差数列 知识要点 1．数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系 ∑==++++=n i i n n a a a a a S 1321 ?? ?≥-==-2 111n S S n S a n n n 2．递推关系与通项公式 ()1(),(),,n n a dn a d a f n kn b k b =+-==+特征：即：为常数 (),,n a kn b k b =+为常数?数列{}n a 成等差数列． 3．等差中项： 若c b a ,,成等差数列，则b 叫做c a 与的等差中项，且2c a b += ；c b a ,,是等差数列?c a b +=2． 4．前n 项和公式：2)(1n a a S n n += ； 2 )1(1d n n na S n -+= 221(),()22 n n d d S n a n S f n An Bn =+-==+特征：即 2,(,)n S An Bn A B =+为常数?数列{}n a 成等差数列． 5．等差数列{}n a 的基本性质),,,(* ∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若，反之不成立； ⑵d m n a a m n )(-=-； ⑶m n m n n a a a +-+=2； ⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列． 6．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：()()1n n a a d n N *+-=∈常数 ?{}n a 是等差数列