江苏省2017年高考一轮复习专题突破训练
导数及其应用
一、填空题
1、（无锡市2016届高三上期末）过曲线1
(0)y x x x
=-
>上一点00(,)P x y 处的切线分别与x 轴，y 轴交于点A 、B ，O 是坐标原点，若OAB ?的面积为1
3
，则0x =
2、（2014年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线),(y 2
为常数b a x
b ax +=过点
)5,2(P -，且该曲线在点P 处的切线与直线0327x =++y 平行，则b a +的值是 ▲ ．
3、（2013年江苏高考）抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部与边界）。若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 。
4、（南通市2016届高三一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线)0(2>=x x y 和
)0(3>=x x y 均相切，切点分别为),(11y x A 和),(22y x B ,则
2
1
x x 的值是 5、函数f(x) =xe x 在点A(0，f(0))处的切线斜率为＿＿＿＿ 6、已知函数3
21()13
f x x x ax =
+++，若函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增，则实数a 的取值范围是
7、过曲线C ：y=x x ln 上点（1，()1f ）处的切线方程为 。
8、设函数32()1f x x ax x =-+-在点(1，f (1))的切线与直线x + 2y －3 = 0垂直，则实数a 等于＿＿
9、（苏锡常镇四市2015届高三教学情况调研（一））若曲线321:612C y ax x x =-+与曲线
2:e x C y =在1x =处的两条切线互相垂直，则实数a 的值为 10、（2015届江苏苏州高三9月调研）函数()32
1122132
f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限的充要条件是 ▲
11、（常州市2015届高三上期末）曲线cos y x x =-在点22p p ?? ???
，处的切线方程为 ▲
12、（常州市武进区2015届高三上学期期中考试）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，
(2)0f -=，且0x >时，()()0f x xf x '+>，则不等式()0>xf x 的解集是 ▲
二、解答题
1、（2016年江苏高考）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠. （1）
设a =2,b =
1
2
. ①
求方程()f x =2的根;
②若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值； （2）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值.
2、（2015年江苏高考）已知函数32
()f x x ax b =++(,)a b R ∈，
（1）试讨论()f x 的单调性，
（2）若b c a =-（实数c 是与a 无关的常数），当函数()f x 有3个不同的零点时，a 的取值范围恰好是3
3(,3)(1,)(,)22
-∞-+∞U U ，求c 的值。
3、（2014年江苏高考）已知函数()f x =错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。 ，
其中e 是自然对数的底数。
（1）证明：()f x 是R 上的偶函数；
（2）若关于x 的不等式m ()f x 错误！未找到引用源。+m 错误！未找到引用源。1在（0，+错误！未找到引用源。）上恒成立，求实数m 的取值范围；
（3）已知正数a 满足:存在x 0错误！未找到引用源。 [1，+错误！未找到引用源。），使得
0(x )
f
错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。x 0 3 +3x 0）成立，试比较 错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。的大小，并证明你的结论。
4、（南京市2016届高三三模）设函数f (x )＝－x 3＋mx 2－m (m ＞0)．
（1）当m ＝1时，求函数f (x )的单调减区间；
（2）设g (x )＝|f (x )|，求函数g (x )在区间[0，m ]上的最大值；
（3）若存在t ≤0，使得函数f (x )图象上有且仅有两个不同的点，且函数f (x )的图象在这两点处的两条切线都经过点(2，t )，试求m 的取值范围．
5、（南通市2016届高三一模）已知函数)(ln )(R a x x a x f ∈+
=
（1）求函数)(x f 的单调区间；
（2）试求函数)(x f 的零点个数，并证明你的结论。
6、（苏锡常镇四市市2016届高三二模）已知函数2()e x f x a x bx =?+-（a b ∈R ，，
e 2.71828= 是自然对数的底数），其导函数为()y
f x '=．
（1）设1a =-，若函数()y f x =在R 上是单调减函数，求b 的取值范围； （2）设0b =，若函数()y f x =在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围；
（3）设2b =，且0a ≠，点()m n ，（m ，n ∈R ）是曲线()y f x =上的一个定点，是否
存在实数0x （0x m ≠），使得000()(
)()2
x m
f x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．
7、（镇江市2016届高三一模）已知函数f (x )＝[a x 2－(2a ＋1)x ＋2a ＋1]e x . (1) 求函数f (x )的单调区间； (2) 设x>0，2a ∈[3，m ＋1]，f (x )≥b 2a －1
1a
e 恒成立，求正数b 的范围．
8、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）已知函数
]42)4(23
1
[)(23--++-=a x a x x e x f x ，其中R a ∈，e 为自然对数的底数
（1）若函数)(x f 的图像在0=x 处的切线与直线0=+y x 垂直，求a 的值．
（2）关于x 的不等式x
e x
f 3
4
)(-<在)2,(-∞上恒成立，求a 的取值范围． （3）讨论)(x f 极值点的个数．
9、（南京、盐城市2016届高三上期末）已知函数()x
ax
f x e =
在0x =处的切线方程为y x =. （1）求a 的值；
（2）若对任意的(0,2)x ∈，都有2
1
()2f x k x x
<
+-成立，求k 的取值范围； （3）若函数()ln ()g x f x b =-的两个零点为12,x x ，试判断12
()2
x x g +'的正负，并说明理由.
10、（苏州市2016届高三上期末）已知函数()e (21)x f x x ax a =--+（a ∈R ），e 为自然对数的底数．
（1） 当a ＝1时，求函数()f x 的单调区间；
（2） ①若存在实数x ，满足()0f x <，求实数a 的取值范围；
②若有且只有唯一整数0x ，满足0()0f x <，求实数a 的取值范围．
11、（泰州市2016届高三第一次模拟）已知函数()4
2
12
f x ax x =-
，(0,)x ∈+∞，()()()g x f x f x '=-．
（1）
若0a >，求证：
（ⅰ）()f x 在()f x '的单调减区间上也单调递减； （ⅱ）()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点；
若1a >，记()g x 的两个零点为12,x x ，求证：1244x x a <+<+．
12、（扬州中学2016届高三4月质检）
已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）. （1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；
（2）设a ＞0，问是否存在0(1,)3
a
x ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值
范围；若不存在，请说明理由；
（3）记函数()[()1][()1]H x f x g x =-?-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围. 参考答案 一、填空题 1
2、【答案】
2
1
【提示】根据P 点在曲线上，曲线在点P 处的导函数值等于切线斜率，2
'
2x b ax y -
=，27-=k ，将)5,2(-P 带入得???
????
-=-+=-2744245b a b a ，解得?????=-=22
3b a ，则21=+b a 3、解：本题主要考察导数的几何意义及线性规划等基础知识。
x y 2'= ∴21
'
===x y k ∴切线方程为)1(21-=-x y
与x 轴交点为)0,2
1
(A ，与y 轴交点为)1,0(-B , 当直线y x z 2+=过点)0,21(A 时02
1max +=
z 当直线y x z 2+=过点)1,0(-B 时2)1(20min -=-?+=z ∴y x 2+的取值范围是??
???
?-2
1,2
x
4、【答案】4
3
．
【命题立意】本题旨在考查导数的概念，函数的切线方程．考查运算能力，推理论证能力及灵活运用数学知识能力，难度中等.
【解析】由题设函数y ＝x 2在A (x 1，y 1)处的切线方程为：y ＝2x 1 x －x 12， 函数y ＝x 3在B (x 2，y 2)处的切线方程为y ＝3 x 22 x －2x 23．
所以???2x 1＝3x 22x 12＝2x 2
3，解之得：x 1＝3227，x 2＝89． 所以
x 1x 2＝4
3
． 5、1 6、［1，)+∞ 7、1y x =- 8、1 9、13e - 10、63516
a -<<- 11、202x y p
--= 12、()()2,02,-+∞
二、解答题
1、解：（1）因为12,2
a b ==，所以()22x x
f x -=+. ①方程()2f x =，即22
2x
x
-+=，亦即2(2)2210x x -?+=，
所以2
(21)0x
-=，于是21x
=，解得0x =. ②由条件知2222(2)2
2(22)2(())2x
x x x f x f x --=+=+-=-.
因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立，且()0f x >，
所以2(())4
()
f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.
而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=，且
2((0))44(0)f f +=， 所以4m ≤，故实数m 的最大值为4.
（2）因为函数()()2g x f x =-只有1个零点，而00
(0)(0)220g f a b =-=+-=， 所以0是函数()g x 的唯一零点.
因为'()ln ln x x
g x a a b b =+，又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>， 所以'
()0g x =有唯一解0ln log ()ln b a
a
x b
=-
.
令'()()h x g x =，则''22
()(ln ln )(ln )(ln )x x x x h x a a b b a a b b =+=+，
从而对任意x R ∈，'
()0h x >，所以'
()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数， 于是当0(,)x x ∈-∞，''0()()0g x g x <=；当0(,)x x ∈+∞时，''0()()0g x g x >=. 因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数，在0(,)x +∞上是单调增函数. 下证00x =. 若00x <，则0002x x <<，于是0()(0)02
x
g g <=， 又log 2
log 2log 2(log 2)220a a a a g a
b a =+->-=，
且函数()g x 在以0
2
x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不间断，所以在0
2
x 和log 2a 之间存在()g x 的零点，记为1x . 因为01a <<，所以log 20a <，又
02
x <，所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾. 若00x >，同理可得，在02
x
和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点，矛盾.
因此，00x =. 于是ln 1ln a
b
-
=，故ln ln 0a b +=，所以1ab =. 2、解：（1）令2
'()32f x x ax =+0=得到20,3
a x x ==-
， ①当0a =时，'()0f x ≥恒成立，()f x 在定义域内单调递增； ②当0a <时，2(,0)(,)3a x ∈-∞-
+∞U 时'()0,()f x f x >↑，2(0,)3
a
x ∈-时，'()0f x <，()f x ↓；
③当0a >时，2(,)(0,)3a x ∈-∞-
+∞U 时'()0,()f x f x >↑，2(,0)3
a
x ∈-时， '()0f x <，()f x ↓。
（2）()0f x =有3个不同的实根，显然0a =时不符。下面讨论0a ≠的情况：
当0a <时，应有3
0(0)0
24()00327
b f a
a f
b >>???????-<+
c c a ?-+?（a ）
当0a >时，应有324()003
27(0)00a a f b f b ??
->+>??
?????<
，即3427270a a c c a ?-+>?
2
a <-
内，根据题意，有34(3)27(3)270c ---+=1c ?=a >，符合题意；
对于（b ）：3
3
3
4()2727012
2
c c ?-?+=?=,而1a <时，c a >，故1c ≥，所以1c = 符合题意。
综上，符合题意的1c =。
3、（1）∵x 错误！未找到引用源。()f x -=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。
=()f x ，∴()f x 是R 上的偶函数 （2）∵
()f x 错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。2
错误！未找到引用源。=2
错误！未找到引用源。1 ，∴
()f x 错误！未找到引用源。，∴m （()f x 错误！未找到引
用源。）错误！未找到引用源。1，∴m 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 ， 令()g x =错误！未找到引用源。 ，()g x '=错误！未找到引用源。 ，∴x 错误！未找到引用源。时()g x '错误！未找到引用源。
()g x 单调减，x 错误！未找到引用源。时()g x '错误！未找到引用源。()g x 单调增，∴
()g x min =(ln 2)g =错误！未找到引用源。 ，若关于x 的不等式m ()f x 错误！未找到引
用源。+m 错误！未找到引用源。1在（0，+错误！未找到引用源。）上恒成立，则只要m 错误！未找到引用源。
()g x min 恒成立 ，∴m 错误！未找到引用源。 。∴m 错误！未找到引用源。 （错
误！未找到引用源。]。
（3）由题正数a 满足:存在x 0错误！未找到引用源。 [1，+错误！未找到引用源。），使得
0(x )f 错误！
未找到引用源。（错误！未找到引用源。x 0 3 +3x 0）成立。即错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。x 0 3 +3x 0）错误！未找到引用源。令()h x =错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。x 3 +3x ），即()h x min 错误！
未找到引用源。0。()h x '
=错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。 +3a 错误！未找到引用源。 ，当x 错误！未找到引用源。 [1，+错误！未找到引用源。）时，()h x '
错误！未找到引用源。0 ，()
h x min =
(1)h =e+错误！未找到引用
源。 -2a 错误！未找到引用源。0 ，∴a 错误！未找到引用源。 + 错误！未找到引用源。 。 要比较错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。的大小，两边同时取以e 为底的对数。只要比较a-1与（e-1）lna 的大小。令
y = a-1-( e-1）lna ，
y '= 1-错误！未找到引用源。 ，∵a 错误！未找到引用源。 + 错误！未找到引用源。 + 错
误！未找到引用源。e-1，∴a 错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。 + 错误！未找到引用源。）时y '错误！未找到引用源。y 单调减，a 错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）时
y '错误！未找到引用源。y 单调增，又∵错误！未找到引用源。 + 错误！
未找到引用源。，当a=1时，y=0，∴当a=错误！未找到引用源。 + 错误！未找到引用源。时，y 错误！未找到引用源。0，当a=e 时，y=0。∴a=e-1时，y 错误！未找到引用源。0。 ∴当错误！未找到引用源。 + 错误！未找到引用源。时，y 错误！未找到引用源。0，此时a-1错误！未找到引用源。（e-1）lna ，即错误！未找到引用源。。
当a=e 时y 错误！未找到引用源。0，此时a-1错误！未找到引用源。（e-1）lna ，即错误！未找到引用源。。
当a 错误！未找到引用源。e 时y 错误！未找到引用源。0，此时a-1错误！未找到引用源。（e-1）lna ，即错误！未找到引用源。
4、解：（1）当m ＝1时，f (x )＝－x 3＋x 2－1．f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)． 由f ′(x )＜0，解得x ＜0或x ＞23
．
所以函数f (x )的减区间是(－∞，0)和(2
3，＋∞)． ······································2分
（2）依题意m ＞0．
因为f (x )＝－x 3＋mx 2－m ，所以f ′(x )＝－3x 2＋2mx ＝－x (3x －2m )． 由f ′(x )＝0，得x ＝2m
3
或x ＝0．
当0＜x ＜2m 3时，f ′(x )＞0，所以f (x )在上为增函数；
＜m 时，f ′(x )＜0，所以f (x )在上为减函数；
····4分
···6分
·······8分
y －(－x 23＋mx 22－m )＝(－3x 22＋2mx 2)(x －x 2)． ···········································10分 将(2，t )代入两条切线方程，得
t －(－x 13＋mx 12－m )＝(－3x 12＋2mx 1)(2－x 1)，t －(－x 23＋mx 22－m )＝(－3x 22＋2mx 2)(2－x 2)． 因为函数f (x )图象上有且仅有两个不同的切点，
所以方程t －
(－x 3＋mx 2－m )＝(－3x 2＋2mx )(2－
x )有且仅有不相等的两个实根．···········12分
整理得t ＝2x 3－(6＋m )x 2＋4mx －m ．
设h (x )＝2x 3－(6＋m )x 2＋4mx －m ，h ′(x )＝6x 2－2(6＋m )x ＋4m ＝2(3x －m )(x －2)． ①当m ＝6时，h ′(x )＝6(x －2)2≥0，所以h (x )单调递增，显然不成立． ②当m ≠6时， h ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝m
3．
列表可判断单调性，可得当x ＝2或x ＝m
3
，
h (x )取得极值分别为h (2)＝3m －8，或h (m 3)＝－127m 3＋2
3
m 2－m ．
要使得关于x 的方程t ＝2x 3－(6＋m )x 2＋4mx －m 有且仅有两个不相等的实根，
则t ＝3m －8，或t ＝－127m 3＋2
3m 2－m ． (14)
分
因为t ≤0，所以3m －8≤0，（*），或－
127m 3＋23
m 2
－m ≤0．（**） 解（*），得m **
(16)
分
5、【答案】（1）函数()f x 的单调增区间为()2,e -+∞，单调减区间为()
20,e -；（2）当1
2a e
->时，()f x 的零点个数为0；当1
2a e -=时，或0a ≤时，()f x 的零点个数为1；当1
02a e
-<<时，()f x 的零点个数为2．
【命题立意】本题旨在考查函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．难度较大．
（1）由函数f (x )＝a x (a ∈R )，得f ′(x )2)
x +． …………………………2分
令f ′(x )＝0，得 x ＝e -2．列表如下：
因此，函数f (x )的单调增区间为(e -2，+∞)，单调减区间为(0，e -2)．……………………5分
（2）由（1）可知，f min (x )＝f (e -2)＝a －2e -1． ………………………………………………6分
（i ）当a ＞2e -1时，由f (x )≥f (e -2)＝a －2e -1＞0，得函数f (x )的零点个数为0． …………
8分
（ii ）当a ＝2e -1时，因f (x )在(e -2，+∞)上是单调增，在(0，e -2)上单调减， 故x ∈(0，e -2)∪(e -2，+∞)时，f (x )＞f (e -2)＝0． 此
时
，
函
数
f (x )
的
零
点
个
数
为
1． ……………………………………………………10分
（iii ）当a ＜2e -1时，f min (x )＝f (e -2)＝a －2e -1＜0． ①a ≤0时，
因为当x ∈(0，e -2]时，f (x )＝a x ＜a ≤0， 所以，函数f (x )在区间(0，e -2]上无零点；
另一方面，因为f (x )在[e -2，+∞)单调递增，且f (e -2)＝a －2e -1＜0， 又e -2a ∈(e -2，+∞)，且f (e -2a )＝a (1－2e -a )>0，
此时，函数f (x )在(e -2，+∞)上有且只有一个零点． 所以，当
a ≤0
时，函数
f (x )零点个数为
1．………………………………………13分
②0＜a ＜2e -1时，
因为f (x )在[e -2，+∞)上单调递增，且f (1)＝a ＞0，f (e -2)＝a －2e -1＜0， 所以，函数f (x )在区间(e -2，+∞)有且只有1个零点；
另一方面，因为f (x )在(0，e -2]上是单调递减，且f (e -2)＝a －2e -1＜0 又4
e -∈(0，e -2)，且
f (4
e -)＝a －
24e
a
a ＞a －
2
4
2()a a
＝0，（当0x >时，2e x x >成立）
此时，函数f (x )在(0，e -2)上有且只有1个零点． 所以，当0＜a ＜2e -1时，函数f (x )零点个数为2．
综上所述，当a ＞2e -1时，f (x )的零点个数为0；当a ＝2e -1，或a ≤0时，f (x )的零点个数为1；
当
＜
a
＜
2e -1
时
，
f (x )
的
零
点
个
数
为
2． ………………………………………16分
6、解：（1）当1a =-时，2()e x f x x bx =-+-，∴()e 2x f x x b '=-+-，
由题意()e 20x f x x b '=-+-≤对x ∈R 恒成立﹒ …………1分 由e 20x x b -+-≤，得e 2x b x +≥-，
令()e 2x F x x =+-，则()e 2x F x '=+-，令()0F x '=，得ln 2x =．
当ln 2x <时，()0F x '>，()F x 单调递增，当ln 2x >时，()0F x '<，()F x 单调递减， 从而当ln 2x =时，()F x 有最大值2ln22-，
所以2ln 22b -≥． …………3分
（2）当0b =时，2()e x f x a x =+，由题意2e 0x a x +=只有一解﹒
由2
e 0x
a x +=，得2e x x a -=，令2
()e
x x G x =，则(2)()e x x x G x -'=，
令()0G x '=，得0x =或2x =． …………5分
当0x ≤时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为[)0+∞，， 当02x <<时，()0G x '>，()G x 单调递增，()G x 的取值范围为240e ?? ???，，
当2x ≥时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为240e ??
???
，，
由题意，得0a -=或24e a ->，从而0a =或2
4
e a <-
， 所以当0a =或2
4
e a <-时，函数()y
f x =只有一个零点． …………8分
（3）2()e 2x f x a x x =+-，()e 22x f x a x '=+-，
假设存在，则有00000()(
)()()()()22
x m x m
f x f x m n f x m f m ++''=-+=-+， 即
000()()()2
f x f m x m
f x m -+'=-，∵0002()e 2222x m
x m x m f a +++'=+?-， 00220000000()()(e )()2()(e e )
()2x m x m f x f m a e x m x m a x m x m x m x m
--+----==++----，
∴002
0(e e )e
x m x m a a x m
+-=-﹒……（*）﹒ …………10分
∵0a ≠，∴002
0e e e
x m x m
x m +-=-，不妨设00t x m =->，则2
e e e t t m m m t ++-=﹒
两边同除以e m
，得2
e 1e t
t t
-=，即2
e e 1t
t t =-， …………12分
令2
()e e 1t
t
g t t =--，则2
222
()e (e e )e (e 1)22
t t t t t
t t g t '=-+=--，
令2
()e 12t t h t =--，则22
111()e (e 1)0222
t t
h t '=-=->，
∴()h t 在(0)+∞，
上单调递增， 又∵(0)0h =，∴()0h t >对(0)t ∈+∞，
恒成立， …………14分 即()0g t '>对(0)t ∈+∞，
恒成立， ∴()g t 在(0)+∞，
上单调递增，又(0)0g =， ∴()0g t >对(0)t ∈+∞，
恒成立，即（*）式不成立， …………15分 ∴不存在实数0x （0x m ≠），使得000()(
)()2
x m
f x f x m n +'=-+成立． …………16分 7、【答案】（1）当a ＝0时，函数f(x)的增区间是(－∞，0)，减区间是(0，＋∞)；
当a<0时，函数f(x)的增区间是????1a ，0，减区间是(0，＋∞)，????－∞，1
a ；当a>0时，函数f(x)的增区间是(－∞，0)????1a ，＋∞，减区间是????0，1
a ；（2）当2 b ≤2；当m>4时，0 m ． 【命题立意】本题旨在考查利用导数求函数的单调区间，考查分类讨论思想，转化思想；难度中等. 【解析】 (1) f′(x)＝(ax 2－x)e x ＝x(ax －1)e x .(1分) 若a ＝0，则f′(x)＝－x e x ，令f′(x)>0，则x<0；令f′(x)<0，则x>0； 若a<0，由f′(x)>0，得1a a >x 或0 若a>0，由f′(x)<0，得0 a 或x<0； 综上可得： 当a ＝0时，函数f(x)的增区间是(－∞，0)，减区间是(0，＋∞)；(3分) 当a<0时，函数f(x)的增区间是????1a ，0，减区间是(0，＋∞)，????－∞，1 a ；(5分) 当a>0时，函数f(x)的增区间是(－∞，0)????1a ，＋∞，减区间是????0，1 a (7分) (2) 因为2a ∈[3，m ＋1]，由(1)x ∈(0，＋∞)上函数f(x)的最小值是f ???? 1a . 因为f(x)≥b 2a －1 1 a e 恒成立， 所以f ????1a ≥b 2a －11 a e 恒成立，(8分) 所以1 a e (2a －1)≥b 2a －1 1a e 恒成立，即2a －1≥b 2a －1恒成立．(9分) 由2a ∈[3，m ＋1]，令2a －1＝t ∈[2，m]，则t≥b t ，所以ln b ≤ln t t ＝g(t)，(10分) 由g′(t)＝ 1－ln t t 2 ，可知函数g(t)在(0，e )上递增；(e ，＋∞)上递减，且g(2)＝g(4)．(11分) 当2 ln 22，从而ln b ≤ln 2 2 ，解得0 m ，解得0 m ，(15分) 故：当2 m (16分) 8、 (1) 由题意，321()e 3x f x x x ax a ?? '=-+- ??? ， (2) 分 因为()f x 的图象在0x =处的切线与直线0x y +=垂直， 所以(0)=1f '，解得1a =-. ……………………………4分 (2) 法一：由4()e 3x f x <-，得3214e 2(4)24e 33x x x x a x a ?? -++--<-???? ， 即326(312)680x x a x a -++--<对任意(2)x ∈-∞，恒成立， (6) 分 即()32636128x a x x x ->-=-对任意(2)x ∈-∞， 恒成立， 因为2x <，所以()()322 612812323 x x x a x x -++>=----， ……………………………8分 记()2 1()23 g x x =- -，因为()g x 在(2)-∞， 上单调递增，且(2)0g =， 所以0a ≥，即a 的取值范围是[0)+∞， ． ………………………………………10分 法二：由4()e 3x f x <-，得3214e 2(4)24e 33x x x x a x a ?? -++--<-???? ， 即326(312)680x x a x a -++--<在(2)-∞， 上恒成立，……………………………6分 因为326(312)680x x a x a -++--<等价于2(2)(434)0x x x a --++<， ①当0a ≥时，22434(2)30x x a x a -++=-+≥恒成立， 所以原不等式的解集为(2)-∞，，满足题意． (8) 分 ②当0a <时，记2()434g x x x a =-++，有(2)30g a =<， 所以方程24340x x a -++=必有两个根12,x x ，且122x x <<， 原不等式等价于12(2)()()0x x x x x ---<，解集为12()(2)x x -∞ ，，，与题设矛盾， 所以0a <不符合题意． 综 合 ①② 可 知 ， 所 求 a 的取值范围是 [0)+∞，．…………………………………………10分 (3) 因为由题意，可得321()e 3x f'x x x ax a ?? =-+- ??? ， 所以()f x 只有一个极值点或有三个极值点. ………………………………………11分 令321()3 g x x x ax a =-+-， ①若()f x 有且只有一个极值点，所以函数()g x 的图象必穿过x 轴且只穿过一次， 即()g x 为单调递增函数或者()g x 极值同号． ⅰ）当()g x 为单调递增函数时，2()20g'x x x a =-+≥在R 上恒成立，得1a ≥…12分 ⅱ）当()g x 极值同号时，设12,x x 为极值点，则12()()0g x g x ?≥， 由2()20g'x x x a =-+=有解，得1a <，且21120,x x a -+=22220x x a -+=， 所以12122,x x x x a +==， 所以3211111()3g x x x ax a =-+-211111(2)3 x x a x ax a =--+- 11111(2)33x a ax ax a =---+-[]12 (1)3 a x a = --， 同理，[]222 ()(1)3 g x a x a =--， 所以()()[][]121222 (1)(1)033 g x g x a x a a x a = --?--≥， 化简得221212(1)(1)()0a x x a a x x a ---++≥， 所以22(1)2(1)0a a a a a ---+≥，即0a ≥， 所以01a <≤． 所以，当0a ≥时，()f x 有且仅有一个极值点； …………………14分 ②若()f x 有三个极值点，所以函数()g x 的图象必穿过x 轴且穿过三次，同理可得0a <； 综上，当0a ≥时，()f x 有且仅有一个极值点， 当0a <时，()f x 有三个极值点． …………………16分 9、解：（1）由题意得(1) ()x a x f x e -'= ，因函数在0x =处的切线方程为y x =， 所以(0)11 a f '= =，得1a =. ……………4分 （2）由（1）知2 1 ()2x x f x e k x x =<+-对任意(0,2)x ∈都成立， 所以2 20k x x +->，即2 2 k x x >-对任意(0,2)x ∈都成立，从而 0k ≥. ………6分 又不等式整理可得2 2x e k x x x < +-，令2()2x e g x x x x =+-， 所以 22(1)()2(1)(1)(2)0 x x e x e g x x x x x -'=+-=-+=，得 1x =， ……………8分 当(1,2)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在(1,2)上单调递增， 同理，函数()g x 在(0,1)上单调递减，所以min ()(1)1k g x g e <==-， 综上所述，实数k 的取值范围是[0,1)e -. ……………10分 （3）结论是12 ( )02 x x g +'<. …………11分 证明：由题意知函数()ln g x x x b =--，所以11()1x g x x x -'=-=， 易得函数()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以只需证明 12 12 x x +>即可. 12分 因为12,x x 是函数()g x 的两个零点，所以1122 ln ln x b x x b x +=??+=?，相减得2211ln x x x x -=， 不妨令 2 1 1x t x =>，则21x tx =，则11ln tx x t -=，所以11ln 1x t t =-，2ln 1t x t t =-， 即证 1ln 21t t t +>-，即证1 ()ln 201 t t t t ?-=->+， ……………14分 因为2 22 14(1)()0(1)(1)t t t t t t ?-'=-=>++，所以()t ?在(1,)+∞上单调递增，所以 ()(1)0t ??>=， 综上所述，函数()g x 总满足12 ( )02 x x g +'<成立. …………16分 10、解：（1）当a ＝1时，()()e 211x f x x x =--+，()()e '211x f x x =+-， ……………1分 由于'(0)0f =， 当(0,)x ∈+∞时，e 1,211x x >+>，∴'()0f x >， 当(,0)x ∈-∞时，0 所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增. …………………4分 （2）①由()0f x <得()()e 211x x a x -<-． 当1x =时，不等式显然不成立； 当1x >时，() e 211 x x a x ->-；当1x <时，() e 211 x x a x -< -. (6) 分 记()g x = () e 211 x x x --，()()() () ( )() 22 2 e e e '()232112111x x x g x x x x x x x x = -+---= --， ∴ ()g x 在区间()0-∞，和3,2??+∞ ???上为增函数，()0,1和31,2?? ??? 上为减函数． ∴ 当1x >时，3 2e 342a g ?? >= ??? ，当1x <时，()01a g <=． (8) 分 综上所述，所有a 的取值范围为()32e ,14,?? -∞+∞ ??? U ． (9) 分 ②由①知1a <时，0(,1)x ∈-∞，由0()0f x <，得0()g x a >， 又()g x 在区间()0-∞，上单调递增，在()0,1上单调递减，且()01g a =>， ∴()1g a -≤，即e 32a ≥，∴e 3 12a <≤. ………………………12分 当3 2 4e a >时，0(1,)x ∈+∞，由0()0f x <，得0()g x a <， 又()g x 在区间312?? ???，上单调递减，在3,2?? +∞ ???上单调递增，且3 2e 342g a ??=< ??? ， ∴()()23g a g a ≥，解得32e 532a 分 综上所述，所有a 的取值范围为32e e e 3 5[,1)3,22?? ??? ． (16) 分 11、证：（1）因为()()4 2 102 f x ax x x =- >，所以3()4f x ax x '=-， 由32(4)1210ax x ax '-=-<得()f x '的递减区间为 ， …………2 分 当 x ∈时，32()4(41)0f x ax x x ax '=-=-<， 所以()f x 在()f x '的递减区间上也递减． …………4 分 （2）解1：()()()4 2343211 (4)422g x f x f x ax x ax x ax ax x x '=-=- --=--+， 因为0x >，由()4321402g x ax ax x x =--+=得32 14102 ax ax x --+=， 令321()412x ax ax x ?=--+，则2 1()382x ax ax ?'=--， 因为0a >，且1 (0)02 ?'=-<，所以()x ?'必有两个异号的零点，记正零点为0x ，则 0(0,)x x ∈时，()0x ?'<，()x ?单调递减；0(,)x x ∈+∞时，()0x ?'>，()x ?单调递增， 若()x ?在(0,)+∞上恰有两个零点，则0()0x ?<， …………7 分 由2 0001()3802x ax ax ?'=-- =得2001382 ax ax =+， 所以0003217()939x ax x ?=--+，又因为对称轴为4,3x =所以81 ()(0)032??==-<， 所以08733x >>，所以0003217 ()()0933 x ax x ?=- --<， 又3222 111()41(8)(1)1222 x ax ax x ax x x ax ?=--+=-+-+， 中的较大数为M ，则()0M ?>， 故0a >()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点． …………10 分 解2：()()()4 2343211 (4)422g x f x f x ax x ax x ax ax x x '=-=- --=--+， 因为0x >，由()4321402g x ax ax x x =--+=得32 14102 ax ax x --+=， 令32 1()412 x ax ax x ?=--+， 若()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点，则()x ?在(0,)+∞上恰有两个零点， 当2x =时， 由()0x ?=得0a =，此时1 ()12 x x ?=-+在(0,)+∞上只有一个零点，不合题意； 当2x ≠时，由3 2 1()4102x ax ax x ?=--+=得32 1422 x x a x -=-， …………7 分 令322148 ()2422x x x x x x x ?-==-----， 则22 1 22 57 2[()] 2(58)24()0(2)(2) x x x x x x x x ?-+-+'==>--， 当(0,2)x ∈时，()x ?单调递增，且由2 8 24,2 y x x y x =--=- -值域知 ()x ?值域为(0,)+∞；当(2,)x ∈+∞时，1()x ?单调递增，且1(4)0 ?=，由2 824,2y x x y x =--=--值域知()x ?值域为(,)-∞+∞； 因为0a >，所以102a >，而12y a =与1()x ?有两个交点，所以1()x ?在(0,)+∞上恰有两个零点． …………10 分 （3）解1：由（2）知，对于3 2 1 ()412 x ax ax x ?=-- +在(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ， 不妨设12x x <，又因为(0)10?=>，11()(67)028a ?=-<，所以11 02 x <<，……12 分 又因为(4)10?=-<，91()(65710)028a ?= ->，所以2942x <<， 所以1219 45422 x x a <+<+=<+． …………16 分 解2：由（2）知32 1422 x x a x -=-， 因为[0,2)x ∈时，1()x ?单调递增，1 7()212?=，111111 (0)0()()22 x a ???=<= <， 所以11 02 x << ， …………12 分 当(2,)x ∈+∞时，1()x ?单调递增，1981()220?=，112119 (4)0()()22 x a ???=<= <， 所以29 42 x << ， 所以1219 45422 x x a <+< +=<+． …………16 分 12、解：（1）2322()()2f x x x a x ax a x =-=-+，则 高考中数学导数的解法 1、导数的背景： （1）切线的斜率；（2）瞬时速度. 如一物体的运动方程是21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒） 2、导函数的概念：如果函数()f x 在开区间（a,b ）内可导，对于开区间（a,b ）内的每一个0x ，都对应着一个导数 ()0f x ' ，这样()f x 在开区间（a,b ）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做()f x 在开区间（a,b ）内的导函数， 记作 ()0 lim x y f x y x ?→?'='=?()() lim x f x x f x x ?→+?-=?， 导函数也简称为导数。 提醒：导数的另一种形式0 0x x 0)()(lim )(0 x x x f x f x f y x x --='='→= 如（1）*?? ?>+≤== 1 1)(2 x b ax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b 解：?? ?>+≤==1 1)(2 x b ax x x x f y 在1=x 处可导，必连续1)(lim 1 =-→x f x b a x f x +=+ →)(lim 1 1)1(=f ∴ 1=+b a 2lim 0 =??- →?x y x a x y x =??+→?0lim ∴ 2=a 1-=b （2）*已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限： （1）h h a f h a f h 2) ()3(lim --+→?； （2）h a f h a f h ) ()(lim 20-+→? 分析：在导数定义中，增量△x 的形式是多种多样，但不论△x 选择哪种形式，△y 也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在a x =处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。 解：（1）h h a f h a f h 2) ()3(lim --+→ 导数在研究函数中的应用 知识点一、导数的几何意义 函数()y f x =在0x x =处导数()0f x '是曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的 ，即_______________;相应地，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线方程是 例1.(1)曲线x e x y +=sin 在点)1,0(处的切线方程为（ ） A.033=+-y x B.022=+-y x C.012=+-y x D.013=+-y x （2）若曲线x x y ln =上点P 处的切线平行于直线012=+-y x ，则点P 的坐标是（ ） A.),(e e B.)2ln 2,2( C.)0,1( D.),0(e 【变式】 （1）曲线21x y xe x =++在点)1,0(处的切线方程为（ ） A.13+=x y B.12+=x y C.13-=x y D.12-=x y （2）若曲线x ax y ln 2-=在点),1(a 处的切线平行于x 轴，则a 的值为（ ） A.1 B.2 C.21 D.2 1- 知识点二、导数与函数的单调性 （1）如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内，使得'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内为 且该区间为函数)(x f 的单调_______区间； (2)如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内，使得'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内为 ，且该区间为函数)(x f 的单调_______区间. 例1.（1）函数x e x x f )3()(2-=的单调递增区间为（ ） A.)0,(-∞ B.),0(+∞ C.)1,3(- D.),1()3,(+∞--∞和 （2）函数x x y ln 2 12-=的单调递减区间为（ ） A.(]1,1- B.(]1,0 C.[)+∞,1 D.),0(+∞ 例2.求下列函数的单调区间，并画出函数)(x f y =的大致图像. （1）3)(x x f = （2）x x x f 3)(3+= (3)1331)(23+--=x x x x f （4）x x x x f 33 1)(23++-= 知识点三、导数与函数的极值 函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内,若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数)(x f '异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 ，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是 （熟练掌握求函数极值的步骤以及一些注意点） 例1.（1）求函数133 1)(23+--=x x x x f 的极值 （2）求函数x x x f ln 2)(2-=的极值 【考情解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查： 一是导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义； 二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题； 三是应用导数解决实际问题． 【知识梳理】 1．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点处的切线的，其切线方程是． 注意：函数在点P0处的切线与函数过点P0的切线的区别：． 2．导数与函数单调性的关系 (1)() '>0是f(x)为增函数的条件． f x 如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0． (2)() '≥0是f(x)为增函数的条件． f x 当函数在某个区间内恒有() '＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调 f x 性． 注意：导数值为0的点是函数在该点取得极值的条件． 3． 函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题． (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有 个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有． (3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的 ． 4． 几个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x )′＝ ； (2)(cos x )′＝ ； (3)(e x )′＝ ； (4)(a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (5)(x a )′＝ ； (6)(log e x )′＝ ； (7)(log a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (8)′＝ ； (9)??????? ? f (x ) g (x )′＝ (g (x )≠0) ． 3 ， - 3x 导 数 专 题 题型 1 根据导数的几何意义研究曲线的切线 1.（2012 全国文 13）曲线 y = x (3ln x + 1) 在点 (1,1) 处的切线方程为________. 2. (2015 全国 I 文 14) 已知函数 f (x ) = ax + x +1 的图像在点 (1, f (1))处的切线过点 (2, 7) ，则 a = . 3. (2015 全国 II 文 16) 已知曲线 y = x + ln x 在点 (11 ) 处的切线与曲线 y = ax 2 + ( a + 2 ) x + 1 相切，则 a = . 4.(2009，全国卷 1) 已知函数 f ( x ) = x 4 - 3x 2 + 6 .. （Ⅰ）讨论 f ( x ) 的单调性； （Ⅱ）设点 P 在曲线 y = f ( x ) 上，若该曲线在点 P 处的切线 l 通过坐标原点，求 l 的方程。 【解】（1） f '(x) = 4 x 3 - 6 x = 4 x ( x + 6 6 )( x - ) 2 2 当 x ∈ (-∞, - 6 6 ) 和 x ∈ (0, ) 时， f '(x) < 0 ； 2 2 当 x ∈ (- 6 2 ,0) 和 x ∈ ( 6 2 , +∞) 时， f '(x) > 0 因此， f ( x ) 在区间 (-∞, - 6 6 ) 和 (0, ) 是减函数， 2 2 f ( x ) 在区间 (- 6 2 ,0) 和 ( 6 2 , +∞) 是增函数。 （Ⅱ）设点 P 的坐标为 ( x , f ( x )) ，由 l 过原点知， l 的方程为 y = f '(x ) x 因此 f ( x ) = x f '(x ) ， 即 x 4 2 + 6 - x (4 x 3 - 6 x ) = 0 0 0 整理得 ( x 2 + 1)(x 2 - 2) = 0 解得 x =- 2 或 x = 2 因此切线 l 的方程为 y = -2 2 x 或 y = 2 2 x 。 题型 2 判断函数的单调性、极值与最值 5.（2013 全国 II 文 11）.已知函数 f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c ，下列结论中错误的是（ ） . A. ?x ∈ R ， f ( x ) = 0 0 0 B. 函数 y = f ( x ) 的图象是中心对称图形 C. 若 x 是 f ( x ) 的极小值点，则 f ( x ) 在区间 (-∞, x ) 单调递减 导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：分离变量法： ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三：变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围. 高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0 2019年高考数学导数的解题技巧高考导数题主要是考查与函数的综合，考查不等式、导数的应用等知识，难度属于中等难度。 都有什么题型呢？ ①应用导数求函数的单调区间，或判定函数的单调性； ②应用导数求函数的极值与最值； ③应用导数解决有关不等式问题。 有没有什么解题技巧啦？ 导数的解题技巧还是比较固定的，一般思路为 ①确定函数f(x)的定义域（最容易忽略的，请牢记）； ②求方程f′(x)=0的解，这些解和f(x)的间断点把定义域分成若干区间； ③研究各小区间上f′(x)的符号，f′(x)＞0时，该区间为增区间，反之则为减区间。 从这两步开始有分类讨论，函数的最值可能会出现极值点处或者端点处，多项式求导一般结合不等式求参数的取值范围，根据题目会有一定的变化，那接下来具体总结一些做题技巧。 技巧破解+例题拆解 1．若题目考察的是导数的概念，则主要考察的是对导数在一点处的定义和导数的几何意义，注意区分导数与△y/△x 之间的区别。 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。 导数大题专题 【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在. 一、常用结论 1. sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x <， 其几何意义为 sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. 2. 1x e x >+ 3. ln(1)x x >+ 4. ln ,0x x x e x <<>. 二、导数题型 1. 导数单调性、极值、最值的直接应用 2. 交点与根的分布 3. 不等式证明 （1）作差证明不等式 （2）变形构造函数证明不等式 （3）替换构造不等式证明不等式 4. 不等式恒成立求字母范围 （1）恒成立之最值的直接应用 （2）恒成立之分离常数 （3）恒成立之讨论字母范围 5. 函数与导数性质的综合运用 6. 导数应用题 7. 导数结合三角函数 【考点例题解析】 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 例题1.（切线）设函数a x x f -=2)(. （1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值； （2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21. 例题2（天津理20，极值比较讨论） 已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时，求曲线 ()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当23 a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值. 变式 1.（最值，按区间端点讨论） 目录 导数专题一、单调性问题 (2) 导数专题二、极值问题 (38) 导数专题三、最值问题 (53) 导数专题四、零点问题 (77) 导数专题五、恒成立问题和存在性问题 (118) 导数专题六、渐近线和间断点问题 (170) 导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题 (190) 导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 (201) 导数专题九、公切线解决导数中零点问题 (214) 导数专题十、极值点偏移问题 (219) 导数专题十一、构造函数解决导数问题 (227) 导数专题一、单调性问题 【知识结构】 【知识点】 一、导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性； 二、分类讨论求函数单调性：含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨论， 讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系. 三、分类讨论的思路步骤： 第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点； 第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关系及与 区间的位置关系（分类讨论）； 第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、标正负、截定义域）；第四步、（列表）根据第五步的草图列出f '(x)，f (x)随x 变化的情况表，并写出函数的单调区间； 第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点函数 值比较得到函数的最值. 四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点： 1.最高次项系数是否为0； 2.导函数是否有极值点； 3.两根的大小关系； 4.根与定义域端点讨论等。 五、求解函数单调性问题的思路： （1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为f '(x) ≥ 0 或f '(x) ≤ 0 恒成立； （2）已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解参 变量的范围； （3）已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于 零有解. 六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法 （1）参变分离； （2）导函数的根与区间端点直接比较； 欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数 第十讲 导数题的解题技巧 【命题趋向】导数命题趋势： 综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点： （1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. （2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题. 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2 ()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=Q 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实 数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. 2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． ） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R， （1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在0处的导数等于0； （）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围． 高考导数文科考点总结 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 导数概念与运算知识清单 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－ f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0 x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说 函数在点x 0处不可导，或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 2．导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 3．几种常见函数的导数: ①0;C '= ② ()1 ; n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 4．两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即： .)(' ''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(' 'Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积， 再除以分母的平方：??? ??v u ‘=2 ' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X 导数应用知识清单 单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导， 如果' f )(x 0>，则)(x f 为增函数； 如果'f 0)( 高三文科数学导数专题复习 1.已知函数)(,3 ,sin )(x f x x b ax x f 时当π =+=取得极小值 33 -π . （Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）设直线)(:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件： （1）直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点； （2）对任意x ∈R 都有)()(x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”. 试证明：直线2:+=x y l 是曲线x b ax y S sin :+=的“上夹线”. 2. 设函数3 221()231,0 1.3 f x x ax a x a =- +-+<< （1）求函数)(x f 的极大值； （2）若[]1,1x a a ∈-+时，恒有()a f x a '-≤≤成立（其中()f x '是函数()f x 的导函数），试确定实数a 的取值范围． 3.如图所示，A 、B 为函数)11(32 ≤≤-=x x y 图象上两点，且AB//x 轴，点M （1，m ）（m>3）是△ABC 边AC 的中点. （1）设点B 的横坐标为t ，△ABC 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式)(t f S =； （2）求函数)(t f S =的最大值，并求出相应的点C 的坐标. 4. 已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数. （I ）求)(x f 、)(x g 的表达式； （II ）求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解； (III ）当1->b 时,若21 2)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围 5. 已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2x =处有极值，曲线()y f x =在1x =处的切线平行于直线32y x =--，试求函数()f x 的极大值与极小值的差。 6.函数x a x x f - =2)(的定义域为]1,0(（a 为实数）. （1）当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域； （2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围； （3）求函数)(x f y =在∈x ]1,0(上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值. 7.设x=0是函数2()()()x f x x ax b e x R =++∈的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）设]2,2[,,)1()(,0212 2-∈++-=>+ξξ问是否存在x e a a x g a ，使得|1|)()(21≤-ξξg f 成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由. 8. 设函数()2ln q f x px x x =- -，且()2p f e qe e =--，其中e 是自然对数的底数. （1）求p 与q 的关系； 导数专题复习（基础精心整理）学生版 【基础知识】 1.导数定义：在点处的导数记作k = 相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=- 2.常见函数的导数公式: ①；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧ 。 3.导数的四则运算法则： （1） （2） （3） 4.导数的应用： （1）利用导数判断函数单调性： ①是增函数；②为减函数；③为常数； （2）利用导数求极值：①求导数；②求方程的根；③列表得极值（判断零点两边的导函数的正负）。 （3）利用导数求最值：比较端点值和极值 【基本题型】 一、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率 ()()00f x x f x y x x +?-?=?V ；（3）取极限，得导数()00lim x y f x x →?'=?V 。 例1..已知x f x f x x f x ?-?+=→?) 2()2(lim ,1)(0则的值是（ ） A. 41- B. 2 C. 4 1 D. －2 变式1：()()()为则设h f h f f h 233lim ,430 --='→（ ） A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3 D ．1 二、导数的几何意义 ()f x 0x x x f x x f x f x x y x ?-?+='=='→?) ()(lim )(|000 00'0C ='1()n n x nx -='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()ln x x a a a =x x e e =')('1(log )ln a x x a =x x 1 )(ln '= )()()()(])()(['+'='x g x f x g x f x g x f 2)()()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f ' -'=' ??? ? ??' ?'='x u u f x u f ))(()(0)(x f x f ?>')(0)(x f x f ?<')(0)(x f x f ?≡')(x f '0)(='x f 高考导数文科考点 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 导数概念与运算知识清单 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）， 比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ） 在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函 数在点x 0处不可导，或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 2．导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 高考数学专题复习——导数 目录 一、有关切线的相关问题 二、导数单调性、极值、最值的直接应用 三、交点与根的分布 1、判断零点个数 2、已知零点个数求解参数范围 四、不等式证明 1、作差证明不等式 2、变形构造函数证明不等式 3、替换构造不等式证明不等式 五、不等式恒成立求参数范围 1、恒成立之最值的直接应用 2、恒成立之分离常数 3、恒成立之讨论参数范围 六、函数与导数性质的综合运用 导数运用中常见结论 一、有关切线的相关问题 例题、【2015高考新课标1，理21】已知函数f （x ）=31 ,()ln 4 x ax g x x ++=-. (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线； 【答案】（Ⅰ）34 a = 跟踪练习： 1、【2011高考新课标1，理21】已知函数ln ()1a x b f x x x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 （Ⅰ）求a 、b 的值； 解：（Ⅰ）22 1 ( ln ) '()(1)x x b x f x x x α+-= -+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1, 1'(1),2 f f =?? ?=-??即 1, 1,22 b a b =???-=-?? 解得1a =，1b =。 2、(2013课标全国Ⅰ，理21)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2. (1)求a ，b ，c ，d 的值； 解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4. 而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )， 故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2. 3、 (2014课标全国Ⅰ，理21)设函数1 (0ln x x be f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点（1，(1) f 处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ； 【解析】：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞，112()ln x x x x a b b f x ae x e e e x x x --'=+-+ 导 数 专 题 题型1 根据导数的几何意义研究曲线的切线 1.（2012全国文13）曲线()3ln 1y x x =+在点()1,1处的切线方程为________. 2. (2015全国I 文14)已知函数 ()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 处的切线过点()2,7，则 a = . 3. (2015全国II 文16) 已知曲线ln y x x =+在点()11，处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切，则a = . 4.(2009，全国卷1) 已知函数42 ()36f x x x =-+.. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设点P 在曲线()y f x =上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点，求l 的方程。 【解】（1）3 '()464(f x x x x x x =-=- 当(,)2x ∈-∞- 和(0,2 x ∈时，'()0f x <； 当(x ∈和)x ∈+∞时，'()0f x > 因此，()f x 在区间(,2-∞-和(0,2 是减函数， ()f x 在区间(2 - 和)+∞是增函数。 （Ⅱ）设点P 的坐标为00(,())x f x ，由l 过原点知，l 的方程为 0'()y f x x = 因此 000()'()f x x f x =， 即 423 0000036(46)0x x x x x -+--= 整理得 22 00(1)(2)0x x +-= 解得 0x = 或 0x = 因此切线l 的方程为 y =- 或 y =。 题型2 判断函数的单调性、极值与最值 5.（2013全国II 文11）.已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） . A. 0x R ?∈，0()0f x = B. 函数()y f x =的图象是中心对称图形 C. 若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减高考数学导数解法知识分享
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