2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. (1)曲线221
x x y x +=-的渐近线条数
( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx
f x e e e n =---，其中n 为正整数,则(0)f '=
( )
(A) 1
(1)
(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1
(1)
!n n -- (D)
(1)!n n -
(3) 设1230(1,2,3),
n n n a n S a a a a >==+++
+，则数列{}n S 有界是数列
{}n a 收敛的
( )
(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要
(4) 设2
sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π
==?则有
( )
(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I <<
(5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有
(,)(,)
0,0,x y x y x y
??>成立的一个充分条件是
) (A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <>
(6) 设区域D 由曲线sin ,,12
y x x y π
==±
=围成，则5(1)d d D
x y x y -=??
( )
(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π
(7) 设1100c ?? ?= ? ???α,2201c ??
?
= ? ???
α ,3311c ?? ?=- ? ???α ,4411c -?? ?= ? ???α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，
则下列向量组线性相关的为
( )
(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα
(D)2
3
4
,,ααα
(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -??
?
= ? ???
.若()123,,P =ααα，
()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -=
( )
(A) 100020001?? ? ? ??? (B) 100010002?? ? ? ??? (C) 200010002?? ?
? ???
(D)200020001??
? ? ???
二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程2
1y
x y e -+=所确定的隐函数，则20
2
x d y
dx
== .
(10)
222221
11lim 12n n n n n n →∞??
+++=
?+++?? .
(11) 设1ln ,z f x y ??=+
???
其中函数()f u 可微，则
2z z x y x y ??+=?? . (12) 微分方程()
2
d 3d 0y x x y y +-=满足条件1
1x y
==的解为y = .
(13) 曲线()2
0y x x x =+<上曲率为
2
2
的点的坐标是 . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*
A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵
B ，则*BA = .
三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)
已知函数()11
sin x f x x x
+=-，记()0lim x a f x →=，
(I)求a 的值;
(II)若0x →时，()f x a -与k
x 是同阶无穷小，求常数k 的值.
(16)(本题满分 10 分)
求函数()22
2
,x y f x y xe
+-=的极值.
(17)(本题满分12分)
过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.
(18)(本题满分 10 分)
计算二重积分
d D
xy σ??，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.
(19)(本题满分10分)
已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;
(II) 求曲线220()()d x
y f x f t t =-?的拐点.
(20)(本题满分10分)
证明2
1ln cos 112
x x x x x ++≥+-,(11)x -<<. (21)(本题满分10 分)
(I)证明方程1x x x +
+=n n-1
+()1n >的整数，在区间1,12??
???
内有且仅有一
个实根；
(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞
存在，并求此极限.
(22)(本题满分11 分)
设1000
1000100
1a a A a a
?? ?
?= ?
???，1100β?? ?- ?= ? ???
(I) 计算行列式A ；
(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解. (23)(本题满分11 分)
已知1010111001A a a ?? ?
?= ?- ?-??
，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2， (I) 求实数a 的值；
(II) 求正交变换x Qy =将f 化为标准形.
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1.已知当0x →时，函数是等价无穷小，则与k cx x x x f 3sin sin 3)(-= A k=1,c=4 B k=a, c=-4 C k=3,c=4 D k=3,c=-4
2.=-==→3
320
)
(2)(,0)0(0)(lim
x x f x f x f x x f x 则处可导，且
在已知
A )0(2f '-
B )0(f '-
C )0(f '
D 0
3.函数)3)(2)(1(ln )(---=x x x x f 的驻点个数为 A 0 B 1 C 2 D 3
4.微分方程的特解形式为)0(2>+=-'-λλλλx x e e y y A
)(x x e e a λλ-+ B )(x x e e ax λλ-+ C )(x x be ae x λλ-+
D )(2x x be ae x λλ-+
5设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ，则函数)(ln )(y f x f z =在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件
A 0)0(,1)0(>''>f f
B 0)0(,1)0(<''>f f
C 0)0(,1)0(>'' D 0)0(,1)0(<'' ???===4 4 4 00cos ln ,cot ln ,sin ln π ππxdx K xdx J xdx I 的大小关系是、、则K J I A I B I C J D K 7.设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行 得单位矩阵。记,010100001,010********??????????=??????????=P P 则A= A 21P P B 211P P - C 12P P D 11 2P P - 8设),,,(4321αααα=A 是4阶矩阵，* A 是A 的伴随矩阵，若T )0,1,0,1(是方程组 0=Ax 的一个基础解系，则0*=x A 的基础解系可为 A 31,αα B 21,αα C 321,,ααα D 432,,ααα 二填空题 9.=+→x x x 1 0)2 21( lim ____________ 10.微分方程 ===+'-y y x e y y x 的解满足条件0)0(cos ____________ 11.曲线)4 0(tan 0 ?≤ ≤=x x tdt y π 的弧长s=____________ 12.设函数 { 0,)(0 ,0 ,0>= >≤-λλx x x f ，则=? +∞ ∞ -dx x xf )( 13.设平面区域D 由y=x,圆y y x 22 2 =+及y 轴所组成，则二重积分 ??=D xyda ________ 14.二次型3231212 322213212223),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=，则f 的正惯性指数为________________ 三解答题 15.已知函数α x dt t x F x ?+= 2)1ln()(，设0)(lim )(lim 0 ==+ →+∞ →x F x F x x ，试求α的取值范围。 16.设函数y=y(x)有参数方程???++=+-=31 313 13133t t x t t y ，求y=y(x)的数值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。 17.设))(,(x yg xy f z =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1 处取得极值g(1)=1,求 1,12==???y x y x z 18.设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y=y(x)与直线y=x 相切于原点，记α是曲 线l 在点（x,y)外切线的倾角 dx dy dx d =α，求y(x)的表达式。 19.证明：1）对任意正整数n ，都有 n n n 1)11ln(11<+<+ 2）设),2,1(ln n 1 211?=-+?++=n n a n ,证明}{n a 收敛。 20.一容器的内侧是由图中曲线绕y 旋转一周而成的曲面，该曲面由 )2 1 (1),21(22222≤=+≥=+y y x y y y x 连接而成。 （1）求容器的容积。 （2）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？（长度单位：m ； 重力加速度为2/s gm ；水的密度为3 3/10m kg ） 21.已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0,f(x,1)=0, ??=D a dxdy y x f ),(，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D ，计 算二重积分dxdy y x xy I D xy ),("= ???。 23.A 为三阶实矩阵，2)(=A R ，且??? ? ? ??-=????? ??-101101101101A 求A 的特征值与特征向量；（2）求A 2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选 项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）函数()3 sin x x f x nx -=的可去间断点的个数，则（ ） ()A 1. ()B 2. ()C 3. ()D 无穷多个. （2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2 ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ） ()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 1 1,6a b =-=-. ()D 1 1,6a b =-=. （3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ） ()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点. （4）设函数(),f x y 连续，则 ()()222 41 1 ,,y x y dx f x y dy dy f x y dx -+=??? ? （ ） ()A ()2 41 1,x dx f x y dy -?? . ()B ()2 41 ,x x dx f x y dy -?? . ()C ()2 411 ,y dy f x y dx -??. ()D .()2 2 1,y dy f x y dx ?? （5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则 ()f x 在区间()1,2内（ ） ()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点. ()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点. （6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为： 则函数()()0 x F x f t dt = ?的图形为（ ） ()A . ()B . () f x 0 2 3 x 1 - 2 -1 1 () f x 0 2 3 x 1 -2 -1 1 1 () f x -2 0 2 3 x -1 O ()C . ()D . （7）设A 、B 均为2阶矩阵，* * A B ，分别为A 、B 的伴随矩阵。若A =2B =3，， 则分块矩阵0 0A B ?? ??? 的伴随矩阵为（ ） ()A .**0320B A ?? ??? ()B .** 2B 3A 0?? ??? ()C .**03A 2B 0?? ??? ()D .**0 2A 3B 0?? ??? （8）设A P ，均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且T 100P AP=010002?? ? ? ??? ，若 P=Q=+ααααααα1231223（，，），（，，） ，则Q AQ T 为（ ） ()A .210110002?? ? ? ??? ()B .110120002?? ? ? ??? ()C .200010002?? ? ? ??? ()D .100020002?? ? ? ??? 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -????=-? ?在（0，0）处的切线方程为 （10）已知 +1k x e dx ∞=-∞?,则k = （11）n 1lim e sin 0 x nxdx -→∞=? () f x 0 2 3 x 1 -2 -1 1 () f x 0 2 3 x 1 -1 1 （12）设()y y x =是由方程xy 1y e x +=+确定的隐函数，则2x=0d y =dx 2 （13）函数2x y x =在区间(]01，上的最小值为 (14)设αβ，为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵T αβ相似于200000000?? ? ? ??? ，则 T =βα 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）求极限()[]40 1cos ln(1tan )lim sin x x x x x →--+ （16）（本题满分10 分）计算不定积分1ln(1)x dx x ++? (0)x > （17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy =+-，其中f 具有2阶连续偏导数， 求dz 与2z x y ??? （18）（本题满分10分） 设非负函数()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=，当曲线()y y x = 过原 点时，其与直线1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋 转体体积。 （19）（本题满分10分）求二重积分()D x y dxdy -??， 其中()()() {} 2 2 ,112,D x y x y y x = -+-≤≥ （20）（本题满分12分） 设()y y x =是区间-ππ（，）内过 -22 π π （，）的光滑曲线，当-0x π<<时，曲线上 任一点处的法线都过原点，当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=。求()y x 的表达式 （21）（本题满分11分） （Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0 x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0 lim x f x A + →'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=。 （22）（本题满分11分）设11111 1042A --?? ?=- ? ?--??，1112ξ-?? ? = ? ?-?? （Ⅰ）求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关。 （23）（本题满分11分）设二次型 ()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+- （Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值； （Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212 y y +，求a 的值。 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设2 ()(1)(2)f x x x x =--，则' ()f x 的零点个数为（ ） ()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3 （2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分 ()a t af x dx ? （ ） ()A 曲边梯形ABOD 面积. ()B 梯形ABOD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积. ()D 三角形ACD 面积. （3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ） ()A ''''''440y y y y +--= ()B ''''''440y y y y +++= ()C ''''''440y y y y --+= ()D ''''''440y y y y -+-= （5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ） ()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛. ()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛. （6）设函数f 连续，若222 2 ()(,)uv D f x y F u v dxdy x y += +?? ，其中区域uv D 为图中阴影部 分，则 F u ?=? ()A 2()vf u ()B 2()v f u u ()C ()vf u () D ()v f u u （7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若3 0A =，则（ ） ()A E A -不可逆，E A +不可逆. ()B E A -不可逆， E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆. ()D E A -可逆，E A +不可逆 . （8）设1221A ?? = ??? ，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-?? ?-?? . ()B 2112-?? ?-?? . ()C 2112?? ??? . ()D 1221-?? ?-?? . 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数()f x 连续，且2 1cos[()]lim 1(1)() x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =. （10）微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=的通解是____y =. （11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （12）曲线23 (5)y x x =-的拐点坐标为______. （13）设x y y z x ?? = ??? ，则(1,2) ____z x ?=?. （14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-，则___λ=. 三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分9分）求极限()4 0sin sin sin sin lim x x x x x →-????. (16)（本题满分10分） 设函数()y y x =由参数方程2 0()ln(1)t x x t y u du =?? ?=+?? ?确定，其中()x t 是初值问题020 x t dx te dt x --?-=???=? 的解.求22y x ??. (17)（本题满分9分）求积分 1 2 arcsin 1x x dx x -? . (18)（本题满分11分） 求二重积分 max(,1),D xy dxdy ??其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤ (19)（本题满分11分） 设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数 ()f x 的表达式. (20)（本题满分11分） (1) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点 [,]a b η∈，使得()()()b a f x dx f b a η=-? (2)若函数()x ?具有二阶导数，且满足 3 2 (2)(1),(2)()x dx ????>>?，证明至少存在一点(1,3),()0ξ?ξ''∈<使得 （21）（本题满分11分） 求函数2 2 2 u x y z =++在约束条件2 2 z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分） 设矩阵2 221212n n a a a A a a ??? ? ?= ? ???，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1, ,T n X x x =，()1,0, ,0B =， （1）求证()1n A n a =+； （2）a 为何值，方程组有唯一解，并求1x ； （3）a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解. （23）（本题满分10分） 设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足 323A ααα=+， （1）证明123,,ααα线性无关； （2）令()123,,P ααα=，求1 P AP -. 2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0x + →时，与x 等价的无穷小量是 （A ）1e x - （B ）1ln 1x x +- （C ）11x +- （D ）1cos x - [ ] （2）函数1(e e)tan ()e e x x x f x x +=??- ??? 在[],ππ-上的第一类间断点是x = [ ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 π - （D ） 2 π （3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设 ()()d x F x f t t =?，则下列结论正确的是： （A ）3(3)(2)4F F =- - (B) 5 (3)(2)4F F = （C ）3(3)(2)4F F = （D ）5 (3)(2)4 F F =-- [ ] （4）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是： （A ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()() lim x f x f x x →+-存在，则 (0)0f = . （C ）若0 ()lim x f x x →存在，则(0)0f '= （D ）若0()() lim x f x f x x →--存在，则 (0)0f '=. [ ] （5）曲线()1ln 1e x y x =++的渐近线的条数为 （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ] （6）设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()n u f n =，则下列结论正确的是： (A) 若12u u > ，则{}n u 必收敛. (B) 若12u u > ，则{}n u 必发散 (C) 若12u u < ，则{}n u 必收敛. (D) 若12u u < ，则{}n u 必发散. [ ] （7）二元函数(,)f x y 在点()0,0处可微的一个充要条件是[ ] （A ） () [](,)0,0lim (,)(0,0)0x y f x y f →-=. （B ）0 0(,0)(0,0)(0,)(0,0) lim 0,lim 0x y f x f f y f x y →→--==且. （C ） () 2 2 (,)0,0(,)(0,0) lim 0x y f x y f x y →-=+. （D ）0 0lim (,0)(0,0)0,lim (0,)(0,0)0x x y y x y f x f f y f →→????''''-=-=?? ?? 且. （8）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1 sin 2 d (,)d x x f x y y π π ?? 等于 （A ）10arcsin d (,)d y y f x y x π π +?? （B ）1 0arcsin d (,)d y y f x y x π π-?? （C ） 1arcsin 0 2 d (,)d y y f x y x ππ +?? （D ）1arcsin 0 2 d (,)d y y f x y x ππ -?? （9）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 线性相关，则 (A) 122331,,αααααα--- (B) 122331,,αααααα+++ (C) 1223312,2,2αααααα---. (D) 1223312,2,2αααααα+++. [ ] （10）设矩阵211100121,010112000A B --???? ? ? =--= ? ? ? ?--???? ，则A 与B (A) 合同且相似 （B ）合同，但不相似. (C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11） 30arctan sin lim x x x x →-= __________. （12）曲线2cos cos 1sin x t t y t ?=+?=+?上对应于4t π =的点处的法线斜率为_________. （13）设函数1 23 y x = +，则()(0)n y =________. （14） 二阶常系数非齐次微分方程2432e x y y y '''-+=的通解为y =________. （15） 设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ??= ??? ，则z z x y x y ??-=?? __________. （16）设矩阵0 1000 01000010 00 0A ?? ? ?= ? ??? ，则3 A 的秩为 . 三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分)设()f x 是区间0,4π?? ???? 上单调、可导的函数，且满足 () 10 cos sin ()d d sin cos f x x t t f t t t t t t --=+? ?，其中1f -是f 的反函数，求()f x . （18）（本题满分11分） 设D 是位于曲线2(1,0)x a y xa a x - = >≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域. （Ⅰ）求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ；（Ⅱ）当a 为何值时， ()V a 最小？并求此最小值. （19）（本题满分10分）求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解. （20）（本题满分11分）已知函数()f u 具有二阶导数，且(0)1f '=，函数() y y x =由方程1 e 1y y x --=所确定，设()ln sin z f y x =-，求 2002 d d , d d x x z z x x ==. （21） (本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得 ()()f g ξξ''''=. （22） (本题满分11分) 设二元函数222,||||11(,),1||||2 x x y f x y x y x y ?+≤? =?<+≤?+? ，计 算二重积分 D (,)d f x y σ??，其中(){},||||2D x y x y =+≤. （23） (本题满分11分) 设线性方程组12312321 2302040x x x x x ax x x a x ?++=? ++=??++=?与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解. （24） (本题满分11分) 设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-，T 1(1,1,1)α=-是A 的 属于1λ的一个特征向量，记53 4B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵. （I ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （II ）求矩阵B . 2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）曲线4sin 52cos x x y x x += - 的水平渐近线方程为 （2）设函数2 301sin d ,0 (),0 x t t x f x x a x ?≠?=??=?? 在0x =处连续，则a = . （3）广义积分 22 d (1) x x x +∞ =+? . （4）微分方程(1) y x y x -'= 的通解是 （5）设函数()y y x =由方程1e y y x =-确定，则 0 d d x y x == （6）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则 =B . 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分， 若0x ?>，则[ ] (A) 0d y y < (C) d 0y y ?<<. (D) d 0y y （8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则0 ()d x f t t ? 是 （A ）连续的奇函数. （B ）连续的偶函数 （C ）在0x =间断的奇函数 （D ）在0x =间断的偶函数. [ ] （9）设函数()g x 可微，1() ()e ,(1)1,(1)2g x h x h g +''===，则(1)g 等于 （A ）ln 31-. （B ）ln 3 1.-- （C ）ln 2 1.-- （D ）ln 2 1.- [ ] （10）函数212e e e x x x y C C x -=++满足的一个微分方程是 （A ）23e .x y y y x '''--= （B ）23e .x y y y '''--= （C ）23e .x y y y x '''+-= （D ）23e .x y y y '''+-= [ ] （11）设(,)f x y 为连续函数，则 1 40 d (cos ,sin )d f r r r r π θθθ? ?等于 （Ａ） 2 212 d (,)d x x x f x y y -? ? . （B ）2 212 d (,)d x x f x y y -? ? . (C) 2 212 d (,)d y y y f x y x -? ? . (D) 2 2 12 d (,)d y y f x y x -? ? . [ ] （12）设(,)(,)f x y x y ?与均为可微函数，且(,)0y x y ?'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ?=下的一个极值点，下列选项正确的是 [ ] (A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. (D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. （13）设12,, ,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ?矩阵，下列选项正确的是 [ ] (A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (D) 若12,, ,s ααα线性无关，则12,, ,s A A A ααα线性无关. （14）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加 到第2列得C ，记110010001P ?? ? = ? ??? ，则 （Ａ）1 C P AP -=. （Ｂ）1 C PAP -=. （Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）T C PAP =. ［ ］ 三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 试确定,,A B C 的值，使得2 3 e (1)1()x Bx Cx Ax o x ++=++，其中3 ()o x 是当 0x →时比3x 高阶的无穷小. （16）（本题满分10分）求 arcsin e d e x x x ?. （17）（本题满分10分）设区域{ } 22 (,)1,0D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分 221d d .1D xy x y x y +++?? （18）（本题满分12分）设数列{}n x 满足110,sin (1,2, )n n x x x n π+<<== （Ⅰ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算2 1 1lim n x n n n x x +→∞?? ??? . （19）（本题满分10分） 证明：当0a b π<<<时， sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++. （20）（本题满分12分） 设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且( ) 22z f x y =+满足等式 2222 0z z x y ??+=??. （I ）验证() ()0f u f u u '''+ =； （II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式. （21）（本题满分12分） 已知曲线L 的方程22 1, (0)4x t t y t t ?=+≥?=-?（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程；（III ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积. （22）（本题满分9分） 已知非齐次线性方程组 1234123412 341435131 x x x x x x x x ax x x bx +++=-?? ++-=-??+++=?有3个线性无关的解. （Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =；（Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解. （23）（本题满分9分） 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量 ()()T T 121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解. (Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量； (Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T Q AQ =Λ. 2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二 试题 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设x x y )sin 1(+=，则π =x dy = . （2）曲线x x y 2 3) 1(+= 的斜渐近线方程为 . （3） =--?1 2 2 1)2(x x xdx . （4）微分方程x x y y x ln 2=+'满足9 1 )1(- =y 的解为 . （5）当0→x 时，2 )(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小， 则k= . （6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵 ),,(321ααα=A ， )93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B . 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数n n n x x f 31lim )(+=∞ →，则f(x)在),(+∞-∞内[ ] (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. （8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是 N”，则必有[ ] (A) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. （9）设函数y=y(x)由参数方程???+=+=)1ln(, 22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是 [ ] (A) 32ln 81+. (B) 32ln 8 1 +-. (C) 32ln 8+-. (D) 32ln 8+. （10）设区域}0,0,4),{(2 2≥≥≤+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数， a,b 为常数，则 =+ +?? σd y f x f y f b x f a D ) ()()()([ ] (A) πab . (B) π2 ab . (C) π)(b a +. (D) π2 b a + . （11）设函数? +-+-++=y x y x dt t y x y x y x u )()()(),(ψ??, 其中函数?具有二阶导 数，ψ 具有一阶导数，则必有[ ] (A) 2222y u x u ??-=??. （B ） 2 222y u x u ??=??. (C) 222y u y x u ??=???. (D) 2 22x u y x u ??=???. （12）设函数,11 )(1-=-x x e x f 则[ ] (A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点. (C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. (D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. （13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α， )(21αα+A 线性无关的充分必要条件是[ ] (A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. （14）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, * *,B A 分 别为A,B 的伴随矩阵，则 [ ] (C) 交换* A 的第1列与第2列得* B . (B) 交换* A 的第1行与第2行得 *B . (C) 交换* A 的第1列与第2列得* B -. (D) 交换* A 的第1行与第2行得 *B -. 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim ??--→x x x dt t x f x dt t f t x （16）（本题满分11分） 如图，1C 和2C 分别是)1(2 1 x e y += 和x e y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ?= （17）（本题满分11分） 如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 ?'''+3 2 .)()(dx x f x x （18）（本题满分12分） 用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，并求其 满足2,10 =' ===x x y y 的特解. （19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f （20）（本题满分10分） 已知函数z=f(x,y) 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y) 在椭圆域}14 ),{(2 2 ≤+=y x y x D 上的最大值和最小值. （21）（本题满分9分） 计算二重积分 σd y x D ?? -+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D . （22）（本题满分9分） 确定常数a,使向量组,),1,1(1T a =α,)1,,1(2T a =αT a )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示. 2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. (1)曲线221 x x y x +=-渐近线的条数为（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2)设函数2()(1)(2) ()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f =（ ） (A) 1(1)(1)!n n --- (B)(1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - (3)设函数()f t 连续，则二次积分2 220 2cos d ()d f r r r π θ θ= ?? （ ） (A) 2 220 d ()d x x y y +? (B) 2 220 d ()d x f x y y +? (C) 2220 d ()d y x y x +? (D) 2 220 1d ()d y f x y x +? (4) 已知级数1 1 (1) n n α∞ =-∑绝对收敛，级数21(1)n n n α∞ -=-∑条件收敛，则 （ ） (A) 102α<≤ (B) 112α<≤ (C) 3 12 α<≤ (D) 3 22α<< (5)设1100c α?? ?= ? ???,2201c α?? ?= ? ? ?? ,3311c α?? ?=- ? ??? ,4411c α-?? ? = ? ??? ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量 组线性相关的为( ) (A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα (6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -?? ? = ? ??? .若123(,,)P ααα=， 1223(,,)Q αααα=+，则1 Q AQ -= ( ) 2020考研数学二真题完整版 一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1.0x +→，无穷小最高阶 A.()2 0e 1d x t t -? B.(0ln d x t ? C.sin 20sin d x t t ? D.1cos 0t -? 2.1 1ln |1|()(1)(2) x x e x f x e x -+=-- A.1 B.2 C.3 D.4 3.10x = ? A.2π4 B.2π8 C.π4 D.π8 4.2()ln(1),3f x x x n =-≥时， ()(0)n f = A.!2n n -- B.!2 n n - C.(2)!n n -- D.(2)!n n - 5.关于函数0(,)00 xy xy f x y x y y x ≠??==??=?给出以下结论 ①(0,0) 1 f x ?=? ②2(0,0) 1f x y ?=?? ③ (,)(0,0)lim (,)0x y f x y →= ④00limlim (,)0y x f x y →→=正确的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1 6.设函数()f x 在区间[2,2]-[上可导，且()()0f x f x '>>，则（ ） A.(2)1(1) f f ->- B.(0)(1) f e f >- C.2(1)(1) f e f <- D.3(2)(1) f e f <- 7.设四阶矩阵()ij A a =不可逆，12a 的代数余子式1212340,,,,A αααα≠为矩阵A 的列向量组.*A 为A 的伴随矩阵.则方程组*A x =0的通解为（ ）. 2016考研数学（一）真题完整版 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分 () 11b a dx x x +∞ +? 收敛，则（ ） ()()()()11111111 A a b B a b C a a b D a a b <>>><+>>+>且且且且 （2）已知函数()()21,1 ln ,1 x x f x x x - 2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 （1）下列函数中，在0x =处不可导的是（ ） (A)()sin f x x x = (B) ( )f x x = (C) ()cos f x x = (D) ( )f x = （2）过点()()1,0,0,0,1,0，且与曲面22z x y =+相切的平面为（ ） (A)01z x y z =+-=与 (B) 022z x y z =+-=与2 (C) 1x y x y z =+-=与 (D) 22x y x y z =+-=与2 （3）()()023 121!n n n n ∞=+-=+∑（ ） (A) sin1cos1+ (B) 2sin1cos1+ (C) 2sin12cos1+ (D) 2sin13cos1+ （4）设( )(22222222 11,,1,1x x x M dx N dx K dx x e ππ π πππ---++=== +???则（ ） (A)M N K >> (B)M K N >> (C)K M N >> (D)K N M >> （5）下列矩阵中与矩阵110011001? ? ? ? ??? 相似的为（ ） (A) 111011001-?? ? ? ??? (B) 101011001-?? ? ? ??? (C) 111010001-?? ? ? ??? (D) 101010001-?? ? ? ??? （6）()(),A B n r X X X Y 设、为阶矩阵，记为矩阵的秩，表示分块矩阵，则（ ） (A) ()(),r A AB r A = (B) ()(),r A BA r A = ()()(){}()T T 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题:1:8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请 将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. (1) 曲线221 x x y x +=-渐近线的条数 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)()x x nx y x e e e n =---L ,其中n 为正整数,则(0)y '= ( ) (A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - (3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( ) (A) 若极限00(,)lim x y f x y x y →→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (B) 若极限2200(,)lim x y f x y x y →→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限00(,)lim x y f x y x y →→+存在 (D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200 (,)lim x y f x y x y →→+存在 (4)设2 0sin (1,2,3)k x K e xdx k π==?I 则有 ( ) (A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I << (5)设1100C α?? ?= ? ???,2201C α?? ?= ? ??? ,3311C α?? ?=- ? ??? ,4411C α-?? ?= ? ??? ,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的 为( ) (A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα (6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -?? ?= ? ??? .若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则 1Q AQ -= ( ) 2017年全国硕士研究生入学统一考试 数学二真题分析 （word 版） 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. （1） ）若函数10(),0x f x ax b x ?->?=??≤? 在0x =处连续，则（ ） (A)12ab = (B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab = 【答案】A 【解析】001112lim lim ,()2x x x f x ax ax a ++→→-==Q 在0x =处连续11.22b ab a ∴=?=选A. （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（ ） 【答案】B 【解析】 ()f x 为偶函数时满足题设条件，此时01 10()()f x dx f x dx -=??，排除C,D. 取2()21f x x =-满足条件，则()112112()2103 f x dx x dx --=-=- 【答案】D 【解析】特值法：（A ）取n x π=，有limsin 0,lim n n n n x x π→∞→∞ ==，A 错； 取1n x =-，排除B,C.所以选D. （4）微分方程的特解可设为 （A ）22(cos 2sin 2)x x Ae e B x C x ++ （B ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ （C ）22(cos 2sin 2)x x Ae xe B x C x ++ （D ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ 【答案】A 【解析】特征方程为：2 1,248022i λλλ-+=?=± 故特解为：***2212(cos 2sin 2),x x y y y Ae xe B x C x =+=++选C. （5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y ??>>??，则 （A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f < 【答案】C 【解析】(,)(,)0,0,(,)f x y f x y f x y x y ??> 2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. （1） ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（ ） (A)12 ab = (B)12 ab =- (C)0ab = (D)2ab = 【答案】A 【解析】00112lim lim ,()2x x x f x ax a ++→→==Q 在0x =处连续11.22b ab a ∴=?=选A. （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且'' ()0f x >，则（ ） ()()1 1 110 1 1 1 10()()0 ()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dx D f x dx f x dx ----><> 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1:8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目 要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. (1) 曲线221 x x y x +=-渐近线的条数 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C 【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： （i ）当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。 （ii ）渐近线分为水平渐近线（lim ()x f x b →∞ =，b 为常数）、垂直渐近线（0 lim ()x x f x →=∞）和斜渐 近线（lim[()()]0x f x ax b →∞ -+=，,a b 为常数）。 （iii ）注意：如果 （1）() lim x f x x →∞不存在； （2）() lim x f x a x →∞=，但lim[()]x f x ax →∞-不存在，可断定()f x 不存在斜渐近线。 在本题中，函数221 x x y x +=-的间断点只有1x =±. 由于1 lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线. （而1 1(1)1 lim lim (1)(1)2 x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线）. 又2 1 1lim lim 11 1x x x y x →∞→∞+ ==-，故1y =是水平渐近线.（无斜渐近线） 综上可知，渐近线的条数是2.故选C. (2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---L ,其中n 为正整数,则(0) f '= ( ) (A) 1 (1) (1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - 2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. (1)曲线221 x x y x +=-的渐近线条数 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()=(1)(2)()x x nx f x e e e n ---L 其中n 为正整数,则'(0)f = ( ) (A) 1 (1) (1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (3) 设1230(1,2,3), n n n a n S a a a a >==+++L L ，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的 ( ) (A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要 (4) 设2 sin d (1,2,3),k x k I e x x k π ==?则有 ( ) (A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有 0,0,x y ??>成立的一个充分条件是 ( ) (A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12 y x x y π ==± =围成，则5(1)d d D x y x y -=?? ( ) (A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π (7) 设1100C α?? ?= ? ? ?? ，2201C α?? ?= ? ???,3311C α?? ?=- ? ???,4411C α-?? ?= ? ???,1C ，2C ，3C ，4C 均为任意常数,则下列数列组相关的 是 ( ) (A) 1α，2α，3α (B) 1α，2α，4α (C) 2α，3α，4α (D) 1α，3α，4α (8) 设A 为3阶矩阵, P 为3阶可逆矩阵,且1100010002P AP -?? ?= ? ???,若()123,,P ααα=，()1223+,,Q αααα=,则 2018年考研数学二真题及答案 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的. 1 若1) (lim 2 12 =++→x x x bx ax e ,则（ ） A 1,21-== b a B 1,21 -=-=b a C 1,21==b a D 1,2 1 =-=b a 2下列函数中不可导的是（ ） A. )sin()(x x x f = B.)sin()(x x x f = C. x x f cos )(= D.) cos()(x x f = 3设函数?? ???≥-<<--≤-=???≥<-=0 011 ,2)(0,10,1)(x b x x x x ax x g x x x f 若) ()(x g x f +在R 上连续，则（ ） A 1 ,3==b a B 2 ,3==b a C 1 ,3=-=b a D 2 ,3=-=b a 4 设函数 ) (x f 在 ] 1,0[上二阶可导，且 )(1 =? dx x f 则 （ ） A 当0 )(<'x f 时，0)21( 1987年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x =_____________时,函数2x y x =?取得极小值. (2)由曲线ln y x =与两直线e 1y x =+-及0y =所围成的平面图形的面积是 _____________. 1x = (3)与两直线 1y t =-+及121 111 x y z +++== 都平行且过原点的平面方程为_____________.2z t =+ (4)设L 为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分2(22)(4)L xy y dx x x dy -+-?= _____________. (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量 (2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 二、(本题满分8分) 求正的常数a 与,b 使等式2 01lim 1sin x x bx x →=-?成立. 三、(本题满分7分) (1)设f 、g 为连续可微函数,(,),(),u f x xy v g x xy ==+求 ,.u v x x ???? (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014?? ??=?? ????A 求矩阵.B 四、(本题满分8分) 求微分方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解,其中常数0.a > 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设2 ()() lim 1,()x a f x f a x a →-=--则在x a =处 ２0１2年考研数学三真题 一、选择题(１~8小题，每小题４分,共３2分。下列每题给出的四 个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。） (1)曲线y=x 2+x x2?1 渐近线的条数为 (Ａ)0 (B）1 (C)2 （D)3 【答案】C。 【解析】 由lim x→+∞y=lim x→+∞ x2+x x2?1 =1=lim x→?∞ y=lim x→?∞ x2+x x2?1 ， 得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线； 由lim x→1y=lim x→1 x2+x x?1 =∞得x=1是曲线的一条垂直渐近线； 由lim x→?1y=lim x→?1 x2+x x?1 =1 2 得x=?1不是曲线的渐近线; 综上所述，本题正确答案是C 【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线 (2)设函数f(x)=(e x?1)(e2x?2)?(e nx?n)，其中n为正整数， 则f′(0)= （A）(?1)n?1(n?1)! (B)(?1)n(n?1)! （C)(?1)n?1(n)! (D）(?1)n(n)! 【答案】A 【解析】 【方法1】 令g (x )=(e 2x ?2)?(e nx ?n)，则 f (x )=(e x ?1) g (x ) f ′(x)=e x g (x )+(e x ?1)g′(x ) f ′(0)= g (0)=(?1)(?2)?(?(n ?1)) =(?1)n?1(n ?1)! 故应选Ａ． 【方法2】 由于f (0)=0,由导数定义知 f ′(0)=lim x→0f(x)x =lim x→0 (e x ?1)(e 2x ?2)?(e nx ?n)x =lim x→0(e x ?1)x ?lim x→0(e 2x ?2)?(e nx ?n) =(?1)(?2)?(?(n ?1))=(?1)n?1(n ?1)!. 【方法3】 排除法，令n =2,则 f (x )=(e x ?1)(e 2x ?2) f ′(x )=e x (e 2x ?2)+2e 2x (e x ?1) f ′(0)=1?2=?1 则（B)(C)（D)均不正确 综上所述，本题正确答案是(A ） 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念 (3)设函数f(t)连续，则二次积分∫dθπ20∫f(r 2)rdr 22cos θ = (A )∫dx 20∫√x 2+y 2f(x 2+y 2)dy √4?x 2√2x?x 2 (Ｂ) ∫dx 20 ∫f(x 2+y 2)dy √4?x 2√2x?x 2 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)下列反常积分中收敛的是（） （A ） 2 dx x +∞ ? （B ）2 ln x dx x +∞ ? (C)2 1 ln dx x x +∞ ? (D)2 x x dx e +∞ ? (2)函数2 0sin ()lim(1)x t t t f x x →=+ 在(,)-∞+∞内（） （A ）连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 (3)设函数1cos ,0 ()0,0x x f x x x α β?>?=??≤? (0,0)αβ>>，若()f x '在0x =处连续，则（） （A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ (4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（） （A ）0 (B)1 (C)2 (D)3 (5).设函数(u v)f ，满足22 (,)y f x y x y x +=-，则 11 u v f u ==??与11 u v f v ==??依次是（） （A ） 12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-12 (6). 设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,3y x y x ==围成的平面区域，函数 (,)f x y 在D 上连续，则(,)D f x y dxdy ??=（） 2013年考研数三真题及答案解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．、 １．当0→x 时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A ）)()(3 2 x o x o x =? （B ）)()()(3 2 x o x o x o = （C ）)()()(2 2 2 x o x o x o =+ （D ）)()()(2 2 x o x o x o =+ 【详解】由高阶无穷小的定义可知（A ）（B ）（C ）都是正确的，对于（D ）可找出反例，例如当0→x 时)()(),()(2 3 3 2 x o x x g x o x x x f ===+=，但)()()(x o x g x f =+而不是 )(2x o 故应该选（D ）． 2．函数x x x x x f x ln )1(1)(+-= 的可去间断点的个数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】当0ln →x x 时，x x e x x x x ln ~11ln -=-， 1ln ln lim ln )1(1lim )(lim 0 ==+-=→→→x x x x x x x x x f x x x x ，所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点． 2 1 ln 2ln lim ln )1(1lim )(lim 0 1 1 = =+-=→→→x x x x x x x x x f x x x x ，所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点． ∞=+-=+-=-→-→-→x x x x x x x x x f x x x x ln )1(ln lim ln )1(1lim )(lim 1 1 1 ，所以所以1-=x 不是函数)(x f 的 可去间断点． 故应该选（C ）． ３．设k D 是圆域{ } 1|),(2 2≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记??-=k D k dxdy x y I )(，则 （ ） （A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知 2000年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1) ? =_____________. (2)曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________. (3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________. (4)已知方程组12312 112323120x a x a x ????????????+=????????????-?????? 无解,则a = _____________. (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1 9 ,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a x b <<时,有 (A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x > (C)()()()()f x g x f b g b > (D)()()()()f x g x f a g a > (2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有 (A)1 4S S xdS xdS =???? (B)1 4S S ydS xdS =???? (C) 1 4S S zdS xdS =???? (D) 1 4S S xyzdS xyzdS =???? (3)设级数 1 n n u ∞ =∑收敛,则必收敛的级数为 (A)1 (1)n n n u n ∞ =-∑ (B) 2 1 n n u ∞ =∑ (C) 21 21 ()n n n u u ∞ -=-∑ (D) 11 ()n n n u u ∞ +=+∑ (4)设n 维列向量组1,,()m m n <αα 线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ 线性无关的充分必要条件为 (A)向量组1,,m αα 可由向量组1,,m ββ 线性表示 2012考研数学二真题及参考答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. （1）曲线221 x x y x +=-渐近线的条数为（） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：C 【解析】：22 1lim 1 x x x x →+=∞-，所以1x =为垂直的 22 lim 11 x x x x →∞+=-，所以1y =为水平的，没有斜渐近线 故两条选C （2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---L ，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1 (1) (1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1 (1) !n n -- （D ）(1)!n n - 【答案】：C 【解析】： '222()(2)()(1)(22)()(1)(2)() x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+---L L L L 所以' (0)f =1 (1) !n n -- （3）设a n >0(n =1,2,…)，S n =a 1+a 2+…a n ，则数列(s n )有界是数列（a n ）收敛的 (A)充分必要条件. (B)充分非必要条件. （C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件. 【答案】：(A) 【解析】：由于0n a >，则1n n a ∞=∑为正项级数，S n =a 1 +a 2 +…a n 为正项级数1 n n a ∞ =∑的前n 项 和。正项级数前n 项和有界与正向级数1 n n a ∞ =∑收敛是充要条件。故选A （4）设2 k x k e I e =? sin x d x (k=1,2,3),则有D （A ）I 1< I 2 0,(,)f x y y ??<0,f (x 1 ,y 1 ) 2012年考研数学模拟试题（数学三） 参考答案 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） (1) 设)(x y 是微分方程x e y x y x y =+'-+''2)1(的满足0)0(=y ，1)0(='y 的解，则2 )(lim x x x y x -→ （ ） （A ）等于0. （B ）等于1. （C ）等于2. （D ）不存在. 解 20 00()()1 ()1 l i m l i m l i m (0)222 x x x y x x y x y x y x x →→→'''--''===， 将0x =代入方程，得2(0)(1)(0)(0)1y x y x y '''+-+=，又0)0(=y ，1)0(='y ，故(0 )2y ''=， 所以2 ()lim 1x y x x x →-=，选择B. （2）设在全平面上有0) ,(??y y x f ，则保证不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的条件是（ ） （A ）21x x >，21y y <. （B ）21x x <，21y y <. （C ）21x x >，21y y >. （D ）21x x <，21y y >. 解 (,) 0(,)f x y f x y x ???关于y 单调增加， 当21x x >，21y y <时，112122(,)(,)(,)f x y f x y f x y <<，选择A. （3）设)(x f 在),(+∞-∞存在二阶导数，且)()(x f x f --=，当0 绝密★启用前 2017年全国硕士研究生入学统一考试 数学（二） （科目代码302） 考生注意事项 1.答题前，考生必须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。 2.考生须把试题册上的试卷条形码粘贴条取下，粘贴在答题卡“试卷条形码粘贴位置”框中。不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。 3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。 4.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。 5.考试结束后，将答题卡和试题册按规定一并交回，不可带出考场。 2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. （1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（ ） (A)12ab = (B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（ ） （3）设数列{}n x 收敛，则（ ） ()A 当limsin 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞= ()B 当lim(0n n x →∞ =时，lim 0n n x →∞= ()C 当2lim()0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞= ()D 当lim(sin )0n n n x x →∞ +=时，lim 0n n x →∞= （4）微分方程的特解可设为 （A ）22(cos 2sin 2)x x Ae e B x C x ++ （B ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ （C ）22(cos 2sin 2)x x Ae xe B x C x ++ （D ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ （5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y ??>>??，则 （A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f < （6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ） （A ）010t = （B ）01520t << （C ）025t = （D ）025t > （7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得1012P AP -?? ?= ? ??? ， 则123(,,)A ααα=（ ） （A ）12αα+ （B ）232αα+ （C ）23αα+ （D ）122αα+ 历年考研数学一真题1987-2014 （经典珍藏版） 1987年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x =_____________时,函数2x y x =?取得极小值. (2)由曲线ln y x =与两直线 e 1y x =+-及0y =所围成的平面图形的面积是_____________. (3)与两直线 1y t =-+ 及121111 x y z +++==都平行且过原点的平面方程为_____________. (4)设L 为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分 2(22)(4)L xy y dx x x dy -+-??= _____________. (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 二、(本题满分8分) 求正的常数a 与,b 使等式2 001lim 1sin x x bx x →=-?成立. 三、(本题满分7分) (1)设f 、g 为连续可微函数,(,),(),u f x xy v g x xy ==+求,.u v x x ???? (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014????=?????? A 求矩阵. B 四、(本题满分8分) 求微分方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解,其中常数0.a > 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设2()()lim 1,() x a f x f a x a →-=--则在x a =处 (A)()f x 的导数存在,且 ()0f a '≠ (B)()f x 取得极大值 (C)()f x 取得极小值 (D)()f x 的导数不存在 (2)设()f x 为已知连续函数0,(),s t I t f tx dx =?其中0,0,t s >>则I 的值 (A)依赖于s 和t (B)依赖于s 、t 和x (C)依赖于t 、x ,不依赖于s (D)依赖于s ,不依赖于t (3)设常数0,k >则级数21(1)n n k n n ∞ =+-∑ (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)散敛性与k 的取值有关 (4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而* A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于2012年考研数学三试题
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