2015年浦东新区第二次高三数学质量检测
数学试卷（文科）
注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2.本试卷共23道试题，满分150，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）；考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.不等式32x >的解为 ..
2.设i 是虚数单位，复数()()31a i i +-是实数，则实数a = .
3.已知一个关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为112012-??
???
，则x y -= .
4.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则该数列的通项公式n a = .
5.已知21n
x x ?
?- ??
?展开式中二项式系数之和为1024，则含7x 项的系数为 .
6.已知直线3420x y ++=与()2
221x y r -+=圆相切，则该圆的半径大小为 . 7.已知,x y 满足232300
x y x y x y +≤??+≤?
?≥??≥?，则x y +的最大值为 .
8.若对任意x R ∈，不等式2sin 22sin 0x x m --<恒成立，则m 的取值范围是 .
9.已知球的表面积为264cm π，用一个平面截球，使截面球的半径为2cm ，则截面与球心的距离是 cm
10.已知{},1,2,3,4,5,6a b ∈，直线1:210l x y --=，直线2:10l ax by +-=，则直线12l l ⊥的概率为 .
11.若函数()22
3
4f x x x =+-的零点(),1m a a ∈+，a 为整数，则所以满足条件a 的值为 .
12.若正项数列{}n a 是以q 为公比的等比数列，已知该数列的每一项k a 的值都大于从2k a +开始的各项和，则公比q 的取值范围是 .
13.已知等比数列{}n a 的首项1a 、公比q 是关于x 的方程()2220x x t -+-=的实数解，若数列{}n a 有且只有一个，则实数t 的取值集合为 .
14.给定函数()f x 和()g x ，若存在实常数,k b ，使得函数()f x 和()g x 对其公共定义域D 上的任何实数x 分别满足()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为函数()f x 和()g x 的“隔离直
线”.给出下列四组函数：
①()()11,sin 2x f x g x x =+=；②()()31
,f x x g x x ==-；
③()()1,lg f x x g x x x =+=；④()()1
2,2
x x f x g x x =-=
其中函数()f x 和()g x 存在“隔离直线”的序号是 .
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）；每小题给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确
的，考生应在答题纸相应的位置上，选对得5分，否则一律不得分.
15.已知,a b 都是实数，那么“0a b <<”是“11
a b
>”的 ( )
16.平面
α上存在不同的三点到平面β的距离相等且不为零，则平面α与平面β的位置关系是 ( )
A. 平行
B. 相交
C. 平行或重
合
D. 平行或相交
17.若直线30ax by +-=与圆223x y +=没有公共点，设点P 的坐标(),a b ,那过点P 的一条直线与椭
圆22143
x y +=的公共点的个数为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2
D. 1或2 18.如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各项点依次为，
123,,,
n A A A A 则[]()12,,1
,2,3,6j i A A A A i j ?∈的值组成的集合为 ( )
A.{}2,1,0,1,2--
B.112,1,,0,,1,222??
---????
C.3
113,1,,0,,1,2222??---????
D.31132,,1,,0,,1,,22222?
?----???
?
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）：解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，写出必要
的步骤.
19. （本大题共有2个小题，满分12分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.
已知函数()(),0,a
f x x x a x =+>为实数.
（1）当1a =-时，判断函数()y f x =在()1,+∞上的单调性，并加以证明； （2）根据实数a 的不同取值，讨论函数()y f x =的最小值.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 1A 2
A 3
A 4A 5
A 6
A
20. （本大题共有2个小题，满分12分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA = （1）求异面直线PC 与BD 所成角的大小； （2）求点A 到平面PBD 的距离.
21. （本大题共有2个小题，满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.
一颗人造卫星在地球上空1630千米处沿着圆形轨
道匀速运行，每2小时绕地球一周，将地球近似为
一个球体，半径为6370千米，卫星轨道所在圆的圆 心与地球球心重合，已知卫星与中午12点整通过卫 星跟踪站A 点的正上空'A ，12：03时卫星通过C
点，（卫星接收天线发出的无线电信号所需时间忽略不计）
(1)求人造卫星在12：03时与卫星跟踪站A 之间的距离.（精确到1千米） (2)求此时天线方向AC 与水平线的夹角（精确到1分）.
P A
B C D
'A A
C O
22. （本大题共有3个小题，满分16分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.
已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足
1EA AD λ=2EB BD λ=
（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值；
（2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211
λλ+的取值范围；
（3）已知双曲线2
212:1,63
x C y λλ-=-=，求点D 的坐标.
23. （本大题共有3个小题，满分18分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分. 第（3）小题满分8分.
记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a 的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,,
n n a a ++的最小项为
n B ，令n n n b A B =-.
（1）若数列{}n a 的通项公式为221n a n n =-+，写出12,b b ，并求数列{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n a 递增，且{}1n n a a +-是等差数列，求证：{}n b 为等差数列；
（3）若数列{}n b 的通项公式为12n b n =-，判断{}1n n a a +-是否为等差数列，若是，求出公差；若不是，说明理由.
浦东新区2014学年第二学期高三教学质量检测
数学试卷（文科）答案
注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）；考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．不等式32x
>的解为 3l o g 2x >
. 2．设i 是虚数单位，复数)1)(3(i i a -+是实数，则实数a = 3 .
3．已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-?? ???
，则x y -= 2 .
4．已知数列{}n a 的前n 项和n n S n +=2，则该数列的通项公式=n a n 2 .
5．已知21n
x x ??- ??
?展开式中二项式系数之和为1024，则含2
x 项的系数为 210 .
6．已知直线0243=++y x 与圆()222
1r y x =+-相切，则该圆的半径大小为 1 .
7．已知,x y 满足????
???≥≥≤+≤+0
03232y x y x y x ，则x y +的最大值为 2 .
8．若对任意R x ∈，不等式0sin 22sin 2
<-+m x x 恒成立，则m 的取值范围是),21(+∞+. 9．已知球的表面积为64π2
cm ，用一个平面截球，使截面圆的半径为2cm ，则截面与球心的距离是23 cm .
10．已知{},1,2,3,4,5,6a b ∈，直线1:210l x y --=，直线2:10l ax by +-=，则直线12l l ⊥的概率为
1
12
. 11．若函数22
3
()4f x x x =+-的零点(),1,m a a a ∈+为整数.则所有满足条件a 的值为1或2-. 12．若正项数列{}n a 是以q 为公比的等比数列，已知该数列的每一项k a 的值都大于从2k a +开始的各
项和，则公比q 的取值范围是 51
(0,
)2
- . 13．已知等比数列{}n a 的首项1a ，公比q 是关于x 的方程22(2)0x x t -+-=的实数解，若数列
{}n a 有且只有一个，则实数t 的取值集合为 {}2,3
. 14．给定函数()f x 和()g x ，若存在实常数,k b ，使得函数()f x 和()g x 对其公共定义域D 上的任何实数x 分别满足()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为函数()f x 和()g x 的“隔离直线”. 给出下列四组函数；
① x x g x f x
sin )(,121)(=+=
； ② x x g x x f 1)(,)(3
-==；
③ x x g x x x f lg )(,1)(=+=； ④ x x g x f x
=-=)(,2
12)(
其中函数()f x 和()g x 存在“隔离直线”的序号是 ①③④ .
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）； 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正
确的，考生应在答题纸相应位置上，选对得 5分，否则一律得零分. 15．已知,a b 都是实数,那么“0a b <<”是“
11
a b
>”的 （ A ） )(A 充分不必要条件 )(B 必要不充分条件 )(C 充分必要条件
)(D 既不充分也不必要条件
16．平面α上存在不同的三点到平面β的距离相等且不为零，则平面α与平面β的位置关系为 （ D ）
)(A 平行 )(B 相交 )(C 平行或重合
)(D 平行或相交
17．若直线30ax by +-=与圆2
2
3x y +=没有公共点，设点P 的坐标(,)a b ，则过点P 的一条直
线与椭圆22
143
x y +=的公共点的个数为 ( C ) )(A 0 )(B 1
)(C 2
)(D 1或2
18．如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各顶点依次为
6321,,,,A A A A ，则j i A A A A ?21，（}6,,3,2,1{, ∈j i ）的值组成的集合为 （ D ）
)(A {}21012、、、、--
)(B ?
?????---212102112、、、、、、
A 5
A 4 A 6
)(C ??????---2312102112
3
、、、、、、
)(D ????
??
----2231210211232、、、、、、、、
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）；解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，写出必要
的步骤．
19．（本题共有2个小题，满分12分）；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.
已知函数(),(0),a
f x x x a x
=+
>为实数. （1）当1a =-时，判断函数()y f x =在()1,+∞上的单调性，并加以证明； （2）根据实数a 的不同取值，讨论函数()y f x =的最小值.
解：（1）由条件：1
()f x x x
=-在()1,+∞上单调递增.…………………………2分
任取()12,1,x x ∈+∞且12x x <
1212121212
111()()()(1)f x f x x x x x x x x x -=-
-+=-+ ……………………4分 211x x >>，∴1212
1
0,10x x x x -<+> ∴ 12()()f x f x < ∴ 结论成立 …………………………………………6分 （2）当0a =时，()y f x =的最小值不存在； …………………………………7分
当0a <时，()y f x =的最小值为0；………………………………………9分
当0a >时，()2a
y f x x a x
==+≥，当且仅当x a =时，
()y f x =的最小值为2a ；………………………………………………12分
20．（本题共有2个小题，满分14分）；第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分. 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为边长为2的正方形，⊥PA 底面ABCD , 2=PA ． （1）求异面直线PC 与BD 所成角的大小； （2）求点A 到平面PBD 的距离．
解：（1）联结AC 与BD 交于点M ，取PA 的中点
N ，联结MN ，则CP MN //，所以NMB ∠为异面
直线PC 与BD 所成角或补角．……………………2分
P
A
B
C
D
在BMN ?中，由已知条件得，5=BN ，2=
BM ，3=MN ，……………………5分
所以2
22MN BM BN +=，2
π
=
∠BMN ，所以异面直PC
与BD 所成角为
2
π
．…………………………………7分 （或用线面垂直求异面直线PC 与BD 所成角的大小） （2）设点A 到平面PBD 的距离为h ，
因为ABD P PBD A V V --=，…………………………9分
所以，1111
3232
BD PM h BC CD PA ???=???，
得3
3
2=
h ．（或在MAN Rt ?中求解）………14分
21．（本题共有2个小题，满分14分）；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.
一颗人造地球卫星在地球表面上空1630千米处沿着圆形轨道匀速运行，每2小时绕地球旋转一周.将地球近似为一个球体，半径为6370千米，卫星轨道所在圆的圆心与地球球心重合.已知卫星于中午12点整通过卫星跟
踪站A 点的正上空A '，12:03时卫星通过C 点.（卫星接
收天
线发出的无线电信号所需时间忽略不计）
（1）求人造卫星在12:03时与卫星跟踪站A 之间的
距离（精确到1千米）；
（2）求此时天线方向AC 与水平线的夹角（精确到1分）. 解：（1）设人造卫星在12:03时位于C 点处，AOC θ∠=，3
3609120
θ=??
=?，…2分 在ACO ?中，2
2
2
=6370+8000-263708000cos93911704.327AC ????=,
O
A
C
A 'N
P
A
B
C
D
M
1977.803AC ≈（千米），……………………………………………5分 即在下午12:03时，人造卫星与卫星跟踪站相距约为1978千米.…………………6分 （2）设此时天线的瞄准方向与水平线的夹角为?，则90CAO ?∠=+?，
s i n 9
s i n (90)19788000??+?=，8000
sin(90)sin 90.63271978
?+?=
?≈，…………………9分 即cos 0.6327?≈，5045'?≈?，……………………………………………………11分 即此时天线瞄准的方向与水平线的夹角约为5045'?.………………………………12分
22．（本题共有3个小题，满分16分）；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.
已知直线AD EA 1λ=l 与圆锥曲线C 相交于,A B 两点，与x 轴、y 轴分别交于D 、E 两点，且满足、BD EB 2λ=.
（1）已知直线l 的方程为42-=x y ，抛物线C 的方程为x y 42=，求21λλ+的值；
（2）已知直线l ：1+=my x （1>m ），椭圆C ：1222=+y x ，求211
1λλ+的取值范围； （3）已知双曲线C ：13
22
=-y x ，621=+λλ，求点D 的坐标. 解：（1）将42-=x y ，代入x y 42=，求得点()2,1-A ，()4,4B ，
又因为()0,2D ，()4,0-E ，……………………………………………………2分
由AD EA 1λ= 得到，()()2,12,11λ=()112,λλ=，11=λ，
同理由BD EB 2λ=得，22-=λ.所以21λλ+=1-.………………………4分
（2）联立方程组：???=-++=02212
2y x my x 得()
01222
2=-++my y m ， 21,22221221+-=+-=+m y y m m y y ，又点()??? ?
?
-m E D 1,0,0,1，
由AD EA 1λ= 得到1111
y m y λ-=+，???? ??+-=11111y m λ， 同理由BD EB 2λ= 得到2221
y m y λ-=+，???
?
?
?+-=22111y m λ，
21λλ+=4212)(122121-=???
???+-=???? ??++-m m y y y y m ，即21λλ+4-=，…6分 21214
11λλλλ-=+12144λλ+=()4
2421-+=λ, ………………………………8分 因为1>m ，所以点A 在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知
()
0,221-∈λ，所以
()2,1
1
2
1
-∞-∈+
λλ.………………………………10分
（3）直线l 的方程为t my x +=，代入方程13
22
=-y x 得到:()()
0323222=-++-t mty y m .
33,3
222212
21---=--=+m t y y m mt
y y ,3
2112
21--=+t mt
y y (1) 而由AD EA 1λ=、BD EB 2λ=得到：???
?
??++=+-2121112)(y y m t λλ (2)
621=+λλ (3) …………………………………………………………………12分
由（1）（2）（3）得到：63222-=??
?
??--+
t mt m t ，2±=t ， 所以点)0,2(±D ，………………………………………………………………14分 当直线l 与x 轴重合时，a t a +-
=1λ，a t a -=2λ或者a t a -=1λ，a
t a +-=2λ， 都有622
2
2
21=-=+a
t a λλ也满足要求， 所以在x 轴上存在定点)0,2(±D .……………………………………………16分
23．（本题共有3个小题，满分18分）；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分.
记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a 的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,,
n n a a ++的最小项
为n B ，令n n n b A B =-．
（1）若数列{}n a 的通项公式为221n a n n =-+，写出12b b 、，并求数列{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n a 递增，且{}1n n a a +-是等差数列，求证：{}n b 为等差数列；
（3）若数列{}n b 的通项公式为12n b n =-，判断{}1n n a a +-是否等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由．
解：因为数列{}n a 单调递增，1232,7,16a a a ===，
所以1275b =-=-；27169b =-=-；……………………………………2分
当3n ≥时，141n n n b a a n +=-=--
数列{}n b 的通项公式141n n n b a a n +=-=-- ………………………………4分 （2）数列{}n a 递增，即123n a a a a <<<
<<
，令数列{}1n n a a +-公差为d '
1112,n n n n n
n
n n
b A B a a b a a ++++=-=-=-…………………………………6分 11
21()()
n n n n n n b b a a a a ++++-=---[]211()()n n n n a a a a d +++'=----=- 所以{}n b 为等差数列.………………………………………………………10分
（3）
数列{}n b 的通项公式为12n b n =-，∴n b 递减且0n b <.
…………12分
由定义知，1,n n n n A a B a +≥≤………………………………………………14分
10n n n n n
b A B a a +>=-≥- ∴1n n a a +>，数列{}n a 递增，即121n n a a a a +<<
<<<
…………16分
()()21112
1
11()()()()()12122n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a b b b b n n ++++++++---=--+-=-+=--=-----=????
………………18分