第三章 离散傅立叶变换与快速算法
学习要点：
DTFT 的缺点：
(1) DTFT 计算任何一个频谱值需要所有的信号数据，实际处理中需要大量的存
储量； (2) 无法实时处理，因为信号的频谱必须在所有信号都输入之后才能计算； (3) 计算得到的频谱是连续的，无法用有限个数字存储器存储。
DFT 运用有限个信号值计算信号的离散频谱，克服了DTFT 的缺点。 主要内容：
1. 周期信号的离散傅立叶级数表示：DFS
2. 离散傅立叶变换 : DFT
3. 短时离散傅立叶变换分析
4. 快速傅立叶变换 : FFT
5. FFT 的应用
3.1周期信号的离散傅立叶级数表示
周期信号 :
周期信号不满足绝对可和的条件，大部分周期信号的傅立叶变换是不存在的。 对周期信号来说，一个周期反映所有的时域特征信息，因此，相应的频域特征信息也可以通过一个周期的信号进行分析。
DFS （离散傅立叶级数）
DFS: 离散傅立叶级数
,...
2,1,0)()(±±=+=r rN n x n x ()()
x n x n rN r N =+周期序列：为任意整数 为周期000 ()() ()()a a jk t
a k x t x t kT T x t A k e
∞
Ω=-∞
=+=
∑连续周期函数：
为周期0 ()()jk n
k N x n A k e ω∞
=-∞
=∑
为周期的周期序列：
kn
N 2j 1N 0
k k e
c N 1)n (x π
-=∑=
? DFS: 离散傅立叶级数
一个周期为N 的离散信号可以
用N 个复正弦信号的线性加权表示。
? 傅立叶系数
描述了周期信号的频谱
? 频率表示 x(n)共有N 个频率
Example 3－1:
( One period )
DFS of periodical signal
当周期信号作用于线性移不变系统
kn N 2j 1N 0
k k
e
c N 1)n (x π
-=∑
=kn N 2j 1
N 0
n k
e )n (x c π--=∑
=1N ~0k ,N k 2k
-=π=ω?????<≤≤≤=840
301)(n n n x k
8
3j 70
n kn 82j k e )8k sin()2k
sin(e )n (x c π-=π-ππ==∑7~0,)8sin()2sin(||=ππ=k k k c k 7~0,8
3=π-=θk k k
n )(n x
||k c
θ
kn N
2j
1
N 0
k k e c N 1
)n (x π-=∑=
kn N 2j 1N 0
k k kn N
2j 1
N 0
k k N
2j k e c ~N 1e )e (H c N 1)n (y π
-=π
-=π∑∑==)
e
(H c c ~k N
2j
k k π
=
2、周期卷积
定义
周期卷积和线性卷积的区别仅仅在于累加求和的范围。
周期性
卷积特性
c1k 和 c2k 分别是信号x1(n) and x2(n)的傅立叶系数。
Example 3-2:
3.2离散傅立叶变换DFT
DFT 适用于非周期信号和有限长信号。 DFT 定义: x(n) 仅分布在[0，N-1]区间
如果上式中的有限长信号x(n)是周期信号x(n)的一个周期的话，那么离散傅立
叶变换值X(k)，k=0~N-1与离散傅立叶系数Ck 的一个周期，Ck （k=0~N-1）完全相等。
DTFT 经过频域采样得到DFT 。 是以2π为周期的连续频谱，也是x(n)在单位圆上的z 变换。如果对该连续频谱以等间隔方式采样（频域采样），则频率间隔为 ，在0~2π内共有N 个频率采样点。
∑-=-=?=1
N 0
k 2121)
k n (x )k (x )n (x )n (x )n (x )n (x )k n (x )k (x )
k N n (x )k (x )N n (x )N n (x )N n (x 1
N 0
k 211N 0
k 2121=-=-+=
+?+=+∑∑-=-=k k 212c 1c )n (x )n (x ????
?<≤≤≤=??
?<≤≤≤=8
n 41
3n 00
)n (x 8
n 40
3n 01)n (x 21
n
n
n
)n (x
4
)7(x 3
)6(x 2)5(x 1)4(x 0)3(x 1)2(x 2)1(x 3)0(x ========)
n (x )n (x )n (x 21?=1
N ~0k ,e
)n (x )k (X 1N 0
n kn N 2j -==∑-=π-()j X e ωN /2πω=?
N=8 点频率采样
Example 3-3:
(1) (2)
(3)
(4)
Example 3-4:
∑∑-=π-π=ω-=ω-π=
ωω
===1
N 0
n nk N
2j
k
N
21
N 0
n n
j k N
2j e
)n (x e
)n (x )
e (X )k (X 1N ~0k ,k N
2k k -=π=?ω?=ω }Z ??
?
??≤≤≤≤=other
7n 41
3n 02
)n (x k
8
3j k 8
2j
k j k j kn 8
2j
30
n k
j kn 8
2j
3
n kn 8
2j
7
4
n kn 82j
3
0n kn 8
2j
7
0n e )
8sin()2k
sin())
k cos(2(e
1e 1)
e 2(e
e
e
2e
e
2e
)n (x )k (X π-π-π-π-π-=π-π-=π-=π-=π-=ππ+=--+=+=+==∑∑∑∑∑7
~0)
8
sin()
2sin(
))
cos(2()(=+=k k k
k k X πππ)1N (N f
,)2N (N f ,...,3N f ,2N f ,N f ,0:f )1N (N 2,)2N (N 2,...,3N 2,2N 2,N 2,0:1
N ,2N ,...,3,2,1,
0:k s s s s s --??-π
-π?π?ππω--
6
4
k
ω 2
)(k X
)(ωj e X
1
3
5
7
128
n 0,)n 2.0sin()n 5.0cos()n (x <≤π+π=∑=π-π+π=127
n kn 128
2j e
))n 2.0sin()n 5.0(cos()k (X
离散傅立叶反变换IDFT
IDFT 定义
3.3离散傅立叶变换的特性
主要特性：（1）有限长特性； （2）卷积特性 1、有限长特性和频率采样定理
设信号 x(n)的时域分布长度为N,那么，频域采样点数M 必须满足M≥N 才能保证原始信号可以无失真地从 0~2π区域的M 个离散频谱值恢复。 (1)采样
设一个任意长度信号x （n ）存在傅立叶变换 ，对 在[0,2π]之间分布的频谱进行M 点等间隔采样离散化，可得响应的离散频谱
(2) 恢复
)(n x
n
k
|)(|k X
1
N ~0n ,
e )k (X N 1)n (x 1
N 0
k kn N 2j -==∑-=π
9
~0n ,)5
n sin()
2
5n cos(e )k (X 101)n (x 90k kn 102j =π=π
-π==∑=π
()j X e ω()j X e ω∑∑∞
-∞
=π-π=ω∞
-∞
=ω-π=
ωω
===n nk M
2j
k
M
2n n
j k M
2j e
)n (x e
)n (x )
e (X )k (X 22211002211()()
00
11
()[()]11
[()]()[]
N N j kn j km j kn N N N k k m N N j k m n j k m n N N
k m m k X k e x m e e N N x m e x m e
N N ππππ
π--∞-===-∞
-∞∞
-----==-∞=-∞
====∑∑∑∑∑∑∑21()0
,0,1,2,...
N j k m n N k N m n rN r e
π---=-==±±?=??∑其他
21
1()()()()()
N j kn N
x n X k e x m m n rN x n rN πδ-∞∞==--=+∑∑∑
x(n) 是原始信号的N 点周期延拓并叠加后构成的周期信号。
对于任意长信号，不能根据频域的有限个离散频谱无失真地恢复原始信号x(n)。
2、循环卷积特性
循环卷积
(1) x1(n) 和 x2(n)长度相同；
(2) 和 是 x1(n) 和 x2(n) 的周期延拓；
(3) x1(n) 和 x2(n) 的循环卷积等于相应周期信号 和 周期卷积形成的周期信号的一个基本周期。 Example 3-6:
（1）
（2）
（3）
)()](~)(~[)()(2121n R n x n x n x n x N ??=⊙)(~1n x )(~1n x )(~1n x
2()x n ??
?<≤≤≤=??
?<≤=10
n 50
4
n 01
)n (x others
10
n 01)n (x 21)(])(~)(~[)()()(109
2121n R m n x m x n x n x n x m ?∑-===⊙
)n (x ~1
)n
5)9(x 5
)8(x 5)7(x 5)6(x 5)5(x 5)4(x 5)3(x 5)2(x 5
)1(x 5
)0(x ==========??
?<≤=others
10n 05)n (x
)n (x
循环卷积特性
Example 3-7:
证明 成立。
3.4短时离散傅立叶变换分析
问 题
(1) 信号的长度不是有限长或者长度太长；
(2) 缺乏对信号时变特性的动态跟踪能力。
平 稳
非 平 稳
答 案
(1) 对信号加某种形状和长度的窗口；
(2) 窗口不断移动。
1. 短时离散傅立叶变换
短时离散傅立叶变换的核心思想是将一个无限长或者很长的信号分段计算，以获取随时间变化的频谱特征信息。
短时离散傅立叶变换定义
其中
上式表示：时间点m 处的短时离散傅立叶变换是以m 为起始点的N 个信号值与窗函数乘积的N 点DFT.
1
~0,)()()]([)
()()()],([)()],([)(21212211-=====N k k X k X n x DFT n x n x n x n x DFT k X n x DFT k X ⊙??
?<≤≤≤=???<≤=10
n 50
4
n 01)n (x others 010n 01)n (x 21)()(
)]([21k X k X n x DFT =???====
∑=π-9~1k 00k 10e
)k (X 9
0n kn 10
2j
19
~0k ,
e
)k (X 4
n kn 10
2j
2==∑=π-???====
∑=π-9
~1k 0
0k 50e
5)k (X 9
n kn 10
2j
4
,3,2,1,0,0)12(0
)2(5)0(222=≠+==r r X r X X n
)
123
n
)n (x
1231
N ~0k ,e
)m n (w )n (x )k (X n )m n (k N
2j
m -=-=∑∞
-∞=-π
-()0()0
f n n N
w n ≤
?1
~0,)()()(10
2-=∑+=-=-N k e
p w m p x k X N p kp N
j
m π1
~0,)()()(12-=∑+=--N k e
p w m p x k X N kp N
j m π
没有必要对所有时间点求短时离散傅立叶变换，即M 的移动步长不为1。步长多少合适完全由信号的非平稳性决定，信号变化越快，步长越短。
短时离散傅立叶变换得到一系列随时间变化的短时离散频谱，这些频谱构成了一个（时间-频率-幅度）三维空间。
2. 频率分辨率和时间分辩率 （1）频率分辨率
反映离散频谱能够描述频谱特征变化的最小频率间隔。 N 点DFT 频谱：离散频率点之间的间隔
Example 3-8: 时域采样频率为1000Hz ，对信号加矩形窗计算短时谱，求窗宽分别为64、128、256、512四种不同情况下的STDFT 幅度谱。
频率分辨率的短时谱
Hamming
)
m n (-
N 2π=ω?N f f s
=?)
n 72.0sin()n 7.0sin()n (x π+π=2100
210
()()()[sin(0.7)sin(0.72)]N j kn N
m n N j kn N
n X k X k x n e n n e ππππ--=--====+∑∑k
|)(|k X m
k |)(|k X m
只有当短时窗宽度达到N=256时才能满足频率表分辨率的要求。
（2） 时间分辨率
时间分辨率的高低说明了短时谱随时间变化的及时性。只有非平稳信号才需要考虑时间分辨率。
N-
点
3. 频率分辨率和时间分辨率的关系与协调 设短时分析窗的时长为Δt ，采样频率为fs ，则该短时窗包含了N= Δt*fs 个采样点。
k
|)(|k X m
10/25f Hz Hz
?==s
f N t /=? n
1233L
2L
L 0
频率分辨率指标
二者协调
补零法：用窄的短时窗获得时间分辨率，在截取的信号后补零提高频率分辨率。补零后频谱不变化。
时间点m 处的加窗截取短时信号 是长度为N 的有限长信号。
补L 个零 补零后，离散频谱的频率分辨率指标为
Example 3-9:
Example 3-8:
时域采样频率为1000Hz
128点信号后补128个0 256点信号后补256个0
t
1N f f s ?==
?1
t f =???()()()m x n x n m n ω=+?1
()()N j j n
m m n X e x n e ω
ω--==∑???+<≤<≤=L
N n N 0
N n 0)
n (x )n (x m
'm 1
''
11
10
()()()()()()
N L j j n
m m n N N L j n
j n
m m n n N
N j n m n j m X e x n e x n e
x n e x n e X e ωωωωωω+--=-+---==--==''=+
==∑
∑∑
∑1'
'0()()N L j j n
m
m n X e x n e ω
ω+--==
∑
21
''0
21'0
()()()N L j
kn N L
m
m
n N j
kn N L
m
n X k x n e
x n e
π
π
+--+=--+==
=∑
∑0~1
k N L =+-2,s f f N L N L
π
ω?=
?=++
)n 72.0sin()n 7.0sin()n (x π+π=
k
|)(|k X m
k
|)(|k X m
3.5 快速傅立叶变换（FFT ，Fast Fourier T ransform ） 回顾：DFT 、STDFT
DFT ：计算有限长信号的频谱 （1）信号长度太长；
（2）不适用于非平稳信号。 STDFT ：（1）频谱泄露；
（2）频率分辨率和时间分辨率相互制约。
DFT 的运算量
注意：
1）x(n)为复数，
也为复数。
2）DFT 与IDFT 的计算量相当。 运算量
(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(bc+ad)
一次复乘1μs ，N =4096，DFT 复乘运算时间为 直接计算DFT 的问题：运算量太大；
改进途径：长序列DFT 分解为短序列DFT 。 FFT 算法的基本思想：
利用DFT 系数的特性，合并DFT 运算中的某些项 把长序列DFT→短序列DFT ，从而减少运算量。
复数乘法 复数加法 一个X (k ) N N-1 N 个X (k ) (N 点DFT) N 2 N(N-1)
实数乘法 实数加法 一次复乘 4 2 一次复加
0 2
N 个X (k )(N 点DFT)
4N 2
2N 2+2N(N-1)
k
|)(|k X m
10)()]([)(1
-≤≤==∑-=N k W n x n x DFT k X N n nk N
1
0)(1
)]([)(10
-≤≤==∑-=-N n W k X N
k X IDFT n x N k nk
nk N
j
nk N e W π
2-=∑
=-=10
)()(N n nk
N
W n x k X s
s 1716777216)4096(2≈=μ
FFT 算法分类:
（1）基于时选的FFT （DIT: Decimation-In-Time ）
（2）基于频选的FFT （DIF: Decimation-In-Frequency ） 3.5.1 基于时选的快速傅立叶变换
1、定义：
设输入序列长度为N=2L （L 为正整数），将该序列按时间顺序的奇偶分解为越来越短的子序列，称为基于时选的快速傅立叶变换。 若N=2L 不满足，加零补长使其达到 N=2L 。 2、算法步骤
（1）分组，变量置换
将x(n)按n 的奇偶分为两组，作变量置换:
当n=偶数时，令n=2r ; 当n=奇数时，令n=2r+1; 得到：
（2）代入DFT 中
（1）
（2） （3）利用DFT 的周期特性
（4）画蝶形图
蝶形运算流图符号
1 0 ) ( )] ( [ ) ( 1 0
- ≤ ≤ = = ∑
- = N k W n x n x DFT k X N n nk N
1, 0
()12()()2(210-=?
??
=+=N r r x r x r x r x (
)12r k N
1
2/0
k2r N
1
2/0
W )12( W
)2()(+-=-=∑∑++
=
N r N r r x r x k X 1
0)
()( W
)(W
W )()(10kn 2
N 12/0
1
k N
kn 2
N 12/0
-<≤?+=+=
∑∑-=-=N k k X W k X n x n x
k X k
N N n N n ??
?=+=+)()2/()
()2/(1100k X k N X k X k N X )
2/()2/()2/(1)
2/(0k N X W k N X k N X k N N +++=++1
,,1,0)()()(210-=+=N k
N k k X W k X k X 1
,,1,0)
()(210-=-=N k
N k k X W k X )()()(10k X W k X k X k
N +=)()()2/(10k X W k X k N X k N
-=+1
,,1,02-=N k
说明： (1) 左边两路为输入，右边两路为输出； (2) 没有标系数时，传输系数为1；
（3）1个蝶形运算需要1次复乘，2次复加。
8点DFT 分解为两个4点DFT
（5）进一步分解： 4点DFT 分解成两个2点DFT
)
(0k X )
(1k X k
N
W )
()(10k X W k X k
N --1
x(0)
x(2) x(4) x(6) x(1) x(3) x(5) x(7)
X(0) X(1) X(2) X(3)
X(4) X(5)
X(6) X(7)
)()()(12/00k G W k G k X k
N +=)
()()4/(12/00k G W k G N k X k
N -=+14
,
,1,0-=N
k
)0(x )4(x )2(x )6(x )0(0X
)1(0X
)2(0X
)3(0X
)
()(10k X W k X k
N +
8点DFT 分解为四个2点DFT
（6）两点DFT 的蝶形运算流图
8点基于时选的FFT 运算流图
4
/N
G 0(0)
G 1(1)
x(0)
x(4)
x(0) x(4) x(2) x(6) x(1) x(5) x(3) x(7) X(0)
24
W 888
课堂练习一：画出N=4的基于时选的FFT 流程图，并利用该流程图计算
x(n)=[1,1,1,1]的4点DFT 。
3.5.2 基于频选的快速傅立叶变换 在基2快速算法中，频域抽取法FFT 也是一种常用的快速算法，简称DIF―FFT 。 设序列x(n)长度为N=2M ，首先将x(n)前后对半分开，得到两个子序列，其DFT 可表示为如下形式
N N
N N N 2log log )2/(22
2==
ρN
N
N
2log 2=
ρ ∑∑∑===+
=
=1
-N N/2n kn N
1
-N/20
n kn N
1
-N 0
n kn N
W
n x W
n x W
n x X(k))()()(∑∑=+=++
=
1
-N/20
n )2/(1
-N/20
n )2/()( N n k N
kn N
W
N n x W
n x ∑∑==+-+
=
1
-N/20
n 1
-N/20
n )2/()
1()(kn
N
k
kn N
W N n x W
n x 1
,...1,0-=N k ()
k
jk k N
N j
kN N
e e
W
12
22/-===--ππ式中，()[]
∑-=-=+-+=∴12/0
1
,.....1,0,)2/(1)()(N n kn
N
k N k W N n x n x k X :)(k 分为两部分的奇偶可把按k X ∴
1
2/....2,1,0,1
2,2-=+==N r r k r k 及令为偶数时，
K ()[][]∑
∑
-=-=++=
++=
1
2/0
2
/1
2/0
2)2/()()2/()(2N n rn
N N n rn N W N n x n x W N n x n x r X
DIF―FFT 一次分解运算流图(N=8)
DIF―FFT 二次分解运算流图(N=8)
)
2/()()(1N n x n x n x ++=[]n
N
W N n x n x n x )2/()()(2+-=)
(n x )
2/(N n x +
x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7)
X(0) 为奇数时，
K ()[][]∑∑-=-=++-=
+-=
+1
2/0
2
/12/0
12)2/()()2/()(12N n rn N n
N N n n
r N
W W
N n x n x W N n x n x r X ）（[]1
,...,1,0)2/()()()
2/()()(221-=???+-=++=N n
N n W N n x n x n x N n x n x n x 令
x (0)x (1)x (2)x (3)x (4)x (5)x (6)(0)(4)(2)(6)(1)(5)(3)
DIF―FFT 运算流图(N=8)
时间抽取算法与频率抽取算法的比较：1)计算量是相同的2)都适用于原位运算3) 均存在码位倒序问题4)基本运算是蝶形运算。
3.5.3 同址计算问题
FFT 的每级（列）计算都是由N 个复数数据（输入）两两构成一个蝶型（共N/2个蝶形）,运算而得到另外N 个复数数据（输出）。
初始化排序
由N=8蝶形图看出：原位计算时，FFT 输出的X(k)的次序是顺序排列的，即X(0)…X(7),但输入x(n) 按x(0), x(4),x(2),x(6) ,x(1),x(5),x(3),x(7)的顺序存入存储单元，即为乱序输入，顺序输出。
这种顺序看起来相当杂乱，然而它是有规律的。即码位倒读规则（倒位序）。 倒位序的实现 以N=8为例
地址n
二进制码表示
码位倒读
码位倒置顺序n’
0 1 2 3 4 5 6 7
000 100 010 110 001 101 011 111
0 4 2 6 1 5 3 7
000 001 010 011 100 101 110 111
N
X (0)X (4)X (2)
X (6)X (1)
X (5)X (3)
X (7)
x (0)x (1)x (2)x (3)x (4)x (5)x (6)x (7)
)(1
k X m -)
(1j X m -)
(k X m )
(j X m r N
W 1
-
3.5.4 IDFT 的快速算法－IFFT
上述FFT 算法流图也可以用于离散傅里叶逆变换(Inverse Discrete Fourier Transform ，简称IDFT)。
比较DFT 和IDFT 的运算公式：
1) 旋转因子： 2) 系数：
DIT―IFFT 运算流图(防止溢出)
如果希望直接调用FFT 子程序计算IFFT ，则可用下面的方法：
对上式两边同时取共轭，得：
1
0)()]([)(1
0-≤≤==∑-=N k W n x n x DFT k X N n nk
N
1
0)(1)]([)(1
-≤≤==∑-=-N n W k X N k X IDFT n x N k nk
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21=，x (0)x (4)x (2)x (6)x (4)x (5)x (3)x (7)
X (0)X (1)X (2)X (3)X (4)X (5)X (6)X
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XXXX大学 2012届学士学位论文 离散傅里叶变换的分析与研究 学院、专业物理与电子信息学院 电子信息工程 研究方向数字信号处理 学生姓名XX 学号 XXXXXXXXXXX 指导教师姓名XXX 指导教师职称讲师 2012年4月26日
离散傅里叶变换的分析与研究 XX 淮北师范大学物理与电子信息学院 235000 摘要离散傅里叶变换是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，是对连续时间信号频谱分析的逼近。离散傅里叶变换不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心作用。 本文首先介绍了离散傅里叶变换的定义及性质，然后介绍了离散傅里叶变换的应用，主要包括对线性卷积的计算和对连续信号的谱分析。在理解理论的基础上，在matlab环境下实现了线性卷积和对连续信号频谱分析的仿真。仿真结果表明：当循环卷积长度大于或等于线性卷积长度时，可利用循环卷积计算线性卷积；利用DFT对连续信号进行频谱分析必然是近似的，其近似的结果与信号带宽，采样频率和截取长度都有关。 关键词离散傅里叶变换；线性卷积；谱分析
The Analysis and Research of Discrete Fourier Transform XX School of Physics and Electronic Information, Huai Bei Normal University, Anhui Huaibei, 235000 Abstract The discrete Fourier transform is the form that the continuous Fourier transform are discrete both in the time domain and frequency domain,it is a approach to the analysis of continuous time signal spectrum . The discrete Fourier transform not only has important significance in theory, but also plays a central role in all kinds of signal processing . This paper introduced the definition and properties of the discrete Fourier transform first of all.Then introduced the application of the discrete Fourier transform, which mainly including the calculation of linear convolution and analysis of continuous signal the spectral. On the basement of understanding theory, we realized the linear convolution and analysis of continuous signal spectrum on the Matlab environment . The simulation results show that when the length of the cyclic convolution is equal to or greater than linear convolution,we can use cyclic convolution to calculate linear convolution;It is approximately use continuous DFT spectrum to analyze the frequency domain of continuous time signal, the approximation of the results is related to the signal bandwidth, sampling frequency and intercept length. Keywords The discrete Fourier transform; Linear convolution; Spectrum analysis
河北联合大学 本科毕业设计（论文） 题目傅里叶变换在信号与系统中的应用 院系理学院 专业班级07数学一班 学生姓名刘帅 学生学号200710050113 指导教师佟玉霞 2011年5月24日
题目傅里叶变换在信号与系统中的应用 专业数学与应用数学姓名刘帅学号200710050113 主要内容、基本要求、主要参考资料等 主要内容 傅里叶变换是一种重要的变换，且在与通信相关的信号与系统中有着广泛的应用。本文主要研究傅里叶变换的基本原理；其次，掌握其在滤波，调制、解调，抽样等方面中的应用。分析了信号在通信系统中的处理方法，通过傅里叶变换推导出信号调制解调的原理，由此引出对频分复用通信系统的组成原理的介绍。 基本要求 通过傅里叶变换实现一个高通滤波，低通滤波，带通滤波。用傅里叶变换推导出信号调制解调的原理。通过抽样实现连续信号离散化，简化计算。另外利用调制的原理推导出通信系统中的时分复用和频分复用。 参考资料 [1]《信号与系统理论、方法和应用》徐守时著中国科技大学出版社 2006年3月修订二版 [2]《信号与系统》第二版上、下册郑君里、应启珩、杨为理著高等教育出版社 [3]《通信系统》第四版 Simon Haykin 著宋铁成、徐平平、徐智勇等译沈 连丰审校电子工业出版社 [4]《信号与系统—连续与离散》第四版 Rodger E.Ziemer 等著肖志涛等译 腾建辅审校电子工业出版社 [5]《现代通信原理》陶亚雄主编电子工业出版社 [6]《信号与系统》乐正友著清华大学出版社 [7]《信号与线性系统》阎鸿森、王新风、田惠生编西安交通大学出版社 [8]《信号与线性系统》张卫钢主编郑晶、徐琨、徐建民副主编西安电 子科技大学出版社 [9] https://www.doczj.com/doc/b113861715.html,/view/191871.htm//百度百科傅里叶变换 [10]《通信原理》第六版樊昌信曹丽娜编著国防工业出版社 [11]A．V．Oppenheim,A.S.Willsky with S.H.Nawab.Siganals and systems(Second edition).Prentice-Hall,1997.中译：刘树棠。信号与系统。西安交通工业大学出版社 完成期限 指导教师 专业负责人
数字信号处理实验 实验二、离散傅立叶变换及谱分析 学院：信息工程学院 班级：电子101班 姓名：*** 学号：******
一、实验目的 1．掌握离散傅里叶变换的计算机实现方法。 2．检验实序列傅里叶变换的性质。 3．掌握计算序列的循环卷积的方法。 4．学习用DFT对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差，以便在实际中正确应用DFT。 二、实验内容 1．实现序列的离散傅里叶变换并对结果进行分析。（自己选择序列，要求包括复序列，实序列，实偶序列，实奇序列，虚奇序列） 本例检验实序列的性质DFT[xec(n)]=Re[X(k)] DFT[xoc(n)]=Im[X(k)] (1)设 x(n)=10*(0.8).^n（0<=n<=10），将x(n)分解为共扼对称及共扼反对称部分 n=0:10; x=10*(0.8).^n; [xec,xoc]=circevod(x); subplot(2,1,1);stem(n,xec); title('Circular -even component') xlabel('n');ylabel('xec(n)');axis([-0.5,10.5,-1,11]) subplot(2,1,2);stem(n,xoc); title('Circular -odd component') xlabel('n');ylabel('xoc(n)');axis([-0.5,10.5,-4,4]) figure(2) X=dft(x,11); Xec=dft(xec,11); Xoc=dft(xoc,11); subplot(2,2,1);stem(n,real(X));axis([-0.5,10.5,-5,50]) title('Real{DFT[x(n)]}');xlabel('k'); subplot(2,2,2);stem(n,imag(X));axis([-0.5,10.5,-20,20]) title('Imag{DFT[x(n)]}');xlabel('k'); subplot(2,2,3);stem(n,Xec);axis([-0.5,10.5,-5,50]) title('DFT[xec(n)]');xlabel('k'); subplot(2,2,4);stem(n,imag(Xoc));axis([-0.5,10.5,-20,20]) title('DFT[xoc(n)]');xlabel('k'); 实验说明： 复数序列实数部分的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的共轭对称分量，复数序列虚数部分的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的反对称分量，复序列共轭对称分量的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的实数部分，复序列反对称分量的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的虚数部分。
实验报告 课程名称： 信号分析与处理 指导老师： 成绩：__________________ 实验名称：离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 实验类型： 基础实验 同组学生姓名： 第二次实验 离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 一、实验目的 1.1掌握离散傅里叶变换（DFT ）的原理和实现； 1.2掌握快速傅里叶变换（FFT ）的原理和实现，掌握用FFT 对连续信号和离散信号进行谱分析的方法。 1.3 会用Matlab 软件进行以上练习。 二、实验原理 2.1关于DFT 的相关知识 序列x (n )的离散事件傅里叶变换（DTFT ）表示为 n j n j e n x e X Ω-∞ -∞ =Ω ∑= )()(， 如果x (n )为因果有限长序列，n =0,1,...,N-1，则x (n )的DTFT 表示为 n j N n j e n x e X Ω--=Ω ∑=1 )()(， x (n )的离散傅里叶变换（DFT ）表达式为 )1,...,1,0()()(21 -==--=∑N k e n x k X nk N j N n π， 序列的N 点DFT 是序列DTFT 在频率区间[0,2π]上的N 点灯间隔采样，采样间隔为2π/N 。通过DFT ，可以完成由一组有限个信号采样值x (n )直接计算得到一组有限个频谱采样值X (k )。X (k )的幅度谱为 )()()(22k X k X k X I R += ，其中下标R 和I 分别表示取实部、虚部的运算。X (k )的相位谱为 ) () (arctan )(k X k X k R I =?。 离散傅里叶反变换（IDFT ）定义为 )1,...,1,0()(1)(21 -==∑-=N n e k X N n x nk N j N n π 。 2.2关于FFT 的相关知识 快速傅里叶变换（FFT ）是DFT 的快速算法，并不是一个新的映射。FFT 利用了n N j e π2-函数的周期性 和对称性以及一些特殊值来减少DFT 的运算量，可使DFT 的运算量下降几个数量级，从而使数字信号处 装 订 线
第3章 离散时间傅里叶变换 在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。 3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质 3.1.1 非周期序列傅里叶变换 1．定义 一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为： 正变换： ∑∞ -∞ =ω-ω = =n n j j e n x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1) 反变换： ? π π -ωωω-ωπ = =d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2) 记为： )()(ω?→←j F e X n x 当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。 [例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 解：由定义式(3-1-1)可得 ωω=--=--== = ω-ω-ωω-ω-ωω-ω -ω-ω-=ω-∞ -∞ =ω ∑∑ 2 1sin 3sin )() (11)()(2 521 212133365 6j j j j j j j j j n j n n j n j e e e e e e e e e e e n R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件： 图3-1
x=[1,1,1,1];w=[0:1:500]*2*pi/500; [H]=freqz(x,1,w); magH=abs(H);phaH=angle(H); subplot(2,1,1);plot(w/pi,magH);grid;xlabel('');ylabel('|X|'); title('DTFT的幅度') subplot(2,1,2);plot(w/pi,phaH/pi*180);grid; xlabel('以pi为单位的频率');label('度'); title('DTFT的相角')
N=4;w1=2*pi/N;k=0:N-1; X=fft(x,N); magX=abs(X);phaX=angle(X)*180/pi; subplot(2,1,1);plot(w*N/(2*pi),magH,'--');axis([-0.1,4.1,0,5]);hold on; stem(k,magX);ylabel('|X(k)|');title('DFT的幅度:N=4');text(4.3,-1,'k'); hold off; subplot(2,1,2);plot(w*N/(2*pi),phaH*180/pi,'--');axis([-0.1,4.1,-200,200]); hold on; stem(k,phaX);ylabel('度');title('DFT的相角:N=4');text(4.3,-200,'k')
n=(0:1:9);x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n); w=[0:1:500]*2*pi/500; X=x*exp(-1i*n'*w); magx=abs(X); x1=fft(x);magx1=abs(x1(1:1:10)); k1=0:1:9;w1=2*pi/10*k1; subplot(3,1,1);stem(n,x);title('signalx(n),0<=n<=9'); axis([0,10,-2.5,2.5]);line([0,10],[0,0]); subplot(3,1,2);plot(w/pi,magx);title('DTFT幅度');xlabel('w');axis([0,1,0,10]); subplot(3,1,3);stem(w1/pi,magx1);title('DFT幅度'); xlabel('频率（单位：pi)');axis([0,1,0,10]) 实验总结：补零运算提供了一个较密的频谱和较好的图示形式，但因为在信号中只是附加了零，而没有增加任何新的信息，因此不能提供高分辨率的频谱。
第三章离散傅里叶变换 离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。 § 3-1 引言 一.DFT是重要的变换 1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。 二.DFT是现代信号处理桥梁 DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。 傅氏变换 § 3-2 傅氏变换的几种可能形式 一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换
对称性： 时域连续，则频域非周期。 反之亦然。 二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数 时域信号 频域信号 连续的 非周期的 非周期的 连续的 t ? ∞ ∞ -Ω-= Ωdt e t x j X t j )()(:? ∞ ∞ -ΩΩ Ω= d e j X t x t j )(21 )(:π 反
*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp 三.离散时间、连续频率的傅氏变换 --序列的傅氏变换 p T 0= Ω时域信号 频域信号 连续的 周期的 非周期的 离散的 ? -Ω-= Ω2 /2 /00)(1 )(:p p T T t jk p dt e t x T jk X 正∑ ∞ -∞ =ΩΩ= k t jk e jk X t x 0)()(:0反
傅里叶变换在MATLZB里的应用 摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用。傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号，再利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。应用MATLAB实现信号的谱分析和对信号消噪。 关键词：傅里叶变换；MA TLAB软件；信号消噪 Abstract: In modern mathematics,Fourier transform is a transform is very important ,And has been widely used in digital signal processing.This paper first introduces the basic concepts, properties and development situation of Fourier transform ;Secondly, introduces in detail the method of separation of variables and integral transform method in solving equations in Mathematical Physics.Fourier transformation makes the original time domain signal whose analysis is difficult easy, by transforming it into frequency domain signal that can be transformed into time domain signal by inverse transformation of Fourier. Using Mat lab realizes signal spectral analysis and signal denoising. Key word: Fourier transformation, software of mat lab ,signal denoising 1、傅里叶变换的提出及发展 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常常采用所谓变换的方法来达到目的"例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分，积分）转化为代数运算，正是积分变换这一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成为重要方法之一。 1804年，法国科学家J-.B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究"他在题为<<热的解析理论>>一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解"在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种
傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法， 比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘； 2.图像分割之边缘检测 提取图像高频分量 3.图像特征提取： 形状特征：傅里叶描述子 纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征 其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性 4.图像压缩 可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换； 傅立叶变换 傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下，傅里叶变换一定存在。冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 傅立叶变换有很多优良的性质。比如线性，对称性（可以用在计算信号的傅里叶变换里面）; 时移性：函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱则保持不变； 频移性：函数在时域中乘以e^jwt，可以使整个频谱搬移w。这个也叫调制定理，通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性（将不同的信号调制到不同的频段上同时传输）； 卷积定理：时域卷积等于频域乘积；时域乘积等于频域卷积（附加一个系数）。（图像处理里面这个是个重点） 信号在频率域的表现 在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。当频率为0时，表示直流信号，没有变化。因此，频率的大小反应了信号的变化
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换 摘要 本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。 1. 离散时间傅里叶变换 1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换 离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛n j e ω-｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中ω是实频率变量。时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换)(ωj e X 定义如下： ∑∞ -∞ =-= n n j j e n x e X ωω ][)( （1.1） 通常)(ωj e X 是实变量ω的复数函数同时也是周期为π2的周期函数，并且)(ωj e X 的幅度函数和实部是ω的偶函数，而其相位函数和虚部是ω的奇函数。这是由于： ) ()()(tan ) ()()() (sin )()()(cos )()(2 22 ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X = +=== （1.2） 由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从)(ωj e X 中算出： ωπ ωπ πω d e e X n x n j j )(21 ][?- = （1.3）
第三讲 Part3 DFT 的理论难点 1、抽样定理 连接离散信号与连续信号的桥梁。 ()(){ ()()j t a a j j n s n X j x t e dt X e x nT e ω ω∞ -Ω-∞ ∞ -=-∞ Ω== ?∑ 根据频域卷积定理推导 () ()()() {1()()()()()2j j j j j y n x n h n Y e X e H e X e H e d πωωωθωθπ θ π--==*=? 得到：1 ()()j a s k s X e X j jk T ω ∞ =-∞ = Ω-Ω∑ 2、FT 中的待研究的理论难点与关键之处 2．1 DFT 与DTFT 的关系 两种论述方法： 方法1：书P119-P120的论述；请同学看书后，上黑板叙述推演相关的过程。 方法2：书P121，连续频谱的抽样也必然使原来的时域信号变成周期的。 2.2 DFT 的()X k 是“()x n 的傅里叶变换”的某种程度上的近似。 用DFT 对连续信号和离散信号进行谱分析的基本原理和方法 2.2.1 怎样理解DFT 对FT 的近似？ 由于用DFT 对连续信号做频谱分析的过程中隐含了频域和时域的两个周期延拓，又由于信号时宽和带宽的制约关系，因此，做DFT 得到的()N X k ，及由()N X k 做IDFT 得到的 ()N x n 都是对原()a X j Ω及()a x t 的某种近似。 如果s T 选得足够小，则式1 ()|()s j a T a s l s X e X j jl T ω ω∞ =Ω=-∞ = Ω-Ω∑ 中将避免或大大减轻 频域的混叠。 如果N 选得足够大，一方面可以减轻式()()*()j j j a X e X e D e ω ω ω =的窗口效应，另一方面也会减轻式()(),0,1, (1) l x n x n lN n N ∞ =-∞ = +=-∑的时域混叠。 结论：在这两个条件均满足的情况下，上述的近似误差将减小到可接受的程度，从而
第五章 离散傅里叶变换及其快速算法 1 离散傅里叶变换(DFT)的推导 (1) 时域抽样： 目的：解决信号的离散化问题。 效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。 (2) 时域截断： 原因：工程上无法处理时间无限信号。 方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。 结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。 (3) 时域周期延拓： 目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。 方法：周期延拓中的搬移通过与)(s nT t -δ的卷积来实现。 表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。 结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。 (4) 1。 图1 DFT 推导过程示意图 (5) 处理后信号的连续时间傅里叶变换：∑∑ ∞ -∞=-=π--δ???? ? ????= k N n N kn j s kf f e nT h f H )()()(~ 010/2
(i) )(~f H 是离散函数，仅在离散频率点S NT k T k kf f = ==00处存在冲激，强度为k a ，其余各点为0。 (ii) )(~ f H 是周期函数，周期为s s T NT N T N Nf 1 00= == ，每个周期内有N 个不同的幅值。 (iii) 时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。 2 DFT 及IDFT 的定义 (1) DFT 定义：设()s nT h 是连续函数)(t h 的N 个抽样值1,,1,0-=N n ，这N 个点的宽度为 N 的DFT 为：[])1,...,1,0(,)()(1 0/2-=??? ? ? ?==? -=π-∑N k NT k H e nT h nT h DFT s N n N nk j s s N (2) IDFT 定义：设??? ? ??s NT k H 是连续频率函数)(f H 的N 个抽样值1,,1,0-=N k ， 这N 个点的宽度为N 的IDFT 为： ())1,...,1,0(,11 0/21 -==??? ? ? ?=???????????? ???-=π--∑ N k nT h e NT k H N NT k H DFT s N k N nk j s s N (3) N nk j e /2π-称为N 点DFT 的变换核函数，N nk j e /2π称为N 点IDFT 的变换核函数。它们 互为共轭。 (4) 同样的信号，宽度不同的DFT 会有不同的结果。DFT 正逆变换的对应关系是唯一的， 或者说它们是互逆的。 (5) 引入N j N e W /2π-= (i) 用途： (a) 正逆变换的核函数分别可以表示为nk N W 和nk N W -。 (b) 核函数的正交性可以表示为：() )(* 1 0r n N W W kr N N k kn N -δ=∑-= (c) DFT 可以表示为：)1,,1,0(,)(10 -==? ??? ??∑ -=N k W nT h NT k H N n nk N s s (d) IDFT 可以表示为：)1,,1,0(,1 )(1 0-=??? ? ? ?= ∑ -=-N n W NT k H N nT h N k nk N s s (ii) 性质：周期性和对称性： (a) 12==π-j N N e W (b) 12 /-==π-j N N e W (c) r N r N N N r N N W W W W ==+ (d) r N r N N N r N N W W W W -=-=+2/2/ (e) )(1Z m W m N ∈?= (f) ),(/2/2Z n m W e e W n N N n j m N m n j m n m N ∈?===π-π- 3 离散谱的性质 (1) 离散谱定义：称)(Z k NT k H H S k ∈???? ? ?=? 为离散序列)0)((N n nTs h <≤的DFT 离散谱，简称离散谱。 (2) 性质： (i) 周期性：序列的N 点的DFT 离散谱是周期为N 的序列。 (ii) 共扼对称性：如果)0)((N n nTs x <≤为实序列，则其N 点的DFT 关于原点和N /2都
1、 2、 11、 试求以下各序列的时间傅里叶变换（1）1()(3)x n n δ=- （2）211 ()(1)()(1)22 x n n n n δδδ= +++- （3）3()(),01n x n a u n a =<< （4）4()(3)(4)x n u n u n =+-- 12、 设()j X e ω 是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义与性 质，求下列各序列的离散时间傅里叶变换。 （1）()()(1)g n x n x n =-- （2）()*()g n x n = （3）()*()g n x n =- （4）()(2)g n x n = （5）()()g n nx n = （6）2 ()()g n x n = （7）(), ()2 0, n x n g n n ??=???为偶数为奇数 13、 试求以下各序列的时间傅里叶变换 （1）1()(),||1n x n a u n a =< （2）2()(),||1n x n a u n a =-> （3）||3, ||()0, n a n M x n n ?≤=? ?为其他 （4）4()(3),||1n x n a u n a =+< （5）50 1 ()()(3)4n m x n n m δ∞ == -∑ （6）6sin(/3)sin(/4)()n n x n n n ππππ???? =????????
14、 设()x n 是一有限长序列，已知 1,2,0,3,2,1,0,1,2,3,4,5()0, n x n n --=?=? ?为其他 它的离散傅里叶变换为()j X e ω 。不具体计算()j X e ω ，试直接确定下列表达式的值。 （1）0 ()j X e （2）()j X e π （3）()j X e d π ωπ ω- ? （4） 2|()|j X e d π ω πω- ? （5）2 ()| |j dX e d d ωπ πωω -? 15、 试求以下各序列的时间傅里叶变换 （1）11,||()0, n N x n n ≤?=? ?为其他 （2）21||/,||()0, n N n N x n n -≤?=? ?为其他 （3）3cos(),||()20, n n N x n N n π?≤? =???为其他 6、证明：若()j X e ω 是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，而 1(), ()0, n n x x n k k ??=???为整数 其他 则1()()j j X e X e ωω =。 7、设序列()()x n u n =，证明()x n 的离散时间傅里叶变换为 1 ()(2)1j j l X e l e ω ω πδωπ∞ -=-∞ =+--∑ 8、如图所示四个序列，已知序列1()x n 的离散时间傅里叶变换为1()j X e ω，试用1()j X e ω 表示其
理解离散傅立叶变换（一） ------傅立叶变换的由来 关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是： https://www.doczj.com/doc/b113861715.html,/pdfbook.htm 要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。 一、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，论文里描述运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，否定了傅立叶的工作成果，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因怕会被推上断头台而一直在逃避。 直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷多的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。 用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真
电 子 科 技 大 学 实 验 报 告 学生姓名：项阳 学 号： 2010231060011 指导教师：邓建 一、实验项目名称：离散时间傅里叶变换 二、实验目的： 熟悉序列的傅立叶变换、傅立叶变换的性质、连续信号经理想采样后进行重建，加深对时域采样定理的理解。 三、实验内容： 1. 求下列序列的离散时间傅里叶变换 (a) ()(0.5)()n x n u n = (b) (){1,2,3,4,5}x n = 2. 设/3()(0.9),010,j n x n e n π=≤≤画出()j X e ω并观察其周期性。 3. 设()(0.9),1010,n x n n =--≤≤画出()j X e ω并观察其共轭对称性。 4. 验证离散时间傅里叶变换的线性、时移、频移、反转（翻褶）性质。 5. 已知连续时间信号为t a e t x 1000)(-=，求： (a) )(t x a 的傅里叶变换)(Ωj X a ； (b) 采样频率为5000Hz ，绘出1()j X e ω,用理想内插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论； (c) 采样频率为1000Hz ，绘出2()j X e ω，用理想内插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论。 四、实验原理：
1. 离散时间傅里叶变换(DTFT)的定义： 2．周期性：()j X e ?是周期为2π的函数 (2)()()j j X e X e ??π+= 3．对称性：对于实值序列()x n ，()j X e ?是共轭对称函数。 *()() Re[()]Re[()] Im[()]Im[()]()() ()() j j j j j j j j j j X e X e X e X e X e X e X e X e X e X e ??????????-----===-=∠=-∠ 4．线性：对于任何12,,(),()x n x n αβ，有 1212[()()][()][()]F x n x n F x n F x n αβαβ+=+ 5．时移 [()][()]()j k j j k F x n k F x n e X e e ωωω---== 6．频移 00()[()]()j n j F x n e X e ωωω-= 7．反转（翻褶） [()]()j F x n X e ω--= 五、实验器材（设备、元器件）： PC 机、Windows XP 、MatLab 7.1 六、实验步骤： 本实验要求学生运用MATLAB 编程产生一些基本的离散时间信号，并通过MATLAB 的几种绘图指令画出这些图形，以加深对相关教学内容的理解，同时也通过这些简单的函数练习了MATLAB 的使用。 [()]()()(), ()j j jn z e n n F x n X e X z x n e x n ωωω∞-==-∞∞=-∞===<∞∑∑收敛条件为：
傅里叶变换及其在数字图像处理中的应用 王家硕 学号：1252015 一、 Fourier 变换 1. 一维连续傅里叶变换 设 f (x)为x 的实变函数，如果f (x)满足下面的狄里赫莱条件： （1）具有有限个间隔点。 （2）具有有限个极点。 （3）绝对可积。 则 f (x )的傅里叶变换（Fourier Transformation ，FT ）定义为: Fourier 正变换：dt e t f t f f F t j ? +∞ ∞ --==ωω)()]([)(； Fourier 逆变换：ωωπ ωd e f t F f t f t j ? ∞ +∞ ---= =)(21)]([)(1 ， 式中：1-= j ，ω 为频域变量。 f (x )与F (w )构成傅里叶变换对，可以证明傅里叶变换对总是存在的。由于f (x )为实函数，则它的傅里叶变换F (w )通常是复函数，于是F (w )可写成 F (w ) = R (w ) + j I (w ) (1) 式中：R (w )和I (w )分别是F (w )的实部和虚部。公式1可表示为指数形式： 式中： F (w ) 为f (x )的傅里叶幅度谱，f (w )为f (x )的相位谱。 2. 二维连续傅里叶变换 如果二维函数f (x , y )是连续可积的，即∞
第一章 离散傅里叶变换（DFT ） 填空题 （1） 某序列的DFT 表达式为 ∑-==1 0)()(N n kn M W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长 度为 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 。 解：N ； M π 2 （2）某序列DFT 的表达式是 ∑-==1 0)()(N k kl M W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度 是 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是 。 解： N M π2 } （3）如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件 。 解：纯实数、偶对称 （4）线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为2 52) 1(8)(2 2++--=z z z z z H ，则系统 的极点为 ；系统的稳定性为 。系统单位冲激响应)(n h 的初值为 ；终值 )(∞h 。 解： 2,2 1 21-=- =z z ；不稳定 ；4)0(=h ；不存在 (5) 采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1 -z 代表的物理意义是 ，其中时域数字 序列)(n x 的序号 n 代表的样值实际位置是 ；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际 位置又是 。 解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k N k πω2= （6）已知 }{}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和 ][n h 的5点循环卷积为 。 解：{}]3[]2[][][][][---+?=?k k k k x k h k x δδδ {}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[(][55==---+=k k x k x k x [ （7）已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--=== k n h k n x 则][][n h n x 和的 4点循环卷积为 。