g3.1068棱柱
一. 知识回顾:
1. 棱柱.
⑴①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.
②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的. ⑵{四棱柱}?{平行六面体}?{直平行六面体}?{长方体}?{正四棱柱}?{正方体}. {直四棱柱}?{平行六面体}={直平行六面体}.
⑶棱柱具有的性质：
①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形.
③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.
注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×）
（直棱柱不能保证底面是钜形可如图） ②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.
⑷平行六面体：
定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.
定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.
推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,，则1cos cos cos 222=++γβα. 推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,，则2cos cos cos 222=++γβα. [注]： ①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形）
②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直．
棱柱才行） ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）
④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，
则应是充要条件）
二. 基础训练:
1、棱柱成为直棱柱的一个必要而不充分条件是…………………………………………………( ). （A ）它的一条侧棱垂直于底面 （B ）它的一条侧棱与底面两条边垂直 （C ）它的一个侧面与底面都是矩形 （D ）它的一个侧面与底面的一条边垂直
2、一个长方体的全面积是22，体积为8，则这样的长方体…………………………………………（ ） （A ）有一个 （B ）有两个 （C ）有无数多个 （D ）不存在
3、在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点,在A 1B 1上,则直线PQ 与直线AM 所成的角为______.
4、一个长方体共一顶点的三个面的面积分别为2、3、6，这个长方体对角线的长是…（ ） （A ）32 （B ）23
（C ）６ （D ）6
三.例题讲解:
例1、如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为6，B 1C ＝10，D 为AC 的中点E 、F 分别在侧棱A 1A 和BB 1上,
且AF ＝2BE ＝BC ．
(1)求证：AB 1∥平面C 1BD ；
(2)求异面直线AB 1和BC 1所成的角； (3)求直线AB 1到平面C 1BD 的距离
(4)求过F 、E 、C 的平面与棱柱下底面所成二面角的大小．
例2、如图．已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ＝BC 、D 为AB 的中点，平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，异面直线BC 1与AB 1互相垂直．
（1）求证：AB 1⊥CD ； （2）求证：AB 1⊥平面A 1CD ； （3）若AB 1＝５，求点A 到平面A 1CD 的距离．
例3如图正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱均相等，D 是BC 上的一点，AD ⊥C 1D （1）求证：面ADC 1⊥侧面BCC 1B 1 （2）求二面角C －AC 1－D 的大小（用反正弦表示）； （3）若AB=2，求直线A 1B 与截面ADC 1之间的距离
例4.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90?，侧棱AA 1＝2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的垂心G .
（1）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求点A 1到平面AED 的距离.
四、作业 同步练习
g3.1068 棱柱
1、设有如下三个命题：①底
棱柱是直平行六面体。其中真命题的个数是（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
2、长方体全面积为11，十二条棱长之和为24，则长方体的一条对角线长为（ ） A 、32 B 、14 C 、 5
、6
3、正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若12BB AB =,则AB 1与C 1B 所成角的大小是（ ） A 、?60 B 、?90 C 、?105 D 、?75
D
A
C
A 1
B 1
C 1 B D
A
C
A 1
B 1
C 1 B
A 1
C 1
B 1 A
C
B
D E G
G
F E D C 1
B 1
A 1C
B A 4、平行六面体ABCD-A 1B 1
C 1
D 1的所有棱长都相等，且?=∠=∠=∠6011BAD AD A AB A ，则对角面11BDD B 是（ ） A 、平行四边形 B 、菱形 C 、矩形 D 、正方形
5、已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为2cm ，高为4cm ，过BC 作一截面，截面与底面ABC 成?60角，则截面的面积是（ ）
A 、4cm 2
B 、32 cm 2
C 、23 cm 2
D 、
2
3
3 cm 2 6、已知长方体ABCD A B C D ''''-中，棱5AA '=，12AB =，那么直线B C ''和平面A BCD ''的距离是 .
7、三棱柱111ABC A B C -，侧棱1BB 在下底面上的射影平行于AC ，如果侧棱1
BB 与底面所成的角为0
30，160B BC ∠= ，则ACB ∠的余弦为 。
8、一个斜棱柱的高为h ，直截面周长是c ，侧棱与底面所成的角为α，其侧面积为
9、直平行六面体C A 1的底面ABCD 为菱形，?=∠60BAD ,侧面是正方形，E 、F 分别是111,AA B A 的中点，M 是AC 与BD 的交点，则EF 与M B 1所成角的大小 .
10、如图正三棱锥111ABC A B C -中，底面边长为a
，侧棱长为
2
a ，若经过对角线1AB 且与对角线1BC 平行的平面交上底面于1DB 。（1）试确定D 点的位置，并证明你的结论；（2）求平面1AB D 与侧面1AB 所成的角及平面1AB D 与底面所成的角；（3）求1A 到平面1AB D 的距离。
11、（05重庆）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、
C 1的一点，EA ⊥EB 1，已知AB=2，BB 1=2，BC=1，∠BCC 1=3
π
，求： （Ⅰ）异面直线AB 与EB 1的距离；
（Ⅱ）二面角A —EB 1—A 1的平面角的正切值.
（16）（05北京）
DC ＝23，AA 1＝3，
如图, 在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AD ⊥DC ，AC ⊥BD , 垂足未E ， （I ）求证：BD ⊥A 1C ；
（II ）求二面角A 1－BD －C 1的大小； （III ）求异面直线 AD 与 BC 1所成角的大小．
参考答案
B C B D B 6、
6013 7、 8、αsin ch 9、 410arccos
10、解：（1）D 为11AC 的中点。连结1A
B 与1AB 交于E ，则E 为1A B 的中点，DE 为平面1AB D 与平面11A B
C 的交线，∵1BC //平面1AB D
∴1BC //DE ，∴D 为11AC 的中点。
（2）过D 作11DF A B ⊥于F ，由正三棱锥的性质，1,AA DF DF ⊥∴⊥平面1AB ，连结DG ，则DGF ∠为平面1AB D
与侧面1AB 所成的角的平面角，可求得DF =
，
由111B FG B AA ?? ，得FG =
，∴4DGF π∠=
∵D 为11AC 的中点，∴111B D AC ⊥，由正三棱锥的性质，11AA B D ⊥，∴1B D ⊥平面1AC ∴1B D ⊥AD ，∴1A DA ∠是平面1AB D 与上底面所成的角的平面角，可求得
1tan A DA ∠1A DA ∠=（3）过1A 作1A M AD ⊥，∵1B D ⊥平面1AC ，∴1B D ⊥1A M ，∴1A M ⊥平面1AB D
即1A M 是1A 到平面1AB D
的距离，2AD =
，∴1A
M 6
a =
11、解法一：
（Ⅰ）因AB ⊥面BB 1C 1C ，故AB ⊥BE.
又EB 1⊥EA ，且EA 在面BCC 1B 1内的射影为EB.
由三垂线定理的逆定理知EB 1⊥BE ，因此BE 是异面直线 AB 与EB 1的公垂线，
在平行四边形BCC 1B 1中，设EB=x ，则EB 1=2
4x -， 作BD ⊥CC 1，交CC 1于D ，则BD=BC ·.2
33
sin
=
π
在△BEB 1中，由面积关系得
0)3)(1(,2
3221421222=--??=-x x x x 即. 3,1±=±=x x 解之得（负根舍去）
,33
cos
21,,322=?-+?=π
CE CE BCE x 中在时当
解之得CE=2，故此时E 与C 1重合，由题意舍去3=
x .
因此x =1，即异面直线AB 与EB 1的距离为1.
（Ⅱ）过E 作EG//B 1A 1，则GE ⊥面BCC 1B ，故GE ⊥EB 1且GE 在圆A 1B 1E 内， 又已知AE ⊥EB 1
故∠AEG 是二面角A —EB 1—A 1的平面角. 因EG//B 1A 1//BA ，∠AEG=∠BAE ，故.22
2
1tan ===AB BE AEG 解法二：
（Ⅰ）平面又由得由⊥=?⊥AB EB EB AE ,0,11 而BB 1C 1C 得AB ⊥EB 1从而1EB AB ?=0.
.
,0
)(11111
1的公垂线与是异面直线故线段即故EB AB BE EB EB EB EB AB EA EB EB ⊥=?+?=?+=?
设O 是BB 1的中点，连接EO 及OC 1，则在Rt △BEB 1中，EO=2
1
BB 1=OB 1=1，
因为在△OB 1C 1中，B 1C 1=1，∠OB 1C 1=
3
π
，故△OB 1C 1是正三角形，
所以OC 1=OB 1=1，
又因∠OC 1E=∠B 1C 1C －∠B 1C 1O=,3
3
3
2π
π
π=
-
故△OC 1E 是正三角形，
所以C 1E=1，故CE=1，易见△BCE 是正三角形，从面BE=1，
即异面直线AB 与EB 1的距离是1.
（Ⅱ）由（I ）可得∠AEB 是二面角A —EB 1—B 的平面角，在Rt △ABE 中，由AB=2， BE=1，得tanAEB=2.
又由已知得平面A 1B 1E ⊥平面BB 1C 1C ， 故二面角A —EB 1—A 1的平面角AEB ∠-=
2
π
θ，故
.2
2
cot )2tan(tan ==∠-=AEB AEB πθ
解法三：
（I ）以B 为原点，1BB 、分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系. 由于BC=1，BB 1=2，AB=2，∠BCC 1=3
π
， 在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中有
B （0，0，0），A （0，0，2），B 1（0，2，0），
)0,2
3,23(),0,21,23(
1C C -
设即得由,0,),0,,2
3
(
11=?⊥EB EB EA a E
)0,2,2
3()2,,23(0a a --?--= ,4
32)2(432+-=-+=
a a a a .
,04
3
43)02323()0,21,23()
0,2
1,23(),(2321,0)23)(21(11EB BE EB E a a a a ⊥=+-=??-?=?===--即故舍去或即得
又AB ⊥面BCC 1B 1，故AB ⊥BE. 因此BE 是异面直线AB 、EB 1的公垂线， 则14
1
43||=+=
，故异面直线AB 、EB 1的距离为1. （II ）由已知有,,1111EB A B EB ⊥⊥故二面角A —EB 1—A 1的平面角θ的大小为向量
EA A B 与11的夹角.
.2
2tan ,
32||||cos ),2,2
1
,23(),2,0,0(111111=
=
=--===θθ即故因A B EA A B
12、（I ）在直四棱柱ABCD －AB 1C 1D 1中，
∵AA 1⊥底面ABCD ．∴ AC 是A 1C 在平面ABCD 上的射影． ∵BD ⊥AC ．∴ BD ⊥A 1C ； （II ）连结A 1E ，C 1E ，A 1 C 1．
与（I ）同理可证BD ⊥A 1E ，BD ⊥C 1E ，
∴ ∠A 1EC 1为二面角A 1－BD －C 1的平面角． ∵ AD ⊥DC ，∴ ∠A 1D 1C 1=∠ADC ＝90°， 又A 1D 1=AD ＝2，D 1C 1= DC ＝23，AA 1=3且 AC ⊥BD ， ∴ A 1C 1＝4，AE ＝1，EC ＝3，∴ A 1E ＝2，C 1E ＝23， 在△A 1EC 1中，A 1C 12＝A 1E 2＋C 1E 2， ∴ ∠A 1EC 1＝90°， 即二面角A 1－BD －C 1的大小为90°． （III ）过B 作 BF //AD 交 AC 于 F ，连结FC 1，
则∠C 1BF 就是AD 与BC 1所成的角． ∵ AB ＝AD ＝2， BD ⊥AC ，AE ＝1， ∴ BF =2，EF ＝1，FC ＝2，BC ＝DC ，∴ FC 1=7，BC 1
在△BFC 1
中，1cos 5C BF ∠=
=
∴ ∠C 1BF
=arccos 5 即异面直线AD 与BC 1
所成角的大小为． 解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系. 连结A 1E ，C 1F ，A 1C 1.
与（Ⅰ）同理可证，BD ⊥A 1E ，BD ⊥C 1E ， ∴∠A 1EC 1为二面角A 1—BD —C 1的平面角
.
),
3,23
3,23(),3,23,21(),
0,2
3
,23(
),
3,32,0(),3,0,2(1111-=-=EC EA E C A 得由 .
90.,,
0349
4311111111 的大小为二面角即C BD A EC EA EC EA EC EA --∴⊥⊥∴=+--=?∴
（Ⅲ）如图，由D （0，0，0），A （2，0，0），C 1（0，32，3，），B （3，3，0）
),3,3,3(),0,0,2(1--=BC 得 .
51515
26
||||),cos(,15||,2||,611
111===∴====∴BC AD BC AD BC BC ∴异面直线AD 与BC 1所成角的大小为arccos
5
15
. 解法三：
（I ）同解法一.
（II ）如图，建立空间直角坐标系，坐标原点为E. 连结A 1E ，C 1E ，A 1C 1.
与（I ）同理可证，BD ⊥A 1E ，BD ⊥C 1E ， ∴∠A 1EC 1为二面角A 1—BD —C 1的平面角. 由E （0，0，0），A 1（0，－1，),3,3,0(),31C
.
,0
).
3,3,0(),3,1,0(11111111EC EA EC EA EC EA EC EA ⊥⊥∴=?=-=即得
9011的大小为二面角C BD A --∴.
（Ⅲ）如图，由A （0，－1，0），D （3-，0，0），B （3，0，0），C 1（0，3，3）.
得)3,3,3(),0,1,3(1-=-=BC . ∵,15||,2||,63311===+=?BC BC
∴,5
15
15
2611=
=
=
∴异面直线AD 与BC 1所成角的大小为arccos
5
15.
教案 教学过 （课前检测、预习新知、课 学、激励环节设计、随堂练习、课堂检测或课后巩固）【课前检测】 【预习新知】 【课堂导学】 [情境导学]观察下面四个几何体，这些几何体都是多面体．那么多面体有怎样的结构特征？本节我们就来研究这个问题． 探究点一多面体及多面体的有关概念
1．多面体 (1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体． (2)把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体． 探究点二棱柱的结构特征 2．棱柱 (1)棱柱的主要特征性质： ①有两个互相平行的面； ②其余各面都是四边形，并且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行． (2)棱柱的这两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两底面之间的距离叫做棱柱的高． (3)棱柱按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (4)侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (5)底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱长都相等的长方体是正方体． 例1下列命题中正确的是() A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面 D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
7．正三棱柱ABC—A′B′C′的底面边长是4cm，过BC的一个平面交侧棱AA′于D，若AD的长是2cm，试求截面BCD的面积． 解如图，取BC的中点E， 探究点三棱锥的结构特征 思考1我们把下面的多面体取名为棱锥，据此你能给棱锥下一个定义吗？棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？你能作图加以说明吗？ (1)棱锥的主要结构特征： ①有一个面是多边形； ②其余各面都是有一个公共顶点的三角形． (2)棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面； 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点； 相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 多边形叫做棱锥的底面； 顶点到底面的距离叫做棱锥的高． (3)棱锥按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……三个棱锥从左到右可分别表示为S－ABC，S－ABCD，P－ABCDE.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状是相似多边形． (4)如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高． 如图：
棱柱、棱锥和棱台 层级一学业水平达标 1．一个棱柱至少有________个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．答案：5 4 3 2.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为 上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将 正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是________. 解析：将展开图还原成原来的正方体，由图知标 “△”的面的方位是北． 答案：北 3．棱台具备的性质是________(填序号)． ①两底面相似；②侧面都是梯形； ③侧棱都相等；④侧棱延长后都交于一点. 解析：用棱台的定义去判断． 答案：①②④ 4．下面图形所表示的几何体中，不是棱锥的为________． 解析：结合棱锥的定义可知①不符合其定义，故填①. 答案：① 5．下面描述中，是棱柱的结构特征的有________． ①有一对面互相平行；②侧面都是四边形；③每相邻两个侧面的
公共边都互相平行；④所有侧棱都交于一点． 解析：由棱柱的定义知①②③是它的结构特征，④不是棱柱的结构特征，因为棱柱的侧棱均平行． 答案：①②③ 6．一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥一定不是________棱锥．(从“三”、“四”、“五”、“六”中选)． 解析：若满足条件的棱锥是六棱锥，则它的六个侧面都是正三角形，侧面的顶角都是60°，其和为360°，则顶点在底面内，与棱锥的定义相矛盾． 答案：六 7．两个完全相同的长方体，长、宽、高分别为5 cm,4 cm，3 cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，表面积最大的长方体的表面积为________ cm2. 解析：将两个长方体侧面积最小的两个面重合在一起，得到的长方体的表面积最大，此时，所得的新长方体的长、宽、高分别为10 cm,4 cm,3 cm，表面积的最大值为2×(10×4＋3×4＋3×10)＝164. 答案：164 8.如图，三棱台ABC-A′B′C′，沿A′BC截去 三棱锥A′-ABC，则剩余部分是________． 解析：在图中截去三棱锥A′-ABC后，剩余的 是以BCC′B′为底面，A′为顶点的四棱锥． 答案：四棱锥A′-BCC′B′ 9．如图，观察并分别判断①中的三棱镜，②中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面，其中能作为棱柱底面的分别有几对．
教案 主编：林鹤审核人：备课人：林鹤备课时间：使用时间： 课题 1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征课型新授课课时共___课时第___课时 学习目标1.认识组成我们生活世界的各种各样的多面体. 2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征. 3.了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别． 学情分析 重点难点 重点：棱柱、棱锥的几何结构特征 难点：利用棱柱、棱柱的几何特征进行解题易混易错点 学生认知基础 教学过程（课前检测、预习新知、课堂导学、激励环节设计、随堂练习、课堂检测或课后巩固）【课前检测】 【预习新知】 【课堂导学】 [情境导学]观察下面四个几何体，这些几何体都是多面体．那么多面体有怎样的结构特征？本节我们就来研究这个问题． 探究点一多面体及多面体的有关概念
1．多面体 (1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体． (2)把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体． 探究点二棱柱的结构特征 2．棱柱 (1)棱柱的主要特征性质： ①有两个互相平行的面； ②其余各面都是四边形，并且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面 的交线都互相平行． (2)棱柱的这两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两底面之间的距离叫做棱柱 的高． (3)棱柱按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (4)侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (5)底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱 长都相等的长方体是正方体． 例1下列命题中正确的是() A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体 的任意两个相对的面不一定可当作它的底面 D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
棱柱、棱锥和棱台的概念及基本量的计算 【知识梳理】 1．一般地，我们把叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，______________叫做多面体的顶点。2．把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各个面都在这个平面的同一侧，这样的多面体叫做___________。 3．有两个面互相平行，其余各面的公共边互相平行的多面体叫做___________。两个互相平行的面叫做___________，简称底；其余各面叫做棱柱的___________；相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的___________；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的___________。4．棱柱按照底面边数分类：底面是__________________的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……。 5．棱柱的结构特征：①______________ ；②_______________；③________________。6．一般地，一个面是多边形，其余各面都是____________的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，多边形面叫做棱锥的______；有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的________，各侧面的公共顶点叫做棱锥的_________；相邻侧面的公共边叫做棱锥的________。 7．棱锥按底面边数分类，底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做________、_________、___________。 8.棱锥的结构特征：①底面是多边形；②侧面是有一个公共顶点的三角形。 9.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，_____________叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的_______；其余各面叫做棱台的____；底面与侧面的公共点叫做棱台的_______；相邻侧面的公共边叫做棱台的_______；棱台按底面边数分为三棱台、四棱台、五棱台…… 【典型例题】 例1下列几何体是棱柱的有（） 变式练习：下列几何体中是棱柱的有
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励环节设计、随堂练习、课堂检测或课后巩固）探究点一多面体及多面体的有关概念 1 / 6
2．棱柱(1)棱柱的主要特征性质：①有两个互相平行的面；②其余各面都是四边形，并且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行．其余各面叫做棱柱的(2)棱柱的这两个互相平行的面叫做棱柱的底面，侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两底面之间的距离叫做棱柱的高．棱柱按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱(3) 柱、五棱柱……侧棱与底面垂直的棱柱叫做侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，(4) 直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．侧棱与底面垂直的平行底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体，(5)六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱长都相等的长方体是正方体．) 下列命题中正确的是(1例．棱柱的面中，至少有两个面互相平行A ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体C 的任意两个相对的面不一定可当作它的底面．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形D 2 / 6 的一个平，过BC4 ′B′C′的底面边长是cm ABC7．正三棱柱—A BCD的面积．，若AD的长是2 cm，试求截面D面交侧棱AA′于，如图，取BC的中点E解 棱锥的结构特征探究点三 我们把下面的多面体取名为棱锥，据此你能给棱锥下一个定思考1 义吗？棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？你能作图加以说明吗？ 棱锥的主要结构特征：(1) ①有一个面是多边形；②其余各面都是有一个公共顶点的三角形．棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面；(2) 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；多边形叫做棱锥的底面；顶点到底面的距离叫做棱锥的高．棱锥按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱锥、四棱(3)，－SABCD－锥、五棱锥……三个棱锥从左到右可分别表示为SABC，用一个
For personal use only in study and research; not for commercial use 棱柱、棱锥和棱台教学设计 江苏省羊尖高级中学邓国华214107 (江苏省中小学数学教研室新课改成果评比二等奖) 一、设计思想： 立体几何是高中数学的重要部分，也是一些学生觉得困难的地方。我们经常对学生说，知识来源于实践。对于中学数学而言，如果把所有的知识都还原到实践中，再让学生从实践中获得，显然办不到，也没有必要。但对于《立体几何》的教学而言，这种做法却是非常必要的。虽说高一的新生已拥有了初中的平面几何知识，但这些知识中的大多数对学生学习立体几何来说是一种无效铺垫。人们对客观世界的感知首先是体，而不是面，更不是点。上课时，设计为学生拿出早已准备好的细棍、硬纸板等，按照一定的步骤做数学实验，用自己构造的模型证明自己结论的正确，同时也为其他同学的错误结论构造反例。讨论、争辩、快乐、喜悦，每个同学都在自己的亲身体验中培养创新意识、创新思维和创新能力，同时拓展着他们对空间世界的认知能力。作为立体几何的起始阶段，尽量利用线、面、体等实物模型以及对直观图的多角度的观察、比较、对照和想象、识别，直至学生能正确迅速地看得懂图，想得出形（体），发展学生的空间想象能力。在本节课的设计过程中运用了多媒体课件。计算机技术的广泛应用，使得数学能够在某些方面直接为社会创造价值，新的课程标准把信息技术与数学课程内容整合作为基本理念之一。实现信息技术与课程内容的有机整合。几何画板的运用很好的将原本及具抽象性的棱、柱、锥三者间动态的变化形象生动的展示在学生面前，同时也激发了学生的学习兴趣。 二、教学内容分析： 立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小、位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间，学习立体几何对我们更好地认识客观世界，更好地生存与发展具有重要意义。在立体几何初步部分,学生将先从对空间几何体观察入手、认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系。本节内容既是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续和提高，也是后续研究空间点、线、面位置关系的基础，既巩固了前面所学的内容，又为后面内容的学习做了知识上和方法上的准备，在教材中起着承前启后的作用。本节内容使学生在运动变化过程中认识柱、锥、台、球的几何特点，进而引导学生运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构，符合学生的认识发展规律，培养了学生对几何学习的兴趣，增进了学生对几何本质的了解，倡导学生积极主动、勇于探索的学习方法，同时，使学生进一步体会、比较、化归、分析等一般科学方法的运用。在本节教学中，从整体到局部、从具体到抽象，要充分借助实物模型，从整体观察入手，运用运动变化的观点，通过直观感知、操作确认，引导学生认识柱、锥、台、球等简单几何体的结构特征，多角度、多层次地揭示空间图形的本质，突出几何体的本质特征，注意
棱柱棱锥棱台练习题 1．有四个集合：A＝{棱柱}，B＝{四棱柱}，C＝{长方体}，D＝{正方体}，它们之间的包含关系是( ) A．C?D?A?B B．D?C?B?A C．C?A?D?B D．B?D?C?A 2.以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成三棱锥的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 3.用一个平面去截四棱锥，不可能得到( ) A．棱锥B．棱柱C．棱台D．四面体 4.一个正三棱锥的底面边长为3，高为6，则它的侧棱长为( ) A．2 B．2 3 C．3 D．4 5．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是( ) A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥 ： 6．设有四个命题 甲：有两个平面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱； 乙：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥； 丙：用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台； 丁：侧面都是长方形的棱柱叫长方体． 其中，真命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 7．有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们所有的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，则所得到的这个组合体是( ) A．底面为平行四边形的四棱柱 B．五棱锥 C．无平行平面的六面体 D．斜三棱柱 8.下列命题正确的是( ) （ A．斜棱柱的侧棱有时垂直于底面 B．正棱柱的高可以与侧棱不相等 C．六个面都是矩形的六面体是长方体 D．底面是正多边形的棱柱为正棱柱 9.下图中不可能围成正方体的是( ) 10.所有棱长都相等的三棱锥叫做正四面体，正四面体ABCD的棱长为a，M、N分别为棱BC、AD的中点，则MN的长度为( ) A．a a 11.下列命题中，正确的是( ) A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 | 12.下面描述中，不是棱锥的几何结构特征的为( )
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(2)棱柱的这两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两底面之间的距离叫做棱柱的高． (3)棱柱按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (4)侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (5)底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱长都相等的长方体是正方体． 例1下列命题中正确的是() A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面 D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 7．正三棱柱ABC—A′B′C′的底面边长是4 cm，过BC的一个平面交侧棱AA′于D，若AD的长是2 cm，试求截面BCD的面积．解如图，取BC的中点E， 探究点三棱锥的结构特征 思考1我们把下面的多面体取名为棱锥，据此你能给棱锥下一个定义吗？棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？你能作图加以说明吗？
解设VO为正四棱锥V—ABCD的高，作OM⊥BC于点M，则M为BC中点． 13．已知正四棱锥S－ABCD的高为3，侧棱长为7. (1)求侧面上的斜高； (2)求一个侧面的面积； (3)求底面的面积． . 4．棱台 (1)棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面间的距离叫做棱台的高． (2)由正棱锥截得的棱台叫做正棱台． (3)正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高． 例：已知正四棱台的上、下底面面积分别为4、16，一侧面面积为12，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长．
教案 【课前检测】 【预习新知】 【课堂导学】 [情境导学]观察下面四个几何体，这些几何体都是多面体．那么多面体有怎样的结构特征？本节我们就来研究这个问题． 探究点一多面体及多面体的有关概念
1．多面体 (1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体． (2)把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体． 探究点二棱柱的结构特征 2．棱柱 (1)棱柱的主要特征性质： ①有两个互相平行的面； ②其余各面都是四边形，并且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行． (2)棱柱的这两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两底面之间的距离叫做棱柱的高． (3)棱柱按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (4)侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (5)底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱长都相等的长方体是正方体． 例1下列命题中正确的是() A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面 D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
7．正三棱柱ABC—A′B′C′的底面边长是4 cm，过BC的一个平面交侧棱AA′于D，若AD的长是2 cm，试求截面BCD的面积． 解如图，取BC的中点E， 探究点三棱锥的结构特征 思考1我们把下面的多面体取名为棱锥，据此你能给棱锥下一个定义吗？棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？你能作图加以说明吗？ (1)棱锥的主要结构特征： ①有一个面是多边形； ②其余各面都是有一个公共顶点的三角形． (2)棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面； 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点； 相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 多边形叫做棱锥的底面； 顶点到底面的距离叫做棱锥的高． (3)棱锥按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……三个棱锥从左到右可分别表示为S－ABC，S－ABCD，P－ABCDE.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状是相似多边形． (4)如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高． 如图：
《棱柱、棱锥和棱台的结构特征》习题 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何 体是棱锥 B. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C. 棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 2. 若棱台上、下底面的对应边之比为 1 : 2,则上、下底面的面积之比是 （） A. 1 : 2 B . 1 : 4 C . 2 : 1 D . 4 : 1 3. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是 （） A.三棱锥 B .四棱锥 C .五棱锥 D .六棱锥 4. 正四棱锥S — ABCD 勺所有棱长都等于 a ，过不相邻的两条侧棱作截面 SAC 则截面面积 为（） A.32a2 B . a2 C. 12a2 D. 13a2 5. 在下面4个平面图形中，哪几个是各侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是 6. 如图所示的是一个三棱台 ABC-A1B1C1,如何用两个平面把这个三 7. 如图所示，侧棱长为 23的正三棱锥 V — ABC 中，/ AVB=Z BVC _______ .（把你认为正确的序号都填上 ） 棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥 .
=Z CVA= 40°,过A作截面AEF,求截面△ AEF周长的最小值. &一棱锥的底面积为S2，用一个平行于底面的平面去截棱锥，其截面
面积为S1,现用一个平行于底面的平面将截面和底面间的高分成两部分，且上、下两部分之比为Y,求截面面积. 答案: 1. A 2.B 3.D 4.C 5. ①② 6. 解过A1、B、C三点作一个平面，再过A1、B、C1作 一个平面，就把三棱台ABC —A1B1C1 分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A1 —ABC , B —A1B1C1 , A1 —BCC1 . 7. 解将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图所示，线段AA1 的长为所求A AEF周长的最小值，取AA1的中点D ,则VD丄AA1 , / AVD = 60°可求AD =3，贝U AA1 = 6.故厶AEF周长的最小值为6. &解设截面面积为S o,以S「S0、S2为底面的锥体的高分别为 由棱锥截面的性质得h i : h o : h2= ?. S i ：.S o S2 h o—h i ^S o_ VS 尸h2 —h o . S2 —.'So h「h。、h2.
棱柱、棱锥和棱台教学设计 江苏省羊尖高级中学邓国华 214107 (江苏省中小学数学教研室新课改成果评比二等奖) 一、设计思想： 立体几何是高中数学的重要部分，也是一些学生觉得困难的地方。我们经常对学生说，知识来源于实践。对于中学数学而言，如果把所有的知识都还原到实践中，再让学生从实践中获得，显然办不到，也没有必要。但对于《立体几何》的教学而言，这种做法却是非常必要的。虽说高一的新生已拥有了初中的平面几何知识，但这些知识中的大多数对学生学习立体几何来说是一种无效铺垫。人们对客观世界的感知首先是体，而不是面，更不是点。上课时，设计为学生拿出早已准备好的细棍、硬纸板等，按照一定的步骤做数学实验，用自己构造的模型证明自己结论的正确，同时也为其他同学的错误结论构造反例。讨论、争辩、快乐、喜悦，每个同学都在自己的亲身体验中培养创新意识、创新思维和创新能力，同时拓展着他们对空间世界的认知能力。作为立体几何的起始阶段，尽量利用线、面、体等实物模型以及对直观图的多角度的观察、比较、对照和想象、识别，直至学生能正确迅速地看得懂图，想得出形（体），发展学生的空间想象能力。在本节课的设计过程中运用了多媒体课件。计算机技术的广泛应用，使得数学能够在某些方面直接为社会创造价值，新的课程标准把信息技术与数学课程内容整合作为基本理念之一。实现信息技术与课程内容的有机整合。几何画板的运用很好的将原本及具抽象性的棱、柱、锥三者间动态的变化形象生动的展示在学生面前，同时也激发了学生的学习兴趣。 二、教学内容分析： 立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小、位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间，学习立体几何对我们更好地认识客观世界，更好地生存与发展具有重要意义。在立体几何初步部分,学生将先从对空间几何体观察入手、认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系。本节内容既是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续和提高，也是后续研究空间点、线、面位置关系的基础，既巩固了前面所学的内容，又为后面内容的学习做了知识上和方法上的准备，在教材中起着承前启后的作用。本节内容使学生在运动变化过程中认识柱、锥、台、球的几何特点，进而引导学生运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构，符合学生的认识发展规律，培养了学生对几何学习的兴趣，增进了学生对几何本质的了解，倡导学生积极主动、勇于探索的学习方法，同时，使学生进一步体会、比较、化归、分析等一般科学方法的运用。在本节教学中，从整体到局部、从具体到抽象，要充分借助实物模型，从整体观察入手，运用运动变化的观点，通过直观感知、操作确认，引导学生认识柱、锥、台、球等简单几何体的结构特征，多角度、多层次地揭示空间图形的本质，突出几何体的本质特征，注意适度地形式化，促进学生主动探索的学习方式的形成，帮助学生完善思维结构，发展空间想象能力。 三、教学目标分析 三维目标