第50炼 等比数列性质
一、基础知识
1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比
注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0, 只是等差数列
2、等比数列通项公式：11n n a a q -=?，也可以为：n m n m a a q -=?
3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项 （1）若b 为,a c 的等比中项，则有
2a b
b a
c b c
=?= （2）若{}n a 为等比数列，则n N *
?∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项 （3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+?= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q
-=
-
可变形为：()1111111n n n a q a a S q q
q q -=
=
----，设11
a
k q =-，可得：n n S k q k =?- 5、由等比数列生成的新等比数列
（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列
② 数列{}n a λ
（λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=-时，即1n a ??
????
为等比数列
③ 数列{}n n a b 为等比数列 ④ 数列{}
n a 为等比数列
6、相邻k 项和的比值与公比q 相关：
设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++ ，则有：
()()212212k
m n m
m m m k m k
n n n k n
n a q q q S a a a a q T a a a a a q q q -++++++++++++====++++++ 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=-
2122332,k k k k k a a a S S +++++=- ，则232,,,k k k k k S S S S S -- 成等比数列
7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列） （1）定义法（递推公式）：
()1
n n
a q n N a *+=∈ （2）通项公式：n n a k q =?（指数类函数） （3）前n 项和公式：n n S kq k =-
注：若()n
n S kq m m k =-≠，则{}n a 是从第二项开始成等比关系
（4）等比中项：对于n N *
?∈，均有2
12n n n a a a ++=
8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ??
?
???
前n 项和n T 的关系 ()111n n a q S q
-=
-，因为1n a ??????是首项为1
1a ，公比为1
q 的等比数列，所以有
()1111111
111
111n
n n n
n n q a q q q T q a q q a q
q
-????--?? ?????-??
=
==---
?
()()1
112111111
n n n n n n a q a q q S a q T q q ----=?=-- 例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________
思路：因为2
396a a a =，代入条件可得：2265
2a a =，因为0q >
，所以65a =
，q = 所以810216a a q ==
例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =-=-，则5a =（ ） A. 64 B. 64- C. 8 D. 8- 思路一：由37,a a 可求出公比：4
7
3
4a q a =
=，可得22q =，所以253428a a q ==-?=- 思路二：可联想到等比中项性质，可得2
53764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得
奇数项的符号相同，所以58a =- 答案：D
小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。 例3：已知等比数列n a 的前n 项和为121n n S t -=?+，则实数t 的值为（ ） A. 2- B. 1- C. 2 D. 0.5
思路：由等比数列的结论可知：非常数列的等比数列，其前n 项和为n n S kq k =-的形式，所以1
21212n n n t S t -=?+=
?+，即122
t
t =-?=- 答案：A
例4：设等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S =（ ） A.
34 B. 23 C. 12 D. 1
3
思路：由()111n n a q S q
-=
-可得：()()1051110511,11a q a q S S q
q
--=
=
--，可发现只有分子中q 的
指数幂不同，所以作商消去1a 后即可解出q ，进而可计算出155:S S 的值 解：()()1051110511,11a q a q S S q
q
--=
=
--
105
105
511112
S q q S q -∴==+=-，解得：512q =- 所以()()
3
15
15115555119111132831114
112
2a q S q q S q q a q ??-- ?---??=?
====--??--- ???
例5：已知数列{}n a 为等比数列，若4610a a +=，则()713392a a a a a ++的值为（ ） A. 10 B. 20 C. 100 D. 200
思路：与条件4610a a +=联系，可将所求表达式向46,a a 靠拢，从而
()()2
2271339717339446646222a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+，即所求表达式
的值为100 答案：C
例6：已知等比数列{}n a 中31a =，则其前5项的和5S 的取值范围是（ ）
A. [)1,+∞
B. 5
,4
??-+∞????
C. [)5,+∞
D. ()[),05,-∞+∞ 思路：条件中仅有3a ，所以考虑其他项向3a 靠拢，所以有
2
22
33533322
111111a a S a a q a q q q q q q q q q q q ????=++++=++++=+++- ? ??
???，再求出其值域即可
解：22
33512345533322
111a a S a a a a a S a a q a q q q q q q q
=++++==
++++=++++ 2
111q q q q ????=+++- ? ??
???，设1
t q q =+，所以(][),22,t ∈-∞-+∞
2
2515
124
S t t t ??∴=+-=-- ??? [)51,S ∴∈+∞
答案：A
例7：已知数列{}n a 是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“1q >”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ）
A. 充要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件
D. 既不充分也不必要条件
思路：在等比数列中，数列的增减受到1a 的符号，与q 的影响。所以在考虑反例时可从这两点入手。将条件转为命题：“若1q >，则数列{}n a 是递增数列”，如果10a <，则{}n a 是
递减数列，所以命题不成立；再看“若数列{}n a 是递增数列，则1q >”，同理，如果10a <，则要求()0,1q ∈，所以命题也不成立。综上，“1q >”是“数列{}n a 是递增数列”的既不充分也不必要条件 答案：D
例8：在等比数列{}n a 中，若123423159,88a a a a a a +++==-，则1234
1111
a a a a +++=（ ） A.
53 B. 53- C. 35 D. 3
5
- 解：条件与结论分别是
{}
n a 的前4项和与倒数和，所以考虑设
41234412341111,S a a a a T a a a a =+++=
+++，
则()()232
411123498
S a q a q a q a a T ==?==- 所以445
938
S T =
=-- 答案：B
例9：已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且3122a a a =+，则9101112
78910
a a a a a a a a +++=
+++（ ）
A.
1
B. 1-
C. 3+
D. 3-思路：所求分式中的分子和分母为相邻4项和，则两式的比值与q 相关，所以需要求出q 。由条件3122a a a =+，将等式中的项均用1,a q 即可求出q 。从而解得表达式的值 解：1321,,22
a a a 成等差数列
3121
222
a a a ∴?=+ 将23121,a a q a a q ==代入等式可得：
221112210a q a a q q q =+?--=
212
q ±∴=
={}n a
为正项数列，所以1q =
1q ∴=
()(
)
(
23
2
92910111223
7891071131a q q q a a a a q a a a a a q q q ++++++∴===+=+++++++答案：C 例
10：在正项等比数列
{}
n a 中，5671
,32
a a a =
+=，则满足1212
n n a a a a a a +++>??? 的最大正整数n 的值为____________ 思路：从已知条件入手可求得n a 通项公式：62n n a -=，从而所满足的不等式可变形为关于
n 的不等式：21152
212
n n
n -+->，由2 的指数幂特点可得：
()22212,,n m n m m n N n m *>?->∈>，所以只需21110
2
22
n n n -+>，从而解出n 的最大
值
解：设{}n a 的公比为q ，则有2675533a a a q a q +=?+=
211
322
q q ∴+=解得：3q =-（舍）或2q = 5652n n n a a q --∴== ()()1122112121
32
n n
n a a a a -+++=
=
-- ()()
()115462
122
2
n n n n a a a --+-++-???==
所以所解不等式为：()()
2111152
2
1212212
32n n n n
n
n --+->?->
21110
222
111022
131002
n n n
n n n n n -+-+∴>?>?-+<
可解得：1302
n +<<
n N *∈ n ∴的最大值为12
答案：12
三、历年好题精选（等差等比数列综合）
1、已知正项等比数列{}n a 满足54325a a a a +--=，则67a a +的最小值为（ ） A. 32 B.
10+ C. 20 D. 28 2、已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线1y a x =与圆
()
2
224x y -+=的两个交点关于直线0x y d ++=对称，则5S =（ ）
A. 25
B. 25-
C. 15-
D. 15 3、（2016，内江四模）若d c b a ,,,成等比数列，则下列三个数：①d c c b b a +++,, ②
cd bc ab ,, ③d c c b b a ---,,，必成等比数列的个数为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3 4、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足150S >，160S <，则11S a ，2
2S a ，…，1515
S a 中最大的项为（ ） A.
66S a B.77S a C.99S a D.88
S
a 5、（2016，新余一中模拟）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若
11a =，n S 为数列{}n a 前n 项和，则
216
3
n n S a ++的最小值为（ ）
A. 3
B. 4
C.
2- D. 92
6、（2015，北京）设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）
A. 若120a a +>，则230a a +>
B. 若130a a +<，则120a a +<
C. 若120a a <<
，则2a >
D. 若10a <，则()()21230a a a a -->
7、（2015，广东）在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a +=______ 8、（2014，北京）若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =______时，
{}n a 的前n 项和最大
9、（2015，福建）若,a b 是函数()()2
0,0f x x px q p q =-+>>的两不同零点，且,,2
a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
10、已知{}n a 是等差数列，公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ） A. 140,0a d dS >> B. 140,0a d dS << C. 140,0a d dS >< D. 140,0a d dS <> 11、（2014，广东）若等比数列{}n a 各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则
12、（2014，安徽）数列{}n a 是等差数列，若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列，则q =_______
13、（2014，新课标全国卷I ）已知数列{}n a 的前n 项和为1,1,0n n S a a =≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数
（1）证明：2n n a a λ+-=
（2）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由
14、（2016，河南中原第一次联考）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3737S S +=，则31119a a +=（ ）
A. 47
B. 73
C. 37
D. 74 15、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足15160,0S S ><，则12151215
,,,S S S
a a a 中最大的项为（ ） A.
77S a B. 66S a C. 99S a D. 88
S
a 16、（2014，湖北）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且125,,a a a 成等比数列 （1）求数列{}n a 的通项公式
（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数n ，使得60800?n S n >+若存在，求
n 的最小值；若不存在，说明理由
习题答案：
1、答案：C
解析：设等比数列的公比为q ，由已知可得1q >，则有
(
)(
)2
543232
515a a a a q a
a +--=
?-
+=，所以 ()
44
26732225151105102011q a a q a a q q q ??+=+==-++≥?=??--?
?
，等号成立当且仅当(
)
2
21
11
q q q -=?=-2、答案：C
解析：由交点对称可知：① 交点所在直线与0x y d ++=垂直，所以11a =；② 直线
0x y d ++=为圆上弦的中垂线，所以该直线过圆心，由圆方程可得圆心坐标：()2,0，代
入可得：2d =-，所以()1132n a a n d n =+-=-，515S =- 3、答案：B
解析：本题从“等比数列中不含0项”入手，不妨设d c b a ,,,的公比为q ，可得①中若公比
1q =-，则无法构成等比数列，同理③中若1q =，则无法构成等比数列；对于②可知均能
构成公比为2
q 的等比数列 4、答案：D 解析：15881689901500
000
S a a S a a a >?>?>??
<且8S 最大。所以可
知1281280,0S S S a a a <<<<>>>> ，从而8
8
S a 最大 5、答案：A
解析：设公差为d ，因为1313,,a a a 成等比数列
()()2
23111111212a a a a d a a d ∴=?+=+
2144112d d d ∴++=+解得：2d =
()1121n a a n d n ∴=+-=- 2n S n =
22216216216
321322
n n S n n a n n +++==
+-++，令1t n =+
21692243n n S t a t +∴
=+-≥-=+
6、答案：C
解析：A 选项：反例为公差小于0，且12120,0,a a a a ><>的数列，例如：
1233,1,5a a a ==-=-，所以A 错误
B 选项：同A 中的例子即可判定B 错误
C 选项：由120a a <<可知0d >，且0n a >
，则2
2213a a a a >
?>，再将13,a a 统一用2,a d 表示，即()()2
2
2
132222a a a d a d a d a =-+=-<，所以C 正确 D 选项：由等差数列可得：()()2
21230a a a a d --=-≤，所以D 错误
综上所述：C 选项正确 7、答案：10
解析：345675525a a a a a a ++++==，可得55a =，所以285210a a a +== 8、答案：8
解析：由7890a a a ++>可得：88300a a >?>，由7100a a +<可得890a a +<，从而
90a <，由此可知数列{}n a 前8项为正项，且数列单调递减，从第9项开始为负项，所以
前8项和最大 9、答案：D
解析：由韦达定理可知,a b p ab q +==，且由,0p q >可知,0a b >，因为,,2a b -可构成
等比数列，所以2-必为等比中项，()
2
24ab ∴=-=，即4
4
q b a =??
?=??
，所以4,,2a a -构成等差数列，同样由4,
0a a >判断出则等差中项只能是a 或4a ，所以有422a a =-或8
2a a
=-，解得41a b =??
=?或14
a b =??=?，则5p a b =+=，所以9p q +=
10、解析：348,,a a a 成等比数列
()()()2
2438111327a a a a d a d a d ∴=?+=++
2222111169914a a d d a a d d ∴++=++
153a d ∴=-
21503a d d ∴=-< 4143202
46233S a d d d d ?=+=-+=-
242
03
dS d ∴=-<
综上所述：140,0a d dS << 11、答案：50
解析：由5510119121011222a a a a e a a e +=?=可得51011a a e =，从而1011ln ln 5a a +=，因为{}n a 为等比数列，所以{}ln n a 为等差数列，从而有：
1011
1220ln ln ln ln ln 20502
a a a a a ++++=
?=
12、答案：1
解析：方法一：设{}n a 的公差为d ，由1351,3,5a a a +++成等比数列可得：
()
()()2
2
3153315153156955a a a a a a a a a +=++?++=+++ ()()()()2
11111126294545a d a d a a d a a d ?++++=+++++
222
1111114461294645a a d d a d a a d a d ?+++++=++++
248401d d d ?++=?=-
3111323
111
a a q a a +-+∴=
==++ 方法二：由等比数列性质可知：
351335
13
a a q a a ++==++，由合比性质可得：()()()()533153221
3122
a a d q a a d +-++=
==+-++
13、解析：（1）11n n n a a S λ+=-
111n n n a a S λ--∴=-
()111n n n n n n n a a a a S S a λλ+--∴-=-= 0n a ≠
11n n a a λ+-∴-=，即2n n a a λ+-=
（2）由题设可得：1211a a S λ=- 11a =
21a λ∴=- 由（1）可得：311a a λλ=+=+
若{}n a 为等差数列，则()()21322111a a a λλ=+?-=++ 解得：4λ=
下面验证4λ=是否能让{}n a 为等差数列
由（1）可得：{}21n a -是首项为1，公差为4的等差数列
()2114143n a a n n -∴=+-=-
{}2n a 是首项为23a =，公差为4的等差数列
()224141n a a n n ∴=+-=- 2212n n a a -∴-=且2122n n a a +-=
{}n a 为公差是2的等差数列
4λ∴=
14、答案：D
解析：3711133721102437S S a d a d a d +=+++=+=
()()3111111191921020482102474a a a d a d a d a d ∴+=+++=+=+=
15、答案：D
解析：()1581689150,80S a S a a =>=+<，所以88899
00
00a a a a a >>?????
+<
8
8
S a 最大
16、解析：（1）设{}n a 的公差为d
125,,a a a 成等比数列
()()2
22215111142a a a a d a a d d a d ∴=?+=+?=
0d ∴=或124d a ==
当0d =时，可得2n a =
当4d =时，()1142n a a n d n =+-=-
2n a ∴=或42n a n =-
（2）当2n a =时，260800n S n n =<+，故不存在符合条件的n 当42n a n =-时，2122
n
n a a S n n +=
?= 令2
2
260800304000n n n n >+?--= 解得40n >或10n <-（舍）
40n ∴>，即n 的最小值为41
综上所述：当2n a =时，不存在符合条件的n ；当42n a n =-时，n 的最小值为41
一、等比数列选择题 1．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期?感染者与其他人的接触频率?每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58 A ．34 B ．35 C ．36 D ．37 2．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2 6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且 77b a =，则3810b b b =（ ) A ．1 B ．8 C ．4 D ．2 3．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ） A ． 503 B ． 507 C ． 100 7 D ． 200 7 4．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078 a a a a +=+（ ） A 1 B 1 C ．3- D ．3+5．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ） A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项 6．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（ ） A ．40 B ．81 C ．121 D ．242 7．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件 11a >，66771 1, 01 a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a > B ．01q << C ．n S 的最大值为7S D ．n T 的最大值为7T 8．在数列{}n a 中，12a =，对任意的,m n N * ∈，m n m n a a a +=?，若 1262n a a a ++???+=，则n =（ ）
等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=L 则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=?a a a a ，则 =10 20 a a （ ） A. 32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（ ） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a +++L ＝ A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 5 12. 设函数()()() * 2 ,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( ) A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 C.常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（ ） A. ??????3, 0m B. ??????--3,m m C . ??? ??3,0m D. [)?? ? ???-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则 10 429 31a a a a a a ++++的值为 ． 15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则 =+2 2 1b a a ______．
高考之等比数列及函数公式 一、等比数列求和公式 q≠1时Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q) q=1时Sn=na1 (a1为首项,an为第n项,d为公差,q 为等比) 二、等比数列求和公式推导 Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q) qSn=a1q + a2q + a3q +...+ anq = a2+ a3+ a4+...+ an+ a(n+1) Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1) a(n+1)=a1qn Sn=a1(1-qn)/(1-q)（q≠1） 三、倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方sin2（A）） 四、半角公式 sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cos α)/sinα 五、降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 六、辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) 七、三角函数常用公式 正弦函数sinθ=y/r 余弦函数cosθ=x/r 正切函数tanθ=y/x 余切函数cotθ=x/y 正割函数secθ=r/x 余割函数cscθ=r/y
历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题25 等比数列（学生版） 一．选择题（共6小题） 1．（2014?全国）等比数列4x +，10x +，20x +的公比为( ) A ． 1 2 B ． 43 C ． 32 D ．53 2．（2014?大纲版）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若23S =，415S =，则6(S = ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 3．（2014?重庆）对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是( ) A ．1a ，3a ，9a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列 D ．3a ，6a ，9a 成等比数列 4．（2014?上海）如果数列{}n a 是一个以q 为公比的等比数列，*2()n n b a n N =-∈，那么数列{}n b 是( ) A ．以q 为公比的等比数列 B ．以q -为公比的等比数列 C ．以2q 为公比的等比数列 D ．以2q -为公比的等比数列 5．（2013?福建）已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)n m n m n m n m b a a a -+-+-+=++?+，(1)1(1)2(1)n m n m n m n m a a a -+-+-+=?g g g e，*(,)m n N ∈，则以下结论一定正确的是( ) A ．数列{}n b 为等差数列，公差为m q B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2m q C ．数列{}n e为等比数列，公比为2 m q D ．数列{}n e为等比数列，公比为m m q 6．（2012?北京）已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是( ) A ．1322a a a +… B ．222 1322a a a +… C ．若13a a =，则12a a = D ．若31a a >，则42a a >
考点1等比数列的通项与前n 项和 题型1已知等比数列的某些项，求某项 【例1】已知{}n a 为等比数列，162,262==a a ，则=10a 题型2 已知前n 项和n S 及其某项，求项数. 【例2】⑴已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，93=n S ，48=n a ，公比2=q ，则项数=n . ⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数. 题型3 求等比数列前n 项和 【例3】等比数列Λ,8,4,2,1中从第5项到第10项的和. 【例4】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，13233331-+++++=n n a Λ，求n S 【例5】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，n n n a 3)12(?-=，求n S . 【新题导练】 1.已知{}n a 为等比数列，6,3876321=++=++a a a a a a ，求131211a a a ++的值. 2.如果将100,50,20依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为 . 3.已知n S 为等比数列 {}n a 的前n 项和，364,243,362===n S a a ，则=n ； 4.已知等比数列{}n a 中，21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 . 5.已知n S 为等比数列 {}n a 前n 项和，0>n a ，80=n S ，65602=n S ，前n 项中的数值最大的项为54，求100S . 考点2 证明数列是等比数列 【例6】已知数列{}n a 和{}n b 满足：λ=1a ，4321-+=+n a a n n ，)213()1(+--=n a b n n n ，其中λ为实数，+∈N n . ⑴ 对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列； ⑵ 试判断数列 {}n b 是否为等比数列，并证明你的结论.
等比数列练习题 一、选择题 1.(2009年广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得( )2 2 8 41112a q a q a q ?=,即2 2q =,又因为等比数列}{n a 的公比为 正数，所以q = 故212a a q = == ,选B 2、如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{ n a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a n n 则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 答案：A 4.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A.18 B.20 C.22 D.24 答案：B 解析： 20 ,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S 5.（2008四川）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是() A.(],1-∞- B.() (),01,-∞+∞ C.[)3,+∞ D.(][),13,-∞-+∞ 答案 D 6.（2008福建)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 答案 C 7.（2007重庆）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A 8．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案：B 9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6= （A ）3 × 44 （B ）3 × 44+1 （C ）44 （D ）44+1 答案：A 解析：由a n +1 =3S n ，得a n =3S n －1（n ≥ 2），相减得a n +1－a n =3(S n －S n －1)= 3a n ，则a n +1=4a n （n ≥ 2），a 1=1，a 2=3，则a 6= a 2·44=3×44，选A ． 10.(2007湖南) 在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，41 8 a =，则该数列的前10项和为（ ） A ．4122- B ．2122- C ．101 22 - D ．11122- 答案 B 11.（2006湖北）若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 答案 D 解析 由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由310a b c ++=可得b ＝2，所以a ＝2－d ，c ＝2＋d ，又,,c a b 成等比数列可得d ＝6，所以a ＝－4，选D 12.（2008浙江）已知{}n a 是等比数列，4 1 252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（ ） A.16（n --4 1） B.6（n --2 1） ,,a b c ,,c a b
一、等比数列基本概念： 1. 等比数列的定义：()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2. 通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -== =??≠?≠， 首项：1a ；公比：q 注：当1q ≠时等比数列通项公式()1110n n n n a a a q q A B A B q -===??≠是关于n 的带有 系数的指数类函数，底数为公比q ，若11,n q a na ==则. 3. 等比中项 (1) 如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 A ab = 或A =注: 同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数 (2) 数列{}n a 是等比数列?211n n n a a a -+=? (11n n a a +-≠0) 二、等比数列的性质： 例 1. 在等比数列{}n a 中,320,2a q ==, 求6,n a a 例2. 等比数列{}n a ,121a a +=3,a +4a =9 则45a a += . 例3.等比数列{}n a 中,910111264a a a a ???= 则813a a ?= . 例4. 在等比数列{}n a 中, 0n a >, 24a a + 3546236a a a a +=, 则35a a += 例5. 如果数列{}n a 是等比数列, 那么( ) A. 数列2{}n a 是等比数列 B. 数列{2}n a 是等比数列 C. 数列{lg }n a 是等比数列 D. 数列{}n na 是等比数列
§2.4等比数列练习 1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比． 2、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项． 3、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则11n n a a q -=． 4、通项公式的变形：①n m n m a a q -=；②()11n n a a q --=；③1 1n n a q a -=；④n m n m a q a -=． 5、若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a ?=?；若{}n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2 n p q a a a =?． 一.选择题：1.下列各组数能组成等比数列的是（ ） A. 111,,369 B. lg3,lg9,lg 27 C. 6,8,10 D. 3,- 2.等比数列{}n a 中，32a =，864a =，那么它的公比q =（ ） A. 4 B. 2 D. 12 3.已知{}n a 是等比数列，n a >0，又知243546225a a a a a a ++=g g g ，那么35a a +=（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 4.等比数列{}n a 中，11a =，1q q ≠公比为且，若12345m a a a a a a =g g g g ，则m 为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 5. “2 b a c =”是“a 、b 、c 成等比数列”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 6.若{}n a 是等差数列，公差0d ≠，236,,a a a 成等比数列，则公比为（ ） A.1 B. 2 C. 3 D. 4 二.填空题： 7.等比数列中，首项为 98，末项为13，公比为23 ，则项数n 等于 . 8.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于 . 9.在等比数列{}n a 中，n a >0，()n N +∈且3698a a a =，则 22242628210log log log log log a a a a a ++++= . 10.若{}n a 是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为是 . ① {}2n a ② {}2n a ③ 1n a ?????? ④ {} lg n a 三.解答题 11.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，求56a a +. 12.已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数.
高考数学-等比数列的前n 项和·例题解析 【例1】 设等比数列的首项为a(a ＞0)，公比为q(q ＞0)，前n 项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n 项和为6560，求a 和q ． 解 由S n =80，S 2n =6560，故q ≠1 a q q a q q n n () ()11112----????? ???=80=6560 q =81n ① ②③ ∵a ＞0，q ＞1，等比数列为递增数列，故前n 项中最大项为a n ． ∴a n =aq n-1=54 ④ 将③代入①化简得a=q －1 ⑤ ③ ④ 化简得⑥3a =2q 由⑤，⑥联立方程组解得a=2，q=3 【例2】求证：对于等比数列，有＋＋．S S =S (S S )n 22n 2 n 2n 3n 证 ∵S n =a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n-1 S 2n =S n ＋(a 1q n ＋a 1q n+1＋…＋a 1q 2n-1) =S n ＋q n (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n-1) =S n ＋q n S n =S n (1＋q n ) 类似地，可得S 3n =S n (1＋q n ＋q 2n ) ∴＋＋＋＋S +S =S [S (1q )] =S (22q q ) n 22n 2n 2n n 2n 2n 2n S (S S )=S [S (1q )S (1q q )] =S (22q q ) S S =S (S S ) n 2n 3n n n n n n 2n n 2n 2n n 22n 2 n 2n 3n ＋＋＋＋＋＋＋∴＋＋ 【例3】 一个有穷的等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数．
1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2 －8n D ．S n ＝12 n 2 －2n 2．(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足，a n ＋1＋2a n ＝0，且a 2 ＝2，则{a n }前10项的和等于( ) A.1－2103 B ．－1－210 3 C ．210－1 D ．1－210 3．已知等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠－1，且a 5＋a 4＝3(a 3 ＋a 2)，则 9 a 1a 2a 3…a 9等于( ) A ．－9 B ．9 C ．－81 D ．81 4．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 5．(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n }的公差不为零，S n 为其前n 项和，S 3＝9，且a 2－1，a 3－1，a 5－1构成等比数列，则S 5＝( ) A ．15 B ．－15 C ．30 D ．25 二、填空题 6．(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________． 7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，
等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=?a a a a ，则 =10 20 a a （ ） A. 32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（ ） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a ++ +＝ A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 5 12. 设函数()()() * 2 ,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( ) A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 C.常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（ ） A. ??????3, 0m B. ??????--3,m m C . ??? ??3,0m D. [)?? ? ???-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则 10 429 31a a a a a a ++++的值为 ． 15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则 =+2 2 1b a a ______．
2017年高考试题分类汇编（数列） 考点1 等差数列 1.（2017·全国卷Ⅰ理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=， 648S =，则{}n a 的公差为 C A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 2.（2017·全国卷Ⅱ理科）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则 11n k k S ==∑ ． 21n n + 3.（2017·浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0d >”是 “465+2S S S >”的 C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点2等比数列 1.（2017·全国卷Ⅲ理科）设等比数列{}n a 满足121a a +=-,133a a -=-，则 4a =____．8- 2.（2017·江苏卷）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知 374S = ,6634 S =，则8a = . 32 3.（2017·全国卷Ⅱ理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远 望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是： 一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍， 则塔的顶层共有灯 B A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 考法3 等差数列与等比数列综合 1.（2017·全国卷Ⅲ理科）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ， 6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A A ．24- B ．3- C ．3 D ．8
1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( ) A．a n＝2n－5 B．a n＝3n－10 C．S n＝2n2－8n D．S n＝1 2 n2－2n 2．(2019·长郡中学联考)已知数列{a n}满足，a n＋1＋2a n＝0，且a2＝2，则{a n}前10项的和等于( ) A.1－210 3 B．－ 1－210 3 C．210－1 D．1－210 3．已知等比数列{a n}的首项为1，公比q≠－1，且a5＋a4＝3(a3 ＋a2)，则9 a1a2a3…a9等于( ) A．－9 B．9 C．－81 D．81 4．(2018·全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( ) A．－12 B．－10 C．10 D．12 5．(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n}的公差不为零，S n为其前n项和，S3＝9，且a2－1，a3－1，a5－1构成等比数列，则S5＝( ) A．15 B．－15 C．30 D．25 二、填空题 6．(2019·北京卷)设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，S n的最小值为________． 7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要
见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则此人第4天走的里程是________里． 8．(2019·雅礼中学调研)若数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)．令b n ＝log 3(a n ＋1)，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝________． 三、解答题 9．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9 ＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式； (2)若a 1＞0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 10．已知数列{a n }是等比数列，并且a 1，a 2＋1，a 3是公差为－3的等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a 2n ，记S n 为数列{b n }的前n 项和，证明：S n ＜ 163 . B 级 能力提升 11．(2019·广州调研)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3 (n ∈N * )的最小值为( ) A ．4 B ．3 C ．23－2 D.92 12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a ＝(a 1，1)，b ＝(1，a 10)，若a ·b ＝24，且S 11＝143，数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足2a n －1
等比数列通项公式及性 质练习 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
等比数列通项公式及性质 1．若等比数列的首项为98，公比为23，3 1 n a ，则该数列的项数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．在等比数列{a n }中，a 2 010＝8a 2 007，则公比q 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 4．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1等于( ) D ．2 5．已知等比数列{a n }，a 4＝7，a 6＝21，则a 8等于( ) A ．35 B ．63 C ．21 3 D ．±21 3 6．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 7．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2 8.等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，若q 2＝4，则a 3＋a 4a 4＋a 5 的值为( ) B ．±12 C ．2 D ．±2 9．(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 10．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于 ( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16
一、等比数列选择题 1．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，31 4a =，则q =（ ） A ．1- B ．4 C ．12- D ．12 ± 2．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝（ ） A ．4 B ．5 C ．8 D ．15 3．已知等比数列{}n a 中，1354a a a ??= ，公比q =，则456a a a ??=（ ） A ．32 B ．16 C ．16- D ．32- 4．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ） A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项 5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A ．80里 B ．86里 C ．90里 D ．96里 6．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个 单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于六个单音的频率为f ，则（ ） A ．第四个单音的频率为1 122f - B ．第三个单音的频率为1 42f - C ．第五个单音的频率为162f D ．第八个单音的频率为112 2f 7．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（ ） A ．40 B ．81 C ．121 D ．242 8．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 且63 9S S =，则42a a 的值为（ ） A B ．2 C ．D ．4 10．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ?=，则2122210log log log a a a +++=（ ）
1.【2017浙江，6】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【考点】 等差数列、充分必要性 【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过公式的套入与简单运算，可知 4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若q p ?，则p 是q 的充分条件，若q p ?， 则 p 是q 的必要条件，该题“0>d ”?“02564>-+S S S ”，故为充要条件． 2.【2015高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若 844S S =，则10a =（ ） （A ） 172 （B ）19 2 （C ）10 （D ）12 【答案】B 【解析】∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)2 2 a a +??=+??，解得1a =1 2 ， ∴101119 9922 a a d =+= += ，故选B. 【考点定位】等差数列通项公式及前n 项和公式 【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算. 3.【2014高考重庆文第2题】在等差数列{}n a 中,1 352,10a a a =+=，则7a =（ ） .5A .8B .10C .14D 【答案】B
【解析】 试题分析：设等差数列{}n a的公差为d，由题设知，12610 a d +=，所以，1 102 1 6 a d - ==所以，716268 a a d =+=+=.故选B. 考点：等差数列通项公式. 【名师点睛】本题考查了等差数列的概念与通项公式，本题属于基础题，利用下标和相等的两项的和相等更能快速作答. 4.【2014天津，文5】设 {} n a是首项为 1 a，公差为1-的等差数列，n S为其前n项和，若， ， ， 4 2 1 S S S成等比数列，则 1 a=（） A.2 B.-2 C. 2 1 D . 1 2 - 【答案】D 考点：等比数列 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式，本题属于基础题，利用等差数列的前n项和公式表示出， ， ， 4 2 1 S S S然后依据， ， ， 4 2 1 S S S成等比数列，列出方程求出首项.这类问题考查等差数列和等比数列的基本知识，大多利用通项公式和前n项和公式通过列方程或方程组就可以解出. 5.【2014辽宁文9】设等差数列{}n a的公差为d，若数列1{2}n a a为递减数列，则（）A．0 d
等比数列性质 注意事项：1.本卷共150分，考试时间100分 2.题型难度: 中等难度 3.考察范围：等比数列性质 4.试题类型：选择题12道，填空题4道，简答题6道。 5.含有详细的参考答案 6.试卷类型：高考二轮复习专题训练 一、选择题 1.已知数列4,,,121--a a 成等差数列, 4,,,1321--b b b 成等比数列，则 2 1 2b a a -的值为 ( ) A 、 2 1 B 、— 2 1 C 、 2 1或— 2 1 D 、 4 1 2.等比数列{}n a 中，1990,,n a a a >为方程2 10160x x -+=的两根，则205080a a a ??的值为 （ ） .32A .64B .256C .64D ± 3.已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)＝ （ ） A ．8 B ．－8 C ．8± D ．9 8 4.某数列既成等差数列也成等比数列，那么该数列一定是 （ ） A ．公差为0的等差数列 B ．公比为1的等比数列 C ．常数数列1，1，1… D ．以上都不对 5.等比数列{}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3 13 2 3 10 log log log a a a +++ ＝ ( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 5 6.已知n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且421,,S S S 成等比数列，则 1 3 2a a a +等 于 （ ） A. 4 B. 6 C.8 D.10 7.公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a 是3a 与7a 的等比中项， 1060,S =则8S 等于 A 、28 B 、32 C 、36 D 、40 8.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242S S =，则公比为（ ）
等比数列练习题（含答案） 一、选择题 1.(2009年广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得( )2 2 8 41112a q a q a q ?=,即2 2q =,又因为等比数列}{n a 的公比为 正数，所以q = 故212a a q = == ,选B 2、如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{ n a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a n n Λ则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 答案：A 4.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A.18 B.20 C.22 D.24 答案：B 解析： 20 ,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S Θ 5.（2008四川）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是() A.(],1-∞- B.()(),01,-∞+∞U C.[)3,+∞ D.(][),13,-∞-+∞U 答案 D 6.（2008福建)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 答案 C 7.（2007重庆）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A 8．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案：B 9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6= （A ）3 × 44 （B ）3 × 44+1 （C ）44 （D ）44+1 答案：A 解析：由a n +1 =3S n ，得a n =3S n －1（n ≥ 2），相减得a n +1－a n =3(S n －S n －1)= 3a n ，则a n +1=4a n （n ≥ 2），a 1=1，a 2=3，则a 6= a 2·44=3×44，选A ． 10.(2007湖南) 在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，41 8 a =，则该数列的前10项和为（ ） A ．4122- B ．2122- C ．10122- D ．111 22 - 答案 B 11.（2006湖北）若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 答案 D 解析 由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由310a b c ++=可得b ＝2，所以a ＝2－d ，c ＝2＋d ，又,,c a b 成等比数列可得d ＝6，所以a ＝－4，选D 12.（2008浙江）已知{}n a 是等比数列，4 1 252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a Λ=（ ） A.16（n --41） B.6（n --2 1） ,,a b c ,,c a b