第二章 控制系统的数学模型习题及答案
2-1 试建立下图所示各系统的微分方程。其中电压)(t u r 和位移)(t x 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t y 为输出量；R （电阻），C （电容），k （弹性系数），和f （阻尼系数），均为
常数。 解：
（a ）应用复数阻抗概念可写出
)()(11
)(11
s U s I cs
R cs R s U c r ++
= （1） 2
)
()(R s Uc s I =
（2） 联立式（1）、（2），可解得：
Cs
R R R R Cs R R s U s U r c 212112)
1()()(+++=
微分方程为:
r r c c u CR dt du u R CR R R dt du 1
21211
+=++ （b ）如图解2-1(b)所示，取A,B 两点分别进行受力分析。对A 点有 )()(111dt
dy
dt dx f x x k -=- （1） 对B 点有 y k dt
dy
dt dx f 21)(
=- （2） 联立式（1）、（2）可得：
dt
dx k k k y k k f k k dt dy
2112121)(+=
++ 2-2 试证明下图所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。
解：
(a) 取A 、B 两点分别进行受力分析，
如图解所示。对A 点有
)()()(1122y y f y x
f y x k -=-+- (1) 对B 点有
1111)(y k y y
f =- (2) 对式（1）、（2）分别取拉氏变换，消去中间变量1y ，整理后得
)()(s X s Y = 212121212
2
1212212121
()1
()1f f f f
s s k k k k f f f f f s s k k k k k +++++++2
1221221221211221221k k s )k f k f k f (s f f k k s )k f k f (s f f +++++++= (b) 由图可写出
s
C R s U c 221)
(+
= s
C R s C R s
C R s U r 111112111
)(+
?
+
+
整理得
)()(s U s U r c = 1
)(1
)(2122112
2121221122121+++++++s C R C R C R s C C R R s C R C R s C C R R 比较两系统的传递函数，如果设112211221,1,,,R k R k C f C f ====则两系统的传递函数相同，所以两系统是相似的。
2-3 求下图所示各有源网络的传递函数
)
()
(s U s U r c 。
解： (a) 根据运算放大器 “虚地”概念，可写出
1
2)()(R R
s U s U r c -=
(b) s C R )s C R 1)(s C R 1(s
C 1R s C 1R s C 1
R )s (U )s (U 212211111122r c ++-
=+
?
+
-=
(c) )
1(11)()(212122Cs R R R R Cs R Cs R s U s U r c +-=+
?
-=
2-4 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为 t t
e e t c --+-=221)(，试求系统的单
位脉冲响应和传递函数。 解
t 2t e 4e dt
)
t (dc )t (k ---==
)
2s )(1s (23s 1s 12s 4)]t (k [L )s (+++=+-+=
=Φ
2-5 系统传递函数
2
s 3s 2
)s (R )s (C 2++=，试求初始条件为1)0(c -=、0)0(c
= 时系统在输入)t (1)t (r =作用下的输出)t (c 。
解： 得时，由)t (2r )t (2c )t (c 3)t (c 0)0(c
,1)0(c =++=-= )s (2R )s (2C )0(3c )s (3sC )0(c
)0(sc )s (C s 2
=+-+-- 代入初始条件得：2
s 2
1s 4s 1)2s )(1s (s 3s s 2)s (C 2+++-=++--=
2t t
2e 4e
1)t (c --+-=
2-6 飞机俯仰角控制系统结构图如图所示，试求闭环传递函数)s (Q )s (Q r c 。
解： 经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数
68
.0s )K 42.018.1(s )K 7.09.0(s )
6.0s (
7.0)s (Q )s (Q 23r c ++++++= 2-7 已知系统方程组如下，试绘制系统结构图，并求闭环传递函数
)
s (R )
s (C 。
解： 系统结构图如下：
利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为
8
4321743215436324321G G G G G G G G G G G G G G G G 1G G G G )s (R )
s (C -+++= 2-8 试用结构图等效变换法化简下图所示系统，并求各系统的传递函数
)
s (R )
s (C 。 解： （a ）
???????=-=-=--=)
()()()()]()()([)()]()()()[()()()]()()[()()()(3435233612287111s X s G s C s G s G s C s X s X s X s G s X s G s X s C s G s G s G s R s G s X
所以： 4
3213243214321G G G G G G G G G G 1G G G G )s (R )
s (C ++++= （b ）
所以：
H
G 1
G G )s (R )s (C 22
1--= （c ）
所以：
3
213221321G G G G G G G 1G G G )s (R )
s (C +++= 2-9 试用梅逊增益公式求下图中各系统的闭环传递函数。
解： （a ）图中有1条前向通路，4个回路
1
G G G G P 143211=?=，
)
L L L L (1H G G L H G G G G L H G G G L H G G L 43212434443213332121321+++-=?-==-==，，
，，
2
4344321332113243211
1H G G H G G G G H G G G H G G 1G G G G P )s (R )s (C +-+-=??= （b ）图中有4条前向通路，5个回路
，，，，1242321211G G P G P G G P G P ===-=
，，，，，2151242321211G G L G G L G L G G L G L -=-=-=-==
，，)L L L L (1143214321+++-=?=?=?=?=?
??+?+?+?=4
4332211P P P P )s (R )s (C 2
1212
12121122211122211G G 3G G 1G G G G 2G G G G G G G G 1G G G G G G ++-+-=++++-+++-=
（c ）图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路
，，，，1234213211L 1G G P 1G G G P -=?-==?= ，，，3232321211H G L H G L H G G L -=-=-= ，21321L L )L L L (1+++-=?
2
13213223121121343212211H H G G G H G H G H G G 1)H G G 1(G G G G G P P )s (R )s (C +++++-=??+?= 2-10 已知系统的结构图如下，图中)(s R 为输入信号，)(s N 为干扰信号，试求总输出C(s)。
解：（a ）令0)s (N =，求
)
s (R )
s (C 。图中有2条前向通路,3个回路，有1对互不接触回路。 ，，，，H G 1L 1G G P 1G G P 2123121211+=-=?==?=
，，，31321221G G L G G L H G L -=-=-= ，31321L L )L L L (1+++-=?
则有
H
G G G G G G G H G 1)H G 1(G G G G P P )s (R )s (C 32131212231212
211++++++=??+?= 令0)s (R =，求
)
s (N )
s (C 。有3条前向通路，回路不变。 ，，，，1G G G P L 11P 22142111=?=-=?-=
，
，
133143L 1G G G P -=?=，
31321L L )L L L (1+++-=?
H
G G G G G G G H G 1)H G 1(G G G G G G H G 1P P P )s (N )s (C 3213121223142142332211+++++++--=??+?+?=H
G G G G G G G H G 1)]
H G (1G G G G G G H G 1)[s (N )]H G 1(G G G R(s)[G )s (C 321312122314214223121+++++++--+++=
（b ）令0)s (N 0)s (N 21==，，求
)
s (R )
s (C 。图中有1条前向通路，1个回路。
，
，，，1111L 12
s )
1s (K 2L 12s Ks P -=?++-==?+=
则有
)
1K (2s )1K 2(Ks P )s (R )s (C 11+++=??= 令0)s (N 0)s (R 2==，，求
)
s (N )
s (C 1。图中有1条前向通路，回路不变。 ，，1s P 11=?=则有
)
1K (2s )1K 2()
2s (s P )s (N )s (C 111++++=??= 令0)s (N 0)s (R 1==，，求
)
s (N )
s (C 2。图中有1条前向通路，回路不变。 12s K
2P 11=?+-
=，则有
)
1K (2s )1K 2(K 2P )s (N )s (C 112+++-=??=
1)
2(k 1)s (2k )
s (2kN )s (N )2s (s ksR(s))s (C 21+++-++=
（c ）令0)s (N =，求
)
s (R )
s (C 。图中有3条前向通路，2个回路。 ，，，，，，1G G G P 1G G P 1G G P 3421324321421=?==?==?=
，，，)L L (1G G L G G L 21432421+-=?-=-=
则有
4
3424
214342332211G G G G 1G G G G G G G P P P )s (R )s (C ++++=??+?+?= 令0)s (R =，求
)
s (N )
s (C 。有1条前向通路，回路不变。 ，，1G P 141=?= 则有
4
34241
1G G G G 1G P )s (N )s (C ++=??= 4
3424
4214342G G G G 1G )s (N ]G G G G G G G )[s (R )s (C +++++=
2-11
)s (R H G H G H H H G G G H G H G 1G H H H G G )H G 1(G )s (Y 3
31132132133111
12334331-+-+--=
1.贷款问题 小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。 (1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少共计付了多少利息 (2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清 (3)如果在第6年初，银行的贷款利率由%/月调到%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少 (4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款。但条件是： (i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2； (ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。 试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。 解答： (1)贷款总月数为N=20*12=240，第240个月的欠款额为0，即。 利用式子 (元)，即每个月还款元，共还款(元)，共计付利息元。 (2)贷款5年(即5*12=60个月)后的欠款额为， 利用公式：， 所以，
(元) (3)元，即第六年初，贷款利率，所以余下的15年，每个月还款额为：(元) (4)按照借贷公司的条件(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的，付款的时间缩短，但是前17年的付款总额不变。帮忙提前三年还清需要资金数： 。 对于条件(ii)佣金数： 分析：因为预付佣金20000元，按照银行存款利率/月，17年的存款本息为 即在第17年需要给付借贷公司的钱少于给付银行的钱。所以建议请这家借贷公司帮助还款。 2.冷却定律与破案 按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为的环境中冷却的速度与温差成正比。用此定律建立相应的微分方程模型。 凌晨某地发生一起凶杀案，警方于晨6时到达案发现场，测得尸温26℃，室温10℃，晨8时又测得尸温18℃。若近似认为室温不变，估计凶杀案的发生时间。 解答： 根据Newton冷却定律，可知温度T的微分方程为：
温度控制系统研究背景与现状 1 研究背景 (1) 2 国内外现状 (1) 定值开关温度控制法 (1) PID线性温度控制法 (2) 智能温度控制法 (3) 国内外实例 (4) 1 研究背景 温度是生活及生产中最基本的物理量，它表征的是物体的冷热程度。自然界中任何物理、化学过程都紧密地与温度相联系。在很多生产过程中，温度的测量和控制都直接和安全生产、提高生产效率、保证产品质量、节约能源等重大技术经济指标相联系。自18世纪工业革命以来，工业过程离不开温度控制。温度控制广泛应用于社会生活的各个领域，如家电、汽车、材料、电力电子等。温度控制的精度以及不同控制对象的控制方法选择都起着至关重要的作用，温度是锅炉生产质量的重要指标之一，也是保证锅炉设备安全的重要参数。同时，温度是影响锅炉传热过程和设备效率的主要因素。基于此，运用反馈控制理论对锅炉进行温度控制，满足了工业生产的需求，提高了生产力。 2 国内外现状 温度控制技术按照控制目标的不同可分为两类：动态温度跟踪与恒值温度控制。动态温度跟踪实现的控制目标是使被控对象的温度值按预先设定好的曲线进行变化。在工业生产中很多场合需要实现这一控制目标，如在发酵过程控制，化工生产中的化学反应温度控制，冶金工厂中燃烧炉中的温度控制等。恒值温度控制的目的是使被控对象的温度恒定在某一数值上，且要求其波动幅度（即稳态误差）不能超过某一给定值。从工业温度控制器的发展过程来看，温度控制技术大致可分以下几种： 定值开关温度控制法 所谓定值开关控温法，就是通过硬件电路或软件计算判别当前温度值与设定目标温度值之间的关系，进而对系统加热源（或冷却装置）进行通断控制。若当前温度值比设定温度值高，则关断加热器，或者开动制冷装置；若当前温度值比设定温度值低，则开启加热器并同时关断制冷器。这种开关控温方法比较简单，在没有计算机参与的情况下，用很简单的模拟电路就能够实现。目前，采用这种控制方法的温度控制器在我国许多工厂的老式工业电炉中仍被使用。由于这种控制方式是当系统温度上升至设定点时关断电源，当系统温度下降至设定点时开通
过程控制工程课程设计 课题名称空调温度控制系统的建模与仿真 学院 专业 班级 学生 学号 时间 6 月13日至 6月19日 指导教师(签字) 2011 年 6 月 19 日
目录 第一章设计题目及要求 (1) 1.1设计背景 (1) 1.2设计任务 (1) 1.3主要参数 (2) 1.3.1恒温室： (2) 1.3.2热水加热器ⅠSR、ⅡSR： (2) 1.3.3电动调节阀： (2) 1.3.4温度测量环节： (2) 1.3.5调节器： (2) 第二章空调温度控制系统的数学模型 (3) 2.1恒温室的微分方程 (3) 2.1.1微分方程的列写 (3) 2.1.2 增量微分方程式的列写 (5) 2.2 热水加热器对象的微分方程 (5) 2.3敏感元件及变送器的特性 (6) 2.3.1敏感元件的微分方程 (7) 2.3.2变送器的特性 (7) 2．3．3敏感元件及变送器特性 (8) 2.4 执行器的特性 (8) 第三章控制系统方案设计 (9) 3.1系统分析 (9) 3.2 单回路控制系统设计 (10) 3.2.1单回路控制系统原理 (10) 3.2.2单回路系统框图 (10) 3.3串级控制系统的设计 (11) 3.3.1串级控制系统原理 (11) 3.3.2串级控制系统框图 (12) 第四章单回路系统调节器参数整定 (13) 5.1.1、PI控制仿真 (16) 5.1.2 PID控制仿真 (17) 5.1.3、PI与PID控制方式比较 (17) 第六章设计小结 (18) 参考文献 (18)
第一章设计题目及要求 1.1设计背景 设计背景为一个集中式空调系统的冬季温度控制环节，简化系统图如附图所示。 系统由空调房间、送风道、送风机、加热设备及调节阀门等组成。为了节约能量，利用一部分室循环风与室外新风混合，二者的比例由空调工艺决定，并假定在整个冬季保持不变。用两个蒸汽盘管加热器1SR、2SR对混合后的空气进行加热，加热后的空气通过送风机送入空调房间。本设计中假设送风量保持不变。 1.2设计任务 设计主要任务是根据所选定的控制方案，建立起控制系统的数学模型，然后用MATLAB对控制系统进行仿真，通过对仿真结果的分析、比较，总结不同的控
实验一 控制系统的数学模型 一 实验目的 1、学习用MATLAB 创建各种控制系统模型。 2、掌握传递函数模型、零-极点增益模型以及连续系统模型与离散系统模型之间的转化，模型的简化。 二 相关理论 1传递函数描述 (1)连续系统的传递函数模型 连续系统的传递函数如下： ? 对线性定常系统，式中s 的系数均为常数，且a1不等于零，这时系统在MATLAB 中 可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num 和den 表示。 num=[b1,b2,…,bm,bm+1] den=[a1,a2,…,an,an+1] 注意：它们都是按s 的降幂进行排列的。 tf （）函数可以表示传递函数模型：G=tf(num, den) 举例： num=[12,24,0,20];den=[2 4 6 2 2]; G=tf(num, den) (2)零极点增益模型 ? 零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递 函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。 K 为系统增益，zi 为零点，pj 为极点 在MATLAB 中零极点增益模型用[z,p,K]矢量组表示。即： z=[z1,z2,…,zm] p=[p1,p2,...,pn] K=[k] zpk （）函数可以表示零极点增益模型：G=zpk(z,p,k) (3)部分分式展开 ? 控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控 制单元的和的形式。 ? 函数[r,p,k]=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开，以及把传函分解为微 分单元的形式。 ? 向量b 和a 是按s 的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，余数返回到向量r ， 极点返回到列向量p ，常数项返回到k 。 ? [b,a]=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比p(s)/q(s)。 11 211121......)()()(+-+-++++++++==n n n n m n m m a s a s a s a b s b s b s b s R s C s G ))...()(())...()(()(2121n m p s p s p s z s z s z s K s G ------=22642202412)(23423++++++=s s s s s s s G
第二章自动控制系统的数学模型 教学目的： （1）建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。 （2）掌握传递函数的概念及求法。 （3）通过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。 （4）通过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。 （5）掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。 （6）通过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力 教学要求： （1）正确理解数学模型的特点； （2）了解动态微分方程建立的一般步骤和方法； （3）牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数； （4）掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入 下的闭环传递函数、误差传递函数，能够熟练的掌握； （5）掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法； （6）掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函 数的方法。 教学重点： 有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。 教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构图；对复杂系统的动态结构图进行变换；求第K条前向通道特记式 的余子式 。 k 教学方法：讲授 本章学时：10学时 主要内容： 2.0 引言 2.1 动态微分方程的建立 2.2 线性系统的传递函数 2.3 典型环节及其传递函数 2.4系统的结构图 2.5 信号流图及梅逊公式
第二章 系统的数学模型 2．3图中三图分别表示三个机械系统。求出他们各自的微分方程，图中xi 表示输入位移，xo 表示输出位移，假设输出端无负载效应。 解：（1）、对图（a ）所示系统，有牛顿定律有 c 1(x i-x 0)-c 2x 0=m x 0 即 m x 0+(c 1-c 2) x 0= c 1x i （2）、对图（b ）所示系统，引入一中间变量x ，并有牛顿定律有 (x i -x)k 1=c(x -x 0) c(x -x 0)=k 2x 0 消除中间变量有 c(k 1+k 2)x 0+k 1k 2x 0=ck 1x i （3）、对图（c ）所示系统，有牛顿定律有 c(x i-x 0)+ k 1 (x i -x)= k 2x 0 即 c x 0+(k 1+k 2)x 0=c x i+ k 1x i 2.4 求出图（2.4）所示电网络图的微分方程。
解：（1）对图（a ）所示系统，设i x 为流过1R 的电流，i 为总电流，则有 ?+ =i d t C i R u o 2 21 11i R u u o i =- dt i i C u u o i ?-= -)(11 1 消除中间变量，并化简有 i i i o o o u R C u C C R R u R C u R C u C C R R u R C 1 22 11 221122 112211 )(1)1(++ +=++ ++ （2）对图（b ）所示系统，设i 为电流，则有 dt i C i R u u o i ?+ +=1 11 i R dt i C u o 2 2 1+= ? 消除中间变量，并化简有 i i o o u C u R u C C u R R 2 22 1 211)11()(+=+ ++ 2.5 求图2.5所示机械系统的微分方程。图中M 为输入转矩，C m 为圆周阻尼，J 为转动惯量。 解：设系统输入为M （即M （t ）），输出为θ（即θ（t ）），分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：
一、人体重变化 某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克?天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。 一、问题分析 人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。 二、模型假设 1、以脂肪形式贮存的热量100%有效 2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存 3、假设体重的变化是一个连续函数 4、初始体重为W0 三、模型建立 假设在△t时间内： 体重的变化量为W（t+△t）-W(t)； 身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t）） 将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量； 转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt； 四、模型求解 d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686 W(0)=W0 解得： 5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686) 即： W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686) 当t趋于无穷时，w=81; 二、投资策略模型 一、问题重述 一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i 的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本a ij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）ij
2 发酵罐温度控制系统的数学模型 发酵罐温度控制系统实验平台是以一个7L 发酵罐为主体，罐壁设置有冷却套,相应的设立测温点和调节阀,通过阀门调节冷却套内冷却液的流量来实现对发酵罐内温度的控制，发酵罐示意图如图1所示。 图1 发酵罐示意图 在白酒发酵的过程中，发酵罐内由于酵母的作用，在发酵过程中会产生生化反应热，热量的逐渐释放导致发酵温度逐渐上升。在整个发酵过程中，发酵温度必须根据具体的生产工艺进行严格控制，罐内温度通过控制冷却夹套内的冷却水的流量进行降温，整套系统没有外部加热措施。罐内发酵反应热有一部分使罐内温度升高，一部分热量散失到罐壁和冷媒中，在此不考虑发酵体与罐壁之间的热量传递，罐内的热平衡方程为： ? =-Tdt mC Q Q 21 （2-1） 式中 1Q ：发酵过程产生的热量；2Q :发酵过程散失的热量；m ：反应物质量 C ：发酵罐内反应物的比热容；T 发酵罐温度。 公式1-1可以写成： ? =?Tdt MC Q （2-2） 式中 21Q Q Q -=? 对公式1-2求拉普拉斯变换得： s m C T Q S S )()(=? （2-3） 即可由罐内的热平衡方程式可以得到发酵罐内的传递函数为: m C s Q T G S S S 1 ) ()()(= ?= （2-4） 考虑到在实际的过程中的干扰因素,所以被控对象的数学模型中添加一个滞后环节。因此,用一阶惯性加纯滞后环节来表示,其传递函数为 mCs e Q T G s S S S τ-= ?= ) ()()( （2-5）
3 模糊预测控制器的设计及仿真结果 针对发酵罐中发酵对象大时滞、大时变、严格的非线性、多变量耦合等特点。采用了将模糊控制与预测控制结合的方法，利用模糊建模方法建立对象预测模型。将设定值与预测输入值之间的预测误差值及预测误差值的变化率作为模糊控制器的输入，模糊控制器再根据模糊规则来推理得到控制量，通过执行机构控制被控对象。其结构图如图2所示。 图2模糊控制系统结构图 3.1预测控制部分 预测控制算法与动态矩阵控制算法类似, 主要通过预测模型,利用系统的输入输出数据预测未来时刻系统输出,作为糊控制器的输入。 3.1.1预测模型 假设被控对象基于阶跃响应的预测模型向量为T N a a a a ],...,,[21=，N 为建模时域。则在k 时刻对系统施加一个控制增量Δu(k)时,即可算出在其作用下未来时刻N 个输出值的向量形式： )()()(k u a k y k y po m ??+= （3-1） 式中)(k y po 为k 时刻未加Δu(k)时的初始预测值,)(k y m 为k 时刻在Δu(k)作用下的模型预测值。 3.1.2在线校正 当k 时刻对系统施加控制u(k)时，利用预测模型即可得出未来时刻的输出预测值 )(k y m 。但是，由于实际存在的模型时变、非线性、环境干扰等因素的影响，预测值会偏离 实际值，故在k+l 时刻要利用系统的实际输出y (k+1)进行在线校正： )]|1()1([)()(k k y k y h k y k y m m p +-++= （3-2） 式中h 为N 维误差校正向量,这里取0.11=h ，9.0=i h ，i=2,3...,N 。)(k y p 为校正后的预测值，经过移位后即可作为k+1时刻的初始预测值，用向量形式可表示为： )()1(k y S k y p po ?=+ （3-3） 式中S 为位移阵。
09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很 可能是否定的。 因此对这个问题我们假设： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设 条件成立，那么答案是肯定的。以长方 桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图 所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D 处，A、、D的初始位置在与x轴平行，再 假设有一条在x轴上的线,则也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线与x轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令() fθ为A、B离地距离之和，
()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1）， ()f θ,()g θ均为θ的连续函数。又由假设（3） ，三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（?θ）。不妨设(0)0f =(0)0g >（若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，与互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 10； 10=235/1000；
基于单片机的温度控制 系统设计文献综述 前言 随着现代工业的发展，人们需要对工业生产中有关温度系统进行控制，如钢铁冶炼过程需要对刚出炉的钢铁进行热处理，塑料的定型及各种加热炉、热处理炉、反应炉和锅炉中温度进行实时监测和精确控制温度是日常生活、工业、医学、环境保护、化工、石油等领域最常遇到的一个物理量。而且，很多领域的温度可能较高或较低，现场也会较复杂，有时人无法靠近或现场无需人力来监控。如加热炉大都采用简单的温控仪表和温控电路进行控制, 存在控制精度低、超调量大等缺点, 很难达到生产工艺要求。且在很多热处理行业都存在类似的问题，所以，设计一个较为通用的温度控制系统具有重要意义。这时我们可以采用单片机控制，这些控制技术会大大提高控制精度，不但使控制简捷，降低了产品的成本，还可以和计算机通讯，提高了生产效率. 单片机是指芯片本身，而单片机系统是为实现某一个控制应用需要由用户设计的，是一个围绕单片机芯片而组建的计算机应用系统，这是单片机应用系统。单片机自问世以来，性能不断提高和完善，其资源又能满足很多应用场合的需要，加之单片机具
有集成度高、功能强、速度快、体积小、功耗低、使用方便、价格低廉等特点，因此，应用日益广泛，并且正在逐步取代现有的多片微机应用系统。 1.陈岩《基于ARM 的远程控制温控系统的设计》一个基于ARM的远程控制系统的设计.该系统以无线寻呼网络接收POCSAG编码的控制命令字,同时利用DIMF信号发送器将要反馈的数据通过公用电话网络以DTMF编码传送回去,从而实现了一个功能完整的远程控制系统,弥补了以往远程控制系统的不足同。 2．金凯鹏胡即明《基于模糊PID 算法远程温度控制系统的实现》针对实时温度控制对象,算法远程温度控制系统是一套远程控制系统,并结合了模糊PID控制算法,利用其电路组成和设计原理,实现了对远程温度系统的监视和控制功能.采集端主要实现温度采集、数码显示、温度设定、无线编码发射、加热开关控制等功能;监控部分主要实现无线解码接收、温度显示、报警等功能模块.本系统实现了实时控制与无线传输结合. 3.王晓员《基于单片机多点温度控制的硬件构建设计》针对目前许多塑料反应炉温度控制不准确的现状,进行了基于MCS-51系列单片机多点温度控制的硬件构建的设计.采用数字化温度传感器DS18820,TLC2543型号的12位开关电容运次逼近模数A/D转换器.成本低、可靠性高 4.王芳《利用单片机实现温度智能控制》温度控制系统是
。 例１差分方程—-资金的时间价值 问题1：抵押贷款买房——从一则广告谈起 每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。先看一下下面的广告（这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告）,任何人看了这则广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢？为什么每个月要付12０0元呢？是怎样算出来的?因为人们都知道,若知道了房价(一次付款买房的价格），如果自己只能支付一部分款,那就要把其余的款项通过借贷方式来解决,只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。现在我们来进行数学建模。由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。 a。明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的： 需要借多少钱，用记; 月利率(贷款通常按复利计）用R记； 每月还多少钱用x记; 借期记为N个月。 b.建立变量之间的明确的数学关系。若用记第k个月时尚欠的款数,则一个月后（加上利息后)欠款 , 不过我们又还了x元所以总的欠款为 ｋ=0，1，２，３， 而一开始的借款为.所以我们的数学模型可表述如下 (1) c. （1)的求解。由
（2）这就是之间的显式关系。 d.针对广告中的情形我们来看（１）和（2）中哪些量是已知的。Ｎ=5年=60个月，已知;每月还款x＝１20０元，已知Ａ.即一次性付款购买价减去７０000元后剩下的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率Ｒ也没告诉你,这造成了我们决策的困难.然而,由（2）可知6０个月后还清,即,从而得 (3） A和x之间的关系式，如果我们已经知道银（３)表示Ｎ=6０,x=1２00给定时0 A。例如，若Ｒ=0．01,则由(3)可算得行的贷款利息R，就可以算出0 5３94６元。如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70０0０十53946＝12３946元的话，你就应自己去银行借款。事实上，利用图形计算器或Maｔheｍａtiｃa这样的 数学软件可把（3）的图形画出来,从而可以进行估算决策。以下我们进一步考虑下面两个问题。 注1问题1标题中“抵押贷款”的意思无非是银行伯你借了钱不还，因而要你用某种不动产（包括房子的产权）作抵押，即万一你还不出钱了，就没收你的不动产。 例题１某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款６000０元，月利率0.01，贷款期25年=300月，这对夫妇希望知道每月要还多少钱，25年就可还清。假设这对
+ 第二章控制系统的数学模型 一．是非题 1．惯性环节的输出量不能立即跟随输入量变化，存在时间上的延迟，这是由于环节的惯性造成的。（√） 2．比例环节又称放大环节，其输出量与输入量之间的关系为一种固定的比例关系。（√） 3．积分环节的输出量与输入量的积分成正比。（√） 4．如果把在无穷远处和在零处的的极点考虑在内，而且还考虑到各个极点和零点的重复数，传递函数G （s ）的零点总数与其极点数不等 （×） 二． 选择题 1．比例环节的传递函数为 （A ） A ．K B 。K s C 。 τs D 。以上都不是 2．下面是t 的拉普拉斯变换的是 （B ） A ． 1 S B 。 21S C 。2S D 。S 3．两个环节的传递函数分别为()1G s 和()2G s 则这两个环节相串联则总的传递函数是 （C ） A ．()()12G s G s + B 。()12()G s G s - C ．()()12G s G s D 。 () () 12G s G s
4．两个环节的传递函数分别为()1G s 和()2G s 则这两个环节相并联则总的传递函数是 （A ） A ．()()12G s G s + B 。()12()G s G s - C ．()()12G s G s D 。() () 12G s G s 三． 填空题 1．典型环节由比例环节，惯性环节， 积分环节，微分环节，振荡环节，纯滞后环节 2．振荡环节的传递函数为22 21k s s τζτ++ 3．21 2 t 的拉普拉斯变换为 3 1 s 4．建立数学模型有两种基本方法：机理分析法和实验辨识法 四．计算题 §2-1 数学模型 1、 线性元部件、系统微分方程的建立 （1）L-R-C 网络 C r u R i dt di L u +?+? = c i C u =? c c c u u C R u C L +'??+''??=
： 远程与继续教育学院 本科毕业论文（设计） 题目：温控系统的设计及仿真(MATLAB) 、 学习中心： 学号： 姓名： 专业：机械设计制造及自动化 指导教师： " 2013 年 2 月 28 日
) 摘要 温度是工业对象中一个主要的被控参数，它是一种常见的过程变量，因为它直接影响燃烧、化学反应、发酵、烘烤、煅烧、蒸馏、浓度、挤压成形，结晶以及空气流动等物理和化学过程。温度控制不好就可能引起生产安全，产品质量和产量等一系列问题。温度控制是许多设备的重要的构成部分，它的功能是将温度控制在所需要的温度范围内，以利于进行工件的加工与处理。 一直以来，人们采用了各种方法来进行温度控制，都没有取得很好的控制效果。如今，随着以微机为核心的温度控制技术不断发展，用微机取代常规控制已成必然，因为它确保了生产过程的正常进行，提高了产品的数量与质量，减轻了工人的劳动强度以及节约了能源，并且能够使加热对象的温度按照某种指定规律变化。 实践证明，用于工业生产中的炉温控制的微机控制系统具有高精度、功能强、经济性好的特点，无论在提高产品质量还是产品数量，节约能源，还是改善劳动条件等方面都显示出无比的优越性。 本设计以89C51单片机为核心控制器件，以ADC0809作为A/D转换器件，采用闭环直接数字控制算法，通过控制可控硅来控制热电阻，进而控制电炉温度，最终设计了一个满足要求的电阻炉微型计算机温度控制系统。 关键词：1、单片机；2、PLC；3、MATLAB &
（ 目录 1单片机在炉温控制系统中的运用 (6) 1、1系统的基本工作原理 (6) 2温控系统控制算法设计 (7) 温度控制算法的比较 (7) 数字PID算法 (11) 、 3 结论 (21) 致谢 (22) 参考文献 (23) [
2012-2013第一学期 《数学建模》试题卷 班级：2010级统计 姓名：石光顺 学号：20101004025 成绩：
一、用Matlab 求解以下优化问题（10分） 用Matlab 求解下列线性规划问题： 解：首先化Matlab 标准型，即 123min 3w x x x =-++ 123121114123x x x ?? -??????≤??????---???? ???? ， [][]1 2 32011T x x x -?= 然后编写Matlab 程序如下： f=[-3,1,1]; a=[1,-2,1;4,-1,-2]; b=[11,-3]; aeq=[-2,0,3]; beq=1; [x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)); x,y=-y 运行结果： x = 0.0000 2.3333 0.3333 y = -2.6667 即当1230, 2.3333,0.3333x x x ===时，max 2.6667z =-。
二、求解以下问题，列出模型并使用Matlab求解（20分） 某厂生产三种产品I，II，III。每种产品要经过A, B两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A工序，它们以A1, A2表示；有三种规格的设备能完成B工序，它们以B1, B2, B3表示。产品I可在A, B任何一种规格设备上加工。产品II可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品III 只能在A2与B2设备上加工。已知在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如表1，求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。 表1 解：（1）根据题意列出所有可能生产产品I、II、III的工序组合形式，并作如下假设： x ; 按(A1，B1)组合生产产品I，设其产量为 1 x; 按(A1，B2)组合生产产品I，设其产量为 2 x; 按(A1，B3)组合生产产品I，设其产量为 3 x; 按(A2，B1)组合生产产品I，设其产量为 4 x; 按(A2，B2)组合生产产品I，设其产量为 5
基于模糊PID算法的电阻炉温度控制系统设计引言 电加热炉是典型工业过程控制对象，其温度控制具有升温单向性，大惯性，纯滞后，时变性等特点，很难用数学方法建立精确的模型和确定参数。而PID控制因其成熟，容易实现，并具有可消除稳态误差的优点，在大多数情况下可以满足系统性能要求，但其性能取决于参数的整定情况。且快速性和超调量之间存在矛盾，使其不一定满足快速升温、超调小的技术要求。模糊控制在快速性和保持较小的超调量方面有着自身的优势，但其理论并不完善，算法复杂，控制过程会存在稳态误差。 将模糊控制算法引入传统的加热炉控制系统构成智能模糊控制系统，利用模糊控制规则自适应在线修改PID参数，构成模糊自整定：PID控制系统，借此提高其控制效果。基于PID控制算法，以ADUC845单片机为主体，构成一个能处理较复杂数据和控制功能的智能控制器，使其既可作为独立的单片机控制系统，又可与微机配合构成两级控制系统。该控制器控制精度高，具有较高的灵活性和可靠性。 2 温度控制系统硬件设计 该系统设计的硬件设计主要由单片机主控、前向通道、后向通道、人机接口和接口扩展等模块组成，如图l所示。由图1可见，以内含C52兼容单片机的ADUC845为控制核心．配有640 KB的非易失RAM数据存储器、外扩键盘输人、320x240点阵的图形液晶显示器进行汉字、图形、曲线和数据显示，超温报警装置等外围电路；预留微型打印机接口，可以现场打印输出结果；预留RS232接口，能和PC机联机，将现场检测的数据传输至PC机来进一步处理、显示、打印和存档。
电阻炉的温度先由热电偶温度传感器检测并转换成微弱的电压信号，温度变送器将此弱信号进行非线性校正及电压放大后，由单片机内部A／D转换器将其转换成数字量。此数字量经数字滤波、误差校正、标度变换、线性拟合、查表等处理后。一方面将炉窑温度经人机面板上的LCD显示：另一方面将该温度值与被控制值(由键盘输入的设定温度值)比较，根据其偏差值的大小，提供给控制算法进行运算，最后输出移相控制脉冲，放大后触发可控硅导通(即控制电阻炉平均功率)。达到控制电炉温度的目的。如果实际测得的温度值超过了该系统所要求的温度范围，单片机就向报警装置发出指令，系统进行报警。 2．1 系统主控模块 系统主控模块电路如图2所示，它主要由CPU及数据存储器，晶体振荡器、复位电路、图形液晶显示器(LCD)及控制电路、微型打印机接口控制电路、实时日历时钟，热电偶信号处理电路等构成。这里，该系统设计可测量3点温度。传感器选择K型(镍铬-镍硅)热电偶，可用于从室温到1 200°C的温度测量，测量范围宽，精度高。在温度测量范围内K型热电偶的输出热电势只有0～45．119 mV，为了和ADUC845的A ／D转换器相匹配，采用ACl226和1B51作为信号调理电路，由AC1226、1B51构成热电偶冷端温度补偿及信号调理器电路。当热端距测温仪表较远时，需利用热电偶匹配导线将冷端延长。CD4051为多路模拟开关，由ABC控制接通，当5～3接通时，输入接地，UO输出UOmin，用于零点校准；当4～3接通时，单片机1．25 V稳定参考电压Uref，再经电阻R1、R2分压，得到毫伏级参考输入电压，UO输出UOmax，用于增益校准；当2～3、1～3、12～3分别分时接通时，依次输入3个热电偶正常测温所得变换电压，UO从而输出3个温度点所对应的电压UOA，UOB，UOC。在HI端与+UISO端之间串上一只220 MΩ上拉电阻，一旦热电偶开路，HI端即被偏置为+UISO，迫使1B51的输出电压超量程，由此判定热电偶已开路。多路模拟开关和测量数据采集过程在单片机协调下工作，每次数据采集都进行自动判断和校准阁。 2．2 控制输出驱动电路 对温度的控制是通过可控硅调功器电路实现，如图3所示。双向可控硅管和硅碳棒串接在交流220 V、50 Hz交流市电回路中，图3中只给出了A相。移相触发脉冲由ADUC845用软件在P1．3引脚上产生的，零同步脉冲同步后，经光耦合管和驱动器输出送到可控硅的控制极。过零同步脉冲由过零触发电路产生，利用同步变压器和电压比较器LM311组成正弦交流电的正半波过零检测电路，它在交流电每一个正半周的
空调温度控制系统的 数学模型
空调温度控制系统的数学模型 一、 恒温室的微分方程 为了研究上的方便，把图所示的恒温室看成一个单容对象，在建立数学模型，暂不考虑纯滞后。 1． 微分方程的列写 根据能量守恒定律，单位时间内进入恒温室的能量减去单位时间内由恒温室流出的能量等于恒温室中能量蓄存的变化率。即 ,????????=+?? ? ? ????????? 恒温室内蓄每小时进入室内每小时室内设备照热量的变化率的空气的热量明和人体的散热量 ??????-+?? ? ?? ?????每小时从事内排每小时室内向出的空气的热量室外的传热量 上述关系的数学表达式是： 111()()c a b n a d C Gc q Gc dt αθθθθθγ -=+-+ (2-1) 式中 1C —恒温室的容量系数（包括室内空气的蓄热和设备与维护结构表层的蓄热） （千卡/ C ? ）； a θ—室内空气温度，回风温度（C ?）； G —送风量（公斤/小时）； 1c —空气的比热（千卡/公斤 ）； c θ —送风温度（C ?）； n q —室内散热量（千卡/小时）；
b θ—室外空气温度（C ?）； γ—恒温室围护结构的热阻（小时 C ?/千卡）。 将式（2—1）整理为： 111111111n b a c a q d Gc C dt Gc Gc Gc θθθγθγγγ ++=++++ 11111n a q Gc Gc Gc γθγ??+ ? ?=+ ?+ ??? (2-2) 或 11()a a c f d T K dt θθθθ+=+ (2-3) 式中 111T R C = —恒温室的时间常数（小时）。 111 1R Gc γ =+ —为恒温室的热阻（小时 /千卡） 1 111 Gc K Gc γ =+ —恒温室的放大系数（/C C ?）； 1b n f q Gc θγ θ+ = —室内外干扰量换算成送风温度的变化（C ?）。 式（2—3）就是恒温室温度的数学模型。式中 和 是恒温的输入参数，或称输入量；而 是恒温室的输入参数或称被调量。输入参数是引起被调量变化的因素，其中起调节作用，而起干扰作用。输入量只输出量的信号联系成为通 道。干扰量至被调量的信号联系成为干扰通道 。调节量至被调量的信号联系成为调节通道。 如果式中是f θ个常量,即0f f θθ=,则有
第一部分课后习题 1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。 （3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。 （4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。 2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。 3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部 只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数 4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应 多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。
2010年上学期2008级数学与应用数学，信息与计算科学专业 《数学建模》课程考试供选试题 第1题 4万亿投资与劳动力就业： 2008以来，世界性的金融危机席卷全球，给我国的经济发展带来很大的困难。沿海地区许多中小企业纷纷裁员，造成大量的人员失业。据有关资料估计，从2008年底，相继有2000万人被裁员，其中有1000万人是民工。部分民工返乡虽然能够从一定程度上缓解就业压力，但2009年的600多万毕业大学生给我国就业市场带来巨大压力。但可喜的是，我国有庞大的外汇储备，民间资本实力雄厚，居民储蓄充足。中国还是发展中国家，许多方面的建设还处于落后水平，建设投资的潜力巨大。为保持我国经济快速发展，特别是解决就业问题带来希望，实行政府投资理所当然。在2009年两代会上，我国正式通过了4万亿的投资计划，目的就是保GDP增长，保就业，促和谐。但是有几个问题一直困扰着我们，请你运用数学建模知识加以解决。问题如下： 1、GDP增长8%，到底能够安排多少人就业？如果要实现充分就业，2009年的GDP到底要增长多少？ 2、要实现GDP增长8%，4万亿的投资够不够？如果不够，还需要投资多少？ 3、不同的产业(或行业)吸纳的劳动力就业能力不同，因此投资的流向会有所不同。请你决策，要实现劳动力就业最大化，4万亿的投资应该如何分配到不同的产业(或行业)里？ 4、请你给出相关的政策与建议。 第2题 深洞的估算：假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器，你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深度，假定你捡到一块质量是1KG的石头，并准确的测定出听到回声的时间T=5S，就下面给定情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，并估计洞深。 1、不计空气阻力； 2、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度成正比，比例系数k1=0.05； 3、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比，比例系数k2=0.0025； 4、在上述三种情况下，如果再考虑回声传回来所需要的时间。 第3题 优秀论文评选：在某数学建模比赛的评审过程中，组委会需要在一道题目的150 篇参赛论文中选择4 篇论文作为特等奖论文。评审小组由10 名评委组成，包括一名小组组长(出题人)，4 名专业评委(专门从事与题目相关问题研究的评委)，5 名普通评委(从事数学建模的教学和组织工作，参与过数学建模论文的评审)。组委会原先制定的评审步骤如下： step1:首先由普通评委阅读所有150 篇论文，筛选出20 篇作为候选论文。 Step2:然后由小组内的所有评委阅读这些候选论文，每人选择4 篇作为推荐的论文。 Step3:接着进入讨论阶段，在讨论阶段中每个评委对自己选择的 4 篇论文给出理由，大家进行讨论，每个评委对论文的认识都会受到其他评委观点的影响。 Step4:在充分讨论后，大家对这些推荐的论文进行投票，每个评委可以投出4票，获得至少6 票的论文可以直接入选，如果入选的论文不足，对剩余的论文(从20篇候选论文中除去已经入选的论文)重复step2至step4 步的评审工作。如果三轮讨论后入选的论文仍然不够，则由评选小组组长确定剩下名额的归属。 如果有超过4 篇的论文获得了至少6票，则由评选小组组长确定最终的名额归属。问题: