第七章
第六节 多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线
复习: 平面曲线的切线与法线
已知平面光滑曲线 y = f ( x) 在点 ( x0 , y0 ) 有 切线方程 y ? y0 = f ′( x0 )( x ? x0 ) 1 y ? y 法线方程 ( x ? x0 ) 0 =? f ′( x0 ) Fx ( x, y ) dy 若平面光滑曲线方程为 F ( x, y ) = 0, 因 =? dx Fy ( x, y ) 故在点 ( x0 , y0 ) 有 切线方程 Fx ( x0 , y0 ) ( x ? x0 ) + Fy ( x0 , y0 )( y ? y0 ) = 0 法线方程 Fy ( x0 , y0 )( x ? x0 ) ? Fx ( x0 , y0 ) ( y ? y0 ) = 0
一、空间曲线的切线与法平面 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 平面.
π
M
T Γ
1. 曲线方程为参数方程的情况
T M
M′
Γ : x = ? (t ) , y = ψ (t ) , z = ω (t )
Γ
设 t = t 0 对应M ( x0 , y0 , z0 )
t = t0 + ?t 对应 M ′( x0 + ? x, y0 + ? y, z0 + ? z ) 割线 MM ′ 的方程 :
x ? x0 y ? y 0 z ? z 0 = = ?z ?x ?y
x ? x0 y ? y0 z ? z0 = = ? ′( t 0 ) ψ ′ (t 0 ) ω ′ (t 0 )
上述方程之分母同除以 ? t , 令 ? t → 0, 得
切线方程
此处要求? ′(t0 ) , ψ ′ (t 0 ) , ω ′ (t0 )不全为0, 如个别为0, 则理解为分子为 0 . 切线的方向向量:
π
M
T Γ
T = (? ′(t0 ) , ψ ′ (t 0 ) , ω ′ (t0 ))
称为曲线的切向量 .
r (t )
o
T 也是法平面的法向量, 因此得法平面方程 ? ′(t0 )( x ? x0 ) + ψ ′ (t0 ) ( y ? y0 )+ ω ′ (t0 )( z ? z0 ) = 0
说明: 若引进向量函数 r (t ) = ( ? (t ) , ψ (t ) , ω (t ) ) , 则 Γ 为 r (t) 的矢端曲线, 而在 t 0 处的导向量 r ′(t0 ) = (? ′(t0 ) , ψ ′ (t0 ) , ω ′ (t0 )) 就是该点的切向量.
例1. 求圆柱螺旋线 x = R cos ? , y = R sin ? , z = k? 在 对应点处的切线方程和法平面方程. ? =π 2 对应的切向量为 T = (? R , 0 , k ) , 故 πk z ? y?R x 2 切线方程 = = 0 ?R k 即
时, 解: 由于 x′ = ? R sin ? , y ′ = R cos ? , z ′ = k , 当? = π 2
M 0 (0 , R , π k) 2 z
? k x + Rz ? π Rk = 0 2 ? ? y?R=0
o
2 Rx?k z+π k =0 2
k)=0 法平面方程 ? R x + k ( z ? π 2
即
x
y
2. 曲线为一般式的情况 F ( x, y , z ) = 0 ? 光滑曲线 Γ : ? ? G ( x, y , z ) = 0 ? (F , G) 当J = ≠ 0 时, Γ 可表示为 ? ( y, z )
? y = ? ( x) , 且有 ? z = ψ ( x) ? x y
z
d y 1 ?(F , G) d z 1 ?(F , G) = , = , d x J ?( z , x) d x J ?( x, y) 曲线上一点 M ( x0 , y 0 , z 0 ) 处的切向量为
T = {1, ? ′ ( x0 ) , ψ ′ ( x0 )} ? 1 ? (F , G) = ?1 , ? J ? ( z , x) 1 ? ( F , G) , M J ? ( x , y) ? ? M?
或
? ? (F , G) T =? ? ? ( y, z )
x ? x0
M
? (F , G) , ? ( z , x)
y ? y0
M
? (F , G) , ? ( x , y)
z ? z0
? ? M?
则在点 M ( x0 , y0 , z0 )有 切线方程
?(F , G) ?( y, z ) ?(F , G) ?( y, z )
=
M
?(F , G) ?( z , x)
=
M
?(F , G) ?( x , y )
M
法平面方程
?(F , G) ( x ? x0 ) + ?( z , x) M ?(F , G) + ?( x , y )
M
( y ? y0 ) ( z ? z0 ) = 0
M
法平面方程
?(F , G) ?(F , G) ( x ? x0 ) + ( y ? y0 ) ?( y, z ) M ?( z , x) M ?(F , G) + ( z ? z0 ) = 0 ?( x , y ) M x ? x0 Fx ( M ) y ? y0 Fy ( M ) z ? z0 Fz ( M ) = 0
也可表为
Gx (M ) G y (M ) Gz (M )
2 2 2 例2. 求曲线 x + y + z = 6 , x + y + z = 0 在点
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.
2 2 2 例2. 求曲线 x + y + z = 6 , x + y + z = 0 在点
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 解法1 令F = x 2 + y 2 + z 2 , G = x + y + z , 则 2 y 2z ? ( F , G) = ?6 ; = = 2 ( y ? z) ? ( y, z ) M 1 1 M M
? ( F , G) ? ( z , x) = 0;
M
? ( F , G) ? ( x, y )
=6
M
x
y
z
切向量
T = ( ? 6, 0 , 6 )
x ?1 y + 2 z ?1 切线方程 = = ?6 0 6
?x + z ? 2 = 0 即 ? y+2=0 ?
? 6 ? ( x ? 1) + 0 ? ( y + 2) + 6 ? ( z ? 1) = 0 x?z =0 即 dy dz y + z = ?x dx dx 解法2. 方程组两边对 x 求导, 得 dy dz + = ?1 dx dx ?x z y ?x ?1 1 1 ?1 z ? x dz x? y dy = = , = = 解得 y z y z y ? z dx y?z dx 1 1 1 1
法平面方程 曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: 切向量
dy ? T = ? 1, dx ?
dz , M dx
M
? ? = (1, 0 , ? 1) ?
点 M (1,–2, 1) 处的切向量
T = ( 1, 0 , ? 1 )
切线方程 即
x ?1 y + 2 z ?1 = = 1 0 ?1 ?x + z ? 2 = 0 ? y+2=0 ? x?z =0
法平面方程 1 ? ( x ? 1) + 0 ? ( y + 2) + (?1) ? ( z ? 1) = 0 即
二、曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面 Σ : F ( x, y, z ) = 0 通过其上定点 M ( x0 , y0 , z0 ) 任意引一条光滑曲线 Γ : x = ? (t ) , y = ψ (t ) , z = ω (t ) , 设 t = t0 对应点 M, 且 ? ′ (t0 ) , ψ ′ (t0 ) , ω ′ (t0 )不全为0 . 则 Γ 在 T 点 M 的切向量为 Γ M T = (? ′ (t 0 ) , ψ ′ (t0 ) , ω ′ (t0 )) x ? x0 y ? y 0 z ? z 0 = = 切线方程为 ? ′ (t0 ) ψ ′ (t0 ) ω ′ (t0 ) 下面证明: ∑ 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都 在同一平面上. 此平面称为 ∑ 在该点的切平面.
证: ∵ Γ : x = ? (t ) , y = ψ (t ) , z = ω (t ) 在 ∑ 上,
∴ F (? (t ) , ψ (t ) , ω (t ) ) ≡ 0
n
M
T
Γ
两边在 t = t0 处求导, 注意 t = t0 对应点M ,
得
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ? ′(t 0 ) + Fy ( x0 , y0 , z0 ) ψ ′(t0 )
+ Fz ( x0 , y0 , z0 )ω ′(t0 ) = 0
令 T = ( ? ′(t 0 ) , ψ ′(t 0 ) , ω ′(t 0 ))
n = ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
切向量 T ⊥ n 由于曲线 Γ 的任意性 , 表明这些切线都在以 n 为法向量
的平面上 , 从而切平面存在 .
曲面 ∑ 在点 M 的法向量
n = ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
切平面方程 Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x ? x0 ) + Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y ? y0 ) 法线方程 x ? x0 y ? y0 z ? z0 = = Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
+ Fz ( x0 , y0 , z0 )( z ? z0 ) = 0
n
M
T
Γ
特别, 当光滑曲面∑ 的方程为显式 z = f ( x, y ) 时, 令 F ( x, y , z ) = f ( x, y ) ? z 则在点 ( x, y, z ), Fx = f x , Fy = f y , Fz = ?1 故当函数 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
Σ 在点 ( x0 , y0 , z0 ) 有
切平面方程
z ? z 0 = f x ( x 0 , y 0 ) ( x ? x 0 ) + f y ( x0 , y 0 ) ( y ? y 0 )
法线方程
x ? x0 y ? y0 z ? z0 = = f x ( x0 , y 0 ) f y ( x0 , y 0 ) ?1
由切平面方程
z ? z 0 = f x ( x 0 , y 0 ) ( x ? x 0 ) + f y ( x0 , y 0 ) ( y ? y 0 )
可以看出二元函数全微分的几何意义： 当自变量 x 和 y 在点 (x0, y0) 有增量Δx 和Δy 时，曲面在点 (x0, y0, z0) 的切平面上竖坐标z的增量.
用 α , β , γ 表示曲面z = f(x, y)法向量的方向角, 并假 定法向量方向向上, 则 γ 为锐角. 法向量 n = ( ? f x ( x0 , y0 ) , ? f y ( x0 , y0 ) , 1) 将 f x ( x0 , y0 ) , f y ( x0 , y0 ) 分别记为 f x , f y , 则 法向量的方向余弦：
cos α =
cos γ =
? fx 1+ f x2 + f y2
1 1+ f x2 + f y2
,
cos β =
? fy 1+ f x2 + f y2
,
例3. 求球面 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 36 在点(1 , 2 , 3) 处的切 平面及法线方程.
第八章 偏导数与全微分 一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理
第八章多元函数微分法及应用(§ 6微分法在几何上的应用) 第六节微分法在几何上的应用 会求空间曲线的切线及法平面方程，会求空间曲面的且平面及法线方程。 空间曲线的切线及法平面方程，曲面切平面及法线方程的求法。 空间曲线的方程组形式给出的情况，求其切线及法平面方程。 一.空间曲线的切线与法平面 1.空间曲线由参数方程给出 设空间曲线的参数方程为 X (t) , y (t) , z w(t)，且三个函数均可导. t o 时，对应曲线上的点 M o (X o ,y o ,Z o )， X X o y '(t o ) Z Z o w (t o ) 说明 (1) '(t o ), '(t o ),w(t o )不能同时为零，如果个别为零，按空间解析几何中有关直线对称 式方程的说明理解; ur T '(t o ), '(t o ),w(t o )称曲线切向量. 切向量的方向余弦 要求: 重占: ■八、作业： 习题 8-6 ( P 52) 4,5,6,9,10 (2 )切线的方向向量 COS ------------ 也 ------------ ,COS & '(t))2 ( '(t))2 (w'(t))2 '(t) 7( '(t))2 ( '(t))2 (w'(t ))2 y o 的方
第八章多元函数微分法及应用(§6微分法在几何上的应用) w'(t) cos 7( '(t))2( '(t))2(w'(t))2
曲线的法平面 通过点M o 而与切线垂直的平面称为曲线在点 M o 处的法平面，方程为 '(t 0)(y y o ) w (t o )(z z o ) 0 ? 求螺旋线X a cos , y a si n , z b 对应于 a X — __2_ 73 一a 2 切向量的方向余弦为 可见曲线的切线与 Z 轴的夹角（母线的夹角）为定值. 2.空间曲线的方程由 y （X ）, Z （X ）给出 取X 为参数，它就可表示为参数方程的形式 程. X o 曲线上对应于 M o (X o ,y o ,Z o )，即 y o a 2 73 一a , 2 Z o u 切向量T '()，'()，w() —a,-,b ，因此 2 2 法平面方程为 |) a, 孚） b(z (X) 若(X), (X)在 X X o 处可导，曲线在点 M o (X o , y o , Z o )处的切向量 切线方程 1, '(X o ), '(X o )， X X o 1 y y o '(X o ) z Z o '(X o ) '(t 0)(x X o ) 3处的切线和法平面方 切线方程为 ——a 2 a 2 cos v a sin b a 2 cos 2 b 2
§5.3 多元函数微分法 一、复合函数微分法――链式法则 模型1. ()()()z f u v u u x y v v x y ==，，，，=， z z u z z z u z x u x x y u y y νννν??????????=?+?=?+???????????； 模型2. ()()u f x y z x y =，，，z=z ， x z y z u z f f x x u z f f y y ???''=+????? ???''=+???? 模型3. ()()()u f x y z y y x z x ===，，，，z ()()x y z du f f y x f z x dx '''''=++ 模型4. ()()()w f u v u u x y z v v x y z ===，，，，，，， u v u v u v w u v f f x x x w u v f f y y y w u v f f z z z ????''=+????? ????''=+? ????????''=+????? 还有其他模型可以类似处理。 【例1】 设()u f x y z =，，有连续的一阶偏导数，又函数()y y x =及()z z x =分别由 下列两式确定2xy e xy -=和0sin x z x t e dt t -= ?，求du dx 。 解 根据模型3. x y z du dy dz f f f dx dx dx '''=++
由2xy e xy -=两边对x 求导，得0xy dy dy e y x y x dx dx ???? +-+= ??????? 解出 dy y dx x =-（分子和分母消去公因子()1xy e -） 由0 sin x z x t e dt t -= ? 两边对x 求导，得()()sin 1x x z dz e x z dx -??=- ?-?? 解出 ()() 1sin x e x z dz dx x z -=- - 所以 ()()1sin x e x z du f y f f dx x x y x z z ??-???=-+-?? ??-??? 【98】设1 ()()z f xy y x y x ?=++，f ，?具有二阶连续导数，则 2________z x y ?=??。 答案：()()()yf xy x y y x y ??'''''++++ 注：①混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关； ②此题中f 和?均为一元函数。 【05】设函数(,)()()()d x y x y u x y x y x y t t ??ψ+-=++-+? ，其中函数?具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有（ ） （A ）2222u u x y ??=-??；（B ）2222u u x y ??=??；（C ）222u u x y y ??=???；（D ）222 u u x y x ??=??? 答案：B 全微分形式不变性 例：利用全微分形式不变性求sin u z e v =，u xy =，v x y =+的偏导数。 【06】设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f =满足等式 2222 0z z x y ??+=??
§8.5多元复合函数微分法 复习：一元复合函数的求导法则 设)]([x f y ?=是由)(u f y =和)(x u ?=复合而成，则)()(x u f dx du du dy dx dy ?'?'=?=。 8.5.1全导数 定理1 若函数)(x u ?=及)(x v ψ=都在点x 可导，函数)v ,u (f z =在对应点)v ,u ( 处可微，则复合函数)](),([x x f z ψ?=在点x 可导，且 x d v d v z x d u d u z dx z d ? ??+???=（全导数公式）。 ① 证明：给x 以增量x ?，则u 、v 得相应的增量u ?、v ?， 从而)v ,u (f z =有全增量) ,() ,(v u f v v u u f z -?+?+=?， ∵)v ,u (f z =在)v ,u (处可微， ∴)(ρ+???+???= ?o v v z u u z z ，其中22)()(v u ?+?=ρ。 ∵)(x u ?=、)(x v ψ=都在点x 可导， ∴)(x u ?=、)(x v ψ=都在点x 必连续， 即当0→?x 时，0→?u ，0→?v ，从而0lim 0 =ρ→?x 。 ∵ x o x v v z x u u z x z ?ρ+????+????=??)(， 而x o o x x ?ρ?ρρ=ρρ→?→?)(lim )(lim 00])()([lim )(lim 220 0x v x u o x x ??+??±?ρρ=→?→? 0])()([022=+±?=dx dv dx du ， ∴ x o x v v z x u u z x z x x x x ?ρ+????+????=??→?→?→?→?) (lim )(lim )(lim lim 0000， 即 x d v d v z x d u d u z dx z d ? ??+???=。
第十章 多元函数微分学 一、学习要点 1.关于二元函数 会求二元函数的定义域和相应的函数值。求二元函数定义域及函数值的方法与一元函数的方法相似。 2.关于二元函数微分 (1)熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法和复合函数、隐函数一阶偏导数的计算方法，尤其是形如z=f (x 2－y 2 ，e xy )等的复合函数的偏导数。能熟练地求全微分。 偏导数的定义、计算公式基本与一元函数导数公式相同。求偏导数时，对一个变量求导时，将另一变量视为常数。如求函数32ln z y x u ++=的偏导数 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) 复合函数求偏导数是难点。一般用链式法则，即z=f (u ，v)，u=u(x ，y)，v=v(x ，y)，有 y v v z y u u z y z x v v z x u u z x z ????????????????????+=+= 具体情况有两种： （一）全部函数关系都给出：这时可按前边方法求偏导数，如求二元函数 )ln(2v u z +=，xy e v y x u =+=,22. 的偏导数y z x z ????,，可以把u ，v 代入z 中，再求偏导数，即 z=ln(x 2+y 2+e 2xy )，求偏导数有 xy xy e y x ye x x z 222222+++=?? xy xy e y x xe y y z 222222+++=?? （二）部分函数关系没有给出：此时只有用链式法则。如求函数z=f(xy ，x 2+y 3)，
的一阶偏导数，则不能用如上方法求解.正确求法是记u=xy ，v=x 2+y 3，用链式法则 x v f y u f x v v z x u u z x z 2??????????????+=+=，23y v f x u f y z ??????+= 上例也可以用链式法则，有 xy xy xe v u v y v u y z ye v u v x v u x z 2222221,221+++=+++=???? 求隐函数的偏导数，是复合函数求偏导数的应用，方法仍然同一元隐函数的求导. 如求函数32ln z y x u ++=的偏导数. 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) (2)知道函数连续、可微、偏导数存在的关系。 3.关于偏导数的几何应用 掌握求曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线的方法. (1)设空间曲线方程为x =x (t)，y =y (t)，z = z (t)，在t=t 0处的切线方向为 ))(),(),((000t z t y t x l '''=ρ，则在t 0处曲线的 切线方程为 )()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='- 法平面方程为 )())(()())(()())((000000t z t z z t y t y y t x t x x '-+'-+'-=0 (2)曲面F (x ，y ，z)=0(或z=f (x ，y))，在曲面上的点P(x 0，y 0，z 0)处的法方向为)}1,,{(},,{),,(),,(000000z y x y x z y x z y x f f F F F n -'''''=或ρ，则在点(x 0，y 0，z 0)处的 切平面方程为 0)()()(000=-'+-'+-'z z F y y F x x F z y x 法线方程为 z y x F z z F y y F x x ' -='-='-000
第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z ???2 ，则在D 上， x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)y x z -=；(2)2 2 arccos y x z u += 3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2 3y x z ???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数 dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt du 。 8．曲线?? ???=+= 4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
第九章多元函数微分法及其应用 【教学目标与要求】 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 【教学重点】 1、二元函数的极限与连续性； 2、函数的偏导数和全微分； 3、方向导数与梯度的概念及其计算； 4、多元复合函数偏导数； 5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法； 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线； 【教学难点】 1、二元函数的极限与连续性的概念； 2、全微分形式的不变性； 3、复合函数偏导数的求法； 4、二元函数的二阶泰勒公式； 5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。 【教学课时分配】 (18学时) 第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3 第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6 第7次课§7 第8次课§8 第9次课习题课 【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社. [2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社
多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
`第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念
①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。
第九章多元函数微分法及其应用 一、基本要求及重点、难点 1. 基本要求 (1)理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。 (2)了解二元函数的极限、连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。 (3)理解偏导数和全微分的概念，熟练掌握偏导数的计算，了解全微分存在的必要条件 和充分条件。 (4)了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。 (5)掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。 (6)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数（主要是一阶）。 (7)了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线、并会求出它们的方程。 (8)理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉 格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。 2. 重点及难点 （1）重点：多元函数概念，偏导数与全微分概念，偏导数计算，微分在几何上的应用，多元函数的极值的计算。 （2）难点：二重极限的定义与计算，多元函数连续；偏导数存在与可微之间的关系；复合函数的高阶偏导数；方向导数、偏导数、梯度之间的关系。。 二、内容概述 多元函数微分学是一元函数微分学的推广，因此两者之间有许多相似之处，但是要特别注意它们之间的一些本质差别。 1.多元函数的极限和连续 (1)基本概念 1)点集和区域。 2)多元函数的定义、定义域。 3)二元函数的极限、连续。 (2)基本定理 1)多元初等函数在其定义域内是连续的。 2)多元连续函数在有界闭区域上一定有最大值M、最小值m；且必取到最大值 M和最小值m之间的任何值。 2.多元函数微分法 (1)基本概念
偏导数、全微分、高阶偏导数的定义。 (2) 计算方法 1) 偏导数：),(y x f z =在),(00y x 处对x 的偏导数 x x x z =??，就是一元函数 ),(0y x f z = 在0x x =处的导数；对y 的偏导数 x x x z =??（同理）。 2) `全微分：),(y x f z =的全微分dy y z dx x z dz ??+??= 3) 复合函数求导法则：画出函数到自变量的路经，然后利用链式迭加法则：即同 条路经的偏导数相乘，不同路经的偏导数相加，求出所要的偏导数。 A. 设),(v u f z =，)(),(t v t u ψ?==，则全导数dt dv v z dt du u z dt dz ??+ ??=。 B. 设),(v u f z =，),(),,(y x v y x u ψ?== 则： x v v z x u u z x z ????+ ????=??，y v v z y u u z y z ????+????=??。 4) 隐函数求导法则： A. 设函数)(x f y =由隐函数0),(=y x F 确定，则 y x F F dx dy -=。 B. 设函数),(y x f z =由隐函数0),,(=z y x F 确定，则 z x F F dx dz -=，z y F F dy dz - =。 C. 设函数)(),(x g z x f y ==由隐函数方程组?? ?==0 ),,(0 ),,(z y x G z y x F 确定，从 ???? ?='+'+='+'+0)()(0 )()(x g G x f G G x g F x f F F z y x z y x ，求出导数)(),(x g x f ''。 (3) 多元函数连续、可导、可微的关系 (4) 基本定理
第八章多元函数微分法及其应用 （讲授法18学时） 上册研究了一元函数微分法，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。 多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们的不同之处。 一、教学目标与基本要求 1、理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 二、教学内容及学时分配： 第一节多元函数的基本概念2课时 第二节偏导数2学时 第三节全微分2学时 第四节多元复合函数的求导法则2学时 第五节隐函数的求导公式2学时 第六节多元函数微分学的几何应用2学时 第七节方向导数与梯度2学时 第八节多元函数的极值及其求法2学时 三、教学内容的重点及难点： 重点： 1．多元函数的极限与连续； 2．偏导数的定义；全微分的定义 3．多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则 4．方向导数与梯度的定义 5．多元函数的极值与最值的求法 难点： 1．多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系； 2．多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数； 3．由方程组确定的隐函数的求导法则； 4．梯度的模及方向的意义； 5．条件极值的求法
第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？
例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）
多元函数微分法及其应用 复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12 ； (D)存在且不等于0或 12 （提示：令2 2 y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在2 2 0x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ， 200 0(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22 +； (B) - +y x y 22 ； (C) y x y 22 + ； (D) -+x x y 22
第四节 多元复合函数的求导法则 要求：熟练地计算复合函数的一阶偏导数，会计算抽象函数的二阶偏导数计算。 重点：各种类型复合函数的求导与计算。 难点：抽象函数的二阶偏导数计算。 作业：习题8－4（36P ）2)3)2)2)3)4)2,4,6,8,10,11,12,13 一．多个中间变量，一个自变量情况 定理1 如果函数()u t ?=及()v t ψ=都在点t 可导，且函数),(v u f z =在对应点具有连续偏导数，则复合函数[](),()z f t t ?ψ=在点t 可导，且其导数公式为 d z z d u z d v d t u d t v d t ?? = + ?? （全导数） 证明 设t 有增量t ?，相应函数()u t ?=及()v t ψ=的增量为 ,u v ??，此时函数),(v u f z =相应获得的增量为z ?． 又由于函数),(v u f z =在点(,)u v 处可微，于是由上节定理3证明有 12f f z u v u v u v εε???= ?+ ?+?+??? 这里，当0,0u v ?→?→时，120,0εε→→，上式除以t ?得 1 2z f u f v u v t u t v t t t εε???????=+++???????． 当0t ?→时，0,0u v ?→?→，,u du v dv t dt t dt ??→ →??， 所以 0l i m t d z z f d u f d v d t t u d t v d t ?→??? ==+???，即 d z f d u f d v z d u z d v d t u d t v d t u d t v d t ?? ? ?= + =+????． 此时，dz z du z dv dt u dt v dt ??=+ ??从形式上看是全微分z z dz du dv u v ??= + ??两端除以d t 得到 的，常将 d z d t 称为全导数． 推论 若),,(w v u f z =，()u t ?=，()v t ψ=，)(t w w =复合而的复合函数 [](),(),()z f t t w t ?ψ=满足定理条件，则有全导数公式 d z z d u z d v z d w d t u d t v d t w d t ?? ? = + +?? ? 例1．设函数y x u =，而t x e =，sin y t =，求全导数dt du ．
多元复合函数的微分法习题 1. 书上习题8 24（6），（8）； 2. 设)(22y x f y z -=，求f 为可微函数，证明： 211y z y z y x z x =??+??。 3. 设),(v u f 是二元可微函数，),(y x x y f z = ，求 y z y x z x ??+??。 4. 设)(),(x y g y x xy f z +=，f ,g 均为可微函数，求x z ??。 5. 设),()sin(y x x xy z ?+=，其中?有二阶连续偏导数，求y x z ???2。 6. 设),(v u f 具有二阶连续偏导数，且满足12222=??+??v f u f ，又))(21,(),(22y x xy f y x g -=，求 2222y g x g ??+??。
解答 1. 24（6） ),(22xy e y x f z -=，求x z ??，y z ??。 xy ye f x f x z ?'+?'=??212， xy xe f y f x z ?'+-?'=??21)2(。 24（8） ),(xy y x f z -=，求y x z ???2。 21f y f x z '+'=??， 2221212112f xy f y f f x f y x z ''+''+'+''+''=???。
2. 设)(22y x f y z -=，求f 为可微函数，证明： 211y z y z y x z x =??+??。 令 2 2y x u -=，)(u f y z =， )() (2)()(22u f u f xy x u u f u f y x z '-=??'?-=??， ) ()(2)()()()(1222u f u f y u f y u u f u f y u f y z '+=??'?-=??， ∴ 211y z y z y x z x =??+??
6．4 多元函数微分法的应用 6．4．1 微分在几何上的应用 1．空间曲线的切线和法平面 设空间曲线的参数方程为：)(),(),(t w z t y t x ===ψ?这里假定)(),(),(t w t t ψ?都在],[βα上可导。 在曲线上取对应于t =t 0的一点M 0(x 0 y 0 z 0)及对应于t =t 0+t 的邻近一点M (x 0+x y 0+y z 0+z ). 作曲线的割线MM 0 其方程为 z z z y y y x x x ?-=?-=?-000 当点M 沿着趋于点M 0时割线MM 0的极限位置就是曲线在点M 0处的切线. 考虑 t z z z t y y y t x x x ??-=??-=??-000 当M M 0 即t 0时 得曲线在点M 0处的切线方程为 ) ()()(000000t z z t y y t x x ωψ?'-='-='-. 曲线的切向量: 切线的方向向量称为曲线的切向量. 向量 T =(j (t 0) y (t 0) w (t 0)) 就是曲线在点M 0处的一个切向量. 法平面: 通过点M 0而与切线垂直的平面称为曲线 在点M 0 处的法平面 其法平面方程为 j (t 0)(x -x 0)+y (t 0)(y -y 0)+w (t 0)(z -z 0)=0. 例1：求曲线2342 1,31,41t z t y t x ===的平行于平面023=++z y x 的切线方程。 解：曲线上任一点处的切向量{}t t t T ,,23=，平面的法向量{}2,3,1=→ n ，由题设条件有：→⊥n T ，即0=?→ n T ，故{}{ }2,3,1,,23?t t t =02323=++t t t ， 解得2,1,0--=t 。 对应01=t 的点)0,0,0(1M 有切向量{}0,0,01=T ，由于切向量须为非零向量，故无意义舍去；
§ 2 复合函数微分法 简单介绍多元复合函数及复合线路图 “外二内二”型：),( , ),( , ),(t s y t s x y x f z ψφ===. “外三内二” 型： , ),,(z y x f u =),( , ),( t s y t s x ψφ==, ),(t s z η=; “外二内三” 型（2个中间变量，3个自变量的情形）： ) ,,(),,() ,(u t s y y u t s x x y x f z === 内。 的某个开集定义在内， 的值域在内，并且的某个开集定义在其中D R z D y x E R y x 2 3,, 复杂型： , ),,(z y x f u = ),,( , ),,( z t s y z t s x ψφ==，z 既是中间变量，又是自变量. 一、复合函数的求导法则 定理17.5（链导法则、链式法则P118）以“外二内二”型复合函数为例. 设函数),( , ),( t s y t s x ψφ==在点∈),(t s D 可微 , 函数),(y x f z =在点=),(y x ()),( , ),(t s t s ψφ可微 , 则复合函数f z =()),( , ),(t s t s ψφ在点),(t s 可微, 且 ) ,() ,() ,() ,() ,(t s y x t s y x t s s y y z s x x z s z ????+ ????= ??, ) ,() ,() ,() ,() ,(t s y x t s y x t s t y y z t x x z t z ????+ ????= ??（4） 证明P 119 注1：如果只是求复合函数的偏导数，链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数 . 但对外函数的可微性假设不能减弱. 反例如 P 119的例：如果f 的可微性条件不满足链式法则不一定成立. 例：P119 ?? ?==≠?? ? ??=+==不可微。 在)0,0(),(0 )0,0()0,0()) 0,0(,(,)) 0,0(,(, 0),(2 22y x f f f y x y x y x y x y x f z y x 1010.2 12),(,0 ) 0,0(0 )0,0(0=?+?=????+?????=??=?= ======t t t t y y z t x x z x z dt dz t t t f z t y x 但若用链式法则：则：若令 称这一公式为链导公式 . 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加 ，沿线乘”（ 或“并联加 ，串联乘” ）来概括 . 在不引起混淆的情况下，简写为：
第九章 多元函数微分法及其应用总结 多元函数的概念 对应规则、定义域、 值域、图形 二重极限()()()00,,lim ,x y x y f x y →的定义、与()0lim x x f x →的区别 极限的计算(P61、 P62、P63(6)) 二元函数的连续性 ()()()()0000,,lim ,,x y x y f x y f x y →= 二元函数 (),f x y 在区域D
连续 在有界闭区域上的连续函 数 (),f x y 的性质 有界性、有最值、 介值性 多元初等函数 多元初等函数在其定 义域内就是连续函数 多元函数的偏导数 (),z f x y =在点()00,x y 处对x ,y 的偏导数()00,x f x y ,()00,y f x y 的定义 例如,计算
()()00000,,lim x f x x y f x x y x ?→+?--?? (),z f x y =在点()00,x y 处对x ,y 的偏导数()00,x f x y ,()00,y f x y 的几何解释 (),z f x y =对x ,y 的偏导数(),x f x y ,(),y f x y 的定义 算法练习(P69、1,4) 多元函数的高阶偏导数(P69、6(1),7,8) 多元函数的全微分
(),z f x y =, ()(),,x y dz f x y dx f x y dy =+推广到更多元的函数 算法练习(P75、 1(1),2,3) 多元复合函数的求导法则 树形法则(P82、 1,3,8,10) 隐函数求导法则 若(),0F x y =,则x y F dy dx F =- 若(),,0F x y z =,