第一章函数与极限复习提纲 一、函数 知识点：1、函数的定义域、性质的判断（有界性、奇偶性、单调性、周期性） 2、基本初等函数的表示形式 3、复合函数的分解必须会！！ 4、函数关系的建立 如1、下列函数中属于偶函数的是（ D. ） A. x x y sin +=； B. x x y sin 2+=； C . x x y cos +=； D. x x y cos 2+=。 2、下列复合函数由哪些基本初等函数构成？ （1）x x f 2ln )(= 解：u y ln =，x u 2= （2）x y 2cos = 解：2u y = ，x u cos = （3）5)13(+=x y 解：5u y =， 13+=x u （4）3 2 1-= x y 解：3 1u y =，12-=x u （5）x y 2cos ln = 解：u y ln =，v u cos =，x v 2= 3、旅客乘坐火车时，随身携带物品，不超过20公斤免费；超过20公斤部分，每公斤收费0.20元；超过50公斤部分再加收50%。试列出收费与物品重量的函数关系式。 解 0, 0.2(20), 2050 0.3(50)6, 50 x y x x x x ≤≤?? =-<≤??-+>? 4、某公司生产某种产品，总成本为C 元，其中固定成本为200元，每多生产一单位产品，成本增加10元，又设该产品价格P 与需求量x 之间的关系为2 25x P -=,求x 为多少时公司总利润最大？ 解 成本函数C （x ）=固定成本+可变成本 所以x x C 10200)(+= 收入函数x x x x x p x R 2521 )225()(2+-=?- =?= 利润函数200152 1)10200(2521)()()(2 2-+-=+-+-=-=x x x x x x C x R x L 令015)('=+-=x x L 得15=x 因为驻点唯一，又根据01)("<-=x L 可知函数最大值存在，所以当15=x 时，() L x
第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤
第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为
第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性： 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。
一、P21：1；5 1.设），（），（∞+∞=55--A ，） ，【310-B =，写出 B A B A B A -=\,A B ，及)()\(\B A A B A A --=的表达式。 解：),5()3,(+∞-∞= B A )5,10[-=B A ),5)10,(\+∞--∞=-=（ B A B A )5,10[)()\(\--=--=B A A B A A 5.下列各题中，函数)(x f 和）x g (是否相同？为什么？ （1） x x g x x f lg 2)(,lg )(2== 解：不同。定义域不同，),0()0,(+∞-∞= f D ),0(+∞=g D 。 （2） 2 )(,)(x x g x x f == 解：不同。对应法则不同，即：值域不同。),0[,+∞==g f R R R 。 （3） 3 3 4 )(x x x f -=， 3 1)(-?=x x x g 解：相同。因为定义域和对应法（或值域）则相同。 （4） x x x g x f 2 2tan sec )(,1)(-== 解：不同。定义域不同，R D f = },1,0,2 { ±=+ ≠=k k x x D g π π。 二、P21：4（1）、（3）、（5）、（7）、（9）；6；7（2）； P22：10（1）、（4）、(5)；11（1）、（3）、（5）；15（1）、（3）；16. 4.求下列函数的自然定义域：
（1） 23+=x y ； 解：32023-≥?≥+x x 。即：),3 2 [+∞-=D 。 （3）211x x y --=； 解：???≤≤-≠????≥-≠1 10 0102 x x x x 。即：]1,0()0,1[ -=D 。 （5） x y sin =； 解：0≥x 。即：),0[+∞=D （7）)3arcsin(-=x y ； 解：42131≤≤?≤-≤-x x 。即：]4,2[=D 。 （9）)1ln(+=x y 解：101->?>+x x 。即：),1(+∞-=D 6.设,3 ,3,0,sin )(ππ?≥
第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 1.填空题: （1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 x y = 对称. （2 ）函数 2 1 ()1f x x = +-的定义域为__________________________； （3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} . （4）设b ax x f +=)(，则=-+= h x f h x f x ) ()()(? a . （5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ，=)]}([{x f f f x . （6）函数2 x x e e y --=的反函数为 。 （7 ）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1 2. 选择题: （1）下列正确的是：(B ，C ) A.2 lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数. B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数. C.?? ? ??<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数. D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. . （2）)sin()(2 x x x f -=是( A ). A.有界函数； B. 周期函数； C. 奇函数； D. 偶函数. （3）设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ). A.1； B.–1； C.2； D.–2. （4）函数 2 1 arccos 1++-=x x y 的定义域是（ ）
随堂练习 一 第一章 函数与极限 一、填空题 1、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 2、函数x x y sin = 有间断点 ，其中 为其可去间断点。 3、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。 4、=++++∞→3 52352) 23)(1(lim x x x x x x 。 5、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 6、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 7、当+∞→x 时， x 1 是比 3-+x 8、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 9、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 10、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的 间断点。 11、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。 12、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ，则a= 。 13、设? ??>≤+=0,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数a= 。 二、计算题 1、计算下列极限 （1）)2141211(lim n n ++++ ∞ → ； （2）2)1(321lim n n n -++++∞→ ；
（3）35lim 22-+→x x x ； （4）1 1 2lim 221-+-→x x x x （5）)12)(11(lim 2x x x -+ ∞ → ； （6）x x x 1 sin lim 20→ ； （7）x x x x +---→131lim 21 ； （8）)1(lim 2 x x x x -++∞ → ； 2、计算下列极限 （1）x wx x sin lim 0→ ； （2）x x x 5sin 2sin lim 0→ ； （3）x x x cot lim 0→ ； （4）x x x x )1( lim +∞→ ； （5）1 )11(lim -∞→-+x x x x ； （6）x x x 1 )1(lim -→ ； 3、比较无穷小的阶 （1）32220x x x x x --→与，时 ； （2）)1(2 1 112 x x x --→与，时 ； (3)当0→x 时 ， 232-+x x 与x 。 4、利用等价无穷小性质求极限 （1）30sin sin tan lim x x x x -→ ； （2）),()(sin ) sin(lim 0是正整数m n x x m n x → ； 5、讨论函数的连续性 。 在? ??=>-≤-=11,31 ,1)(x x x x x x f 6、利用函数的连续性求极限 （1）)(lim 22 x x x x x -- ++∞ →； （2）x x x sin ln lim 0 → （3）x x x 2)11(lim + ∞→； （4）)1 1 (lim ,)1(lim )(1 --=+ →∞→t f n x x f t n n 求设 （5）)1(lim 2 x x x x -++∞ → ； （6）1)1232( lim +∞→++x x x x ； （7）3 0sin tan lim x x x x -→ ； 7、设函数???≥+<=0 ,0 ,)(x x a x e x f x 应当怎样选择a ，使得) ()(∞+-∞，成为在x f 内的连续函数。 8、证明方程135 =-x x 至少有一个根介于1和2之间。 9、设????? ≤+>=0 ,0,1sin )(2 x x a x x x x f 要使),()(∞+-∞在x f 内连续， 应当怎样选择数a ？
高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( D ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( C ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e
5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( C )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( C ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ A ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ C ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ D ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ C ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = 2 . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在 点 x 连续，则 f )]()([lim 0→-0 x f x f x x =______f ’(xo)_________； 14. =→x x x x 5sin lim 0_________0.2__； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _______e*e__________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________2___1_____
第一讲函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 A.极限的求法（1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1. （等价小量与洛必达） 2.已知
（洛必达） 3. （重要极限） 4.已知a、b为正常数， （变量替换）5. 解：令 6. （变量替换）
7.已知在x=0连续，求a 解：令（连续性的概念） 三、补充习题（作业） 1.（洛必达） 2.（洛必达或Taylor） 第二讲导数、微分及其应用 一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程 2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 会用定理证明相关问题 3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径） 二、题型与解法
A.导数微分的计 算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.决定，求 2.决定，求 解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=1 3.决定，则 B.曲线切法线问题5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。 解：需求，等式取x->0的极限有：f(1)=0 C.导数应用问题 6.已知， ，求点的性质。 解：令，故为极小值点。 7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 解：定义域
考研数学高数公式:函数与极限 第一章:函数与极限 第一节:函数 函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。 基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。 第二节:极限
极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果 基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。 强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列 极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。 冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。
答案： 一.选择题 1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一：任一原函数可表示为 ?+=x C dt t f x F 0 )()(，且).()(x f x F =' 当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-?-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见 f(x)为奇函数； 反过来，若f(x)为奇函数，则? x dt t f 0 )(为偶函数，从而 ?+=x C dt t f x F 0 )()(为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=2 2 1x , 排除(D); 故应选(A). 【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 2. D 【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且 ∞=→)(lim 0 x f x ，所以 x=0为第二类间断点； 0)(lim 1=+ →x f x ，1)(lim 1 -=- →x f x ，所以x=1为第一类间断点，故 应选(D).
【评注】 应特别注意：+∞=-+ →1 lim 1x x x ，.1 lim 1-∞=-- →x x x 从而 +∞=-→+ 1 1lim x x x e ，.0lim 1 1 =-→- x x x e 3 C 4 A 5 C 6 C 7 A 8 C ∵x →∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”： 原式 = 2 1111lim )11() 11)(11(lim 0 =++=++++-+→→x x x x x x x . （有理化法） 9 D 10 C 解 原式 16 1821lim )2()cos 1(tan lim 32 030=?=-=→→x x x x x x x x . ▌ 注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极 的每项作等价替换，则 原式0)2(l i m 3 =-=→x x x x .
第一章 函数与极限 一 函数（见§1.1） Ⅰ 内容要求 （ⅰ）在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调 性、周期性和有界性）的了解。 （ⅱ）理解复合函数的概念，了解反函数的概念，了解分段函数的概念。 （ⅲ）记忆基本初等函数的图象，了解初等函数的概念，自学双曲函数及反双曲函数。 （ⅳ）学会建立简单实际问题中的函数关系式。 Ⅱ 基本题型 （ⅰ）有关确定函数定义域的题型 1．（4分）1 )2ln()(+-= x x x f 的定义域为 21<<-x 2．（4分）) 2ln(1 )(x x x f -+= 的定义域为 [))2,1(1,1Y - 3．（4分）)32arcsin(-=x y 的定义域为--------------- （ D ） A )2,1( B )2,1[ C ]2,1( D ]2,1[ 4．设)(x f 的定义域D = ]1,0[，求下列各函数的定义域： （1）（6分）)(2 x f []1,1-∈x （2）（6分）)2(x f (]0,∞-∈x （3）（7分）)31 ()31(-++x f x f ?? ????∈32,31x （ⅱ）有关确定函数（反函数）表达式的题型 5．（4分）已知： x x f cos 1)2 (sin +=，则)(x f =)1(22 x - 6．（4分）设???????>=<-=0,10,00,1)(x x x x f ，则=)]([x f f ??? ? ???>=<-=0,10,00,1)(x x x x f 7．求下列函数的反函数 （1）（4分）31+=x y 1,13 3-=-=x y y x （2）（4分）x x y +-= 11 x x y y y x +-=+-=11,11 )1(-≠x
第一章函数与极限 区间 [a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞； (-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b； (-∞，+∞)：表示全体实数R，也可记为：-∞＜x＜+∞ 注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。 邻域 设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 函数 x (D为非空实数集) 函数y=f(x)、y=F(x) D D为函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做因变量。 函数的有界性 如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。 注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. 函数的单调性 如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有 ， 则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。 如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有 ， 则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。 函数的奇偶性 如果函数对于定义域内的任意x都满足=，则叫做偶函数； 如果函数对于定义域内的任意x都满足=-，则叫做奇函数。注意：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称,若奇函数定义
域中含有0，则F(0)=0。f(0)=-f(0),2f(0)=0,所以f(0)=0。 函数的周期性 对于函数，若存在一个不为零的数l ，使得关系式 对于定义域内任何x 值都成立，则叫做周期函数，l 是的周期。 注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。 反函数 反函数的定义： 设函数)(x f y =，其定义域为D ，值域为M. 如果对于每一个M y ∈，有惟一的一个D x ∈与之对应，并使)(x f y =成立，则得到一个以y 为自变量，x 为因变量的函数，称此函数为y=f(x)的反函数，记作 )(1y f x -= 显然，)(1 y f x -=的定义域为M ，值域为D. 由于习惯上自变量用x 表示，因变量用y 表示， 所以)(x f y =的反函数可表示为 )(1x f y -= 反函数的存在定理 若在(a ，b)上严格增(减)，其值域为 R ，则它的反函数必然在R 上确定，且严格增(减). 注：严格增(减)即是单调增(减) 反函数的性质 在同一坐标平面内， 与 )(1 x f y -=的图形是关于直线y=x 对称。 关于直线y=x 对称的。如右图所示： 复合函数的定义 若y 是u 的函数： ，而u 又是x 的函数： ，且 的函数值的全部或部分在 的定义域内，那末，y 通过u 的联系也是x 的函数，我们称后一个函数是由函数 及 复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u 叫做中间变量。 注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。 分段函数：？？？？
高等数学（本科少学时类型） 第一章 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){} ,|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以() x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
大一高数 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){},|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-
第一章函数与极限 函数与极限——微积分中的二个重要基本概念 函数——高等数学研究的基本对象． 极限——是否采用极限的运算方法，是高等数学与初等数学的根本区别．
第一节函数 一．函数概念： １．常量与变量： 常量：某一变化过程中保持数值不变的量. 例：同一地点的ｇ=9.8米/秒2 (初等数学研究的主要对象)变量：在某一变化过程中取不同数值的量． 例：自由落体Ｓ=gt2/2中的S与t都是变量. 一个量是常量还是变量只是相对而言的．
２．函数的概念： 函数关系——变量之间的依赖关系 函数定义： ｘ与ｙ是两个变量，如果对于ｘ在数集Ｘ中所取的每一个值，通过ｘ与ｙ之间的某一对应律ｆ, 都有一个(或多个)确定的y 值与之对应, 则称f 是Ｘ上的函数. 记作：y=f(x)，x X． ｘ称为自变量，ｙ称为因变量．Ｘ称为函数的定义
３．函数的表示方法： √ 解析法(如y = f (x)) 列表法 函数的表示法 图象法 其他 解析法可用一个式子表示也可用多个式子表示.例如: cosx -π≤x≤0 (分段函数) 1 0＜x＜1 1/x x ≥1 注：分段函数虽然由多个式子组成的，但它不是多个函数，而是一个函数．
幂函数：ｙ=x a 指数函数：ｙ= a x 对数函数：ｙ=log a x 三角函数：ｙ=sinx ，y =cosx , y=tgx , y=ctgx. 反三角函数：y =arcsinx , y =arccosx , y =arctgx , y =arcctgx . 二．初等函数： 1．基本初等函数：(中学学过的）
2．复合函数：形如：ｙ= f [(φ(x)] ( u =φ(x) ) 定义:设变量y 是变量u 的函数, 变量u 又是变量x 的函数即y = f (u) , u =φ(x), 如果变量x的某些值通过中间变量u 可以确定变量y 的值时, 则称y 是x 的复合函数, 记作 y = f [φ(x)] ( y—因变量, u—中间变量( 既是自变量又是因变量), x—自变量)注:①函数u=Φ(x)的值域不能超过函数y=f(u)的定义域. ②形成复合函数的中间变量可以不止一个,如: y=f｛φ[ω(x)]｝
试题最好是自己先做，答案我没算，方法仅供参考，如有失误自己改正 注：奇函数在对称区间的积分为零，遇到类似的题可以不用计算 原式=2/121lim cos 1lim )cos 1(tan lim 22230==-=-→x x x x x x x x 原式=0cos lim sin 2lim cos 12lim 0=-=-+=------→x e e x e e x x e e x x x x x x x
原式得到x=0时，y=1； 两边求导得：''y xe e y y y +=；得y ’=e 上式两边求导得：''''''''y xe y y xe y e y e y y y y y +++= 于是y ’’(0) ???-==dx x f x xf x xdf dx x xf )()()()(' 两边求导得f(x)，带入上式得结果（记住加上常数C ） 切线斜率为 4 |π=t dx dy 法线斜率为其负倒数 4 cos 42sin 2||4 4ππ ππ? -= ===t t dt dx dt dy dx dy 当时求得x ，y 切线方程为)4/sin (2/cos ππ-=-x dx dy y 法线方程为。。。。。 ? ????=+-=+=---;;;)1()()()(2021200121 dx e dx x dx x f dx x f dx x f x
显然X=1是间断点，求 y x+ →1 lim 和 y x- →1 lim 左图为f(x)=arctanx上下限为π/2，-π/2 此题作业有做。。略 其余题参见
)0(~arctan .......1→x x x )0(~1~)1arctan(→--x x e e x x .......2用倒数的定义式对照得 )('222)()(lim )()(lim 00x f h h x f h x f h h x f h x f h h =?--+=--+→→ )'ln ()'.......(3x x x x x x ?= 其中xdx dx 22= 求出微分之后除以2x 即为所填 .......4奇函数在对称区间求积分为0 ?==)()())((.......5x f x f e x f d e x x sin ln lnx 1 0e lim ?+ →=原式 去求1cos lim sin cos lim 1sin cos lim ln sin ln lim 0====+→x x x x x x x x x x 原 式 = 3 4 4sin tan lim )sin (tan lim x x x x dt t t x x -=-?→后面的步骤 与 中的类似。。不赘叙 原式可得x=0时，y=1 两边求导得0''32=---y e xy y x y 将x=0,y=1代入得y ’(0) 对上式两边求导得0''''''''6=-----y e y y e xy y y x y y 原式可得t=1时，x=1,y=e