GCT 数学2003-2011年真题与答案解析
2003年GCT 入学资格考试数学基础能力试题
（25题，每题4分，满分100分，考试时间45分钟）
1．
1234567891011
1234567891011++++++++++=-+-+-+-+-+（ ）
。 A ．10 B ．11 C ．12 D ．13
2．记不超过10的素数的算术平均数为M ，则与M 最接近的整数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
3．1 000 m 的大道两侧从起点开始每隔10 m 各种一棵树，相邻两棵树之间放一盆花，这样需要（ ）。
A ．树200棵，花200盆
B ．树202棵，花200盆
C ．树202棵，花202盆
D ．树200棵，花202盆
4．已知20012002a =，20022003b =，2003
2004
c =，则（ ）。
A ．a >b >c
B ．b >c >a
C ．c >a >b
D ．c >b >a
5．某工厂月产值3月份比2月份增加10%，4月份比3月份减少10%，那么（ ）。
A ．4月份与2月份产值相等
B ．4月份比2月份产值增加1
99
C ．4月份比2月份产值减少199
D ．4月份比2月份产值减少1
100
6．函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）在[0，+∞）上单调增的充分必要条件是（ ）。 A ．a <0且b ≥0 B ．a <0且b ≤0 C ．a >0且b ≥0 D ．a >0且b ≤0 7．函数1y f a x =+（）（a ≠0）与2y f a x =-（）的图像关于（ ）。
A ．直线x -a =0对称
B ．直线x +a =0对称
C ．x 轴对称
D ．y 轴对称
8．已知实数x 和y 满足条件99x y +（）= -1和100
-x y （）=1，则x 101+y 101的值是（ ）。
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
9．一批产品的次品率为0.1，逐件检测后放回，在连续三次检测中至少有一件是次品的概率为（ ）。
A ．0.271
B ．0.243
C ．0.1
D ．0.081
10．A 、B 、C 、D 、E 五支篮球队相互进行循环赛，现已知A 队已赛过4场，B 队已赛
过3场，C 队已赛过2场，D 队已赛过1场，则此时E 队已赛过（ ）。
A ．1场
B ．2场
C ．3场
D ．4场
11．过点P （0，2）作圆x 2+y 2=1的切线P A 、PB ，A 、B 是两个切点，则AB 所在直线的方程为（ ）。
A ．12x =-
B ．12y =-
C ．12x =
D ．1
2
y =
12．如图，正方形ABCD 的面积为1，E 和F 分别是AB 和BC 的中心，则图中阴影部分面积为（ ）。
A
E
B F C
D
A ．
12 B ．34 C ．23 D ．3
5 13．已知两平行平面α，β之间的距离为d （d >0），l 是平面α内的一条直线，则在平面β内与直线l 平行且距离为2d 的直线的有（ ）。
A ．0条
B ．1条
C ．2条
D ．4条
14．正圆锥的全面积是侧面积的5
4
倍，则该圆锥侧面展开后的扇形所对的圆心角为
（ ）。
A ．π
B ．π2
C ．π3
D ．π
6
15．设点（x 0，y 0）在圆C ：221x y +=的内部，则直线x 0 x + y 0 y =1和圆C （ ）。 A ．不相交
B ．有一个交点
C ．有两个交点，且两交点间的距离小于2
D ．有两个交点，且两交点间的距离等于2
16．设2
01d x
f x t t t =-?（）（），则f x （）的极值点的个数是（ ）。
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
17．如果函数f x （）在x 0处可导，?0f x （）=0f x +（?x ）-0f x （），则极限000d lim
?→?-?x f x f x x
（）（）
（ ）。
A ．等于f '（x 0）
B ．等于1
C ．等于0
D ．不存在 18．甲、乙两人百米赛跑的成绩一样，那么（ ）。
A ．甲、乙两人每时刻的瞬时速度必定一样
B ．甲、乙两人每时刻的瞬时速度都不一样
C ．甲、乙两人至少在某时刻的瞬时速度一样
D ．甲、乙两人到达终点时的瞬时速度必定一样
19．方程2sin cos x x x x =+的实数根的个数是（ ）。 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
20．设0sin cos d I x x π
=?（），则（ ）。
A ．I =0
B ．I <0
C ．0
D ．I =0
21．行列式
2
121
11
02001x x x x x x
----展开式中x 4的系数是（ ）。
A ．2
B ．-2
C ．1
D ．-1
22．设112031-??
? ?
?
??
A =，110231?? ???
B =，则必有（ ）。 A ．AB =BA
B ．AB =B T A T
C ．BA = -8
D ．AB =0
23．设A 为4阶非零方阵，其伴随矩阵A *的秩r （A *）=0，则秩r （A ）等于（ ）。
A ．1或2
B ．1或3
C ．2或3
D ．3或4
24．设A 为m ?n 的非零矩阵，方程组Ax =0只有零解的充分必要条件是（ ）。 A ．A 的列向量线性无关 B ．A 的列向量线性相关 C ．A 的行向量线性无关 D ．A 的行向量线性相关 25．已知三阶矩阵M 的特征值为λ1= -1，λ2=0，λ3=1，它们所对应的特征向量为α1=（1，0，0）T ，α2=（0，2，T 0），α3=（0，0，T
1），则矩阵M 是（ ）。
A ．010000001-??
? ? ???
B ．110001001-??
? ? ???
C ．001000100-??
? ? ???
D ．100000001-??
? ? ???
2003年GCT入学资格考试数学基础能力试题
参考答案与解析
1．【答案】B
【解析】等差数列求和公式1
2n
n a a n
S
+
=
（）
分子=11111
66
2
+?
=
（）分母=-5+11=6
原式=66
11 6
=
2．【答案】C
【解析】不超过10的素数为2，3，5，7；M=2357
4.25
4
+++
=，故与M最接近的整数
为4。
3．【答案】B
【解析】
10×010×110×210×100
…，则一侧树的棵数为100+1=101，花的盆数为100，故两侧乘以2，故选B。
4．【答案】D
【解析】
20011
1
20022002
a==-，
20021
1
20032003
b==-，
20031
1
20042004
c==-
由
111 200220032004
>>
得
111 111
200220032004 -<-<-
故a 5．【答案】D 【解析】设2月份产量为1，则3月份产量为1.1，4月份产量为0.99，故4月份比2月 份产量减少 1 100 。 6．【答案】C 【解析】根据二次函数图像性质知，函数y=ax2+bx+c在[0，+∞）上是单调增函数的充分 必要条件必须满足 2 a a b b a > ?> ? ? ? ?? -? ??≥ ≤ ，故选C。 7．【答案】D 【解析】令f （x ）=x ，有+=++=+f x a x a f x a x a --（ ）和（）。 得图像如下： 所以图像关于y 轴对称。 故选D 。 8．【答案】A 【解析】由已知可得：101110x y x x x y y y +=-==-??????? -=±=-=??? 或 所以x 101+y 101=-1 9．【答案】A 【解析】抽三次正品的概率为0.93=0.729，故至少有一件是次品的概率为1-0.729=0.271。 10．【答案】B 【解析】由于A 队赛4场，故A 必须与其他四队都赛； D 队已赛1场，D 队只与A 队赛； B 队已赛3场，B 队与A 、 C 、E 分别赛； C 队已赛2场，C 队与A 、B 分别赛。 所以E 队已赛2场 11．【答案】D 【解析】如右图所示，OA =1，OP =2，∠AOP =60°，OF = 12OA =1 2 。 所以AB 所在直线的方程为y = 1 2 12．【答案】C 【解析】因E 、F 分别为AB 、BC 的中点，所以DE 和DF 交AC 于M ，N 等分AC ，故 S △AMD =S △DMN =S △DNC （等底等高），S △AMD +S △DNC =1 3 S △BEF +S 梯形MNEF =11111 22223 ??+?=?? S 阴影=112333 += 13．【答案】C 【解析】如右图可知，满足条件的有2条直线。 14．【答案】B 【解析】设正圆锥的底面半径以R ，母线长为L ，则圆锥侧面积=πRL 圆锥全面积=πR 2+πRL x x αl d 2d 2d 30° 30° β 因此 2π4 45 ππ=?=+RL L R RL R 故所求圆心角=2π2ππ 42 R R l R ==，选B 。 15．【答案】A 【解析】令00 1 =02x y （，）（，）在圆内， 00+=1x x y y ，可代为x =2，故选A 。 16．【答案】B 【解析】由f （x ）=2 43430011111d 4343 x x t t t t t x x -=-=-?（） f '(x )=x 3- x 2= x 2(x -1)，令f '(x )=0得x =0，x =1。显然x =1是f (x )的极值点；在x =0的邻 域内f '(x )<0，不变号，则x =0不是f (x )的极值点，故选B 。 17．【答案】C 【解析】d f （x 0）=f （x 0+?x ）-f （x 0） 00000000d [] lim lim 0x x f x f x f x x f x f x x f x x x ?→?→?-+?--+?-==??（）（）（）（）（）（） 18．【答案】C 【解析】甲、乙两人每时刻的瞬时速度可能一样，故A 、B 均错。 甲、乙两人每时刻的瞬时速度有可能一样，有可能不一样，故D 错。 故选C 。 19．【答案】B 【解析】令y 1=x 2 y 2=x sin x +cos x 1arc tan x x ??+ ?? ? 由数形（如图）结合可知交点个数为2个。 20．【答案】D 【解析】=,cos =cos(+)=sin 2t x x t t ππ 2令-则。 22 d =d I=sin(sin )d =sin sin )d x t t t t t π π2ππ--2 --??（ 因为被积函数f (t )=-sin(sin t )在,ππ?? -??22?? 上是奇函数。所以I=0，故选D 。 21．【答案】A 【解析】要使行列式212111 02001----x x x x x x 展开式中含x 4，则在行列式中，各不同的行、列都 有x ，即（2x 、x 、x 、x ）=2x 4（即对角线上都为x ），故选A 。 22．【答案】D 【解析】 AB =111112111310111102021022103200123131311231133011-?+ -??+-??+-??????? ? ?=?+??+??+? ? ? ? ?? ? ??+??+??+????? （）（）（） 121220561---?? ?= ? ??? BA =11110111203111001312023121321321301111131-???+?+??-+?+?-?????? ?== ? ? ? ??+?+??-+?+?-?????? ???（）（） |AB |=121 220122212440561 ---=-?- -?+-?=-+=（）（） |BA |= 31 3118111 -=-+=- B T A T =121121122013211251231311311230133122610101011102100311101?+? -?+??+?-???????? ? ? ?=?+?-?+??+?=- ? ? ? ?-?? ? ? ??+?-?+??+?-?????? （）（）（） 23．【答案】A 【解析】r （A *）=1 102 n r r n r n ?? =-??-? （）为满秩（）（）≤A A A 因r （A *）=0，r （A ）≤4-2=2，故选A 。 24．【答案】A 解 由AX =0，得1112131121222322123n n m m m mn n a a a a x a a a a x a a a a x ???? ??? ???= ??? ??????? 0 即a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n =0 因此，A 的列向量线性无关，即x 1=x 2=…x n =0 25．【答案】D 【解析】M =[λ1α1 212λα2 λ3α3]= 100000001-?? ? ? ? ?? 故选D 。 2004年GCT 入学资格考试数学基础能力试题 （25题，每题4分，满分100分，考试时间45分钟） 1．在一条长3 600 m 的公路一边，从一端开始等距竖立电线杆，每隔40 m 原已挖好一个坑。现改为每隔60 m 立一根电线杆，则需要重新挖坑和填坑的个数分别是（ ）。 A ．50和40 B ．40和50 C ．60和30 D ．30和60 2．某校有若干女生住校，若每间房住4人，则还剩20人未住下，若每间住8人，则仅有一间未满，那么该校有女生宿舍的房间数为（ ）。 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 3．甲、乙两种茶叶以x :y （重量比）混合配制成一种成品茶，甲种茶每斤50元，乙种每斤40元，现甲种茶价格上涨10%，乙种茶价格下降10%后，成品茶的价格恰好仍保持不变，则x :y 等于（ ）。 A ．1:1 B ．5:4 C ．4:5 D ．5:6 4．设1 12341n n S n -=-+-++- （），则20042005S S +=（ ）。 A ．2 B ．1 C ．0 D ．-1 5．在一条公路上，汽车A ，B ，C 分别以80、70、50 km/h 的速度匀速行驶，汽车A 从甲站开向乙站，同时车B ，车C 从乙站出发与车A 相向而行开往甲站，途中车A 与车B 相遇2h 后再与车C 相遇，那么甲、乙两站相距（ ）。 A ．2 010 km B ．2 005 km C ．1 690 km D ．1 950 km 6．已知1ab ≠，且满足22200830a a ++=和23200820b b ++=，则（ ）。 A ．320a b -= B ．230a b -= C ．320a b += D ．230a b += 7．实数a ，b ，c 在数轴上的位置如下图所示 b a c 图中O 为原点，则代数式a b b a a c c +--+-+=（ ）。 A ．32a c -+ B ．2a ab c --- C ．2a b - D ．3a 8．设a ，b ，c 均为正数，若c a b a b b c c a << +++，则（ ）。 A ．c a b << B ．b c a << C ．a b c << D ．c b a << 9．arg z 表示z 的幅角，今有arg 2i α=+（），arg 12i β=-+（），则sin αβ（+）=（ ）。 A ．45- B ．35- C ．45 D ．35 10．将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一个球，则3个空格相连的概率是（ ）。 A ．356 B ．556 C ．328 D ．528 11．如图，直角△ABC 中，∠C 为直角，点E 和D ，F 分别在直角边AC 和斜边AB 上，且AF =FE =ED =DC =CB ，则∠A =（ ）。 A B D F C A ． π8 B ．π9 C ．π10 D ．π 11 12．如图，长方形ABCD 由四个等腰直角三角形和一个正方形EFGH 构成，若长方形ABCD 的面积为A ，则正方形EFGH 的面积为（ ）。 D C B A H G F E A ． 8A B ．10A C ．12A D ．14 A 13．△ABC 中，AB =5，AC =3，∠A =x ，该三角形BC 边上的中线长是x 的函数y f x =（）， 则当x 在（0，π）中变化时，函数f x （）的取值的范围是（ ）。 A ．（0，5） B ．（1，4） C ．（3，4） D ．（2，5） 14．直线l 与直线21x y -=关于直线0x y +=对称，则直线l 的方程是（ ）。 A ．21x y -= B ．21x y += C ．21x y += D ．21x y -= 15．在圆心为O ，半径为15的圆内有一点P ，若OP =12，则在过P 点的弦中，长度为整数的有（ ）。 A ．14条 B ．24条 C ．12条 D ．11条 16．如图，f x （）、g x （）是两个逐段线性的连续函数，设u x f g x =（）（（）），1u '（）的值为 （ ）。 A ． 34 B ． 34 - C ．112 - D ． 112 17．过点sin p p （,）作曲线sin y x =的切线，设该曲线与切线及y 轴所围成的面积为A 1， 曲线与直线x p =及x 轴所围成的面积为A 2，则（ ）。 A ．20 121lim 3p A A A + →=+ B ．2012 1 lim 2p A A A +→=+ C ．20 122lim 3p A A A + →=+ D ．2 012 lim 1p A A A +→=+ 18．如下不等式成立的是（ ）。 A ．在（-3，0）区间上，ln 3ln 3x x -<+（） B ．在（-3，0）区间上，ln 3ln 3x x ->（+） C ．在[0+∞，）区间上，ln 3ln 3x x ->+（） D ．在 [0+∞，）区间上，ln 3ln 3x x -<（+） 19．设f x （）为连续函数，且π0 sin sin d 1f x x x x =?（），则π0 sin cos d f x x x x x =?（）（ ）。 A ．0 B ．1 C ．-1 D ．π 20 ．如图，抛物线21y x =）把曲线y = x （b -x ）（b >0）与x 轴所构成的区域面积分为A A 与A B 两部分，则（ ）。 A ．A B A A < B ．A B A A = C ．A B A A > D ．A B A A 与的大小关系与b 的数值有关 21．设11 121321 222331 32 33 0a a a a a a M a a a =≠，则行列式11 1213 21222331 32 33 222222222a a a a a a a a a ------=---（ ）。 A ．8M B ．2M C ．-2M D ．-8M 22．若向量α，β，λ 线性无关，而向量α+2β，2β+k λ，3λ+α 线性相关，则k =（ ）。 A ．3 B ．2 C ．-2 D ．-3 23．设1 100110020122003013-???? ? ?=== ? ? ? ????? ，，A B C AB ，则矩阵1-C 中，第3行第2列的元素是（ ）。 A ．1 3 B ．12 C ．1 D ．32 24．设矩阵 122 26 306 x - ?? ? =- ? ? - ?? A，三阶矩阵≠0 B，且满足AB=0，则（）。 A．81 x r =-= ，（） B B．82 x r =-= ，（） B C．81 x r == ，（） B D．82 x r == ，（） B 25．下列矩阵中，与对角矩阵 100 010 002 ?? ? ? ? ?? 相似的矩阵是（）。 A． 101 021 001 ?? ? ? ? ?? B． 110 021 001 ?? ? ? ? ?? C． 101 010 002 ?? ? ? ? ?? D． 110 010 002 ?? ? ? ? ?? 2004年GCT 入学资格考试数学基础能力试题 参考答案与解析 1．【答案】D 【解析】每隔40 m 挖坑的数为：3 600 ÷40+1=91 每隔60 m 挖坑的数量为：3 600 ÷60+1=61 由于40与60的最小公倍数为120，可知挖重叠的坑的数量为：3 600 ÷120+1=31 因此需要重新挖坑的数量为：61-31=30 填坑的数量为：91-31=60 故选D 。 2．【答案】C 【解析】设该校有女生宿舍x 间，则有 420420x x +??+? >8（x -1） <8x ?5 3．【答案】C 【解析】价格变化前成品价格为5040x y x y ++元 价格变化时成品价格可表示为50110%40110%x y x y ++-+（）（）元 浮动前后成品价格保持不变50405536x y x y x y x y ++=++ 解得5x =4y ，得x :y =4:5 4．【答案】B 【解析】S n =1-2+3-4+…+（-1）n -1 n =12112 n n n n -?-??? -?-+-??（） （n 为偶数） （n 为奇数） S 2 004= -1 002 S 2 005=2004 20051120051002200510032 -- +-=-+=（） 因此20042005100210031S S +=-+= 5．【答案】D 【解析】设A ，B 相遇时所用时间为t h ，则A ，C 相遇所用时间（t +2）h ， 有（70+80）t =（80+50）（t +2）?t =13h ，因此甲、乙两站距离为（70+80）?13=1 950 km 6．【答案】B 【解析】 2a 2+2 008a +3=0?4a 2+2 008?2a +6=0 ① 3b 2+2 008b +2=0?9b 2+2 008?3b +6=0 ② 式①-②得（2a -3b ）（2a +3b ）+2 008（2a -3b ）=0 （2a -3b ）（2a+3b+2 008）=0 2a -3b=0或2a+3b+2 008=0 7．【答案】A 【解析】由图可知b 0，因此a +b <0，b -a <0，a -c <0 故有|a +b |-|b -a |+|a -c |+c = -a -b +b -a -（a -c ）+c = -3a +2c 8．【答案】A 【解析】c a b + c a +?+