编者的话
本专集汇集了2009年全国各省、自治区、直辖市、市、地区、自治州所有的中考数学压轴题，考虑到有的试卷最后几道题题型较好，也一并收集进来，共231道题。本专集根据真题，全部采用word编辑（包括所有图形均在word中严格按比例绘制而成），并附有参考答案和评分标准，排版美观，且经过认真核对。本专集是最新、最全的2009年全国中考数学压轴题，决不是简单的拼凑而成，也决不同于网上的任何一个版本（请管理员对照真题尤其是图形详查）。与那些在网上满天飞、被转来转去却面孔千篇一律、错误无人纠正的压轴题相比，本专辑更显得珍贵，是广大教师和应考学生难得的好资料。
请尊重他人的劳动成果，勿将别人的作品改头换面，变成自己的东西到处发表！
由于本人水平有限，错误之处在所难免，恳请大家批评指正！
编者：安徽省马鞍山市数学老师宫尚宝
2010年1月1日
2009年全国各地中考数学压轴题专集
索引
1．北京市 (1)
2．北京市 (1)
3．天津市 (1)
4．天津市 (2)
5．上海市 (2)
6．上海市 (3)
7．重庆市 (3)
8．重庆市江津区 (3)
9．重庆市綦江县 (4)
10．江苏省 (4)
11．江苏省 (4)
12．浙江省杭州市 (5)
13．浙江省台州市 (5)
14．浙江省温州市 (6)
15．浙江省湖州市 (6)
16．浙江省衢州市、舟山市 (7)
17．浙江省宁波市 (7)
18．浙江省金华市 (7)
19．浙江省绍兴市 (8)
20．浙江省嘉兴市 (8)
21．浙江省义乌市 (8)
22．浙江省丽水市 (9)
23．浙江省丽水市 (9)
24．浙江省慈溪中学保送生招生考试 (10)
25．浙江省奉化市保送生招生考试 (10)
26．河南省 (10)
27．安徽省 (10)
28．安徽省芜湖市 (11)
29．安徽省蚌埠二中高一自主招生考试 (11)
30．吉林省 (11)
31．吉林省长春市 (11)
32．山西省 (12)
33．山西省太原市 (12)
34．江西省、江西省南昌市 (13)
35．江西省、江西省南昌市 (13)
36．青海省 (14)
37．青海省西宁市 (14)
38．新疆维吾尔自治区、新疆生产建设兵团 (14)
39．新疆乌鲁木齐市 (14)
40．云南省 (15)
41．云南省昆明市 (15)
42．陕西省 (16)
43．陕西省 (16)
44．河北省 (16)
45．海南省 (17)
46．宁夏回族自治区 (17)
47．西藏自治区 (17)
48．贵州省贵阳市 (18)
49．贵州省遵义市 (18)
50．贵州省安顺市 (18)
51．贵州省六盘水市盘县特区 (19)
52．贵州省六盘水市盘县特区 (19)
53．贵州省毕节地区 (19)
54．贵州省铜仁地区 (20)
55．贵州省黔东南州 (20)
56．贵州省黔西南州 (20)
57．贵州省黔南州 (21)
58．甘肃省兰州市 (21)
59．甘肃省天水市 (21)
60．甘肃省庆阳市 (22)
61．甘肃省陇南市 (22)
62．甘肃省平凉市 (22)
63．甘肃省张掖市 (23)
64．甘肃省甘南州 (23)
65．甘肃省武威、金昌、定西、白银、酒泉、嘉峪关 (23)
66．内蒙古呼和浩特市 (24)
67．内蒙古包头市 (24)
68．内蒙古鄂尔多斯市 (25)
69．内蒙古锡林郭勒盟通辽市兴安盟呼伦贝尔市 (25)
70．内蒙古赤峰市 (25)
71．内蒙古赤峰市 (26)
72．内蒙古乌兰察布市 (26)
73．内蒙古巴彦淖尔市 (26)
74．黑龙江省哈尔滨市 (27)
75．黑龙江省哈尔滨市 (27)
76．黑龙江省牡丹江市、鸡西市 (28)
77．黑龙江省大庆市 (28)
78．黑龙江省齐齐哈尔市、绥化市 (29)
79．黑龙江省大兴安岭地区 (29)
80．黑龙江省双鸭山市、黑河市 (29)
81．黑龙江省佳木斯市、伊春市 (30)
82．辽宁省沈阳市 (30)
83．辽宁省大连市 (30)
84．辽宁省大连市 (31)
85．辽宁省大连市 (31)
86．辽宁省大连市试测（一） (31)
87．辽宁省大连市试测（一） (32)
88．辽宁省大连市试测（二）暨市内四区毕业考试 (32)
89．辽宁省大连市试测（二）暨市内四区毕业考试 (32)
90．辽宁省大连市试测（二）暨市内四区毕业考试 (33)
91．辽宁省大连市试测（二）暨市内四区毕业考试 (33)
92．辽宁省十二市、丹东市 (33)
93．辽宁省十二市、丹东市 (33)
94．辽宁省阜新市 (34)
95．辽宁省葫芦岛市 (34)
96．辽宁省本溪市 (35)
97．辽宁省锦州市 (35)
98．辽宁省锦州市 (35)
99．辽宁省抚顺市 (36)
100．辽宁省营口市 (36)
101．辽宁省朝阳市 (36)
102．辽宁省朝阳市 (37)
103．辽宁省辽阳市 (37)
104．辽宁省铁岭市 (37)
105．山东省中招、日照市、东营市中考 (38)
106．山东省济南市 (38)
107．山东省济南市 (38)
108．山东省青岛市 (39)
109．山东省德州市（德城） (39)
110．山东省烟台市 (39)
111．山东省烟台市 (39)
112．山东省枣庄市 (40)
113．山东省枣庄市 (40)
114．山东省威海市 (40)
115．山东省威海市 (41)
116．山东省淄博市 (41)
117．山东省淄博市 (42)
118．山东省潍坊市 (42)
119．山东省潍坊市 (42)
120．山东省滨州市 (43)
121．山东省菏泽市 (43)
122．山东省莱芜市 (43)
123．山东省泰安市 (44)
124．山东省济宁市 (44)
125．山东省聊城市 (44)
126．山东省临沂市 (44)
127．广东省 (45)
128．广东省广州市 (45)
129．广东省深圳市 (46)
130．广东省深圳市 (46)
131．广东省深圳市 (46)
132．广东省珠海市 (47)
133．广东省佛山市 (47)
134．广东省茂名市 (47)
135．广东省湛江市 (48)
136．广东省肇庆市 (48)
137．广东省清远市 (48)
138．广东省梅州市 (48)
139．广东省梅州市 (49)
140．广东省高州市学科竞赛暨重点中学提前招生考试 (49)
141．广西南宁市 (49)
142．广西桂林市、百色市 (49)
143．广西柳州市 (50)
144．广西梧州市 (50)
145．广西贺州市 (50)
146．广西钦州市 (51)
147．广西贵港市 (51)
148．广西玉林市、防城港市 (52)
149．广西来宾市 (52)
150．广西河池市 (52)
151．广西崇左市 (53)
152．广西北海市 (53)
153．湖南省长沙市 (53)
154．湖南省岳阳市 (54)
155．湖南省衡阳市 (54)
156．湖南省益阳市 (54)
157．湖南省邵阳市 (55)
158．湖南省张家界市 (55)
159．湖南省株洲市 (56)
160．湖南省郴州市 (56)
161．湖南省永州市 (57)
162．湖南省湘潭市 (57)
163．湖南省常德市 (57)
164．湖南省怀化市 (58)
165．湖南省娄底市 (58)
166．湖南省冷水江市 (58)
167．湖南省湘西自治州 (59)
168．湖北省武汉市 (59)
169．湖北省武汉市 (59)
170．湖北省武汉市新洲区 (59)
171．湖北省武汉市新洲区 (60)
172．湖北省黄冈市 (60)
173．湖北省黄石市 (61)
174．湖北省荆州市 (61)
175．湖北省荆门市 (61)
176．湖北省宜昌市 (62)
177．湖北省宜昌市 (62)
178．湖北省襄樊市 (62)
179．湖北省咸宁市 (63)
180．湖北省十堰市 (63)
181．湖北省鄂州市 (63)
182．湖北省鄂州市 (64)
183．湖北省随州市 (64)
184．湖北省随州市 (64)
185．湖北省孝感市 (65)
186．湖北省恩施自治州 (65)
187．湖北省仙桃市、天门市、潜江市、江汉油田 (66)
188．湖北省仙桃市、天门市、潜江市、江汉油田 (66)
189．四川省成都市 (66)
190．四川省成都市 (67)
191．四川省自贡市 (67)
192．四川省绵阳市 (68)
193．四川省德阳市 (68)
194．四川省资阳市 (68)
195．四川省广安市 (69)
196．四川省雅安市 (69)
197．四川省乐山市 (69)
198．四川省乐山市 (70)
199．四川省眉山市 (70)
200．四川省泸州市 (70)
201．四川省达州市 (71)
202．四川省凉山州 (71)
203．四川省攀枝花市 (71)
204．四川省宜宾市 (72)
205．四川省遂宁市 (72)
206．四川省遂宁市 (73)
207．四川省内江市 (73)
208．四川省巴中市 (73)
209．四川省南充市 (74)
210．福建省福州市 (74)
211．福建省福州市初中毕业班质量检查 (74)
212．福建省漳州市 (75)
213．福建省漳州市初中毕业班质量检查 (75)
214．福建省漳州双语实验学校高中阶段自主招生 (76)
215．福建省泉州市 (76)
216．福建省泉州市初中毕业班质量检查 (76)
217．福建省厦门市 (76)
218．福建省厦门市初中毕业班质量检查 (77)
219．福建省南平市 (77)
220．福建省南平市初中毕业班质量检查 (77)
221．福建省龙岩市 (78)
222．福建省龙岩市初中毕业班质量检查 (78)
223．福建省莆田市 (78)
224．福建省莆田市初中毕业班质量检查 (79)
225．福建省莆田市初中毕业班质量检查 (79)
226．福建省三明市 (79)
227．福建省三明市初中毕业班质量检查 (80)
228．福建省三明市初中毕业班质量检查 (80)
229．福建省宁德市 (80)
230．福建省宁德市中考网上阅卷模拟考试 (81)
231．福建省宁德市初中毕业班质量检查 (81)
232．福建省宁德市初中毕业班质量检查 (81)
1
2009年全国各地中考数学压轴题专集
1．（北京市）在□ABCD 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E ，将线段EC 绕点E 逆时针旋转90°得到线段EF （如图1）．
（1）在图1中画图探究：
①当P 1为射线CD 上任意一点（P 1不与C 点重合）时，连结EP 1，将线段EP 1绕点E 逆时针旋转90°得到线段EG 1，判断直线FG 1与直线CD 的位置关系并加以证明； ②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2，将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90°得到线段EG 2，判断直线G 1G 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论． （2）若AD ＝6，tan B ＝
3
4
，AE ＝1，在①的条件下，设CP 1＝x ，S △P 1FG 1＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
2．（北京市）如图，在平面直角坐标系xO y 中，△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－6，0)，B (6，0)， C (0，34)，延长AC 到点D ，使CD ＝
2
1
AC ，过D 点作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E ． （1）求D 点的坐标；
（2）作C 点关于直线DE 的对称点F ，分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达
A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短．（要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）
3．（天津市）已知一个直角三角形纸片OAB ，其中∠AOB ＝90°，OA ＝2，OB ＝4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ． （Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；
图
1 图2（备用）
2
（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B ′，设OB ′＝x ，OC ＝y ，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；
（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B ′′，且使B ′′D ∥OB ，求此时点C 的坐标．
4．（天津市）已知函数y 1＝x ，y 2＝x
2
＋bx ＋c ，α，β为方程y 1－y 2＝0的两个根，点M (1，T )在函数y 2的图象上．
（Ⅰ）若α＝3
1，β＝21
，求函数y 2的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数y 1与y 2的图象的两个交点为A ，B ，当△ABM 的面积为
312
1
时，求t 的值；
（Ⅲ）若0＜α＜β＜1，当0＜t ＜1时，试确定T ，α，β三者之间的大小关系，并说明理由． 5．（上海市）在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线CM ∥
x 轴（如图所示）
．点B 与点A 关于原点对称，直线y ＝x ＋b （b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ．
（1）求b 的值和点D 的坐标；
（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的圆P 与圆O 外切，求圆O 的半径．
6．（上海市）已知∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，AD ∥BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB
上，
3
且满足
PC PQ ＝
AB
AD
（如图1所示）． （1）当AD ＝2，且点Q 与点B 重合时（如图2所示），求线段PC 的长； （2）在图1中，联结AP ．当AD ＝
2
3
，且点Q 在线段AB 上时，设点B 、Q 之间的距离为x ，PBC APQ S S △△＝
y ，其中APQ S △表示△APQ 的面积，PBC S △表示△PBC 的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义
域；
（3）当AD
＜
AB ，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图3所示），求∠QPC 的大小．
7．（重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系xO y 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3．过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．
（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交
于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为5
6
，那么EF ＝2GO 是否成
立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P
与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（重庆市江津区）如图，抛物线y ＝－x
2
＋bx ＋c 与x 轴交于A (1，0)，B (－3，0)两点． （1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最
小？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P
D
A P C
B (Q )
图2 图3 C
A D P
B Q
图1
4
1
的坐标及△PBC
9．（重庆市綦江县）如图，已知抛物线y ＝a (x －1)
2
＋33(a ≠0)经过点A (－2，0)，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM ∥AD ．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为t （s ）．问：
当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OC ＝OB ，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度
单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t （s ），连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．
10．（江苏省）如图，已知二次函数y ＝x
2－2x －1的图象的顶点为A ，二次函数y ＝ax
2
＋bx 的图象与x 轴
交于原点O 及另一点C ，它的顶点B 在函数y ＝x
2
－2x －1的图象的对称轴上．
（1）求点A 与点C 的坐标；
（2）当四边形AOBC 为菱形时，求函数y ＝ax
2
＋bx 的关系式．
11．（江苏省）如图，已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点D （3，0）和点E （0，4），动点C 从点M （5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动，与此同时，动点P 从点D 出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE 的方向作匀速运动．设运动时间为t 秒． （1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标；
5
（2）以点C 为圆心、
2
1
t 个单位长度为半径的⊙C 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），连接P A 、PB ．
① 当⊙C 与射线DE 有公共点时，求t ② 当△P AB 为等腰三角形时，求t 的值．
12．（浙江省杭州市）已知平行于x 轴的直线y ＝a (a ≠0)与函数y ＝x 和函数y ＝x
1
的图象分别交于点A 和点B ，又有定点P (2，0)． （1）若a ＞0，且tan ∠POB ＝
9
1
，求线段AB 的长； （2）在过A ，B 两点且顶点在直线y ＝x 上的抛物线中，已知线段AB ＝3
8
，且在它的对称轴左边时，y
随着x 的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式； （3）已知经过A ，B ，P 三点的抛物线，平移后能得到y ＝5
9x
2
的图象，求点P 到直线AB 的距离．
13．AB 为边向上作正方形ABCD ，过点A ，D ，C 的抛物线与直线另一个交点为E ． （1）请直接写出点C ，D 的坐标； （2）求抛物线的解析式；
6
（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB 下滑，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围； （4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点D 落在x 轴上时停止，求抛物线上C 、E 两点间的抛物线弧所扫过的面积．
14．（浙江省温州市）如图，在平面直角坐标系中，点A （3，0），B （33，2），C （0，2）．动点D 以每秒1个单位的速度从点O 出发沿OC 向终点C 运动，同时动点E 以每秒2个单位的速度从点A 出发沿AB 向终点B 运动．过点E 作EF ⊥AB ，交BC 于点F ，连结DA 、DF ．设运动时间为t 秒． （1）求∠ABC 的度数； （2）当t 为何值时，AB ∥DF ； （3）设四边形AEFD 的面积为S ． ①求S 关于t 的函数关系式； ②若一抛物线y ＝－x
2
＋mx 经过动点E ，当S ＜23时，
求m 的取值范围（写出答案即可）．
15．（浙江省湖州市）已知：抛物线y ＝x
2
－2x ＋a （a
＜0）与y 轴相交于点A ，顶点为M ．直线y ＝
2
1
x －a 分别与x 轴，y 轴相交于B ，C 两点，并且与直线AM 相交于点N ．
（1）填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则M （ ， ），N （ ， ）； （2）如图，将△NAC 沿y 轴翻折，若点N 的对应点N
′恰好落在抛物线上，AN
′与x 轴交于点D ，连结
CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；
（3）在抛物线y ＝x
2
－2x ＋a （a
＜0）上是否存在一点P ，使得以P ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行
四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由．
12
1
+-=x
备用图
7
16．（浙江省衢州市、舟山市）如图，已知点A （－4，8）和点B （2，n ）在抛物线y ＝ax
2
上．
（1）求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ ＋QB 最短，求出点Q
的坐标；
（2）平移抛物线y ＝ax
2
，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C （－2，0）和点D
（－4，0）是x 轴上的两个定点．
① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C ＋CB
′最短，求此时抛物线的函数解析式；
② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短？若存在，求
出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
17．（浙江省宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（－8，0），直线BC 经过点B （－8，6），C （0，6），将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA ′B ′C ′，此
时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC 相交于P 、Q ． （1）四边形OABC 的形状是_______________，
当α
＝90°时，BQ
BP
的值是____________；
（2）①如图2，当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在y 轴正半轴上时，求
BQ
BP
的值； ②如图3，当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在直线BC 上时，求ΔOPB ′的面积．
（3）在四边形OABC 旋转过程中，当0＜α
≤180°时，是否存在这样的点P 和点Q ，使BP ＝2
1
BQ ？若存
在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（浙江省金华市）如图，在平面直角坐标系中，点A （0，6），点B 是x 轴上的一个动点，连结AB ，取AB 的中点M ，
将线段MB 绕着点
B 按顺时针方向旋转90°，得到线段B
C ．过点B 作x 轴的垂线交直线AC 于点
D ．设点B 坐标是（t ，0）．
（1）当t
＝4时，求直线AB 的解析式；
（2）当t ＞0时，用含t 的代数式表示点C 的坐标及△ABC 的面积；
（3）是否存在点B ，使△ABD 为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点B 的坐标；若不存在，
请说明理由．
图1
图2 ) 图3 备用图
8
19．（浙江省绍兴市）定义一种变换：平移抛物线F 1得到抛物线F 2，使F 2经过F 1的顶点A ．设F 2的对称轴分别交F 1，F 2于点D ，B ，点C 是点A 关于直线BD 的对称点．
（1）如图1，若F 1：y ＝x
2，经过变换后，得到F 2：y ＝x
2
＋bx ，点C 的坐标为（2，0），则
①b 的值等于__________； ②四边形ABCD 为（ ）；
A ．平行四边形
B ．矩形
C ．菱形
D ．正方形
（2）如图2，若F 1：y ＝ax
2
＋c ，经过变换后，点B 的坐标为（2，c －1），求△ABD 的面积；
（3）如图3，若F 1：y ＝3
1x
2－32x ＋37
，经过变换后，AC ＝32，点P 是直线AC 上的动点，求点P 到
点D 的距离和到直线AD 的距离之和的最小值．
20．（浙江省嘉兴市）如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，MN ＝4，MA ＝1，MB ＞1．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设AB ＝x ． （1）求x 的取值范围；
（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值；
（3）探究：△ABC 的最大面积？
21．（浙江省义乌市）已知点A 、B 分别是x 轴、y 轴上的动点，点C 、D 是某个函数图像上的点，当四边形ABCD （A 、
B 、
C 、
D 各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD 是一次函数y ＝x ＋1图像的其中一个伴侣正方形．
（1）若某函数是一次函数y ＝x ＋1，求它的图像的所有伴侣正方形的边长；
（2）若某函数是反比例函数y ＝x
k
（k ＞0），它的图像的伴侣正方形为ABCD ，点D （2，m ）（m ＜2）在
2 （图1） （图2） （图3）
9
反比例函数图像上，求m 的值及反比例函数的解析式；
（3）若某函数是二次函数y ＝ax
2
＋c （a ≠0），它的图像的伴侣正方形为ABCD ，C 、D 中的一个点坐标为
（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标__________，写出符合题意的其中一条抛物线解析式________________，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？__________．（本小题只
22．（浙江省丽水市）如图，已知在等腰△ABC 中，∠A ＝∠B ＝30°，过点C 作CD ⊥AC 交AB 于点D
． （1）尺规作图：过A ，D ，C 三点作⊙O （只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）； （2）求证：BC
是过A ，D ，C 三点的圆的切线；
（3）若过A ，D ，C 三点的圆的半径为3，则线段BC 上是否存在一点P ，使得以P ，D ，B 为顶点的三
角形与△BCO 相似，若存在，求出DP 的长；若不存在，请说明理由．
23．（浙江省丽水市）已知直角坐标系中菱形ABCD 的位置如图，C ，D 两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P ，Q 分别从A ，C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒．
（1）填空：菱形ABCD 的边长是________、面积是________、高BE 的长是________； （2）探究下列问题：
①若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度为每秒2个单位，当点Q 在线段BA 上时，求△APQ 的面积S 关于t 的函数关系式，以及S 的最大值；
②若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度变为每秒k 个单位，在运动过程中，任何时刻都有相应的k 值，使得△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t ＝4秒时的情形，并求出k 的值．
10
图（1）
24．（浙江省慈溪中学保送生招生考试）已知：抛物线y ＝ax
2
＋bx ＋c 经过点（－1，1），且对于任意的实
数x ，有4x －4≤ax
2＋bx ＋c ≤2x
2
－4x ＋4恒成立．
（1）求4a ＋2b ＋c 的值． （2）求y ＝ax
2
＋bx ＋c 的解析式．
（3）设点M （x ，y ）是抛物线上任一点，点B （0，2），求线段MB 的长度的最小值． 25．（浙江省奉化市保送生考试）如图，射线OA ⊥射线OB ，半径r ＝2cm 的动圆M 与OB 相切于点Q （圆M 与OA ?没有公共点），P 是OA 上的动点，且PM ＝3cm ，设OP ＝x cm ，OQ ＝y cm ． （1）求x 、y 所满足的关系式，并写出x 的取值范围． （2）当△MOP 为等腰三角形时，求相应的x 的值．
（3）是否存在大于2的实数x ，使△MQO ∽△OMP ？若存在，求相应x 的值，若不存在，请说明理由．
26．（河南省）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）．抛物线y ＝ax
2
＋bx 过A 、C 两点．
（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）动点P 从点A 出发，沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运
动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ． ① 过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G ．当t 为何值时，线段EG 最长？
② 连接EQ ，在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形？请直接写出相
应的t 值．
27．（安徽省）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示． （
1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．
【解】
）
11
图（2） （2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量n （kg ）之间的
么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果． 【解】
（3数关系如图（2）所示．该经销商拟每日售出60kg 使得当日获得的利润最大．
【解】
28．（安徽省芜湖市）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A （－1，0），B （0，3），O （0，0），将此三角板绕原点O 顺时针旋转90°，得到△A ′B ′O ． （1）如图，一抛物线经过点A 、B 、B ′，求该抛物线解析式； （2）设点P 是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形PBAB ′ 的
面积达到最大时点P 的坐标及面积的最大值．
29．（安徽省蚌埠二中高一自主招生考试）已知关于x 的方程(m
2
－1)x
2
－3(3m －1)x ＋18＝0有两个正整数根（m 是整数），△ABC 的三边a 、b 、c 满足c ＝32，m
2＋a
2m －8a ＝0，m
2＋b 2
m －8b ＝0．
求：（1）m 的值；（2）△ABC 的面积．
30．（吉林省）如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，∠B ＝60°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A →C →B 的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A →B →C →D 的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 运动的时间为x 秒时，△APQ 与△ABC 重叠部分．．．．
的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为0的三角形），解答下列问题： （1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是__________秒；
（2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当△APQ 是等边三角形时x 的值是__________秒； （3）求y 与x 之间的函数关系式．
31．（吉林省长春市）如图，直线y ＝－
43x ＋6分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点；直线y ＝4
5
x 与AB 交于点C ，与过点A 且平行于y 轴的直线交于点D ．点E 从点A 出发，以每秒1
个单位的速度沿x 轴向左运动．过点E 作x 轴的垂线，分别交直线AB 、OD 于P 、Q 两点，以PQ 为边向右作正方形PQMN ，设正方形PQMN 与△ACD 重叠部分（阴影部分）的面积为S （平方单位）
，点E 的运动时间为t （秒）．
Q
12
E
D
C
B
N
A M F
图（1）
（1）求点C 的坐标；
（2）当0＜t ＜5时，求S 与t 之间的函数关系式； （3）求（2）中S 的最大值； （4）当t ＞0时，直接写出点（4，2
9
）在正方形PQMN 内部时t 的取值范围．
32．（山西省）如图，已知直线l 1：y ＝
32x ＋3
8
与直线l 2：y ＝－2x ＋16相交于点C ，l 1、l 2分别交x 轴于A 、B 两点．矩形DEFG 的顶点D 、E 分别在直线l 1、l 2上，顶点F 、G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合． （1）求△ABC 的面积；
（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；
（3）若矩形DEFG 从原地出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t （0≤t
≤12）秒，矩形DEFG 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围；
（4）S 是否存在最大值？若存在，请直接写出最大值及相应的t 值，若不存在，请说明理由．
33．（山西省太原市）
问题解决
如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与 点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当
CD CE ＝21
时，求
BN
AM 的值．
类比归纳 在图（1）中，若CD
CE ＝31，则BN AM 的值等于___________；若CD CE ＝41
，则
BN
AM 的值等于___________；若
CD CE ＝n 1
（n 为整数）
，则BN AM 的值等于___________．（用含n 的式子表示） 联系拓广
为了求得BN
AM
的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设AM ＝2．
方法指导：