勾股定理的证明 【证法1】（课本的证明） a 、 b ，斜边长为 c ，再做三 个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 21 4214222?+=?++，整理得222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于ab 21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、 C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵Rt ΔHAE ≌Rt ΔEBF, ∴∠AHE = ∠BEF . ∵∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2. ∵Rt ΔGDH ≌Rt ΔHAE, ∴∠HGD = ∠EHA . ∵∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵∠GHE = 90o, ∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2 b a +. ∴ ()2 22 14c ab b a +?=+. ∴2 2 2 c b a =+.
以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB . ∵∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90o. ∴EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2 a b -. ∴()22 214c a b ab =-+?. ∴2 2 2 c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfiel d 证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面 积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵Rt ΔEAD ≌Rt ΔCBE, ∴∠ADE = ∠BEC . ∵∠AED + ∠ADE = 90o, ∴∠AED + ∠BEC = 90o. ∴∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于221c . 又∵∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD ∥BC . ∴ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()2 21 b a +. ∴()2 2212122 1 c ab b a +?=+. ∴2 22c b a =+.
浅析MM理论 企业财务管理的目标在于谋求企业价值的最大化，而合理配置企业的资本结构对实现企业的财务管理目标有重要的作用。企业应确定合理的资本结构，从而降低企业的财务风险。 资本结构，是指企业各种资本的构成及其比例关系。资本结构理论中，被称为最有影响的理论便是MM理论。 MM理论从数量上揭示了资本结构、资本成本与企业价值之间的关系。该理论的研究分为三个阶段，即无任何税收的MM理论，只有企业所得税的MM理论和企业所得税与个人所得税同时存在的米勒模型。 在第一阶段，MM理论的基本假设包括（1）没有公司及个人所得税，企业在无税的环境中经营；（2）证券交易没有交易成本；（3）个人、机构均可以无风险债务的利率借款；（4）资本市场有效率（5）企业无破产成本和代理成本。该理论认为，在假设成立的条件下，不论公司有无负债，其市场价值都是相同的，公司的市场价值只取决于公司的投资方式，而与资本结构无关，因此，又称为资本结构无关论。然而，这些假设条件过于严苛，与现实情况很显然是存在着极大的矛盾的，因此，在实际的市场条件下，最初的MM理论并不能成立。 在第二阶段，对MM理论进行了完善，把企业所得税因素加入资本结构的分析中。由于债务的利息费用可以在税前扣除,因此具有抵税的作用, 所以负债会增加企业的价值。因此，有所得税的MM理论认为，企业的负债率越高，企业价值就越大。企业通过提高负债比率来增大负债的节税效用，从而增加企业价值。 有所得税的MM理论包括两个命题。命题一，有负债企业的价值等于相同风险等级无负债企业的价值加上负债的节税利益价值，即V L=Vu+TB。也就是说，考虑了公司所得税后，负债公司的价值要高于未负债公司的价值，且负债越多，企业的价值越高；当企业负债达到100%时，企业的价值达到最大。命题二，负债公司的股本成本等于相同风险等级的无负债公司的股本成本加上风险报酬，风险报酬
余弦定理的证明方法大全 (共十种方法) 一、余弦定理 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC ?中,已知AB c =,BC a =,CA b =,则有 2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-, 2222cos c a b ab C =+-. 二、定理证明 为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可: 在ABC ?中,已知AB c =,AC b =,及角A ,求证:2222cos a b c bc A =+-. 证法一:如图1,在ABC ?中,由CB AB AC =-可 得: ()()CB CB AB AC AB AC ?=-?- 22 2AB AC AB AC =+-? 222cos b c bc A =+- 即,2222cos a b c bc A =+-. 证法二:本方法要注意对A ∠进行讨论. (1)当A ∠是直角时,由22222222cos 2cos90b c bc A b c bc b c a +-=+-?=+=知结论成立. (2)当A ∠是锐角时,如图2-1,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则 在Rt ACD ?中,cos AD b A =,sin CD b A =. 图1
从而,cos BD AB AD c b A =-=-. 在Rt BCD ?中,由勾股定理可得: 222BC BD CD =+ 22(cos )(sin )c b A b A =-+ 222cos c cb A b =-+ 即,2222cos a b c bc A =+-. 说明:图2-1中只对B ∠是锐角时符合,而B ∠还可以是直角或钝角.若B ∠是直角,图中的点D 就与点B 重合；若B ∠是钝角,图中的点D 就在AB 的延长线上. (3)当A ∠是钝角时,如图2-2,过点C 作CD AB ⊥,交BA 延长线于点D ,则 在Rt ACD ?中,cos()cos AD b A b A π=-=-,sin()sin CD b A b A π=-=. 从而,cos BD AB AD c b A =+=-. 在Rt BCD ?中,由勾股定理可得: 222BC BD CD =+ 22(cos )(sin )c b A b A =-+ 222cos c cb A b =-+ 即,2222cos a b c bc A =+-. 综上(1),(2),(3)可知,均有2222cos a b c bc A =+-成立. 证法三:过点A 作AD BC ⊥,交BC 于点D ,则 在Rt ABD ?中,sin BD c α= ,cos AD c α=. 在Rt ACD ?中,sin CD b β=,cos AD b β=. 由cos cos()cos cos sin sin A αβαβαβ=+=-可得: 2cos AD AD BD CD AD BD CD A c b c b bc -?=?-?= 图2-1 图2-2 图3
MM定理 美国经济学家莫迪格里尼（Modigliani）和米勒（Mi11er）指出，在一定的条件下，企业无论以负债筹资还是以股权资本筹资都不影响企业的市场总价值。因为，如果企业偏好债务筹资，债务比例相应上升，企业的风险随之增大，股票价格就会下降。企业从债务筹资上得到的好处会被股票价格的下跌所抹掉，从而导致企业的总价值（股票加上债务）不变。企业以不同的方式筹资只是改变了企业的总价值在股权者和债权者之间分割的比例，却不改变企业价值的总额。这就是MM定理。 MM定理是高度抽象的理论推导，它面对来自生活的挑战，不同筹资方式的许多因素会影响到企业价值总额：如股票和债券筹资的纳税的先后、破产的可能性、对经理制约的程度、保持企业形象的效果、企业控制权的大小，等等。 距离《美国经济回顾》1958年六月发表MM定理的第一篇文章《资本成本、公司财务以及投资理论》已经30年了。我已经被邀请庆祝或者说回顾当时我们所做的工作，并且估计经过了三十年的大量检验以及艰苦的争论后，在当前MM定理仍能适用的范围。 某些争论现在已经有了定论。我们的定理I，即公司的价值与其资本结构（公司债权／股权）无关，已经被认为是对完全资本市场均衡的一种表述。当时我们对这个定理采用了新颖的套利证明方式，现在其正确性没有任何争论了，与这种套利本质相似的证明如今在我们整个金融领域里十分常见[5]。这个定理，也就是大家经常说到的MM定理，已经扩展到公司财务以外的领域中，比如货币银行、财政政策以及国际金融。[6] 很显然，定理I以及它的证明已经被经济理论所广泛接受。然而MM定理I的价值不变性，在其产生的公司财务领域中还有待实证检验。 对于我们的不变性理论在实践中的应用产生怀疑是可以理解的，因为不论什么时候随便拿来一张金融类报纸，我们都可以看到这样的内容，即当某公司进行资本结构重组后，其市值都会有大幅度的提升。虽然囿于从字面上理解资本结构无关的观点或者公司财务“不起作用”的观点时常还会归结到我们的头上（可能是源于我们对自己观点最极端的表达），但实际上这和我们表述关于定理在真实世界中应该如何应用相去甚远。再回头看看，可能我们现在应该把重点更多地放到“不起作用”这枚硬币的另一面，也是乐观的一面：“不起作用”想法所暗含的意思，即什么是起作用的。 对于我们的不变性定理及其关于完全资本市场的假设来说，将其更一般化已经成为当今公司财务教学中的重要一环。在1958年我们不能使用这样的方法，因为这种分析和当时思考资本结构选择的方式差别太大。我们首先要让人们确信（甚至包括我们自己！）在任何条件下，甚至在一个“无摩擦”的世界中，一家公司可以在法律、投资风险、债权成本和股权成本都不相同的情况下无差别地发行证券。要知道当时公司债务的利率是3到5个百分点，而市盈率——衡量股本成本的便捷方法——基本上是15到20个百分点。 而我们的定理II 解决了这个自相矛盾的观点，即认为融资成本巨大的差异可以忽略不计。定理II 指出，在定理I 成立的前提下，股权成本随着债权与股权价值比率的上升而上升。任何从看上去成本更低的债务中获得的收益都将会被更高的股本成本所抵消，因为股本的风险变大了。我们的定理意味着一个公司的资本加权成本应该保持不变，而无论其在实际中选择了什么样的融资组合。
Cayley 定理的证明方法 摘要：本文对Cayley 定理：n K 的生成树共有2n n -棵，即2()n n K n τ-=。的几种证明方法简单归纳。 关键词：Cayley 公式 标号树枝 生成树 第一种证明方法 通过确定标号树枝的个数来求生成树的个数，设生成树的数目为x 个，因为每个生成树的每一个点都能作为一个根，所以标号树枝的个数为nx 个，现在就是确定标号树枝的个数1n n -，这样一来就能确定2n x n -=。下面我们就来证明标号树枝的个数为1n n -。 通过一步一步建立标号树枝，先拿出n 个点的无边土，此时这个图有n 个树枝森林，，现在往上加边，加第一条边后，树枝森林数减少一个，，当树枝数目为k 时，加下一条边新边(,)u v 的选择为(1)n k -，任意一个点都能当作u ，而v 必须连接不含u 的树枝的根，用这种方法构造标号树枝的数目应该为111()(1)!n n i n n i n n --=-=-∏，因为每个标号树枝含有1n -条边，有(1)!n -种顺序，也 就是说每个标号树枝被构造了(1)!n -次，所以标号树枝的个数为1n n -。 证毕。 第二种证明方法 设2n ≥，12,,,n d d d 是正整数，并且1222n d d d n ++ +=-，则在顶点集{1,2,,}n 上具有顶点度序列 为12,,,n d d d 的树的个数是 多项式展开如下： 11211 11,,,11(1)(1)2211n n n d d n d d d n d d n n a a d d --≥-++-=--??= ?--??∑特别地，令每一个1i a =，得到 为了计算顶点集{1,2,,}n 上的树的数目，必须将12,,,n d d d 是正 整数并且其和等于2n -的具有顶点度序列12,, ,n d d d 的所有树的数目全 部加在一起. 从前面的事实有
勾股定理逆定理八种证 明方法 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]
证法1 作四个的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。过点C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF =90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 证法2 作两个的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），做一个边长为c的正方形。斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C 三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90°， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC =90°。 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠， 又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即 证法3 作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90°，
1 无税收条件下的MM 定理 1.1 假设条件 假设1：无摩擦市场假设 ? 不考虑税收； ? 公司发行证券无交易成本和交易费用，投资者不必为买卖证券支付任何费用； ? 无关联交易存在； ? 不管举债多少，公司和个人均无破产风险； ? 产品市场是有效的：市场参与者是绝对理性和自私的；市场机制是完全且完备的； 不存在自然垄断、外部性、信息不对称、公共物品等市场失灵状况；不存在帕累托改善；等等； ? 资本市场强有效：即任何人利用企业内部信息都无法套利，没有无风险套利机会； ? 投资者可以以企业借贷资金利率相同的利率借入或贷出任意数量的资金。 假设2：一致预期假设 ? 所有的投资者都是绝对理性的，均能得到有关宏观、行业、企业的所有信息，并且 对其进行完全理性的前瞻性分析，因此大家对证券价格预期都是相同的，且投资者对组合的预期收益率和风险都按照马克维兹的投资组合理论衡量。 1.2 MM 定理第一命题及其推论 MM 定理第一命题： 有财务杠杆企业的市场价值和无财务杠杆企业的市场价值相等。 第一命题的含义： 即公司的市场价值（即债权的市场价值+股权的市场价值，不含政府的税收价值）与公司的资本结构无关，而只与其盈利水平有关。这说明未来具有完全相同的盈利能力的公司市场价值相同，但由于其负债程度不同等因素，故它们的净资产可能有很大差异。 MM 定理第一命题证明过程：证明方法是无套利均衡分析法。 基础假定：我们假定有两家公司—公司A 和公司B ，它们的资产性质完全相同但资本结构完全不同。A 公司没有负债（这是一种极端假设，但作为比较基准更能说明问题）；B 公司的负债额度是D ，假设该负债具有永久性质，因为可持续盈利的公司总可以用新发行的债券来偿还老债券（这与宏观经济学中的庞兹计划完全不同，那是没有收入来源且信息不对称下导致的终生借债消费计划无效）。 细节假设： ? B 公司当前债务利率为r （固定值）； ? A 、B 两公司当前的股本分别是A S 和B S （固定值）； ? A 、B 两公司当前权益资本预期收益率（即市场的资本化率，也就是其股票的预期
勾股定理五种证明方法 【证法1】 做 8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 214214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【 证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角 形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点 在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +. ∴ ()2 2214c ab b a +?=+. ∴ 222c b a =+. 【证法3】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为
勾股定理五种证明方法 【证法1】 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 做8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 214214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角 形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点 在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o . ∴ ∠HEF = 180o ―90o= 90o . ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o . 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o . ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +. ∴ ()2 2214c ab b a +?=+. ∴ 222c b a =+. 【证法3】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为
高数中的重要定理与公式及其证明（二） 在第一期的资料内我们总结了高数前半部分需要掌握证明过程的定理，由于最近比较忙，所以一直没来得及写。现将后半部分补上。希望对大家有所帮助。 1）泰勒公式（皮亚诺余项） 设函数()f x 在点0x 处存在n 阶导数，则在0x 的某一邻域内成立 () ()()()2 00' '' ()000 00()()()()...()2! ! n n n x x x x f x f x x x f x f x f x o x x n --??=+-+ ++ +-?? 【点评】：泰勒公式在计算极限、高阶导数及证明题中有很重要的应用。对于它们，我们首要的任务是记住常见函数（sin ,cos ,ln(1),,(1)x a x x x e x ++）在0x =处的泰勒公式，并能利用它们计算其它一些简单函数的泰勒公式，然后在解题过程中加以应用。在复习的前期， 如果基础不是很好的话，两种不同形式的泰勒公式的证明可以先不看。但由于证明过程中所用到的方法还是很常用的。因此把它写在这里。 证明： 令()()()200'''() 00000()()()()()...()2!!n n x x x x R x f x f x x x f x f x f x n ??--=-+-+ ++?????? 则我们要证明()0()n R x o x x ??=-?? 。 由高阶无穷小量的定义可知，需要证明() 0() lim 0n x x R x x x →=-。 这个极限式的分子分母都趋于零，并且都是可导的， 因此用洛必达法则得 () ()()()() 1 ''''()0 0000100()()()...()1!() lim lim n n n n x x x x x x f x f x x x f x f x n R x x x n x x --→→??--+-++?? -????=-- 再次注意到该极限式的分子分母仍趋于零，并且也都是可导的，因此可以再次运用洛必达法则。 不难验证该过程可以一直进行下去， 运用过1n -次洛必达法则后我们可以得到 () ()() ()0 00 (1)(1)()00000(1) (1) () 000()()()() lim lim !()()() lim !! n n n n x x x x n n n x x f x f x x x f x R x n x x x x f x f x f x n x x n --→→--→---=---=- - 由于()f x 在点0x 处存在n 阶导数，由导数的定义可知() (1)(1)()000()() lim ()n n n x x f x f x f x x x --→-=-
资本成本，公司财务和投资理论 作者：佛朗哥.莫迪利安尼，莫顿.米勒 翻译：莫不造 目录 I．有价证券的价值、杠杆以及资本成本 (3) A．未知现金流的资本化利率 (3) B．债务融资及其对有价证券价格的影响 (4) C．基础结论的一些条件及延伸 (6) D．结论I和及其与现有学说的关系 (8) E．基础结论的初步实证 (9) II．投资理论分析的解释 (12) A．资本结构和投资策略 (12) B．结论三和公司财务计划 (13) C．公司收入税对于投资决策的影响 (14) III．结论 (15) 假设：1.资金（储蓄）用于获得不确定收益，2.资本可以通过多种途径获得：可以只用债券融资（表现为货币索取权），也可以只发行股票（给予股票持有者不确定的税后收入分红）的多种方式，还可以两种一起用。对于在以上假设条件下的公司，“资本成本”指什么？这个问题至少有以下三种争论：1.公司财务专家考虑的是公司筹资的技巧，以便于公司能够生存和成长；2.管理经济学家考虑的是资本预算；3.经济学家考虑的是从微观和宏观两个层次上来解释投资行为。 在多篇正式分析中，至少经济学家们曾经尝试强调过资金成本重要性的问题，比如他们认为实物资产，比如债券，可以被看做固定收益的现金流。在这样的假设下，经济学家总结得到公司所有者的资本成本即债券收益率，然后得到了为人们熟知的结论：理性的公司将一直投资直到实物资产的边际收益等于市场利率。该主张显然服从两个确定相等的理性决策标准：利润最大化或者市值最大化。 根据第一个标准来看，能够增加公司所有者净利润的实物资产是值得持有的。但净利润只有在时才会增长。根据第二个标准（市值最大化），当资产能够增加股东权益价值时候值得持有，也即资产带来的市值增长超过持有的成本。但资产的价值增值是由它在市场利率水平下所产生的资本化的现金流决定的，并且只有在资产收益率超过利息率，资产资本化的价值超过成本。注意到这一点，故不论在何种构想下，资本成本等于债券利息率，而不论资金是通过借贷工具还是发行新的普通股股票。实际上，在确定收益的世界里，借贷和发股筹资相互之间有很大区别。 由于不确定性的存在，必须承认在尝试时候我们常常用到该类分析方法。该类分析典型形式就是在确定性分析的结果上附加在预期收益上减去的一个风险折价的概念（或者说是对于市场利率的风险贴水）。投资决策即基于“风险调整”或是“确定等价收益”的收益率与市场利率的比较。但是对于风险折扣的大小以及如何根据其他变量改变而调整，则仍没有人提出满意的解释。
高数中的重要定理与公式及其证明（一） 考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。 应深受大家敬佩的静水深流力邀，也为了方便各位师弟师妹复习，不才凭借自己对考研数学的一点了解，总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，从长远来看都是应当熟练掌握的。 由于水平有限，总结不是很全面，但大家在复习之初，先掌握这些公式定理证明过程是必要的。 1）常用的极限 0ln(1)lim 1x x x →+=，01lim 1x x e x →-=，01lim ln x x a a x →-=，0(1)1lim a x x a x →+-=，201cos 1lim 2 x x x →-= 【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限1 lim(1)x x x e →+=与 0sin lim 1x x x →=的推论， 它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技巧。 证明： 0ln(1)lim 1x x x →+=：由极限1 0lim(1)x x x e →+=两边同时取对数即得0ln(1)lim 1x x x →+=。 01lim 1x x e x →-=：在等式0ln(1) lim 1x x x →+=中，令ln(1)x t +=，则1t x e =-。由于极限过程是0x →，此时也有0t →，因此有0 lim 11 t t t e →=-。极限的值与取极限的符号是无关的，因此我们可以吧式中的t 换成x ，再取倒数即得01 lim 1x x e x →-=。 01lim ln x x a a x →-=：利用对数恒等式得ln 0011 lim lim x x a x x a e x x →→--=，再利用第二个极限可得ln ln 0011lim ln lim ln ln x a x a x x e e a a x x a →→--==。因此有01 lim ln x x a a x →-=。
第三专题资本结构：基本概念 一、资本结构问题与馅饼理论 公司融资决策需要解决的基本问题是在融资总量中，负债占多大比例，权益占多大比例，也就是如何选择负债权益比，这实际上是一个资本结构决策问题。研究资本结构问题的方法称为“馅饼模型”。 股票股票债券 40% 60% 60% 40% 负债权益比为60% 负债权益比为40% 资本结构的两个馅饼模型 所谓馅饼是指公司筹资要求权之和，即负债和所有者权益。我们将公司价值定义为负债和所有者权益之和。用公式表示即为： ≡（1） V+ S B 在此，我们提出两个问题： 1.为什么公司股东关注企业价值最大化而非他们的利益最大化？ 2.使股东利益最大化的负债权益比是多少？ 二、企业价值最大化与股东利益最大化 假设JJP公司的市场价值是1000美元，目前公司没有负债，流通在外的股票有100股，每股市价为10美元。类似于JJP这样无任何负债的公司被称为无杠杆公司。假设JJP公司计划借入500美元，向股东支付5美元/股的额外现金股利（股票回购）。债务发行后，公司变为杠杆公司。公司的投资不因这项交易而改变。当这项调整计划被实施之后，公司价值将会发生怎样的变化？ 公司管理层认为，公司资本结构调整后公司价值只会产生以下三种结果中的一种：（1）高于初始1000美元；（2）等于初始1000美元；（3）低于初始的1000美元。经与投资银行家商议之后，公司管理层认为，资本结构的调整不会使公司价值的变化超过250美元。因此，他们把1250美元、1000美元和750美元视为公司价值的恰当范围。初始资本结构和新资本结构下的三种可能结果如下： 初始资本结构新资本结构下的三种可能结果 （1）（2）（3）债务0 500 500 500 所有者权益1000 750 500 250 公司价值1000 1250 1000 750 下面来看在三种可能结果下股东盈利的变化。 情况（1）情况（2）情况（3）资本利得-250 -500 -750 股利500 500 500 股东的净收益或净损失250 0 -250 从上面假设的三种情况来看，尽管三种情况下股东得到的股利是相同的，但是，只有第一种情况对股东有利。由此可以得出如下结论：当且仅当公司价值提高时，资本结构的变
1 2无税收条件下的MM定理 2.1假设条件 假设1：无摩擦市场假设 不考虑税收； 公司发行证券无交易成本和交易费用，投资者不必为买卖证券支付任何费用； 无关联交易存在； 不管举债多少，公司和个人均无破产风险； 产品市场是有效的：市场参与者是绝对理性和自私的；市场机制是完全且完备的；不存在自然垄断、外部性、信息不对称、公共物品等市场失灵状况；不存在帕累托改善；等等； 资本市场强有效：即任何人利用企业内部信息都无法套利，没有无风险套利机会； 投资者可以以企业借贷资金利率相同的利率借入或贷出任意数量的资金。 假设2：一致预期假设 所有的投资者都是绝对理性的，均能得到有关宏观、行业、企业的所有信息，并且对其进行完全理性的前瞻性分析，因此大家对证券价格预期都是相同的，且投资者对组合的预期收益率和风险都按照马克维兹的投资组合理论衡量。 2.2M M定理第一命题及其推论 MM定理第一命题： 有财务杠杆企业的市场价值和无财务杠杆企业的市场价值相等。 第一命题的含义： 即公司的市场价值（即债权的市场价值+股权的市场价值，不含政府的税收价值）与公司的资本结构无关，而只与其盈利水平有关。这说明未来具有完全相同的盈利能力的公司市场价值相同，但由于其负债程度不同等因素，故它们的净资产可能有很大差异。 MM定理第一命题证明过程：证明方法是无套利均衡分析法。 基础假定：我们假定有两家公司—公司A和公司B，它们的资产性质完全相同但资本结构完全不同。A公司没有负债（这是一种极端假设，但作为比较基准更能说明问题）；B公司的负债额度是D，假设该负债具有永久性质，因为可持续盈利的公司总可以用新发行的债券来偿还老债券（这与宏观经济学中的庞兹计划完全不同，那是没有收入来源且信息不对称下导致的终生借债消费计划无效）。 细节假设： B公司当前债务利率为r（固定值）；
2 ．MM 定理对我国股市的发展有何启示意义？ 答：该理论认为，在不考虑公司所得税，且企业经营风险相同而只有资本结构不同时，公司的资本结构与公司的市场价值无关。或者说 ,当公司的债务比率由零增加到100 %时，企业的资本总成本及总价值不会发生任何变动 ,即企业价值与企业是否负债无关，不存在最佳资本结构问题。 MM理论的基本假设为： 1、企业的经营风险是可衡量的，有相同经营风险的企业即处于同一风险等级； 2、现在和将来的投资者对企业未来的EBIT估计完全相同，即投资者对企业未来收益和取得这些收益所面临风险的预期是一致的； 3、证券市场是完善的，没有交易成本； 4、投资者可同公司一样以同等利率获得借款； 5、无论借债多少，公司及个人的负债均无风险，故负债利率为无风险利率； 6、投资者预期的EBIT不变，即假设企业的增长率为零，从而所有现金流量都是年金。 MM 定理在中国股市应用存在一定的不符之处。 一、西方资本结构研究多侧重于理论研究，与我国实际经济状况不完全相符，缺乏针对性。西方资本结构研究运用了大量的定量分析，建立了不同的优化模型，论证严密科学，但由于这些模型是在西方发达的市场经济环境下建立的，不能与我国企业的实际情况相符，缺乏
实际操作性。在这种情况下，我国的经济学家应在国外研究的基础上，结合我国企业的实际情况，运用定量分析和实证分析建立自己的优化模型，为我国企业资本结构优化提供理论依据。 二、资本结构作为一重要的经济信号，在金融、证券市场上发挥着重要作用。 国外的经济学家将信号经济理论引入资本结构理论研究，利用不对称信息理论解释社会上的一些经济现象，这正是由于资本结构作为经济信号在金融、证券市场上向投资者传递着重要的信息。为了在市场顺利融资，企业选择一定的资本结构向投资者传递企业利润分布的信息，投资者也把企业负债结构视为企业质量的信号，并据此投资。具体而言，如果企业负债比较高，表明企业对未来收益流量具有较高的期望，因而较高的负债率往往被视为企业高质量的体现。因此尽管投资者无法准确了解有关企业质量的信息，但仍可从企业负债率所传递的信号来评估企业的市场价值。但在我国，由于金融、证券市场刚刚发展起来，并不是一个规范健全的市场，资本结构的信息传递作用并没得以充分发挥。 三、资本结构优化不仅要考虑最优负债比率的确定，也应考虑最优负债结构的确定。 国外对资本结构的最新研究已经表明负债的期限结构会影响企 业的代理成本和破产风险等因素，从而最终影响企业价值。因而在建立适合我国国情的资本结构优化模型时，不应仅仅局限于企业最优负
证法1 作四个全等的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。过点C作AC 的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， ∴∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 证法2 作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），做一个边长为c的正方形。斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90°， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠， 又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即 证法3 作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上，
正弦定理的5种证明方法 在⊿ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为，则这就是正弦定a b c 、、,sin sin sin a b c A B C ==理． 在这个定理的证明过程中蕴涵着丰富的几何意义．为了简单,仅以锐角三角形为例作简要说明．直角三角形的情形非常简单, 钝角三角形的情形与锐角三角形类似．证法一 三角形高法 是⊿ABC 的边上的高； sin ,sin a B b A c 是⊿ABC 的边上的高； sin ,sin a C c A b 是⊿ABC 的边上的高． sin ,sin b C c B a 根据这个几何意义，定理证明如下： 作锐角三角形ABC 的高CD ，则CD=． sin sin a B b A =所以 ，同理．sin sin a b A B =sin sin b c B C =因此.sin sin sin a b c A B C == 证法二 三角形外接圆法 是⊿ABC 的外接圆直径． 根据这个几何意义，定理证明如下：,,sin sin sin a b c A B C 作锐角三角形ABC 的外接圆直径CD ，连结DB ．根据同弧 所对的圆周角相等及直径所对的圆周角是直角得， ∠A=∠D, ∠DBC=90°,（为⊿ABC 的外接圆半2CD R =R 径）． 所以，所以．sin sin 2CB a A D CD R == =2sin a R A =同理．2,sin b R B =2sin c R C =因此．2sin sin sin a b c R A B C ===
证法三 三角形面积法 是三角形ABC 的面积．1sin ,2ab C 1sin ,2bc A 1sin 2 ac B 根据这个几何意义,定理证明如下： 作锐角三角形ABC 的高CD ，则CD=． sin a B 所以三角形ABC 的面积．11sin 22 S AB CD ac B = = 同理 所以 1sin ,2S ab C =1sin ,2S bc A =1sin 2bc A =1sin 2ac B 1sin ,2 ab C =同除以,再取倒数有．12abc sin sin sin a b c A B C ==证法四 向量的数量积法 把变形为．sin ,sin a B b A cos(),cos()2 2a B b A ππ --则在锐角三角形ABC 中,作高CD,则分别是向量cos(),cos()22a CD B b CD A ππ-- 与向量的数量积．,CB CA CD 利用这个几何意义，定理证明如下： 作锐角三角形ABC 的高CD ．因为=,所以0==(), AB CB CA - AB ?CD CB CA - ?CD 所以，所以,CB CD CA CD ?=? cos()cos()22 a CD B b CD A ππ-=- 即sin sin . a B b A =所以 ，同理．sin sin a b A B =sin sin b c B C =因此．sin sin sin a b c A B C ==证法五 如果想避开分类讨论,可以把三角形放在平面直角坐标系中, 利用坐标法． 证明如下： 以C 为原点,以射线CA 为轴的正半轴建立平面直角坐标系, x ）
1无税收条件下的MM定理 1.1假设条件 假设1：无摩擦市场假设 ?不考虑税收； ?公司发行证券无交易成本和交易费用，投资者不必为买卖证券支付任何费用； ?无关联交易存在； ?不管举债多少，公司和个人均无破产风险； ?产品市场是有效的：市场参与者是绝对理性和自私的；市场机制是完全且完备的；不存在自然垄 断、外部性、信息不对称、公共物品等市场失灵 状况；不存在帕累托改善；等等； ?资本市场强有效：即任何人利用企业内部信息都无法套利，没有无风险套利机会； ?投资者可以以企业借贷资金利率相同的利率借入或贷出任意数量的资金。 假设2：一致预期假设 ?所有的投资者都是绝对理性的，均能得到有关宏观、行业、企业的所有信息，并且对其进行完全 理性的前瞻性分析，因此大家对证券价格预期都 是相同的，且投资者对组合的预期收益率和风险 都按照马克维兹的投资组合理论衡量。
1.2MM定理第一命题及其推论 MM定理第一命题： 有财务杠杆企业的市场价值和无财务杠杆企业的市场价值相等。 证明方法是无套利均衡分析法。 MM定理第一命题推论一： 债转股后如果盈利未变，那么企业的股票价格也不变。 MM定理第一命题推论二： 股东期望收益率会随财务杠杆的上升而上升。 含义：正常情况下B公司在债转股之后会降低其股票的预期收益率，或者说A公司的股票预期收益率小于B公司的股票的预期收益率。 MM定理第一命题推论三： 股东每股盈利也会随着财务杠杆的上升而上升。 1.3MM定理第二命题及其推论 MM定理第二命题： 公司加权平均资本成本（WACC）与公司的资本结构无关。 MM定理第二命题推论：
有负债的公司的权益资本成本等于同一风险等级的无负债公司的权益资本成本加上风险补偿，风险补偿的比例因子是负债权益比k。 2有税收条件下的MM定理 2.1假设条件 考虑税收，其他假设与前面相同。有税收条件下的MM定理仅一个定理，有四个推论。 2.2MM定理第一命题及其推论 MM定理第一命题： 在考虑税收的情况下，有财务杠杆的企业的市场价值等于无财务杠杆的企业的市场价值加上“税盾”的市场价值。 MM定理第一命题推论一： 在考虑税收情况下，股东的期望收益率仍然会随着财务杠杆的上升而上升。即在考虑税收的情况下，不考虑税收时MM定理的命题一的推论二仍然成立。 MM定理第一命题推论二： 考虑税收情况下，股东的每股收益也仍然会随着财务杠杆的上升而上升，即在考虑税收情况下，不考虑税收MM定理命题一推论三仍然成立。 MM定理第一命题推论三：
