江苏徐州、淮安、连云港、宿迁四市2015--2016学年度第一学期高
三期中抽测数学试题
数学Ⅰ
参考公式：1.样本数据n x x x ,,21的方差,)(1
2
1
2
∑
=-=
n
i i x x n
s 其中;1
1
∑==
n
i i x n x
2.锥体的体积公式：,3
1
Sh V =
锥体其中S 是锥体的底面积，h 是高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．
置上．．
． 1．已知集合},11{≤≤-=x x A 则=Z A ▲ ． 2.若复数i i m i z )(2)(1(+-=为虚数单位）是纯虚数，则实数
m 的值为 ▲ ．
3．数据10，6，8，5，6的方差=2
s ▲ ．
4．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1， 2，3，4
的正四面体，记底面上的数字分别为y x ,，则y
x
为整数的概率是 ▲ ．
5．已知双曲线)0(122
2
>=-m m
y x 的一条渐近线方
程为
,03=+y x 则=m ▲ ．
6．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是 ▲ ． 7．底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为 ▲ . 8．在等比数列}{n a 中，若),1(4,14531-==a a a a 则=7a ▲
9),2,1(,21=+==b a 则向量b a ,的夹角为 ▲ ．
10.直线01=++y ax 被圆0222=+-+a ax y x 截得的弦长为2，则实数a 的值是 ▲ ． 11．将函数,2)(2x x x f +-=则不等式)2()(log 2f x f <的解集为 ▲ ． 12．将函数x y 2sin =的图象向左平移?)0(>?个单位，若所得图象过点)2
3
,
6
(
π
，则?的最小值为 ▲ ．
13．在ABC ?中，,3,2==AC AB 角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若
),,(R y x y x ∈+=则y x +的值为 ▲ ．
14．已知函数e x e x f x (2)(1-+=-为自然对数的底数），,3)(2+--=a ax x x g 若存在实数21,x x ，使得,0)()(21==x g x f 且,121≤-x x 则实数a 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）
在锐角△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为,6,4,,,==c b c b a 且.32sin =B a （1） 求角A 的大小；
（2） 若D 为BC 的中点，求线段AD 的长.
16. （本小题满分14分）
如图，在四棱锥ABCD P -中，AC BD AC CD AB ,,//⊥与BD 交于点,O 且平面 ⊥PAC 平面E ABCD ,为棱PA 上一点. （1） 求证：;OE BD ⊥
（2） 若,2,2EP AE CD AB ==求证：//EO 平面.PBC
17.（本小题满分14分）
已知数列}{n a 满足),(2*21R k N n k a a a n n n ∈∈++=++，且.4,2531-=+=a a a （1） 若,0=k 求数列}{n a 的前n 项和;n S （2） 若,14-=a 求数列}{n a 的通项公式.n a
18. （本小题满分16分） 如图，墙上有一壁画，最高点A 离地面4米，最低点B 离地面2米，观察者从距离墙)1(>x x 米，离地面高)21(≤≤a a 米的C 处观赏该壁画，设观赏视角.θ=∠ACB （1）若,5.1=a 问：观察者离墙多远时，视角θ最大？ （2）若,2
1
tan =θ当a 变化时，求x 的取值范围.
P
E A
C
D
O
第16题图
（第18题图）
19. （本小题满分16分） 如图，椭圆)0(1:
2
22
2>>=+
b a b
y a
x C 的上、下顶点分别为B A ,，右焦点为,F 点P 在椭圆C
上，且.AF OP ⊥
（1） 若点P 坐标为),1,3(求椭圆C 的方程；
（2） 延长AF 交椭圆C 于点Q ，若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的2倍，求椭圆C 的离心率；
（3） 求证：存在椭圆C ，使直线AF 平分线段.OP
20.（本小题满分16分）
已知函数.,1cos )(2R a ax x x f ∈-+=
（1） 求证：函数)(x f 是偶函数；
（2） 当,1=a 求函数)(x f 在],[ππ-上的最大值和最小值； （3） 若对于任意的实数x 恒有,0)(≥x f 求实数a 的取值范围.
第19题图
徐州市2015～2016学年度高三第一学期期中质量抽测
数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】本题包括
四个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，AB 是⊙O 的直径，CB 与⊙O 相切于点E B ,为线段CB 上一点，连结,,AE AC 分别交⊙O 于G D ,两点，连结DG 并延长交CB 于点,F 若,3,1,3===GA EG EF EB 求线段CE 的长.
B .[选修4—2 ：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵,1211,121??????-=??????-=B x A 向量??
?
???=y 2α，若,ααB A =求实数y x ,的值.
C .[选修4—4 ：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
已知直线l 的参数方程为t t y t x (222
2
1???
????=+
-=为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非半轴为极
A F
G
D
O
E C
第21—A 图
轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为,cos 2sin 2θθρ-=若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，求线段AB 的长.
【选做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）
已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有2名男生、3名女生，乙组有3名男生、1名女生，学校计划从两兴趣小组中随机各选2名成员参加某项活动 . （1） 求选出的4名选手中恰好有1名女生的选派方法数；
（2） 记X 为选出的4名选手的人数，求X 的概率分布和数学期望.
23. （本小题满分10分）
已知抛物线:C )0(22>=p py x 过点)1,2(，直线l 过点)1,0(-P 与抛物线C 交于B A ,两点，点A 关于y 轴的对称点为'A ，连接B A '. （1） 求抛物线C 标准方程；
（2） 问直线B A '
（第23题图）
徐州市2015-2016学年度高三年级摸底考试
数学I 参考答案及评分标准
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．
． 1．{}1,0,1- 2．2- 3．
16
5
4．12 5
6．1- 7．43
8．4 9．23π 10．2- 11．(0,1)(4,)+∞ 12．π
6 13．58
14．[2,3]
二．解答题：本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分． 请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．
，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（1）由正弦定理，得sin sin a B b A =， ……………………………2分
因为b ＝4
，sin a B =
sin A ， ……………………………4分
又π02
A <<，所以π
3A =． ………………………………6分
（2）若b ＝4，c ＝6，由余弦定理得
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ＝16＋36－2×24×
1
2
＝28， 所以a
＝ ………………………………8分
又因为sin a B =
sin B =
，从而cos B =，
…………………10分 因为D 为BC 的中点，所以BD ＝DC
在ABD ?由余弦定理，得2222cos AD AB BD AB BD B =+-??，
即23672619AD =+-?=
，所以，AD =．…………14分 16．（1）因为平面PAC ⊥底面ABCD ，平面PAC 底面ABCD AC =，BD AC ⊥，
BD ?平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAC ，又因为OE ?平面PAC ，
所以BD OE ⊥．……………………6分
（2）因为//AB CD ，2AB CD =，AC 与BD 交于O ，所以::1:2CO OA CD AB ==， 又因为2AE EP =，所以::CO OA PE EA =，所以//EO PC ，又因为PC ?平面PBC ，
EO ?平面PBC ，所以//EO 平面PBC ．……………………14分
17．（1）当0k =时，122n n n a a a ++=+，即211n n n n a a a a +++-=-，
所以，数列{}n a 是等差数列．……………………2分
设数列{}n a 公差为d ，则112,264,a a d =??+=-?解得12,
4.3a d =??
?=-??
……………4分
所以，21(1)(1)428
2()22333
n n n n n S na d n n n --=+
=+?-=-+．…………6分 （2）由题意，4352a a a k =++，即24k -=-+，所以2k =．……………8分 又4322122326a a a a a =--=--，所以23a =，由1222n n n a a a ++=++， 得211()()2n n n n a a a a +++---=-，
所以，数列{}1n n a a +-是以211a a -=为首项，2-为公差的等差数列． 所以123n n a a n +-=-+，……………………10分 当2n ≥时，有12(1)3n n a a n --=--+， 于是，122(2)3n n a a n ---=--+，
232(3)3n n a a n ---=--+，
…
32223a a -=-?+，
21213a a -=-?+，
叠加得，12(12(1))3(1),(2)n a a n n n -=-+++-+- ≥，
所以2(1)
23(1)241,(2)2
n n n a n n n n -=-?+-+=-+-≥，……………………13分
又当1n =时，12a =也适合．
所以数列{}n a 的通项公式为2*41,n a n n n =-+-∈N ．…………………14分 18．（1）当 1.5a =时，过C 作AB 的垂线，垂足为D ，
则0.5BD =，且ACD BCD θ=∠-∠，
由已知观察者离墙x 米，且1x >，
则0.5 2.5
tan ,tan BCD ACD x x
∠=∠=
，…………2分 所以，tan tan()
ACD BCD θ=∠-∠
2.50.52
22.50.5 1.25 1.2511x x x x x x x -====?+++
当且仅当1x =
>时，取“=”．…………………6分 又因为tan θ在(0,)2
π
θ最大．…8分
（2）由题意得，24tan ,tan a a
BCD ACD x x
--∠=∠=
，又1tan 2θ=， 所以2
21
tan tan()(2)(4)2
x ACD BCD x a a θ=∠-∠==+-?-，……………………10分 所以22684a a x x -+=-+，
当12a ≤≤时，20683a a -+≤≤，所以2043x x -+≤≤，
即2240430
x x x x ?-?-+?≤≥，解得01x ≤≤或34x ≤≤，……………………14分 又因为1x >，所以34x ≤≤，
所以x 的取值范围为[3,4]．……………………16分
19．（1
）因为点P
，所以OP k =
又因为AF ⊥OP
，1b c -=-，
b =，所以2234a b =，……………………………………2分
又点P 在椭圆上，所以2231
1a b
+=，
解之得2
21313,34
a b ==．故椭圆方程为
22134
x y +=．……………………………4分 （2）由题意，直线AF 的方程为1x y c b +=，与椭圆C 方程22
221x y a b
+=
联立消去y ，得2222220a c x
x a c c +-
=， 解得0x =或2222a c x a c =+，所以Q 点的坐标为2222
222
2()
(,)a c b c a a c a c -++，……………7分 所以直线BQ 的斜率为22222222
()
2BQ
b c a b bc a c k a c a a c -++==+， 由题意得，
22c bc
b a
=，所以222a b =，………………9分
所以椭圆的离心率c e a ==．………………10分
（3）因为线段OP 垂直AF ，则直线OP 的方程为cx
y b
=
， 与直线AF 的方程1x y
c b +=联立，解得两直线交点的坐标(2222,b c bc a a
)．
因为线段OP 被直线AF 平分，所以P 点坐标为(22
2222,b c bc a a
)，………………12分
由点P 在椭圆上，得4224
642441b c b c a a b +=，
又222
b a
c =-,设22c t a
=，得224[(1)]1t t t -?+=． (*)……………14分
令2232()4[(1)]14()1f t t t t t t t =-?+-=-+-，
2'()4(221)0f t t t =-+>，所以函数()f t 单调增，又(0)10f =-<，(1)30f =>，所以，()0f t =在区间(0,1)上有解，即(*)式方程有解，
故存在椭圆C ，使线段OP 被直线AF 垂直平分．…………………………16分 20．（1）函数()f x 的定义域为R ，
因为22()cos()()1cos 1()f x x a x x ax f x -=-+--=+-=，
所以函数()f x 是偶函数． ……………………………………3分 （2）当1a =时，2()cos 1f x x x =+-，则'()sin 2f x x x =-+，
令()'()sin 2g x f x x x ==-+，则'()cos 20g x x =-+>，所以'()f x 是增函数，
又'(0)0f =，所以'()0f x ≥，所以()f x 在[0，π]上是增函数， 又函数()f x 是偶函数，
故函数()f x 在[-π，π]上的最大值是π2-2，最小值为0．…………………………8分 （3）'()sin 2f x x ax =-+，
令()'()sin 2g x f x x ax ==-+，则'()cos 2g x x a =-+，
①当1
2a ≥时，'()cos 20g x x a =-+≥，所以'()f x 是增函数，
又'(0)0f =，所以'()0f x ≥，所以()f x 在[0，+∞)上是增函数， 而(0)0f =，()f x 是偶函数，
故()0f x ≥恒成立．………………………………………12分
②当1
2a -≤时，'()cos 20g x x a =-+≤，所以'()f x 是减函数，
又'(0)0f =，所以'()0f x ≤，所以()f x 在(0，+∞)上是减函数，
而(0)0f =，()f x 是偶函数，所以()0f x <，与()0f x ≥矛盾，故舍去．………14分
③当11
22a -<<时，必存在唯一0x ∈(0，π)，使得0'()0g x =，
因为'()cos 2g x x a =-+在[0，π]上是增函数，
所以当x ∈(0，x 0)时，'()0g x <，即'()f x 在(0，x 0)上是减函数，
又'(0)0f =，所以当x ∈(0，x 0)时，'()0f x <，，即()f x 在(0，x 0)上是减函数， 而(0)0f =，所以当x ∈(0，x 0)时，()0f x <，与()0f x ≥矛盾，故舍去．
综上，实数a 的取值范围是[1
2，+∞)． ………………………………………16分
江苏徐州、淮安、连云港、宿迁四市2015--2016学年度第一学期高三期中抽测数学试题数学Ⅱ参考答案及评分标准
21．【选做题】．
A ．因为1,3EG GA ==,所以4EA EG GA =+=,又因为错误！未找到引用源。， 则错误！未找到引用源。，又3E
B EF =，所以错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。， ……………………4分
连结（错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，
所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。， 所
以
错
误
！
未
找
到
引
用
源
。
四
点
共
圆． ……………………8分
所以错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，2CE CF EF =-=． 错误！未找到引用源。………10分
B ．222y xy -??=??+??A α，24y y +??
=??-??B α， ……………………4分
由A α=B α得22224y y xy y -=+??+=-?
，
，解得142x y =-=，．
……………………10分 C ．由2sin 2cos ρθθ=-，可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ，
所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ， 标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2． 直线l 的方程为化成普通方程为x －y ＋1＝0． ……………………4分
圆心到直线l 的距离为d =
，
所求弦长L = ……………………10分 D ．要证错误！未找到引用源。，只需证错误！未找到引用源。，
只需证错误！未找到引用源。， ……………………6分 而错误！未找到引用源。，
从而原不等式成立． ……………………10分
22．（1）选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为1121
233321C C C C ??+=种．…3分
（2）X 的可能取值为0,1,2,3． ………………5分
23225431(0)10620C P X C C ====?， 1121
233322
5423337
(1)10620
C C C C P X C C +??+====?， 21332254333
(3)10620
C C P X C C ?====
?， (2)1(0)(1)(3)P X P X P X P X ==-=-=-=9
20
=
． ………………8分 X
179317
()01232020202010
E X =?+?+?+?=
． ………………10分 23．（1）将点(2,1)代入抛物线C 的方程得，2p =，
所以，抛物线C 的标准方程为24x y =．……………………4分
（2）设直线l 的方程为1y kx =-，又设1122(,),(,)A x y B x y ，则11(,)A x y '-，
由21,41,
y x y kx ?
=???=-? 得2440x kx -+=，则2121216160,4,4k x x x x k ?=->?=+=， 所以22
212121211244()4
A B
x x y y x x k x x x x '-
--===--+， 于是直线A B '的方程为2221
2()44x x x y x x --=-， ……………………8分 所以，221221
2()1444
x x x x x y x x x --=-+=+， 当0x =时，1y =，所以直线A B '过定点(0,1)． ……………………10分