1.Introduction to Transformers（引言）
EMTDC中使用变压器有两种方法：经典方法和统一的磁等效电路（unified magnetic equivalent circuit (UMEC)）方法。
经典方法用来模拟同一变压器铁芯上的绕组。也就是说，每一相都是独立的，各单相变压器之间没有相互作用。而UMEC方法计及了相间的相互作用：由此，可以对3相3臂或3相5臂式变压器构造进行精确的模拟。
每一模型中，铁芯的非线性特征是最基本的不同。经典模型中的铁芯饱和是通过对选定绕组使用补偿注入电流实现的。UMEC方法采用完全插值，采用分断线性化的?-I曲线来表征饱和特性。
2.Transformer Models Overview（变压器模型概述）
对电力系统进行电磁暂态分析过程中必然会出现变压器。PSCAD中有两种方法对变压器进行模拟：经典方法和UMEC方法。
经典方法仅限于单相设备，其中不同的绕组处于同一铁芯腿上。而UMEC方法，考虑到来铁芯的几何外形和相间的相互耦合因素。
除了以上的显著区别外，两种变压器模型之间最基本的区别是对铁芯非线性特性的描述。在经典模型中，非线性特性采用近似地基于“拐点”、“空心电抗”和额定电压的磁化电流曲线进行模拟。而UMEC模型则直接采用V-I曲线进行模拟。
与经典模型不同，UMEC模型没有配置在线分接头调整功能。但是，可以在指定绕组上设置分接头，不过分接头在仿真过程中不能动态调整。
3.1-Phase Auto Transformer（单相自耦变压器）
此组件基于经典方法模拟了单相自耦变压器。用户可以选择采用磁化支路（线性铁芯）或注入电流模拟磁化特性。理想情况下，可以忽略磁化支路，变压器即为理想模式，仅保留串联的漏抗。
4.3-Phase Star-Star Auto Transformer（三相星形连接的自耦变压
器）
此组件模拟了由3个单相构成的3相自耦变压器。用户可以选择采用磁化支路（线性铁芯）或注入电流模拟磁化特性。理想情况下，可以忽略磁化支路，变压器即为理想模式，仅保留串联的漏抗。
此组件有以下外部连接：
?Top left connection: 高压侧
?Top right connection: 低压侧
?Bottom left connection: 三相绕组的星形连接点
其连接方式如下图所示:
5.Modeling Autotransformers（模拟自耦变压器）
在PSCAD中，除了可直接使用上述的自耦变压器模型外，用户还可以借助现有的具有合适分接头的变压器分模型可自己构造自耦变模型。
如下图所示，其为单相自耦变的等效电路，使用了经典的单相变压器组件，其分接头位于二次侧（这是模拟自耦变的可行方法）。分接头可以设定一个较大的运行范围。
按如图所示构造的自耦变模型与实际的自耦变模型相比，在使用上有一些注意事项：
?
以上构造精确模拟了自耦变分接头在100%设定值时的情况。
? 分接头设定值的改变通过变压器匝数比的改变来模拟。分接头位于100％位置时的单位标么电抗和磁化电流用于计算新的电压变比（对应分接头位于其它位置）下的导纳。磁化支路（非理想变压器）置于两个绕组电抗之间。
比如，如果忽略磁化电流，二次绕组带有分接头的导纳阵计算如下：
这里：
212L L a L =+，是从绕组1看去的绕组1和2之间的漏抗；
111
222
L V a L V =
=，变比； T=二次侧绕组分接头设定值。
如果计及磁化电流，表达式于上类似不过更为复杂。
6.Classical（经典模型）
6.11-Phase 2-Winding Transformer（单相两绕组变压器）
本组件基于经典模型构造方法模拟了单相两绕组变压器。用户可以选择采用磁化支路（线性铁芯）或注入电流模拟磁化特性。理想情况下，可以忽略磁化支路，变压器即为理想模式，仅保留串联的漏抗。
6.21-Phase 3-Winding Transformer（单相三绕组变压器）
本组件基于经典模型构造方法模拟单相三绕组变压器。用户可以选择采用磁化支路（线性铁芯）或注入电流模拟磁化特性。理想情况下，可以忽略磁化支路，变压器即为理想模式，仅保留串联的漏抗。
6.3 3-Phase 2-Winding Transformer（三相两绕组变压器）
本组件基于经典模型构造方法模拟三相两绕组变压器。用户可以选择采用磁化支路（线性铁芯）或注入电流模拟磁化特性。理想情况下，可以忽略磁化支路，变压器即为理想模式，仅保留串联的漏抗。
本组件可等效地由三个单相两绕组变压器连接构成，用户可以选择每侧绕组的互联形式，Y或Δ。经典模型中不考虑相间互感。如下图所示，即为使用单相变压器进行构
造的等效电路图。
6.4 3-Phase 3-Winding Transformer（三相三绕组变压器）
本组件基于经典模型构造方法模拟了三相三绕组变压器。用户可以选择采用磁化支路（线性铁芯）或注入电流模拟磁化特性。理想情况下，可以忽略磁化支路，变压器即为理想模式，仅保留串联的漏抗。
经典模型中不考虑相间的耦合。
6.5 3-Phase 4-Winding Transformer（三相四绕组变压器）
本组件基于经典模型构造方法模拟了三相四绕组变压器。用户可以选择采用磁化支路（线性铁芯）或注入电流模拟磁化特性。理想情况下，可以忽略磁化支路，变压器即为理想模式，仅保留串联的漏抗。
经典模型中不考虑相间的耦合。
6.6 The Classical Approach （经典方法）
解释互感理论可以两铁芯绕组为例进行说明。其如下图所示：
这里：
11L =绕组1 的自感； 22L =绕组2的自感； 12L =绕组1、2之间的互感。
1V 和2V 分别为绕组1和2两端的电压。考虑到绕组之间的互感，描述两侧绕组电压电
流关系的方程式如下所示：
(6.1)
为了求解绕组电流。需要将电感矩阵求逆：
(6.2)
这里：
对于紧密耦合的绕组，即缠绕在变压器同一铁芯臂上，其变比定义为两绕组的匝数比。对于理想变压器，即为初级绕组和次级绕组的电压比。对于理想变压器两侧绕组的电压1E 和2E ，有以下关系式成立：
(6.3)
和
(6.4)
使用以上变比a 的定义可将(6.1)改写成以下形式：
(6.5)
这里：
由此，方程(6.1)中的电感矩阵参数可通过标准的变压器测试得到，前提是电
流为正弦。任一绕组“x ”的自感为其它绕组开路时，绕组“x ”电压均方根值
Vx 与电流均方根值Ix 的比值。这也就是开路试验，此时的电流Ix 为磁化电流，自感Lxx 按下式给出：
(6.6)
这里，ω为测试中采用的弧频率。
类似地，两绕组“x ”和“y ”之间的互感可以通过对“x ”侧施加电压“y ”侧闭合，而其它绕组开路的方法得到。互感Lxy 定义如下：
x
xy y
V L I ω=
(6.7)
变压器通常不是以这种形式得到的。如图（2）所示的变压器等效电路，其参数L1、L2和L12通常是通过开路和短路试验得到。
例如我们忽略绕组的电阻，当绕组2短路（即V2=0）时，产生电流
()
1
12V L L ω+（假设122aL L ）。通过测量这一电流可以计算得到总的漏抗12L L +。类似地，当绕组2开路，绕组1流过的电流是
()
1
112V L aL ω+，而由此可得到112L aL +的值。
进行绕组2加电压、绕组1开路试验，可以得到222122
V
I a a L L =+ 。因此通
过开路试验，还可以得到额定变比a 。
PSCAD 基于开路磁化电流、漏抗和额定绕组电压计算电抗。为了解释如何获取EMTDC 所需的参数，以一个单相两绕组变压器为例进行说明。变压器数据如下表所示：
Parameter Description
Value
T MVA
Transformer single-phase MVA
100 MVA
f
Base frequency
60 Hz
X 1 Leakage reactance 0.1 pu NLL No load losses
0.0 pu V 1 Primary winding voltage (RMS) 100 kV I m1 Primary side magnetizing current 1 % V 2 Secondary winding voltage (RMS) 50 kV I m2
Secondary side magnetizing current
1 %
如果忽略绕组电阻，即可以通过短路试验得到12L L +的近似值。如下：
1
121
0.126.525base base Z L L mH ω+=
= (6.8)
这里，()
()
2
1100100base kV Z MVA = 为阻抗基准值。
由于没有其它可靠的数据，我们假定变比为额定变比：
100 2.050kV
a kV
=
=
(6.9)
一、二次绕组电流基准值，如下：
()()
12100 1.00.5100base base MVA I kA I kA kV =
==
(6.10)
由此，可以看到当一次绕组施加100kV 电压时的磁化电流如下：
11
221%1%m base m base I I I I ==
(6.11)
但从等值电路中可以得到以下表达式：
()()
212112221121m base m base L a L I V I V a L a L +=+ (6.12)
这里，
()()1
1121
221222base base m base base
m V L a L I V L a L I a
ωω=+=+ 。
因此，有：
122
211
m base m base I V I V a =
(6.13)
得到：
12L L =
(6.14)
通过比较方程(6.8)和(6.14)，可以得到1213.263L L mH ==，从方程(6.12)可以得到
1226.5119a L H = 。可以得到方程(6.1)中的参数如下：
1111226.5252H L L a L =+=
(6.15)
212
222
6.6313H L a L L a +=
= (6.16)
1213.2560H L =
(6.17)
互感矩阵求逆
以上讨论到互感系数K 趋近于1时，电感矩阵的逆阵中的元素会变得很大趋向于无穷大。这样以来，按不能再按方程(6.5)求取变压器电流。
过于小的磁化电流会导致方程病态情况出现。在这样的情况下，建议仅用漏抗模拟变压器而不再考虑磁化支路，如图3所示。这样的模型即为PSCAD 中的理想模型。
对于理想变压器，电流导数（即
1dI dt 和2dI
dt
）与电压之间的关系如方程 所示；此电流方程对应于任一侧的短路电流试验，另一侧施加电压源（注意：21I a I =- 始终成立，而电压1V 或2V 根据试验情形其中有一个为零）得到：
1122211I V a d I V a a dt L -????
??=??????-??????
(6.18)
这里：
212L L a L =+，是从绕组1看去的绕组1和2之间的漏抗；
111
222
L V a L V =
=，变比；
若同一铁芯上的绕组多于两个时，同样可以进行类似的分析，以得到理想变压器电压形式的变压器电流导数。但计算公式更为复杂，PSCAD 目前仅允许单个铁芯上有3个绕组。 绕组和铁芯损耗
对于理想变压器模型，磁化电流支路没有计及，需要单独另加。铁芯损耗用变压器每侧绕组的并联等值电阻来表示。为保持各绕组阻抗的均匀分布，每一绕组上的并联电阻大小是不同的，其值基于空载输入参数求得。
大多数研究中，铁芯和绕组损耗是可以忽略的，因为对结果的影响很小。传输线上的损耗要远大于变压器的。 铁芯饱和
大多数研究中，需要对铁芯饱和进行精确模拟。有两种方法：一是在绕组靠近铁芯处接入一个可变电抗；二是在绕组靠近铁芯处接入一个补偿电流。
在EMTDC 中使用的是补偿电流源法，因为这么做不需要在饱和时对子系统矩阵带来改变。对于单相两绕组变压器，使用如图5所示的电流源来模拟饱和。
图5
图中电流()S I t 是绕组电压()L V t 的函数。首先，磁通()S t Φ的定义有个前提，即假设电流()S I t 是等值电路中非线性饱和电抗()S L t 中的电流：
()()()S S S t I t L t Φ=
(6.19)
图6描述了方程(6.19)的非线性特性，图中磁通是电流的函数。空芯电抗A
L 特性由直线描述，交磁通轴于K Φ。实际的饱和特性由曲线M L 表征，是纵轴和空芯电抗特性A L 的渐近线。图中，M Φ和M I 是特性曲线的拐点，为额定电压下的磁通峰值和电流。如果已知A L 、K Φ、M Φ和M I ，则对非线性饱和电抗S L 中的电流可以列出渐进方程，电流S I 定义如下：
()
2
42S K A S K S A
K
D L D
I L Φ-Φ++Φ-Φ=
-
Φ (6.20)
这里：
242B B A C D A
---=
2
A
K
L A =
Φ
A M M
K
L I B -Φ=
Φ
()M A M M K C I L I =-Φ+Φ
如下方程所示，磁通()S t Φ由绕组电压()L V t 的积分决定：
()()S L t V t dt Φ=?
(6.21)
如此模拟互感绕组的饱和特性是一近似方法。相关文献中有许多更精确的饱和模型，但是其在实际情况中也有缺点，比如饱和曲线拐点之上的部分的数据不容易得到，从而导致数据的不可靠。还有就是变压器芯与绕组的尺寸及其相关的其它数据也不好得到。
在以下研究领域中成功地应用了上述的简单模型：
?
1200 MVA ，500 kV 自耦变为选择合闸电阻所进行的充电研究。采用此模型得到的励磁涌流与实际系统测试结果很接近。 ? 直流线路交流换流器母线基频过电压研究。. ? 铁芯饱和不稳定性研究，采用此模型得到的结果与实际系统中的相应非常接近。
为解释上述处理饱和的过程，图7总结了方程(6.20)和(6.21)的使用方法。
空芯电抗
图6中的空芯电抗A L 在变压器研究中并不为大家所熟知。经验作法是空芯电抗大约是漏抗的两倍。
例如，三绕组变压器的第三绕组考虑饱和效应，此时空芯电抗的比较合理的值是HT X （24％）。于是，从第三绕组看去，空芯电抗为24％，从低压绕组看去其为38％，从高压绕组看去其为48％或为漏抗HT X 的两倍。
饱和曲线的拐点有时是可靠的，其通常为额定电压下运行点的百分比形式或标么值形式。标么值的典型范围是1.15～1.25，参照图6有以下方程成立：
K M K Φ=Φ
(6.22)
这里，1.15 1.25K <<。
如果M V 为绕组饱和时的电压有效值，则M Φ为：
4.44M
M R
V F Φ=
(6.23)
这里，R F 是额定频率，单位Hz 。
方程(6.19)～(6.23)是模拟变压器饱和的近似方法，构成了EMTDC子程序TSAT21的基础。
6.7 More on Classical Transformers（关于经典变压器模型的更多内容）
这一部分主要探讨一些变压器经典模型的细节问题。
在线分接头调整
所有变压器组件都配备有在线分接头。当选择分接头后，变压器组件的图形界面上会出现一条对角线，并带“Tap”标签。
用变压器变比的改变模拟分接头的调整。标么漏抗和磁化电流是分接头位于100％位置时的值，可以用其计算不同分接头位置下的导纳值。
连续改变分接头是可能的，但是需要在每一时间步长里对网络重新求解。在多个步长后改变分接头更为实际，或者通过slider和rotary switch或者是有一定延时的控制器来手动调整。
调整饱和特性
经典模型中对绕组的饱和特性是通过在相应绕组上补偿电流源实现的，补偿电流源的大小基于绕组测量电压和变压器组件的输入参数。
直接影响变压器饱和特性的输入参数有以下这些：
空芯电抗
?拐点
?磁化电流
这三个参数都在变压器组件饱和参数部分的相应选项中。它们即可刻画铁芯如下图的特性。
Air Core Reactance
调整这一参数影响图中渐近线的斜率。
Knee Voltage
调整这一参数影响图中渐近线在Y轴上的截距。
Magnetizing Current
= 1.0 pu的直线影响拐点的水平位置。也就是说，随调整这一参数，会沿着V
S
着磁化电流的变大，趋向于将饱和特性曲线变得和缓。
7.UMEC（统一磁等效电路法）
7.1 1-Phase 2-Winding UMEC Transformer（单相两绕组UMEC变压器
模型）
本组件基于UMEC模型构造方法模拟了单相两绕组变压器。用户可以选择直接采用I-V曲线模拟铁芯饱和特性。理想情况下，可以忽略磁化支路，变压器即为理想模式，仅保留串联的漏抗。铁芯的一些元件（即铁芯类型、束扼和绕组臂的几何尺寸等等）数据也需要输入。
7.2 1-Phase 3-Winding UMEC Transformer（单相三绕组UMEC变压器模型）
本组件基于UMEC模型构造方法模拟了单相三绕组变压器。用户可以选择直接采用I-V曲线模拟铁芯饱和特性。理想情况下，可以忽略磁化支路，变压器即为理想模式，仅保留串联的漏抗。铁芯的一些元件（即铁芯类型、束扼和绕组臂的几何尺寸等等）数据也需要输入。
7.3 1-Phase 4-Winding UMEC Transformer（单相四绕组UMEC变压器模型）
本组件基于UMEC模型构造方法模拟了单相四绕组变压器。用户可以选择直接采用I-V曲线模拟铁芯饱和特性。理想情况下，可以忽略磁化支路，变压器即为理想模式，仅保留串联的漏抗。铁芯的一些元件（即铁芯类型、束扼和绕组臂的几何尺寸等等）数据也需要输入。
7.4 3/5 Limb UMEC Transformer（3/5臂UMEC变压器模型）
本组件基于UMEC模型构造方法模拟了三相3/5臂变压器。用户可以选择直接采用I-V曲线模拟铁芯饱和特性。理想情况下，可以忽略磁化支路，变压器即为理想模式，仅保留串联的漏抗。铁芯的一些元件（即铁芯类型、束扼和绕组臂的几何尺寸等等）数据也需要输入。
在这一模型里体现了相间的互相耦合。
7.5 The UMEC Approach（UMEC方法）
变压器的UMEC模型主要基于铁芯的几何特征。不同于变压器的经典模型，考虑了不同相之间以及同相不同绕组之间的磁耦合。
在PSCAD中，以下变压器铁芯机构的变压器需要采用UMEC模型：
1.单相但绕组数4个及以上；
2.三相三臂；
3.三相五臂。
基本建模方法
三相三臂变压器如图8所示：
图中6个绕组的电压电流之间的关系如下方程所示：
(7.1)
这里：
i R ＝绕组电阻；
i L =绕组自感；
ij M ＝绕组i 和j 的互感。
方程(7.1)中的i L 和ij M 的大小取决于铁芯尺寸、铁芯材料的磁特性和绕组的匝数。
矩阵元素的来源
一般来说，变压器铁芯的确切尺寸、绕组匝数和磁特性是不易得知的。UMEC 模型克服了这一缺点，其基于变压器的开路和短路试验数据求出上述矩阵中的各个元素。具有绕组1和3的铁芯如下图所示：
如果绕组3短路，其它绕组开路，绕组3中流过电流3I 。以下方程描述了电流和磁通之间的关系：
(7.2)
这里：
＝绕组臂的磁阻；
＝束轭的磁阻；
Lx，y=绕组臂和束轭的物理长度；
Ai＝绕组臂和束轭的截面积；
Pi＝绕组臂和束轭的磁导。
因此有：
(7.3) 绕组3的自感定义为：
(7.4) 绕组1和3之间的互感为：
(7.5) 对其它电抗也可以导出类似的形式。
铁芯饱和：
UMEC变压器模型对于铁芯饱和的处理与经典模型采用的方法不同：这里使用分断线性化技术来控制模型的等值支路电导。
将铁芯的非线性特性以分段线性化的V－I曲线直接加入到模型中，使得可以充分使用插值技术，从而可以计算出状态范围变化的精确时刻。