2012—2013学年度上学期高三一轮复习
数学单元验收试题（10）【新人教】
命题范围：概率与统计
（理科加“排列、组合、二项式定理以及随机变量分布列”）
说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟。
第Ⅰ卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本
大题共12个小题，每小题5分，共60分）。 1．（理）（1+2x ）3的展开式中，x 2的系数等于 （ ） A ．80 B ．40 C ．20 D ．10
（文）在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 （ ） A ．92 , 2 B ．92 , 2．8 C ．93 , 2 D ．93 , 2．8 2．（理）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠
送方法共有 （ ） A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种 （文）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11．5，15．5） 2 [15．5,19．5） 4 [19．5，23．5） 9 [23．5,27．5） 18 [27．5，31．5） 1l [31．5，35．5） 12 [35．5．39．5） 7 [39．5,43．5） 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5）的概率约是 （ ）
A ．
6
1
B ．
3
1
C ．
2
1
D ．
3
2 3．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么 （ ） A ．甲是乙的充分但不必要条件 B ．甲是乙的必要但不充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
4．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部
的概率等于 （ ）
A ．1
4
B ．13
C ．1
2
D ．23
5．在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰
三角形的概率为
（ ） A ．
17 B ．27 C ．3
7
D ．
4
7
6
由()()()()()2
2
n ad bc K -=算得，()22
110403020207.8K ??-?=≈．
参照附表，得到的正确结论是 （ ）
A ．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B ．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
7．（理）抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这些试验成功，则在10次试验中，成功次数ξ的期
望是 （ ）
A ．310
B ．955
C ．980
D ．950
（文）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学
生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4．6到5．0之间的学生数为b ，则a , b 的值分别为（ ） A ．0,27,78 B ．0,27,83 C ．2．7,78 D ．2．7,83
8．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，
则｜x －y ｜的值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．一项研究要确定是否能够根据施肥量预测作物的产量。这里的预报释变量是 （ ） A ．作物的产量 B ．施肥量 C ．试验者 D ．降雨量或其他解释产量的变量
10．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概
率等于 （ ） A ．
72 B ．83 C ．7
3
D ．
28
9
11．设（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘
法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是 （ ）
A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率
B ．x 和y 的相关系数在0到1之间
C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同
D ．直线l 过点(,)
x y
12．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调
查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整
个编号依次分为10段。如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ ）
A ．②、③都不能为系统抽样
B ．②、④都不能为分层抽样
C ．①、④都可能为系统抽样
D ．①、③都可能为分层抽样
第Ⅱ卷
二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。
13．（理）给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当4n ≤时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相
邻的着色方案如下图所示：
由此推断，当6n =时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种，（结果用数值表示）
（文）某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得
甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 分． 14．（理）一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方
体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是 。 （文）甲、乙、丙、丁四位同学去书店购买编号为１，２，３，４，…，１０的１０本不同的书，为节约起见，
他们约定每人只购买其中５本，再互相传阅，如果任两人均不能买全这１０本书，任３人均能买全这１０本书，其中甲购买数的号码是１，２，３，４，５，乙购买书的号码事５，６，７，８，９，丙购买书的号码是１，２，３，９，１０时，尉缭满足上述要求，丁应买的书的号码是 ． 15．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。
为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进
一步调查，则在[2500,3000)（元）月收入段应抽出 人。
0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001
4000
25001000月收入（元）
频率/组距
16．（理）某渔船要对下月是否出海做出决策，如出海后遇到好天气，可得收益6000元，如出海后天气变坏将损失
8000元，若不出海，无论天气如何都将承担1000元损失费，据气象部门的预测下月好天的概率为0．6，天气变坏的概率为0．4，则该渔船应选择_____________（填“出海”或“不出海”）． （文）两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边
4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共76分）。 17．（12
（1）依据这些数据画出散点图并作直线^
y ＝78＋4．2x ，计算
∑
=10
1i （y i －^
y i ）2；
（2）依据这些数据由最小二乘法求线性回归方程，并据此计算
∑=-10
1
2
^
)(i i i
y y
；
（3）比较（1）和（2）中的残差平方和
∑=-10
1
2
^
)(i i i
y y
的大小．
18．（12分）某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组。在参
加活动的职工中，青年人占42．5％，中年人占47．5％，老年人占10％。登山组的职工占参加活动总人数的
4
1
，且该组中，青年人占50％，中年人占
40％，老年人占10％。为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本。试确定 （Ⅰ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； （Ⅱ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。
19．（12分）（理）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布(70,100)N 。已知成绩
在90分以上（含90分）的学生有12名。 （Ⅰ）、试问此次参赛学生总数约为多少人？
（Ⅱ）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标
准正态分布表00()()x P x x Φ=<
3
（文）某电信部门执行的新的电话收费标准中，其中本地网营业区内的通话费标准：前3分钟为0．20元（不足3分钟按3分钟计算），以后的每分钟收0．10元（不足1分钟按1分钟计算。）在一次实习作业中，某同学调查
（1）在上表中填写出各人应缴的话费；
。问这五人这天的实际平均通话费与原通话标准下算出的平均通话费相比，是增多了还是减少了？增或减了多少？
20．（12分）设人的某一特征（如眼睛大小）是由他的一对基因决定的,以d表示显性基因，r表示隐性基因，则具有dd基因的人为纯显性，具有rr基因的人为纯隐性，具有rd基因的人为混合性，孩子从父母身上各得一个基因，假定父母都是混合性，求：（1）孩子为纯显性的概率；（2）孩子为纯隐性的概率；（3）孩子为混合性的概率．
21．（14分）（理）袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为1
,7
现有甲、乙两人从袋中轮流摸
取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数． （I ）求袋中所有的白球的个数； （II ）求随机变量ξ的概率分布； （III ）求甲取到白球的概率．
（文）每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6).
（I ）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率； （II ）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率； （III ）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。 22．（14分）（理）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于
102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：
（I ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；
（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为
2,942,941024,102t y t t -
=≤
从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元）．求X 的分布列及数学期 望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概 率）．
（文）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X
表示。
（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y=17时的概率。
（注：方差
()()
()
2
2
2
2
12
1n s x x x
x
x x n ??=-+-++-?
??? ，
其中x 为1x ，2x ，…… n x 的
平均数）
参考答案
一、选择题 1．（理）B （文）B ；2．（理）B （文）B ；3．B ；4．D ；5．C ；6．C ；7．（理）D （文）A ；8．D ；9．A ；10．A ；
11．D ；12．C ； 二、填空题
13．（理）21、43（文）85；14．（理）94（文）{}10,8,7,6,4；15．25；16．（理）出海（文）35
1
； 三、解答题
17．解：（1）散点图与直线^
y ＝78＋4．2x 的图形如下图，
对x ＝1，3，…，13，有^
y i ＝82．2，90．6，94．8，94．8，103．2，111．6，120，120，124．2，132．6，
∑
=10
1
i （y i －^
y i ）2＝179．28．
（2）x ＝10
1
∑
=10
1
i x i ＝7，
l xx ＝
∑
=10
1i （x i －x ）2＝142，y ＝108，
l xy ＝
∑
=10
1
i （x i －x ）（y i －y ）＝568，
∴^
β1＝142568
=
xx
xy
l l ＝4，^β0＝ y －^
βx 1＝108－7×4
＝80，故^
y ＝80＋4x ．
^
y i ＝84，92，96，96，104，112，120，120，124，132，
∑
=10
1
i （y i －^
y i ）2＝170．
（3）比较可知，用最小二乘法求出的
∑
=10
1
i （y i －^
y i ）2较小．
18．解：（Ⅰ）设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a 、b 、c ，则有
%5.4743%40=+?x xb x ,%1043%10=+?x
xc
x ，解得b=50%,c=10%．
故a=100%－50%－10%=40%,即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40％、 50％、10％。
（Ⅱ）游泳组中，抽取的青年人数为3
20040%604
?
?=（人）；
抽取的中年人数为3
2004?
?50％＝75（人）； 抽取的老年人数为3
2004
??10％＝15（人）。
19．（理）解：（Ⅰ）设参赛学生的分数为ξ，因为ξ～N （70，100），由条件知，
P （ξ≥90）＝1－P （ξ<90）＝1－F （90）＝1－Φ)10
70
90(
-＝1－Φ（2）＝1－0．9772＝0．228． 这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2．28％，因此， 参赛总人数约为
0228
.012
≈526（人）。
（Ⅱ）假定设奖的分数线为x 分，则
P （ξ≥x ）＝1－P （ξ 50 ＝0．0951， 即Φ)1070( -x ＝0．9049，查表得10 70 -x ≈1．31，解得x ＝83．1． 故设奖得分数线约为83．1分。 （文）（1）0．20；0．60；1．0；0．9；0．50 （2）第1列：正；┯；一 第2列；5；2；1；10 第3列：0．5；0．2；0．1；1 第4列：0．7；0．9；1 （3）设这五人这天的实际平均通话费为1x 元，按原收费标准算出的平均通话费为2x 元，则 )(72.0)4.082.02(5 1 ),(64.0)50.0140.0230.0520.02(5121元元=?+?==?+?+?+?=x x ∴08.011=-x x （元）即这五人这一天的实际平均通话费比用原标准计算出的平均通话收费减少0．08元。 20．解：父、母的基因分别为rd 、rd ，则孩子从父母身上各得一个基因的所有可能性总数为C 1 2C 1 2=2×2=4． （1）孩子具有纯显性即具有dd 基因的可能性数为C 11C 1 1=1×1=1，故所求概率为 P 1=41 ． （2）孩子具有纯隐性即具有rr 基因的可能性数为 C 11C 1 1=1×1=1，故所求概率为 P 2=41 ． （3）孩子具有混合性即具有rd 基因的可能性数为C 11C 11+C 11C 1 1=1+1=2．故所求概率为 P 3=42=21． 21．解: （理）（I ）设袋中原有n 个白球,由题意知227 (1) 1(1)2767762 n n n C n n C --=== ?? 可得3n =或2n =-（舍去）即袋中原有3个白球． （II ）由题意,ξ的可能取值为1,2,3,4,5 3 (1);7 P ξ== ()432 2;767P ξ?===? 4326 (3);76535P ξ??===?? 43233 (4);765435P ξ???===??? 432131 (5);7654335 P ξ????===???? 所以ξ的分布列为: （III ）因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件A ,则 ()()()22()13535 P A P P P ξξξ==+=+== （文）（I ）设A 表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则655 ().666 P A ?==? 答：抛掷2次，向上的数不同的概率为5.6 （II ）设B 表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”。 向上的数之和为6的结果有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1) 5种， 55().6636 P B ∴= =? 答：抛掷2次，向上的数之和为6的概率为 5.36 （III ）设C 表示事件“抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次”，即在5次独立重复试验中，事件“向上的数为奇数”恰好出现3次， 165 32106310)(5 5==?=C P 。 22．（理）（Ⅰ）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质的平率为228 =0.3100+，所以用A 配方生产的产品的优 质品率的估计值为0．3． 由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为3210 0.42100+=，所以用B 配方生产的产品的优质品率 的估计值为0．42 （Ⅱ）用B 配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间 [)[)[]90,94,94,102,102,110的频率分别为 0．04，，054，0．42，因此 P （X=-2）=0．04， P （X=2）=0．54， P （X=4）=0．42， 即X X （文）（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， 所以平均数为 ; 435 410988=+++= 方差为 . 1611 ])43510()4359()4358()4358[(4122222=-+-+-+-=s （Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事 件有2种可能的结果，因此P （Y=17）= .8 1162= 高三《概率与统计》专题复习 一、常用知识点回顾 1、概率：古典概型n m = p （枚举法、列表法）；几何概型。 2、特征数：众数、中位数、平均数、方差的概念及其求法。 3、频率分布直方图、茎叶图。（1）在频率分布直方图中，各小组的频率等于小长方形的面积，且各小长形的面积之和等于1；（2）在频率分布直方图中，求众数、中位数、平均数的方法； 频率频数样本容量，样本容量频率，频数样本容量 频数 ）频率（÷=?== 3 4、回归分析。（1）回归直线必过样本中心点),(y x ;(2)求回归直线方程。（3）求相关系数，判断拟合效果。 5、独立性检验。填写22?列联表，并根据22?列联表求随机变量K 2 ，判断“两个随机变量有关”可能性大小。 二、题型训练 【例1】、某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率． 【练习1】、某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费, 并注册成为会员, 对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下： 次 消费次第第1次第2次第3次第4次5 收费比例10.950.900.850.80 该公司从注册的会员中, 随机抽取了100位进行统计, 得到统计数据如下: 消费次第第1次第2次第3次第4次第5次 频数60201055 假设汽车美容一次,公司成本为150元,根据所给数据,解答下列问题: （1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率; （2）某会员仅消费两次, 求这两次消费中,公司获得的平均利润; (3)设该公司从至少消费两次, 求这的顾客消费次数用分层抽样方法抽出8人,再从这8人中抽出2人发放纪念品,求抽出2人中恰有1人消费两次的概率. 【练习2】、2017年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所。交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车，就进行省籍询问一次，询问结果如图4所示： (Ⅰ)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？ (Ⅱ)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？(Ⅲ)在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求至少有1名驾驶人员是广西籍的概率. 高中数学《概率与统计》教学设计 课题:1.3抽样方法 教学目的:1理解什么是系统抽样 2.会用系统抽样从总体中抽取样 教学重点:系统抽样的概念及如何用系统抽样获取样本 教学难点:与简单随机抽样一样,系统抽样也属于等概率抽样,这是本节课的一个难点;当总体中的个体数不能被样本容量整除时,可先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体,使剩下的个体数能被样本容量整除,然后再按系统抽样进行,这时在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率仍然是相等的.这是本节课的又一难点授课类型:新授课 课时安排:1课时 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.在统计学里,我们把所要考察对象的全体叫做总体,其中的每一个考察对象叫做个体,从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本,样本中个体的数目叫做样本的容量.总体中所有个体的平均数叫做总体平均数,样本中所有个体的平均数叫做样本平均数. 2.简单随机抽样:设一个总体的个体数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样 3.⑴用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时,每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为 N 1;在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为N n;⑵简单随机抽样的特点是,逐个抽取,且各个个体被抽到的概率相等;⑶简单随机抽样方法,体现了抽样的客观性与公平性,是其他更复杂抽样方法的基础. 4.抽签法:先将总体中的所有个体(共有N个编号(号码可从1到N,并把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可用小球、卡片、纸条等制作,然后将这些号签放在同一个箱子里,进行均匀搅拌,抽签时每次从中抽一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本适用范围:总体的个体数不多时 高三数学第二轮专题复习：概率与统计 高考要求 概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容要充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法 重难点归纳 本章内容分为概率初步和随机变量两部分第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差 涉及的思维方法观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化主要思维形式有逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维 典型题例示范讲解 例1有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下 ［10，15］4 ［30，35)9 ［15，20)5 ［35，40)8 ［20，25)10 ［40，45)3 ［25，30)11 (1)列出样本的频率分布表(含累积频率)； (2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图 命题意图本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法 知识依托频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法 错解分析解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别 技巧与方法本题关键在于掌握三种表格的区别与联系 解 (1)由所给数据，计算得如下频率分布表 数据段频数频率累积频率 ［10,15) 4 0.08 0.08 ［15,20) 5 0.10 0.18 ［20,25)10 0.20 0.38 ［25,30)11 0.22 0.60 ［30,35)9 0.18 0.78 ［35,40)8 0.16 0.94 ［40,45) 3 0.06 1 总计50 1 (2)频率分布直方图与累积频率分布图如下 11 12 13 3 5 7 2 2 4 6 9 1 5 5 7 图1 统计与概率专题 一、知识点 1、随机抽样：系统抽样、简单随机抽样、分层抽样 1、用简单随机抽样从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男生被抽到的概率是( ) A ． 1001 B ．251 C ．5 1 D ． 5 1 2、为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为( ) A ．40 B ．30 C ．20 D ．12 3、某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人 C ．7人 D ．12人 2、古典概型与几何概型 1、一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是( ) A ．83 B ．32 C ．31 D ．4 1 2、如图所示，在正方形区域任意投掷一枚钉子，假设区域内每一点被投中的可能性相等，那么钉子投进阴影区域的概率为____________． 3、线性回归方程 用最小二乘法求线性回归方程系数公式1 2 211 ???n i i i n i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑，． 二、巩固练习 1、随机抽取某中学12位高三同学，调查他们春节期间购书费用（单位：元），获得数据的茎叶图如图1， 这12位同学购书的平均费用是（ ） A.125元 B.5.125元 C.126元 D.5.126元 2、200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，时速在[50,60) 的汽车大约有（ ） A .30辆 B . 40辆 C .60辆 D .80辆 3、某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师 的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其 他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 ______人． 4、执行下边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ． 0.04 0.030.020.01频率 组距时速8070605040开始 10n S ==， S p 达濠侨中高三数学（文科）第二轮复习题 概率与统计 一 选择题 1．(2015·新课标全国卷Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( ) A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显着 B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 2.为了解某社区居民的家庭收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( ) A ．11.4万元 B ．11.8万元 C ．12.0万元 D ．12.2万元 3.一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，若样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估计样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数共为( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．19 4. 【2015高考新课标文】如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） （A ） 310 （B ）15 （C ）110 （D ）1 20 5． 设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率（ ） A ．3142π+ B ． 112π+ C ．1142π- D ． 112π - 6.某班级有50名学生，现用系统抽样的方法从这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为1～50号，并按编号顺序平均分成10组（1～5号，6～10号，…，46～50号），若在第三组抽到的编号是13，则在第七组抽到的编号是（ ） A ．23 B ．33 C ．43 D ．53 7.在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等 《概率与统计》专项练习（解答题） 1．（2016全国Ⅰ卷，文19，12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机 器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损 零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）若n ＝19，求y 与x 的函数解析式； （Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易 损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 解：（Ⅰ）当x ≤19时，y ＝3800 当x ＞19时，y ＝3800＋500(x －19)＝500x －5700 ∴y 与x 的函数解析式为y ＝{3800， x ≤19 500x ?5700，x ＞19 (x ∈N ) （Ⅱ）需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7 ∴n 的最小值为19 （Ⅲ）①若同时购买19个易损零件 则这100台机器中，有70台的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800 ∴平均数为1 100(3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000 ②若同时购买20个易损零件 则这100台机器中，有90台的费用为4000，10台的费用为4500 ∴平均数为1 100(4000×90＋4500×100)＝4050 ∵4000＜4050 ∴同时应购买19个易损零件 2．（2016全国Ⅱ卷，文18，12分）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保 频数 10162024 概率与统计 概率 (1)多以选择题或填空题的形式直接考查互斥事件的概率及运算，而随机事件的有关概念现时频率很少直接考查； (2)互斥事件、对立事件发生的概率问题有时也会出现在解答题中，多为应用问题． 一 互斥事件、对立事件的概率 二 古典概型 三 几何概型 统计 1．统计中所学的内容是数理统计中最基本的问题，通过这些内容主要来介绍相关的统计思想和方法，了解一些有关统计学的基本知识，并能够应用几个基本概念、基本公式来处理实际生活中的一些基本问题． 2．统计案例为新课标中新增内容，主要是通过案例体会运用统计方法解决实际问题的思想和方法．增加了统计和统计案例后，使得高中数学的整个体系更加完善了，有利于开阔数学视野，丰富数学思想和方法． 【重点关注】 1．从对新课标高考试题的分析可以发现，主要考查抽样方法、各种统计图表、样本数字特征等．对这部分的考查主要以选择题和填空题的形式出现． 2．统计案例中的独立性检验和回归分析也会逐步在高考题中出现，难度不会太大，多数情况下是考查两种统计分析方法的简单知识，以选择题和填空题为主．注意体会运用统计方法解决实际问题的思想和方法 《全国新课程标准高考数学考试大纲》中对考生能力要求明确界定为空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识等六个方面，其中数据处理能力是首次提出的一个能力要求，这定义为：会收集数据、整理数据、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断．数据处理能力主要依据统计(高考考试大纲对知识点要求如下表所示)或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题，对统计的要求已提升到能力的高度． 注：利用图形来判断两个变量之间是否有关系，可以结合所求的数值来进行比较.作图应注意单位统一、图形准确，但它不能给出我们两个分类变量有关或无关的精确的可信程度，若要作出精确的判断，可以作独立性检验的有关计算. 基础篇 江西11．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为1p 和1p ，则 A ．1p ＝2p B ．1p ＜2p C ．1p ＞2p D ．以上三种情况都有可 能 考点：二项分布的概率 规律方法：通过间接法求概率，不等式判断的方法 解析：考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率． 概率与统计知识点总结（一）知识点思维导图 （二）常用定理、公式及其变形 1．用样本的数字特征估计总体的数字特征 （1）样本本均值：n x x x x n +++=Λ21 （2）样本标准差：n x x x x x x s s n 222212)()()(-++-+-==Λ （3）频率分布直方图估算样本众数、中位数、平均数 ①众数：最高小矩形中点值； ②中位数：先确定中位数所在小组，设中位数为m ，由直线x=m 两侧小矩形面积之和等于0.5列方程求m ． ③平均数：各小矩形中点值与其面积的积的和． 2．随机事件的概率及概率的意义 （1）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件； （2）概率定义：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例f n (A)=n n A 为事件A 出现的频率：对于给定的随机事 件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率． 3．概率的基本性质 （1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件 （2）若A∩B 为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥； （3）若A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件； （4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A∪B 为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B) 4．古典概型及随机数的产生 （1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性． （2）公式P （A ）=总的基本事件个数 包含的基本事件数A 5．几何概型及均匀随机数的产生 （1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）公式：P （A ）=积） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ． 6．随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示． 7．离散型随机变量的分布列：一般的，设离散型随机变量X 可能取的值为x 1，x 2，．．．．． ，x i ，．．．．．．，x n ． X 取每一个值 x i (i=1，2，．．．．．．）的概率P(ξ=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列 分布列性质： ∪ p i ≥0， i =1，2， … ； ∪ p 1 + p 2 +…+p n = 1． 高三数学概率统计知识 点归纳 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 概率统计知识点归纳 平均数、众数和中位数 平均数、众数和中位数．要描述一组数据的集中趋势，最重要也是最常见的方法就是用这“三数”来说明． 一、正确理解平均数、众数和中位数的概念 平均数平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化． 2．众数在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有时不唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个（或几个）数据就可以了．当一组数据中有数据多次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势． 3．中位数中位数就是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数（或处在最中间的两个数的平均数）．一组数据中的中位数是唯一的． 二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系 平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，但它们描述的角度和适用的范围又不尽相同．在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势，那得看数据的特点和要关注的问题． 三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题 由于平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以利用平均数、众数和中位数可以来解决现实生活中的问题． 极差、方差、标准差 极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围或波动大小的量. 极差 一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围,差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大. 二、方差 方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. 求一组数据的方差可以简记先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数.一组数据x1、x2、x3、…、xn 的平均数为x ，则该组数据方差的计算公式为： ])()()[(1222212x x x x x x n S n -++-+-= . 三、标准差 在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差. 即标准差=方差. 四、极差、方差、标准差的关系 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比较两组数据的波动大小.两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标 辅导讲义：概率与统计 一、知识回顾： 1、总体、个体、样本、样本容量： 总体：在统计中，所有考察对象的全体。 个体：总体中的每一个考察对象。 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本。 样本容量：样本中个体的数目。 2、统计的基本思想:用样本估计总体，即通常不直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的相应情况。 3、抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。 4、简单随机抽样：一般地，从个体为N烦人总体中逐个不放回地取出n个个体作为样本（n (3)随机数表是统计工作者用计算机生成的随机数，并保证表中的每个位置上的数字是等可能出现的。 8、抽签法—编号、制签、搅拌、抽取，关键是“搅拌”后的随机性；随机数表法—编号、选数、取号、抽取，其中取号的方向具有任意性。 9、简单随机抽样的特点： 它的总体个数有限的； 它是逐个地进行抽取； 它是一种不放回抽样； 它是一种等概率抽样． 10、系统抽样： 将总体平均分成几个部分，然后按照一定的规则，从每个部分中抽取一个个体作为样本，这样的抽样方法称为系统抽样。也可称为“等距抽样”。 注：如果个体总数不能被样本容量整除时该怎么办？ (1)随机将这1003个个体进行编号1，2，3，……1003。 (2)利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体(可以随机数表法),剩下的个体数1000能被100整除，然后按系统抽样的方法进行。 11、系统抽样的步骤： （1）采用随机的方式将总体中的 N 个体编号。 （2）整个的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔k 。当 n N （为总体中的个体的个数，n 为样本容 量）是整数时，取n N k = ；当n N 不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N '能被n 整 除，这时取n N k ' = ，并将剩下的总体重新编号； （3）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l ； （4）按照一定的规则抽取样本，通常将编号为k n l k l k l l )1(2-+++，，，， 的个体抽出。 12、简单随机抽样、系统抽样的特点是什么？ 简单随机抽样：①逐个不放回抽取；②等可能入样；③总体容量较小。 系统抽样：①分段，按规定的间隔在各部分抽取；②等可能入样；③总体容量较大。 13、分层抽样：一般地，当总体由差异明显几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较明显的几部分，然后按照各部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法 有限性 2020届高三数学复习《概率与统计》巩固训练学案 第1讲概率与统计 1. （2019石家庄检测）甲、乙两人8次测评成绩的茎叶图如图所示，由茎叶图知甲的成绩的平均数和乙的成绩的中位数分别是（） 甲乙 4 1 0\ 2 6 3 3 12 1 2 3 m 4 23J 4 （第 1 题） A. 21，22.5 B. 23，22.5 C. 21，22 D. 23，22 2. （2019厦门一模）如图所示是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述不正确的是（） A.2018年3月的销售任务是400台 B.2018年月销售任务的平均值不超过600台 C.2018年第一季度总销售量为830台 D.2018年月销售量最大的是6月份 3. （2019南昌一模）2021年广东新高考将实行3+ 1 + 2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选 一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式?今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假 若他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率等于__________ ? 4. （2019深圳二模）某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.若从每周使用时间在［15，20），［20，25），［25，30］三组内的学生中用分层抽样的方法选取进行访谈，则应从使用时间在［20，25）内的学生中选取的人数为_____________________________ ? 5. （2019芜湖三模）19世纪德国工程师勒洛发现了一种神奇“三角形”能够像圆一样当作轮子用，并将其命名为勒洛三角形?这种三角形是三个等半径的圆两两互相经过圆心，三个圆相交的部分就是勒洛三角形，如图所示?现从图中的勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ______________ ? 高中数学之概率与统计 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的 概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质 ?? ?? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算 ?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 例1． 在五个数字12345，，，，中，。 例2． 若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． [解答过程]0.3提示:13 35C 33. 54C 10 2P ===? 例2．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本， 则指定的某个个体被抽到的概率为 ． [解答过程]1 . 20提示: 51.10020P == 例3.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热 反应的概率为__________.（精确到0.01） [考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力. [解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为 33244555550.800.200.800.200.800.94 C C C ??+??+?=. 故填0.94. 离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……， ξ取每一个值i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表. 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1）0≥i P ，=i 1，2，…;（2）++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列： （1）二项分布 考点1：随机事件的概率（概率部分） 1．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” D.“至少有一个黑球”与“都是红球” 2. 我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示： 年降水量/mm ［100，150） ［150，200） ［200，250） ［250，300］ 概率 0.21 0.16 0.13 0.12 则年降水量在［200，300］（mm ）范围内的概率是___________. 考点2：古典概型 3．从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为（ ） A 、 31 B 、21 C 、3 2 D 、1 4.（2010辽宁文数）（13）三张卡片上分别写上字母 E 、E 、B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为 。 5. （2010山东文数）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. （Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率； （Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一 个球，该球的编号为n ，求2n m <+的概率. 考点3：几何概型 6．（2011年高考福建卷文科7)如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于（ ） A ． 14 B. 13 C. 12 D. 2 3 7.（2010湖南文数）在区间[-1,2]上随即取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为 考点4：分层抽样(统计部分) 8．（2011年高考福建卷文科4)某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D.12 概率与统计 概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，本课时就学生易犯错误作如下归纳总结： 类型一“非等可能”与“等可能”混同 例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率． 错解掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为P=1 11 剖析以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、 (4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36 种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为 ． 6”的概率为P=5 36 类型二“互斥”与“对立”混同 例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙 分得红牌”是（） A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对 立事件 D ．以上均不对 错解 A 剖析 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的 联系与区别主要体现在 ： (1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互 斥概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事 件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发 生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而 两事件对立则表示它们有且仅有一个发生． 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的 两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发 生，可能两个都不发生，所以应选C ． 类型三 “互斥”与“独立”混同 例3 甲投篮命中率为O ．8，乙投篮命中率为0.7，每人 投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少? 错解 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为 事件B ，则两人都恰好投中两次为事件A+B ， P(A+B)=P(A)+P(B)： 2222330.80.20.70.30.825c c ?+?= 剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成 专题10 概率与统计 1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8 【答案】C 【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ． 【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差 【答案】A 【解析】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<< 概率统计知识点归纳 平均数、众数和中位数 平均数、众数和中位数．要描述一组数据的集中趋势，最重要也是最常见的方法就是用这“三数”来说明． 一、正确理解平均数、众数和中位数的概念 1．平均数平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化． ２．众数在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有时不唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个（或几个）数据就可以了．当一组数据中有数据多次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势． ３．中位数中位数就是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数（或处在最中间的两个数的平均数）．一组数据中的中位数是唯一的． 二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系 平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，但它们描述的角度和适用的范围又不尽相同．在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势，那得看数据的特点和要关注的问题． 三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题 由于平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以利用平均数、众数和中位数可以来解决现实生活中的问题． 极差、方差、标准差 极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围或波动大小的量. 一、极差 一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围,差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大. 2017高考一轮复习统计概率专题 一．解答题（共16小题） 1．（2016?山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对， 则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互 不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求： （I）“星队”至少猜对3个成语的概率； （II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX． 2．（2016?天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会． （1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率； （2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．3．（2016?河北区三模）集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有 2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元． （Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率； （Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X 的分布列和期望． 4．（2016?唐山一模）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种， 方案一：每满200元减50元： 方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别） 红球个数 3 2 1 0 实际付款半价7折8折原价 （Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率； （Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？ 5．（2016?武汉校级模拟）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图． （1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在以下的人数； （2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据， 年级名次 1～50 951～1000 是否近视 近视41 32 2009届一轮复习概率与统计 高考要求: 概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容.要充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法. 重难点归纳: 本章内容分为概率初步和随机变量两部分.第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验.第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差. 涉及的思维方法:观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化. 主要思维形式有:逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维. 典型题例示范讲解: 例1有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下: ［10，15］4 ［30，35)9 ［15，20)5 ［35，40)8 ［20，25)10 ［40，45)3 ［25，30)11 (1)列出样本的频率分布表(含累积频率)； (2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图. 命题意图:本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法. 知识依托:频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法. 错解分析:解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别. 技巧与方法:本题关键在于掌握三种表格的区别与联系. 解 (2) 例2袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是3 1 ，从B 中摸出一个红球的概率为p ． (Ⅰ)从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． (i )求恰好摸5次停止的概率； (ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布率及数学期望E ξ． (Ⅱ)若A 、B 两个袋子中的球数之比为12，将A 、B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是 2 5 ，求p 的值． 命题意图:本题考查利用概率知识和期望的计算方法. 知识依托:概率的计算及期望的概念的有关知识. 错解分析:在本题中，随机变量的确定，稍有不慎，就将产生失误. 技巧与方法:可借助n 次独立重复试验概率公式计算概率. 解:(Ⅰ)（i ）22 24 1218 33381 C ???????= ? ????? (ii)随机变量ξ的取值为0，1，2，3，； 由n 次独立重复试验概率公式()() 1n k k k n n P k C p p -=-，得 ()5 05 132013243 P C ξ?? ==?-= ???； ()4 1511801133243P C ξ??==??-= ??? ()2 3 25 11802133243 P C ξ???? ==??-= ? ????? ()32 3511173133243 P C ξ????==??-= ? ????? （或()3280217 31243243 P ξ+?==- =） 随机变量ξ的分布列是 ξ的数学期望是: 32808017131012324324324324381 E ξ= ?+?+?+?=. (Ⅱ)设袋子A 中有m 个球，则袋子B 中有2m 个球.高三概率与统计专题复习
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