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安徽省巢湖市无为县开城中学2015届高三上学期第二次月考数学(理)试卷

2014-2015学年安徽省巢湖市无为县开城中学高三(上)第二次

月考数学试卷(理科)

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设集合 M={x|x2+x﹣6<0},N={x|1≤x≤3},则M∩N=()

A. [1,2) B. [1,2] C.(2,3] D. [2,3]

2.求函数f(x)=2x3﹣3x+1零点的个数为()

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3.三个数0.76,60.7,log0.76的大小关系为()

A. 0.76<log0.76<60.7 B. 0.76<60.7<log0.76

C. log0.76<60.7<0.76 D. log0.76<0.76<60.7

4.设f(x)=,则f(5)的值为()

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

5.直线y=kx+b与曲线y=ax2+2+lnx相切于点P(1,4),则b的值为()

A. 3 B. 1 C.﹣1 D.﹣3

6.已知△ABC的面积为,且b=2,c=,则∠A等于()

A. 30° B. 30°或150° C. 60° D. 60°或120°

7.若,则等于()

A. B. C. D.

8.函数y=sin2x的图象是由函数的图象()

A.向左平移个单位而得到 B.向左平移个单位而得到

C.向右平移个单位而得到 D.向右平移个单位而得到

9.在△ABC中,若sin2A=﹣,则sinA﹣cosA的值为()

A. B. C. D.

10.现有四个函数:①y=x?sinx;②y=x?cosx;③y=x?|cosx|;④y=x?2x的图象(部分)如下:

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是()

A.①④③② B.③④②① C.④①②③ D.①④②③

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.将答案填写在题中的横线上.)11.设函数f(x)=x(e x+ae﹣x)(x∈R)是偶函数,则实数a= .

12.已知=5.则sin2α﹣sinαcosα= .

13.设n∈N+,一元二次方程x2﹣4x+n=0有整数根的充要条件是n= .

14.由直线x=﹣,x=,y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为.

15.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,﹣π<φ<π),x∈R的部分图象,则下列命题中,正确命题的序号为

①函数f(x)的最小正周期为;

②函数f(x)的振幅为2;

③函数f(x)的一条对称轴方程为x=;

④函数f(x)的单调递增区间为[,];

⑤函数的解析式为f(x)=sin(2x﹣).

三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.已知tanα=2,,其中.

(1)求tan(α﹣β);

(2)求α+β的值.

17.已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx).

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)求出函数y=f(x)在区间[﹣,]上的单调递减区间.

18.已知函数f(x)=x3+mx2﹣m2x+1(m为常数,且m>0)有极大值9.

(Ⅰ)求m的值;

(Ⅱ)若斜率为﹣5的直线是曲线y=f(x)的切线,求此直线方程.

19.设,其中a为正实数

(Ⅰ)当a=时,求f(x)的极值点;

(Ⅱ)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.

20.已知函数f(x)=2cosxsin(x+)﹣.

(1)求函数f(x)的最小正周期T;

(2)若△ABC的三边a,b,c满足b2=ac,且边b所对角为B,试求cosB的取值范围,并确定此时f(B)的最大值.

21.如图所示,甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行,速度为15海里/小时,在甲船从A岛出发的同时,乙船从A岛正南40海里处的B岛出发,朝北偏东θ(tan

θ=)的方向作匀速直线航行,速度为10海里/小时.

(1)求出发后3小时两船相距多少海里?

(2)求两船出发后多长时间距离最近?最近距离为多少海里?

(3)两船在航行中能否相遇,试说明理由.

2014-2015学年安徽省巢湖市无为县开城中学高三(上)第二次月考数学试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设集合 M={x|x2+x﹣6<0},N={x|1≤x≤3},则M∩N=()

A. [1,2) B. [1,2] C.(2,3] D. [2,3]

考点:交集及其运算.

专题:集合.

分析:根据已知角一元二次不等式可以求出集合M,将M,N化为区间的形式后,根据集合交集运算的定义,我们即可求出M∩N的结果.

解答:解:∵M={x|x2+x﹣6<0}={x|﹣3<x<2}=(﹣3,2),

N={x|1≤x≤3}=[1,3],

∴M∩N=[1,2)

故选A

点评:本题考查的知识点是交集及其运算,求出集合M,N并画出区间的形式,是解答本题的关键.

2.求函数f(x)=2x3﹣3x+1零点的个数为()

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

考点:函数零点的判定定理.

专题:计算题.

分析:通过求导研究函数的单调性和极值与0的大小即可得到答案.

解答:解:f′(x)=6x2﹣3=0,x=±,

f(x)在(﹣∞,)上单调递增,在(﹣,)上单调递减,在(,+∞)上上单调递增,

所以当x=﹣时,f(x)取到极大值1+>0,

所以当x=时,f(x)取到极小值1﹣<0,

所以函数f(x)=2x3﹣3x+1零点的个数为3

故选C

点评:本题考查函数零点个数的判断,注意利用导数判断函数的单调性、极值在判断函数零点个数中的应用.

3.三个数0.76,60.7,log0.76的大小关系为()

A. 0.76<log0.76<60.7 B. 0.76<60.7<log0.76

C. log0.76<60.7<0.76 D. log0.76<0.76<60.7

考点:指数函数单调性的应用.

专题:计算题;转化思想.

分析:由对数函数的图象和性质,可得到log0.76<0,再指数函数的图象和性质,可得0.76<1,60.7>1从而得到结论.

解答:解:由对数函数y=log0.7x的图象和性质

可知:log0.76<0

由指数函数y=0.7x,y=6x的图象和性质

可知0.76<1,60.7>1

∴log0.76<0.76<60.7

故选D

点评:本题主要考查指数函数,对数函数的图象和性质,在比较大小中往往转化为函数的单调性或图象分面来解决.

4.设f(x)=,则f(5)的值为()

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

考点:分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值.

分析:欲求f(5)的值,根据题中给出的分段函数,只要将问题转化为求x≥10内的函数值即可求出其值.

解答:解析:∵f(x)=,

∴f(5)=f[f(11)]

=f(9)=f[f(15)]

=f(13)=11.

故选B.

点评:本题主要考查了分段函数、求函数的值.属于基础题.

5.直线y=kx+b与曲线y=ax2+2+lnx相切于点P(1,4),则b的值为()

A. 3 B. 1 C.﹣1 D.﹣3

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.

专题:导数的概念及应用.

分析:把切点P的坐标代入y=ax2+2+lnx求出a,再求函数导数并求出k,再把P(1,4)代入y=kx+b求b.

解答:解:∵点P(1,4)在曲线y=ax2+2+lnx上,

∴a+2=4,解得a=2,

由题意得,=,

∴在点P(1,4)处的切线斜率k=5,

把P(1,4)代入y=kx+b,得b=﹣1,

故选C.

点评:本题考查了导数的几何意义,某点处的切线的斜率是该点处的导数值,及切点在曲线上和切线上的应用.

6.已知△ABC的面积为,且b=2,c=,则∠A等于()

A. 30° B. 30°或150° C. 60° D. 60°或120°

考点:解三角形;正弦定理.

分析:由面积公式得,进而可求得,从而得解.解答:解:由面积公式得,∴,A=60°或120°,

故选D.

点评:本题主要考查正弦定理之下的三角形面积公式即特殊角的三角函数值,属于基础题.7.若,则等于()

A. B. C. D.

考点:诱导公式的作用;同角三角函数间的基本关系.

专题:三角函数的求值.

分析:由诱导公式和题意得cosα,再由诱导公式和平方关系化简并求sinα的值.

解答:解:∵,∴cosα=,

∴=sinα==,

故选D.

点评:本题考查了诱导公式和平方关系的应用,注意三角函数值的符号.

8.函数y=sin2x的图象是由函数的图象()

A.向左平移个单位而得到 B.向左平移个单位而得到

C.向右平移个单位而得到 D.向右平移个单位而得到

考点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

专题:三角函数的图像与性质.

分析:根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论.

解答:解:由于把函数y=sin2x的图象向左平移个单位,可得函数的图象,

故把函数的图象向右平移个单位可得函数y=sin2x的图象,

故选D.

点评:本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于中档题.

9.在△ABC中,若sin2A=﹣,则sinA﹣cosA的值为()

A. B. C. D.

考点:二倍角的正弦;同角三角函数间的基本关系.

专题:三角函数的求值.

分析:先利用二倍角的正弦函数公式把已知条件化简得到2sinAcosA的值,并根据其值得到A的范围,进而得到sinA﹣cosA的符号,然后把所求的式子平方后,利用同角三角函数间的基本关系化简后,将2sinAcosA的值代入即可求出值,根据sinA﹣cosA的符号,开方即可得到sinA﹣cosA的值.

解答:解:因为sin2A=2sinAcosA=﹣<0

得到cosA<0,所以A∈(,π),sinA﹣cosA>0,

则(cosA﹣sinA)2=1﹣2sinAcosA=1+=,

所以sinA﹣cosA=

故选:A.

点评:此题考查学生灵活运用二倍角正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值,是一道中档题.学生做题时应注意判断所求式子的符号.

10.现有四个函数:① y=x?sinx;②y=x?cosx;③y=x?|cosx|;④y=x?2x的图象(部分)如下:

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是()

A.①④③② B.③④②① C.④①②③ D.①④②③

考点:函数的图象.

专题:函数的性质及应用.

分析:从左到右依次分析四个图象可知,第一个图象关于Y轴对称,是一个偶函数,第二个图象不关于原点对称,也不关于Y轴对称,是一个非奇非偶函数;第三、四个图象关于原点对称,是奇函数,但第四个图象在Y轴左侧,图象都在x轴的下方,再结合函数的解析式,进而得到答案.

解答:解:分析函数的解析式,可得:

①y=x?sinx为偶函数;

②y=x?cosx为奇函数;

③y=x?|cosx|为奇函数,

④y=x?2x为非奇非偶函数

且当x<0时,③y=x?|cosx|≤0恒成立;

则从左到右图象对应的函数序号应为:①④②③

故选:D.

点评:本题考点是考查了函数图象及函数图象变化的特点,解决此类问题有借助两个方面的知识进行研究,一是函数的性质,二是函数图象要过的特殊点.

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.将答案填写在题中的横线上.)11.设函数f(x)=x(e x+ae﹣x)(x∈R)是偶函数,则实数a= ﹣1 .

考点:函数奇偶性的性质.

专题:函数的性质及应用.

分析:由函数是偶函数,直接用特殊值求解即可

解答:解:因为函数f(x)=x(e x+ae﹣x)(x∈R)是偶函数,

所以g(x)=e x+ae﹣x为奇函数

由g(0)=0,得a=﹣1.

故答案是﹣1

点评:考查函数的奇偶性的应用及填空题的解法.

12.已知=5.则sin2α﹣sinαcosα= .

考点:同角三角函数间的基本关系.

专题:三角函数的求值.

分析:将已知等式左边分子分母同时除以cosα,利用同角三角函数间的基本关系弦化切后,求出tanα的值,将所求式子的分母1变形为sin2α+cos2α,然后分子分母同时除以cos2α,利用同角三角函数间的基本关系弦化切后,将tanα的值代入即可求出值.

解答:解:依题意得:=5,∴tanα=2,

∴sin2α﹣sinαcosα====.

故答案为:

点评:此题考查了同角三角函数间的基本关系,熟练掌握基本关系是解本题的关键.

13.设n∈N+,一元二次方程x2﹣4x+n=0有整数根的充要条件是n= 3或4 .

考点:充要条件;一元二次方程的根的分布与系数的关系.

专题:简易逻辑.

分析:由一元二次方程有实数根?△≥0得n≤4;又n∈N+,则分别讨论n为1,2,3,4时的情况即可.

解答:解:一元二次方程x2﹣4x+n=0有实数根?(﹣4)2﹣4n≥0?n≤4;

又n∈N+,则n=4时,方程x2﹣4x+4=0,有整数根2;

n=3时,方程x2﹣4x+3=0,有整数根1,3;

n=2时,方程x2﹣4x+2=0,无整数根;

n=1时,方程x2﹣4x+1=0,无整数根.

所以n=3或n=4.

故答案为:3或4.

点评:本题考查一元二次方程有实根的充要条件及分类讨论的策略.

14.由直线x=﹣,x=,y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为.

考点:定积分在求面积中的应用.

专题:计算题.

分析:根据余弦函数的对称性,用定积分表示出封闭图形的面积,再进行计算即可.

解答:解:根据余弦函数的对称性可得,直线,,y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为

2=2sinx=

故答案为:

点评:本题考查利用定积分求面积,解题的关键是确定被积区间与被积函数,属于中档题.

15.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,﹣π<φ<π),x∈R的部分图象,则下列命题中,正确命题的序号为

③⑤.

①函数f(x)的最小正周期为;

②函数f(x)的振幅为2;

③函数f(x)的一条对称轴方程为x=;

④函数f(x)的单调递增区间为[,];

⑤函数的解析式为f(x)=sin(2x﹣).

考点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

专题:综合题;压轴题.

分析:通过函数的图象,求出T,求出ω,然后求出A,判断①②的正误;利用

x==,判断③的正误;利用函数的单调性判断④的正误;通过特殊点求出φ,判断⑤的正误即可.

解答:解:由图象可知,函数f(x)的最小正周期为(﹣)×2=π,故①不正确;函数f(x)的振幅为,故②不正确;

函数f(x)的一条对称轴方程为x==,故③正确;

④不全面,函数f(x)的单调递增区间应为[+2kπ,+2kπ],k∈Z;

⑤由sin(2×+φ)=得2×+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=2kπ﹣,k∈Z,

∵﹣π<φ<π,故k取0,从而φ=﹣,故f(x)=sin(2x﹣).

故答案为:③⑤

点评:本题是基础题,考查三角函数的图象,求解函数的解析式的方法,函数的基本性质的应用,考查计算能力,逻辑推理能力,是常考题型.

三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.已知tanα=2,,其中.

(1)求tan(α﹣β);

(2)求α+β的值.

考点:两角和与差的正切函数.

专题:计算题.

分析:(1)直接利用两角差的正切公式,求解tan(α﹣β);

(2)利用(1)讨论α+β的范围,然后求出角的值.

解答:解:(1)∵tanα=2,,

∴.….(5分)

(2)∵,….(7分)

又∵,

∴,在与之间,只有的正切值等于1,

∴.….(10分)

点评:本题考查两角差的正切公式的应用,注意角的范围是解题的关键,考查计算能力.

17.已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx).

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)求出函数y=f(x)在区间[﹣,]上的单调递减区间.

考点:二倍角的余弦;复合三角函数的单调性.

专题:三角函数的求值.

分析:(1)f(x)解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简,再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,找出ω的值,代入周期公式即可求出最小正周期;

(2)由x的范围确定出2x﹣的范围,利用正弦函数的单调性求出f(x)在区间[﹣,

]上的单调递减区间即可.

解答:解(1)f(x)=2sin2x+2sinxcosx=2×+sin2x=1+sin2x﹣cos2x=1+sin (2x﹣),

∵ω=2,∴T==π,

则f(x)的最小正周期为π;

(2)∵x∈[﹣,],

∴2x﹣∈[﹣,],

令﹣≤2x﹣≤﹣或≤2x﹣≤,

解得:﹣≤x≤﹣或≤x≤,

则函数y=f(x)在区间[﹣,]上的单调递减区间为[﹣,﹣]∪[,].

点评:此题考查了二倍角的正弦函数公式,两角和与差的正弦函数公式,以及正弦函数的单调性,熟练掌握公式是解本题的关键.

18.已知函数f(x)=x3+mx2﹣m2x+1(m为常数,且m>0)有极大值9.

(Ⅰ)求m的值;

(Ⅱ)若斜率为﹣5的直线是曲线y=f(x)的切线,求此直线方程.

考点:函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程;直线的一般式方程.

专题:计算题.

分析:(I)求出导函数,求出导函数等于0的两个根,列出x,f′(x),f(x)的变化情况的表格,求出极大值,列出方程求出m的值.

(II)将(I)求出的m的值代入导函数,利用曲线在切点处的导数值是切线的斜率,令导数等于﹣5,求出x即切点横坐标,将横坐标代入f(x)求出切点坐标,利用直线方程的点斜式写出切线方程.

解答:解:(Ⅰ)f’(x)=3x2+2mx﹣m2=(x+m)(3x﹣m)=0,则x=﹣m或x=m,

当x变化时,f’(x)与f(x)的变化情况如下表:

x (﹣∞,﹣m)﹣m (﹣m,)()

f'(x) + 0 ﹣ 0 +

f(x)递增极大值递减极小值递增

从而可知,当x=﹣m时,函数f(x)取得极大值9,

即f(﹣m)=﹣m3+m3+m3+1=9,∴m=2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x3+2x2﹣4x+1,

依题意知f’(x)=3x2+4x﹣4=﹣5,∴x=﹣1或x=﹣.

又f(﹣1)=6,f(﹣)=,

所以切线方程为y﹣6=﹣5(x+1),或y﹣=﹣5(x+),

即5x+y﹣1=0,或135x+27y﹣23=0.

点评:本题考查利用导数求函数的极值的步骤:求出导数;令导数为0求出根;列出表格判断根左右两边导函数的符号;求出极值.考查导数的几何意义:导数在切点处的值是曲线的切线斜率.

19.设,其中a为正实数

(Ⅰ)当a=时,求f(x)的极值点;

(Ⅱ)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.

考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;一元二次不等式的解法.专题:计算题.

分析:(Ⅰ)首先对f(x)求导,将a=代入,令f′(x)=0,解出后判断根的两侧导函

数的符号即可.

(Ⅱ)因为a>0,所以f(x)为R上为增函数,f′(x)≥0在R上恒成立,转化为二次函数恒成立问题,只要△≤0即可.

解答:解:对f(x)求导得

f′(x)=e x …①

(Ⅰ)当a=时,若f′(x)=0,则4x2﹣8x+3=0,解得

结合①,可知

所以,是极小值点,是极大值点.

(Ⅱ)若f(x)为R上的单调函数,则f′(x)在R上不变号,

结合①与条件a>0知ax2﹣2ax+1≥0在R上恒成立,

因此△=4a2﹣4a=4a(a﹣1)≤0,由此并结合a>0,知0<a≤1.

点评:本题考查求函数的极值问题、已知函数的单调性求参数范围问题,转化为不等式恒成立问题求解.

20.已知函数f(x)=2cosxsin(x+)﹣.

(1)求函数f(x)的最小正周期T;

(2)若△ABC的三边a,b,c满足b2=ac,且边b所对角为B,试求cosB的取值范围,并确定此时f(B)的最大值.

考点:三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值.

专题:综合题.

分析:(1)先根据两角和与差的正弦公式进行化简,再由最小正周期T=可得到答案.

(2)先根据余弦定理表示出cosB,再将b2=ac代入运用基本不等式的内容可确定cosB的范围,进入可确定B的范围,然后将B代入函数f(x)中,根据B的范围求出f(B)的最大值.

解答:解:(1)f(x)=2cosx?sin(x+)﹣

=2cosx(sinxcos+cosxsin)﹣

=2cosx(sinx+cosx)﹣

=sinxcosx+?cos2x﹣

=sin2x+?﹣

=sin2x+cos2x

=sin(2x+).

∴T===π.

(2)由余弦定理cosB=得,cosB=

=﹣≥﹣=,∴≤cosB<1,

而0<B<π,∴0<B≤.函数f(B)=sin(2B+),

∵<2B+≤π,当2B+=,

即B=时,f(B)max=1.

点评:本题主要考查两角和与差的正弦公式的应用和余弦定理的表达式的应用.考查基础知识的综合应用.三角函数的内容公式比较多,不容易记,一定要强化记忆并能熟练应用.

21.如图所示,甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行,速度为15海里/小时,在甲船从A岛出发的同时,乙船从A岛正南40海里处的B岛出发,朝北偏东θ(tan

θ=)的方向作匀速直线航行,速度为10海里/小时.

(1)求出发后3小时两船相距多少海里?

(2)求两船出发后多长时间距离最近?最近距离为多少海里?

(3)两船在航行中能否相遇,试说明理由.

考点:解三角形的实际应用.

专题:应用题.

分析:(1)以A为原点,BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1,y1)、Q(x2,y2)处.则根据题意可分别表示出x1和y1,进而根据由tanθ=可求得cosθ和sinθ的值,进而表示出x2和y2,令t=3,则P,Q两点坐标

可得,进而根据两点间的距离求得PQ的值,即出发后3小时两船相距的距离.

(2)根据(1)可根据两点间的距离求得QP,进而根据t的范围求得PQ的最小值,进而可求得两船出发4小时后距离最近,最近距离为20海里.

(3)根据(2)可知两船之间的最近距离为20海里,推断出两船不可能相遇.

解答:解:以A为原点,BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.

设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1,y1)、Q(x2,y2)处.

由tanθ=可得,

cosθ=,sinθ=,

(1)令t=3,P、Q两点的坐标分别为(45,45),(30,20),

|PQ|===5.

即出发后3小时两船相距5海里.

(2)由(1)的解法过程易知:

|PQ|=

=

==≥20,

∴当且仅当t=4时,|PQ|取得最小值20.

即两船出发4小时后距离最近,最近距离为20海里.

(3)由(2)可知,两船之间的最近距离为20海里,所以两船在航行中不会相遇

点评:本题主要考查了解三角形问题的实际应用.考查了学生综合分析问题和解决的能力.

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