初中数学复习 第四讲——整式与分式
一、知识结构
说明：在本部分，代数式分为整式和分式讨论。在实数范围内，代数式分为有理 式和无理式，有理式分为整式和分式，整式分为单项式和多项式。
二、知识点梳理
1.代数式：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。 用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结 果叫做代数式的值。
2.单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式（单独 一个数也是单项式）；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数（包 括符号）；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
3.多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式；在多项式中的每个单项 式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；次数最高项的次数就 是这个多项式的次数。
4.整式：单项式、多项式统称为整式。
5.分式：两个整式A 、B 相除，即A ÷B 时，可以表示为A B
.如果B 中含有字母， 那么A B
叫做分式，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。 6.同类项：所含的字母相同，且相同的字母的指数也相同的单项式叫做同类项。 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项；一个多项式合并 后含有几项，这个多项式就叫做几项式。合并同类项的法则：把同类 项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变（合 并同类项，法则不能忘，只求系数代数和，字母指数不变样）。
7.整式的加减：整式的加减就是单项式、多项式的加减，可利用去括号法则和合 并同类项来完成整式的加减运算。去括号法则：括号前面是“+” 号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“—” 号，去掉“—”号和括号，括号里的各项都变号。（括号前面是“+” 代数式
分式
整式 分式的意义 分式的基本性质 分式的
运算（加、
减、乘、
除） 整数指数
幂的运算 整式的有关概念 整式的运算（加、减、乘、除、乘方） 因式分解
号，去掉括号不变号；括号前面是“—”号，去掉括号都变号。）
8.同底数幂的乘法：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
m n m +n a a =a ?.（m 、n 都是正整数）
9.幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即
()n m m n a =a .（m 、n 都是正整数）
10.积的乘方：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， 即
()n n n ab =a b .（n 为正整数）
11.整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘，把它们的系 数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它 的指数不变，也作为积的因式。
（2）单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式乘 以多项式的每一项，再把所得的积相加。
（3）多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多 项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得到的 积相加。
12.同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即
m n m n
a a a -÷=.（m 、n 是正整数且m ＞n ，a ≠0）. 任何不等于零的数的零次幂为1，即
()010a a =≠
13.整式的除法：（1）单项式除以单项式：两个单项式相除，把系数、同底数幂 分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则 连同它的指数作为商的一个因式。
（2）多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把多项式的每 一项除以单项式，再把所得的商相加。
14.分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式， 分式的值不变，即
A A M A N
B B M A N
?÷==?÷ 其中M 、N 为整式，且B ≠0，M ≠0，N ≠0.
15.约分：把一个分式的分子与分母中相同的因式约去的过程，叫做约分；
如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式 叫做最简分式；
化简分式时，如果分式的分子和分母都是单项式，约分时约去它们系数 的最大公因数、相同因式的最低次幂。如果分子、分母是多项式，先分 解因式，再约分。化简分式时要将分式化成最简分式或整式。
16.通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过 程叫做通分。
17.分式的运算：（1)分式的乘除：两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母 相乘的积作分母；分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒 位置后，再与被除式相乘。
用式子表示为：
,.A C A C B D B D A C A D A D B D B C B C
?=÷=?= (2)分式的加减：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减； 异分母分式相加减，先将它们通分，然后进行加减。
18.乘法公式：（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个 数的平方差，即
()()22
.a b a b a b +-=- （2）完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和， 加上（或减去）它们积的两倍，即
()()222222+2,2.a b a ab b a b a ab b =++-=-+
19.因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式 分解，也叫做把这个多项式分解因式。
（1）提取公因式法：（一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个 多项式的公因式。）如果一个多项式的各项含有公因式，那么 可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提取公因式 后的式子放在括号里，作为另一个因式，这种分解因式的方法 叫做提取公因式法。
提取的公因式应是各项系数的最大公因数（系数都是整数时） 与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。
（2）公式法：逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式 法。
①平方差公式：如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式， 那么就可以运用平方差公式把它因式分解，它等于这两个数 的和与这两个数的差的积。
②完全平方公式：如果一个多项式能写成两个数的平方和，加 上（或减去）这两个数的积的两倍，那么就可以运用完全平方 公式把它分解因式，它等于这两个数的和（或差）的平方。
（3）十字相乘法：如果二次三项式2x px q ++中的常数项q 能分解 成两个因数a 、b 的积，而且一次项系数p 又恰好是a+b ，那
么2x px q
++就可以进行如下的因式分解，即
()()()
22.
x px q x a b x ab x a x b
++=+++=++
一般的，上式可以用十字交叉线表示：
x +a
x +b
（4）分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
20.分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
一元方程的解也叫做方程的根，
在分式方程变形时，有时可能产生不适合原分式方程的根，这种根
叫做原分式方程的增根。
21.整数指数幂：为了使同底数幂相除的性质在m、n是正整数，且m＜n时仍
成立，规定
1
p
p
a
a
-=（其中a≠0，p是自然数）。
整数指数幂运算性质：
m n m+n
a a=a
?（m、n为整数，a≠0）
()n m m n
a=a（m、n为整数，a≠0）
()n n n
ab=a b（（n为整数，a≠0，b≠0）.
三、基本要求
1.理解用字母表示数的意义；理解代数式的有关概念。
2.通过列代数式，掌握文字语言与数学式子的表述之间的转换，领悟字母“代”数的数学思想；会求代数式的值。
3.掌握整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则，掌握平方差公式、两数和（差）的平方公式。
4.理解因式分解的意义，掌握提取公因式法、公式法、二次项系数为1时的十字相乘法、分组分解法等因式分解的基本方法。
5.理解分式的有关概念及其基本性质，掌握分式的加、减、乘、除运算。
6.理解正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，掌握有关整数指数幂的乘（除）、乘方等运算的法则。
说明：①在求代数式的值时，不涉及繁难的计算；
②不涉及繁难的整式运算，多项式除法中的除式限为单项式；
③在因式分解中，被分解的多项式不超过四项，不涉及添项、拆项等技巧；
④不涉及繁复的分式运算。
四、重点和难点
重点：整式与分式的运算，因式分解的基本方法，整数指数幂的运算。 难点：选择适当的方法因式分解及代数式的混合运算。
五、中考考点
考点1：代数式的有关概念
考核要求：（1）掌握代数式的概念，会判别代数式与方程、不等式的区别；
（2）知道代数式的分类及各组成部分的概念，如整式、单项式、 多项式；
（3）知道代数式的书写格式.注意单项式与多项式次数的区别.
例1 （1）下列选项中是代数式的是( )
A 38x y -
B 2
9x =
C 4x y +≥
D 5x y +=
（2）31-x 2y 的系数是 ，次数是
（3）221x x --是 次 项式。
（4）将2233241xy x y x y -++-按字母x 的降幂排列
分析：(1)用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数 式；(2)单项式的系数包括符号，次数是所有字母的指数的和；(3)次 数最高项的次数就是这个多项式的次数；（4）按x 的降幂排列，与y 无关，y 相当于是常数。
解：（1）A （2）13
- 3 （3）二 三 （4）3223241x x y xy y -++- 考点2：列代数式和求代数式的值
考核要求：（1）会用代数式表示常见的数量，会用代数式表示含有字母的简 单应用题的结果；
（2）通过列代数式，掌握文字语言与数学式子表述之间的转换；
（3）在求代数式的值的过程中，进行有理数的运算.
例2 （1）用代数式表示：
①比a 的3倍还多2的数；
②x 的立方根与2的和.
（2）当a=2，a=-3，a=12时，求代数式()312a a +的值。 解：（1）①3a+2 ②32x + （2） 9 9 98
考点3：整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则
考核要求：（1）掌握整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则；
（2）会用同底数幂的运算性质进行单项式的乘、除、乘方及简单 混合运算；
（3）会求多项式乘以或除以单项式的积或商；
（4）会求两个或三个多项式的积.
注意：要灵活理解同类项的概念.
例3 （1） 若3223m n x y x y -与 是同类项，则m + n ＝___________
（2）先化简，再求值：
22()()a a b a b +-+，其中2008a =，2007b =． (3)先化简，再求值：
223(2)()()a b ab b b a b a b --÷-+-，其中112
a b ==-，． （4）已知代数式2346x x -+的值为9，则2463
x x -+的值为_________ 分析：（1）知道同类项的概念；（2）（3）要求熟练掌握整式的运算性质；
（4）巧算。
解：（1）5 （2）1 （3）1 （4）7
考点4：乘法公式（平方差、两数和、差的平方公式）及其简单运用
考核要求：（1）掌握平方差、两数和（差）的平方公式；
（2）会用乘法公式简化多项式的乘法运算；
（3）能够运用整体思想将一些比较复杂的多项式运算转化为乘法 公式的形式.
注意：（1）熟记平方差与完全平方公式。（2）完全平方公式、平方差公式中 字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式.
例4 (1) =++))((d c b a ； （2）（a ＋b ）(a －b)＝ ；
(3) (a ＋b)2＝ ；(4)(a －b)2＝ .
（5）计算：102×98；()()2525x x +-； ()()()2224a a a +-+.
（6）计算：()223x y +；()2
a b c ++；()()22x y x y +--+.
解：（1）ac+ad+bc+bd （2）22a b - （3）222a ab b ++（4）222a ab b -+
（5）9996 ；2425x - ；416a - （6）224129x xy y ++；
222222a b c ab bc ac +++++；2244x y y -+-
考点5：因式分解的意义
考核要求：（1）知道因式分解的意义和它与整式乘法的区别；
（2）会鉴别一个式子的变形过程是因式分解还是整式乘法.
例5 在下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）.
（A ）22))((b a b a b a -=-+； （B ）2222)(b ab a b a ++=+；
（C ）)2(242223a b a b a b a -=+-； （D ）3)2(322--=--a a a a .
分析：因式分解与整式的乘法的过程正好相反。因式分解是从多项式变为几 个整式的积，而整式的乘法，是把整式的积化为一个多项式或单项式。 解：A
考点6：因式分解的基本方法（提取公因式法、分组分解法、公式法、二次项系 数为1的十字相乘法）
考核要求：掌握提取公因式法、公式法、分组分解法和二次项系数为1时的 十字相乘法等因式分解的基本方法.
例6 (1)下列分解因式正确的是（ ）
A ．)1(222--=--y x x x xy x
B ．)32(322---=-+-x xy y y xy xy
C ．2)()()(y x y x y y x x -=---
D ．3)1(32--=--x x x x
（2）分解因式32a ab -=
(3)分解因式221218x x -+=
（4）分解因式33222ax y axy ax y +-= ．
（5）将3214
x x x +-分解因式的结果是 ． （6）分解因式am an bm bn +++=_____ _____；
解：（1）C （2）()()a a b a b +- （3）()223x - （4）()2
axy x y - （5）2
12x x ??- ??
? （6）()()a b m n ++ 考点7：分式的有关概念及其基本性质
考核要求：（1）会求分式有无意义或分式为0的条件；
（2）理解分式的有关概念及其基本性质；
（3）能熟练地进行通分、约分.
例7 （1）若分式2242
x x x ---的值为零,则x 的值是( ) A.2或-2 B.2 C.-2 D.4
（2）当a 时，分式
321+-a a 有意义 （3）分式1
111x ++有意义的条件是
分析：（1）分子为零，而分母不为零；（2）（3）分母不为零。
解：（1）C （2）32
a ≠- （3）1x ≠-且2x ≠- 说明：（1）若要分式有意义，则分母不为零（每一个分母）；
（2）若要分式的值为零，则分子为零，且分母不能为零。
考点8：分式的加、减、乘、除运算法则
考核要求：（1）掌握分式的运算法则；
（2）能熟练进行分式的运算、分式的化简.
例8 （1）计算 23651x x x x x +---- 242
4422
x y x y x x y x y x y x y ?-÷-+-+ （2） ()a b
ab ab a 2332222=++ 解：（1）8x ；xy x y
-+ （2）3b 考点9：正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂、分数指数幂的概念
考核要求：（1）理解正整数指数、零指数、负整数指数的幂的概念；
（2）知道分数指数幂的意义；
（3）能够运用零指数的条件进行式子取值范围的讨论.
例9 使()0
21a -有意义，则a 的取值范围是
分析：()010a a =≠
解：12
a ≠- 考点10：整数指数幂，分数指数幂的运算
考核要求：（1）掌握幂的运算法则；
（2）会用整数指数幂及负整数指数幂进行运算；
（3）掌握负整数指数式与分式的互化；
（4）知道分数指数式与根式的互化。 例10 （1）计算：2
23)1()2()624(---÷+-x x x x x
（2）先化简，再求值：b
a a
b b a b ab a b a 222
222422--÷+--, 其中a=1,b=-1 解：（1）2334x x -+- （2）12
说明：（1）熟记整数指数幂的运算法则；
（2）记住：1p p
a a -=（其中a ≠0，p 是自然数）； （3）知道分数指数幂： m m m n n
m -n
n a =a （a 0），
1
=a （a 0）a
其中m 、n 为正整数，n 1.≥>> 六、真题再现
一、选择题
1、（2007湖北宜宾）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简代数式||a +b –a 的结果是（ ）
A ．2a +b
B ．2a
C ．a
D ．b
2、（2007重庆）计算)3(623m m -÷的结果是（ ）
（A ）m 3- （B ）m 2- （C ）m 2 （D ）m 3
3、（2007广州）下列计算中，正确的是（ ）
A ．33x x x =?
B ．3x x x -=
C ．32x x x ÷=
D ．336x x x +=
4、（2007四川成都）下列运算正确的是（ ）
Ａ．321x x -= Ｂ．22122x x
--=- Ｃ．236()a a a -=· Ｄ．236()a a -=- 4、（2007浙江嘉兴）化简：(a ＋1)2－(a －1)2＝（ ）
（A ）2 （B ）4 （C ）4a （D ）2a 2＋2
5、（2007哈尔滨）下列计算中，正确的是（ ）
A ．325a b ab +=
B ．44a a a =?
C ．623a a a ÷=
D ．3262()a b a b =
(第1题图) b
0a
6．（2007福建晋江）对于非零实数m ，下列式子运算正确的是（ ）
A ．923)(m m =；
B ．623m m m =?；
C ．532m m m =+；
D ．426m m m =÷。
7．（2007福建晋江）下列因式分解正确的是（ ）
A ．x x x x x 3)2)(2(342++-=+-；
B ．)1)(4(432-+-=++-x x x x ；
C ．22)21(41x x x -=+-；
D ．)(232y x y xy x y x xy y x +-=+-。
8、（2007湖北恩施）下列计算正确的是（ ）
A 、623a a a =?
B 、4442b b b =?
C 、1055x x x =+
D 、87y y y =?
9、（2007山东淮坊）代数式2346x x -+的值为9，则2463
x x -+的值为（ ） A ．7 B ．18 C ．12 D ．9
10、（2007江西南昌）下列各式中，与2(1)a -相等的是（ ）B
A ．21a -
B ．221a a -+
C ．221a a --
D ．21a +
二、填空题
1、（200浙江义乌））当x=2，代数式21x -的值为____▲___．
2、（2007湖北宜宾）因式分解：xy 2–2xy +x = .
3、（2007浙江金华）分解因式：2218x -= ．
4、（2007江苏盐城）分解因式：2x －9＝ 。
5、（2007哈尔滨）分解因式：2233ax ay -= ．
6、（2007湖北恩施）分解因式a 3－ab 2＝ ．
7、（2007山东烟台）请你写一个能先提公因式、再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果 ．
8、（2007湖南株州）若3223m n x y x y -与 是同类项，则m+n ＝____________.
9、（2007浙江温州）计算：
1
1-?-m n mn m ＝ ＿＿＿＿＿＿. 10、（2007四川内江）化简：23224x x x x +-+=+- ． 11、（2007山东淮坊）在实数范围内分解因式：2484m m +-= ．
三、解答题
1、（2007浙江温州）给出三个多项式：2221111,31,,222
x x x x x x +-++- 请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解。
2、（2007福建晋江）先化简，再求值：)1()1(2---a a a ，其中12-=a 。
3、（2007重庆）先化简，再求值：??? ?
?+---÷--11211222x x x x x x ，其中21=x 。
4、（2007江西）化简：24214a a a +??+ ?-??
·
5、（2007山东烟台）有意道题：“先化简，再求值：22361()399
x x x x x -+÷+--，其中“x=一2007”．小亮同学做题时把“x= 一2007”错抄成了“x=2007”，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么,回事．
6、（2007江苏常州）24142
x x ---．
7、（2007哈尔滨）先化简，再求代数式22a b ab b a a a ??--÷- ???
的值，其中3t an 301a =+，2cos 45b =．
8、（2007湖北恩施）求代数式的值: (12
-x x －x
x -12)÷1-x x ,其中x ＝3＋1.
9、（2007辽宁旅顺口）先化简代数式22
221244a b a b a b a ab b
--÷-+++，然后选择一个使原式有意义的a 、b 值代入求值.
答案：一：D 、B 、C 、D 、C 、D 、D 、C 、D 、A 、B
二：（1）3 （2）()21x y - （3）()()233x x -+ （4）()()33x x +-
（5）()()3a x y x y +- （6）()()a a b a b +- （7）答案不唯一
（8）5 （9）1m
（10）1 （11）()()
42121m m ++-+ 三：1.解：如选择多项式：22111,3122
x x x x +-++ 则：22211(1)(31)4(4)22x x x x x x x x +-+++=+=+ 2.解：13+-a ，423+-；
3.解：原式＝11-x ，当2
1=x 时，原式＝－2 4.解：原式＝a a a a 244422+?-+-＝a
a a a a 2)2)(2(2+?-+2a a =-
5.解：原式＝)9(9
696222-?-++-x x x x x ＝2x ＋9， x= 一2007或x=2007，x 2＋9都是2016。
6.解：原式42(2)(2)(2)(2)x x x x x +=--+-+42(2)(2)x x x --=-+(2)(2)(2)
x x x --=-+12x =-+ 7.解：原式2222()
a b a ab b a b a a a a a b --+-=÷=-1a b =- 当33tan 30131313a =+=?+=+，22cos 45212b ==?= 原式111333113
a b ====-+- 8.解：原式＝（1
212-+-x x x x ）?x x 1-＝?-+1)2(x x x x x 1- ＝x+2 把x ＝3＋1代入原式＝3＋3
9.解：22221244a b a b a b a ab b --÷-+++=2
(2)12()()
a b a b a b a b a b -+?-++- =
2a b a b a b a b
++-++ =2a b a b a b +--+=b a b + 当1a b ==时，原式11112
=
=+
分式知识点归纳 一、分式的定义： 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 二、与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（???≠=0 0B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或? ??<<00B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（?? ?<>00B A 或???><00B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 三、分式的基本性质 （1）分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：C B C ??=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 （2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 四、分式的约分 1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 3．两种情形：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约 去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。 4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 ◆约分时。分子分母公因式的确定方法： 1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式. 3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式. 五、分式的通分 1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 （依据：分式的基本性质！） 2．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 ◆通分时，最简公分母的确定方法： 1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式. 3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.
1、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为售价， 售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 2、南宁市2006年的污水处理量为10万吨/天，2007年的污水处理量为34万吨/天，2007年平均每天的 污水排放量是2006年平均每天污水排放量的1.05倍，若2007年每天的污水处理率比2006年每天的污水处理率提高40%（污水处理率 污水处理量 污水排放量 ）． （1）求南宁市2006年、2007年平均每天的污水排放量分别是多少万吨？（结果保留整数） （2）预计我市2010年平均每天的污水排放量比2007年平均每天污水排放量增加20%，按照国家要求“2010 年省会城市的污水处理率不低于 ．．．70%”，那么我市2010年每天污水处理量在2007年每天污水处理量的 基础上至少 ．．还需要增加多少万吨，才能符合国家规定的要求？ 3、进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻 军工程指挥官的一段对话: 4、甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能 完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的4 5 ，求甲、乙 你们是用9天完成4800米长的大坝加固任务的? 我们加固600米后,采用新的加固模式,这样每天加固长度是原来的2倍． 通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数. １
２ 两个施工队单独完成此项工程各需多少天？ 5、某超级市场销售一种计算器，每个售价48元．后来，计算器的进价降低了4%，但售价未变，从而使超 市销售这种计算器的利润提高了5%．这种计算器原来每个进价是多少元？（利润=售价-进价，利润率100%=?利润 进价 ） 6、今年4月18日，我国铁路实现了第六次大提速，这给旅客的出行带来了更大的方便．例如，京沪线全 长约1500公里，第六次提速后，特快列车运行全程所用时间比第五次提速后少用8 7 1小时．已知第六 次提速后比第五次提速后的平均时速快了40公里，求第五次提速后和第六次提速后的平均时速各是多少？ 7、某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很 快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？ 8、某公司投资某个工程项目，现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目．公司调查发现：乙队单独完成 工程的时间是甲队的2倍；甲、乙两队合作完成工程需要20天；甲队每天的工作费用为1000元、乙队每天的工作费用为550元．根据以上信息，从节约资金的角度考虑，公司应选择哪个工程队、应付工程队费用多少元？ 9、A 、B 两地相距18公里，甲工程队要在A 、B 两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A 、B 两
初中数学知识点归纳整 式 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
初中数学知识点归纳：整式 一、代数式 1.概念：用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数与字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。 2.代数式的值：用数代替代数式里的字母，按照代数式的运算关系，计算得出的结果。 二、整式 单项式和多项式统称为整式。 1.单项式：1)数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式。单独的一个数或字母(可以是两个数字或字母相乘)也是单项式。 2)单项式的系数：单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。 3)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 2.多项式：1)几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。 2)多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。 3.多项式的排列： 1).把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。 2).把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。 由于单项式的项，包括它前面的性质符号，因此在排列时，仍需把每一项的性质符号看作是这一项的一部分，一起移动。 三、整式的运算 1.同类项——所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项，几个常数项也叫同类项。同类项与系数无关，与字母排列的顺序也无关。 2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。即同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 3.整式的加减：有括号的先算括号里面的，然后再合并同类项。 4.幂的运算： 5.整式的乘法： 1)单项式与单项式相乘法则：把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的因式。 2)单项式与多项式相乘法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 3)多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 6.整式的除法
分式方程应用题专项练习 1、老城街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的32；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成.；求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ 2.某工厂为了完成供货合同,决定在一定天数内生产原种零件400个,由于对原有设备进行了技术改进,提高了生产效率,每天比原计划增产25%,结果提前10天完成了任务.原计划每天生产多少个零件? 3、某项工程如果甲单独做，刚好在规定的日期内宛成，如果乙单独做，则要超出规定日期3天，现在先由甲、乙两人合做两天后，剩下的任务由乙完成，也刚好能按做时完式，问规定的日期是几天？ 4、 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需会甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合做10天完 成，厂家需付乙、丙队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的3 2，厂家需付甲、丙两队共5500元。 （1） 求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？ （2） 若工期要求不超过15天完成全部工程，问：可由哪个单独承包此项工程花钱最少？请说明理由。 5.一个水池有甲乙两个进水管，甲管注满水池比乙管快4小时，如果单独放甲管5小时，再单独开放乙管6小时，就可以注满水池的一半，求单独开放一个水管，注满水池各需多长时间？ 6、 轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所需要的时间相同，已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。 7.一列客车长200米一列货车长280米,在平行轨道上相向而行,从车头相遇到车尾相离一共经过8秒钟.已知客车与货车的速度之比为5∶3.求两车的速度. 8、如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上，小明家到王老师家的 路程为3km ，王老师家到学校的路程为0.5km ，由于小明的父母战斗在抗“非 典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知 王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20min ， 问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少? 9、一小船由A 港到B 顺流航行需6小时，由B 港到A 港逆流航行需8小时，小船从早晨6时由A 港到B 港时，发现一救生圈在途中掉落水中，立即返航，2小时后找到救生圈。
初中数学分式随堂练习40 一、选择题（共5小题；共25分） 1. 下列各式与相等的是 A. B. D. 2. 若，，，则，，大小关系是 A. B. C. D. 3. 为保证达万高速公路在年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲 队单独完成这项工程比规定时间多用天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用天，如果甲、乙两队合作，可比规定时间提前天完成任务．若设规定的时间为天，由题意列出的方 程是 A. B. C. D. 4. 若为整数，且的值也为整数，则所有符合条件的的值有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 已知关于的分式方程的解是非负数，那么的取值范围是 A. B. C. 且 D. 二、填空题（共4小题；共20分） 6. 要使有意义，则实数的取值范围是． 7. 一种病毒的直径为米，用科学记数法表示为米． 8. 如果，那么的结果是． 9. 年月，全球首个火车站在上海虹桥火车站启动．虹桥火车站中网络峰值速率为 网络峰值速率的倍．在峰值速率下传输千兆数据，网络比网络快秒，求这两种网络的峰值速率．设网络的峰值速率为每秒传输千兆数据，依题意，可列方程为． 三、解答题（共4小题；共52分） 10. 阅读下列材料：
方程的解是；的解是；的解是； （即）的解是． 观察上述方程与解的特征，猜想关于的方程的解，并利用“方程的解” 的概念进行验证． 11. 求下列各分式的值： （1），其中． （2），其中，． 12. 计算：． 13. 阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 【解析】 由分母为，可设，则 对应任意，上述等式均成立， ，， 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 解答： （1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． （2）直接写出时，的最小值为．
初中数学分式知识点总复习 一、选择题 1．0000005=5×10-7 故答案为:B. 【点睛】 本题考查的知识点是科学计数法，解题的关键是熟练的掌握科学计数法. 2．下列各式计算正确的是（ ） A ．（﹣x ﹣2y ）（x+2y ）＝224x y - B ．13x -＝13x C ．236(2)6y y -=- D ．32()(1)m m m m x x x -÷=- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据整式的相关运算法则计算可得． 【详解】 A ．（﹣x ﹣2y ）（x+2y ）＝﹣（x+2y ）2＝﹣x 2﹣4xy ﹣4y 2，此选项计算错误； B ．3x ﹣1＝3x ，此选项计算错误； C ．（﹣2y 2）3＝﹣8y 6，此选项计算错误； D ．（﹣x ）3m ÷x m ＝（﹣1）m x 2m ，此选项计算正确； 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握整式的运算法则和负整数指数幂的规定． 3．若2310a a -+=，则12a a + -的值为（ ） A 1 B ．1 C ．-1 D ．-5 【答案】B 【解析】 【分析】 先将2310a a -+=变形为130a a -+ =，即13a a +=，再代入求解即可. 【详解】 ∵2310a a -+=，∴130a a -+ =，即13a a +=， ∴12321a a +-=-=.故选B.
【点睛】 本题考查分式的化简求值，解题的关键是将2310a a -+=变形为13a a +=. 4．若（x ﹣1）0＝1成立，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＝﹣1 B ．x ＝1 C ．x≠0 D ．x≠1 【答案】D 【解析】 试题解析：由题意可知：x-1≠0， x≠1 故选D. 5．在等式[]209()a a a ?-?=中，“[]”内的代数式为（ ） A ．6a B ．()7a - C ．6a - D ．7a 【答案】D 【解析】 【分析】 首先利用零指数幂性质将原式化简为[]29a a ?=，由此利用同底数幂的乘除法法则进一步进行分析即可得出答案. 【详解】 ()01a -=Q ，则原式化简为：[]29a a ?=， ∴[]927a a -==， 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查了零指数幂的性质与同底数幂的乘除法运算，熟练掌握相关概念是解题关键. 6．雾霾天气是一种大气污染状态，造成这种天气的“元凶”是PM 2.5，PM 2.5是指直径小于或等于0.0000025米的可吸入肺的微小颗粒，将数据0.0000025科学记数法表示为( ) A ．2.5×106 B ．2.5×10﹣6 C ．0.25×10﹣6 D ．0.25×107 【答案】B 【解析】 【分析】 绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】
八年级数学复习 分式方程应用题 1、某工厂的甲车间承担了加工2100个机器零件的任务，甲车间单独加工了900个零件后，由于任务紧急，要求乙车间与甲车间同时加工，结果比原计划提前12天完成任务．已知乙车间的工作效率是甲车间的1.5倍，求甲、乙两车间每天加工零件各多少个？ 2、一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元． （1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？ （2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？ 3、某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 4、某学校将周三“阳光体育”项目定为跳绳活动，为此学校准备购置长、短两种跳绳若干.已知长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多4元，且购买2条长跳绳与购买5条短跳绳的费用相同. (1)两种跳绳的单价各是多少元？ (2)若学校准备用不超过2000元的现金购买200条长、短跳绳，且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍，问学校有几种购买方案可供选择？ 5、某校学生捐款支援地震灾区，第一次捐款总额为6600元，第二次捐款总额为7260元，第二次捐款人数比第一次多30人，而且两次人均捐款额恰好相等．求第一次的捐款人数．
一、选择题 1．2018年3月3日，新浪综合网报道：“中科院发明首个抗癌DNA 纳米机器人，可精准阻断肿瘤血管饿死肿瘤!”．中国科学家团队研发出的这种可编程、基于 DNA 折纸技术的纳米机器人大小只有90×60×2nm ，nm 是长度计量单位，1nm=0.000000001米，则2nm 用科学记数法表示为（ ） A ．2× 109米 B ．20×10-8米 C ．2×10-9米 D ．2×10-8米 2．下列判断错误．．的是（ ） A ．当23x ≠ 时，分式1 32 x x +-有意义 B ．当a b 时，分式 22 ab a b -有意义 C ．当1 2x =-时，分式214x x +值为0 D ．当x y ≠时，分式22 x y y x --有意义 3．分式 x 5 x 6 -+ 的值不存在，则x 的取值是 A ．x ?6=- B ．x 6= C ．x 5≠ D ．x 5= 4．下列式子中，错误的是 A ． 1a a 1 a a --=- B ．1a a 1 a a ---=- C ．1a 1a a a --- =- D ．1a 1a a a +--- = 5．下列分式：24a 5b c ，23c 4a b ，2 5b 2ac 中，最简公分母是 A ．5abc B ．2225a b c C ．22220a b c D ．22240a b c 6．分式： 22x 4- ，x 42x - 中，最简公分母是 A ．() ()2 x 4?42x -- B ．()()x 2x ?2+ C ．()()2 2x 2x 2-+- D ．()()2x 2?x 2+- 7．下列各式中，正确的是（ ）． A ． 1122 b a b a +=++ B ．221 42 a a a -=-- C ．22 11 1(1)a a a a +-=-- D ． 11b b a a ---=- 8．计算32-的结果是（ ） A ．-6 B ．-8 C ．18 - D ． 18 9．如果112111S t t =+，212111 S t t =-，则12 S S =（ ）
分式化简、解分式方程和应用题三个重要问题 一、分式化简 1. 在分式的运算中，有整式时，可以把整式看做分母为1的式子，然后再计算。 2. 要注意运算顺序，先乘方、再乘除、后加减，同级运算从左到右（谁在前先 算谁）依次进行。有括号的先算括号里面的 3. 如果分式的分子分母是多项式，可先分解因式，再运算。 4. 注意分式化简题不能去分母. 1.先化简，再求值：23393 x x x ++--，其中1x =-． 2．先化简，再求值 4 421642++-÷-x x x x ，其中 x = 3 ． 3．先化简，再求值：22424412x x x x x x x -+÷--++-，其中x ＝2－2． 4.计算：2228224a a a a a a +-??+÷ ?--?? 5.化简: 35(2)482y y y y -÷+---
6.化简，： 2211()22x y x y x x y x +--++， 7.先化简，再求值：211122 x x x -??-÷ ?++??，其中2x =． 8.计算：22221(1)121 a a a a a a +-÷+---+． 二．分式方程： 解分式方程的步骤： 1、去分母，化分式方程为整式方程两边同乘 以最简公分母，分子要括起来， 2、解整式方程-------去括号、移项、合并同类项、系数化为1 3、检验-------带入最简公分母，若为零，则为増根，应舍去。 1、解分式方程： 2131 x x =--． 2、解方程223-=x x
3、解分式方程： 3131=---x x x 4、解方程： 22333x x x -+=-- 5、解方程 22111x x =--- 6、解方程： x x x -=+--23123. 7、解分式方程： 6122x x x +=-+ 8、 解方程33122x x x -+=--．
人教版初中数学分式知识点总复习 一、选择题 1．计算-1 2的结果为（） A．2B．1 2 C．-2D． 1 - 2 【答案】B 【解析】 【分析】 利用幂次方计算公式即可解答.【详解】 解：原式=1 2 . 答案选B. 【点睛】 本题考查幂次方计算，较为简单. 2．下列各式从左到右变形正确的是（） A． 1 3(1)2 23 x y x y + +=++B． 0.20.0323 0.40.0545 a b a d c d c d -- = ++ C．a b b a b c c b -- = -- D． 22 a b a b c d c d -- = ++ 【答案】C 【解析】 【分析】 依据分式的基本性质进行变化，分子分母上同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变． 【详解】 A、该式子不是方程，不能去分母，故A错误； B、分式中的分子、分母的各项没有同时扩大相同的倍数，故B错误； C、a-b b-a = d-c c-d 故C正确； D、分式中的分子、分母的各项没有同时除以2，故D错误．故选C． 【点睛】 本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练运用性质. 3．0000036=3.6×10-6； 故选：A． 【点睛】 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左
边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4．下列运算正确的是( ) A ．325x x x += B ．2224(3)6xy x y = C ．2(2)(2)4x x x +-=- D ．1122x x -= 【答案】C 【解析】 【分析】 根据同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂，平方差公式，可得答案． 【详解】 解：A 、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A 不符合题意； B 、2224(3)9xy x y =，故B 不符合题意； C 、2(2)(2)4x x x +-=-，故C 符合题意； D 、122x x -=，故D 不符合题意； 故选：C ． 【点睛】 此题考查同底数幂的乘除法，平方差公式，熟记法则并根据法则计算是解题关键． 5．12×10?3＝0.00612， 故选：C ． 【点睛】 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10?n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 6．把实数36.1210-?用小数表示为（） A ．0.0612 B ．6120 C ．0.00612 D ．612000 【答案】C 【解析】 【分析】 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10?n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】 7． x 的取值范围是（ ）
2018年09月20日分式应用组卷 一．选择题（共1小题） 1．（2018?巴中）若分式方程+=有增根，则实数a的取值是（） A．0或2 B．4 C．8 D．4或8 二．解答题（共20小题） 2．（2018?岳阳）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？ 3．（2018?东莞市）某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？ （2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？ 4．（2018?德阳）为配合“一带一路”国家倡议，某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2期扩建工程．一项地基基础加固处理工程由A、B两个工程公司承担建设，已知A工程公司单独建设完成此项工程需要180天，A工程公司单独施工45天后，B工程公司参与合作，两工程公司又共同施工54天后完成了此项工程． （1）求B工程公司单独建设完成此项工程需要多少天？ （2）由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划包成两部分，要求两工程公司同时开工，A工程公司建设其中一部分用了m天完成，B工程公司建设另一部分用了n 天完成，其中m，n均为正整数，且m＜46，n＜92，求A、B两个工程公司各施工建设了多少天？ 5．（2018?吉林）如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．
整式 一．知识框架 二.知识概念 1．单项式：数字或字母的乘积叫单项式. 2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的系数；单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数. 3．多项式：几个单项式的和叫多项式. 4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数。 5.常数项：不含字母的项叫做常数项。 6.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类型。 7.合并同类项 （1）定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。（2）法则：将同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变（一变、两不变；一变是指同类项的系数变；两不变是指相同字母和相同字母的指数不变。） （3）步骤：?找：准确的找出同类项
?搬：把同类项搬到一起（逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变） ?合：合并它们的系数 口诀：同类项，需判断，两相同，是条件。 合并时，需计算，系数加，两不变。 注意：?系数相加时，一定要带上各项前面的符号。 ?合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项。 ?只有是同类项才能合并；合并同类项的结果可能是单项式也可能是多项式。 顺口溜：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。 8.整式的加减 （1）整式：单项式和多项式统称为整式。 （2）去括号: 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； ?如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反； （3）一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 注：(补充）升幂排列：把一个多项式按某个字母的指数按从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。 降幂排列：把一个多项式按某个字母的指数按从大到小
化简求值常用技巧 在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种： 1、 应用分式的基本性质 例1 如果12x x + =，则 24 2 1 x x x ++的值是多少? 解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2x ，得 原式=. 2 2 2 2 11111121 3 1()1 x x x x == = -++ + -. 2、倒数法 例2 如果12x x + =，则 24 2 1 x x x ++的值是多少? 解：将待求分式取倒数，得 4 2 2 22 2 2 1 111()1213x x x x x x x ++=+ +=+ -=-= ∴原式=13 . 3、平方法 例3 已知12x x + =，则2 2 1x x + 的值是多少？ 解：两边同时平方，得 2 2 2 2 1124,42 2.x x x x ++ =∴+ =-= 4、设参数法 例4 已知 0235 a b c ==≠，求分式 2 2 2 2323ab bc ac a b c +-+-的值. 解：设 235a b c k ===，则 2,3,5a k b k c k ===. ∴原式= 22 2 2 2 2323532566.(2)2(3)3(5) 5353 k k k k k k k k k k k ?+??-??= =- +-- 例5 已知 ,a b c b c a ==求 a b c a b c +--+的值. 解：设 a b c k b c a = ==，则 ,,.a bk b ck c ak ===
初中数学分式知识点归纳 一、分式的定义： 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 二、与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（???≠=0 0B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或? ??<<00B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（?? ?<>00B A 或???><00B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 三、分式的基本性质 （1）分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：C B C ??=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 （2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 四、分式的约分 1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 3．两种情形：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约 去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。 4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 ◆约分时。分子分母公因式的确定方法： 1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式. 3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式. 五、分式的通分 1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 （依据：分式的基本性质！） 2．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 ◆通分时，最简公分母的确定方法： 1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式. 3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.
初一数学第三单元 整式练习题精选（含答案） 一．判断题 (1) 3 1 +x 是关于x 的一次两项式． ( ) (2)－3不是单项式．( ) (3)单项式xy 的系数是0．( ) （4)x 3 ＋y 3 是6次多项式．( ) (5)多项式是整式．( ) 二、选择题 1．在下列代数式： 21ab ，2 b a +，ab 2+b+1，x 3+y 2，x 3+ x 2 －3中，多项式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D5个 2．多项式－23m 2 －n 2 是（ ） A ．二次二项式 B ．三次二项式 C ．四次二项式 D 五次二项式 3．下列说法正确的是（ ） A ．3 x 2 ―2x+5的项是3x 2 ，2x ，5 B ． 3x －3 y 与2 x 2 ―2xy －5都是多项式 C ．多项式－2x 2 +4xy 的次数是３ D 一个多项式的次数是6，则这个多项式中只有一项的次数是6 4．下列说法正确的是（ ） A ．整式abc 没有系数 B ． 2x +3y +4 z 不是整式 C ．－2不是整式 D ．整式2x+1是一次二项式 5．下列代数式中，不是整式的是（ ）A 、2 3x - B 、745b a - C 、x a 523+ D 、－2005 6．下列多项式中，是二次多项式的是（ ） A 、132 +x B 、23x C 、3xy －1 D 、2 53-x 7．x 减去y 的平方的差，用代数式表示正确的是（ ） A 、2 )(y x - B 、2 2 y x - C 、y x -2 D 、2 y x - 8．某同学爬一楼梯，从楼下爬到楼顶后立刻返回楼下。已知该楼梯长S 米，同学上楼速度是a 米/分,下楼速度 是b 米/分,则他的平均速度是（ ）米/分。A 、 2b a + B 、b a s + C 、 b s a s + D 、 b s a s s +2 9．下列单项式次数为3的是( ) ×3×4 C. 4 1x 3 y 10．下列代数式中整式有( ) x 1， 2x +y ， 31a 2b ， π y x -， x y 45， ， a 个 个 个 个 11．下列整式中，单项式是( ) A.3a +1 －y D. 2 1 +x 12．下列各项式中，次数不是3的是( )A ．xyz ＋1 B ．x 2 ＋y ＋1 C ．x 2 y －xy 2 D ．x 3 －x 2 ＋x －1 13．下列说法正确的是( ) A ．x(x ＋a)是单项式 B ． π 1 2+x 不是整式 C ．0是单项式 D ．单项式－ 31x 2y 的系数是3 1 14．在多项式x 3 －xy 2 ＋25 中，最高次项是( ) A ．x 3 B ．x 3 ，xy 2 C ．x 3 ，－xy 2 D ．25 15．在代数式y y y n x y x 1 ),12(31,8)1(7,4322++++中，多项式的个数是( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 16．单项式－2 32 xy 的系数与次数分别是( )A ．－3，3 B ．－ 21，3 C ．－23，2 D ．－2 3，3
第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法: b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如 A B (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义
第十五章 分式 15.1 分式 15.1.1 从分式到分式 1、一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 2、与分式有关的条件 （1）分式有意义：分母不为0（0B ≠） （2）分式无意义：分母为0（0B =） （3）分式值为0：分子为0且分母不为0（? ??≠=00B A ） （4）分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或???<<0 0B A ） （5）分式值为负或小于0：分子分母异号（?? ?<>00B A 或???><00B A ） （6）分式值为1：分子分母值相等（A=B ） （7）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 例1．若24 x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞4 B ．x≠4 C．x≥4 D ．x ＜4 【答案】B ． 【解析】 试题解析：由题意得，x-4≠0， 解得，x≠4， 故选B ． 考点：分式有意义的条件． 考点：分式的基本性质． 例2．要使分式1(1)(2) x x x ++-有意义，则x 应满足 （ ） A ．x≠-1 B ．x≠2 C．x≠±1 D．x≠-1且x≠2 【答案】D ． 【解析】 试题分析：∵（x+1）（x ﹣2）≠0，∴x+1≠0且x ﹣2≠0，∴x≠﹣1且x≠2．故选D ．
考点：分式有意义的条件． 例3．下列各式：2b a -，x x 3+，πy +5，b a b a -+，)(1y x m -中，是分式的共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C ． 【解析】 试题分析：x x 3+，b a b a -+，)(1y x m -中分母中含有字母，因此是分式．故分式有3个．故选C ． 考点：分式的定义． 例4．当x= 时，分式211 x x -+的值为0． 【答案】1 【解析】 试题分析：由题意得：210x -=，且x+1≠0，解得：x=1，故答案为：1． 考点：分式的值为零的条件． 15.1.2 分式的基本性质 1、分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：A A B C B C ?=?，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 例1．如果把分式y x x +10中的x 、y 都扩大到原来的10倍，则分式的值（ ） A ．扩大100倍 B ．扩大10倍 C ．不变 D ．缩小到原来的 101 【答案】C ． 【解析】 试题分析：把分式y x x +10中的x 、y 都扩大到原来的10倍，可得y x x 10101010+?=y x x +10，
应用题专题 1、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（）Ａ．6天Ｂ．4天Ｃ．3天Ｄ．2天 2、炎炎夏日，甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是（） A．6660 2 x x = - B． 6660 2 x x = - C． 6660 2 x x = + D． 6660 2 x x = + 3、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg和1500kg，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设一块试验田每亩收获蔬菜x kg，根据题意，可得方程（） A． 9001500 300 x x = + B． 9001500 300 x x = - C．9001500 300 x x = + D． 9001500 300 x x = - 4、我国“八纵八横”铁路骨干网的第八纵通道——温（州）福（州）铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计从福州直达温州的火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01小时）． 5、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 6、南宁市2006年的污水处理量为10万吨/天，2007年的污水处理量为34万吨/天，2007年平均每天的污水排放量是2006年平均每天污水排放量的1.05倍，若2007年每天的污水处理率比2006年