抽象函数的性质问题解析
抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。
1、 定义域：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。
材料一：若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=x
f y 的定义域。
解析：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=x
f y 而言，有1124x
-≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x 。 所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞ 总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与21+x 的范围等同。
2、 值域：解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。
材料二：若函数)1(+=x f y 的值域为]1,1[-，求函数)23(+=x f y 的值域。
解析：函数)23(+=x f y 中定义域与对应法则与函数)1(+=x f y 的定义域与对应法则完全相同，故函数)23(+=x f y 的值域也为]1,1[-。
总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。
3、 对称性：解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是
妙法。
材料三：设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（ ）
A 、直线0=y 对称
B 直线0=x 对称
C 直线1=y 对称
D 直线1=x 对称
解法一（定义证明）：设点),(00y x P 是函数)1(-=x f y 的图象上的任意一点，则)1(00-=x f y ，),(00y x P 关于直线m x =的对称点为),2(00/y x m P -，要使点),2(00/y x m P -在函数)1(x f y -=的图象上，
则)21()]2(1[000m x f x m f y -+=--=，应有121-=-m ，故1=m ，
所以函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称。
解法二（图象变换法）：由函数)(x f y =的图象向右平移1个单位得到函数)
1(-=x f y
的图象；由函数)(x f y =的图象关于y 轴对称得到函数)(x f y -=的图象，再向右平移1个单位，得到)1()]1([x f x f y -=--=的图象。如图所示，选D 。
解法三（特值代入法）：由已知可得点))1(,0(-f P 在函数)1(-=x f y 的图象上，点))1(,2(-f Q 在函数)1(x f y -=的图象上，又点P 、Q 关于直线1=x 对称，选D 。 总结：了解一些简单结论对解题也是很有好处的。如：函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的自对称轴为2
b a x +=
；函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的互对称轴为x b x a -=+，即2a b x -= 4、 周期性：解决抽象函数的周期性问题——充分理解与运用相关的抽象式是关键。
材料四：设)(x f y =是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1=x 对称。证明)(x f y =是周期函数。
证明：由)(x f y =的图象关于直线1=x 对称，得)()2(x f x f -=+，
又)(x f y =是定义在R 上的奇函数，所以)()(x f x f -=-
∴)()2(x f x f -=+，则)()]([)2()]2(2[)4(x f x f x f x f x f =--=+-=++=+ 由周期函数的定义可知4是它的一个周期。 总结：一般地，)()(x f T x f -=+,)
(1)(x f T x f ±=+均可断定函数的周期为2T 。 5、 奇偶性：解决抽象函数的奇偶性问题——紧扣定义、合理赋值。
材料五：已知)(x f y =是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的R b a ∈,，都满足：)()()(a bf b af b a f +=?。判断)(x f y =的奇偶性，并证明你的结论。
解析：令1==b a ，则)1(1)1(1)11(f f f ?+?=?，得0)1(=f ；
令1-==b a ，则)1()1()1()1()]1()1[(-?-+-?-=-?-f f f ，得0)1(=-f ；令1-=a ，x b =得)1()()1(])1[(-?+?-=?-f x x f x f ，得)()(x f x f -=-
因此函数)(x f y =为奇函数。 总结：赋值是解决多变量抽象函数的重要手段。
6、 单调性：解决抽象函数的单调性问题——紧密结合定义、适当加以配凑。
材料六：设)(x f y =是定义在[-1，1]上的奇函数，且对于任意的]1,1[,-∈b a ，当0
≠+b a
时，都有：0)()(>++b
a b f a f 。若b a >，试比较)(a f 与)(b f 的大小。 解析：)]([)
()()()()()()(b a b a b f a f b f a f b f a f -+?-+-+=-+=-， b a >，∴0>-b a ，又0)()(>++b
a b f a f ， ∴0)()(>-b f a f ，即)()(b f a f >。 总结：本题实质上是证明函数的单调性，有时也用到
1)()(12>x f x f （或1)
()(12 7、 可解性：由抽象式求解析式问题——视)(x f 为未知数，构造方程（组）。 材料七：设函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1( )(……①)10(≠≠x x 且，求)(x f 。 解析：以x x 1-代x ，得x x x f x x f 12)11()1(-=--+-，……② 以11--x 代x ，得1 2)()11(--=+--x x x f x f ，……③ ① +③-②得：x x x x x x f 12121)(2----++= 所以) 1(21)(23---=x x x x x f )10(≠≠x x 且 总结：在所给的抽象式中紧紧围绕)(x f ，将其余的式子替换成)(x f ，构造一个或几个方程，然后设法求解。 8、 凹凸性：解决函数的凹凸性问题——捕捉图象信息，数形结合。 9、 材料八：如图所示，)(x f i )4,3,2,1(=i 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质： “对[0，1]中任意的1x 和2x ，任意]1,0[∈λ，)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+<-+恒成立”的只有（ ） A 、)(1x f B 、)(2x f C 、)(3x f D 、)(4x f 解析：令21=λ，则不等式变为2 )()()2(2121x f x f x x f +<+，可知函数)(x f i 是一个凹函数，故只有)(1x f 正确，选A 。 总结：函数的凹凸性在高中阶段没有专门研究，但也逐渐走入高考殿堂。 总之，因为抽象函数密切联系函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等诸多性质，加上本身的抽象性、多变性，使得抽象函数这一难点更加扑朔迷离。因此应不断挖掘隐含，灵活运 用上述解题策略，定会收到良好的效果。 课外练习： 函数()f x 是定义域在[0，1]上的增函数，满足()2()2 x f x f =且(1)1f =，在每个区间1 11(,]22i i -(1,2,)i = 上，()y f x =的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分。 （1）、求(0)f 、1()2f 及1()4f 的值，并归纳出1()2 i f (1,2,)i = 的表达式；（2）、直线12i x =，112i x -=，x 轴及()y f x =的图象围成的图形的面积为i a (1,2,)i = ，记12()lim()n x S k a a a →∞ =+++ ，求()S k 的表达式，并写出其定义域和最小值。（04，北京，18） 解析：（1）为了求(0)f ，只需在条件()2()2 x f x f =中，令0x =，即有 (0)2(0)f f =(0)0f ?=。由1(1)2()2f f =及(1)1f =，得111()(1)222 f f ==。同理1111()()4224f f ==。归纳11()22 i i f =(1,2,)i = 。 （2）、11122i i x -<≤时，1111()()22 i i f x k x --=+-， 1111211111111[()]()(1)22222242 i i i i i i i i k a k -----=++--=-(1,2,)i = 。 故{}n a 是首项为1(1)24k -，公比为14 的等比数列，所以 12()lim()n x S k a a a →∞=+++ 1(1)22 4(1)13414 k k -==--。()S k 的定义域是01k <≤，当1k =时取得最小值12 。
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