2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理
一、选择题
1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =
A ．[0,1]
B ．(0,1]
C ．[0,1)
D ．(,1]-∞
2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为
A ．167
B ．137
C ．123
D ．93
3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6
y x k π
?=++，据此函数可知，
这段时间水深（单位：m ）的最大值为 A ．5 B ．6 C ．8 D ．10
4.二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2
x 的系数为15，则n = A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+
6.“sin cos αα=”是“cos 20α=”的
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要 7.对任意向量,a b ，下列关系式中u 恒成立的是
A ．||||||a b a b ?≤
B ．||||||||a b a b -≤-
C ．22()||a b a b +=+
D ．2
2
()()a b a b a b +-=- 8.根据右边框图，当输入x 为2005时，输出的y =
A28 B10 C4 D2
9.设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1
(()())2
r f a f b =+，则下列关系式中正确的是
A ．q r p =<
B ．q r p =>
C ．p r q =<
D ．p r q =>
10.某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为
A ．12万元
B ．16万元
C ．17万元
D ．18万元
11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率 A ．
3142π+ B ．1142π- C ．112π- D ．11
2π
+ 12.对二次函数2
()f x ax bx c =++（a 为非零整．数．），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是
A ．-1是()f x 的零点
B ．1是()f x 的极值点
C ．3是()f x 的极值 D.点(2,8)在曲线()y f x =上 二、填空（本大题共4小题，每小题5分）
13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 14.若抛物线2
2(0)y px p =>的准线经过双曲线2
2
1x y -=的一个焦点，则p= 15.设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1
(0)y x x
=
>上点p 处的切线垂直，则P 的坐标为 16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
17、（本小题满分12分）C ?AB 的内角A ，B ，
C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()
,3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行．
()I 求A ； ()
II 若a =
2b =求C ?AB 的面积．
18、（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，
D//C A B ，D 2
π
∠BA =，
C 1AB =B =，
D 2A =，
E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将?ABE 沿BE 折起到1?A BE 的位置，
如图2．
()I 证明：CD ⊥平面1C A O ；
()II 若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．
19、（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：
I 求T 的分布列与数学期望ET ；
()II 刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校
区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
20、（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b +=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经
过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为1
2
c ．
()I 求椭圆E 的离心率；
()II 如图，AB 是圆:M ()()22
5
212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭
圆E 的方程．
21、（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，???，n x 的各项和，其中0x >，
n ∈N ，2n ≥．
()I 证明：
函数()()F 2n n x f x =-在1,12?
?
???
内有且仅有一个零点
（记为n x ），且11122n n n x x +=+； ()II 设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x 与()n g x 的大小，并加以证明．
请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ．
()I 证明：C D D ∠B =∠BA ； ()II 若D 3DC A =，
C B =
，求O 的直径．
23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系x y O 中，直线l
的参数方程为132x t y ?
=+??
??=??（t 为参数）．以原点为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，C
的极坐标方程为ρθ=．
()I 写出
C 的直角坐标方程；
()II P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．
24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．
()I 求实数a ，b 的值； ()
II 的最大值．
参考答案： 一、选择题
1.A
2.C
3.C
4.B
5.D
6.A
7. B
8.C
9. B 10.D 11.D 12.A
二、填空题
13. 5 14. 15.（1,1） 16. 1.2 三．解答题
17. （满分12分）
（I ）因为//m n ，所以sin cos 0a B A -=，
由正弦定理，得sinAsinB 0-=
又sin 0B ≠，从而tan A
由于0A π<<，所以3
A π
=
(II)解法一：由余弦定理，得222
2cos a b c bc A =+-
而2,a =3
π
A =
得2742c c =+-，即2
230c c --= 因为0c >，所以3c =.
故?ABC 的面积为1bcsinA 22
=.
2sin sin 3
=B ，
从而sin 7
B =，
又由a b >，知A B >，所以cos B .
故()sinC sin A B sin sin cos cos sin 333B B πππ?
?
=+=B +
=+= ?
?
?
所以?ABC 的面积为1bcsinA 2.
18.（本小题满分12分） （I ）在图1中，
因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点，∠BAD=2
π
，所以BE ⊥AC 即在图2中，BE ⊥ 1OA ，BE ⊥OC 从而BE ⊥平面1
AOC 又CD BE ，所以CD ⊥平面1
AOC .
(II)由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，又由（1）知，BE ⊥ 1OA ，BE ⊥OC 所以1AOC ∠为二面角1--C A BE 的平面角，所以1OC 2
A π
∠=.
如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，
因为11B=E=BC=ED=1A A , BC
ED
所以1(
(0,0,
2222B -
得2BC(22-
12A C(0,)22
-，CD BE (==-. 设平面1BC A 的法向量1111(,,)n x y z =，平面1CD A 的法向量2222(,,)n x y z =，平面1BC A 与平面1CD A 夹角为θ，
则11100
n BC n A C ??=???=??，得111100x y y z -+=??-=?，取1(1,1,1)n =，
2210
n CD n A C ??=??
?=??，得22200x y
z =??
-=?，取2(0,1,1)n =， 从而12cos |cos ,
|3n n θ=??=
= 即平面1BC A 与平面1
CD A 夹角的余弦值为3
19.（本小题满分12分）
0.4400.132?+?=（分钟）
(II)设12,T T 分别表示往、返所需时间，12,T T 的取值相互独立，且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.
解法一：121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤
1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=?+?+?+?=. 解法二：121212(A)P(70)P(35,40)P(40,35)P T T T T T T =+>===+==12P(40,40)T T +== 0.40.10.10.40.10.10.09=?+?+?= 故(A)1P(A)0.91P =-=. 20.（本小题满分12分） 解：（I ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为0bx cy bc +-=，
则原点O
到直线的距离bc
d a ==，
由12d c =
，得2a b ==
c a =.
(II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为2
2244x y b +=. (1)
依题意，圆心M(-2,1)是线段AB
的中点，且|AB|易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y k x =++，代入(1)得 2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=
设1122(,y ),B(,y ),A x x 则22
121222
8(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k
++-+=-=-++ 由124x x +=-，得28(21)4,14k k k +-=-+解得1
2
k =.
从而21282x x b =-.
于是
12|AB ||x x =-=
由|AB|
23b =.
故椭圆E 的方程为22
1123
x y +=.
解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (2)
依题意，点A ，B
关于圆心M(-2,1)对称，且|AB|设1122(,y ),B(,y ),A x x 则2221144x y b +=，2222244x y b +=， 两式相减并结合12124,y 2,x x y +=-+=得()1212-4()80x x y y -+-=. 易知，AB 不与x 轴垂直，则12x x ≠，所以AB 的斜率12121
k .2
AB y y x x -=
=- 因此AB 直线方程为1
(2)12
y x =++，代入(2)得224820.x x b ++-=
所以124x x +=-，21282x x b =-
.
于是
12|AB ||x x =-=
由|AB|
23b =.
故椭圆E 的方程为22
1123
x y +=.
21.（本小题满分12分）
解：（I ）2()()212,n n n F x f x x x x =-=+++
-则(1)10,n F n =->
1
2
1111111
2()1220,12222212
n n
n n
F +??
- ???????=+++-=-=-
< ? ???
??-
所以()n F x 在1,12??
???
内至少存在一个零点n x . 又1
()120n n F x x nx -'=++>，故在1,12?? ???
内单调递增，
所以()n F x 在1,12??
???
内有且仅有一个零点n x .
因为n x 是()n F x 的零点，所以()=0n n F x ，即1
1201n n n
x x +--=-，故111=+22n n n x x +.
(II)解法一：由题设，()()11().2
n
n
n x g x ++=
设()()2
11()()()1,0.2
n
n
n n n x h x f x g x x x x
x ++=-=+++->
当1x =时, ()()n n f x g x =
当1x ≠时, ()1
1
1()12.2
n n n n x h x x nx --+'=++-
若01x <<,()111
11()22n n n n n n h x x x nx x ----+'>++-
()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 若1x >,
()111
11()22n n n n n n h x x x nx x ----+'<++-()()11110.22
n n n n n n x x --++=-= 所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以()(1)0h x h <=，即()()n n f x g x <.
综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <
解法二 由题设，()()211()1,(),0.2
n
n
n n
n x f x x x x g x x ++=+++=>
当1x =时, ()()n n f x g x =
当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <.
当2n =时, 2221
()()(1)0,2
f x
g x x -=-
-<所以22()()f x g x <成立. 假设(2)n k k =≥时，不等式成立，即()()k k f x g x <. 那么，当+1n k =时，
()()
111
k+1k 11()()()2
k
k k k k k x f x f x x g x x x +++++=+<+=+()12112k k x k x k +++++=
. 又()()11k+121111
()22
k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-=
令()1()11(x 0)k k
k
h x kx k x +=-++>，则()()11()(k 1)11(x 1)k k k k h x k x k k x k k x --'=+-+=+-
所以当01x <<,()0k
h x '<,()k h x 在(0,1)上递减； 当1x >,()0k
h x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增. 所以()(1)0k k h x h >=，从而()1k+1211
()2
k k x k x k g x +++++>
故11()()k k f x g x ++<.即+1n k =，不等式也成立.
所以，对于一切2n ≥的整数，都有()()n n f x g x <.
解法三:由已知，记等差数列为{}k a ,等比数列为{}k b ,k 1,2,
, 1.n =+则111a b ==，
11n n n a b x ++==，
所以()1
1+1(2n)n k x a k k n
-=-?≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤ 令()()1
11(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n
---=-=+->≤≤
当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =.
当1x ≠时, ()()1
2211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n
----+-'=--=-- 而2k n ≤≤，所以10k ->，11n k -+≥.
若01x <<, 1
1n k x
-+<,()0k m x '<, 当1x >,1
1n k x
-+>,()0k
m x '>, 从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m >=， 所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b =,11n n a b ++=，故()()n n f x g x < 综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <
请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B
铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑． 22.（本小题满分10分） 解：（I ）因为DE 为圆O 的直径，则BED EDB ∠+∠=90， 又BC ⊥DE ，所以∠CBD+∠EDB=90°，从而∠CBD=∠BED. 又AB 切圆O 于点B ，得∠DAB=∠BED ，所以∠CBD=∠DBA.
（II ）由（I ）知BD 平分∠CBA ，则
=3BA AD BC CD =,又BC AB =
所以4AC =，所以D=3A .
由切割线定理得2
=AD AB AE ×，即2=AD
AB AE =6，
故DE=AE-AD=3，即圆O 的直径为3.
23. （本小题满分10分）
解：（I ）由2,sin ρθρθ==得，
从而有(2
2
2
2
+,+3x y x y ==所以.
(II)设1(3t,t),22P +又,则|PC |==
故当t=0时，|PC|取最小值，此时P点的直角坐标为（3，0）.
24. （本小题满分10分）
解：（I）由||
x a b
+<，得b a x b a
--<<-
则
2,
4,
b a
b a
--=
?
?
-=
?
解得3
a=-,1
b=
（II=≤
4
==
，即1
t=时等号成立，
故
max
4 =.