22.7多边形的内角和与外角和
教学设计思路
本节是三角形有关知识的拓展，注意与三角形的有关知识进行类比。通过具体的图形来让学生更好的理解一些概念。对于多边形的内角和定理及其外角和定理要启发引导学生积极参与，把多边形进行分割，一起分析、探究总结出所要的结论。通过例题来巩固这些知识点。
教学目标
知识与技能
探索并说出多边形的内角和与外角和公式；
会应用多边形内角和公式与外角和公式解决简单问题；
进一步发展说理能力和简单的推理能力。
过程与方法
经历探索多边形内角和与外角和公式的过程，把多边形进行分割，小组讨论、合作交流得出结论。
情感态度价值观
通过探索过程进一步体会知识点之间的联系；
通过本节的学习进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
教学重点和难点
重点是多边形的内角和与外角和定理。
难点是学会善于运用三角形的有关知识来研究多边形的问题。能够灵活运用多边形内角和与外角和解决相关问题。
教学方法
启发引导、合作探究
课时安排
1课时
教具学具准备
投影仪或电脑、三角板
教学过程设计
我们已经研究了三角形和四边形，但是，在日常生活中，我们还会遇到边数更多的平面几何图形，其实这些图形的构成很简单.
（一）观察与思考
请你用线把从不同的方向看到的物体轮廓图与下面对应的平面图形连结起来。
通过生活中实物图片体会视图与平面图形的对应关系，从而形成多边形的概念．
像图22—38中的平面图形那样，由一些不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的平面图形叫做多边形(po1ygon，这里所说的多边形是指凸多边形，即多边形总在任何一条边所在直线的同一侧)．多边形的边、顶点，内角、外角的意义和三角形的相同．在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．多边形有几条边就叫做几边形．三边形就是我们通常所说的三角形．本节是三角形有关知识的拓展，注意与三角形的有关知识进行类比。
在一个多边形中，所有内角的和叫多边形的内角和.
在一个多边形的每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．图22—39中的五边形，我们把它记作五边形ABCDE用类似的方法可以记其他多边形．
在平面内，内角都相等、各边都相等的多边形叫做正多边形．
（二）大家谈谈
我们已经知道，三角形的内角和是180°，平行四边形的内角和是360°．那么，任意一个四边形的内角和是多少度呢?谈谈你的想法，并与同学进行交流．
如图7.3—8，画出任意一个四边形的一条对角线，都能将这个四边形分为两个三角形。这样，任意一个四边形的内角和，都等于两个三角形的内角和，即360°。
通过对四边形内角和的思考、交流，初步体会多边形内角和计算的一般方法．
（三）试着做做
1．如图22—40，过五边形ABCDE的顶点A的两条对角线AC，AD把五边形分成三个三角形．你能说明五边形ABCDE的内角和是多少度吗?
2．请你仿照上面的方法说明六边形内角和的度数是多少。
3．n边形内角和的度数是多少?
从上面的问题，你能想出六边形的内角和各是多少吗?观察下图，请填空：
从六边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将六边形分为________个三角形，六边形的内角和等于180°×__________。
总结：过n边形的一个顶点可以做（n－3）条对角线，将多边形分成（n－2）个三角形，每个三角形内角和180°。
我们可以得到：
n边形的内角和等于（n－2）×180°。
先通过用对角线分割五边形成三角形来计算五边形内角和的办法，进一步启发学生解决多边形内角和问题的一般思路，再用计算六边形内角和的具体操作过程建立一般求解方法，为计算n边形的内角和奠定基础．
练习：（1）十边形的内角和是
（2）n边形的内角和是1800°，则n=
（3）多边形的内角和不可能是（）
A. 810°
B. 540°
C. 1800°
D. 180°
（四）做一做
请你根据多边形的一个内角与同它相邻的一个外角的和等于180°(互为补角)，计算出三角形，四边形、五边形、六边形及n边形的外角和，并把你的计算结果填入下面的表格中．
通过填表的过程，发现外角和的规律．
这样，我们得到，多边形的外角和等于360°。
（五）例题
例已知一个多边形，它的内角和与外角和相等．请说明这个多边形是几边形．
解：设多边形的边数为n，则它的内角和等于(n－2)×180°，外角和等于360°．由(n－
2)×180°=360°，解得n=4．所以，这个多边形是四边形．
（六）练习
1．请举出分别含有多边形和正多边形的实物或实例．
2．请说出正八边形的边数、顶点数、内角和、外角和、每个内角的度数以及每个外角的度数．
答案
1．略．
2．8，8，1 080°，360°，135°，45°．
（七）小结
引导学生总结本节的主要知识点。
（八）板书设计
1、对角线＿＿＿＿＿平行四边形是矩形。 2、如图⑴已知O 是□ABCD 的对角线交点，AC ＝24，BD ＝38，AD ＝14，那么△OBC 的周长等于＿＿＿＿＿。 3、在平行四边形ABCD 中，∠C ＝∠B+∠D,则∠A ＝＿＿＿，∠D ＝＿＿＿。 4、一个平行四边形的周长为70cm ，两边的差是10cm ，则平行四边形各边长为＿＿＿＿cm 。 5、已知菱形的一条对角线长为12cm ，面积为30cm 2，则这个菱形的另一条对角线长为__________cm 。 6、菱形ABCD 中，∠A ＝60o ，对角线BD 长为7cm ，则此菱形周长＿＿＿＿＿cm 。 7 8、如图2矩形ABCD 的两条对角线相交于O,∠AOB ＝60o ,AB ＝8,则矩形对角线的长＿＿＿。 9、如图3,等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥DE ，BC ＝8，AB ＝6，AD ＝5则△CDE 周长＿＿＿。 10、正方形的对称轴有＿＿＿条 11、如图4，BD 是□ABCD 的对角线，点E 、F 在BD 上，要使四边形AECF 是平行四边形，还需增加的一个条件是＿＿＿ 12、要从一张长为40cm ，宽为20cm 的矩形纸片中，剪出长为18cm ，宽为12cm 的矩形纸片，最多能剪出＿＿＿＿＿＿张。 13、在□ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值可以是（ ） A 、1：2：3：4 B 、1：2：2：1 C 、2：2：1：1 D 、2：1：2：1 14、菱形和矩形一定都具有的性质是（ ） A 、对角线相等 B 、对角线互相垂直 C 、对角线互相平分 D 、对角线互相平分且相等 15、下列命题中的假命题是（ ） A 、等腰梯形在同一底边上的两个底角相等 B 、对角线相等的四边形是等腰梯形 C 、等腰梯形是轴对称图形 D 、等腰梯形的对角线相等 16、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，能判定它是正方形的是（ ） A 、AO ＝OC ，OB ＝OD B 、AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BD C 、AO ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD D 、AO ＝OC ＝OB ＝OD 17、给出下列四个命题 ⑴一组对边平行的四边形是平行四边形 ⑵一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 ⑶两条对角线互相垂直的矩形是正方形 ⑷顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是等腰梯形。 其中正确命题的个数为（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 18、下列矩形中按虚线剪开后，能拼成平行四边形，又能拼成直角三角形的是（ ） 19、（8分）如图：在□ABCD 中，∠BAD 的平分线AE 交DC 于E ，若∠DAE ＝25，求∠C 、∠B 的度数。 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 中 点 A B
人教版四年级下三角形内角和习题 1 、一个三角形有（ ）个顶点，（ ）个角和（ ）条边。 2、三角板上的三个角的度数分别是（ ）、（ ）、（ ）或（ ）、（ ）、（ ）。 3、一个等腰三角形的顶角是120o，它的底角是（ ）度，是（ ）三角形。 4、在一个等腰三角形中，顶角是一个底角的3倍，这个三角形三个角的度数分别为（ ）、（ ）、（ ）。 5、三角形三个内角的和等于 。在△ABC 中，∠C=70°，∠A=50°，则∠B= 度。 6、三角形按内角的大小分为三类，一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是什么三角形？（1）30°和60° （ ） （2）40°和70° （ ） （3）50°和30° （ ） 7、直角三角形的两锐角相加等于（ ）度。 如上图， 在直角三角形ABC 中，∠A=2∠B ，则∠A= 度，∠B= 度。 8、在一个三角形中，∠1＝42°，∠2＝29°，∠3＝（ ）。这是一个（ ）三角形。 9、在一个三角形的三个角中，一个是50度，一个是80度，这个三角形既是 （ ）三角形，又是（ ）三角形。 10、如右图，AD 垂直于BC ，∠1=40°，∠2=30°，则∠B= 度，∠C= 度 11、在空白处填入“锐角”、“直角”或“钝角”： （1） 如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是 三角形； （2）如果三角形的两个内角都小于40°，那么这个三角形是 三角形。 判断： 1、等腰三角形都是锐角三角形。 （ ） 4、任意一个三角形中，最大的一个内角一定比60o大。 （ ） 5、用长10㎝、4㎝和3㎝的三根小棒不能围成一个三角形。 （ ） 3、有一个角是锐角的三角形就是锐角三角形。 （ ） 6、直角三角形只有两个锐角。 （ ） A B C
平行四边形的性质 一．选择题（共20小题） 1．已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线α的取值范围为（） A．4＜α＜16 B．14＜α＜26C．12＜α＜20 D．以上答案都不正确 2．若平行四边形的一边长为5，则它的两条对角线长可以是（） A．12和2 B．3和4 C．4和6 D．4和8 3．如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60度，AB=5cm，则下面结论正确的是（） A．BC=5cm，∠D=60度B．∠C=120度，CD=5cm C．AD=5cm，∠A=60度D．∠A=120度，AD=5cm 4．如图所示，一个平行四边形被分成面积为S 1，S 2 ，S 3 ，S 4 的四个小平行四边 形，当CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时，S 1?S 4 与S 2 ?S 3 的大小关 系为（）A．S 1?S 4 ＞S 2 ?S 3 B．S 1 ?S 4 ＜S 2 ?S 3 C．S 1 ?S 4 =S 2 ?S 3 D．不 能确定 5．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O（如图），则图中全等三角形的对数为（）A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，点A在平行四边形的对角线上，试判断S 1，S 2 之间的大小关系（） A．S 1=S 2 B．S 1 ＞S 2 C．S 1 ＜S 2 D．无法确定
7．下列平行四边形中，其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是（） A．B． C．D． 8．如图，?ABCD中，EF∥AD，GH∥CD，EF、GH相交于O，则图中平行四边形的个数为（）A．9 B．8 C．6 D．4 9．下列说法：①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形．②平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍．③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形．④平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等其中正确的个数有（）A．1个 B．2个C．3个D．4个10．平行四边形的对角线和它的边可以组成全等三角形（） A．3对B．4对C．5对D．6对 11．如图，在?ABCD中，AB=8，AD=6，∠DAB=30°，点E，F在AC上，且AE=EF=FC，则△BEF的面积为（） A．8 B．4 C．6 D．12 12．如图所示，?ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AF⊥BD于F，CE ⊥BD于E，则图中全等三角形的对数共有（）
多边形的内角和与外角和 教学目标 1 了解多边形的外角和的概念、掌握多边形的外角和公式。 2了解正多边形的概念。 3 了解四边形的不稳定性及生活中的运用。 4 通过多边形内角和的探索，让学生体验从特殊到一般的思考方法。 重点、难点 重点：多边形的外角的概念、多边形的外角和公式。 难点：多边形外角和公式的推导过程。 教学过程 一 创设情境，导入新课 1 如图，AB ∥DE,AC ∥DF,那么∠A 与∠D 有什么关系？为什么？你能有一句话表达这个结论吗？ 解：∠A=∠D ，理由是：设AC 与DE 交于C ， ∵AB ∥DE,AC ∥DF ∴∠A=∠ACD=∠D 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，而且开口方向一致，那么这两个角相等。 2 四边形的内角和=_____,n 边形的内角和=______. 3 什么叫三角形的外角？什么叫三角形的外角和？三角形的外角和等于______. 三角形的一边和另一边的延长线组成的角叫三角形的外角，三角形的每一个内角的外角（共三个）的和叫三角形的外交和，三角形的外角和等于180o 4 类似地，多边形一边和另一边的反向延长线组成的角叫多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫多边形的外交和。 5 我们知道多边形每多一条边，多边形的内角和就多180o，外角和多多少度呢？你猜猜看. 你的猜想对吗？下面我们来学习———多边形的内角和与外角和（2） 二 合作交流，探究新知 1 特殊外边形的外角和 （1）等边三角形的每一个内角等于_____,每一个外角等于____,外角和等于______, (2) 正方形的每一个内角 等于____,每一个外角等于____,外交和等于_____, (3) 如果无边的每个内角是相等的，这个五边形的每一个内角等于____,每一个外角等于____,外交和等于_____。 （3）如果六边形的每个内角是相等的，这个六边形的每一个内角等于____,每一个外角等于____,外交和等于_____。 从上面的多边形看到，边数增加，外角和并没有增加，都是360 o，但这些多边形的是特殊的，是否任意的多边形内角和都等于等于 360 o呢？ 2 普通多边形的外角和 F E D C B A 32 1F E D C B A 32 1F E D C B A 4 3 2 1 D C B A 5 43 21 E D C B A 6543 21 F E D C B A 4 1D A
第9章四边形（请记熟前两页）对边不平行的四边形 一般梯形 梯形等腰梯形 四边形特殊梯形 直角梯形 矩形 平行四边形｝正方形 菱形 一、平行四边形 定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 性质：1、对边：分别平行且相等； 2、对角：分别相等； 3、对角线：互相平分； 4、对称性：中心对称图形。 判定定理1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）； 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
A C B D 5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 二、矩形 定义：有一个角是直角的平行四边形。 性质：1、具有平行四边形的所有性质； 2、四个角都是直角； 3、对角线互相平分且相等； 4、对称性：中心对称图形，轴对称图形。 判定定理： 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.对角线相等的平行四边形是矩形。 3.有三个角是直角的四边形是矩形。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 三、菱形 定义：邻边相等的平行四边形。 性质：1、具有平行四边形的所有性质； 2、四条边都相等； 3、对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； 4、对称性：中心对称图形、轴对称。 判定定理： 1.一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）；
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 3.四条边相等的四边形是菱形。S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线） 四、正方形 定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。 性质：1、四条边都相等； 2、四个角都是直角； 3、正方形既是矩形，又是菱形。 判定定理：1、邻边相等的矩形是正方形。 2、有一个角是直角的菱形是正方形。 五、梯形 定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 1、直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形 2、等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。 等腰梯形的性质：1、同一底边上的两个角相等； 2、两条对角线相等； 3、两腰相等； 4、对称性：轴对称图形。 等腰梯形判定定理：1、两腰相等的梯形是等腰梯形； 2、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形； 3、对角线相等的梯形是等腰梯形；
与三角形有关的角 一、本节学习指导 本节知识点比较多要熟练掌握知识点：1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题；４．学会添加辅助线构造基本图形解决问题． 二、知识要点 １、三角形内角 （１）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°． 表示为：在△ABC中，有∠A+∠B+∠C=180°． 由三角形内角和定理可得： ①直角三角形的两个锐角互余. ②有两个角互余是三角形是直角三角形. （２）作用： 在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角之间关系，求各角；已经知道了三角形的内角和等于180°，但要注意的是在解决实际问题时，这一点是不会在已知中说出，往往要把它作为隐含的条件来用． 三角形内角和定理证明方法很多，定理的证明需要添加辅助线，通过辅助线将角转移和集中，把隐含的条件显现出来． 如几种常见的证明思路： 思路1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．
因为AB∥CD（已知）， 所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）． 又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义）， 所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）． 思路2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于点F． 因为DF∥AC（已作）， 所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）． 因为DE∥AB（已作）． 所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）． 所以∠A=∠2（等量代换）． 又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），
最新修正版 C B A C B A D C B A c b a C B A 八年级下册数学复习资料 姓名 第一章 直角三角形 1、直角三角形的性质： ①直角三角形的两锐角互余 ②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。 如图，在Rt ?ABC 中，∵CD 是斜边AB 的中线，∴1 2 CD AB = 。 例·直角三角形斜边长20cm,则此斜边上的中线为 . ③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角 边等于斜边的一半。 如图，在Rt ?ABC 中，∵∠A=30°，∴1 2 BC AB = 。 例·在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则下列结论中正确的是（ ）。 A ．AB=2BC B ．AB=2AC C ．AC 2+AB 2=BC 2 D ．AC 2+BC 2=AB 2 ④在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的角等于30°。 如图，在Rt ?ABC 中，∵1 2 BC AB = ，∴∠A=30°。 例·等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是 。 ⑤勾股定理及其逆定理 （1）勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等 于斜边c 的平方，即2 2 2 a b c +=。 求斜边，则22c a b =+；求直角边，则22a c b =-或22 b c a =-。 例·如图是拉线电线杆的示意图。已知CD ⊥AB ，，∠CAD=60°， 则拉线AC 的长是________m 。 例·若一个直角三角形的两边长分别为6和10，那么这个三角形的第三条边长是______。 （2）逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系222 a b c +=，那么这个三角形是直角三角形 。 分别计算“2 2 a b +”和“2 c ”，相等就是Rt ?，不相等就不是Rt ?。 例·在Rt △ABC 中，若AC=2，BC=7，AB=3，则下列结论中正确的是（ ）。 A ．∠C=90° B ．∠B=90° C ．△ABC 是锐角三角形 D ．△ABC 是钝角三角形
八年级数学四边形测试题 姓名 （考试时间：90分钟 满分：100分） 一、填空：（每小题2分，共24分） 1、对角线＿＿＿＿＿平行四边形是矩形。 2、如图⑴已知O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，AC ＝24，BD ＝38，AD ＝14，那么△OBC 的周长等于＿＿＿＿＿。 3、在平行四边形ABCD 中，∠C ＝∠B+∠D,则∠A ＝＿＿＿，∠D ＝＿＿＿。 4、一个平行四边形的周长为70cm ，两边的差是10cm ，则平行四边形各边长为＿＿＿＿cm 。 5、已知菱形的一条对角线长为12cm ，面积为30cm 2，则这个菱形的另一条对角线长为__________cm 。 6、菱形ABCD 中，∠A ＝60o ，对角线BD 长为7cm ，则此菱形周长＿＿＿＿＿cm 。 7 8、如图（2）矩形ABCD 的两条对角线相交于O,∠AOB ＝60o ,AB ＝8,则矩形对角线的长＿＿＿。 9、如图（3）,等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥DE ，BC ＝8，AB ＝6，AD ＝5则△CDE 周长＿＿＿。 10、正方形的对称轴有＿＿＿条 11、如图（4），BD 是□ABCD 的对角线，点E 、F 在BD 上，要使四边形AECF 是平行四边形，还需增加的一个条件是＿＿＿＿＿＿ ⑴ ⑵ ⑶ ⑷
12、要从一张长为40cm，宽为20cm的矩形纸片中，剪出长为18cm，宽为12cm 的矩形纸片，最多能剪出＿＿＿＿＿＿张。 二、选择题：（每小题3分，共18分） 13、在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（） A、1：2：3：4 B、1：2：2：1 C、2：2：1：1 D、2：1：2：1 14、菱形和矩形一定都具有的性质是（） A、对角线相等 B、对角线互相垂直 C、对角线互相平分 D、对角线互相平分且相等 15、下列命题中的假命题是（） A、等腰梯形在同一底边上的两个底角相等 B、对角线相等的四边形是等腰梯形 C、等腰梯形是轴对称图形 D、等腰梯形的对角线相等 16、四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，能判定它是正方形的是（） A、AO＝OC，OB＝OD B、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD C、AO＝OC，OB＝OD，AC⊥BD D、AO＝OC＝OB＝OD 17、给出下列四个命题 ⑴一组对边平行的四边形是平行四边形⑵一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 ⑶两条对角线互相垂直的矩形是正方形⑷顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是等腰梯形。 其中正确命题的个数为（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 18、下列矩形中按虚线剪开后，能拼成平行四边形，又能拼成直角三角形的是
多边形的内角和与外角和【学案1】 说明：（学号前30的同学表示A：学号30后的同学表示B） 学习目标：经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系；探索多边形内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。 一，阅读课本，并完成下列问题 1、什么是多边形？多边形的边，顶点，内角，对角线以及凸多边形的定义？ 2、三角形内角和？四边形内角和？ 二，知识探究 过多边形的一个顶点p出发将多边形分割成若干个三角形，观察，推导完成下面任务 类比探究、归纳n边形的内角和 结论：多边形内角和等于： 三，【例题讲解：】 例1：已知多边形为9边形，你能求出多边形的内角和吗？（通过边求角） 解： 例2：已知一个多边形，它的内角和等于五边形内角和的两倍，求该多边形的边数？（通过角求边）解：
四，【当堂训练】 1、n边形的内角和等于__________， 九边形的内角和等于_________ 2、一个多边形的内角和等于1440°，那么它是______边形. 3、多边形的内角和随着边数的增加而，边数增加一条时， 它的内角和增加度 . 4、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形。这个多边形是几边形？它的 内角和是多少？【只A层次学生做】 五，【回顾反思】 1、对自己说，你有什么收获？ 2、对同学说，你有什么温馨提示？ 六，【分层次布置作业：】 1.p114练习（1）（2） P117A组（1）【A、B 层均做】 2、如图所示，分别以四边形的各个顶点为圆心，半径为R?作圆（这些圆互不相交），把这些圆与四边形的 公共部分（即图中阴影部分）剪下来拼在一起，你有什么发现？并用有关的数学知识进行解释．【A，B层做】 3探究五边形内角和 你能想出几种添加辅助线求五边形内角和的方法？（提示：将五边形分割成多个三角形的方法） 表达式： 结论：五边形内角和等于
《三角形内角和》教学设计 教学内容：北师大版《数学》四年级下册第24、25页 教学思考： 一、为什么要学习三角形内角和。 “三角形内角和”内容小学、初中都要学习，小学三角形内角和属于实验何， 初中则是演绎几何。《课程标准（2011版）》所指出的：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”并在数学思考的目标表述中做了明确要求，指出：要“发展合情推理和演绎推理能力”。波利亚很早就注意到“数学有两个侧面……用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学。”因此，与之相适应，应该有两类推理：用合情推理获得猜想，发现结论；用演绎推理验证猜想，证明结论。课程标准强调通过多样化的活动培养学生的推理能力。如《课程标准（2011版）》提出：“在观察、操作等活动中，能提出一些简单的猜想”（第一学段），“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力”（第二学段），“在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理能力”（第三学段）。可见，初中学习三角形内角和小学四年级学习三角形内角承载的功能与价值是有差异的。小学阶段侧重在观察、实验、猜想、验证等系列活动中体会与感知三角形内角和180度，属于演绎推理的范畴；初中进一步学习三角形内角和则是运用数学相关定理（平行线间
同位角、内错角相等）证明三角形内角和，属演绎推理的范畴。从而决定四年级三角形内角和的学习为实验几何，初中则才是演绎几何。 小学阶段平面几何的研究一般从边与角的维度展开，三角形属于平面几何图形较为基础、简单的模型，有必要对三角形“角”与“边”特征展开研究，为后继认识平面图形与立体图形研究维度埋下伏笔。任何实验需要经历猜想、实验、验证、检验等过程。 二、怎样学习三角形内角和。 1.教材编排清逻辑。北师大版教材将三角形内角和安排在四年级下册，之前学生初步认识长方形、正方形、三角形、圆，知道平行四边形的名称；认识角、直角、锐角与钝角、平角、周角；认识平行线与垂线；是之后学习三角形、平行四边形面积知识基础。本单元教材安排认识各种平面图形、图形分类、图形性质的探索等。分类活动中对三角形、四边形有一初步认识，通过探索活动，进而发现三角形三边关系和三角形内角和，深入理解图形性质。 教材分两个课时进行编排，第一课时主要探索三角形内角和，第二课时运用三角形内角和180度的结论解决一些问题。本课属于第一课时内容。教材首先创设了一个有趣的问题情境，大小不同的两个三角形对内角和的真论，引出对三角形内角和的探索活动。之后安排三个问题：第一个问题是通过不同三角形的量角及求和活动探索三角形内角和；第二个问题是结合上面活动结果，明晰三角形内角和是180度；第三个问题是进一步通过操作活动验证三角形内角和为180°，呈现两种学生可能的验证办法：第一种是将三角形三个内角撕下来，拼成
核心素养专题：四边形中的探究与创新 1．(2017·苏州中考)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.设P、P′分别是EF、E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为() A．28 3 B．24 3 C．32 3 D．323－8 第1题图第2题图 2．(2017·北京中考)数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．(以上材料来源于《古证复原的原理》《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》) 请根据上图完成这个推论的证明过程． 证明：S矩形NFGD＝S△ADC－(S△ANF＋S△FGC)，S矩形EBMF＝S△ABC－(______________＋______________)． 易知S△ADC＝S△ABC，______________＝______________，______________＝______________．可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF. 3．(2017·兰州中考)如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C 落到点E处，BE交AD于点F. (1)求证：△BDF是等腰三角形； (2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O. ①判断四边形BFDG的形状，并说明理由； ②若AB＝6，AD＝8，求FG的长． 4．(2017·通辽中考)邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，
4.1 多边形 教学目标 知识与技能 1．了解多边形的概念. 2．掌握多边形的外角和及内角和公式. 3．通过把多边形转化为三角形，体会转化思想在几何中的运用，让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法． 过程与方法 1．让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程发展学生的合情推理能力和语言表达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法． 2．通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题． 情感、态度与价值观 通过学生间交流、探索、进一步激发学生的学习热情和求知欲望，养成良好的数学思维品质． 重点难点 重点 探索多边形的内角和公式及外角和． 难点 如何把多边形转化成三角形，用分割多边形方法推导多边形的外角和与内角和． 教学设计 一、复习 1．三角形的定义． 2．三角形的内角和与外角和． 学生回忆后思考回答． 二、探究 1．多边形的有关概念 (1)我们已经知道三角形的定义，那么能否模仿三角形的定义来给四边形、五边形下定义？ 学生思考、讨论、交流，得出答案． 教师活动：鼓励、点评． (2)教师引导、归纳得出： 一般地，由n条(n≥3)不在同一直线上的线段首尾顺次相接形成的图形称为n边形，又称多边形．
(3)活动：根据多边形的定义，自画一些多边形，同桌相互识别，判断是几边形． 学生画图，同桌互相交流． 注意：—般以顺时针或逆时针方向按顺序确定顶点字母． (4)多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角.多边形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点.连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线. (5)四边形的定理：四边形的内角和等于360°. (6)课堂讨论，完成下表． 学生思考填表，讨论交流． 例1 如课本，四边形风筝的四个内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为1:1:0.6:1.求它的四个内角的度数. 2．多边形的内角和与外角和. (1)问题导引：三角形的内角和随三角形的形状大小而变化吗？ (2)类比猜想：四边形的内角和随四边形的形状大小而变化吗？ 怎样把四边形转化为三角形来计算呢？ (3)思考：通过作对角线可以把四边形转化为三角形吗？ (4)类比的办法观察，过多边形的一个顶点能作多少条对角线？ 把多边形分成多少个三角形？填表 归纳得出：n边形的内角和为(n-2)·180°． (5)多边形的每一个外角与它相邻的内角之间是什么关系？ 学生思考后回答． (6)同三角形一样，多边形的几个外角与相对应的内角之和为多少？ 学生分组讨论交流． 学生代表口答． 教师点评并总结：任何多边形的外角和为360°．
小学数学四年级三角形内角和的评课 评课人：王丽 刚才听了王老师的一节数学课，整节课程老师通过巧妙的设计，让学生经历了观察、发现、猜测、验证、归纳、概括等数学活动，切实体现了新课程的核心理念“以学生为本，以学生的发展为本”。具体体现在以下几个方面： 一、激趣导入,让学生乐于操作数学 王老师在《三角形内角和》的课堂教学中，从学生个体的经验出发，注重学生学习数学的态度、动机和兴趣，组织能够帮助学生获得经验的活动。采用“谜语激趣与导入”这一教学环节，激发学生学习兴趣和激活学生已有的经验和基本知识，来替代传统课堂教学中的“复习”这一环节。 通过让学生利用直角三角板，计算三角形的内角和，既激活了学生对三角形内角和的已有了解，初步感知三角形的内角和是180°这一数学规律，又激发了学生探索的积极性。 二、探索发现，让学生善于实验数学 数学的结论来源于学生的探索，对现象的观察，对数据的度量、统计与分析，对各种情况的归纳总结。王老师在本节课中非常重视学生的自主探究，让他们在经历探索三角形的内角和是180度的过程中，探讨和总结“三角形内角和”这一数学规律。
首先，学生利用量角器量出三角形三个内角的度数并算出三个内角的和，发现锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的内角和都是180°。但同时在有误差的情况下，学生也提出了不同的看法，引起争论，进入第二层次的探索。 其次、利用学生引发的争议，让学生动手操作，想办法把三角形的三个内角拼成一个平角，并进行交流。这样，引导学生通过撕拼、折拼等多种方式把三个内角拼成一个平角，验证“三角形的内角和是180°”这一数学规律。课堂上学生自始至终保持着浓厚的探究兴趣，学生通过动手操作，使实践能力、观察能力、归纳能力等都得到很好的锻炼，教学效果也比较好。 三、练习题迁移应用,让学生精于实践数学 学生的学习应强调应用数学的意识，让学生精于实践数学。在练习题环节，在学生探索发现数学规律后，王老师引导学生应用规律解决一些实际的问题，即求出三角形中未知角的度数。同时鼓励学生注意倾听他人的意见，把别人的思路同自己的想法联系起来。 四、拓展延伸环节，让学生勇于研究数学。在这次课堂教学中，拓展延伸部分解决了两个问题，让学生研究、交流，得出“不管是小三角形还是两个小三角形拼成的一个大三角形，三角形的内角和都是180°”；讨论“四边形、五边形、六边形的内角和是多少度为什么”这些题对发展学生的思维能
平行四边形练习题 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．在ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：2，则∠D=（）A）36°B）108°C）72°D）60°2．如果等边三角形的边长为3，那么连结各边中点所成的三角形的周长为（）． （A）9 （B）6 （C）3 （D）9 2 3．平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边x的取值范围为（）．（A）4 §11.2.1三角形的内角 教学目标： 知识与技能 1.掌握直角三角形的概念及表示方法 2.能用推理的方法导出直角三角形的性质，会用直角三角形性质进行有关的推理与计算 3.会用推理的方法推导出两锐角互余的 过程与方法 在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯 情感、态度与价值观 体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心 重点、难点 重点：直角三角形的性质 难点：理解直角三角形的性质及两锐角互余的三角形是直角三角形 教学过程 一、复习回顾 三角形的内角和是多少度？ 二、探求新知 1、请同学画一个直角三角形ABC,其中∠C=90° 2试问：∠A与∠B有什么关系？请说明理由。 答：∠A与∠B互为余角 理由：在△ABC中 ∵∠A+∠B +∠C=180°（三角形内角和定理） ∵∠C=90°（已知） ∴∠A+∠B = 90°（等式性质） 也就是：直角三角形两锐角互余。 问题：1.直角我们可以用什么符号表示？三角形用什么符号表示？直角三角 形又用什么符号表示呢？ 直角我们用“Rt”表示，三角形我们用“△”表示，所以直角三角形我们就用 “Rt△”来表示。 如图直角三角形ABC就表示为Rt△ABC 三、例题讲解 例3：如图∠D= ∠C=90 ,AD,BC交于点E, ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什 么？ 答：∠CAE=∠DBE 理由：在Rt△ACE中， ∠CAE+ ∠CEA =90°（直角三角形两锐角互余） 在Rt△ACE中， ∠DBE + ∠DEB =90° （直角三角形两锐角互余） ∵∠CEA= ∠ DEB（对顶角相等） ∴∠CAE=∠DBE（等角的余角相等） 《多边形的内角和》教学设计 佘家坪乡中学向家桥分校杨年波 【学习内容分析】本节课的内容是义务教育教科书八年级数学下册第2章第1节第1课时的内容，是学生在学习了三角形的定义、边、角以及内角和、外角和的基础上来，来进行多边形的定义、边、角、对角线、内角和以及内角和的推理。 【学习者分析】八年级的学生已经具备一定的图形知识，学生可以通过对比学习来掌握多边形的定义、边角、内角和，同时也具备一定的动手操作能力，通过让学生运用多种方法动手分割多边形，分析、讨论、归纳出多边形内角和的公式，并能利用其公式进行多边形的一些简单计算。使学生理解多边形的基本知识，锻炼学生的动手操作能力，激发学生的学习兴趣，为学生终身发展打下基础。 【教学目标】知识与技能：掌握多边形内角和的计算方法，并能用内角和知识解决有关多边形的计算问题；通过多边形内角和公式的推导，培养学生探索与归纳的能力。 过程与方法：经历探索多边形内角和的过程，多角度，全方位地考虑问题，培养学生对简单数学结论的探究方法，进而运用掌握的理论知识解决实际问题，进一步培养学生数学说理能力，初步形成一定的推理思维。 情感、态度与价值观：通过经历数学知识的形成过程，体验转化、类比等数学思想方法的应用，体验猜想得到证实的成就感。 【教学重点】掌握多边形内角和公式，并学会应用。 【教学难点】如何把多边形转化成三角形，用分割多边形推导多边形的内角和。 【设计思路】本节课教材是在学生学习了三角形的基本概念和内角和的基础上，来探究多边形的基本概念和内角和的，学生可以通过自主学习，理解多边形的基本结构、基本概念，通过学生之间的合作交流，动手操作，归纳出多边形的内角和公式。教师通过展示多媒体课件，强化学生对多边形基础知识的理解，验证学生对多边形内角和的推导。 【教学课时】1课时 【教学准备】白卡纸、三角尺（直尺）、多媒体课件 【教学过程】 一、探究新知 1．由三角形概念类比得出多边形及相关概念： （1）由学生画出3个边数不同的多边形，分别读出它们的名称． 八年级数学下册《四边形》经典例题 例一：如图，已知DE∥BC，CE和BD相交于点O，S△DOE∶S△COB＝4∶9，则 AE∶EB为（） A．2∶1 B．2∶3 C．3∶2 D．5∶4 例二：已知：如图，□ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于 F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G． 求证：(1) AB＝BH； (2) AB2＝GA·HE． 例三：如图1，正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE（不需要证明） （1）如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF,上面的结论①、②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”） （2）如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线上和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 例四：如图，在△ABC中，∠ACB=90 ，BC的垂直平分线．DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE上，并且AF=CE． (1)求证：四边形ACEF是平行四边形． (2)当∠B的大小满足什么条件时，四边形．ACEF是菱形?证明你的结论． (3)四边形ACEF有可能是正方形吗?为什么? 例五：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E、F两点在边BC上，且四边形AEFD 是平行四边形． （1）AD与BC有何等量关系，请说明理由； （2）当AB=DC时，求证：平行四边形AEFD是矩形． 例六：如图所示，（1）正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A,∠EAF=900, 连接BE、DF.将Rt △AEF绕点A旋转,在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明； (2)将（1）中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD=kAB,AF=kAE,其他条件不变.(1)中的结论是否发生变化？结合图(2)说明理由； 三角形内角和 典题探究 一个 1、三角形的两个内角和是850，你知道这是一个什么三角形吗？ 2、在一个三角形中，已知∠1是∠2的2倍，∠2是∠3的31。这个三角形各个角是多少度？这是一个什么三角形？ 3、同学们知道三角形的内角和是1800，你能运用这个知识分别求出四边形、五边形、六边 形的内角和吗？ 4、如图，两个三角形都是等腰三角形，∠3是多少度？ 演练方阵 A 档（巩固专练） 1．由三条( )围成的图形叫三角形。 2．三角形按角可分为( )三角形、( )三角形、( )三角形。 3．三角形的内角和是( )。 4．等腰直角三角形中三个内角分别是( )，( )和( )。 5、判 断，(对的画“√”，错的画“X ”) (1)．一个三角形有一个锐角，那么，这个三角形就一定是锐角三角形。( ) (2)．直角三角形中只能有一个角是直角。( ) (3)．等边三角形一定是锐角三角形。( ) (4)．三角形共有一条高。( ) (5)．一个三角形中，最大的角是锐角，那么，这个三角形一定是锐角三角形。( ) (6)．两个底角都是280的三角形，一定是钝角三角形。( ) 6、选 择。 (1)．一个等腰三角形，其中一个底角是750，顶角是( ) A ．750 B ．450 C ．300 D ．600 (2)．任意一个三角形都有( )高。 A ．一条 B ．两条 C 三条 D ．无数条 (3)．( )个角是锐角的三角形，叫锐角三角形。 A．三 B．二 C．— (4)．三角形越大，内角和( ) A．越大 B．不变 C．越小 7、求下面三角形中／3的度数，并指出是什么三角形。 1．∠1＝300，∠2＝1080，∠3＝ ( )，它是( )三角形。 2．∠1＝900，∠2＝450，∠3＝( )，它是( )三角形。 3．∠1＝700，∠2＝700，∠3＝( )。它是( )三角形。 4．∠1＝900，∠2＝300，∠3＝( )，它是( )三角形。 8、一个三角形的两个内角和是1100，你知道这是一个什么三角形吗？ 9、在△ABC中，已知∠A是∠B的3倍，且∠A比∠B大600，这个三角形各个角是多少度？你知道这是一个什么三角形？ 10、一个等腰三角形的顶角是一个底角的2倍，这个三角形各个角是多少度？ B档（提升精练） 1、任意三角形的内角和是度；一个直角三角形的两个锐角的和是度。 2、正三角形的每一个内角是度。 3、一个三角形的两个角分别是30度和40度，那么这个三角形是 三角形。 4、判断题。 （1）、由三条线段一定可以组成三角形。（） （2）、最少要用3（） （3）、三角形两个内角和是115度，另一个角一定是75度。（） （4）、等腰三角形一定是锐角的三角形。（） （5）、等腰三角形可以是直角三角形。（） （6）、有一个锐角的三角形是锐角的三角形。（） （7）、有一个钝角的三角形是钝角三角形。（） 5、选择题。 5、等腰三角形的一个底角是70度，那么顶角是（）。 A、110度 B、40度 C、55度 6、所有的等边三角形都是（）。 A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 7、平行四边形的内角和是（）。 A、180度 B、270度 C、360度 6、、求出下面图形中的角的度数。新人教版八年级数学11.2.1三角形的内角教案(2)
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