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有理数知识点及经典题型总结讲义(全)备课讲稿

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第1讲有理数

教学目标

1、掌握有理数的分类,学会把有理数对应的点画在数轴上;

2、掌握相反数、绝对值、倒数的求法,会比较有理数的大小;

3、掌握有理数的大小比较;

4、掌握有理数的加减乘除幂的运算法则,并会灵活解题。

正数和负数

⒈正数和负数的概念

负数:比0小的数正数:比0大的数0既不是正数,也不是负数

注意:①字母a可以表示任意数,当a表示正数时,-a是负数;当a表示负数时,-a是正数;当a表示0时,-a仍是0。(如果出判断题为:带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如+a,-a就不能做出简单判断)

②正数有时也可以在前面加“+”,有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。

2.具有相反意义的量

若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如:

零上8℃表示为:+8℃;零下8℃表示为:-8℃

3.0表示的意义

⑴0表示“没有”,如教室里有0个人,就是说教室里没有人;

⑵0是正数和负数的分界线,0既不是正数,也不是负数。

有理数

1.有理数的概念

⑴正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数)

⑵正分数和负分数统称为分数

⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。

理解:只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。

注意:引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8…也是偶数,-1,-3,-5…也是奇数。

2.有理数的分类

⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分

正整数正整数

整数 0 正有理数

负整数正分数

有理数有理数0(0不能忽视)正分数负整数

分数负有理数

负分数负分数

总结:①正整数、0统称为非负整数(也叫自然数)

②负整数、0统称为非正整数

③正有理数、0统称为非负有理数

④负有理数、0统称为非正有理数

数轴

⒈数轴的概念

规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。

注意:⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;⑶同一数轴上的单位长度要统一;⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

2.数轴上的点与有理数的关系

⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。(如,数轴上的点π不是有理数)

3.利用数轴表示两数大小

⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;

⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;

⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。

4.数轴上特殊的最大(小)数

⑴最小的自然数是0,无最大的自然数;

⑵最小的正整数是1,无最大的正整数;

⑶最大的负整数是-1,无最小的负整数

5.a可以表示什么数

⑴a>0表示a是正数;反之,a是正数,则a>0;

⑵a<0表示a是负数;反之,a是负数,则a<0

⑶a=0表示a是0;反之,a是0,,则a=0

6.数轴上点的移动规律

根据点的移动,向左移动几个单位长度则减去几,向右移动几个单位长度则加上几,从而得到所需的点的位置。

相反数

⒈相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。

注意:⑴相反数是成对出现的;⑵相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负;

⑶0的相反数是它本身;相反数为本身的数是0。

2.相反数的性质与判定

⑴任何数都有相反数,且只有一个;

⑵0的相反数是0;

⑶互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a,b互为相反数,则a+b=0

3.相反数的几何意义

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;互为相反数的两个数,在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点;原点表示0的相反数。

说明:在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。

4.相反数的求法

⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得(如:5的相反数是-5);

⑵求多个数的和或差的相反数是,要用括号括起来再添“-”,然后化简(如;5a+b的相反数是-(5a+b)。化简得-5a-b);

⑶求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,然后化简(如:-5的相反数是-(-5),化简得5)

5.相反数的表示方法

⑴一般地,数a 的相反数是-a ,其中a是任意有理数,可以是正数、负数或0。

当a>0时,-a<0(正数的相反数是负数)

当a<0时,-a>0(负数的相反数是正数) 当a=0时,-a=0,(0的相反数是0)

考试常考:已知a,b 互为相反数,立马要想到a+b=0. 6.多重符号的化简

多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略;“-”号的个数决定最后化简结果;即:“-”的个数是奇数时,结果为负,“-”的个数是偶数时,结果为正。

练习1. )213(-- )5

1

4(-+ )]5([--- )]}2([{+-+-

绝对值

⒈绝对值的几何定义

一般地,数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值,记作|a|。 2.绝对值的代数定义

⑴一个正数的绝对值是它本身; ⑵一个负数的绝对值是它的相反数; ⑶0的绝对值是0. 可用字母表示为:

①如果a>0,那么|a|=a ; ②如果a<0,那么|a|=-a ; ③如果a=0,那么|a|=0。 可归纳为①:a ≥0,<═> |a|=a (非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。) ②a ≤0,<═> |a|=-a (非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。) 3.绝对值的性质

任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有非负性。所以,a 取任何有理数,都有|a|≥0。即:

⑴0的绝对值是0;绝对值是0的数是0.即:a=0 <═> |a|=0; ⑵一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是0.即:|a|≥0; ⑶任何数的绝对值都不小于原数。即:|a|≥a ;

⑷绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即:若|x|=a (a>0),则x=±a ; ⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即:|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|; ⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即:|a|=|b|,则a=b 或a=-b ;

⑺若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。 (非负数的常用性质:若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0)

4.有理数大小的比较

⑴利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小;

⑵利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;异号两数比较大小,正数大于负数。

5.绝对值的化简

①当a≥0时, |a|=a ;②当a≤0时, |a|=-a

6.已知一个数的绝对值,求这个数

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0的数是0,没有绝对值为负数的数。

例1.已知︱a︱=5,︱b︱=8,且︱a+b︱= -(a+b),试求a+b的值。

练习2.已知︱a︱=5,︱b︱=8,且∣ab∣= -ab,试求a+b的值。

有理数的加减法

1.有理数的加法法则

⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;

⑵绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;

⑶互为相反数的两数相加,和为零;

⑷一个数与零相加,仍得这个数。

2.有理数加法的运算律

⑴加法交换律:a+b=b+a

⑵加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)

在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律:

①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”;

②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”;

③分母相同的数先相加——“同分母结合法”;

④几个数相加得到整数,先相加——“凑整法”;

⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。

3.加法性质

一个数加正数后的和比原数大;加负数后的和比原数小;加0后的和等于原数。即:

⑴当b>0时,a+b>a ⑵当b<0时,a+b

4.有理数减法法则

减去一个数,等于加上这个数的相反数。用字母表示为:a-b=a+(-b)。

5.有理数加减法统一成加法的意义

在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法法则进行计算。

在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。如:(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.

和式的读法:①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”

②按运算意义读作“负8减7减6加5”

6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧:

Ⅰ.把符号相同的加数相结合(同号结合法)

(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)

原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) (将减法转换成加法)

=-33+18-15-1+23 (省略加号和括号)

=(-33-15-1)+(18+23) (把符号相同的加数相结合)

=-49+41 (运用加法法则一进行运算)

=-8 (运用加法法则二进行运算)

Ⅱ.把和为整数的加数相结合(凑整法)

(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)

原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) (将减法转换成加法)

=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 (省略加号和括号)

=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 (把和为整数的加数相结合)

=4-10+3.8 (运用加法法则进行运算)

=7.8-10 (把符号相同的加数相结合,并进行运算)=-2.2 (得出结论)

Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合(同分母结合法)

-53-21+43-52+21-8

7 原式=(-53-52)+(-21+21)+(+43-87

)

=-1+0-81=-18

1

Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合(先统一后结合)

(+0.125)-(-3

43)+(-381)-(-103

2

)-(+1.25) 原式=(+81)+(+343)+(-381)+(+1032)+(-141

)

=81+343-381+1032-141 =(343-141)+(81-381)+1032

=221-3+103

2 =-3+13

=106

1

Ⅴ.把带分数拆分后再结合(先拆分后结合)

-351+10116-12221+415

7 原式=(-3+10-12+4)+(-51+157)+(116-22

1

)

=-1+154+2211

=-1+308+3015

= -30

7

Ⅵ.分组结合

2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69

原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)

=0

Ⅶ.先拆项后结合

(1+3+5+7...+99)-(2+4+6+8 (100)

有理数的乘除法 1.有理数的乘法法则

法则一:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;(“同号得正,异号得负”专指“两数相乘”的情况,如果因数超过两个,就必须运用法则三) 法则二:任何数同0相乘,都得0;

法则三:几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数;

法则四:几个数相乘,如果其中有因数为0,则积等于0. 2.倒数

乘积是1的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为a ·a

1

=1(a ≠

0),就是说a 和a 1互为倒数,即a 是a 1的倒数,a

1

是a 的倒数。

注意:①0没有倒数;

②求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可;求带分数的倒数时,先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置;

③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。(求一个数的倒数,不改变这个数的性质); ④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。 考试经常考:已知a,b 互为倒数,立马要想到ab=1.

例2.已知a ,b 互为相反数,c ,d 互为倒数,x 的绝对值为5.试求下式的值:

199919982)()()(cd b a cd b a x -+++++-

3.有理数的乘法运算律

⑴乘法交换律:一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。即ab=ba ⑵乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。即(ab)c=a(bc).

⑶乘法分配律:一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加。即a(b+c)=ab+ac 4.有理数的除法法则

(1)除以一个不等0的数,等于乘以这个数的倒数。

(2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,都得0

5.有理数的乘除混合运算

(1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果。

(2)有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则按照‘先乘除,后加减’的顺序进行。 练习3.快速计算

(1) 61533-- ---------减法没有结合律!

(2))4

1

()52()3(-÷-÷- -----------除法没有结合律!

(3))]4(8[60---÷ -----------除法没有分配律!

(4))3

1

()2(6-?-÷ --------------同一级运算时一定要从左向右!

有理数的乘方 1.乘方的概念

求n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。在 n a 中,a 叫做底数,n 叫做指数。 2.乘方的性质

(1)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂的正数。

(2)正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。

练习4:计算:2

)2(- 2

3 2)3

2(- 22- 3

2 322-

2008)1(-

练习5.n 为正整数时,n )1(- +1)1(+-n 的值是( ) A .2 B .-2 C .0 D .不能确定

练习6:1.计算:()??? ??-÷-???? ??-814412

2

2.已知()0422=-++y x ,

求y x ?的值。

练习7:观察下列算式发现规律:771=,4972=,34373=,,240174=,1680775=,

11764976=,……,用你所发现的规律写出:20117的末位数字是________。

练习8:某校初一年级共有8个班,以每班65人为标准,超过的人数记为正数,不足的人数记为负数,统计情况记录如下:-1,-6,+2,-3,+4,0,-7,+3,求该校初一年级总人数。

有理数的混合运算

做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序: 1.先乘方,再乘除,最后加减; 2.同级运算,从左到右进行;

3.如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行。

科学记数法

把一个大于10的数表示成n

a10

?的形式(其中10

1<

≤a,n是正整数),这种记数法是科学记数法。

如:地球上的陆地面积约为149 000 000km2,用科学记数法表示为。

第1讲回家作业

一.填空题

1.-│-7│的相反数为____,相反数等于本身的数为_______.

2.已知│x│=3

2

,│y│=

1

2

,且xy>0,则x-y=______.

3.x与21

2

的差为

1

2

,则-x=_____.

4.近似数1.50精确到_______,78950用科学记数法表示为_____.

5.按规律写数1

2

,-

1

4

1

8

,-

1

16

,…第6个数是______.

二、选择题

1.下列说法正确的是()

A.最小的有理数是0;

B.最大的负整数是-1;

C.最小的自然数是1;

D.最小的正数是1.

2.下列说法正确的是()

A.两个有理数的和为零,则这两个有理数都为0;

B.两个有理数的和一定大于其中任何一个加数;

C.两个有理数的和为正数,则这两个数中至少有一个加数是正数;

D.两个有理数的和为负数,则这两个数一定都是负数.

3.下列说法正确的是()

A.一个正数减去一个负数,结果是正数;

B.零减去一个数一定是负数;

C.一个负数减去一个负数,结果是负数;

D.“-2-3”读作“负2减负3”

4.下列说法正确的是()

A. n个有理数相乘,当因数是奇数个时,积为负;

B. n个有理数相乘,当正因数有奇数个时,积为负;

C. n个有理数相乘,当负因数有奇数个时,积为负;

D. n个有理数相乘,当积为负时,负因数有奇数个.

5.下列说法正确的是()

A.相反数是本身的数是1和0;

B.倒数是本身的数是1和0;

C.绝对值是本身的数是0和正数;

D.平方等于64的数是8.

6、已知字母a、b表示有理数,如果a+b=0,则下列说法正确的是()

A . a、b中一定有一个是负数 B. a、b都为0

C. a与b不可能相等

D. a与b的绝对值相等

7、一个数的平方为16,则这个数是()

A.4或4

-

- C.4 D.8或8

- B.4

8、绝对值大于2且小于5的所有整数的和是()

A. 7

B. -7

C. 0

D. 5

-等于()

10、()34-

A.12

- D.64

- B. 12 C.64

11、数轴上的点A、B、C、D分别表示数a、b、c、d,已知A在B的右侧,C在B的左侧,D 在B、C之间,则下列式子成立的是()

A、a

B、b

C、c

D、c

x+必是()

12、若x为有理数,则x

A、非正数

B、非负数

C、0

D、正数

13、下列各语句中正确的是()

a<

A、若a>-0.5,则a是正数

B、若a<0,则a

C 、若b a >,则b a >

D 、若b a =,则b a =

14、a ,b ,c 三个数在数轴上的位置如图所示,则下列结论中错误的是( ) A 、a+b<0 B 、a+c<0 C 、a-b>0 D 、b-c< 三、计算

1、()5.5-+()2.3-()5.2---4.8

2、()8-)02.0()25(-?-?

3、 ??? ??-+-127659521()36-?

4、 ()1-??

?

??-÷2131

5、21+()23-??

? ??-?21 6、81)4(2833--÷- 7、+-+-+-31412131121 (999)

1

10001-

四、解答题

1.如果a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,1y +没有倒数,1x -的绝对值等于2.

那么代数式2||(1)(1)cd

a b y a b x

-+++-+-的值是多少?请你求出来.

2、已知|2|-a 与|3|-b 互为相反数,求b a 23+的值。

3、已知c b a 、、均为非零的有理数,且1-=++c

c b b a a ,求

abc

abc 的值。

4.“*”代表一种新运算,已知a b

a b ab +*=

,求x y *的值.其中x 和y 满足方程21

()|13|02

x y ++-=.

五、某地探空气球的气象观测资料表明,高度每增加1千米,气温大约降低6℃。若该地地面温度为21℃,高空某处温度为-39℃,求此处的高度是多少千米?

六、找规律:下列数中的第2003项是多少?2004项呢?第n 个呢? 1,-2,3,-4,5,-6··· ···

七、下表记录的是流花河今年某一周内的水位变化情况,上周末(星期六)的水位已达到警戒水位33米。(正号表示水位比前一天上升,负号表示水位比前一天下降)

⑴本周哪一天河流的水位最高?哪一天河流的水位最低?它们位于警戒水位之上还是之下? ⑵与上周末相比,本周末河流的水位是上升了还是下降了? ⑶以警戒水位作为零点,用折线统计图表示本周的水位情况。

水位变化(米)

解:

日 一 二 三 四 五 六 星期

1

《有理数》章节知识点归纳总结

2、下面有四种说法,其中正确的是 ( ) A.一个有理数奇次幂为负,偶次幂为正 B.三数之积为正,则三数一定都是正数 C.两个有理数的加、减、乘、除(除数不为零)、乘方结果仍是有理数 D.一个数倒数的相反数,与它相反数的倒数不相等 3、下列判断错误的是 ( ) (A )任何数的绝对值一定是正数; (B )一个负数的绝对值一定是正数; (C )一个正数的绝对值一定是正数; (D )任何数的绝对值都不是负数; 4、下列四个命题:(1)任何有理数都有相反数;(2)一个有理数和它的相反数之间至少还有一个有理数;(3)任何有理数都有倒数;(4)一个有理数如果有倒数,则它们之间至少还有一个有理数;(5)数轴上点都表示有理数;(6)任何一个有理数的平方必是正数。上述命题中,说确的是; 5、a 是最小的正整数,b 是最大的负整数的相反数,c 是到数轴上距原点的距离最小的数,求2a b c ++的值 6、下列各数对中,数值相等的是( ) A 、+32 与+23 B 、—23 与(—2)3 C 、—32 与(—3)2 D 、3×22 与(3×2)2 7、按照下面所示的操作步骤,若输入x 的值为-2,则输出的值为___________ 8、已知 123112113114 ,,,..., 1232323438345415 a a a = +==+==+=??????依据上述规律,则99a =. 9、定义2 *a b a b =-,则(12)3**=______. 10、规定()()a b b a b a --+=?,求)5(3-?的值。 11、用“”定义新运算:对于任意实数a ,b , 都有a b=b 2+1。例如,74=42 +1=17,求53的值及当m 为有理数时,m (m 2)的值。 12、现规定一种运算“*”,对于a 、b 两数有: ab a b a b 2*-=,试计算2*)3(-的值。 13、用“”、“”定义新运算:对于任意实数a ,b ,都有a b=a 和a b=b ,例如32=3,32=2。则(20062005)(20042003)=__________。 二、数的分类 1、 把下列各数填在相应的括号:-16,26,-12, -0.92, 0, 0.1008,-4.95 正数集合{ }; 负数集合{ }; 整数集合{ }; 正分数集合{ }; 负分数集合{ }; 2、 下列各数中:7,-9.25,10 9- ,-301,274 , 31.25,15 7 ,-3.5,0,221 5,-7,1.25,- 37,-3,4 3-。 正整数是{ } 正分数是{ } 负整数是{ } 负分数是{ } 正数是{ } 负数是{ } 三、非负性 ()2 输入x 平方 乘以3 减去5 输出

数列知识点总结及题型归纳

数列 一、数列的概念 (1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列; 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项),在第二个位 置的叫第2项,……,序号为n 的项叫第n 项(也叫通项)记作n a ; 数列的一般形式:1a ,2a ,3a ,……,n a ,……,简记作 {}n a 。 例:判断下列各组元素能否构成数列 (1)a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2010年各省参加高考的考生人数。 (2)通项公式的定义:如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就 叫这个数列的通项公式。 例如:①:1 ,2 ,3 ,4, 5 ,… ②:5 14131211 ,,,,… 数列①的通项公式是n a = n (n ≤7,n N +∈), 数列②的通项公式是n a = 1 n (n N +∈)。 说明: ① {}n a 表示数列,n a 表示数列中的第n 项,n a = ()f n 表示数列的通项公式; ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如,n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈? +=?; ③不是每个数列都有通项公式。例如,1,1.4,1.41,1.414,…… (3)数列的函数特征与图象表示: 序号:1 2 3 4 5 6 项 :4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看,数列 实质上是定义域为正整数集N +(或它的有限子集)的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值 (1),(2),(3),f f f ……,()f n ,…….通常用n a 来代替()f n ,其图象是一群孤立点。 例:画出数列12+=n a n 的图像. (4)数列分类:①按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;②按数列项与项之间的大小关系分:单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。 例:下列的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列? (1)1,2,3,4,5,6,… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… (5)数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系:1 1 (1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 例:已知数列}{n a 的前n 项和322+=n s n ,求数列}{n a 的通项公式

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此文档下载后即可编辑 有理数知识总结 ???????? ???????????????????????????????意义;科学计数法乘方运算顺序混合运算法则加、减、乘、除的运算有理数的运算近似数;精确度数的大小运用:几何意义、比较概念绝对值相反数小、利用数轴比较数的大运用:在数轴上表示数概念数轴有关概念有理数;; 1. 相反意义的量 向东和向西,零上和零下,收入和支出,升 高和下降,买进和卖出。 2. 正数和负数 像+ 2 1,+12,1.3,258等大于0的数(“+”通常不写)叫正数。 像-5,-2.8,-4 3等在正数前面加“—”(读负)的数叫负数。 【注】0既不是正数也不是负数。 3. 有理数 (1)整数:正整数、零和负整数统称为整数。 分数:正分数和负分数统称为分数。 有理数:整数和分数统称为有理数。 (2)有理数分类 1) 按有理数的定义分类 2)按正负分类 正整数 正整数 整数 0 正有理数 有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0

负整数 分数负有理数 负分数负分数 【注】有限小数、无限循环小数也叫做分数。 4.数轴 (1)规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。【注】1)数轴的三要素:原点、正方向、单位长度,缺一不可。 2)数轴能形象地表示数,所有的有理数都可用数轴上的点表示,但数轴上的点所表示的数并不都是有理数。 (2)在数轴上比较有理数的大小 1)在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。 2)由正、负数在数轴上的位置可知:正数都有大于0,负数都小于0,正数大于一切负数。 5.相反数 (1)只有符号不同的两个数称互为相反数,如-5与5互为相反数。 (2)从数轴上看,位于原点两旁,且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。(几何意义) (3)0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。 (4)相反数是表示两个数的相互关系,不能单独存在。 (5)数a的相反数是—a。 (6)多重符号化简 多重符号化简的结果是由“-”号的个数决定的。如果“-”号是奇数个,则结果为负;如果是偶数个,则结果为正。可简写为“奇负偶正”。 6.绝对值 (1)在数轴上表示数a的点与原点的距离,叫做数a的绝对值。(2)一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零.

第1章有理数知识点复习

第一章 有理数 1、 正数:省略“+”号,如:1,2,3,0.5,31 . . . . . . 加“+”号,如:+1,+2,+3,+0.5,+31 . . . . . . 负数:在正数前面加上“-”号的数,如:-1,-2,-3,-0.5,-31 . . . . . . 一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号。 0既不是正数,也不是负数。 归纳:如果一个问题中出现 的量,我们可以用正数和负数表示它们。 练习:1.如果向东为正,那么 -50m 表示的意义是( ) A .向东行进50m B .向西行进50m 2. 下列结论中正确的是 ( ) A .0既是正数,又是负数 B .O 是最小的正数 C .0是最大的负数 D .0既不是正数,也不是负数 3. 给出下列各数:-3,0,+5,213,+3.1,-2,2004,+2014.其中是负数的有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 4. 冷库A的温度是-5℃,冷库B的温度是-15℃,则温度高的是冷库 5.一种零件的直径在图纸上是 10+0.05(单位:㎜),表示这种零件的标准尺寸是 ㎜,加工要求最大不能超过 ㎜,最小不能超过 ㎜。 2、有理数 正整数、_______和_______统称为整数。 和 统称为分数。 _______和_______统称为有理数。零和正数统称为_______ ,零和负数统称为________。 有理数的分类 有理数? ?? ?? 整数??? 零 负整数 分数??? 正分数 有理数? ???? ?? ? 正整数正分数 零 ?? ? 负整数 练习:1、下列各数中, 整数有( ),正整数有( ), 负整数有( ),分数有( ),正分数有( ), 负分数有( ),正数有( ), 负数有( ),有理数( ). -7,9.2,-30,31.25,0.227,-18,3.14,2015,35,-2.236,67% 2.若a 是负数,则-a 是____数,若-a 是负数,则a 是____数。

初一上册第一章有理数知识点总结

文档收集于互联网,已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 有理数基础知识 正数和负数 ⒈正数和负数的概念 负数:比0小的数正数:比0大的数0既不是正数,也不是负数 注意:①字母a可以表示任意数,当a表示正数时,-a是负数;当a表示负数时,-a 是正数;当a表示0时,-a仍是0。(如果出判断题为:带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如+a,-a就不能做出简单判断) ②正数有时也可以在前面加“+”,有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如: 零上8℃表示为:+8℃;零下8℃表示为:-8℃ 3.0表示的意义 ⑴0表示“没有”,如教室里有0个人,就是说教室里没有人; ⑵0是正数和负数的分界线,0既不是正数,也不是负数。如: 有理数 1.有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数) ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。理解:只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。 注意:引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8…也是偶数, -1,-3,-5…也是奇数。 2.有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分 正整数正整数整数 0 正有理数 负整数正分数 有理数有理数 0 (0不能忽视) 正分数负整数 分数负有理数 负分数负分数 总结:①正整数、0统称为非负整数(也叫自然数) ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数

1.高考数学考点与题型全归纳——集合

第一章 集合与简易逻辑 第一节 集 合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性. 1. 2.集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. 1.3.元素与集合的两种关系:属于,记为∈;不属于,记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图: N *或N +表示正整数集,N 表示自然数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. 2. 集合间的基本关系 2.1.子集:一般地,对于两个集合A ,B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,则称A 是B 的子集,记作A ?B(或B ?A). 2.2.真子集:如果集合A 是集合B 的子集,但集合B 中至少有一个元素不属于A ,则称A 是B 的真子集,记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ,A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ,也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等:如果A ?B ,并且B ?A ,则A =B. 两集合相等:A =B ?? ??? ? A ? B ,A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性,B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性. 2.4.空集:不含任何元素的集合.空集是任何集合A 的子集,是任何非空集合B 的真子集.记作?. ?∈{?},??{?},0??,0?{?},0∈{0},??{0}.

3. 集合间的基本运算 (1)交集:一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集,记作A∩B ,即A∩B ={x|x ∈A ,且x ∈B}. (2)并集:一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为A 与B 的并集,记作A ∪B ,即A ∪B ={x|x ∈A ,或x ∈B}. (3)补集:对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集,记作?U A ,即?U A ={x |x ∈U ,且x ?A }. 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”,集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素,剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质:A ?A ,??A ,A ∩B ?A ,A ∩B ?B . (2)交集的性质:A ∩A =A ,A ∩?=?,A ∩B =B ∩A . (3)并集的性质:A ∪B =B ∪A ,A ∪B ?A ,A ∪B ?B ,A ∪A =A ,A ∪?=?∪A =A . (4)补集的性质:A ∪?U A =U ,A ∩?U A =?,?U (?U A )=A ,?A A =?,?A ?=A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集,其中有2n -1个真子集,2n -1个非空子集. (6)等价关系:A ∩B =A ?A ?B ;A ∪B =A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|y =x },则A ∩B 中元素的个数为( ) A .3 B .2 C .1 D .0 2. 已知a ,b ∈R ,若? ?? ? ??a ,b a ,1={a 2,a +b,0},则a 2 019+b 2 019的值为( ) A .1 B .0 C .-1 D .±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2+y 2=1上的点的集合,B 表示直线y =x 上的点的集合,直线y =x 与圆x 2+y 2=1有两个交点,所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0,则b a =0,所以 b =0,于是a 2=1,即a =1或a =-1.又根据集合中元素的互异性可 知a =1应舍去,因此a =-1,故a 2 019+b 2 019=(-1)2 019+02 019=-1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意. [题组训练]

有理数知识点复习总结

,这样的数叫_________ 、把下列各数填在相应的集合里: _________ 1、叫做互为相反数。其中一个是另一个的相反数。数a的相反数是,(a是任意一个有理数);0的相反数是 . 若a、b互为相反数,则 . 若a+b=0,则 2、数轴上表示数a的点与原点的叫做数a的绝对值。记作。 由绝对值的定义可得:(1)一个正数的绝对值是它;若a>0,则︱a︱= a ; (2)一个负数的绝对值是它的;若a<0,则︱a︱= -a ; (3)0的绝对值是 . 若a =0,则︱a︱= 0 ; 4.特殊数字知识点总结:最小的正整数是____,最大的负整数是_____,最大的非

正数是 。绝对值最小的有理数是_______。绝对值等于它的相反数的数是 相反数是本身的数是 ;绝对值是本身的数是 ;绝对值是相反数的数是 ;倒数是本身的数是 ;平方等于本身的数是 ;立方等于本身的数是 ;平方等于相反数的数是 ;奇数次幂等于本身的数是 ;偶数次幂等于本身的数是 ;任何次幂都等于本身的数是 。 4、 |-8|= 。 -|-5|= 。 绝对值等于4的数是______。 5、若a a -=,则a ;7=-x ,则______=x 若a =2 13-, 则∣a ∣=___; 若∣a ∣=3, 则a =__。 6、已知:∣a-2∣+∣b+3∣=0,求2a 2-b +1的值。 7、若∣x ∣=3,∣y ∣=5,且x>y ,再求x +y 的值。 8、已知a 、b 都是有理数,且|a|=a ,|b|=-b 、,则ab 是( ) A .负数; B.正数; C.负数或 零; D.非负数 9、绝对值不大于11的整数有( )个,它们的和等于_____。积等于______。 10、2-的倒数是____ ,-1/3的倒数是_____.-|-1|的倒数是_____. 11、数轴上表示1与-3的两点之间的距离是______;数轴上表示x 与-1的两点间的距离是____,设这两点间的线段为AB ,若AB=2,那么x 为_____. 12、若(x-3)2+┃x+y+7┃=0,求y x 的值。 知识点五:有理数大小的比较: 1)数轴比较:在数轴上的两个数,右边的数总比左边的数 ; 正数都大于 ,负数都小于 ;正数 一切负数; 2)两个负数, 即:若a <0,b <0,且︱a ︱>︱b ︱, 则a < b. 3) 做差法:∵ a-b>0 ,∴ ;

七年级第一章有理数知识点总结

有理数知识点总结 0的数叫做正数。 1. 0既不是正数也不是负数,是正数和负数的分界线,是整数,一、正数和负数自然数,有理数。 (不是带“—”号的数都是负数,而是在正数前加“—”的数。) 2.意义:在同一个问题上,用正数和负数表示具有相反意义的量。 有理数:整数和分数统称有理数。 概念整数:正整数、0、负整数统称为整数。 分数:正分数、负分数统称分数。 (有限小数与无限循环小数都是有理数。) 注:正数和零统称为非负数,负数和零统称为非正数,正整数和零统称为非 负整数,负整数和零统称为非正整数。 ⑵按整数、分数分类: 正有理数正整数正整数 正分数整数0 零有理数负整数 负有理数负整数分数正分数 负分数负分数 1.概念:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素:原点、正方向、单位长度 2.对应关系:数轴上的点和有理数是一一对应的。 三、数轴 比较大小:在数轴上,右边的数总比左边的数大。 3.应用 求两点之间的距离:两点在原点的同侧作减法,在原点的两侧作加法。 (注意不带“+”“—”号) 代数:只有符号不同的两个数叫做相反数。

1.概念(0的相反数是0) 几何:在数轴上,离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 2.性质:若a与b互为相反数,则a+b=0,即a=-b;反之, 若a+b=0,则a与b互为相反数。 四、相反数 两个符号:符号相同是正数,符号不同是负数。 3.多重符号的化简 多个符号:三个或三个以上的符号的化简,看负号的个数, 当“—”号的个数是偶数个时,结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时,结果取负号 1.概念:乘积为1的两个数互为倒数。 (倒数是它本身的数是±1;0没有倒数) 五、倒数 2.性质若a与b互为倒数,则a·b=1;反之,若a·b=1,则a与b互为倒数。 若a与b互为负倒数,则a·b=-1;反之,若a·b= -1则a与b互为负倒数。 a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 一个正数的绝对值是它的本身(若|a|=|b|,则a=b或a=﹣b) 一个负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 a >0,|a|=a 反之,|a|=a,则a≥0 a = 0,|a|=0 |a|=﹣a,则a≦0 a<0,|a|=‐a 注:非负数的绝对值是它本身,非正数的绝对值是它的相反数。 a (a>0) 的数有2个,他们互为相反数。即±a。 |a|≥0。几个非负数之和等 于0,则每个非负数都等于0。故若|a|+|b|=0,则a=0,b=0 1.数轴比较法:在数轴上,右边的数总比左边的数大。 七、比较大小 2.代数比较法:正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数。 两个负数比较大小时,绝对值大的反而小。 1.加法法则⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。

高中数学集合基础知识及题型归纳复习

集合基础知识及题型归纳总结 1、集合概念与特征: 例:1.下列各项中,不可以组成集合的是( ) A .所有的正数 B .等于2的数 C .接近于0的数 D .不等于0的偶数 例:下列命题正确的有( ) (1)很小的实数可以构成集合; (2)集合{}1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合; (3)36 11,,,,0.5242 -这些数组成的集合有5个元素; (4)集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。 A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 2、元素与集合、集合与集合间的关系 元素集合的关系:∈?或 集合与集合的关系=?或 例:下列式子中,正确的是( ) A .R R ∈+ B .{}Z x x x Z ∈≤?-,0| C .空集是任何集合的真子集 D .{}φφ∈ 3、集合的子集:(必须会写出一个集合的所有子集) 例:若集合}8,7,6{=A ,则满足A B A =?的集合B 的个数是 4、集合的运算:(交集、并集、补集) 例1:已知全集}{5,4,3,2,1,0=U ,集合}{5,3,0=M ,}{5,4,1=N ,则=N C M U I 例2:已知 {}{}=|3217,|2A x x B x x -<-≤=< (1)求A ∩B ; (2)求(C U A )∪B 例3:已知{25}A x x =-≤≤,{121}B x m x m =+≤≤-,B A ?,求m 的取值范围 例4:某班有学生55人,其中体育爱好者43人,音乐爱好者34人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人 例5:方程组? ??=-=+9122y x y x 的解集是( ) A .()5,4 B .()4,5- C .(){}4,5- D .(){}4,5-

(完整版)有理数及其运算知识点汇总

?????????有理数?????)3,2,1:()3,2,1:(ΛΛ如负整数如正整数整数)0(零?????----)8.4,3.2,31,21:(Λ如负分数分数)8.3,3.5,31,21:(Λ如正分数有理数及其运算知识点汇总 1、 2、数轴的三要素:原点、正方向、单位长度(三者缺一不可)。 3、任何一个有理数,都可以用数轴上的一个点来表示。(反过来,不能说数轴上所有的点都表示有理数) 4、如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。(0的相反数是0) 5、在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的侧,且到原点的距离相等。 数轴上两点表示的数,右边的总比左边的大。正数在原点的右边,负数在原点的左边。 6、绝对值的定义:一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。数a 的绝对值记作|a|。 7、正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的数;0的绝对值是0。 ?????<-=>)0()0(0)0(||a a a a a a 或 ???<-≥)0()0(||a a a a a 8、绝对值的性质:除0外,绝对值为一正数的数有两个,它们互为相反数; 互为相反数的两数(除0外)的绝对值相等; 任何数的绝对值总是非负数,即|a|≥0 9、比较两个负数的大小,绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下: ①先求出两个数负数的绝对值; ②比较两个绝对值的大小; ③根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断。 10、绝对值的性质: ①对任何有理数a ,都有|a|≥0 ②若|a|=0,则|a|=0,反之亦然 ③若|a|=b ,则a=±b ④对任何有理数a,都有|a|=|-a| 11、有理数加法法则: ①同号两数相加,取相同符号,并把绝对值相加。 ②异号两数相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时取绝对值较大的数的符号,并 用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。 ③一个数同0相加,仍得这个数。 12、加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。 越来越大

(完整版)一元一次不等式组知识点及题型总结(可编辑修改word版)

x 一元一次不等式与一元一次不等式组 一、不等式 考点一、不等式的概念 不等式:用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式。不等号包括 . 题型一 会判断不等式 下列代数式属于不等式的有 . ① -x≥5 ② 2x -y <0 ③ 2 + 5 ≥ 3 ④ -3<0 ⑤ x=3 ? x 2 + xy + y 2 ⑦ x≠5 ⑧ x 2 - 3x + 2>0 ⑨x + y ≥ 0 题型二 会列不等式 根据下列要求列出不等式 ①.a ②.m 的 5 倍不大于 3 可表示为 . ③.x 与 17 的和比它的 2 倍小可表示为 . ④.x 和 y 的差是正数可表示为 . ⑤. x 的3 5 与 12 的差最少是 6 可表示为 . 考点二、不等式基本性质 1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。 逆定理:不等式两边都乘以(或除以)同一个数,若不等号的方向不变,则这个数是正数. 基本训练:若 a >b ,ac >bc ,则 c 0. 3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。 逆定理:不等式两边都乘以(或除以)同一个数,若不等号的方向改变,则这个数是负数。 基本训练:若 a >b ,ac <bc ,则 c 0. 4、如果不等式两边同乘以 0,那么不等号变成等号,不等式变成等式。 练习:1、指出下列各题中不等式的变形依据 ①.由 3a>2 得 a> 2 理 3 由: . ②. 由 a+7>0 得 a>-7 理 由: -1 . 5 ③.由-5a<1 得 a> 理

由:. ④.由 4a>3a+1 得 a>1 理 由:. 2、若x>y,则下列式子错误的是() A.x-3>y-3 B.x > y 3 3 3、判断正误 ①. 若a>b,b<c 则a>c. () ②.若a>b,则ac>bc. () ③.若ac2>bc2,则a>b. () ④.若a>b,则ac2>bc2. () ⑤.若 a>b,则a(c2+1)>b(c2+1) C. x+3>y+3 D.-3x>-3y () ?. 若a>b,若c 是个自然数,则ac>bc. () 考点三、不等式解和解集 1、不等式的解:对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值,都叫做这个不等式的解。 练习:1、判断下列说法正确的是() A.x=2 是不等式x+3<2 的解 B.x =3 是不等式3x<7 的解。 C.不等式3x<7 的解是x<2 D.x=3 是不等式3x≥9的解 2.下列说法错误的是() A.不等式 x<2 的正整数解只有一个 B.-2 是不等式 2x-1<0 的一个解 C. 不等式-3x>9 的解集是 x>-3 D.不等式 x<10 的整数解有无数个 2、不等式的解集:对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集。 题型一会求不等式的解集 练习:1、不等式x-8>3x-5 的解集是. 2、不等式x≤4的非负整数解是. 3、不等式2x-3≤0的解集为. 题型二知道不等式的解集求字母的取值范围 2、如果不等式(a-1)x<(a-1)的解集是x<1,那么a 的取值范围是. x< 1

有理数知识总结及经典例题

有理数 一、学习目标: ● 理解正负数的意义,掌握有理数的概念和分类; ● 理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算; ● 通过熟练运用法则进行计算的同时,能根据各种运算定律进行简便运算; ● 通过本章的学习,还要学会借助数轴来理解绝对值,有理数比较大小等相关知识。 二、重点难点: ● 有理数的相关概念,如:绝对值、相反数、有效数字、科学记数法等,有理数的运算; ● 有理数运算法则尤其是加法法则的理解;有理数运算的准确性和如何选择简便方法进行简便运 算。 三、学习策略: ● 先通过知识要点的小结与典型例题练习,然后进行检测,找出漏洞,再进行针对性练习,从而达 到内容系统化和应用的灵活性。 四、知识框架: 五、知识梳理 1、知识点一:有理数的概念 (一)有理数: (1)整数与分数统称__________________ 按定义分类: _______________???????????????????? _ _ _ _ _ _ _ _ _有理数 _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 按符号分类: __________??????????????? _ _ _ _ _ _ _ _有理数零 _ _ _ _ _ _ _ _

注:①正数和零统称为_______________;②负数和零统称为_______________③正整数和零统称为_______________;④负整数和零统称为_______________. (2)认识正数与负数: ①正数:像1,1.1,17 ,2008等大于_______________的数,叫做_______________. 5 ,-2008等在正数前面加上“-”(读作负)号的数,叫__________注意:_________ ②负数:像-1,-1.1,-17 5 都大于零,___________都小于零.“0”即不是_________,也不是__________. (3)用正数、负数表示相反意义的量: 如果用正数表示某种意义的量,那么负数表示其___________意义的量,如果负数表示某种意义的量,则正数表示其___________意义的量.如:若-5米表示向东走5米,则+3米表示向____________走3米;若+6米表示上升6米,则-2米表示____________;+7C表示零上7C,-7C则表示____________ . (4)有理数“0”的作用: 作用举例 表示数的性质0是自然数、是有理数、是整数 3个苹果用+3表示,没有苹果用0表 表示没有 示 表示某种状态00C表示冰点 表示正数与负数的 0非正非负,是一个中性数 界点 (二)数轴 (1)概念:规定了______________ 、______________和______________的直线 注:①______________、______________、______________称为数轴的三要素,三者缺一不可. ②单位长度和长度单位是两个不同的概念,前者指所取度量单位的,后者指所取度量单位的,即是一条人为规定的代表“1’的线段,这条线段,按实际情况来规定,同一数轴上的单位长度一旦确定,则不能再改变. (2)数轴的画法及常见错误分析 ①画一条水平的______________; ②在这条直线上适当位置取一实心点作为______________: ③确定向右的方向为______________,用______________表示; ④选取适当的长度作单位长度,用细短线画出,并对应标注各数,同时要注意同一数轴的要一致.

初中数学各章节知识点总结(人教版)

七年级数学(上)知识点 人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章、有理数 知识概念 1.有理数: (1)凡能写成 )0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数,都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意:0即不是正数,也不是负数;-a 不一定是负数,+a 也不一定是正数;π不是有理数; (2)有理数的分类: ① ??? ? ? ????????负分数 负整数负有理数零正分数正整数 正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数 分数负整数零正整数整数有理数 2.数轴:数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3.相反数: (1)只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0; (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值: (1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离; (2) 绝对值可表示为:?????<-=>=) 0a (a )0a (0) 0a (a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a ;绝对值的问题经常分类讨论; 5.有理数比大小:(1)正数的绝对值越大,这个数越大;(2)正数永远比0大,负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小,绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数 > 0,小数-大数 < 0. 6.互为倒数:乘积为1的两个数互为倒数;注意:0没有倒数;若 a ≠0,那么a 的倒数是a 1;若ab=1? a 、b 互为倒数;若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则:

七年级上册数学第一章有理数知识点及典型例题

新浙教版七年级上册数学第一章《有理数》知识点及典型例题 知识框图

将考点与相应习题联系起来 考点一、关于“……说法正确的是……”的题型(只可能是选择题) 1、下列语句:① 带“-”号的数是负数;② 如果a 为正数,则-a 一定是负数;③ 不存在既不是正数又不是负数的数;④ 00 C 表示没有温度,正确的有( )个 2、下列说法不正确的是( ) A.数轴是一条直线; B.表示-1的点,离原点1个单位长度; C.数轴上表示-3的点与表示- 1的点相距2个单位长度; D.距原点3个单位长度的点表示—3或3。 3、下列说法中不正确的是( ) A.-5表示的点到原点的距离是5; B. 一个有理数的绝对值一定是正数; C. 一个有理数的绝对值一定不是负数; D. 互为相反数的两个数的绝对值一定相等. 4、如图:下列说法正确的是( ) 比b 大 比a 大 、b 一样大 、b 的大小无法确定 5、若|a +b|=-(a +b ),下列结论正确的是( ) +b ≤0 +b<0 +b=0 +b>0 6、下列说法:① 一个数的绝对值的相反数一定是负数;② 只有负数的绝对值是它的相反数;③ 正数和零的绝对值都等于它本身;④互为相反数的两个数的绝对值相等,错误的个数是( ) 个 个 个 个 7、如果a 表示有理数,那么下列说法中正确的是( ) A.+a 与-(-a)互为相反数 B. +a 与-a 一定不相等 一定是负数 D. -(+a)与+(-a)一定相等 8、已知字母a 、b 表示有理数,如果a +b =0,则下列说法正确的是( ) A.a 、b 中一定有一个是负数 B.a 、b 都为0 C.a 与b 不可能相等 D.a 与b 的绝对值相等 9、下列说法正确的是( ) A. -|a|一定是负数 B. 只有两个数相等时,它们的绝对值才相等 C. 若|a|=|b|,则a 与b 互为相反数 D. 若一个数小于它的绝对值,则这个数为负数 10、给出下面说法:① 互为相反数的两个数绝对值相等;② 一个数的绝对值等于它本身,这个数不是负数; ③ 若|m|>m ,则m<0;④ 若|a|>|b|,则a>b ,其中正确的有( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 考点二、具有相反意义的量、相反数、数轴、绝对值、有理数的分类等概念的直接考题 1、某项科学研究,以45分钟为1个时间单位,并记每天上午10时为0,10时以前记为负,10时以后记为正,例如9:15记为-1,10:45记为1等等,以此类推,上午7:45应记为 2、在时钟上,把时针从钟面数字“12”按顺时针方向拨到“6”,计做拨了“+1 2 ”周,那么,把时针从“12”开始,拨了“1 4 ”周后,该时针所指的钟面数字是 3、若a 与b 互为相反数,则下列式子:①a+b=0;②a=-b ;③|a|=|-b|;④a=b ,其中一定成立的序号为 4、数轴上到数-1所表示的点的距离为5的点所表示的数是 5、绝对值最小的有理数是 ;绝对值最小的整数是 ;| -π|= _________ 6、写出所有不小于-4并且小于的整数:

集合知识点总结

集合知识点总结 Prepared on 22 November 2020

辅导讲义:集合与常用逻辑用语 1、集合:一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 集合的常用表示法:列举法、描述法。 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性。 2、子集:如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素,那么集合A 称为集合B 的子集,记为 A ? B ,或B ?A ,读作“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”。 即:若A a ∈则B a ∈,那么称集合A 称为集合B 的子集 注:空集是任何集合的子集。 3、真子集:如果A ?B ,并且B A ≠,那么集合A 成为集合B 的真子集,记为A ?B 或B ?A ,读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”,如:}{}{b a a ,?。 4、补集:设A ?S ,由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集,记为A C s ,读作“A 在S 中的补集”,即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集:如果集合S 包含我们所要研究的各个集合,这时S 可以看作一个全集。通常全集记作 U 。 6、交集:一般地,由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合,称为A 与B 的交集,记作 B A ?(读作“A 交B ”),即:B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 B A ?=A B ?,B A ?B B A A ???,。 7、并集:一般地,由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合,称为A 与B 的并集,记作 B A ?(读作“A 并B ”),即:B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 B A ?=A B ?,?A B A ?,?B B A ?。 8、元素与集合的关系:有属于和不属于两种,集合与集合间的关系,用包含、真包含

初一数学上册 有理数知识点归纳

初一数学上册第一单元有理数知识点归纳 一.有理数: (1)凡能写成形式的数,都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意:0即不是正数,也不是负数;-a不一定是负数,+a也不一定是正数;π不是有理数; (2)有理数的分类:①② (3) 2.数轴:数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3.相反数: (1)只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;(2)注意:a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是b-a;a+b的相反数是 -a-b;(3) 4.绝对值: (1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离; (2)绝对值可表示为:绝对值的问题经常分类讨论; (3)

(4)|a|是重要的非负数,即|a|≥0;注意:|a|·|b|=|a·b|, 5.有理数比大小:(1)正数的绝对值越大,这个数越大;(2)正数永远比0大,负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小,绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数>0,小数-大数<0. 二.有理数法则及运算规律。 (1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;(2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;(3)一个数与0相加,仍得这个数. 2.有理数加法的运算律: (1)加法的交换律:a+b=b+a;(2)加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 3.有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b). 4.有理数乘法法则: (1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘;(2)任何数同零相乘都得零;(3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零;各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定. 5.有理数乘法的运算律: (1)乘法的交换律:ab=ba;(2)乘法的结合律:(ab)c=a(bc);(3)乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac. 6.有理数除法法则:除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意:零不能做除数, . 7.有理数乘方的法则: (1)正数的任何次幂都是正数; 三.乘方的定义。 (1)求相同因式积的运算,叫做乘方; (2)乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂;

有理数全章复习(按知识点分类复习)

1、 规定了 __________ _____________ 的直线叫数轴。 第一章 有理数全章复习 考点一:用正负数表示相反意义的量 1、 七年级一班某次数学测验的平均成绩为 80 分,数学老师以平均成绩为基准,记作 0 ,把小龙、小聪、 小梅、小莉、小刚这五位同学的成绩简记为 +10 ,– 15 , 0 ,+20 ,– 2.问这五位同学的实际成绩分 别是多少分 2 、如果规定收入为正,支出为负.收入 500 元记作 500 元,那么支出 237 元应记作 ( ) A .-500 元 B .-237 元 C .237 元 D . 500 元 3. 有4 包真空小包装火腿,每包以标准克数( 450 克)为基准,超过的克数记作正数,不足的克数记作负 数,以下数据是记录结果,其中表示实际克数最接近标准克数的 ( ) A .+2 B .-3 C .+3 D . +4 4. 某商店出售三种不同品牌的大米,米袋上分别标有质量如下表:现从中任意拿出两袋不同品牌的大米, 这 两袋大米的质量最多相差 ( ) A .0.8kg B . 0.6kg C . 0.4kg D . 0.5kg 考点二:有理数的分类 1 、 _____ 、 ____ 和 _________ 成为整数, __________ 和 __________ 统称为分数。 ____________ 和 ________ 统称为有理数。 练习巩固: 2 1、在– 2,+3.5 ,0, ,– 0.7 ,11 中.负分数有???????? 3 1 1 6、比 3 21大而比 21 3小的所有整数的和为 考点三:数轴 B 、2个 C 、3 个 D 、4 个 2 、不超过 ( 33 23 ) 的最大整数是 A 、–4 B –3 C 、3 D 、4 3.在数 8.3 、-4、0 、-(- 5)、 4、下列说法中正确的个数有 +6 、 -|-10|、1 中,正数有 ) 个; ① 一个有理数不是整数就是分数 ② 一个有理数不是正数就是负数 ③ 一个整数不是正的,就是负的 ④ 一个分数不是正的,就是负的 5 、在数+ 8.3 ,- 4 ,- 0.8 , 0 , 90 ,- - 24 |中, 是正数, 不是整数。

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