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解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结

解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结
解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结

解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+

椭圆与双曲线的对偶性质总结

解圆锥曲线问题常用以下方法:

1、定义法

(1)椭圆有两种定义。第一定义中,r 1+r 2=2a 。第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。

(2)双曲线有两种定义。第一定义中,a r r 221=-,当r 1>r 2时,注意r 2的最小值为c-a :第二定义中,r 1=ed 1,r 2=ed 2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

(3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法

因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0),将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有:

(1))0(122

22>>=+b a b

y a x 与直线相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有02020

=+k b y a x 。 (2))0,0(122

22>>=-b a b

y a x 与直线l 相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k b y a x (3)y 2=2px (p>0)与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.

【典型例题】

例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42) (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,分析:(1)A 在抛物线外,如图,连PF ,则PF PH =P 、F 三点共线时,距离和最小。

(2)B 在抛物线内,如图,作QR ⊥l 交于R ,则当B 、Q 、R

最小。

解:(1)(2,2)

连PF ,当A 、P 、F 三点共线时,PF AP PH AP +=+最小,此时AF 的方程为)1(1

30

24---=x y 即

y=22(x-1),代入y 2=4x 得P(2,22),(注:另一交点为(

2,2

1

-),它为直线AF 与抛物线的另一交点,舍去) (2)(

1,4

1

) 过Q 作QR ⊥l 交于R ,当B 、Q 、R 三点共线时,QR BQ QF BQ +=+最小,此时Q 点的纵坐标为1,代入y 2=4x 得x=

41,∴Q(1,4

1) 点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细体会。

例2、F 是椭圆13

42

2=+y x 的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,(1)PF PA +的最小值为 (2)PF PA 2+的最小值为

分析:PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径F P '题。

解:(1)4-5

设另一焦点为F ',则F '(-1,0)连A F ',P F '

542)(22-='-≥-'-='-+=+F A a PA F P a F P a PA PF PA

当P 是F 'A 的延长线与椭圆的交点时, PF PA +取得最小值为4-5。 (2)3

作出右准线l ,作PH ⊥l 交于H ,因a 2=4,b 2=3,c 2=1, a=2,c=1,e=2

1, ∴PH PF PH PF ==

2,2

1

即 ∴PH PA PF PA +=+2

当A 、P 、H 三点共线时,其和最小,最小值为3142

=-=-A x c

a

例3、动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2=4分析:作图时,要注意相切时的“图形特征”(如图中的A 、M 、C 共线,B 、D 、M 共线)

等于半径”(如图中的MD MC =)。

解:如图,MD MC =,

∴26-=--=-MB MA DB MB MA AC 即 ∴8=+MB MA (*)

∴点M 的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b 2

=15轨迹方程为

115

162

2=+y x 点评:得到方程(*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式求解,即列出

4)1()1(2222=+-+++y x y x ,再移项,平方,…相当于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐!

例4、△ABC 中,B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=

5

3

sinA,求点A 的轨迹方程。 分析:由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以2R (R 为外接圆半径),可转化为边长的关系。 解:sinC-sinB=

53sinA 2RsinC-2RsinB=53

·2RsinA ∴BC AC AB 5

3

=

- 即6=-AC AB (*)

∴点A 的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点) ∵2a=6,2c=10 ∴a=3, c=5, b=4

所求轨迹方程为

116

92

2=-y x (x>3) 点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)

例5、定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2上移动,AB 中点为M ,求点M 到x 轴的最短距离。 分析:(1)可直接利用抛物线设点,如设A(x 1,x 12),B(x 2,X 22),又设AB 中点为M(x 0y 0)用弦长公式及中点公式得出y 0关于x 0的函数表达式,再用函数思想求出最短距离。

(2)M 到x 轴的距离是一种“点线距离”,可先考虑M 到准线的距离,想到用定义法。 解法一:设A(x 1,x 12),B(x 2,x 22),AB 中点M(x 0,y 0)

则?????=+=+=-+-02

221

212

2221221229)()(y x x x x x x x x x 由①得(x 1-x 2)2[1+(x 1+x 2)2]=9

① ② ③

即[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]·[1+(x 1+x 2)2]=9 ④ 由②、③得2x 1x 2=(2x 0)2-2y 0=4x 02-2y 0 代入④得 [(2x 0)2-(8x 02-4y 0)]·[1+(2x 0)2]=9

∴2

2

00419

44x x y +=

-, 11

49)14(49442

02

0202

00-+++=+

=x x x x y ≥,5192=- 4

5

0≥

y 当4x 02+1=3 即 220±

=x 时,45)(min 0=y 此时)4

5

,22(±M

法二:如图,32222=≥+=+=AB BF AF BB AA MM

∴232≥

MM , 即∴45

1≥MM , 当∴M 到x 点评:用梯形的中位线,转化为F ,而且点M 例6、已知椭圆

)52(11

2

2≤≤=-+m m y m x 过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A 、B 、C 、D 、设f(m)=CD AB -,(1)求f(m),(2)求f(m)的最值。

分析:此题初看很复杂,对f(m)的结构不知如何运算,因A 、B 来源于“不同系统”,A 在准线上,B 在椭圆上,同样C 在椭圆上,D 在准线上,可见直接求解较繁,将这些线段“投影”到x 轴上,立即可得防

得(m-1)x 2+m(x+1)2-m 2+m=0 ∴(2m-1)x 2+2mx+2m-m 2=0

设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),则x 1+x 2=-

)52(1

22≤≤-m m m

1

2222)()(2)()(2)(2121-?

=+=+-+=---=-=m m x x x x x x x x x x CD AB m f C A C D A B

(2))1

21

1(2121122

)(-+=-+-=

m m m m f

∴当m=5时,92

10)(min =

m f 当m=2时,3

2

4)(max =

m f 点评:此题因最终需求C B x x +,而BC 斜率已知为1,故可也用“点差法”设BC 中点为M(x 0,y 0),通过将B 、C 坐标代入作差,得

0100=?-+k m y m x ,将y 0=x 0+1,k=1代入得01100=-++m x m x ,∴1

20--=m m x ,可见1

22--

=+m m x x C B

当然,解本题的关键在于对CD AB m f -=)(的认识,通过线段在x 轴的“投影”发现C

B x x m f +=)(

是解此题的要点。

【同步练习】

1、已知:F 1,F 2是双曲线122

22=-b

y a x 的左、右焦点,过F 1作直线交双曲线左支于点A 、B ,若m AB =,

△ABF 2的周长为( )

A 、4a

B 、4a+m

C 、4a+2m

D 、4a-m

2、若点P 到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则P 点的轨迹方程是 ( )

A 、y 2=-16x

B 、y 2=-32x

C 、y 2=16x

D 、y 2=32x

3、已知△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的长依次成等差数列,且AC AB >,点B 、C 的坐标分别为(-1,0),(1,0),则顶点A 的轨迹方程是( )

A 、

13422=+y x B 、)0(1342

2>=+x y x C 、)0(13422<=+x y x D 、)00(13

42

2≠>=+y x y x 且 4、过原点的椭圆的一个焦点为F(1,0),其长轴长为4,则椭圆中心的轨迹方程是 ( ) A 、)1(49)2

1

(2

2-≠=+-x y x B 、)1(49

)21(22-≠=++x y x C 、)1(49)2

1(2

2

-≠=

-+x y x D 、)1(4

9

)21(22-≠=++x y x 5、已知双曲线

116

92

2=-y x 上一点M 的横坐标为4,则点M 到左焦点的距离是 6、抛物线y=2x 2截一组斜率为2的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是 7、已知抛物线y 2=2x 的弦AB 所在直线过定点p(-2,0),则弦AB 中点的轨迹方程是

8、过双曲线x 2-y 2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为

9、直线y=kx+1与双曲线x 2-y 2=1的交点个数只有一个,则k=

10、设点P 是椭圆

19

252

2=+y x 上的动点,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,求sin ∠F 1PF 2的最大值。

11、已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列,若直线l 与此椭圆相交于A 、B 两点,且AB 中点M 为(-2,1),34=AB ,求直线l 的方程和椭圆方程。

12、已知直线l 和双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 及其渐近线的交点从左到右依次为A 、B 、C 、D 。求证:

CD AB =。

【参考答案】

1、C

a BF BF a AF AF 2,21212=-=-,

∴,24,42222m a AB BF AF a AB BF AF +=++=-+选C 2、C

点P 到F 与到x+4=0等距离,P 点轨迹为抛物线 p=8开口向右,则方程为y 2=16x ,选C 3、D

∵22?=+AC AB ,且AC AB >

∵点A 的轨迹为椭圆在y 轴右方的部分、又A 、B 、C 三点不共线,即y ≠0,故选D 。 4、A

设中心为(x ,y),则另一焦点为(2x-1,2y),则原点到两焦点距离和为4得4)2()12(12

2=+-+y x ,∴

4

9)21(22=+-y x

①又c

2<+-y x

∴(x-1)2+y 2<4 ②,由①,②得x ≠-1,选A 5、

3

29

左准线为x=-59,M 到左准线距离为529)59(4=--=d 则M 到左焦点的距离为3

29

52935=?=ed

6、)2

1(21>=

y x 设弦为AB ,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)AB 中点为(x ,y),则y 1=2x 12,y 2=2x 22,y 1-y 2=2(x 12-x 22) ∴

)(2212

121x x x x y y +=-- ∴2=2·2x ,21=x

将21=

x 代入y=2x 2得21=y ,轨迹方程是21=x (y>2

1

) 7、y 2=x+2(x>2)

设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 中点M(x ,y),则

2)(),

(2,2,2212

12

1212

221222121=+?---=-==y y x x y y x x y y x y x y

∵20+-=

=x y k k MP AB ,∴

222

=?+y x y

,即y 2=x+2 又弦中点在已知抛物线内P ,即y 2<2x ,即x+2<2x ,∴x>2 8、4

22,8,4222====c c b a ,令22=x 代入方程得8-y 2=4

∴y 2=4,y=±2,弦长为4 9、12±±

y=kx+1代入x 2-y 2=1得x 2-(kx+1)2-1=0 ∴(1-k 2)x 2①???=?-0

12k ②1-k 2=010、解:a 2设F 1、F 2设=1PF 则???+=+222121r r r r ①2-②得2r ∴1+cos θ∴1+cos θ的最小值为22

2a

b ,即1+cos θ2518≥

④ ⑤ cos θ257-

≥, 257arccos 0-≤≤πθ则当2

πθ=时,sin θ取值得最大值1, 即sin ∠F 1PF 2的最大值为1。

11、设椭圆方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x

由题意:C 、2C 、c c a +2

成等差数列,

∴222

24c a c c

a c c =++=即, ∴a 2=2(a 2-

b 2),∴a 2=2b 2

椭圆方程为1222

22=+b

y b x ,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)

则12221221=+b y b x ①

1222

2

222=+b y b x ② ①-②得

022

2

2

2122221=-+-b y y b x x ∴

022

2=?+k b y b x m m 即

02

2

=+-k ∴k=1 直线AB 方程为y-1=x+2即y=x+3, 代入椭圆方程即x 2+2y 2-2b 2=0得x 2+2(x+3)2-2b 2=0 ∴3x 2+12x+18-2b 2=0, 342)218(12123

1

112221=--=

+-=b x x AB 解得b 2

=12, ∴椭圆方程为

112

242

2=+y x ,直线l 方程为x-y+3=0 12、证明:设A(x 1,y 1),D(x 2,y 2),AD 中点为M(x 0,y 0)直线l 的斜率为k ,则

???????=-=-112

2

222222

12

21b y a x b y a x ①-②得02220

20=?-

k b

y a x ③ 设),(),,(),,(002211

y x M BC y x C y x B '''''''中点为, 则???????=-=-0022

122

2

12

22112211

b y a

x b

y a x ④-⑤得02221021

=?-'k b

y a x ⑥

① ②

由③、⑥知M 、M '均在直线022:

22=?-'k b

y

a x l 上,而M 、M '又在直线l 上 , 若l 过原点,则B 、C 重合于原点,命题成立 若l 与x 轴垂直,则由对称性知命题成立 若l 不过原点且与x 轴不垂直,则M 与M '重合 ∴CD AB =

椭圆与双曲线的对偶性质总结

椭 圆

1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.

2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的

两个端点.

3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5. 若000(,)P x y 在椭圆22

22

1x y a b

+=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6.

若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程

是00221x x y y

a b +=. 7.

椭圆22

221x y a b

+= (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点

角形的面积为122

tan 2

F PF S b γ?=.

8.

椭圆22

221x y a b

+=(a >b >0)的焦半径公式:

10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).

9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦

点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P

和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.

11. AB 是椭圆22221x y a b

+=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则2

2OM AB b k k a ?=-,

即020

2y a x b K AB -=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b

+=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y

x y a b a b +=

+. 双曲线

1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.

2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长

轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支)

5. 若000(,)P x y 在双曲线22

22

1x y a b

-=(a >0,b >0)上,则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)外 ,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2,则

切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y

a b

-=.

7. 双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >o )的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=,

则双曲线的焦点角形的面积为122

t 2

F PF S b co γ?=.

8. 双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >o )的焦半径公式:(1(,0)F c - , 2(,0)F c

当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.

当00(,)M x y 在左支上时,10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--

9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别

交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于

点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.

11. AB 是双曲线22

221x y a b -=(a >0,b >0)的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则

0202y a x b K K AB OM =?,即020

2y a x b K AB =。

12. 若000(,)P x y 在双曲线22

2

21x y a b

-=(a >0,b >0)内,则被Po 所平分的中点弦的方程是22

00002222x x y y x y a b a b

-=-. 13. 若000(,)P x y 在双曲线

22

22

1x y a b -=(a >0,b >0)内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002

222x x y y x y a b a b

-=-.

椭圆与双曲线的经典结论

椭 圆

1. 椭圆22

221x y a b

+=(a >b >o )的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时

A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22

221x y a b

-=.

2. 过椭圆22

221x y a b

+= (a >0, b >0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点,

则直线BC 有定向且20

20

BC b x k a y =(常数).

3. 若P 为椭圆22

221x y a b

+=(a >b >0)上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,

21PF F β∠=,则

tan t 22

a c co a c αβ

-=+. 4. 设椭圆22

221x y a b

+=(a >b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF 1F 2

中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有

sin sin sin c

e a

αβγ==+.

5. 若椭圆22

221x y a b

+=(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L ,则当0<e 1时,可

在椭圆上求一点P ,使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.

6. P 为椭圆22

221x y a b

+=(a >b >0)上任一点,F 1,F 2为二焦点,A 为椭圆内一定点,则

2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时,等号成立.

7. 椭圆22

0022

()()1x x y y a b

--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.

8. 已知椭圆22

221x y a b

+=(a >b >0),O 为坐标原点,P 、Q 为椭圆上两动点,且OP OQ ⊥.(1)

22

221111||||OP OQ a b +=+;(2)|OP|2+|OQ|2

的最大值为22224a b a b +;(3)OPQ S ?的最小值是2222a b a b +. 9. 过椭圆22

221x y a b

+=(a >b >0)的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交

x 轴于P ,则

||||2PF e

MN =. 10. 已知椭圆22

221x y a b

+=( a >b >0) ,A 、B 、是椭圆上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点

0(,0)P x , 则2222

0a b a b x a a ---<<. 11. 设P 点是椭圆22

221x y a b

+=( a >b >0)上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=,则

(1)2122||||1cos b PF PF θ

=+.(2) 122

tan 2PF F S b γ?=.

12. 设A 、B 是椭圆22

221x y a b

+=( a >b >0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,PAB α∠=,

PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1)2222

2|cos |

||s ab PA a c co αγ

=-.(2) 2

tan tan 1e αβ=-.(3) 222

2

2cot PAB a b S b a

γ?=-.

13. 已知椭圆22

221x y a b

+=( a >b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ,过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交

于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线

垂直.

15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

双曲线

1. 双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线交双曲线

于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22

221x y a b

+=.

2. 过双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >o )上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于

B,C 两点,则直线BC 有定向且20

20BC b x k a y =-(常数).

3. 若P 为双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点,

12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则

tan t 22c a co c a αβ-=+(或tan t 22

c a co c a βα

-=+). 4. 设双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点,

在△PF 1F 2中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有

sin (sin sin )c

e a

αγβ==±-.

5. 若双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L ,则当1<e 1

时,可在双曲线上求一点P ,使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.

6. P 为双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)上任一点,F 1,F 2为二焦点,A 为双曲线内一定点,则

21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时,等号成立.

7. 双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是

22222A a B b C -≤.

8. 已知双曲线22

221x y a b

-=(b >a >0),O 为坐标原点,P 、Q 为双曲线上两动点,且OP OQ ⊥.

(1)22221111||||OP OQ a b +=-;(2)|OP|2+|OQ|2

的最小值为222

24a b b a -;(3)OPQ S ?的最小值是2222a b b a -. 9. 过双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点,弦MN 的

垂直平分线交x 轴于P ,则||||2PF e

MN =.

10. 已知双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0),A 、B 是双曲线上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相

交于点0(,0)P x , 则220a b x a

+≥或22

0a b x a +≤-.

11. 设P 点是双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=,

则(1)2122||||1cos b PF PF θ

=-.(2) 122

cot 2PF F S b γ?=.

12. 设A 、B 是双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点,PAB α∠=,

PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1)2222

2|cos |

|||s |

ab PA a c co αγ=-. (2) 2

tan tan 1e αβ=-.(3) 222

2

2cot PAB a b S b a γ?=+. 13. 已知双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ,过双曲线右焦点F 的直线与

双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线

必与切线垂直.

15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂

直.

16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

椭圆与双曲线的必背的经典结论

椭圆与双曲线的必背的经典结论 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上,则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 , 则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-,即0202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆 22 22 1x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.

圆锥曲线知识点整理

高二数学圆锥曲线知识整理 解析几何的基本问题之一:如何求曲线(点的轨迹)方程。它一般分为两类基本题型:一是已知轨迹类型求其方程,常用待定系数法,如求直线及圆的方程就是典型例题;二是未知轨迹类型,此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外,通常设法利用已知轨迹的定义解题,化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中,一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系),侧重于数的运算,一是寻找与动点有关的几何条件,侧重于形,重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中,除了直线、圆外,还有三种圆锥曲线:椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 (1)统一定义,三种圆锥曲线均可看成是这样的点集:? ?????>=0e ,e d |PF ||P ,其中 F 为定点,d 为P 到定直线的距离,如图。 因为三者有统一定义,所以,它们的一些性质,研究它们的一些方法都具有规律性。 当01时,点P 轨迹是双曲线;当e=1时,点P 轨迹是抛物线。 (2)椭圆及双曲线几何定义:椭圆:{P||PF 1|+|PF 2|=2a ,2a>|F 1F 2|>0,F 1、F 2为定点},双曲线{P|||PF 1|-|PF 2||=2a ,|F 1F 2|>2a>0,F 1,F 2为定点}。 (3)圆锥曲线的几何性质:几何性质是圆锥曲线内在的,固有的性质,不因为位置的改变而改变。 定性:焦点在与准线垂直的对称轴上 椭圆及双曲线中:中心为两焦点中点,两准线关于中心对称;椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称,关于中心成中心对称。 (4)圆锥曲线的标准方程及解析量(随坐标改变而变) 举焦点在x 轴上的方程如下: 椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 标准方程 1b y a x 2 22 2=+ (a>b>0) 1b y a x 2 22 2=- (a>0,b>0) y 2=2px (p>0) 顶 点 (±a ,0) (0,±b ) (±a ,0) (0,0) 焦 点 (±c ,0) ( 2 p ,0) 准 线 X=±c a 2 x=2 p - 中 心 (0,0) 焦半径 P(x 0,y 0)为圆锥曲线上一点,F 1、F 2分别为左、右焦点 |PF 1|=a+ex 0 |PF 2|=a-ex 0 P 在右支时: |PF 1|=a+ex 0 |PF 2|=-a+ex 0 P 在左支时: |PF 1|=-a-ex 0 |PF 2|=a-ex 0 |PF|=x 0+ 2 p

高考数学椭圆与双曲线重要规律定理

椭圆与双曲线性质--(重要结论) 清华附中高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的 两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是 002 2 1x x y y a b + =. 6. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b + =外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程 是 002 2 1x x y y a b + =. 7. 椭圆 222 2 1x y a b + = (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点 角形的面积为1 2 2 tan 2 F P F S b γ ?=. 8. 椭圆 2 2 22 1x y a b + =(a >b >0)的焦半径公式: 10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆 222 2 1x y a b + =的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则22 O M AB b k k a ?=- , 即0 2 02 y a x b K AB - =。 12. 若000(,)P x y 在椭圆222 2 1x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 13. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上,则过0P 的双曲线的切线方程是 002 2 1x x y y a b - =. 6. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =(a >0,b >0)外 ,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是002 2 1x x y y a b -=. 7. 双曲线 222 2 1x y a b - =(a >0,b >o )的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=, 则双曲线的焦点角形的面积为1 2 2 t 2 F P F S b co γ ?=. 8. 双曲线 2 2 221x y a b -=(a >0,b >o )的焦半径公式:(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时,10||M F ex a =+,20||M F ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时,10||M F ex a =-+,20||M F ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别 交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于 点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线 222 2 1x y a b - =(a >0,b >0)的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 02y a x b K K AB OM = ?,即0 2 02 y a x b K AB = 。 12. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =(a >0,b >0)内,则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b - = - . 13. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =(a >0,b >0)内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002 2 2 2 x x y y x y a b a b - = - .

椭圆与双曲线综合练习题(培优专题练习)

椭圆与双曲线综合练习题 1.已知椭圆+=1(a >b >0)的离心率是,过椭圆上一点M 作直线MA ,MB 分别交椭圆于A ,B 两点,且斜率分别为k 1,k 2,若点A ,B 关于原点对称,则k 1·k 2的值为( ) A . B . - C . D . - 2. 若点P 为共焦点的椭圆1C 和双曲线2C 的一个交点,1F 、2F 分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为1e ,双曲线离心率为2e ,若021=?PF PF , ) A.4 B. 3 C. 2 D. 1 4.已知椭圆E :+=1(a >b >0)的右焦点为F ,短轴的一个端点为M ,直线l :3x -4y =0交椭圆E 于A ,B 两点.若|AF |+|BF |=4,点M 到直线l 的距离不小于,则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A . (0,] B . (0,] C . [,1) D . [,1) 5.已知为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点且,则此椭圆离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.椭圆C :+=1(a >b >0) 的右焦点为F ,椭圆C 与x 轴正半轴交于A 点,与y 轴正半轴交于B (0,2),且·=4+4,则椭圆C 的方程为( )A .+=1 B .+=1 C .+=1 D .+=1 7.过椭圆C :+y 2=1的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,交y 轴于点M ,若 =λ1,=λ2,则λ1+λ2等于( )A . 10 B . 5 C . -5 D . -10 8. 设F 1,F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ,满足|PF 2|=|F 1F 2|,且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( ) A .3x ±4y =0 B .3x +5y =0 C .5x ±4y =0 D .4x ±3y =0 9.设定点F 1(0,-3)、F 2(0,3),动点P 满足条件|PF 1|+|PF 2|=a +(a >0),则点P 的轨迹是( ) A . 椭圆 B . 线段 C . 不存在 D . 椭圆或线段 10.已知F 1,F 2是椭圆+=1(a >b >0)的左,右焦点,点P 是椭圆上的点,I 是△F 1PF 2内切圆的圆心,直线PI 交x 轴于点M ,则|PI |∶|IM |的值为( ) A . B . C . D . 11.已知双曲线-=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个

高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结

高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结 姓名: (一)椭圆 1.椭圆的定义 如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数(大于两定点的距离),则动点的规迹是椭圆 即|PF1|+|PF2|=2a 其中P是动点,F1,F2是定点且|F1F2|=2C 当a>c时表示 当a=c时表示 当a

标准方程 x,y的范围 顶点焦点对称轴对称中心 长半轴的长短半轴的长焦距 离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越 准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1,F2分别为椭圆的下上两焦点,P为椭圆上的一点) 4.椭圆系 (1)共焦点的椭圆系方程为 22 2 1 x y k k c += - (其中k>c2,c为半焦距) (2 )具有相同离心率的标准椭圆系的方程 22 22 (0) x y a b λλ +=> (二) 双曲线 1.双曲线的定义 如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数(小于两定点间的距离),那么动点的轨迹是双曲线 若一个动点到两定点距离之差等于一个常数,常数的绝对值小于两定点间的距离,那么动点的轨迹是双曲线的一支 F1,F2为两定点,P为一动点,(1)若||PF1|-|PF2||=2a ①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 ②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 ③2a=0则动点P的轨迹是 (2) 若|P F1|-|PF2|=2a ①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 ②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 ③2a=0则动点P的轨迹是 2.双曲线的标准方程

双曲线练习题含答案

双曲线及其标准方程习题 一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 ) 1. 命题甲:动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|?|PB|│=2a(a ?0);命题乙; P 点轨迹是双曲线,则命题甲是命题乙的 [ ] A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件 D .既非充分也非必要条件 2. 3. 4. 5. 如果方程x 2 sin ??y 2cos ?=1表示焦点在y 轴上的双曲线,那么角?的终边在 [ ] A .第四象限 B .第三象限 C .第二象限 D .第一象限 6. 7. 若a ·b ?0,则ax 2 ?ay 2 =b 所表示的曲线是 [ ] A .双曲线且焦点在x 轴上 B .双曲线且焦点在y 轴上 C .双曲线且焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上 D .椭圆 8. 9. 10. 11. 12. 13. 已知ab ?0,方程y=?2x ?b 和bx 2 ?ay 2 =ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ] 14. 二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 ) 1. 2. 双曲线的标准方程及其简单的几何性质 1.平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A .双曲线 B .一条直线 C .一条线段 D .两条射线 2.已知方程x 21+k -y 2 1-k =1表示双曲线,则k 的取值范围是( ) A .-10 C .k ≥0 D .k >1或k <-1 3.动圆与圆x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x +12=0都相外切,则动圆圆心的轨迹为( ) A .双曲线的一支 B .圆 C .抛物线 D .双曲线 4.以椭圆x 23+y 2 4=1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( ) A.x 23 -y 2 =1 B .y 2- x 23=1 C.x 23-y 2 4 =1 D.y 23-x 2 4 =1 5.“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 6.已知双曲线的两个焦点为F 1(-5,0)、F 2(5,0),P 是此双曲线上的一点,且PF 1⊥PF 2,

椭圆与双曲线的经典结论

椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-, 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是

(完整版)双曲线经典知识点总结

双曲线知识点总结班级姓名 知识点一:双曲线的定义在平面内,到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数(大于0 且)的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点,两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意:1. 双曲线的定义中,常数应当满足的约束条件:,这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解; 2. 若去掉定义中的“绝对值”,常数满足约束条件:(),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支;若(),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支; 3. 若常数满足约束条件:,则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线(包括端点); 4.若常数满足约束条件:,则动点轨迹不存在; 5.若常数,则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点二:双曲线的标准方程 1.当焦点在轴上时,双曲线的标准方程:,其中; 2.当焦点在轴上时,双曲线的标准方程:,其中. 注意:1.只有当双曲线的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程; 2.在双曲线的两种标准方程中,都有; 3.双曲线的焦点总在实轴上,即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时,焦点在轴上, 双曲线的焦点坐标为,;当的系数为正时,焦点在轴上,双曲线的焦点坐标为, . 知识点三:双曲线的简单几何性质 双曲线(a>0,b>0)的简单几何性质 (1)对称性:对于双曲线标准方程(a>0,b>0),把x换成― x,或把y换成―y,或把x、y同时换成―x、―y,方程都不变,所以双曲线(a>0,b >0)是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为双曲线的中心。 (2)范围:双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧,是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。(3)顶点:①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线(a>0,b>0)与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点,坐标分别为A1(―a,0),A2(a,0),顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴;设B1(0,―b),B2(0,b)为y轴上的两个点,则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a,|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长。 注意:①双曲线只有两个顶点,而椭圆有四个顶点,不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。 ②双曲线的焦点总在实轴上。③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。 (4)离心率:①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率,用e表示,记作。 ②因为c>a>0,所以双曲线的离心率。由c2=a2+b2,可得, 所以决定双曲线的开口大小,越大,e也越大,双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示 双曲线开口的大小程度。③等轴双曲线,所以离心率。 (5)渐近线:经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a,经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b,四条直线 围成一个矩形(如图),矩形的两条对角线所在直线的方程是,我们把直线叫做双曲线的渐近线。 注意:双曲线与它的渐近线无限接近,但永不相交。 标准方程 图形 性质 焦点,, 焦距 范围,,

椭圆双曲线典型例题整理

椭圆典型题 一、已知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。 例1:已知椭圆的焦点是F 1(0,-1)、F 2(0,1),P 是椭圆上一点,并且PF 1+PF 2= 2F 1F 2,求椭圆的标准方程。 2.已知椭圆的两个焦点为 F 1(-1,0),F 2(1,0),且2a =10,求椭圆的标准方程. 二、未知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。 例:1. 椭圆的一个顶点为02, A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出,求椭圆的标准方程。例.求过点(-3,2)且与椭圆x 29+y 24 =1有相同焦点的椭圆的标准方程. 四、与直线相结合的问题,求椭圆的标准方程。 例:已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01y x 交于A 、B 两点,M 为AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.

五、求椭圆的离心率问题。 例一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率. 例已知椭圆 19 8 2 2 y k x 的离心率2 1e ,求k 的值. 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题 例:1.若△ABC 的两个顶点坐标A (-4,0),B (4,0),△ABC 的周长为18,求顶点C 的轨迹方程。 2.已知椭圆的标准方程是x 2a 2+y 2 25 =1(a >5),它的两焦点分别是 F 1,F 2,且F 1F 2=8,弦 AB 过点F 1,求△ABF 2的周长. 3.设F 1、F 2是椭圆x 29+y 2 4 =1的两个焦点,P 是椭圆上的点,且PF 1∶PF 2=2∶1,求 △PF 1F 2的面积.

双曲线中常见结论

双曲线中常见结论: 1、离心率e=a c =21)(a b 2、焦半径 3、通径及通径长a b 2 2 4、焦点到准线的距离c b 2,中心到准线的距离c a 2

8、双曲线λ=-2222b y a x (λ≠0)和122 22=-b y a x 有相同的渐近线和相同的离心率。 9、P 为双曲线上一点,则21F PF ?的面积为S= θsin b 2 121212线的离心率为e= α ββαsin sin sin -+) (

例(湖南卷)已知双曲线22a x -22 b y =1(a >0,b >0)的右焦点为F ,右准线与一条渐近线 交于点A ,△OAF 的面积为2 2 a (O 为原点),则两条渐近线的夹角为 (D ) A .30o B .45o C .60o D .90o 例双曲线)(0122≠=-m n n y m x 的离心率为2,则n m 的值为( ) A .3 B . 3 1 C .3或 3 1 D .以上都不对

椭圆的几何性质 一、教学目标 (一)知识教学点 通过椭圆标准方程的讨论,使学生掌握椭圆的几何性质,能正确地画出椭圆的图形,并了解椭圆的一些实际应用. (二)能力训练点 通过对椭圆的几何性质的教学,培养学生分析问题和解决实际问题的能力. (三)学科渗透点 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解,这样才能解决随之而来的一些问题,如弦、最值问题等. 二、教材分析 1.重点:椭圆的几何性质及初步运用. (解决办法:引导学生利用方程研究曲线的性质,最后进行归纳小结.) 2.难点:椭圆离心率的概念的理解. (解决办法:先介绍椭圆离心率的定义,再分析离心率的大小对椭圆形状的影响,最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义.) 3.疑点:椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质,与坐标系选择无关,即不随坐标系的改变而改变. (解决办法:利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明.) 三、活动设计 提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结. 四、教学过程 (一)复习提问 1.椭圆的定义是什么?

双曲线知识点归纳总结.

第二章 2.3 双曲线 双曲线 标准方程(焦点在x 轴) )0,0(122 22>>=-b a b y a x 标准方程(焦点在y 轴) )0,0(122 22>>=-b a b x a y 定义 第一定义:平面内与两个定点1F ,2F 的距离的差的绝对值是常数(小于12F F )的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫焦距。 {}a MF MF M 22 1 =-()212F F a < 第二定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e ,当1e >时,动点的轨迹是双曲线。定点F 叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数e (1e >)叫做双曲线的离心率。 范围 x a ≥,y R ∈ y a ≥,x R ∈ 对称轴 x 轴 ,y 轴;实轴长为2a ,虚轴长为2b 对称中 心 原点(0,0)O 焦点坐标 1(,0)F c - 2(,0)F c 1(0,)F c - 2(0,)F c 焦点在实轴上,22c a b =+;焦距:122F F c = 顶点坐标 (a -,0) (a ,0) (0, a -,) (0,a ) x y P 1 F 2 F x y P x y P 1F 2F x y x y P 1 F 2 F x y x y P 1F 2F x y P

离心率 e a c e (= >1) 准线方 程 c a x 2 ± = c a y 2 ± = 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧;两准线间的距离:c a 2 2 顶点到准线的 距离 顶点1A (2A )到准线1l (2l )的距离为c a a 2 - 顶点1 A (2A )到准线2l (1l )的距离为a c a +2 焦点到准线的 距离 焦点1F (2F )到准线1l (2l )的距离为c a c 2 - 焦点1F (2F )到准线2l (1l )的距离为c c a +2 渐近线 方程 x a b y ±= x b a y ±= 共渐近 线的双曲线系 方程 k b y a x =-2222(0k ≠) k b x a y =-22 2 2(0k ≠) 1. 双曲线的定义 ① 当|MF 1|-|MF 2|=2a 时,则表示点M 在双曲线右支上; 当a MF MF 212=-时,则表示点M 在双曲线左支上; ② 注意定义中的“(小于12F F )”这一限制条件,其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。 若2a =2c 时,即2 12 1F F MF MF =-,当2121F F MF MF =-,动点轨迹是以2F 为端点向 右延伸的一条射线;当2112F F MF MF =-时,动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一条射线; 若2a >2c 时,动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是: 如果2x 项的系数是正数,则焦点在x 轴上; 如果2y 项的系数是正数,则焦点在y 轴上. 对于双曲线,a 不一定大于b ,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<.

椭圆、双曲线抛物线综合练习题及答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案,每题6分共36分) 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 ( ) A . 5 B. 3 C. 4 D 8 2.已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线的方程为 ( ) A . 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3.双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 ( ) A C. 185 D 165 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3,则P 到y 轴的距离为 ( ) A . 1 B. 2 C. 3 D 4 5.双曲线的渐进线方程为230x y ±=,(0,5)F -为双曲线的一个焦点,则双曲线的方程为。 ( ) A . 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6.设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点,若双曲线上存在点A ,使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 ( ) A . 2 B. 2 C. 2 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 =ax (a ≠0)的焦点F ,且和y 轴交于点A ,若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ) A .y 2 =±4 B .y 2 =±8x C .y 2 =4x D .y 2 =8x 8.已知直线l 1:4x -3y +6=0和直线l 2:x =-1,抛物线y 2 =4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A .2 B .3 9.已知直线l 1:4x -3y +6=0和直线l 2:x =-1,抛物线y 2 =4x 上一动点P 到直线

双曲线方程圆锥方程与椭圆方程基本知识点

数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——圆锥曲线(一) 省市安乡县第五中学龚光勇收集整理 1.圆锥曲线的两个定义: (1)第一定义中要重视“括号”的限制条件:椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常数,且此常数一定要大于,当常数等于时,轨迹是线段FF,当常数小于时,无轨迹;双曲线中,与两定点F,F的距离的差的绝对值等于常数,且此常数一定要小于|FF|,定义中的“绝对值”与<|FF|不可忽视。若=|FF|,则轨迹是以F,F为端点的两条射线,若﹥|FF|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如: ①已知定点,在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A.B. C.D.(答:C); ②方程表示的曲线是_____(答:双曲线的左支) (2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点及抛物线上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_____(答:2) 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在轴上时()(参数方程,其中为参数),焦点在轴上时=1()。方程表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B)。比如: ①已知方程表示椭圆,则的取值围为____(答:); ②若,且,则的最大值是____,的最小值是___(答:) (2)双曲线:焦点在轴上: =1,焦点在轴上:=1()。方程表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B异号)。比如: ①双曲线的离心率等于,且与椭圆有公共焦点,则该双曲线的方程_______(答:); ②设中心在坐标原点,焦点、在坐标轴上,离心率的双曲线C过点,则C的方程为_______

高中数学椭圆、双曲线、抛物线历年真题及详解

【考点8】椭圆、双曲线、抛物线 2009年考题 1、(2009湖北高考)已知双曲线141222 2 222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆(b >0)的焦点,则b=( ) A.3 B.5 C.3 D.2 选C.可得双曲线的准线为2 1a x c =±=±,又因为椭圆焦点为2(4,0)b ±-所以有241b -=.即b 2=3故b=3. 2、(2009陕西高考)“0m n >>”是“方程2 21mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【解析】选C.将方程2 2 1mx ny +=转化为 22 111x y m n +=, 根据椭圆的定义,要使焦点在y 轴上必须 满足 11 0,0,m n >>且11n m >,故选C.3、(2009湖南高考)抛物线 28y x =-的焦点坐标是( ) A .(2,0) B .(- 2,0) C .(4,0) D .(- 4,0) 【解析】选B.由 28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2 p - =-,故选B. 4、(2009全国Ⅰ)已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ,点A l ∈,线段AF 交C 于点B , 若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF uuuu r =( ) (A) 2 (B) 2 3 (D) 3 【解析】选A.过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ,易知FN=1.由题意3FA FB =u u u r u u u r ,故2 ||3 BM =. 又由椭圆的第二定义,得222 ||233 BF = = ||2AF ∴=5、(2009江西高考)设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ,,(0,2)P b 是正三角形的 三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A . 32 B .2 C .5 2 D .3

椭圆双曲线知识点总结

椭圆知识点 【知识点1】椭圆的概念: 在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距. 当动点设为M 时,椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a += 注意:若)(2121F F PF PF =+,则动点P 的轨迹为线段21F F ; 若)(2121 F F PF PF <+,则动点P 的轨迹无图形。 【知识点2】椭圆的标准方程 焦点在x 轴上椭圆的标准方程: ()22 2210x y a b a b += >>,焦点坐标为(c ,0),(-c ,0) 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为:()22 2210x y a b b a += >>焦点坐标为(0,c ,)(o ,-c ) 【知识点3】椭圆的几何性质: 规律: (1)椭圆焦点位置与x 2,y 2系数间的关系:焦点在分母大的那个轴上. (2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中,长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离,且最大距离为a +c ,最小距离为a -c . (3)在椭圆中,离心率 2 222 2a b a a c a c e -===(4)椭圆的离心率e 越接近1椭圆越扁;e 越接近于0,椭圆就接近于圆; (5)离心率公式:在21PF F ?中,α=∠21F PF ,β=∠12F PF ,()β αβαsin sin sin ++=e 二、椭圆其他结论 1、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b += 若已知切线斜率K ,切线方程为222b k a kx y +±=

椭圆和双曲线练习题及答案.docx

圆锥曲线测试题 一、选择题(共12题,每题5分) 2 2 1已知椭圆二11(a 5)的两个焦点为F I、F2 ,且∣F1F2∣=8 ,弦 a 25 AB过点F i ,则△ ABF2的周长为() (A)10 (B)20 (C) 2 -41(D) 4 41 2 2 2椭圆丄丄J上的点P到它的左准线的距离是10,那么点P 100 36 到它的右焦点的距离是() (A)15 (B)12 (C)10 (D) 8 2 2 3椭圆—y 1的焦点F1、F2 ,P为椭圆上的一点,已知PF^ PF2, 25 9 则厶F1PF2的面积为() (A)9 (B)12 (C)10 (D)8 4以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是() (A)X2-y2=2 (B)y2-x2=2 (C)X2- y2= 4 或y2 _ X2= 4 (D)X2 -y2 = 2或y2 -X2 = 2 2 2 5双曲线--y 1右支点上的一点P到右焦点的距离为2,则P 16 9 点到左准线的距离为() (A) 6 (B)8 (C)10 (D)12 6过双曲线X2—y2 =8的右焦点F2有一条弦PQ ∣PQ∣=7,F 1是左焦点,那么△ F1PQ的周长为() (A)28 (B)14-8、2 (C)14 8 2 (D)8 2 7双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F1、F2, ?F1MF2 =120 , 则双曲线的离心率为() (A)3(B)兰(C)H (D)三 2 3 3 2

8在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为,2 ,焦点到相应准线的距离为1 ,则该双曲线的离心率为()

(A) — ( B) 2 ( C) 2 ( D) 2 2 2 2 2 9如果椭圆2L L "的弦被点(4 , 2)平分,则这条弦所在的直 36 9 线方程是( ) (A ) X — 2y =O ( B ) X 2y — 4 =0 ( C ) 2x 3y - 12 =0 ( D ) x 2y — 8 = 0 那么点P 到y 轴的距离是( ) π :(0,2), π (0,—] 4 2 3 y 2 =1 a 0,b 0的右焦点为F ,过F 且斜率为 (A) (B)竽 (C) 2」6 (D) 2 3 1 1 中心在原点,焦点在 y 轴的椭圆方程是 2 2 X Sin l " y cos : -1 , 则C 的离心率为( )w.w.w.k.s.5.u.c.o. m A 、6 B 、 7 C 、5 D 、 5 5 8 9 5 二 _ 填空题(20 ) ■3的直线交C 于A 、B 两点,若AF =4FB , 10 2 如果双曲线- 4 2 y 2 =1上一点P 到双曲线右焦点的距离是 2, A. π (0,—) 4 B D. [J) 4 2 12 已知双曲线 (Z,F ) 则 (

椭圆与双曲线的必背的经典结论

椭圆与双曲线的必背的经典结论 案场各岗位服务流程 销售大厅服务岗: 1、销售大厅服务岗岗位职责: 1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品; 2)保持销售区域台面整洁; 3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等; 4)收集客户意见、建议及现场问题点; 2、销售大厅服务岗工作及服务流程 阶段工作及服务流程 班前阶段1)自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域 2)检查使用工具及销售大厅物资情况,异常情况及时登记并报告上级。 班中工作程序服务 流程 行为 规范 迎接 指引 递阅 资料 上饮品 (糕点) 添加茶水工作1)眼神关注客人,当客人距3米距离侯客迎询问客户送客户

注意事项 15度鞠躬微笑问候:“您好!欢迎光临!”2)在客人前方1-2米距离领位,指引请客人向休息区,在客人入座后问客人对座位是否满意:“您好!请问坐这儿可以吗?”得到同意后为客人拉椅入座“好的,请入座!” 3)若客人无置业顾问陪同,可询问:请问您有专属的置业顾问吗?,为客人取阅项目资料,并礼貌的告知请客人稍等,置业顾问会很快过来介绍,同时请置业顾问关注该客人; 4)问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好,这里是XX销售中心,这边请”5)问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好 6)关注客人物品,如物品较多,则主动询问是否需要帮助(如拾到物品须两名人员在场方能打开,提示客人注意贵重物品); 7)在满座位的情况下,须先向客人致

待; 阶段工作及服务流程 班中工作程序工作 要求 注意 事项 饮料(糕点服务) 1)在所有饮料(糕点)服务中必须使用 托盘; 2)所有饮料服务均已“对不起,打扰一 下,请问您需要什么饮品”为起始; 3)服务方向:从客人的右面服务; 4)当客人的饮料杯中只剩三分之一时, 必须询问客人是否需要再添一杯,在二 次服务中特别注意瓶口绝对不可以与 客人使用的杯子接触; 5)在客人再次需要饮料时必须更换杯 子; 下班程 序1)检查使用的工具及销售案场物资情况,异常情况及时记录并报告上级领导; 2)填写物资领用申请表并整理客户意见;3)参加班后总结会; 4)积极配合销售人员的接待工作,如果下班

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