Floyd最短路径算法
2006-10-20, by leon_jlu
在图论中经常会遇到这样的问题，在一个有向图里，求出任意两个节点之间的最短距离。我们在离散数学、数据结构课上都遇到过这个问题，在计算机网络里介绍网络层的时候好像也遇到过这个问题，记不请了... 但是书本上一律采取的是Dijkstra算法，通过Dijkstra算法可以求出单源最短路径，然后逐个节点利用Dijkstra算法就可以了。不过在这里想换换口味，采取Robert Floyd提出的算法来解决这个问题。下面让我们先把问题稍微的形式化一下：
如果有一个矩阵D=[d(ij)]，其中d(ij)>0表示i城市到j城市的距离。若i 与j之间无路可通，那么d(ij)就是无穷大。又有d(ii)=0。编写一个程序，通过这个距离矩阵D，把任意两个城市之间的最短与其行径的路径找出来。
我们可以将问题分解，先找出最短的距离，然后在考虑如何找出对应的行进路线。如何找出最短路径呢，这里还是用到动态规划的知识，对于任何一个城市而言，i到j的最短距离不外乎存在经过i与j之间的k和不经过k两种可能，所以可以令k=1，2，3，...，n(n是城市的数目)，在检查d(ij)与d(ik)+d(kj)的值；在此d(ik)与d(kj)分别是目前为止所知道的i到k与k到j的最短距离，因此d(ik)+d(kj)就是i到j经过k的最短距离。所以，若有d(ij)>d(ik)+d(kj)，就表示从i出发经过k再到j的距离要比原来的i到j距离短，自然把i到j的d(ij)重写为d(ik)+d(kj)，每当一个k查完了，d(ij)就是目前的i到j的最短距离。重复这一过程，最后当查完所有的k时，d(ij)里面存放的就是i到j之间的最短距离了。所以我们就可以用三个for循环把问题搞定了，但是有一个问题需要注意，那就是for循环的嵌套的顺序：我们可能随手就会写出这样的程序，但是仔细考虑的话，会发现是有问题的。
for(int i=0; i for(int j=0; j for(int k=0; k 问题出在我们太早的把i-k-j的距离确定下来了，假设一旦找到了i-p-j最短的距离后，i到j就相当处理完了，以后不会在改变了，一旦以后有使i到j的更短的距离时也不能再去更新了，所以结果一定是不对的。所以应当象下面一样来写程序： for(int k=0; k for(int j=0; j 这样作的意义在于固定了k，把所有i到j而经过k的距离找出来，然后象开头所提到的那样进行比较和重写，因为k是在最外层的，所以会把所有的i到j 都处理完后，才会移动到下一个k，这样就不会有问题了，看来多层循环的时候，我们一定要当心，否则很容易就弄错了。 接下来就要看一看如何找出最短路径所行经的城市了，这里要用到另一个矩阵P，它的定义是这样的：p(ij)的值如果为p，就表示i到j的最短行经为i->...->p->j，也就是说p是i到j的最短行径中的j之前的最后一个城市。P矩阵的初值为p(ij)=i。有了这个矩阵之后，要找最短路径就轻而易举了。对于i到j而言找出p(ij)，令为p，就知道了路径i->...->p->j；再去找p(ip)，如果值为q，i到p的最短路径为i->...->q->p；再去找p(iq)，如果值为r，i到q的最短路径为i->...->r->q；所以一再反复，到了某个p(it)的值为i时，就表示i到t的最短路径为i->t，就会的到答案了，i到j的最短行径为i->t->...->q->p->j。因为上述的算法是从终点到起点的顺序找出来的，所以输出的时候要把它倒过来。 但是，如何动态的回填P矩阵的值呢？回想一下，当d(ij)>d(ik)+d(kj)时，就要让i到j的最短路径改为走i->...->k->...->j这一条路，但是d(kj)的值是已知的，换句话说，就是k->...->j这条路是已知的，所以k->...->j这条路上j的上一个城市(即p(kj))也是已知的，当然，因为要改走i->...->k->...->j这一条路，j的上一个城市正好是p(kj)。所以一旦发现d(ij)>d(ik)+d(kj)，就把p(kj)存入p(ij)。 下面是具体的C代码： #include #include #include #define MAXSIZE 20 void floyd(int [][MAXSIZE], int [][MAXSIZE], int); void display_path(int [][MAXSIZE], int [][MAXSIZE], int); void reverse(int [], int); void readin(int [][MAXSIZE], int *); #define MAXSUM(a, b) (((a) != INT_MAX && (b) != INT_MAX) ? \ ((a) + (b)) : INT_MAX) void floyd(int dist[][MAXSIZE], int path[][MAXSIZE], int n) { int i, j, k; for (i = 0; i < n; i++) for (j = 0; j < n; j++) path[j] = i; for (k = 0; k < n; k++) for (i = 0; i < n; i++) for (j = 0; j < n; j++) if (dist[j] > MAXSUM(dist[k], dist[k][j])) { path[j] = path[k][j]; dist[j] = MAXSUM(dist[k], dist[k][j]); } } void display_path(int dist[][MAXSIZE], int path[][MAXSIZE], int n) { int *chain; int count; int i, j, k; printf("\n\nOrigin->Dest Dist ath"); printf( "\n-----------------------------"); chain = (int *) malloc(sizeof(int)*n); for (i = 0; i < n; i++) for (j = 0; j < n; j++) { if (i != j) { printf("\n%6d->%d ", i+1, j+1); if (dist[j] == INT_MAX) printf(" NA "); else { printf("%4d ", dist[j]); count = 0; k = j; do { k = chain[count++] = path[k]; } while (i != k); reverse(chain, count); printf("%d", chain[0]+1); for (k = 1; k < count; k++) printf("->%d", chain[k]+1); printf("->%d", j+1); } } } free(chain); } #define SWAP(a, b) { temp = a; a = b; b = temp; } void reverse(int x[], int n) { int i, j, temp; for (i = 0, j = n-1; i < j; i++, j--) SWAP(x, x[j]); } void readin(int dist[][MAXSIZE], int *number) { int origin, dest, length, n; int i, j; char line[100]; gets(line); sscanf(line, "%d", &n); *number = n; for (i = 0; i < n; i++) { for (j = 0; j < n; j++) dist[j] = INT_MAX; dist = 0; } gets(line); sscanf(line, "%d%d%d", &origin, &dest, &length); while (origin != 0 && dest != 0 && length != 0) { dist[origin-1][dest-1] = length; gets(line); sscanf(line, "%d%d%d", &origin, &dest, &length); } } 测试程序如下所示： int main(void) { int dist[MAXSIZE][MAXSIZE]; int path[MAXSIZE][MAXSIZE]; int n; printf("\nInput the path information:"); printf("\n----------------------------\n"); readin(dist, &n); floyd(dist, path, n); display_path(dist, path, n); getchar(); } 其中readin函数规定了输入的格式，第一列是指出有多少个城市；第二列以后每行三个数；第一个和第二个是一条路径的起点和终点，第三个数是路径的长度，最后以三个0作为输入结束条件。下面是一个输入的例子： Input the path information: -------------------------------------- 4 1 2 5 2 1 50 2 3 15 2 4 5 3 1 30 3 4 15 4 1 15 4 3 5 0 0 0 对应的输出结果为： Origin->Dest Dist Path ---------------------------------------------- 1->2 5 1->2 1->3 15 1->2->4->3 1->4 10 1->2->4 2->1 20 2->4->1 2->3 10 2->4->3 2->4 5 2->4 3->1 30 3->1 3->2 35 3->1->2 3->4 15 3->4 4->1 15 4->1 4->2 20 4->1->2 4->3 5 4->3 Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹格?迪科斯彻发现的。算法解决的是有向图中最短路径问题。 举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示著城市间开车行经的距离。Dijkstra算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。 Dijkstra算法的输入包含了一个有权重的有向图G，以及G中的一个来源顶点S。我们以V表示G中所有顶点的集合。每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。(u,v)表示从顶点u到v有路径相连。我们以E所有边的集合，而边的权重则由权重函数w: E →[0, ∞]定义。因此，w(u,v)就是从顶点u到顶点v的非负花费值(cost)。边的花费可以想像成两个顶点之间的距离。任两点间路径的花费值，就是该路径上所有边的花费值总和。已知有V中有顶点s及t，Dijkstra算法可以找到s到t的最低花费路径(i.e. 最短路径)。这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点s到任何其他顶点的最短路径。 算法描述 这个算法是通过为每个顶点v保留目前为止所找到的从s到v的最短路径来工作的。初始时，源点s的路径长度值被赋为0（d[s]=0），同时把所有其他顶点的路径长度设为无穷大，即表示我们不知道任何通向这些顶点的路径（对于V 中所有顶点v除s外d[v]= ∞）。当算法结束时，d[v]中储存的便是从s到v的最短路径，或者如果路径不存在的话是无穷大。Dijstra算法的基础操作是边的拓展：如果存在一条从u到v的边，那么从s到u的最短路径可以通过将边(u,v)添加到尾部来拓展一条从s到v的路径。这条路径的长度是d+w(u,v)。如果这个值比目前已知的d[v]的值要小，我们可以用新值来替代当前d[v]中的值。拓展边的操作一直执行到所有的d[v]都代表从s到v最短路径的花费。这个算法经过组织因而当d达到它最终的值的时候没条边(u,v)都只被拓展一次。 算法维护两个顶点集S和Q。集合S保留了我们已知的所有d[v]的值已经是最短路径的值顶点，而集合Q则保留其他所有顶点。集合S初始状态为空，而后每一步都有一个顶点从Q移动到S。这个被选择的顶点是Q中拥有最小的d值的顶点。当一个顶点u从Q中转移到了S中，算法对每条外接边(u,v)进行拓展。在下面的算法中,u:=Extract_Min(Q)在在顶点集Q中搜索有最小的d值的顶点u。这个顶点被从集合Q中删除并返回给用户。 1 function Dijkstra(G, w, s) 2 for each vertex v in V[G] // 初始化 3 d[v] := infinity 4 previous[v] := undefined 5 d[s] := 0 6 S := empty set 7 Q := set of all vertices 8 while Q is not an empty set // Dijstra算法主体 9 u := Extract_Min(Q) 10 S := S union {u} 11 for each edge (u,v) outgoing from u 12 if d[v] > d + w(u,v) // 拓展边(u,v) 13 d[v] := d + w(u,v) 14 previous[v] := u 如果我们只对在s和t之间寻找一条最短路径的话，我们可以在第9行添加条件如果满足u=t的话终止程序。 现在我们可以通过迭代来回溯出s到t的最短路径 1 S := empty sequence 2 u := t 3 while defined u 4 insert u to the beginning of S 5 u := previous 现在序列S就是从s到t的最短路径的顶点集. 本人自己写的蚁群算法。完全能够实现功能，就是收敛速度感觉有点慢。 % function [R_best,L_best,L_ave,Shortest_Route,Shortest_Length]=ACO(C,D,s,e,NC_ma x,m,Alpha,Beta,Rho,Q) % function [Shortest_Route,Shortest_Length]=ACOR(C,D,s,e,NC_max,m,Alpha,Beta,Rho, Q) %%============================================ ============================= %% ACO.m %% Ant Colony Optimization Algorithm for Road Select Problem %% LiLixin,ShenYang Insitute of Aeronautical engineering ,ShenYang,China %% Email:myassist@https://www.doczj.com/doc/b810731359.html, %% All rights reserved %%------------------------------------------------------------------------- %% 主要符号说明 %% C n个城市的坐标，n×2的矩阵 %% D 道路连通加权矩阵 %% s 起点 %% e 终点 %% NC_max 最大迭代次数 %% m 蚂蚁个数 %% Alpha 表征信息素重要程度的参数 %% Beta 表征启发式因子重要程度的参数 %% Rho 信息素蒸发系数 %% Q 信息素增加强度系数 %% R_best 各代最佳路线 %% L_best 各代最佳路线的长度 %%============================================ ============================= % clc clear % 设置初始参数如下： m=10;Alpha=1;Beta=5;Rho=0.1;NC_max=100;Q=100; %设定起始点 s=1;e=50; % 31城市坐标为： C=[601.6 971.7 988.8 482.6 54.4 549.6 95.4 868 529.1 429.5 982 350.5 654.3 23.2 738.1 372 538.9 593.7 560.1 850.3 229.2 805.9 411.2 710 83.2 706.2 937.4 800.5 11.9 994.4 694.1 809.1 795.4 758.8 338.9 148.1 955.8 643.8 345.7 726.2 550.3 349.6 183.7 935.1 640 544 854.6 842.4 199.3 547.9 434.1 921.4 405.5 624.2 272.3 998.1 772 24.4 385.2 327.4 320.3 410.4 890 90 810 580 180 80 185 300 950 200 850 258.6 50 450 150 402 345 900 450 800 621 700 564.3 180 80.5 280 750 950 450 500 300 50 900 530 300 520 152 189.6 ]; D=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.92 0 0 0 0 0 230.95 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.8 94 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 157.34 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 140.78 0 325.12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 155.71 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.913 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 74.247 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 55.603 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.921 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 147.8 0 76.551 0 76.908 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 84.189 0 0 0 0 0 0 0 0 166.74 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.915 0 0 0 0 0 140.78 0 0 0 0 0 211.43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.91 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 205.65 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.91 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.901 0 0 0 156.87 0 0 0 0 325.12 0 0 0 211.43 205.65 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 79.979 0 258.19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 73.841 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.898 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 79.382 0 0 0 75.438 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.92 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 80.01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 79.064 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.919 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 147.8 0 0 0 0 0 0 0 0 147.14 0 0 0 0 0 0 163.89 0 60.464 0 0 0 0 0 151.26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.898 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.922 0 0 0 0 0 0 81.004 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 74.247 76.551 0 0 0 0 0 0 147.14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 155.58 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 79.124 0 79.49 0 0 0 0 76.899 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.908 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.889 0 0 0 0 0 76.886 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 230.95 0 0 0 0 0 0 0 0 80.01 0 0 0 0 0 0 78.141 0 0 0 0 0 0 154.69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 157.07 0 0 161.07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 79.124 0 78.141 0 0 76.92 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 78.001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 128.28 0 0 0 62.948 0 0 0 0 0 0 0 0 154.95 0 0 0 80.368 0 0 0 0 0 0 0 79.49 0 0 76.92 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.89 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 163.89 76.922 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 163.74 0 76.919 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 84.189 0 0 79.979 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 152.52 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 77.57 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 79.548 0 0 0 0 0 0 60.464 0 0 0 76.889 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.892 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 258.19 79. 382 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 152.52 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 161.33 0 0 0 0 0 0 0 0 157.1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.899 0 154.69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 62.691 0 0 0 0 0 0 0 55.603 0 0 0 0 0 0 0 0 0 155.58 0 0 0 0 0 0 163.74 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 79.451 0 0 0 0 0 0 0 0 0 79.409 0 76.894 0 0 0 0 0 0 0 0 79.064 0 0 0 0 0 0 0 0 77.742 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.928 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 75.438 0 0 81.004 0 0 0 0 0 0 0 76.919 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 151.26 0 0 0 76.886 0 0 0 0 0 0 76.892 0 0 0 7 7.742 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.91 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.913 0 0 0 0 78.324 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 166.74 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 128. 28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 79.988 0 0 0 157 .22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 79.988 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.911 0 0 76.918 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.913 0 0 0 0 0 0 76. 921 76.907 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 78.001 0 0 0 0 0 161.33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.914 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 62.948 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.916 0 0 76.923 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 157.22 0 0 0 0 0 0 0 0 80.495 0 0 0 0 76.92 0 0 0 0 0 76.926 0 0 0 0 0 76.91 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.921 0 0 0 0 76.888 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 73.841 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 78.324 0 0 76.907 0 0 0 76.888 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.921 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.92 0 0 0 0 76.908 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 79.451 0 0 0 0 0 0 0 0 0 80.495 0 0 76.92 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.852 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.928 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 77.96 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.919 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 77.96 0 76.893 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 157.22 0 0 0 0 0 0 0 0 80.495 0 0 0 0 76.92 0 0 0 0 0 76.926 0 0 0 0 0 76.91 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.921 0 0 0 0 76.888 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 73.841 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 78.324 0 0 76.907 0 0 0 76.888 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.921 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.92 0 0 0 0 76.908 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 79.451 0 0 0 0 0 0 0 0 0 80.495 0 0 76.92 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.852 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.928 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 77.96 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.919 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 77.96 0 76.893 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 157.07 0 0 0 0 0 0 157.1 0 0 0 0 0 0 0 0 76.893 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.901 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 154. 95 0 0 77.57 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.92 0 0 76.908 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.921 157.34 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 161.07 0 0 0 0 0 0 0 62.691 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.915 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.911 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.912 0 0 0 0 0 0 0 156.87 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 80.3 68 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.916 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.913 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.89 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.914 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 79.409 0 0 0 0 0 76.918 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.912 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.923 76.926 0 0 0 0 0 0 0 0 76.921 0 0 0 0 0 0 ]; %%第一步：变量初始化 n=size(C,1);%n表示问题的规模（城市个数） gplot(D , C);%画无向图 hold on XX=C'; plot(XX(1 , , XX(2 , , 'k+', 'markersize' , 5) %画十字架 for i=1:n text(C(i,1)+5,C(i,2),int2str(i)); %加标号 end for i=1:n for j=1:n if D(i,j)==0 D(i,j)=inf; end end end Eta=1./D;%Eta为启发因子，这里设为距离的倒数 Tau=ones(n,n);%Tau为信息素矩阵 Tabu=zeros(m,n);%存储并记录路径的生成 NC=1;%迭代计数器 R_best=zeros(NC_max,n);%各代最佳路线 L_best=inf.*ones(NC_max,1);%各代最佳路线的长度 lastmin=inf; %上代最小路径 thesameNum=0; %终止算法条件之一 while NC<=NC_max%停止条件之一：达到最大迭代次数 %%第二步：将m只蚂蚁放到n个城市上 Randpos=ones(1,m)*s; Tabu(:,1)=(Randpos(1,1:m))'; %%第三步：m只蚂蚁按概率函数选择相通的下一座城市，直到到达目的地for i=1:m %按概率原则选取下一个城市 %只有当达到最后的节点等于终点时候才结束 j=2; to_visit=s; while to_visit~=e visited=Tabu(i,1j-1));%已访问的城市 % 得到矩阵中最后一个不为0的数,即蚂蚁爬到的最后节点 col=size(visited,2); lastvisited=visited(end); J=[];%待访问的城市，随机分布 =J;%待访问城市的选择概率分布 Jc=1; JJ=randperm(n);%随机分布 for k=1:n flag=bHaveNum(visited,JJ(k)); if flag~=1 if D(lastvisited,JJ(k))~=inf J(Jc)=JJ(k); Jc=Jc+1; end end end if length(J) ==0 break; end %下面计算待选城市的概率分布 for k=1:length(J) P(k)=(Tau(lastvisited,J(k))^Alpha)*(Eta(lastvisited,J(k))^Beta); end =P/(sum(P)); cum=cumsum(P); Select=find(Pcum>=rand); kk=randperm(length(Select)); to_visit=J(Select(kk(1))); Tabu(i,j)=to_visit; j=j+1; end end %%第四步：记录本次迭代最佳路线 L=zeros(m,1); for i=1:m R=Tabu(i,; F=thelastNum(R); if R(F)==e for j=1n-1) if R(j+1)~=0 L(i)=L(i)+D(R(j),R(j+1)); end end else L(i)=inf; end end if lastmin~=min(L) thesameNum=0; else thesameNum=thesameNum+1; end if (thesameNum >0.2*NC_max) break; end L_best(NC)=min(L); pos=find(L==L_best(NC)); R_best(NC,=Tabu(pos(1),; NC=NC+1; %%第五步：更新信息素 Delta_Tau=zeros(n,n); for i=1:m for j=1n-1) if Tabu(i,j+1)~=0 Delta_Tau(Tabu(i,j),Tabu(i,j+1))=Delta_Tau(Tabu(i,j),Tabu(i,j+ 1))+Q/L(i); end end end Tau=(1-Rho).*Tau+Delta_Tau; %%第六步：禁忌表清零 Tabu=zeros(m,n); end %%第七步：输出结果 Pos=find(L_best==min(L_best)); Shortest_Route=R_best(Pos(1),:); Shortest_Length=L_best(Pos( 1)); F=thelastNum(Shortest_Route ); Shortest_Route=Shortest_Ro ute(1:F); plot(XX(1 , Shortest_Route') , XX(2 , Shortest_Route') , 'g' , 'linewidth' , 1) %画结果 路径 hold off 摘要：主要介绍最短路径问题中的经典算法——迪杰斯特拉(Dijkstra)算法和弗洛伊德（Floyd）算法，以及在实际生活中的运用。 关键字：Dijkstra算法、Floyd算法、赋权图、最优路径、Matlab 目录 摘要 (1) 1引言 (1) 2最短路 (2) 2.1 最短路的定义 (2) 2.2最短路问题常见算法 (2) 3 Dijkstra算法 (2) 3.1Dijkstra算法描述 (2) 3.2 Dijkstra算法举例 (3) 3.3算法的正确性和计算复杂性 (5) 3.3.1贪心选择性质 (5) 3.3.2最优子结构性质 (6) 3.3.3 计算复杂性 (7) 4 Floyd算法 (7) 4.1Floyd算法描述 (8) 4.2 Floyd算法步骤 (11) 4.3 Floyd算法举例 (11) 5 Dijkstra算法和Floyd算法在求最短路的异同 (11) 6 利用计算机程序模拟算法 (11) 7 附录 (11) 8 论文总结 (13) 9 参考文献 (13) 1 引言 最短路问题是图论理论的一个经典问题。寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路。最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等。 最短路径算法的选择与实现是通道路线设计的基础,最短路径算法是计算机科学与地理信息科学等领域的研究热点,很多网络相关问题均可纳入最短路径问题的范畴之中。经典的图论与不断发展完善的计算机数据结构及算法的有效结合使得新的最短路径算法不断涌现。 2 最短路 2.1 最短路的定义 对最短路问题的研究早在上个世纪60年代以前就卓有成效了,其中对赋权图 的有效算法是由荷兰著名计算机专家E.W.Dijkstra 在1959年首次提出的,该算法能够解决两指定点间的最短路,也可以求解图G 中一特定点到其它各顶点的最短路。后来海斯在Dijkstra 算法的基础之上提出了海斯算法。但这两种算法都不能解决含有负权的图的最短路问题。因此由Ford 提出了Ford 算法,它能有效地解决含有负权的最短路问题。但在现实生活中,我们所遇到的问题大都不含负权,所以我们在的() 0ij w ≥的情况下选择Dijkstra 算法。 定义1若图G=G(V,E)中各边e 都赋有一个实数W(e),称为边e 的权,则称这种图为赋权图,记为G=G(V,E,W)。 定义2若图G=G(V,E)是赋权图且()0W e ≥,()e E G ∈,假设[i,j] 的权记为()i j W ，,若i 与j 之间没有边相连接，那么()i j =W ∞，。路径P 的定义为路径中各边的长度之和，记W （P ）。图G 的结点u 到结点v 距离记为d(u,v)，则u 、v 间的最短路径可定义为 { ()min P 0d(u,v)=,u v W =∞（），不可达时 。 2.2 最短路问题常见算法 在求解网络图上节点间最短路径的方法中,目前国内外一致公认的较好算法有迪杰斯特拉(Dijkstra)及弗罗伊德(Floyd)算法。这两种算法中,网络被抽象为一个图论中定义的有向或无向图,并利用图的节点邻接矩阵记录点间的关联信息。在进行图的遍历以搜索最短路径时,以该矩阵为基础不断进行目标值的最小性判别,直到获得最后的优化路径。 Dijkstra 算法是图论中确定最短路的基本方法,也是其它算法的基础。为了求出赋权图中任意两结点之间的最短路径,通常采用两种方法。一种方法是每次以一个结点为源点,重复执行Dijkstra 算法n 次。另一种方法是由Floyd 于1962年提出的Floyd 算法,其时间复杂度为 ()3O n ,虽然与重复执行Dijkstra 算法n 次的时间复杂度相同,但其形式上略为简单,且实际运 算效果要好于前者。 3 Dijkstra 算法 3.1 Dijkstra 算法描述 :算法的设计思想 本算法采用分支定界算法实现。构造解空间树为：第一个城市为根结点，与第一个城市相邻的城市为根节点的第一层子节点，依此类推；每个父节点的子节点均是和它相邻的城市；并且从第一个根节点到当前节点的路径上不能出现重复的城市。 本算法将具有最佳路线下界的节点作为最有希望的节点来展开解空间树，用优先队列实现。算法的流程如下：从第一个城市出发，找出和它相邻的所有城市，计算它们的路线下界和费用，若路线下界或费用不满足要求，将该节点代表的子树剪去，否则将它们保存到优先队列中，并选择具有最短路线下界的节点作为最有希望的节点，并保证路径上没有回路。当找到一个可行解时，就和以前的可行解比较，选择一个较小的解作为当前的较优解，当优先队列为空时，当前的较优解就是最优解。算法中首先用Dijkstra算法算出所有点到代表乙城市的点的最短距离。算法采用的下界一个是关于路径长度的下界，它的值为从甲城市到当前城市的路线的长度与用Dijkstra算法算出的当前城市到乙城市的最短路线长度的和；另一个是总耗费要小于1500。 伪代码 算法AlgBB() 读文件m1和m2中的数据到矩阵length和cost中 Dijkstra(length) Dijkstra(cost) while true do for i←1 to 50 do //选择和node节点相邻的城市节点 if shortestlength>optimal or mincost>1500 pruning else if i＝50 optimal=min(optimal,tmpopt)//选当前可行解和最优解的 较小值做最优解 else if looped //如果出现回路 pruning //剪枝 else 将城市i插入到优先队列中 end for while true do if 优先队列为空 输出结果 else 取优先队列中的最小节点 if 这个最小节点node的路径下界大于当前的较优解 continue 最短路径之Dijkstra算法详细讲解 １最短路径算法 在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B 地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括： （１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。 （２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。 （３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。 （４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。 用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法 有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。 本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。 ２Dijkstra算法 2.1 Dijkstra算法 Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。 Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。 2.2 Dijkstra算法思想 Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U 表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S 中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 2.3 Dijkstra算法具体步骤 （1）初始时，S只包含源点，即S＝，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或）（若u不是v的出边邻接点）。 （2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。 （3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u 的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。 （4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。 2.4 Dijkstra算法举例说明 如下图，设A为源点，求A到其他各顶点（B、C、D、E、F）的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。（注：此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等） 最短路径算法—D i j k s t r a 总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII Dijkstra 算法解释 本文引用三篇文章：分别是谢光新-Dijkstra 算法， zx770424 -Dijkstra 算法， 中华儿女英雄 -Dijkstra 算法 有兴趣的朋友请引用原文，由于分类很不相同难以查找，此处仅作汇总。 谢光新的文章浅显易懂，无需深入的数学功力，每一步都有图示，很适合初学者了解。 zx770424将每一步过程，都用图示方式和公式代码\伪代码对应也有助于，代码的理解。 中华儿女英雄从大面上总结了Dijkstra 的思想，并将演路图描叙出来了。起到总结的效果。 希望这篇汇总有助于大家对Dijkstra 算法的理解。 Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。 简介 Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表的方式，这里均采用永久和临时标号的方式。注意该算法要求图中不存在负权边。 算法描述 (这里描述的是从节点1开始到各点的dijkstra算法，其中Wa->b表示a->b的边的权值，d(i)即为最短路径值) 1．置集合S={2,3,...n}, 数组d(1)=0, d(i)=W1->i(1,i之间存在边) or +无穷大(1.i之间不存在边) 2．在S中，令d(j)=min{d(i),i属于S}，令S=S-{j}，若S为空集则算法结束，否则转3 3．对全部i属于S,如果存在边j->i，那么置d(i)=min{d(i), d(j)+Wj->i}，转2 Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 算法具体步骤 （1）初始时，S只包含源点，即S=，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或）（若u不是v的出边邻接点）。 （2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。 （3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k 的距离加上边上的权。 （4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。 复杂度分析 Dijkstra 算法的时间复杂度为O(n^2) 空间复杂度取决于存储方式，邻接矩阵为O(n^2) 最短路径问题的算法分析及建模案例 最短路径问题的算法分析及建模案例 一.摘要 (3) 二.网络最短路径问题的基础知识 (5) 2.1有向图 (7) 2.2连通性................... 错误！未定义书签。 2.3割集....................... 错误！未定义书签。 2.4最短路问题 (8) 三．最短路径的算法研究.. 错误！未定义书签。 3.1最短路问题的提出 (9) 3.2 Bellman最短路方程错误！未定义书签。 3.3 Bellman-Ford算法的基本思想错误！未定义书签 3.4 Bellman-Ford算法的步骤错误！未定义书签。 3.5实例....................... 错误！未定义书签。 3.6 Bellman-FORD算法的建模应用举例错误！未定义 3.7 Dijkstra算法的基本思想 (9) 3.8 Dijkstra算法的理论依据 (9) 3.9 Dijkstra算法的计算步骤 (9) 3.10 Dijstre算法的建模应用举例 (10) 3.11 两种算法的分析错误！未定义书签。 1.Diklstra算法和Bellman-Ford算法 思想有很大的区别错误！未定义书签。 Bellman-Ford算法在求解过程中，每 次循环都要修改所有顶点的权值，也就 是说源点到各顶点最短路径长度一直 要到Bellman-Ford算法结束才确定下 来。...................... 错误！未定义书签。 2.Diklstra算法和Bellman-Ford算法 的限制.................. 错误！未定义书签。 3.Bellman-Ford算法的另外一种理解错误！未定 4.Bellman-Ford算法的改进错误！未定义书签。 摘要 近年来计算机发展迅猛，图论的研究也得到了很大程度的发展，而最短路径 问题一直是图论中的一个典型问题，它已应用在地理信息科学，计算机科学等 诸多领域。而在交通路网中两个城市之间的最短行车路线就是最短路径问题的 一个典型例子。 由于最短路径问题在各方面广泛应用，以及研究人员对最短路径的深入研究， 使得在最短路径问题中也产生了很多经典的算法。在本课题中我将提出一些最 短路径问题的算法以及各算法之间的比较，最后将这些算法再应用于实际问题 第36卷第5期2002年9月 浙 江 大 学 学 报(工学版) Jo ur nal o f Zhejiang U niv ersity(Eng ineer ing Science) Vol.36No.5Sep.2002 收稿日期:2001-10-24. 作者简介:柴登峰(1974-),男,浙江江山人,博士生,从事遥感图像处理、地理信息系统方面研究.E-mail:chaidf@z https://www.doczj.com/doc/b810731359.html, 前N 条最短路径问题的算法及应用 柴登峰,张登荣 (浙江大学空间信息技术研究所,杭州浙江310027) 摘 要:现有最短路径问题指的是狭义最短路径问题,针对该问题而设计的算法只能求得最短的一条路径.前N 条最短路径拓宽了最短路径问题的内涵(即不仅要求得最短路径,还要求得次短、再次短…第N 短路径),是广义最短路径问题.在图论理论基础上分析问题之后,设计了一个递归调用Dijkstr a 算法的新算法,该算法可以求取前N 条最短路径,而且时间、空间复杂度都为多项式阶.该算法已经成功应用于一个交通咨询系统中,自然满足实时应用需要. 关键词:最短路径;N 条最短路径;网络分析;地理信息系统;交通咨询系统 中图分类号:P 208;O 22 文献标识码:A 文章编号:1008-973X (2002)05-0531-04 Algorithm and its application to N shortest paths problem CHAI Deng-f eng,ZHAN G Deng-rong (I nstitute of Sp ace and I n f ormation T echnical ,Zhej iang U niv er sity ,H angz hou 310027,China ) Abstract :As the shor test path denotes one path ,algorithms designed for shor test path problem can g et only one path .N shortest paths are N paths including the shortest one ,the one inferior to the shortest one,eto.After reviewing the application of shortest poth pro blem ,an N shortest paths problem w as put fo rw ard and described.Gr aph theo ry w as used to analy ze the problem and results in fo ur theoretical con-clusions .T hen ,algo rithm recursively calling the Dijkstra algor ithm was desig ned and analy zed .Bath time co nplexity and space conplex ity are poly nom ial order.The algo rithm w as tested by ex periment and applied to a traffic consultatio n system of Guang zhou City ,it can meet the need of r eal-time application.Key words :sho rtest path;N shor test paths;netw ork analysis;tr affic consultation system ;GIS 20世纪中后期,随着计算机的出现和发展,图论的理论和应用研究得到广泛重视,图论作为一个数学分支的地位真正得到了确立.现在,图论的应用已经深入到众多领域,GIS 网络分析就是图论在地理信息领域的重要应用[3] ,此外,还有城市规划、电子导航、交通咨询等等. 最短路径问题是图论中的一个典范问题[1],主要研究成果有Dijkstra 、Floy d 等优秀算法[1,2],Dijk-stra 还被认为是图论中的好算法[1] .目前的研究工作主要集中于算法实现的优化改进与应用方面[3,4].最短路径问题通常有两类[2]:一类是求取从某一源点到其余各点的最短路径;另一类是求取每一对顶 点之间的最短路径.它们从不同的角度描述问题,但有一个共同的缺陷:这里的最短路径指两点之间最 短的那一条路径,不包括次短、再次短等等路径.在此不妨称以上两类问题为狭义最短路径问题,为此设计的算法只能求得最短的一条路径,而不能得到次短、再次短等等路径. 实际上,用户在使用咨询系统或决策支持系统时,希望得到最优的决策参考外,还希望得到次优、再次优等决策参考,这同样反映在最短路径问题上.因此,有必要将最短路径问题予以扩充,成为N 条最短路径问题,即不但要求得到最短路径,还要得到次短、再次短等路径.这称之为广义最短路径问题. 课程设计任务书 目录 第1章概要设计 (1) 1.1题目的内容与要求 (1) 1.2总体结构 (1) 第2章详细设计 (2) 2.1主模块 (2) 2.2构建城市无向图 (3) 2.3添加城市 (4) 2.4修改城市距离 (5) 2.5求最短路径 (6) 第3章调试分析 (7) 3.1调试初期 (7) 3.2调试中期 (7) 3.3调试末期 (7) 第4章测试及运行结果 (7) 附页（程序清单） (10) 第1章概要设计 1.1题目的内容与要求 内容：给出一张无向图，图上的每个顶点表示一个城市，顶点间的边表示城市间存在路径，边上的权值表示城市间的距离。试编写程序求解从某一个城市出发到达任意其他任意城市的最短路径问题。 要求： 1)能够提供简单友好的用户操作界面，可以输入城市的基本信息，包括城市名 称，城市编号等； 2)利用矩阵保存城市间的距离； 3)利用Floyd算法求最短路径； 4)独立完成系统的设计，编码和调试； 5)系统利用C语言完成； 6)按照课程设计规范书写课程设计报告。 1.2总体结构 本程序主要分为四个模块（功能模块见图1.1）：主模块对整个程序起一主导作用，开始构建一城市无向图，对其进行添加城市顶点，以及对原来的距离数据进行修改，整体构建结束可以实现求一城市到其他城市的最短路径问题。 图1.1 功能模块图 第2章详细设计 2.1主模块 用户根据屏幕上显示的操作提示输入要进行操作的模块，通过调用相对应的模块程序，达到用户所想进行操作。程序的总框架大致分为四个模块：1.建立城市无向图2.添加城市模块3.修改城市距离4.求最短路径。具体实现过程见2.2：建立城市无向图2.3：添加城市2.4：修改城市距离2.5：求最短路径。流程图中通过输入n，由n的值来选择调用相对应子函数，实现所选择的功能，调用完后可以返回调用主函数进行下一次选择，从而实现反复调用子函数而实现四个模块的功能等。 图2.1 主模块流程图 地图中最短路径的搜索算法研究 学生:李小坤导师：董峦 摘要：目前为止, 国内外大量专家学者对“最短路径问题”进行了深入的研究。本文通过理论分析, 结合实际应用，从各个方面较系统的比较广度优先搜索算法(BFS)、深度优先搜索算法(DFS)、A* 算法的优缺点。 关键词:最短路径算法；广度优先算法；深度优先算法；A*算法； The shortest path of map's search algorithm Abstract:So far, a large number of domestic and foreign experts and scholars on the" shortest path problem" in-depth study. In this paper, through theoretical analysis and practical application, comprise with the breadth-first search algorithm ( BFS ), depth-first search algorithm ( DFS ) and the A * algorithms from any aspects of systematic. Key words: shortest path algorithm; breadth-first algorithm; algorithm; A * algorithm; 前言： 最短路径问题是地理信息系统（GIS）网络分析的重要内容之一，而且在图论中也有着重要的意义。实际生活中许多问题都与“最短路径问题”有关, 比如: 网络路由选择, 集成电路设计、布线问题、电子导航、交通旅游等。本文应用深度优先算法，广度优先算法和A*算法，对一具体问题进行讨论和分析，比较三种算的的优缺点。 在地图中最短路径的搜索算法研究中，每种算法的优劣的比较原则主要遵循以下三点:[1] (1)算法的完全性：提出一个问题，该问题存在答案，该算法能够保证找到相应的答案。算法的完全性强是算法性能优秀的指标之一。 (2)算法的时间复杂性: 提出一个问题，该算法需要多长时间可以找到相应的答案。算法速度的快慢是算法优劣的重要体现。 (3)算法的空间复杂性:算法在执行搜索问题答案的同时，需要多少存储空间。算法占用资源越少，算法的性能越好。 地图中最短路径的搜索算法: 1、广度优先算法 广度优先算法(Breadth-First-Search)，又称作宽度优先搜索，或横向优先搜索，是最简便的图的搜索算法之一，这一算法也是很多重要的图的算法的原型,Dijkstra单源最短路径算法和Prim最小生成树算法都采用了和宽 数据结构与算法课程实验报告实验四：图的相关算法应用 姓名：王连平 班级：09信科2班 学号：I09630221 实验四图的相关算法应用 一、实验内容 求有向网络中任意两点之间的最短路。 二、实验目的 掌握图和网络的定义，掌握图的邻接矩阵、邻接表和十字链表等存储表示。掌握图的深度和广度遍历算法，掌握求网络的最短路的标号法和floyd算法。 三、问题描述 对于下面一张若干个城市以及城市间距离的地图，从地图中所有可能的路径中求出任意两个城市间的最短距离及路径，给出任意两个城市间的最短距离值及途径的各个城市。 四、问题的实现 4.1数据结构的抽象数据类型定义和说明 1） typedef struct ArcCell{//储存弧信息 int Distance; ArcCell *info;//此项用来保存弧信息，，在本实验中没有相关信息要保存 }ArcCell,AdjMatrix[ MAX_VERTEX_NUM][ MAX_VERTEX_NUM]; typedef struct{//储存顶点信息 string vexs[ MAX_VERTEX_NUM];//顶点向量 AdjMatrix arcs;//邻接矩阵 int vexnum , arcnum;//图的当前顶点数和弧数 }MGraph; 顶点信息和弧信息都是用来建立一个有向网G 2） d[v][w];//G中各对顶点的带权长度 若P[v][w][u]为TRUE，则u是从v到w当前求得最短路径上的顶点 4.2主要的实现思路 首先通过一个函数（CreateDN）建立图的邻接矩阵储存方式,一次输入某条弧的起点，终点，和权值。通过调用Locate函数来找到该弧在邻接矩阵中的相应位置。 其次运用弗洛伊德算法来求各定点的最短路劲，具体思路为：如果从v到w有弧，则存在一条长度为arcs[v][w]的路径，该路径不一定是最短路径。考虑路径（v,u,w）是否存在，若存在，比较（v,w）和（v,u,w）的长度，取较短者为从v到w的中间点序号不大于0的最短路径。以此类推，每次增加一个点，从而求出任意两点间的最短路径。这样，经过n次比较后，所求得的必为从v到w的最短路径。按此方法，可以同时求得任意两点间的最短路径。 五、主要源程序代码（包含程序备注） #include 单源最短路径的Dijkstra算法： 问题描述： 给定一个带权有向图G=（V，E），其中每条边的权是非负实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在要计算从源到所有其他各顶点的最短路长度。这里路的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。算法描述： Dijkstra算法是解单源最短路径的一个贪心算法。基本思想是：设置顶点集合S并不断地做贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist做必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其他顶点之间的最短路径长度。 源代码： #include //-------------------------------------数据声明------------------------------------------------//c[i][j]表示边(i,j)的权 //dist[i]表示当前从源到顶点i的最短特殊路径长度 //prev[i]记录从源到顶点i的最短路径上的i的前一个顶点 //--------------------------------------------------------------------------------------------- void Dijkstra(int n, int v, int dist[], int prev[], int c[][LEN]) { bool s[LEN]; // 判断是否已存入该点到S集合中 for (int i = 1; i <= n; i++) { dist[i] = c[v][i]; s[i] = false; //初始都未用过该点 if (dist[i] == MAX) prev[i] = 0; //表示v到i前一顶点不存在 else prev[i] = v; } dist[v] = 0; s[v] = true; for (int i = 1; i < n; i++) 最短路径算法及其路径规划中的应用 摘要： 这篇文章把徒步运动的路径规划问题转化为求解图中任意两点间的最短路径问题，进而针对此问题介绍了Floyd算法，对该算法的时间花费进行分析，并介绍了在实际问题中如何灵活运用该算法解决路径决策中遇到的问题。 关键词：路径规划、最短路径、决策、Floyd算法 将实际地图的转化为有向图 在策划一次徒步旅行时，设计正确的旅行的线路特别重要，首先我们必须先要得到那个地区的地图，以便进行后续的线路规划。当我们拿到某一地区的地图时，我们可以把地图上的每一条线路用线段表示，用顶点表示地图上的岔路口，即多条线段的交点，这样就形成了一个由点和线段组成的图。我们可以在每条线段上标上数字，表示两点之间的实际距离，或者表示通过这条路径所需的时间。当然，如果两点之间没有线段相连，我们可以认为距离为无穷大，用∞表示。有时候某些线路是单向的，即只能从一个方向到另一个方向，不能逆行。这种情况在具体的路径设计中非常常见，比如，在繁华的都市内会有一些单行道，在山区景点中，常会出现一些上山索道，这些都是单向线路的常见例子。有时候，沿某条线路的两个方向所需的时间不同，这种例子更为常见，比如上山与下山，顺风与逆风等等。对于这两种情况，我们可以在表示路径的线段上加上箭头表示该路径的方向，形成有向图。 到达v2的距离为8，而从v2到v1的距离为3。 从点v1到v0的距离为5，而从v0到v1的距离 为∞。这种带有箭头的有向图，比不带箭头的无 向图能够表示更一般的情形，可以说无向图只是 有向图的一种特殊情况。 如果我们知道任意两点间的最短路径，这对 我们进行路径规划将会有很大的帮助，但当地图 较为复杂时，凭直觉估计最短路径的方法往往不 可靠，这时就必须借助计算机的强大计算能力，寻找最短路径。下面，我们就以 这种有向图为工具，来探究寻找最短路径的方法。 最短路径算法在物流运输 中的应用 Last revision date: 13 December 2020. 本科生毕业设计（论文）题目：线性表的设计和实现 学生姓名：张三 学号： 1153 院系：基础科学学院信息技术系 专业年级： 2012级信息与计算科学专业 指导教师：李四 年月日 摘要 随着现代物流业的发展，如何优化和配置物流的运输路径成为了一个热点的问题。其中，最具代表性的问题就是如何在一个道路网络中选择两点之间的合适路径，使其距离最短。为了解决这个问题，本文介绍了两种最常用的最短路径求解方法——DIJKSTRA算法与FLOYD算法，分析了它们的适用范围以及时间复杂度。最后，对一个具体的航空公司物流配送问题进行了求解，得到了理论最优路径。 关键词：最短路径问题；DIJKSTRA算法；物流运输 ABSTRACT With the development of modern logistics industry, how to optimize and configure the transport path of logistics has become a hot issue. Among them, the most representative problem is how to select the appropriate path between two points in a road network to minimize the distance. In order to solve this problem, this paper introduces two most common shortest path solutions —— Dijkstra algorithm and Floyd algorithm, and analyzes their application range and time complexity. Finally, a specific airline logistics distribution problem is solved, and the theoretical optimal path is obtained. Keywords：Minimum path problem；Dijkstra algorithm；Logistics transportation 数据结构课程设计报告撰写要求 （一）纸张与页面要求 1．采用国际标准A4型打印纸或复印纸，纵向打印。 2．封页和页面按照下面模板书写（正文为：小四宋体1.5倍行距）。 3．图表及图表标题按照模板中的表示书写。 （二）课设报告书的内容应包括以下各个部分：（按照以下顺序装订） 1.封页(见课设模版) 2、学术诚信声明，所有学生必须本人签字，否则教师拒绝给予成绩。 2.任务书(学生教师均要签字,信息填写完整) 3.目录 4.正文一般应包括以下内容: （1)题目介绍和功能要求（或描述） 课程设计任务的详细描述(注意不能直接抄任务书),将内容做更详细的具体的分析与描述； （2) 系统功能模块结构图 绘制系统功能结构框图及主要模块的功能说明； （3) 使用的数据结构的描述: 数据结构设计及用法说明; （4) 涉及到的函数的描述 ; （5) 主要算法描述( 程序流程图) （6) 给出程序测试/运行的结果 设计多组数据加以描述（包括输入数据和输出结果） （7) 课程设计的总结及体会 （8) 参考文献 格式要求：[1]作者，等. 书名.出版地：出版社，出版年 5.附录：程序清单 (应带有必要的注释) 沈阳航空航天大学 课程设计报告 课程设计名称：数据结构课程设计 课程设计题目：利用弗洛伊德（Floyd)算法求解 最短路径 院（系）：计算机学院 专业：计算机科学与技术(物联网方向) 班级：34010105 学号： 姓名： 指导教师： 说明：结论（优秀、良好、中等、及格、不及格）作为相关教环节考核必要依据；格式不符合要求；数据不实,不予通过。报告和电子数据必须作为实验现象重复的关键依据。 数据通信与计算机网络大作业 Dijkstra 最 短 路 径 算 法 【摘要】 摘要:最短路径分析在地理信息系统、计算机网络路由等方面发挥了重要的作用, 对其进行优化很有必要。本文分析了传统 的最短路径算法(即Dijkstra 算法)的优化途径及现有的优化算法, 然后在Dijkstra 算法的基础上, 采用配对堆结构来实现路 径计算过程中优先级队列的一系列操作, 经理论分析与实验测试结果对比, 可以大大提高该算法的效率和性能。 【关键词】 最短路径; Dijkstra 算法; 【正文】 随着计算机网络技术和地理信息科学的发展, 最短路径问题无论是在交通运输, 还是在城市规划、物流管理、网络通讯等方面, 它都发挥了重要的作用。因此, 对它的研究不但具有重要的理论价值, 而且具有重要的应用价值。研究最短路径问题通常将它们抽象为图论意义下的网络问题, 问题的核心就变成了网络图中的最短路径问题。此时的最短路径不单指“纯距离”意义上的最短路径, 它可以是“经济距离”意义上的最短路径, “时间”意义上的最短路径, “网络”意义上的最短路径。关于最短路径问题, 目前所公认的最好的求解方法, 是由F.W.Dijkstra 提出的标号法, 即Dijkstra 算法。 1 Dijkstra 算法 Dijkstra 算法是求最短路径的最基本和使用最广泛的算法。在求从网络中的某一节点(源点)到其余各节点的最短路径时, 经典Dijkstra 算法将网络中的节点分成三部分: 未标记节点、临时标记节点和最短路径节点(永久标记节点)。算法开始时源点初始化为最短路径节点, 其余为未标记节点, 算法执行过程中, 每次从最短路径节点往相邻节点扩展, 非最短路径节点的相邻节点修改为临时标记节点, 判断权值是否更新后, 在所有临时标记节点中提取权值最小的节点, 修改为最短路径节点后作为下一次的扩展源, 再重复前面的步骤, 当所有节点都做过扩展源后算法结束。具体算法描述如下: 设在一非负权简单连通无向图G= 数据结构课程设计 —省会城市最短路径求解一、类关系图 说明：Graph类继承Form类，同时嵌入了CityInf结构体和List类。 Graph类的几个重要函数、类、结构体 private void Init()//初始化函数 private void ShowMap_Paint(object sender, PaintEventArgs e) //绘制地图 private bool GetMinDistanceFun(int entry) //采用迪杰斯特拉算法获得最短路径private void BFS(int StartPoint, int[] visited, string name) //广度优先遍历函数private void DFS(int StartPoint, int[] visited, string name)//深度优先遍历函数private void Prim()//求解最小生成树 Prim算法 private class List //广度优先遍历用到的队列类 public struct CityInf//存放城市信息：城市名称、城市坐标、状态值 二、流程图 三、主要算法的实现 1．用迪杰斯特拉算法实现省会城市间最短路径的求解 private bool GetMinDistanceFun(int entry) { int inputnodenum = CityData.citysum; int[] Mark = new int[inputnodenum]; //标志位数组标记数据在哪个集合 int mindis = 0, nextnode = 0;//最短路径，下一个城市结点 int i, j; //第一轮距离数组记录从起始点到其他所有点的边权值 for (i = 0; i < inputnodenum; i++) { Distance[i] = GetCityWeight(entry, i); //所有标志位清零 Mark[i] = 0; //如果起始结点可以抵达某个结点 if (i != entry && Distance[i] < MaxWeight) { RoutePath[i] = entry; //则把该结点首先放入路径数组 } else { RoutePath[i] = -1;//表示该路径不通 } } //初始状态下集合存放找到最短路径顶点集合的中只包含源点entry 所以把它在Mark 中标记出来 Mark[entry] = 1; //在还没有找到最短路径的结点集合中选取最短距离结点nextnode for (i = 1; i < inputnodenum; i++) { //设定每轮的初始最小距离为无穷大 mindis = MaxWeight; for (j = 0; j < inputnodenum; j++) { //保证每次循环mindis是到entry的最小值 if (Mark[j] == 0 && Distance[j] < mindis)//如果没有进入最短路径且距离小于最小距离 { nextnode = j; mindis = Distance[j];//记录本次循环的最短路径 } }最短路径学年论文
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