2012-2013学年度下学期期末考试 高二数学（文）试题【新课标】
第I 卷（选择题 共50分）
一、选择题
1
、函数y =A ，函数()ln 21y x =+的定义域为集合B ，则
(
)A B =
A ．11,22??-
??? B ．11,22??
- ??? C ．1,2?
?-∞- ???
D ．1,2??+∞????
2、已知向量()1,2a =，(),4x b =，若2=b a ，则x 的值为( )
A ．2
B ．4
C ．2±
D ．4±
3、已知i 为虚数单位, 若复数11z =-i ，22z =+i ，则12z z = ( )
A ．3-i B. 22-i C. 1+i D ．22+i
4、已知椭圆()222109x y a a
+=>与双曲线22
143x y -=有相同的焦点, 则a 的值为( )
A
B.
C. 4 D ．10
5．按照程序框图（如右图）执行，第3个输出的数是( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4
6．圆01222
2
=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）
A. 2
B. 1+2
C. 2
2
1+
D. 1+22 7、某所学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名, x 和y 须满足约束条件25,2,6.x y x y x -≥??
-≤??
则该校招聘的教师人数最多是( )
A ．6
B ．8
C ．10
D ．
12
8、已知ABC ?的面积222
4
a b c S +-=，则角C 的大小为（ ）
A. 0
30 B .0
45 C. 0
60 D. 0
75
9．如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A ． 84,4.8
B ． 84,1.6
C ． 85,4
D ． 85,1.6
10．已知,)(为偶函数x f x
x f x x f x f 2)(,02),2()2(=≤≤--=+时当， 若*,(),n n N a f n ∈=则2011a =( )
A ．1
B ．
2
1 C ．
14
D ．
18
第II 卷（非选择题 共100分）
二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题的相应位置) 11、已知x 与y 之间的一组数据：
则的坐标为 12.已知向量a 和b 的夹角为60°，| a | ＝ 3，| b | ＝ 4，则（2a – b ）?a 等于________ 13. 已知,x y R +
∈，且41x y +=，则x y ?的最大值为_____ 14. 函数
()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿
15.对于函数()cos )f x x x =
+, 给出下列四个命题:
① 存在(,0)2
π
α∈-
, 使()f α=
② 存在)2
,
0(π
α∈, 使()()f x f x αα-=+恒成立;
③ 存在R ?∈, 使函数)(?+x f 的图象关于坐标原点成中心对称; ④ 函数f (x )的图象关于直线34
x π
=-对称; ⑤ 函数f (x )的图象向左平移
4
π
就能得到2cos y x =-的图象
其中正确命题的序号是 . 三．解答题
16．（本小题满分12分）
有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4． （Ⅰ）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率；
（Ⅱ）摸球方法与（Ⅰ）同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？请说明理由。
17．（本小题满分12分）
根据市气象站对春季某一天气温变化的数据统计显示，气温变化的分布可以用曲线
b x A y ++=)12
sin(?π
拟合（240<≤x ，单位为小时，y 表示气温，单位为摄氏度，π?<||，)0>A ，
现已知这天气温为4至12摄氏度，并得知在凌晨1时整气温最低，下午13时整气温最高。 （1）求这条曲线的函数表达式； （2）求这一天19时整的气温。
18．（本题满分12分）
如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的
直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有 关数据如图所示.
(Ⅰ)求出该几何体的体积。
(Ⅱ)若N 是BC 的中点，求证：//AN 平面CME ； (Ⅲ)求证：平面BDE ⊥平面BCD .
19．（本小题满分13分）
已知函数()22ln f x x x =-
（Ⅰ）求函数在点（1, ()1f ）处的切线方程 （Ⅱ）求函数()f x 的极值
（Ⅲ）对于曲线上的不同两点111222(,),(,)P x y P x y ，如果存在曲线上的点00(,)Q x y ，且102x x x <<，
使得曲线在点Q 处的切线12//l PP ，则称l 为弦12PP 的陪伴切线． 已知两点()()()()
1,1,,A f B e f e ，试求弦AB 的陪伴切线l 的方程；
20. （本小题满分13分）
已知圆C ：22()5(3)x m y m -+=<过点A （3，1），且过点P （4，4）的直线PF 与圆C 相切并和x 轴的负半轴相交于点F ． （1）求切线PF 的方程；
（2）若抛物线E 的焦点为F,顶点在原点，求抛物线E 的方程。
（3）若Q 为抛物线E 上的一个动点，求AP AQ ?
的取值范围．
21、（本小题共13分）设数列{}n a 的前n 项和32n n S a =-(1,2,)n = ． （Ⅰ）证明数列{}n a 是等比数列；k s 5*u
（Ⅱ）若1(1,2,)n n n b a b n +=+= ，且13b =-，求数列{}n b 的前n 项和n T
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，总计50分， 11.(1.5, 4)，12. 12，13.
116 ， 14、1
(,)e
+∞, 15. ③④ 16.解：（Ⅰ）用(),x y （x 表示甲摸到的数字，y 表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事
件，则基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、()2,1、()2,2、()2,3、()2,4、()3,1、()3,2、
()3,3、()3,4、()4,1、()4,2、()4,3、()4,4，共16个；……3分
设：甲获胜的的事件为A ，则事件A 包含的基本事件有：()2,1、()3,1、()3,2、()4,1、()4,2、()4,3，共有6个；则 63
()168
P A =
= …………………………6分 （Ⅱ）设：甲获胜的的事件为B ，乙获胜的的事件为C;事件B 所包含的基本事件有：()1,1、()2,2、
()3,3、()4,4，共有4个；则 41
()164
P B =
= 13
()1()144
P C P B ∴=-=-
= …………………………10分 ()()P B P C ≠，所以这样规定不公平. …………………11分
答：（Ⅰ）甲获胜的概率为
3
8
;（Ⅱ）这样规定不公平. ………… 17．（1）b=(4+12）÷2=8 …………2分 A=12-8=4 …………4分
2112
π
?π
-
=+?，
127π
?-
= …………6分
所以这条曲线的函数表达式为：8)12
712
sin(4+-
=π
π
x y …………8分 （2）19=x
8
8)1271219sin(4=+-=π
πy
所以下午19时整的气温为8摄氏度。 …………12 18. （本小题满分12分）
解：(Ⅰ)由题意可知：四棱锥ACDE B -中，
平面ABC ⊥平面ACDE ，AC AB ⊥
所以，⊥AB 平面ACDE ………………………2分 又4,2====CD AE AB AC ， 则四棱锥ACDE B -的体积为：422
2
)24(3131=??+?=?=
AB S V ACDE …………4分 (Ⅱ)连接MN ，则,//,//CD AE CD MN 又CD AE MN 2
1
=
=，所以四边形ANME 为平行四边形，EM AN //∴ …………6分 ?AN 平面CME ,?EM 平面CME ,
所以，//AN 平面CME ； ……………8分
(Ⅲ)AB AC = ,N 是BC 的中点,BC AN ⊥ 又平面⊥ABC 平面BCD
⊥∴AN 平面BCD ……………………10分
由(Ⅱ)知：EM AN //
⊥∴EM 平面BCD
又?EM 平面BDE
所以，平面BDE ⊥平面BCD . ………………………12分 19．解：（I ）y=2…………………………………(4分) （Ⅱ）2
'()2,0f x x x
=-
>． '()0,f x =得1x =． 当x 变化时，'()f x 与()f x 变化情况如下表：
∴当x=1)
（Ⅲ）设切点00(,)Q x y ，则切线l 的斜率为()000
2
'()2,1,f x x e x =-
∈． 弦AB 的斜率为()()()()
1212102
21
1
1
AB f e f e k e e e ----=
=
=-
---． …(10分) 由已知得，//l AB ，则022x -
=221
e --，解得01x e =-，…………(12分) 所以，弦AB 的伴随切线l 的方程为：()24
22ln 11
e y x e e -=
+---．……(13
分) 20. 解：（1）点A 代入圆C 方程，得2(3)15m -+=．
∵m＜3，∴m＝1．圆C ：22(1)5x y -+=． 设直线PF 的斜率为k ，则PF ：(4)4y k x =-+， 即440kx y k --+=．∵直线PF 与圆C =111
,22
k k =
=或． 当k ＝112时，直线PF 与x 轴的交点横坐标为36
11
，不合题意，舍去． 当k ＝
1
2
时，直线PF 与x 轴的交点横坐标为－4，∴符合题意，
∴直线PF 的方程为y=
1
2
x+2 …………6分 (2)设抛物线标准方程为y 2
=-2px, ∵F（－4，0）, ∴p=8, ∴抛物线标准方程为y 2
=-16x …………8分 (3) (1,3)AP = ，设Q （x ，y ），(3,1
)A Q x y =-- ，(3)3(1)36AP AQ x y x y ?=-+-=+-
．
∵y 2
=-16x, ∴22113636(24)3016
16
AP AQ x y y y y ?=+-=-+-=--+ ．
∴36AP AQ x y ?=+-
的取值范围是(－∞，30]．…………13分
21．（本小题共13分
（Ⅰ）证：因为 32n n S a =-(1,2,)n = ，
1132n n S a --=-(2,3,)n = ，
所以当2n ≥时，1133n n n n n a S S a a --=-=-，整理得13
2
n n a a -=. 由32n n S a =-，令1n =，得1132a a =-，解得11a =. 所以{}n a 是首项为1，公比是
3
2
的等比数列. k s 5*u …………6分 （Ⅱ）解：由1(1,2,)n n n b a b n +=+= ，得1(1,2,)n n n b b a n +-== . 所以
21132211,,,
n n n b b a b b a b b a ---=-=-=
从而 1
1
11213132[]3253212
n n n n b b a a a ---??- ?????=++++=-+
=- ???
- .
213333
2[1()......()]54()542222
n n n T n n -=+
+++-=?--.…………13分