专题七 排列、组合、二项式定理、概率与统计的题型与方法
【考点审视】
1． 突出运算能力的考查。高考中无论是排列、组合、二项式定理和概率题目，均是用数值给出的选择支或要求用数值作答，这就要求平时要重视用有关公式进行具体的计算。
2． 有关排列、组合的综合应用问题。这种问题重点考查逻辑思维能力，它一般有一至两个附加条件，此附加条件有鲜明的特色，是解题的关键所在；而且此类问题一般都有
多种解法，平时注意训练一题多解；它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于
中等偏难（理科）的题目。
3． 有关二项式定理的通项式和二项式系数性质的问题。这种问题重点考查运算能力，特别是有关指数运算法则的运用，同时还要注意理解其基本概念，它一般以一道选择题
或填空题的形式出现，属于基础题。
4． 有关概率的实际应用问题。这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能力；它要求对四个概率公式的实质深刻理解并准确运用；文科仅要求计算概率，理科则要求计算
分布列和期望；它一般以一小一大（既一道选择题或填空题、一道解答题）的形式出
现，属于中等偏难的题目。
5． 有关统计的实际应用问题。这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法的理解和掌握，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。
【疑难点拨】
1． 知识体系：
2．知识重点：
（1） 分类计数原理与分步计数原理。它是本章知识的灵魂和核心，贯穿于本章的始终。
（2） 排列、组合的定义，排列数公式、组合数公式的定义以及推导过程。排列数公式
的推导过程就是位置分析法的应用，而组合数公式的推导过程则对应着先选（元
素）后排（顺序）这一通法。
（3） 二项式定理及其推导过程、二项展开式系数的性质及其推导过程。二项式定理的
推导过程体现了二项式定理的实质，反映了两个基本计数原理及组合思想的具体
应用，二项展开式系数性质的推导过程就对应着解决此类问题的通法——赋值法
（令1±=x ）的应用。
（4） 等可能事件的定义及其概率公式，互斥事件的定义及其概率的加法公式，相互独
立事件的定义及其概率的乘法公式，独立重复试验的定义及其概率公式。互斥事
件的概率加法公式对应着分类相加计数原理的应用，相互独立事件的概率乘法公
式对应着分步相乘计数原理的应用。
（5）（理科）离散型随机变量的定义，离散型随机变量的分布列、期望和方差。
（6）简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，总体分布，正态分布，线性回归。
2．知识难点：
(1)排列、组合的综合应用问题。突破此难点的关键在于：在基本思想上强调两个基本原
理（分类相加计数原理和分步相乘计数原理）在本章知识中的核心地位；在通法上要求，首先要认真审题，分清是排列（有序）还是组合（无序），或二者兼而有之；其次要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原理进行“分类与分步”，分类时要不重不漏，分步时要独立连续。在两个公式的应用中要深刻理解其定义中的“所
有”的含义，特别是组合数“
m
n
C
”已包含了m个元素“所有”可能的组合的个数，故在平均分堆过程中就会产生重复，而平均分配给不同的对象过程中就不用再排序。
同时在本节中要注意强调转化化归数学思想的应用。
(2)二项式定理的计算。突破此难点的关键在于：熟记指数的运算法则和二项展开式的通
项公式，深刻理解“第k项”“常数项”“有理项”“二项式系数”“系数”等基本概念的区别与联系。
(3)概率、分布列、期望和方差的计算。突破此难点的关键在于：首先要运用两个基本原
理认真审题，弄清楚问题属于四种类型事件中的哪一种，然后准确地运用相应的公式进行计算，其中要注意排列、组合知识的应用。（理科）对于分布列要熟记一个基本型（
ζ）和三个特殊型（b
a+
=ζ
η
，二项分布，几何分布）的定义和有关公式；
此类问题解题思维的的流程是：要求期望，则必先求分布列，而求分布列的难点在于求概率，求概率的关键在于要真正弄清每一个随机变量“
k
=
ζ
”所对应的具体随机试验的结果。
【教学过程】
例1：将8名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方法共有多少种？
[思路分析] 根据宿舍的人数，可分为三类：“6
2+”型不同的分配方法有2
2
2
8
A
C种；“5
3+”型不同的分配方法有2
2
3
8
A
C种；“4
4+”型不同的分配方法有4
8
C种。则由加法原理得，不同的分配方法共有238
4
8
2
2
3
8
2
2
2
8
=
+
+C
A
C
A
C种。
[简要评述] 本题体现了“先选后排”通法的应用，属于排列组合混合问题。要注意（不）平均分配与（不）平均分堆的联系与区别。
例2：在正方形ABCD中，H
G
F
E,
,
,分别为各
边的中点，O为正方形中心，在此图中的九个点
中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形
中，
互不全等的三角形共有多少个？
[思路分析] 根据三角形的类型分为三类：直角三
角
形有DAB
Rt
DAE
Rt
HAE
Rt?
?
?,
,共3种；以边
AB为底的三角形GAB
OAB?
?,共2种；过中点
和中心的三角形有,,HGB DGB GBO ??? 共3种。由加法原理得，共有3238++=种
不同类型的三角形。
[简要评述] 本题体现了“转化化归数学思想”的应用，属于排列组合中的几何问题，在
具体方法上是运用了“穷举法（将所有的情形全部列出）”。
例3：在多项式65
(1)(1)x x +-的展开式中，含3x 项的系数为多少？
[思路分析] 解1 652323
(1)(1)(161520)(151010)x x x x x x x x +-=++++-+-+ ，所以含3x 项的系数为 1060515205-+-?+=-。
解2 6525122455(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x C x C x x +-=-+=-+-+ ，所以含3x 项的系
数为
1515C -?=-。 解3 由组合原理 03312221130065
656565(1)(1)(1)(1)5C C C C C C C C -+-+-+-=-。 [简要评述] 本题重点考查对二项式定理的本质的理解和运算能力。
例4：从数字0,1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位
数字之和等于6的概率为多少？
[思路分析] 本题的基本事件是由6个不同的数字允许重复而且含0的条件下组成三位
数，根据乘法原理可知基本事件的全体共有566180??=个。设三个数字之和等于6的
事件为A ，则A 分为六类：数码(5,1,0)组成不同的三位数有21
22A C 个；数码(4,2,0)组成
不同的三位数有2122A C 个；数码(4,1,1)组成不同的三位数有13C 个；数码(3,3,0)组成不同
的三位数有12C 个；数码(3,2,1)组成不同的三位数有33A 个；数码(2,2,2)组成不同的三位数有1个，根据加法原理，事件A 共有
2
1211132222323120A C A C C C A +++++=个。故201()1809P A ==。
[简要评述] 本题考查等可能性事件的概率和互斥事件的概率，重点在于利用排列组合知
识求各个基本事件的总数。
例5：若
1002100012100(12)(1)(1)(1),,1,2,3,,i x e e x e x e x e R i +=+-+-++-∈= 则 012100e e e e ++++= ， 012100e e e e ++++= 。 [思路分析] 将条件等式的左右两边比较，可知变形[]100100(12)3(2)(1)x x +=+--。
利用赋值法，令(1)1x -=，则有
100012100(321)1e e e e ++++=-?= ； 令(1)1x -=-，则有[]10010001210032(1)5e e e e ++++=-?-= 。
[简要评述] 本题考查二项展开式系数的性质，在具体方法上是运用了通法“赋值法”。
例6：从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的不同四位数共有 个。
[思路分析] 由已知，此四位数的末位只能是0或5，且0不能在首位，故0,5为特殊元素，
而且二者中至少要选一个。根据题意，可分三类：有5无0，不同的四位数有123
343C C A 个；
有0无5，不同的四位数有213343C C A 个；0,5同时存在，当0在末位时，不同的四位数有
113343C C A 个，当5在末位时，不同的四位数有11123
422C C C A 个。所以满足条件的不同的四位数共有1232131131234334334322()300C C A C C A C C A C A +++=个。 [简要评述] 本题考查有两个受条件限制的特殊元素的排列组合混合问题，基本解题模型为：分为三类。第一类，两个中一个都不考虑；第二类，两个中考虑一个；第三类，两个都考虑。
注意在具体求解中其中“先选后排”“位置分析法”等通法的运用。
例7：鱼塘中共有N 条鱼，从中捕得t 条，加上标志后立即放回塘中，经过一段时间，再从塘中捕出n 条鱼，发现其中有s 条标志鱼。
（1）问其中有s 条标志鱼的概率是多少？（2）由此可推测塘中共有多少条鱼（即用,,t n s
表示N ）？
[思路分析] （1）由题意可知，基本事件总数为n N C 。鱼塘中的鱼分为两类：有标志的鱼t
条，无标志的鱼()N t -条，从而在捕出n 条鱼中，有标志的s 条鱼有s
t C 种可能，同时无
标志的()n s -条鱼有n s N t C --种可能，则捕出n 条鱼中有s 条鱼共有
s n s t N t C C --种可能。所以概率为s n s t N t
n N C C C --。 （2）由分层抽样可知，,s n nt N t N s =∴=（条）。
[简要评述] 本题考查等可能性事件的概率和统计知识，重点要注意“鱼”的不同的分类以及抽样方法中各个元素被抽取概率的相等性。
例8：某宾馆有6间客房，现要安排4位旅游者，每人可以进住任意一个房间，且进住各房间是等可能的，求下列事件各的概率：（1）事件A ：指定的4个房间各有1人；（2）事件B ：恰有4个房间各有1人；（3）事件C ：指定的某房间中有2人；（4）事件D ：一号房间有1人，二号房间有2人；（5）事件E ：至少有2人在同一个房间。
[思路分析] 由于每人可以进住任一房间，进住哪一个房间都有6种等可能的方法，根据
乘法原理，4个人进住6个房间有46种方法，则（1）指定的4个房间中各有1人有4
4A 种方法，4441()654A P A ==。 （2）恰有4个房间各有1人有4464C A 种方法，446445()618C A P B ==。（3）从4人中选2人
的方法有24C 种，余下的2人每人都可以去另外的5个房间中的任一间，有25种方法，
2244525()6216C P C ?==。（4）从4人中选1人去一号房间的方法有14C 种，从余下3人中选2
人去二号房间的方法有23C ，再余下的1人可去4个房间中的任一间，
1243441()627C C P D ?==。
（5）从正面考虑情形较复杂，正难则反，“至少有2人在同一个房间”的反面是“没有2
人在同一个房间，即恰有4个房间各有1人”，
13()()1()18P E P B P B ==-=。
[简要评述] 本题考查等可能性事件的概率和互斥事件的概率，注意排列组合知识的运用。 例9：甲、乙、丙三人独立解某一道数学题，已知该题被甲解出而乙解不出的概率为1
4，被乙解出而丙解不出的概率为112，被甲、丙两人都解出的概率是2
9。
（1）求该题被乙独立解出的概率；
（2）（文科）求该题被解出的概率。（理科）求解出该题人数ζ的分布列和数学期望。
[思路分析]（1）设,,A B C 分别为甲、乙、丙三人各自独立解某一数学题的事件。由已知则有
1(),41(),122().9P A B P B C P A C ??=????=????=??即1()(1()),41()(1()),122()().9P A P B P B P C P A P C ??-=????-=????=??由此方程组解得1(),31(),42().3P A P B P C ?=???=???=??所以该题被乙独立解出的概率为
1()4P B =
。（2）（文科）记D 为该题被解出，它对应着甲、乙、丙三人中至少有一人解出该题，则
2315()1()1(1())(1())(1())13436P D P D P A P B P C =-=----=-??=。 （理科）
1(0)()()()6P P A P B P C ζ===，1(3)()()()18P P A P B P C ζ===， 17(1)()()()()()()()()()36P P A P B P C P A P B P C P A P B P C ζ==++=，
11(2)()()()()()()()()()36P P A P B P C P A P B P C P A P B P C ζ==++=。
所以随机变量ζ的分布列为：
期望为
012363636184E ζ=?+?+?+?=。 [简要评述] 本题考查相互独立事件的概率和互斥事件的概率，同时考查函数方程数学思想和运算能力。理科还考查分布列和数学期望，在解题过程中特别要注意，真正弄清每一
个随机变量“k =ζ”所对应的具体随机试验的结果。
例10：某一汽车前进途中要经过3个红绿灯路口。已知汽车在第一个路口，遇到红灯和遇到绿灯的概率都是12；从第二个路口起，若前次遇到红灯，则下一次遇到红灯的概率是1
3，
遇到绿灯的概率是23；若前一次遇到绿灯，则下一次遇到红灯的概率是3
5，遇到绿灯的概
率是25。求： （1）汽车在第二个路口遇到红灯的概率是多少？ （2）（文科）在三个路口中，汽车遇到一次红灯，两次绿灯的概率是多少？
（理科）汽车在经过三个路口过程中，所遇到红灯的次数的期望是多少？
[思路分析] 根据相互独立事件同时发生的概率的乘法公式可得，（1）
111137232515P =?+?=。 （2）（文科）
21221321233423525325575P =??+??+??=。 （理科）要求期望，则必须先求分布列。设汽车所遇到红灯的次数为随机变量ζ，则有
1222(0)25525P ζ==??=，1111(3)23318P ζ==??=，
12213212334(1)23525325575P ζ==??+??+??=，
11212313137(2)23323525390P ζ==??+??+??=
所以012325759018450E ζ=?+?+?+?=。 [简要评述] 本题重点考查相互独立事件的概率乘法公式的本质——同时发生，同时还考查互斥事件的概率。在具体解题中注意与递推有关的概率的计算。
【热身冲刺】
( A )
一、 选择题：
1．用0,123,4这五个数字组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，
则数字12340应是第 （ D ） ()6A 个 ()8B 个 ()9C 个 ()10D 个
2．从5位男教师和4位女教师中，选出3位教师分别担任3个班级的辅导员，每班一位辅导员，要求这3位辅导员中男、女老师都要有，则不同的选派方案共有 （ B ） ()210A 种 ()420B 种 ()630C 种 ()840D 种
3．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位。现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同的排法的种数是 （ B ）
()234A ()346B ()350C ()363D
4．长方体8个顶点中，以任意3个为顶点的所有三角形中，锐角三角形共有 （ A ） ()8A 个 ()12B 个 ()16C 个 ()20D 个
5．从编号为1,2,3,4,5,6的六的小球中任取4个，放在标号为,,,A B C D 的四个盒子里，每盒一球，且2号球不能放在B 盒中，4号球不能放在D 号盒中，则不同的放法种（ C ） ()96A ()180B ()252C ()280D 6．23
21(2)x x +
-展开式中的常数项是 （ C ）
()15A ()15B - ()20C - ()20D
7．某工厂生产,,A B C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5。现用分层抽样
方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号产品有16件，则此样本的容量为 （ B ）
()40A ()80B ()160C ()320D
8．某校高三年级举行一次演讲比赛，共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其他班级有5位。若采取抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3位同学没有被排在一起，而二班的2位同学恰好被排在一起（指演讲的序号相连）的概率是 （ A ） 1()12A 1()16B 1()20C 1()24D 9．某人射击一次命中目标的概率是1
3，则此人射击5次，有3次命中目标且恰有两次连续命中的概率是 （ D ） 80()243A 64()243B 40()243C 24()243D
10．在17世纪的一天，保罗与梅尔进行赌钱游戏。每人拿出6枚金币，然后玩骰子，约定谁先胜三局谁就得到12枚金币（每局均有胜负）。比赛开始后，保罗胜了一局，梅尔胜了两局，这时一件意外的事情中断了比赛，于是他们商量这12枚金币应该怎样分配才合理。据此，你认为合理的分配方案是保罗和梅尔分别得到金币（D）()6
A枚，6枚()5
B枚，7枚()4
C枚，8枚()3
D枚，9枚
二、填空题：
11．若
200522005
0122005
(12),()
x a a x a x a x x R
-=++++∈
，则010202005
()()()
a a a a a a
++++++=
。（2003）
12．口袋内装有10个相同的小球，其中5个小球标有数字0，5个小球标有数字1。若从中摸出5的小球，那么摸出的5个小球所标数字之和小于2或大于3的概率
是。（13 63）
13．抛掷一枚硬币若干次，每次正面向上得1分，反面向上得2分。
（文科）则恰好得到3分的概率为。（5
8）（理科）则恰好得到5分的概率为。
（21 32）
14．已知从甲地到乙地的海底光缆有15个接点，其中有一个接点发生故障，为了及时排除
故障，需要尽快断定故障发生点。以
,,
A B C三个接点为例，检查接点B的方法如下：在
接点B处分别检查
,
AB BC两段，若两段都有问题，则可断定B点存在问题；若只有一段
存在问题，则接点正常。设至少需要检查的接点数为x个，则x的最大值为。（3）
三、解答题：
15．某仪器显示屏上的每个指示灯均以红色或蓝色来表示两种不同的信号，已知一排有10个指示灯。求分别满足下列条件时，显示屏共能显示的不同的信号数的种数。
（1）要求每次显示其中的3个，且恰好有2个相邻的同时显示；
（2）要求每次显示其中的4个，且恰有2个相邻的同时显示。
简解（1）
23
8
2448
A=
或
213
82
2448
C C=
；（2）
314
73
21680
C C=
。
16
．已知
2
3)n
x展开式中各项的系数之和比各项的二项式系数之和大992。（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项。
简解由题意，
2104
52
33
155 (131)2992,5,()(3)3
r n n r r r r r
r
n T C x x C x
+
-
+
+?-=∴===
，
（1）展开式中二项式系数最大的项是
18
226
3
35
390
T C x x
==
，
2222
3333
45
3270
T C x x
==
；
（2）由1155115533,33.k k k k k k k k C C C C --++?≥?≥?解得26264433553.5 4.5,4,3405k k T C x x ≤≤∴=∴==为所求的系数最大的项。
17．甲、乙两人参加一次测试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题，规定每次测试都从备选题中随机抽取出3题进行测试，至少答对2题才算合格。
（1）（文科）分别求甲、乙两人测试合格的概率；（理科）求甲答对测试题数ζ的概率分布及数学期望；
（2）求甲、乙两人中至少有一人考试合格的概率。
简解 （1）（文科）甲合格的概率为
213646131023C C C P C +==，乙合格的概率为21382823101415C C C P C +==
所以01233010265E ζ=?+?+?+?=。 （2）两人中至少有一人合格的概率为
12214441(1)(1)1(1)(1)31545P P P =---=---=。 18．设掷一颗均匀的正方体玩具两次，此玩具的六个表面分别刻有数字1,2,2,3,3,3。 （文科）求掷得的点数之和小于5的概率。（理科）设ζ为掷得的点数差的绝对值，求E ζ。
111213225226666666612P =?+??+??+?=所以
0123636369E ζ=?+?+?=。 19．在n 个大小相同的均匀的球中，有白球m 个。
（1）不放回地逐个抽取s 个小球，求其中恰有t 个白球的概率；
（2）每次抽取后又放回地逐个抽取s 个小球，求其中恰有t 个白球的概率。
（3）（理科）每次抽取后又放回地逐个抽取s 个小球，求其中白球个数ζ的期望和方差。
简解 12()(1);(2)()(1)t s t t s t t t s t t m n m s s s s n C C m m m n m P P C C C n n n -----==-=；
2()(3)(,
),,(1)m m sm m m sm n m B s E s D s n n n n n n ζζζ-∴=?==??-= 。
20．甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.5，被甲解出而乙解不出的概率为0.05。 （1）求该题被乙独立解出的概率； （2）（文科）求恰有1人能解出这道题目的概率。（理科）求解出该题人数ζ的期望与方差。
简解 (1)0.9;(2)（文科）0.5。（理科） 1.4,0.34E D ζζ==。
( B )
1.随机变量ξ的的分布列如下，则m= （D ）
（A ）
31 （B ）21 （C ）61 （D ）4
1 2.设随机变量ξ服从二项分布B （6，2
1），则P （ξ=3）= （A ） （A ）165 （B ）163 （C ）85 （D ）83 3.从签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签中，任意取3支，设ξ为这3支签的号码之中最大的一个。则ξ的的数学期望为 （B ）
（A ）5（B ）5.25（C ）5.8（D ）4.6
4.某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量ξ，则P
（ξ≥1）等于 （D ）
（A ）0.9163（B ）0.0081（C ）0.0756（D ）0.9919
5.在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性是 （C ）
（A ） 与第几次抽样有关，第一次抽的可能性最大。
（B ） 与第几次抽样有关，第一次抽的可能性最小。
（C ） 与第几次抽样无关，每次抽到的可能性相等。
（D ） 与第几次抽样无关，与抽取几个样本有关。
6.一个年级有12个班，每个班有50名学生，随机编为1～50号，为了了解他们在课外
的兴趣爱好要求每班是40号学生留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是
（D ）
（A ）分层抽样 （B ）抽签法 （C ）随机数表法 （D ）系统抽样法
7.当一个样本的容量不大时，我们估计总体的标准差σ的常用量是： （C ）
（A ）s （B ）s 2 （C ）s* （D ）s*2
8.从总体中抽一个样本，2、3、4、8、7、6，则样本平均数为x = （B ）
（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）6.5
9.从总体中抽一个样本，3、7、4、6、5，则样本方差s*2为 （B ）
（A ）2 （B ）2.5 （C ）5 （D ）3
10.下面哪有个数不为总体特征数的是 （D ）
（A ） 总体平均数（B ）总体方差（C ）总体标准差（D ）总体样本
11.为了抽查某城市汽车尾气排放执行标准情况，在该城市的主干道上采取抽取车牌末位数字为5 的汽车检查，这种抽样方法称为 （C ）
（A ）简单随机抽样 （B ）随机数表法
（C ）系统抽样法 （D ）分层抽样法
12.已知n 个数据为x 1，x 2，…，x n ，那么
])()()[(1
122221x x x x x x n n -++-+-- 是指 （D ） （A ）s （B ）s* （C ）s 2 （D ）s*2
13.总体方差σ2的的估计量为 （B ）
（A ）x （B ）s 2 （C ）s （D ）s*
14.已知容量为40的样本方差s 2=3.9，那么s*= （B ） （A ）4 （B ）2 （C ）2 （D ）1
15.设15000件产品中有1000件废品，从中抽取150件进行检查，查得废品的数学期望为 （B ）
（A ）20 （B ）10 （C ）5 （D ）15
16.某一计算机网络，有几个终端，每个终端在一天中使用的概率p ，则这个网络中一天平均使用的终端个数为 （B ）
（A ）np(1-p) （B ）np （C ）n （D ）p(1- p)
17.下列说法正确的是： （D ）
（A ） 甲乙两个班期末考试数学平均成绩相同，这表明这两个班数学学习情况一样
（B ） 期末考试数学成绩的方差甲班比乙班的小，这表明甲班的数学学习情况比乙班
好
（C ） 期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班大，则数学学习情况
甲班比乙班好
（D ） 期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班小，则数学学习情况
甲班比乙班好
18. 某射击运动员射击所得环数ξ的分布列如图所示，
则P(ξ=8)= (D )
（A ）P(P>0)（B ）0.38（C ）0.41（D ）0.28
19.设随机变量的ξ的分布列为P （ξ=k ）=21
k （k=1、2、3、4、5、6），则P （1.5<ξ3.5）= （A ）
（A ）215（B ）214（C ）212（D ）21
1
20. 如果η～B （15，4
1）则使P （η=k ）最大的k 是 （D ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）3 或4
21.某人有资金10万元，准备用于投资经营甲，乙两种商品，根据统计资料： 经营甲 经营乙
那
他应该选择经营 甲 种商品。
22.在10件产品中有8件正品，从中任意地取出3件，设取到正品的个数为ζ，则ζ的取值可以有 3 种。
23.要检查某厂的产品合格率，检查人员从1000件产品中任意抽取了50件，问这种抽样的方法是 简单随机抽样法 。
24.若样本a 1，a 2，a 3的方差是2，则样本2a 1+3，2a 2+3，2a 3+3的方差是 8 。
25.甲、乙两种棉花，各抽取50根棉花纤维检验长度，样本方差分别是s 甲=1.32，s 乙=0.93，这两种棉花质量较好的是 乙 。
26.甲、乙两学生连续五次数学测验成绩如下，甲：80、75、80、90、70；乙：70、70、75、80、65。则可以认为 乙 的数学成绩比较稳定。
27.某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出两件，其中次品数ξ的概率分布是：
28.若样本a 1，a 2，a 3的方差是2，则样本2a 1，2a 2，2a 3的方差是 8 。
29.已知随机变量ξ的分布列如下：
求x 的值。
30.袋中有3个白球，2个红球，从袋中随机取2个球，假设取得1个白球得1分，取得1个红球得0分，求得分值ξ的分布列。（要写出解题过程，并按要求填空）
31.有10张卡片，其中8张标有数字2，有2张标有数字5，从中随机地取出3张卡片，设3张卡片的数字之和为随机变量ξ。
求E ξ，D ξ。
32.某市教委，为了指导教师更好地做好2002年高三复习迎考工作，决定对全市第一次高三模拟考试成绩进行分析，要从全市2008张考卷中抽取200份试卷，请你设计一个系统抽样，抽取所需数目的样本。
33.已知已个样本的s 2=0.63，s*2=0.7，求样本的容量n 是多少？
34.样本（x 1，x 2，x 3，…，x n ）的样本均值为n x ，样本（x 1，x 2，x 3，…，x n ， x n+1）的样本均值为1+n x 。 求证：1+n x =1+n n n x +1
1+n x n+1
35.据统计，一年中一个家庭万元以上财产被窃的概率为0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内，万元以上财产被窃，保险公司赔偿a 万元（a>100），问a 如何确定，可是保险公司期望获利？
36.某公司有三个部门，第一个部门800个员工，第二个部门604个员工，第三个部门500个员工，现在用按部门分层抽样的方法抽取一个容量为380名员工的样本，求应该删除几个人，每个部门应该抽取多少名员工？
4，160，120，100
37.已知连续型随机变量ξ的概率密度函数为：
010
+kx 2
200
>≤≤ 21, p （1.5<ξ<2.5）=0.0625 38.在同样条件下，用甲乙两种方法测量某零件长度（单位mm ），由大量结果得到分布列如下： 甲： 乙： 问哪种方法精度较好？ Eξ=Eη=50, Dξ 39.某班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表： 求全班的平均成绩和标准差。平均为85，51 40.某企业对一项工程的完成有三个方案，甲、乙、丙每个方案的获利情况如下表所示： 问企业应选择哪种方案？Eξ甲>Eξ乙>Eξ丙 概率统计 排列统计 班级： 姓名： 学号： 成绩： 一 、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求，把正确选项写在表格中。 1.以下条件可以确定一个平面的是（ ）。 .A 空间三点 .B 一直线和一个点 .C 两条直线 .D 两平行直线 2.两条直线不平行是这两直线异面的（ ）。 .A 充分条件 .B 必要条件 .C 充要条件 .D 既不充分又不必要条件 3.由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字，且数字1和2不相邻的五位数，那么这种五位数的个数是（ ）。 .A 72 .B 60 .C 48 .D 50 4.用1,2,3,4,5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。 .A 24个 .B 30个 .C 40个 .D 60个 5.将12人分成两组，一组8人，一组4人的分法数为（ ）。 .A 812A .B 812C .C 841212+C C .D 841212 C C 6.抛掷两枚硬币的试验中，设事件M 表示“两个都是反面”，则事件M 表示（ ）。 .A 两个都是正面 .B 至少出现一个正面 .C 一个是正面一个是反面 .D 以上答案都不对 7.同时抛掷两颗骰子，总数出现9点的概率是（ ）。 . A 14 . B 15 . C 16 . D 1 9 8.样本：6,7,8,8,9,10的标准差是（ ）。 .A 2 . B . C 3 . D 9.下列变量中，不是随机变量的是（ ）。 .A 一射击手射击一次的环数 .B 水在一个标准大气压下100C 时会沸腾 .C 某城市夏季出现的暴雨次数 .D 某操作系统在某时间发生故障的次数 10.某射击手击中目标的概率是0.84，则目标没有被击中的概率是（ ）。 .A 0.16 .B 0.36 .C 0.06 .D 0.42 11.在12件产品中，有8件正品，4件次品，从中任取2件，2件都是次品的概率是（ ）。 . A 19 . B 1 10 .C 111 .D 112 12. 在10(x 的展开式中，6x 的系数为（ ）。 .A 61027C - .B 41027C .C 6109C .D 6 109C - 13.二项式8(1)x -的展开式中的第5项是（ ）。 .A 3 56x .B 3 2 56x - .C 470x .D 270x 14.设()6 26012631+…x a a x a x a x -=+++，则0126+=…a a a a +++（ ）。 .A 32 .B 64 .C 729 .D 56 15.已知某种奖券的中奖概率是50%，现买5张奖券，恰有2张中奖的概率是（ ）。 . A 25 . B 58 . C 516 . D 5 32 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上。 16.56101054 99 4P P P P -=- 。 17.甲、乙两射手彼此独立地射击同一目标，甲击中目标的概率为0.8，乙击中目标的概率为0.9，则恰好有一人击中目标的概率为 。 18.已知互斥事件,A B 的概率3()4P A = ，1()6 P B =，则()P A B ?= 。 19.若把英语单词“bookkeeper ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有 种。 20.若23 1818 x x C C -=，则x = 。 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出推理、演算步骤。 21.5人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站排头或排尾，那么不同的排法总数是多少？（10分） 排列组合与二项式定理知识点 第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．． 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ⑷排列数公式： ) ,,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 1 1 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排 列个数等于! !...!!2 1 k n n n n n =. 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3 ! 2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列 个数1!3!3==n . 三、组合. 1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ⑵组合数公式： )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -= +--==Λ ⑶两个公式：①;m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+ ①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合. （或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一 高中数学必修排列组合和概率练习题 一、选择题（每小题5分，共60分） (1)已知集合A={1,3,5,7,9,11}，B={1,7,17}.试以集合A 和B 中各取一个数作 为点的坐标,在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是C (A)32(B)33(C)34(D)36 解分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为x 和y 坐标,不同点的个数为1163P P g 分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为y 和x 坐标,不同点的个数为1163P P g 不同点的个数总数是1111636336P P P P +=g g ,其中重复的数据有(1,7),(7,1)，所以只有34个 (2)从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个，其中一个作底数，另一个作真 数，则可以得到不同的对数值的个数为 (A)64(B)56(C)53(D)51 解①从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个的数分别作底数和真数的“对数式”个数为292P ； ②1不能为底数，以1为底数的“对数式”个数有8个,而应减去； ③1为真数时，对数为0，以1为真数的“对数式”个数有8个,应减去7个； ④2324log 4log 92log 3log 9 ===，49241log 2log 32log 3log 9 == =，应减去4个 所示求不同的对数值的个数为29287453()C ---=个 （3）四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有两名站在一起，但三名女生 不能全排在一起，则不同的排法数有 （A ）3600（B ）3200（C ）3080（D ）2880 解①三名女生中有两名站在一起的站法种数是23P ； ②将站在一起的二名女生看作1人与其他5人排列的排列种数是66P ，其中的 三名女生排在一起的站法应减去。站在一起的二名女生和另一女生看作1人与4名男生作全排列，排列数为55P ，站在一起的二名女生和另一女生可互换位置的排列，故三名女生排在一起的种数是1525P P 。 符合题设的排列数为： 26153625665432254322454322880P P P P -=?????-????=????=种（）（）（） 我的做法用插空法，先将4个男生全排再用插空743342274534522880A A C A A C A --= （4 ）由100+展开所得x 多项式中，系数为有理项的共有 （A ）50项（B ）17项（C ）16项（D ）15项 解1000100110011r 100r r 100100100100100100=C )+C )++C )++C --L L 排列组合项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质．二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以．有．重．复．元．素．的排列. 从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以 从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m- m?…m = m n..例 3! 1 . 3! 如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ (解: m n 种) 二、排列. 1.(1)对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取 m (贰n )个元素，按照一定顺序 排成一列， 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺 序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (mcn)个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个排列.从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用 符号表 示. ⑷排列数公式： 注意：n n! (n 1)! n!规定 0! = 1 m m m m 1 m m 1 m m 1 On, A n 1 A n A m C n A n mA n A n nA n 1 /规^定 C n C n 1 2.含有可重元素的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集 S 有k 个不同元素a 1, a 2,……a n 其中限重复数为n 1、n ..... n k ,且n = n 计尊+ .. n k ,则S 的排列 例如：已知数字3、2、2,求其排列个数n 喈3又例如：数字5、5、5、 求其排列个数？其排列个数 个数等于n n! n !n 2!...n k 主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙 一、复习策略 排列与组合是高中数学中从内容到方法均比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识，该部分内容，不论其思想方法和解题均有特殊性，概念性强，抽象性强，思维方法新颖，解题过程极易犯“重复”或“遗漏”的错误，且且结果数目较大，无法一一检验，因此给考生带来一定困难．解决问题的关键是加深对概念的理解，掌握知识的内于联系和区别，科学周全的思考、分析问题． 二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，把握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点． 概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意基本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律． 纵观近几年高考，排列、组合、二项式定理几乎每年必考，考题多以选择题、填空题出现，题小而灵活，涉及知识点均于两三个左右，综合运用排列组合知识，分类计数和分步计数原理；二项式定理及二项式系数的性质计算或论证一些较简单而有趣的小题也于高考题中常见，概率及概率统计的内容，从近几年新课程卷高考来看，每年均有一道解答题，占12分左右． 排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2) 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.（4）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；（5）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”； 于求解排列与组合应用问题时，应注意： (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理； (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏； (4)列出式子计算和作答． 二、典例剖析 题型一：排列组合应用题 解决此类问题的方法是：直接法，先考虑特殊元素（或特殊位置），再考虑其他元素（或位置）；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；对于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一般是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件． 例1、（08安徽理12）12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A．B．C．D． 高中数学 排列组合二项式定理与概率统计 其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解。 例4、设88 018(1),x a a x a x +=+++L 则0,18,,a a a L 中奇数的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 例5、组合数C r n （n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（ ） A ．r +1n +1C r -1n -1 B ．(n +1)(r +1) C r -1n -1 C ．nr C r -1 n -1 D ．n r C r -1n -1 . 例6、在的展开式中，含的项的系数是 （A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274 例7、若(x +12x )n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为 (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 考点三：概率 【内容解读】概率试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n 次独立重复试验中恰发生k 次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望等内容都进行了考查。掌握古典概型和几何概型的概率求法。 【命题规律】（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。 （2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。 例8、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率 为 。 例9、从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为 (A) 1 84 (B) 121 (C) 25 (D) 35 例10、在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…， 18的18名 火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 )5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 4 x 预备知识 在概率的计算中经常要用到一些排列组合知识，也常常用到牛顿二项式定理。 这里罗列一些同学们在中学里已学过的有关公式，并适当作一点推广。 一. 两个原理 1. 乘法原理: 完成一项工作有m 个步骤，第一步有1n 种方法，第二步有2n 种方法，…， 第m 步有m n 种方法，且完成该项工作必须依次通过这m 个步骤， 则完成该项工作一共有 1n 2n …m n 种方法，这一原理称为乘法原理。 2. 加法原理: 完成一项工作有m 种方式，第一种方式有1n 种方法，第二种 方式有2n 种方法，…，第m 种方式有m n 种方法，且完成该项工作只需 选择这m 种方式中的一种，则完成这项工作一共有 1n +2n +…+m n 种方法，这一原理称为加法原理。 二. 排列: 从n 个元素里每次取出r 个元素，按一定顺序排成一列，称为 从n 个元素里每次取r 个元素的排列，这里n 和Z 。均为正整数(以 下同)。 当这n 个元素全不相同时，上述的排列称为无重复排列，我 们关心的是可以做成多少个排列，即排列数。 对于无重复排列，要求当 时 r n 称为选排列，而当 r ＝n 时称为全排列。我们记排列数分别为 即将全排列看成选排列的特例。 利用乘法原理不难得到 由阶乘的定义 由阶乘的定义 将上面的n个不同的元素改为n类不同的元素，每一类元素 都有无数多个。今从这n类元素中取出r个元素，这r个元素可 以有从同一类元素中的两个或两个以上，将取出的这r个元素dl 成一列，称为从n类元素中取出r个元素的可重复排列，排列数记 作，由乘法原理得 显然，此处r可以大于n 例3 将三封信投入4个信箱，问在下列两种情形下各有几 种投法? 1)每个信箱至多只许投入一封信； 2)每个信箱允许投入的信的数量不受限制。 解1)显然是无重复排列问题，投法的种数为 2)是可重复排列问题，投法的种数为 三、组合 从“个元素中每次取出r个元素，构成的一组，称为从n个元 素里每次取出r个元素的组合。 设这n个元素全不相同，即得所谓无重复组合，我们来求组合数，记作 将一个组合中的r个元素作全排列，全排列数为 ， 所有组合中的元素作全排列，共有 个排列，这相当于从n个元素里每次取r个元素的选排列，排列总数为 故有 排列组合二项式定理与概率统计 重点知识回顾 1. 排列与组合 ⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关, 分类计数原理与分类有关 ⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合, ⑶排列与组合的主要公式 _ r — r+1 项是 T r+1 =C n a n r b r . ⑵二项展开式的通项公式 二项展开式的第r+1项T r+1=c n a n —r b r （r=0,1,…叫）做二项展开式的通项公式。 ⑶二项式系数的性质 ① 在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即 c n = c n r （r=0,1,2，…,n ）. 项和第n 3项）的二项式系数相等，并且最大，其值为 2 A n = n! =n(n — 1)(n — 2) ....... 2 ? 1. ②组合数公式： c m n! n(n 1) (n m 1) (m < n) m!( n m)! m (m 1) 2 1 ③组合数性质： ①c m ㈡ m (m < n) ② c 0 c ； c n 2 c ； 2n ③ Cn Cn c 4 C n c 1 c 3 C n C n 2n 1 2.二项式定理 ⑴二项式定理 (a +b)n =C 0a n +c n a n — 1 r b+ …+C n a n r b r +… + c n b n ,其中各项系数就是组合数c n ，展开式共有n+1项，第 问题?区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关, 与顺序有关的属于排列问题, 与顺序无关的属于组合问题 求共有多少种方法的 ①排列数公式: A m n! (n m)! n(n 1) (n m 1) (m 第一讲 排列组合概念及简单应用 排列和排列数公式 A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！ (n －m )！(m ，n ∈N *，并且m ≤n ) A n n ＝n ！＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1. 规定：0！＝1. 组合与组合数公式 1．组合数公式 C m n ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！(m ，n ∈N *，并且 m ≤n ) 2．组合数的性质 (1)C m n ＝C n －m n (2)C m n ＋1＝C m n ＋C m － 1n 常规题型 一、投信问题 1、个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同. （1）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？ （2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？ 2、五位旅客到一个城市出差，这个城市有6家旅馆，有多少种住宿方法？ 3、12名旅客在一辆火车上，共有六个车站，有多少种下车方案？ 4、3个同学在一座只有两个楼梯的楼上下楼，有几种下楼方案？ 二、染色问题 1、如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数. 2. 如图所示，用五种不同的颜色分别给A ，B ，C ，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种． 3.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种． 排列组合与二项式定理知识点 １．计数原理知识点 ①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM (分类) ２．排列（有序）与组合（无序） Anm=n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m+1)=n!/(n-m)! Ann =n! Cnm = n!/(n-m)!m! Cnm= Cnn－m Cnm＋Cnm＋1= Cn+1m+1 k?k!=(k+1)!－k! ３．排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排 排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置. 捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑） 插空法（解决相间问题）间接法和去杂法等等 在求解排列与组合应用问题时，应注意： (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理； (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏； (4)列出式子计算和作答. 经常运用的数学思想是： ①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想. ４．二项式定理知识点： ①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an－1b1+ Cn2an－2b2+ Cn3an－3b3+…+ Cnran－rbr+-…+ Cn n－1abn－1+ Cnnbn 特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn ②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn－m 最大二项式系数在中间。（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项） 所有二项式系数的和：Cn０+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n 奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和 Cn０+Cn２+Cn４+ Cn６+ Cn８+…＝Cn１+Cn３+Cn５+ Cn７+ Cn９+…=2n -1 ③通项为第r+1项：Tr+1= Cnran－rbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。 5.二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。 6.注意二项式系数与项的系数（字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数）的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。 排列组合二项定理考试内容： 分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有 ．．重复 ．．的排列. ．．元素 从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = m n.. 例 如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解： n m 种） 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ⑷排列数公式： 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于! !...!! 21k n n n n n = . 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3! 2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1! 3!3==n . 高中数学第十章-排列组合二项定理 考试内容： 分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． §10. 排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有．．重复．．元素．． 的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ?对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ?相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的 一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ?排列数公式： ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--= 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数 基本公式·排列组合二项式定理及概率统计 151排列数公式 ： m n A =)1()1(+--m n n n ！ ！ )(m n -(n ，m ∈N * ，且m n ≤)．规定1!0= 154组合数的两个性质:(1)m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C +规定0 =n C 155组合恒等式 （3）11m m n n n C C m --=; （4）∑=n r r n C 0=n 2; （5）121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C (6)n n r n n n n C C C C C 2210 =++++++ (7)420531 2-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C (8)321 232-=++++n n n n n n n nC C C C (9)r m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 (10)n n n n n n n C C C C C 2222212 0)()()() (=++++ 156排列数与组合数的关系:m m n n A m C =?！ 157．单条件排列（以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列） （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1 111---=m n n A A （着眼位 置）1 1111----+= m n m m n A A A （着眼元素）种 （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m k n k k A A --种 ②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 1 1+-+-种 注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ） ，把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有 k h h h A A 1+种 （3）两组元素各相同的插空 m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有 n m n n n m C A A 11 ++=种排法 （4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为n n m C + 158．分配问题 （1）(平均分组有归属问题)将相异的 mn 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有m n n n n n n mn n n mn n mn n C C C C C N ) !(22=?????=-- （2）(平均分组无归属问题)将相异的mn 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有 m n n n n n n mn n n mn n mn n m m C C C C C N ) !(!!...22=????=-- （3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得 n n +1n n n 排列组合、二项式定理总结复习 1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情） 分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的 方法 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 组合数 从 n 个不同元素中，任取 m （m ≤n ）个元素的所有组合个数 m n m = n ! n m !(n - m )! 性质 C m = C n -m C m = C m + C m -1 排列组合题型总结 一． 直接法 1 .特殊元素法 例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 C C （1）数字 1 不排在个位和千位 （2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。 分析：（1）个位和千位有 5 个数字可供选择A2 ，其余 2 位有四个可供选择A2 ，由乘法原理： 5 4 A2 A2 =240 5 4 2．特殊位置法 （2）当 1 在千位时余下三位有A3 =60，1 不在千位时，千位有A1 种选法，个位有A1 种，余下 5 4 4 的有A2 ，共有A1 A1 A2 =192 所以总共有 192+60=252 4 4 4 4 二间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法A4 - 2 A3 +A2 =252 6 5 4 Eg 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数C 3 ? 23 ?A3 个，其中 0 在 5 3 百位的有C 2 ? 22 ?A2 个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数 4 2 C 3 ? 23 ?A3 - C 2 ? 22 ?A2 =432 5 3 4 2 Eg 三个女生和五个男生排成一排 （1）女生必须全排在一起有多少种排法（捆绑法） （2）女生必须全分开（插空法须排的元素必须相邻） （3）两端不能排女生 （4）两端不能全排女生 （5）如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法 高考数学总复习------排列组合与概率统计 【重点知识回顾】 1.排列与组合 ⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关. ⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题. ⑶ 排列与组合的主要公式 ①排列数公式：)1()1()! (! +-???-=-= m n n n m n n A m n (m≤n) A n n =n! =n(n―1)(n―2) ...2·1. ②组合数公式：1 2)1() 1()1()!(!!??????-?+-???-=-= m m m n n n m n m n C m n (m≤n). ③组合数性质：①m n n m n C C -=(m≤n). ②n n n n n n C C C C 2210=+???+++ ③1 314202-=???++=???++n n n n n n C C C C C 2.二项式定理 ⑴ 二项式定理 (a +b)n =C 0n a n +C 1n a n － 1b+…+C r n a n － r b r +…＋C n n b n ，其中各项系数就是组合数C r n ，展开式共有n+1项，第r+1项是T r+1 =C r n a n － r b r . ⑵ 二项展开式的通项公式 二项展开式的第r+1项T r+1=C r n a n － r b r (r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。 ⑶ 二项式系数的性质 ①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即C r n = C r n n - (r=0,1,2,…,n). ②若n 是偶数，则中间项(第12+n 项)的二项公式系数最大，其值为C 2 n n ；若n 是奇数， 则中间两项(第21+n 项和第2 3 +n 项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C 21 -n n = C 21 +n n . ③所有二项式系数和等于2n ，即C 0n +C 1n ＋C 2n +…+C n n =2n . ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， 8、九张卡片分别写着数字0,1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问 可以组成多少个三位数？ 【参考答案】可以分为两类情况： ① 若取出6，则有() 2111 82772P C C C +种方法； ②若不取6，则有1277C P 种方法． 根据分类计数原理，一共有() 2111 8277 2P C C C ++1277C P ＝602种方法． 9、从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种. 【参考答案】由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有26C 种方法； 第二步是在组装计算机任意选取3台，有35C 种方法，据乘法原理共有3 526C C ?种方法.同理，完成第二类办法中有2536C C ?种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有+?3526 C C 3502 536=?C C 种方法. 经典例题： 例1．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有（ ） A ．150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种 【答案】取出的四个点不共面的情况要比取出的四个点共面的情况复杂，可采用间接法， 先不加限制任取四点，再减去四面共点的取法． 在10个点中任取4点，有4 10C 种取法，取出的4点共面有三类 第一类：共四面体的某一个面，有44 6C 种取法； 第二类：过四面体的一条棱上的三点及对棱的中点，如图中的平面ABE ，有6种取法； 第三类：过四面体的四条棱的中点，面与另外两条棱平行，如图中的平面EFGM ，共有3个． 故取4个不共面的点的不同取法共有4 10C －(44 6C ＋6＋3)＝141，因此选D 例2. 一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育， 排列组合二项式定理知识点 2、排列、组合 3、二项式定理 内容典型题 定义①二项式定理: (a＋b)n＝C 0n a n＋C 1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n ＝∑ = n r r n C a n－r b r（n∈N＋） ②二项式展开式第r＋1项通项公式: T r－1 ＝C r n a n－r b r 其中C r n（r＝0，1，2，…，n）叫做二项式系数. 8.二项式8)1 (- x的展开式中的第5项是( ) A. 70x4 B. 70x2 C. 56x3 D. －562 3 x 9.二项式(x－2)12展开式中第3项的系数是( ) A.264 B.－264 C.66 D.－1760 10.(x－2)8 的展开式中, x6的系数是( ) A. 56 B. －56 C. 28 D. 224 11.(x2＋)5展开式中的10x是( ) A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项 12.二项式x－1 x 6 的展开式中常数项是( ) A. 1 B. 6 C. 15 D. 20 13.设(3－x)n＝n n x a x a x a a+???+ + +2 2 1 ,已知 n a a a a+???+ + + 2 1 ＝64,则n＝. 14.设二项式(3x＋5)10＝ 1 8 8 9 9 10 10 a x a x a x a x a+ +???+ + +,则 1 8 9 10 a a a a a+ -???- + -＝. 15.二项式2x－1 x 6 的展开式中二项式系数最大的项是. 性质①在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等. ②如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项的二项式系数相等并且最大. ③二项式系数的和为n2，即 n C＋1 n C＋…＋r n C＋…＋n n C＝n2 ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 n C＋2 n C＋…＝1 n C＋3 n C＋…＝1 2-n 专题五： 排列、组合、二项式定理、概率与统计 【考点分析】 1． 突出运算能力的考查。高考中无论是排列、组合、二项式定理和概率题目，均是用数 值给出的选择支或要求用数值作答，这就要求平时要重视用有关公式进行具体的计算。 2． 有关排列、组合的综合应用问题。这种问题重点考查逻辑思维能力，它一般有一至两 3． 个附加条件，此附加条件有鲜明的特色，是解题的关键所在；而且此类问题一般都有 多种解法，平时注意训练一题多解；它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于中等偏难（理科）的题目。 4． 有关二项式定理的通项式和二项式系数性质的问题。这种问题重点考查运算能力，特 别是有关指数运算法则的运用，同时还要注意理解其基本概念，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。 5． 有关概率的实际应用问题。这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能力；它要求 对四个概率公式的实质深刻理解并准确运用；文科仅要求计算概率，理科则要求计算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道选择题或填空题、一道解答题）的形式出现，属于中等偏难的题目。 6． 有关统计的实际应用问题。这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法的理解和掌 握，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。 【疑难点拨】 1． 知识体系： 2．知识重点： （1） 分类计数原理与分步计数原理。它是本章知识的灵魂和核心，贯穿于本章的始终。 （2） 排列、组合的定义，排列数公式、组合数公式的定义以及推导过程。排列数公式 的推导过程就是位置分析法的应用，而组合数公式的推导过程则对应着先选（元素）后排（顺序）这一通法。 （3） 二项式定理及其推导过程、二项展开式系数的性质及其推导过程。二项式定理的 推导过程体现了二项式定理的实质，反映了两个基本计数原理及组合思想的具体应用，二项展开式系数性质的推导过程就对应着解决此类问题的通法——赋值法（令1±=x ）的应用。 （4） 等可能事件的定义及其概率公式，互斥事件的定义及其概率的加法公式，相互独 立事件的定义及其概率的乘法公式，独立重复试验的定义及其概率公式。互斥事件的概率加法公式对应着分类相加计数原理的应用，相互独立事件的概率乘法公式对应着分步相乘计数原理的应用。 （5） （理科）离散型随机变量的定义，离散型随机变量的分布列、期望和方差。 （6） 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，总体分布，正态分布，线性回归。概率统计 排列组合
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