一元一次不等式组
一、一元一次不等式组
1.定义
用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数项的次数都是1，系
数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式
2. 不等式性质
（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
数字语言简洁表达不等式的性质——
【1.性质1：如果a>b,那么a±c>b±c)】
【2.性质2：如果a>b，c>0，那么ac>bc(或a/c>b/c)】
【3.性质3：如果a>b，c<0，那么ac 二、易错关键： 1、几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。但这“几个一元一次不等式”必须含有同一个未知数，否则就不是一元一次不等式组了。 2、前面学习过的二元一次方程组是由二个一次方程联立而成，在解方程组时，两个方程不是独立存在的（代入法和加减法本身就说明了这点）；而一元一次不等式组中几个不等式却是独立的，而且组成不等式组的不等式的个数可以是三个或多个。（我们主要学习由两个一元一次不等式组成的不等式组）。 3、在不等式组中，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。（注意借助于数轴找公共解） 4、一元一次不等式组的基本类型（以两个不等式组成的不等式组为例） 类型（设a>b）不等式组的解集数轴表示 1.（同大型，同大取大）x>a 2.（同小型，同小取小） x 3.（一大一小型，小大之间） b 4.（比大的大，比小的小空集）无解 三、一元一次不等式组的解法 例1.解不等式组，并将解集标在数轴 上 分析：解不等式组的基本思路是求组成这个不等式组的各个不等式的解集的公共部分，在解的过程中各个不等式彼此之间无关系，是独立的，在每一个不等式的解集都求出之后，才从“组”的角度去求“组”的解集，在此可借助于数轴用数形结合的思想去分析和解决问题。 解：解不等式(1)得x> 解不等式(2)得x≤4 ∴ （利用数轴确定不等式组的解集） 步骤：（1）分别解不等式组的每一个不等式 （2）求组的解集。（借助数轴找公共部分） （3）写出不等式组 ∴ 原不等式组的解集为 ∴ 解集 （4）将解集标在数 轴上 变式1 ?????+>-<-. 3342,121 x x x x 例2.解不等式组 解：解不等式(1)得x>-1, 解不等式(2)得x≤1, 解不等式(3)得x<2, ∴ ∵在数轴上表示出各个解为： ∴原不等式组解集为-1 注意：借助数轴找公共解时，应选图中阴影部分，解集应用小于号连接，由小到大排列，解集不包括-1而包括1在内，找公共解的图为图（1），若标出解集应按图（2）来画。 例3.解不等式组 解：解不等式(1)得x>-1, 解不等式(2), ∵|x|≤5, ∴-5≤x≤5, ∴ 将(3)(4)解在数轴上表示出来如图， ∴ 原不等式组解集为-1 4x+5<7-2x 变式3： |x|+3>-3 四、一元一次不等式组的应用。 例4.求不等式组的正整数解。 步骤： 解：解不等式3x-2>4x-5得：x<3， 解不等式 ≤1得x≤2， ∴ ∴原不等式组解集为x≤2， ∴这个不等式组的正整数解为x=1或x=2 1、先求出不等式组的解集。 2、在解集中找出它所要求的特殊解， 正整数解。 例5，m为何整数时，方程组的解是非负数？ 分析：本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即 。先解方程组用m的代数式表示x, y, 再运用“转化思想”，依据方程组的解集为非负数的条件列出不等式组寻求m的取值范围，最后切勿忘记确定m的整数值。 解：解方程组得 ∵方程组的解是非负数，∴ 即 解不等式组∴此不等式组解集为≤m≤, 又∵m为整数，∴m=3或m=4。 例6，解不等式<0。 分析：由“”这部分可看成二个数的“商”此题转化为求商为负 数的问题。两个数的商为负数这两个数异号，进行分类讨论，可有两种情况。(1) 或(2) 因此，本题可转化为解两个不等式组。 解：∵<0, ∴(1) 或(2) 由(1) ∴无解， 由(2) ∴- 变式6：解不等式 例7.解不等式-3≤3x -1<5。 解法（1）:原不等式相当于不等式组 解不等式组得-≤x<2，∴原不等式解集为-≤x<2。 解法（2）:将原不等式的两边和中间都加上1，得-2≤3x<6, 将这个不等式的两边和中间都除以3得， -≤x<2, ∴原不等式解集为-≤x<2。 04 5 <++x x 变式7：解不等式7≥5x-1＞2 例8.x 取哪些整数时，代数式与代数式 的差不小于6而 小于8。 分析：(1)“不小于6”即≥6, (2) 由题意转化成不等式问题解决， 解：由题意可得，6≤ -<8, 将不等式转化为不等式组， ∴ ∴解不等式(1)得x≤6, 解不等式(2)得x>-, ∴ ∴原不等式组解集为- ∴- ∴当x 取±3，±2，±1，0，4，5，6时两个代数式差不小于6而小于8。 自测试一试 一、选择题 1、下列不等式组中，解集是2＜x ＜3的不等式组是( ) A 、?? ?>>23x x B 、???<>23x x C 、? ??><23 x x D 、? ? ?<<23 x x 2、在数轴上从左至右的三个数为a ，1＋a ，－a ，则a 的取值范围是（ ） A 、a ＜ 12 B 、a ＜0 C 、a ＞0 D 、a ＜－1 2 3、不等式组10235 x x +?? + 的解集在数轴上表示为（ ） 4、不等式组310 25 x x +>?? A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 5、在平面直角坐标系内，P （2x －6,x －5）在第四象限，则x 的取值范围为（ ） A 、3＜x ＜5 B 、－3＜x ＜5 C 、－5＜x ＜3 D 、－5＜x ＜－3 6、已知不等式：①1x >，②4x >，③2x <，④21x ->-，从这四个不等式中取两个，构成正整数解是2的不等式组是（ ） A 、①与② B 、②与③ C 、③与④ D 、①与④ 7、如果不等式组x a x b >?? A.2－b ＜x ＜2－a B.b －2＜x ＜a －2 C.2－a ＜x ＜2－b D.无解 8、方程组432 83x m x y m +=??-=? 的解x 、y 满足x ＞y ，则m 的取值范围是（ ） A.910m > B. 109m > C. 1910m > D. 1019 m > 二、填空题 9、若y 同时满足y ＋1＞0与y －2＜0，则y 的取值范围是______________. 10、不等式组30 10 x x - +?≥的解集是 ． A B C D 11、不等式组20.5 3 2.52 x x x -?? ---?≥≥的解集是 . 12、若不等式组?? ?->+<1 21 m x m x 无解，则m 的取值范围是 ． 13、不等式组15x x x >-?? ?? ≥2的解集是_________________ 14、不等式组2 x x a >?? >? 的解集为x ＞2，则a 的取值范围是_____________. 15、若不等式组21 23 x a x b -?的解集为－1＜x ＜1，那么（a ＋1）（b －1）的值 等于________. 16、若不等式组40 50a x x a ->??+->? 无解，则a 的取值范围是_______________. 三、解答题 17、解下列不等式组 （1）328212x x -? （2）5724 31(1)0.54 x x x -≥-???-- （3）2x ＜1－x ≤x ＋5 （4）3(1)2(9) 34140.5 0.2x x x x -<+?? -+?-≤-?? 18、解不等式组 3 (21)4 2 13 2 1. 2 x x x x ? -- ?? ? + ?>- ?? ≤， 把解集表示在数轴上，并求出不等式组 的整数解． 19、求同时满足不等式6x－2≥3x－4和2112 1 32 x x +- -<的整数x的值. 20、若关于x、y的二元一次方程组 5 33 x y m x y m -=- ? ? +=+ ? 中，x的值为负数，y的 值为正数，求m的取值范围. 参考答案 1、C 2、D 3、C 4、B 5、A 6、D 7、A 8、D 9、1＜y＜2 10、－1≤x＜3 11、－1 4 ≤x≤4 12、m＞2 13、2≤x＜5 14、a＜2 15、－6 16、 a≤1 17、（1）310 23 x <<（2）无解（3）－2＜x＜ 1 3 （4）x＞－3 18、2，1，0， －1 19、不等式组的解集是 27 310 x ≤< －，所以整数x为0 20、－2＜m＜0.5 图形的平移和旋转 专题一图形的平移概念 重点知识回顾 1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形变换称为平移. 注意：（1）平移过程中，对应线段可能在一条直线上. （2）平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上. 2.平移的两个基本要素： “平移的方向”和“平移的距离”.图形的平移是由它的移动方向和移动距离决定的.当图形平移的方向没有指明时，就需要认真观察图形的形状和位置的变化特征，根据平移的性质先确定平移的方向，再确定对应点、对应线段和对应角. 3.图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出平移性质的依据. 专题二图形的旋转概念 知识要点回顾 1.旋转的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转. 注意：（1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到. （2）旋转的角度一般小于360°. 2.旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向） 专题三图形平移、旋转性质的应用 知识要点回顾 1.平移的基本性质 有平移的基本概念知，结果平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此，平移具有下列性质：（1）平移后的图形与原图形的对应线段平行且相等，对于角相等. （2）平移后的图形与原图形的对应点所连的线段平行且相等. 2.旋转的基本性质 （1）图形旋转后，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角. （2）一个图形沿某一点旋转一个角度后，图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，图形的大小与形状都没有发生变化. 专题四网格中进行轴对称、平移、旋转作图 知识要点回顾 1.平移作图的基本方法 （1）找出已知图形上的关键点.如线段的端点、三角形的顶点等. （2）过关键点作与已知平移方向的线段，使这些线段的长度都等于平移的距离. （3）按原图的连接方式连接各对应点，得到新的图形，这个图形就是原图形平移后的图形. 注意：①在进行平移作图时，首先要知道平移的距离和方向，其次要找出图形的关键点；②确定一个图形的平移前后的位置所需要的条件：图形原来的位置、平移的方向、平移的距离. 2.旋转作图的基本方法 （1）确定旋转中心，找出已知图形的关键点. （2）作出关键点的对应点.作关键点的对应点的方法是：将各关键点与 旋转中心连接；以旋转中心为顶点，以上述连线为一边，向旋转方向作角，使所作的角都等于旋转角；在所作角的另一边截取长度分别等于各关键点与旋转中心所连线段的长度.即得到各关键点的对应点；按原图的连接方连接各对应点即得到旋转后的图形. 自测试一试 一、选择题 1、下列说法正确的是（） A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小 B．平移和旋转的共同点是改变图形的位置 C．图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离 D．在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行 2、.轴对称与平移、旋转的关系不正确的是( ) A.经过两次翻折(对称轴平行)后的图形可以看作是原图形经过—次平移得到的 B.经过两次翻折(对称轴不平行)后的图形可以看作是原图形经过—次平移得到的 C.经过两次翻折(对称轴不平行)后的图形可以看作是原图形经过旋转得到的 3、如图，将图（1）中的正方形图案绕中心旋转180°后，得到的图案是（） 4、如图，已知△OAB绕点O沿逆时针方向旋转80°到△OCD ＝110°，∠D＝40°，则∠AOD的度数为 . A. 30° 40° C. 50° D. 60° 5、如图（1）中的图形N平移后的位置如图6（2 方法是（） A.先向下移动1格，再向左移动1格 B.先向下移动1 动2格 C.先向下移动2格，再向左移动1格 D.先向下移动2格，再向左移 动2格 第4题图 O D C B A 6、国旗上的五角星是旋转对称图形，它需 要旋转（ ）后，才能与自身重合。 A. 36° B. 45° C. 60° D. 72° 7、如图，把直角三角形ABC 绕直角顶点顺时针方向旋转90°后到达C B A ''?，延长AB 交''B A 于D ，则'ADA ∠的度数是（ ） A. 30° B. 60° C. 75° D. 90° 8、如图，P 是正△ABC 内的一点，若将△PBC 绕点B 旋转到△P ’ BA ，则∠PBP’的度数是 （ ） A ．45° B．60° C．90° D．120° 9、如图，该图形围绕旋转中心，按下列角度旋转后，不能．．与其自身重合的是（ ） Ａ、72 Ｂ、108 Ｃ、144 Ｄ、216 10、如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连接BE ，将△BCE 绕点C 顺 时针方向旋转90°得到△DCE ，连结EF ，若∠BEC=60°，则∠EFD 的度数为（ ） A 、10° B 、15° C 、20° D 、25° 8题图 9题图 10题图 二、 填空题 12、如图，CF CB EC AC BE AC ==⊥，，，则E F C ?可以看作是ABC ?绕点_________按________方向旋转了__________度而得到的。 5题图 A C B ’ 13、如图所示，直角△AOB 顺时针旋转后与△COD 重合，若∠AOD ＝127°，则旋转角度是 14、如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别在D ′、C ′位置，若∠EFB=65°，则∠AED ′=_________. 17、如图,在四边形ABCD 中，AD//BC ，BC>AD ，∠B 与∠C 互余，将AB 、CD 分别平移到EF 和EG 位置，则△EFG 为 三角形，若AD=2㎝，BC=8㎝，则FG= ㎝。 18、如图，把三角形△ABC 绕着点C 顺时针旋转35°，得到△A ′B ′C ，A ′B ′交AC 于点D ，若∠A ′DC ＝90°，则∠A 的度数是＿＿＿． 19、四边形ABCD 为长方形，△ABC 旋转后能与△AEF 重合，旋转中心是点 旋转了多少度 ；连结FC ，则△AFC 是 三角形。 20、 如图，AD 是△ABC 的高 线，且AD ＝2，若将△ABC 及其高线平移到△A ′B ′C ′的位置，则A ′D ′和B ′D ′位置关系是 ，A ′D ′＝ ． 三、作图题 21、作出△ABC 绕点O 逆时针方向旋转90°的图形． 22、如下图，E 是正方形ABCD 中CD 边上任一点，以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90°，在给出图形中画出旋转后的图形，并完成下列填空．（1 ）因为点A 是对称中心，所以它的对应点是 ( )； （2）正方形ABCD 中，AD=AB ，∠DAB=90°， 所以旋转后点D 与点 ( )重合． 23、如图所示，E 、F 分别是△ABC 的边AB 、AC 的两定点，在BC 上求一点M ，使△MEF 的周长最短。 18题图 A ′ A B B ′ C 20题 B D A C B D ′ A C B C E 四、解答题 24、1、如图所示：正方形ABCD 中E 为BC 的中点，将面ABE 旋转后得到△CBF. （1）指出旋转中心及旋转角度．（2）判断AE 与CF 的位置关系． （3）如果正方形的面积为18cm 2，△BCF 的面积为4cm 2 ,问四边形AECD 的面积是多少？ 26、如图：若∠AOD=∠BOC=60°,A 、O 、C 三点在同一条线上，△AOB 与△COD 是能够重合的图形。 求：（1）旋转中心，（2）旋转角度数， （3）图中经过旋转后能重合的三角形共有几对？若A 、O 、C 三点不共线，结论还成立吗？为什么？ （4）求当△BOC 为等腰直角三角形时的旋转角度 （5）若∠A=15°，则求当A 、C 、B 在同一条线上时的旋转角度 27、在△ABC 中，∠B ＝10°，∠ACB ＝20°，AB ＝4cm ，△ABC 逆时针旋转一定角度后与△ADE 重合，且点C 恰好成为AD 中点，如图33，⑴指出旋转中心，并求出旋转的度数。⑵求出∠BAE 的度数和AE 的长． D E C A 28、四边形ABCD 是正方形，△ADF 旋转一定角度后得到△ABE ，如图32所示，如果AF ＝4， AB ＝7，求（1）指出旋转中心和旋转角度（2）求DE 的长度（3）BE 与DF 的位置关系如何？ 一、选择题 1题中如果说“由平移得到的图形也一定可由旋转得到”也是错误的 2题中“经过几次翻折（对称轴有偶数条且平行）后的图形可以看作是经过一次平移得到的”也是正确的 二、填空题 11、O ∠EOB AO=DO ∠AOD=∠BOE ． 12、C 顺时针 90° 13、由图可知，OB 、OD 是对应边，∠BOD 是旋转角，所以，旋转角∠BOD=∠AOD-∠AOB=127°-90°=37度 14、解：∵AD ∥BC ，∠EFB=65°，∴DEF=65°，又∵∠DEF=∠D′EF，∴∠D′EF=65°，∴∠AED ′=50° 15、图形①经过轴对称变换得到图形②；则图形①经过 旋转变换得到图形③；图形①经过 平移变换得到图形④． 16、90 相等 17、直角 6 18、解：∵把△ABC 绕点C 顺时针旋转35°后，得到△A′B′C，∴∠A′CA=35°，而∠A′DC=90°，∴∠A=90°-35°=55°． 19、A 90度 等腰直角 图27 A C D B F E 20、垂直 2 三、作图题 略 四、解答题 24、解：（1）旋转中心是B，旋转角是90°；（2）AE⊥CF．（3）13cm2 25、解：（1）D点是旋转中心，旋转角是90°． （2）对应线段是DE和DG，DC和DA，CE和AG．对应角是∠CDE和∠ADG，∠C和∠DAG，∠DEC和∠G． （3）∵∠FDE=45°，∠ADC=90°，∴∠ADF+∠EDC=90°-45°=45°，∵∠GDF=∠GDA+∠ADF，∠GDA=∠EDC， ∴∠GDF=∠EDC+∠ADF=45°． 26、（1）.O点 (2).60度 (3).3对，成立，因为角AOD为60度，角DOC 为120度，向加180度，所以成立 (4).90度，因为角BOC=角AOD=45度，所以应旋转90度 (5).120度 27、（1）旋转中心是点A，旋转角度是150°（2）：∠ BAE=360°-150°32=60° AC=AE=AB=34=2cm 28、（1）旋转中心为点A；旋转角度为90°或270°（2） DE=AD-AE=7-4=3 （3））∵∠EAF=90°，∠EBA=∠FDA， ∴延长BE与DF相交于点G，则∠GDE+∠DEG=90°， ∴BE⊥DF， 即BE与DF是垂直关系． 因式分解 一. 定义 把一个多项式在一个范围（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式。 二. 分解原则 1、分解必须要彻底（即分解之后因式均不能再做分解） 2、结果最后只留下小括号 3、结果的多项式首项为正。 在一个公式内把其公因子抽出，即 透过公式重组，然后再抽出公因子。 4.括号内的第一个数前面不能为负号； 5.如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。即a （a+b ）的形式。 三.分解方法 1、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 2、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2 =(a+b)(a-b)； (2)(a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 ； (3)(a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2 )； (4)(a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2 )． 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 ； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab-bc-ca)； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且2 2 2 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 3、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-22 例4、分解因式：2 2 2 2c b ab a -+- 练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222--- 综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-2 2 （3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 491262 2 -++- （5）922 3 4 -+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+-- （7）222y yz xz xy x ++-- （8）12222 2++-+-ab b b a a （9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+ （11）abc b a c c a b c b a 2)()()(2 22++++++（12）abc c b a 33 3 3 -++
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