§8.4空间中的垂直关系
1．两条直线互相垂直
定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．
2．直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义：
如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直．
(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论：
3.
(1)平面与平面垂直的定义：
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理：
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α. (×)
(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(√)
(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b. (√)
(4)若α⊥β，a⊥β?a∥α. (×)
(5)a⊥α，a?β?α⊥β. (√) 2．(2013·广东)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是
() A．若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n
B．若α∥β，m?α，n?β，，则m∥n
C．若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
答案 D
解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，m?α，n?β，故C错误；故D正确．
3．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是
() A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，a?α，b?β
C．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α
答案 C
解析对于选项C，在平面α内作c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，也可能是异面直线；D选项中一定有a∥b.
4．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()
A．相交且垂直B．相交但不垂直
C．异面且垂直D．异面但不垂直
答案 C
解析在题图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如题图2，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC. 5．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结
论，写出你认为正确的一个命题：____________________________.
答案可填①③④?②与②③④?①中的一个
题型一直线与平面垂直的判定与性质
例1如图所示，在四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，
AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
思维启迪第(1)问通过DC⊥平面P AC证明；也可通过AE⊥
平面PCD得到结论；第(2)问利用线面垂直的判定定理证明直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直．
证明(1)在四棱锥P—ABCD中，
∵P A⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴P A⊥CD.
∵AC⊥CD，P A∩AC＝A，
∴CD⊥平面P AC.
而AE?平面P AC，∴CD⊥AE.
(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD.
而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.
∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥AB.
又∵AB⊥AD且P A∩AD＝A，
∴AB⊥平面P AD，而PD?平面P AD，
∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，
∴PD⊥平面ABE.
思维升华(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，
判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．
(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，
所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.
由(1)知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.
题型二平面与平面垂直的判定与性质
例2(2013·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，
CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD、
PC的中点．求证：
(1)P A⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面P AD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
思维启迪(1)平面P AD⊥底面ABCD，可由面面垂直的性质证P A⊥底面ABCD；
(2)由BE∥AD可得线面平行；
(3)证明直线CD⊥平面BEF.
证明(1)∵平面P AD∩平面ABCD＝AD.
又平面P AD⊥平面ABCD，且P A⊥AD.
∴P A⊥底面ABCD.
(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
∴AB∥DE，且AB＝DE.
∴四边形ABED为平行四边形．∴BE∥AD.
又∵BE?平面P AD，AD?平面P AD，
∴BE∥平面P AD.
(3)∵AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形．
∴BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知P A⊥底面ABCD，则P A⊥CD，
∴CD⊥平面P AD，从而CD⊥PD，
又E、F分别为CD、CP的中点，
∴EF∥PD，故CD⊥EF.
由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，
∴CD⊥平面BEF.
∴平面BEF⊥平面PCD.
思维升华(1)判定面面垂直的方法：
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．
(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．
在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
(2012·江西)如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E、F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝42，DE＝4.现将△ADE，△CFB 分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.
(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；
(2)求多面体CDEFG的体积．
(1)证明因为DE⊥EF，CF⊥EF，
所以四边形CDEF为矩形．
由GD＝5，DE＝4，得
GE＝GD2－DE2＝3.
由GC ＝42，CF ＝4，得FG ＝GC 2－CF 2＝4， 所以EF ＝5.
在△EFG 中，有EF 2＝GE 2＋FG 2， 所以EG ⊥GF .
又因为CF ⊥EF ，CF ⊥FG ，所以CF ⊥平面EFG . 所以CF ⊥EG ，所以EG ⊥平面CFG .
又EG ?平面DEG ，所以平面DEG ⊥平面CFG .
(2)解 如图，在平面EGF 中， 过点G 作GH ⊥EF 于点H ， 则GH ＝EG ·GF EF ＝12
5
.
因为平面CDEF ⊥平面EFG ， 所以GH ⊥平面CDEF ，
所以V 多面体CDEFG ＝1
3S 矩形CDEF ·GH ＝16.
题型三 直线、平面垂直的综合应用
例3 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，
AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5. (1)设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面P AD ； (2)求四棱锥P —ABCD 的体积．
思维启迪 (1)因为两平面垂直与M 点位置无关，所以在平面MBD 内一定有一条直线垂直于平面P AD ，考虑证明BD ⊥平面P AD . (2)四棱锥底面为一梯形，高为P 到面ABCD 的距离． (1)证明 在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45， ∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD .
又∵面P AD ⊥面ABCD ，面P AD ∩面ABCD ＝AD ， BD ?面ABCD ，∴BD ⊥面P AD .
又BD ?面MBD ， ∴面MBD ⊥面P AD . (2)解 过P 作PO ⊥AD ， ∵面P AD ⊥面ABCD ， ∴PO ⊥面ABCD ，
即PO 为四棱锥P —ABCD 的高． 又△P AD 是边长为4的等边三角形， ∴PO ＝2 3.
在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ， ∴四边形ABCD 为梯形．
在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝85
5，
此即为梯形的高． ∴S 四边形ABCD ＝
25＋452×85
5
＝24. ∴V P —ABCD ＝1
3×24×23＝16 3.
思维升华 垂直关系综合题的类型及解法
(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化． (2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用． (3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积．
(2013·江西)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB
＝2，AD ＝2，AA 1＝3，E 为CD 上一点，DE ＝1，EC ＝3.
(1)证明：BE ⊥平面BB 1C 1C ； (2)求点B 1到平面EA 1C 1的距离．
(1)证明 过B 作CD 的垂线交CD 于F ，则 BF ＝AD ＝2，EF ＝AB －DE ＝1，FC ＝2. 在Rt △BFE 中，BE ＝ 3. 在Rt △CFB 中，BC ＝ 6.
在△BEC 中，因为BE 2＋BC 2＝9＝EC 2， 故BE ⊥BC .
由BB 1⊥平面ABCD 得BE ⊥BB 1， 所以BE ⊥平面BB 1C 1C .
(2)解 三棱锥E －A 1B 1C 1的体积 V ＝1
3
AA 1·111A B C S ＝ 2. 在Rt △A 1D 1C 1中，A 1C 1＝A 1D 21＋D 1C 21＝3 2.
同理，EC 1＝EC 2＋CC 21＝32， A 1E ＝A 1A 2＋AD 2＋DE 2＝2 3.
故11A C E
S
?＝3 5.
设点B 1到平面A 1C 1E 的距离为d ， 则三棱锥B 1－A 1C 1E 的体积 V ＝13·d ·11A C E S ?＝5d ，
从而5d ＝2，d ＝
105
.
立体几何证明问题中的转化思想
典例：(12分)如图所示，M ，N ，K 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的
棱AB ，CD ，C 1D 1的中点． 求证：(1)AN ∥平面A 1MK ； (2)平面A 1B 1C ⊥平面A 1MK .
思维启迪 (1)要证线面平行，需证线线平行．(2)要证面面垂直，
需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直． 规范解答
证明 (1)如图所示，连接NK . 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，
∵四边形AA 1D 1D ，DD 1C 1C 都为正方形，
∴AA 1∥DD 1，AA 1＝DD 1，C 1D 1∥CD ，C 1D 1＝CD .[2分] ∵N ，K 分别为CD ，C 1D 1的中点， ∴DN ∥D 1K ，DN ＝D 1K ， ∴四边形DD 1KN 为平行四边形．
[3分]
∴KN ∥DD 1，KN ＝DD 1， ∴AA 1∥KN ，AA 1＝KN .
∴四边形AA 1KN 为平行四边形．∴AN ∥A 1K .
[4分]
∵A 1K ?平面A 1MK ，AN ?平面A 1MK ， ∴AN ∥平面A 1MK .
[6分]
(2)如图所示，连接BC 1.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， AB ∥C 1D 1，AB ＝C 1D 1.
∵M ，K 分别为AB ，C 1D 1的中点，∴BM ∥C 1K ，BM ＝C 1K . ∴四边形BC 1KM 为平行四边形．∴MK ∥BC 1.
[8分]
在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ， BC 1?平面BB 1C 1C ，∴A 1B 1⊥BC 1. ∵MK ∥BC 1，∴A 1B 1⊥MK .
∵四边形BB 1C 1C 为正方形，∴BC 1⊥B 1C .
[10分]
∴MK ⊥B 1C .∵A 1B 1?平面A 1B 1C ，B 1C ?平面A 1B 1C ，A 1B 1∩B 1C ＝B 1，∴MK ⊥平面A 1B 1C .又∵MK ?平面A 1MK ， ∴平面A 1B 1C ⊥平面A 1MK .
[12分]
温馨提醒 (1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；
(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等； (3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.
方法与技巧
1． 证明线面垂直的方法
(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直?a ⊥α； (2)判定定理1：
????
?m 、n ?α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ?l ⊥α； (3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α?b ⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a ⊥α?a ⊥β；
(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ?α，a ⊥l ?a ⊥β. 2． 证明线线垂直的方法
(1)定义；
(2)平面几何中证明线线垂直的方法； (3)线面垂直的性质：a ⊥α，b ?α?a ⊥b ； (4)线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α?a ⊥b . 3． 证明面面垂直的方法
(1)利用定义；
(2)判定定理：a ?α，a ⊥β?α⊥β. 4． 转化思想：垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．
失误与防范
1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．
2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．
A组专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1．已知m是平面α的一条斜线，点A?α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是()
A．l∥m，l⊥αB．l⊥m，l⊥α
C．l⊥m，l∥αD．l∥m，l∥α
答案 C
解析设m在平面α内的射影为n，当l⊥n且与α无公共点时，l⊥m，
l∥α.
2. 如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中
点，PM垂直于△ABC所在平面，那么()
A．P A＝PB>PC
B．P A＝PB C．P A＝PB＝PC D．P A≠PB≠PC 答案 C 解析∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形， ∴BM＝AM＝CM， 又PM⊥平面ABC， ∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC， 故P A＝PB＝PC. 3．在空间内，设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是() A．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γ B．l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m C．α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，若l∥m，则l∥n D．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β 答案 D 解析对于A，∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，∴该命题是真命题； 对于B，∵如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，∴该命题是真命题； 对于C，∵如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，∴该命题是真命题； 对于D，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，∴D 是假命题．综上所述，选D. 4．正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于() A．A′C′B．BD C．A′D′D．AA′ 答案 B 解析连接B′D′， ∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′， ∴B′D′⊥平面CC′E. 而CE?平面CC′E， ∴B′D′⊥CE. 又∵BD∥B′D′， ∴BD⊥CE. 5. 如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O， 且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥ PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC 的长，其中正确的是() A．①②B．①②③ C．①D．②③ 答案 B 解析对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC， ∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面P AC， 又PC?平面P AC，∴BC⊥PC； 对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥P A， ∵P A?平面P AC，∴OM∥平面P AC； 对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离，故①②③都正确． 二、填空题 6．已知P为△ABC所在平面外一点，且P A、PB、PC两两垂直，则下列命题： ①P A⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC. 其中正确的个数是________． 答案 3 解析如图所示．∵P A⊥PC、P A⊥PB，PC∩PB＝P， ∴P A⊥平面PBC. 又∵BC?平面PBC， ∴P A⊥BC. 同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC. 7．在正三棱锥P－ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB； ②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________． 答案①② 解析如图，∵P－ABC为正三棱锥， ∴PB⊥AC； 又∵DE∥AC，DE?平面PDE，AC?平面PDE， ∴AC∥平面PDE.故①②正确． 8．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号) 答案②④ 解析若m⊥α，α∥β，则m⊥β. 三、解答题 9．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥ BC，AD＝2，AB＝3，BC＝BE＝7，△DCE是边长为6的正三角形． (1)求证：平面DEC⊥平面BDE； (2)求点A到平面BDE的距离． (1)证明因为四边形ABCD为直角梯形， AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝3，所以BD ＝13， 又因为BC ＝7，CD ＝6，所以根据勾股定理可得BD ⊥CD ， 因为BE ＝7，DE ＝6，同理可得BD ⊥DE . 因为DE ∩CD ＝D ，DE ?平面DEC ，CD ?平面DEC ， 所以BD ⊥平面DEC .因为BD ?平面BDE ， 所以平面DEC ⊥平面BDE . (2)解 如图，取CD 的中点O ，连接OE ， 因为△DCE 是边长为6的正三角形， 所以EO ⊥CD ，EO ＝33， 易知EO ⊥平面ABCD ， 则V E －ABD ＝13×1 2 ×2×3×33＝33， 又因为直角三角形BDE 的面积为1 2×6×13＝313， 设点A 到平面BDE 的距离为h ，则由V E －ABD ＝V A －BDE ， 得13×313h ＝33，所以h ＝33913， 所以点A 到平面BDE 的距离为33913 . 10．(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ， E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ， F 为B 1C 1的中点． 求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2)直线A 1F ∥平面ADE . 证明 (1)因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC .又AD ?平面ABC ，所以CC 1⊥AD . 又因为AD ⊥DE ，CC 1，DE ?平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1.又AD ?平面ADE ， 所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1. (2)因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点， 所以A 1F ⊥B 1C 1. 因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ?平面A 1B 1C 1， 所以CC 1⊥A 1F . 又因为CC 1，B 1C 1?平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1， 所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1. 由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，所以A 1F ∥AD . 又AD ?平面ADE ，A 1F ?平面ADE ， 所以A 1F ∥平面ADE . B 组 专项能力提升 (时间：30分钟) 1． 已知平面α与平面β相交，直线m ⊥α，则 ( ) A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直 B ．β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直 C ．β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直 D ．β内必存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直 答案 C 解析 如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a 平行，则有m 与之垂直．但却不一定在β内有与m 平行的直线，只有当α⊥β时才存在． 2． (2012·江苏)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝ 3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为________ cm 3. 答案 6 解析 连接AC 交BD 于O ，在长方体中， ∵AB ＝AD ＝3，∴BD ＝32且AC ⊥BD . 又∵BB 1⊥底面ABCD ，∴BB 1⊥AC . 又DB ∩BB 1＝B ， ∴AC ⊥平面BB 1D 1D ， ∴AO 为四棱锥A －BB 1D 1D 的高且AO ＝12BD ＝32 2. ∵11BB D D S 矩形＝BD ×BB 1＝32×2＝62， ∴11A BB D D V ＝1 311BB D D S 矩形·AO ＝13×62×322 ＝6(cm 3)． 3． 如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ， P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC； ③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°. 其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)． 答案①④ 解析由P A⊥平面ABC，AE?平面ABC，得P A⊥AE， 又由正六边形的性质得AE⊥AB，P A∩AB＝A， 得AE⊥平面P AB， 又PB?平面P AB，∴AE⊥PB，①正确； ∵平面P AD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错； 由正六边形的性质得BC∥AD， 又AD?平面P AD，BC?平面P AD，∴BC∥平面P AD， ∴直线BC∥平面P AE也不成立，③错； 在Rt△P AD中，P A＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°， ∴④正确． 4. 如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝ 2，等边三角形ADB以AB为轴转动． (1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长； (2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论． 解(1)取AB的中点E，连接DE，CE. ∵△ADB是等边三角形，∴DE⊥AB. 当平面ADB⊥平面ABC时， ∵平面ADB∩平面ABC＝AB， ∴DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE. 由已知可得DE＝3，EC＝1. 在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2. (2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下： ①当D在平面ABC内时，∵AC＝BC，AD＝BD， ∴C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD. ②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE. 又∵AC＝BC，∴AB⊥CE. 又DE，CE为相交直线，∴AB⊥平面CDE. 由CD?平面CDE，得AB⊥CD. 综上所述，总有AB⊥CD. 5．如图1所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.点E、F分别在边CD、CB上， 点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED，如图2所示． (1)求证：BD⊥平面POA； (2)当PB取得最小值时，求四棱锥P－BDEF的体积． (1)证明因为菱形ABCD的对角线互相垂直， 所以BD⊥AC.所以BD⊥AO. 因为EF⊥AC，所以PO⊥EF. 因为平面PEF⊥平面ABFED， 平面PEF∩平面ABFED＝EF，且PO?平面PEF， 所以PO⊥平面ABFED. 因为BD?平面ABFED，所以PO⊥BD. 因为AO∩PO＝O，所以BD⊥平面POA. (2)解设AO∩BD＝H. 因为∠DAB＝60°，所以△BDC为等边三角形． 故BD＝4，HB＝2，HC＝2 3. 设PO＝x，则OH＝23－x，OA＝43－x. 连接PH，OB，由OH⊥BD，得OB2＝(23－x)2＋22. 又由(1)知PO⊥平面BFED，则PO⊥OB. 所以PB＝OB2＋OP2＝(23－x)2＋22＋x2 ＝2(x－3)2＋10. 当x＝3时，PB min＝10，此时PO＝3＝OH， 所以V四棱锥P－BDEF＝1 3×S梯形BDEF×PO＝ 1 3×( 3 4×4 2－3 4×2 2)×3＝3. （第4题） 江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试试题 参考公式：柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 为柱体的底面积，h 为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则U A =e ▲ ． 2． 已知复数12i 3 4i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若 1 2 z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3． 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图所示， 则成绩不低于60分的人数为 ▲ ． 4． 如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为 ▲ ． 5． 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积 大于32 cm 2 的概率为 ▲ ． 6． 在ABC △中，已知145AB AC B ===?，，则BC 的长为 ▲ ． 成绩/分 （第3题） 7． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2 2 13 y x -=有公共的渐近线，且经过点 () 23P -，，则双曲线C 的焦距为 ▲ ． 8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点 (12)A ，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为 ▲ ． 9． 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为 ▲ ． 10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为 ▲ ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组3330330x x y x y ?? -+?? ++?≤， ≥，≥表示的平面区域 内，则面积最大的圆C 的标准方程为 ▲ ． 12．设函数31e 02()320x x f x x mx x -?->?=??--?≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数 m 的取值范围是 ▲ ． 13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ?u u u r u u u r 的值为 ▲ ． 14．已知a 为常数，函数22 ()1x f x a x x = ---的最小值为23-，则a 的所有值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．． 内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ，() 312=-，c ． （1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值； （2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值． 16．（本小题满分14分） 如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异于 端点），且∠ABE ∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1． 求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ； A B C F E 南通市2021届高三第一次调研测试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}26A x x =∈< 位：h ）近似满足锤子数学函数关系式0 (1e )kt k x k -= -，其中0,k k 分别称为给药速率和药物消除速率（单位：mg/h ）.经测试发现，当23t =时，0 2k x k =，则该药物的消除速率k 的值约为(ln 20.69)≈ A ． 3100 B ． 310 C ． 103 D ． 100 3 【答案】A 5．(12)n x -的二项展开式中，奇数项的系数和为 A ．2n B ．12n - C ．(1)32n n -+ D ．(1)32 n n -- 【答案】C 6．函数sin 21 x y x π=-的图象大致为 【答案】D 7．已知点P 是ABC ?所在平面内一点，有下列四个等式： 甲：PA PB PC ++=0； 乙：()()PA PA PB PC PA PB ?-=?-； 丙：PA PB PC ==； 丁：PA PB PB PC PC PA ?=?=?. [考纲要求] 1.了解物质的量的单位——摩尔(mol)、摩尔质量、气体摩尔体积、物质的量浓度、阿伏加德罗常数的含义。2.了解相对原子质量、相对分子质量的定义,并能进行有关计算。 3.理解质量守恒定律的含义。 4.能根据物质的量与微粒(原子、分子、离子等)数目、气体体积(标准状况下)之间的相互关系进行有关计算。 5.了解溶液的含义。 6.了解溶解度、饱和溶液的概念。 7.了解溶液的组成,理解溶液中溶质的质量分数的概念,并能进行有关计算。 8.了解配制一定溶质质量分数、物质的量浓度溶液的方法。 (一)洞悉陷阱设置,突破阿伏加德罗常数应用 题组一气体摩尔体积的适用条件及物质的聚集状态 1.正误判断,正确的划“√”,错误的划“×”。 (1)2.24 L CO2中含有的原子数为0.3N A(×) (2)常温下,11.2 L甲烷气体含有的甲烷分子数为0.5N A(×) (3)标准状况下,22.4 L己烷中含共价键数目为19N A(×) (4)常温常压下,22.4 L氯气与足量镁粉充分反应,转移的电子数为2N A(×) (5)标准状况下,2.24 L HF含有的HF分子数为0.1N A(×) 突破陷阱 抓“两看”,突破“状态、状况”陷阱 一看“气体”是否处于“标准状况”。 二看“标准状况”下,物质是否为“气体”(如CCl4、H2O、Br2、SO3、HF、己烷、苯等在标准状况下不为气体)。 题组二物质的量或质量与状况 2.正误判断,正确的划“√”,错误的划“×”。 (1)常温常压下,3.2 g O2所含的原子数为0.2N A(√) (2)标准标况下,18 g H2O所含的氧原子数目为N A(√) (3)常温常压下,92 g NO2和N2O4的混合气体中含有的原子数为6N A(√) 突破陷阱 南通市2013届高三第一次调研测试数学I （考试时间：120分钟满分：160分） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位 置上． 1．已知全集U=R，集合{} 10 A x x =+>，则 U A= e ▲． 答案：(,1] -∞-． 2．已知复数z=32i i -(i是虚数单位)，则复数z所对应的点位于复平面的第▲象限． 答案：三． 3．已知正四棱锥的底面边长是6 ，这个正四棱锥的侧面积是▲． 答案：48. 4．定义在R上的函数() f x，对任意x∈R都有(2)() f x f x +=，当(2,0) x∈-时，()4x f x=， 则(2013) f=▲． 答案：1 4 ． 5．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q的▲．（从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空）答案：否命题． 6．已知双曲线 2 2 22 1 y x a b -=的一个焦点与圆x2+y2－10x=0的圆心重合， ，则该双曲线的标准方程为▲． 答案： 2 2 1 y x-=． 7．若S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=－36，S13=－104，则a5与a7的等比中项为▲． 答案 ：± 8．已知实数x∈[1，9]，执行如右图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为▲． 答案：3 8 ． 9．在△ABC中，若AB=1，AC |||| AB AC BC += ，则 || BA BC BC ? = ▲． A B C D E F A 1 B 1 C 1 (第15题) 答案：12 ． 10．已知01a <<，若log (21)log (32)a a x y y x -+>-+，且x y <+λ，则λ的最大值为 ▲ ． 答案：－2． 11．曲线2(1)1 ()e (0)e 2x f f x f x x '= -+在点(1，f (1))处的切线方程为 ▲ ． 答案：1 e 2 y x =- ． 12．如图，点O 为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅 为3cm ，周期为3s ，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体5s 时刻的位移为 ▲ cm ． 答案：－1.5． 13．已知直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x 上， 且PA =PB ,则0x 的取值范围为 ▲ ． 答案：(1,0)(0,2)- ． 14．设P (x ，y )为函数21y x =-(x 图象上一动点，记3537 12 x y x y m x y +-+-= + --，则当m 最小时，点 P 的坐标为 ▲ ． 答案：(2，3)． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的 位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分) 如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是侧面AA 1B 1B 对角线的交点，F 是侧面AA 1C 1C 对角线的交点，D 是棱BC 的中点．求证： （1）//EF 平面ABC ； （2）平面AEF ⊥平面A 1AD ． 解：（1）连结11A B A C 和． 因为E F 、分别是侧面11AA B B 和侧面11AA C C 的对角线的交点， 所以E F 、分别是11A B A C 和的中点． 所以//EF BC ． ……………………………………………3分 又BC ?平面ABC 中，EF ?平面ABC 中， 故//EF 平面ABC ． …………………………………6分 (第12题) O A B C D E F A 1 B 1 C 1 (第15题) [高考关键词] 1.标准与分类、俗名与物质类别。2.变化——物理变化、化学变化。3.化学用语——化学式、电子式、结构式、方程式。4.古文中蕴含的化学知识。 1．有下列10种物质：①明矾②消石灰③小苏打 ④SiO2⑤氯水⑥蛋白质溶液⑦生石灰 ⑧Na2O2⑨漂白粉⑩淀粉 (1)属于纯净物的是________，属于碱性氧化物的是________，属于酸式盐的是________，属于离子化合物的是________。 (2)属于混合物的是________，其中属于溶液的是__________，其中属于胶体的是__________。 答案(1)①②③④⑦⑧⑦③①②③⑦⑧ (2)⑤⑥⑨⑩⑤⑥ 2．下列变化中属于化学变化的是________。 ①煤的干馏②蒸馏③重油裂化④煤的气化 ⑤焰色反应⑥钝化⑦电镀⑧胶体聚沉⑨氧气转化为臭氧⑩137I转变为131I 答案①③④⑥⑦⑨ 3．按要求用化学用语表示下列物质。 (1)乙烯的结构式：________，结构简式：________。 (2)Na2O2、H2O2、HClO的电子式________________、____________、 ____________。 (3)MgCl2、NaOH、NaH的电子式________________、____________、 ____________。 答案(1)CH2===CH2 (2) (3) 4．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”。 (1)物质发生化学变化时，物质的总能量和总质量保持不变( ) (2)电解质溶液导电时，必然伴随着化学变化( ) (3)H2SO4、SO2、CH3COOH、NH3·H2O均为共价化合物( ) (4)因为Fe2O3是金属氧化物，所以它能与水反应生成碱( ) (5)非金属氧化物不一定是酸性氧化物，但酸性氧化物一定是非金属氧化物( ) (6)Al2O3可与盐酸和氢氧化钠反应，SiO2可与氢氟酸和氢氧化钠反应，因而二者均属于两性氧化物( ) (7)铁粉加入FeCl3溶液中的反应既属于化合反应，又属于离子反应，还属于氧化还原反应( ) 答案(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×(6)×(7)√ 2016年江苏南通市高三一模数学试卷 一、填空题（共14小题；共70分） 1. 已知集合，，那么 ______． 2. 若复数满足，则的值为______． 3. 若从，，，这四个数中一次随机地取两个数，则所取两个数的乘积是偶数的概率为______． 4. 运行如图所示的伪代码，其输出的结果的值为______． S←0 I←0 While S≤10 S←S+I^2 I←I+1 End While Print S 5. 为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了户家庭的月消费金额（单位：元）， 所有数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则被调查的户家庭中，有______ 户的月消费额在元以下． 6. 已知等比数列的前项和为，若，，则的值为______． 7. 在平面直角坐标系中，已知双曲线过点，其一条渐近线的 方程为，那么该双曲线的方程为______． 8. 若正方体的棱长为，是棱的中点，则三棱锥的体积为 ______． 9. 若函数为奇函数，则的值为______． 10. 已知，那么的值为______． 11. 在平面直角坐标系中，已知点，．若直线上存在点使得 ．则实数的取值范围是______． 12. 在边长为的正三角形中，若，，与交于点，则的 值为______． 13. 在平面直角坐标系中，直线与曲线和均相切，切点分别为 和，则的值为______． 14. 已知函数．若对于任意的，都有成立，则 的最大值是______． 二、解答题（共6小题；共78分） 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 16. 如图，在直四棱柱中，底面是菱形，是的中点． （1）求证：； （2）求证： 平面． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线：与椭圆相交于，两点（异于点），线段被轴平分，且，求直线的方程． 18. 如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以为圆心、半径为的半圆面．公 路经过点，且与直径垂直．现计划修建一条与半圆相切的公路（点在直径的延长线上，点在公路上），为切点． （1）按下列要求建立函数关系： ①设（单位：），将的面积表示为的函数； 章末检测卷(三) (时间：90分钟满分：100分) 一、选择题(本题包括15小题，每小题3分，共45分。每小题只有一个选项符合题意) 1.将固体X投入过量的Y中，能生成白色沉淀并放出一种无色气体，该气体能燃烧，不易溶于水，则X和Y分别可能是() A.钠和氯化铝溶液 B.铝和烧碱溶液 C.过氧化钠和氯化亚铁 D.锌和稀硫酸 答案 A 解析Na与水反应生成NaOH和H2，NaOH与过量的AlCl3溶液反应生成白色沉淀Al(OH)3，A正确；2Al＋2NaOH＋2H2O===2NaAlO2＋3H2↑，无沉淀生成，B错误；2Na2O2＋2H2O===4NaOH＋O2↑，NaOH与过量FeCl2溶液反应，生成Fe(OH)2白色沉淀，然后迅速变成灰绿色，最终变为红褐色沉淀，C错误；Zn＋H2SO4===ZnSO4＋H2↑，无沉淀生成，D 错误。 2.下列说法错误的是() A.钠在空气中燃烧最后所得产物为Na2O2 B.镁因在空气中形成了一薄层致密的氧化膜，保护了里面的镁，故镁不需要像钠似的进行特殊保护 C.铝制品在生活中非常普遍，这是因为铝不活泼 D.铁在潮湿的空气中因生成的氧化物很疏松，不能保护内层金属，故铁制品往往需涂保护层答案 C 解析铝因易与O2反应生成致密的氧化物保护膜而耐腐蚀，我们日常用的铝制品常采用特殊工艺将氧化膜变厚，保护作用更好，并不是铝不活泼。 3.下列反应，其产物的颜色按红色、红褐色、淡黄色、蓝色顺序排列的是() ①金属钠在纯氧中燃烧②FeSO4溶液中滴入NaOH溶液并在空气中放置一段时间 ③FeCl3溶液中滴入KSCN溶液④无水硫酸铜放入医用酒精中 A.②③①④ B.③②①④ C.③①②④ D.①②③④ 答案 B 解析Na2O2、Fe(OH)3、Fe(SCN)3、CuSO4·5H2O的颜色分别是淡黄色、红褐色、红色、蓝色。 2017届高三一模考试 数学试题Ⅰ 一：填空题 1．函数)3 3sin(2π - =x y 的最小正周期为_________。 2．设集合}3{},5,2{},3,1{=+==B A a B A ，则B A =____________。 3．复数2 )21(i z +=，其中i 为虚数单位，则z 的实部为_______。 4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球。摸出红球 的概率为0.48，摸出黄球的概率是0.35，则摸出蓝球的概率 为___________。 5．如图是一个算法流程图，则输出的n 的值为__________。 6．若实数y x ,满足???? ???≥≥≤+≤+0 07342y x y x y x ，则y x z 23+=的最大值为______。 7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分）， 则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为________。 8．如图，在正四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中，AB=3cm ，AA 1=1cm ， 则三棱锥D 1 – A 1BD 的体积为___________cm 3 。 9．在平面直角坐标系xOy 中，直线02=+y x 为双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的一条渐近线，则该双 曲线的离心率为______________。 10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为___________升。 11．在ABC ?中，若?=?+?2，则 C A sin sin 的值为___________。 12．已知两曲线)2 ,0(,cos )(,sin 2)(π ∈==x x a x g x x f 相交于点P 。若两曲线在点P 处的切线互相垂直， 则实数a 的值为______________。 13．已知函数|4|||)(-+=x x x f ，则不等式)()2(2 x f x f >+的解集用区间表示为__________。 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆42 2 =+y x 上两点，点)1,1(A ，且AC AB ⊥，则线段BC 的长的取值围是_____________。 二：解答题 15．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆 交于点A ，以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，5 5 2= AB 。 （1）求βcos 的值； （2）若点A 的横坐标为13 5 ，求点B 的坐标。 (2)化合物C 在一定条件下可发生分子间成环反应生成含3个六元环的有机物，其化学方程式 为 。 (3)写出1种满足下列条件的 B 的同分异构体的结构简式： (任写1种)。 ①含有两个—NH 2的芳香族化合物；②核磁共振氢谱有三种吸收峰。 (4)结合上述流程写出以乙醇为有机原料制备的合成路线流程图(无机试剂 任选)。 答案(1)2-氯苯甲醛(或邻氯苯甲醛) (2) (3) (4)CH 3CH 2OH ――→O 2/Cu △CH 3CHO ――→NaCN NH 4Cl ―――→ H ＋ /H 2O ―――→ 一定条件 B 组 1．(2018·广东江门高考模拟)槟榔碱在医疗上常用于治疗青光眼，其中一种合成路线如下： (2)化合物C 在一定条件下可发生分子间成环反应生成含3个六元环的有机物，其化学方程式 为 。 (3)写出1种满足下列条件的 B 的同分异构体的结构简式： (任写1种)。 ①含有两个—NH 2的芳香族化合物；②核磁共振氢谱有三种吸收峰。 (4)结合上述流程写出以乙醇为有机原料制备的合成路线流程图(无机试剂 任选)。 答案(1)2-氯苯甲醛(或邻氯苯甲醛) (2) (3) (4)CH 3CH 2OH ――→O 2/Cu △CH 3CHO ――→NaCN NH 4Cl ―――→ H ＋ /H 2O ―――→ 一定条件 B 组 1．(2018·广东江门高考模拟)槟榔碱在医疗上常用于治疗青光眼，其中一种合成路线如下： (2)化合物C 在一定条件下可发生分子间成环反应生成含3个六元环的有机物，其化学方程式 为 。 (3)写出1种满足下列条件的 B 的同分异构体的结构简式： (任写1种)。 ①含有两个—NH 2的芳香族化合物；②核磁共振氢谱有三种吸收峰。 (4)结合上述流程写出以乙醇为有机原料制备的合成路线流程图(无机试剂 任选)。 答案(1)2-氯苯甲醛(或邻氯苯甲醛) (2) (3) (4)CH 3CH 2OH ――→O 2/Cu △CH 3CHO ――→NaCN NH 4Cl ―――→ H ＋ /H 2O ―――→ 一定条件 B 组 1．(2018·广东江门高考模拟)槟榔碱在医疗上常用于治疗青光眼，其中一种合成路线如下： 南通市2017届高三最后一卷 数 学 2017.05 注意事项： 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．． 上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．． 上． 1．已知集合{}|11=-<≤A x x ，{}|02=<≤B x x ，则=U A B ▲ ． 2．设复数()2 2=+z i （i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ． 3．根据如图所示的伪代码，当输入x 的值为e （e 为自然对数的底数）时，则输出的y 的值为 ▲ ． 4．甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，则平均数较小的一组数为 ▲ ．（选填“甲”或“乙”） 5． 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A=75°，B=45°， c=b 的值为 ▲ ． 6．口袋中有形状大小都相同的2只白球和1只黑球. 先从口袋中摸出1 只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出一只球，则出现“1只白球，1只黑球”的概率为 ▲ ． 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线的渐进线方程为=±y x ，且它的一个焦点与抛物线28=x y 的焦点重合，则该双曲线的方程为 ▲ ． 8．已知函数()=y f x 是定义在()(),00,-∞+∞U 上的奇函数，且当(),0∈-∞x 时，()12=-x f x ，则当()0,∈+∞x 时，()f x 的解析式为()f x = ▲ ． 9．一个封闭的正三棱柱容器，高为8，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面与各棱交点E 、F 、F 1 、E 1，分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 ▲ ． 10．如图，△ABC 中，M 是中线AD 的中点，若2=u u u r AB ，3=u u u r AC ，0 60∠=BAC ， 则?u u u u r u u u u r AM BM 的值为 ▲ ． （第3题图） 8 1 9 9 1 2 3 7 甲 乙 （第4题图） 2 5 3 3 5 [考纲要求] 1.了解分子、原子、离子和原子团等概念的含义。2.理解物理变化与化学变化的区别与联系。3.理解混合物和纯净物、单质和化合物、金属和非金属的概念。4.理解酸、碱、盐、氧化物的概念及其相互联系。5.了解电解质的概念,了解强电解质和弱电解质的概念。6.理解电解质在水中的电离以及电解质溶液的导电性。7.了解胶体是一种常见的分散系,了解溶液和胶体的区别。 考点一把握分类标准理清物质类别 1.依据标准对物质进行分类 (1)把以下物质按要求分类：H2,CaO,Ba(OH)2,Fe2O3,Al,浑浊的河水,CH3CH2OH,NaHSO4,Cu(OH)2,HNO3,H2SO4,CO2,H3PO4,NaOH,CuSO4,空气,CO,CH4,MgCl2,H2CO3,MgSO4。 ①属于单质的是：____________________________________; ②属于有机化合物的是：______________________________; ③属于氧化物的是：__________________________________; ④属于酸的是：______________________________________; ⑤属于碱的是：______________________________________; ⑥属于盐的是：______________________________________; ⑦属于混合物的是：__________________________________。 答案①H2、Al②CH4、CH3CH2OH③CaO、Fe2O3、CO2、CO④HNO3、H2SO4、H3PO4、H2CO3⑤Cu(OH)2、Ba(OH)2、NaOH⑥NaHSO4、CuSO4、MgCl2、MgSO4⑦浑浊的河水、空气 (2)正误判断,正确的划“√”,错误的划“×” ①由同种元素组成的物质一定是纯净物() ②强碱一定是离子化合物,盐也一定是离子化合物() ③碱性氧化物一定是离子化合物,金属氧化物不一定是碱性氧化物() ④酸性氧化物不一定是非金属氧化物,非金属氧化物也不一定是酸性氧化物() ⑤能电离出H＋的一定是酸,呈酸性的溶液一定是酸溶液() ⑥在酸中有几个H原子就一定是几元酸() ⑦能导电的物质不一定是电解质() ⑧纯碱属于盐,不属于碱() ⑨PM2.5分散在空气中形成气溶胶() ⑩离子化合物均属于电解质,共价化合物均属于非电解质() 答案①×②×③√④√⑤×⑥×⑦√⑧√⑨×⑩× 2.识记常见混合物的成分与俗名 (1)水煤气：主要成分是CO、H2。 (2)天然气(沼气)：主要成分是CH4。 (3)液化石油气：以C3H8、C4H10为主。 (4)裂解气：以乙烯、丙烯、甲烷为主。 (5)水玻璃：Na2SiO3的水溶液。 (6)王水：浓盐酸与浓硝酸的混合物(体积比3∶1)。 (7)波尔多液：主要成分是CuSO4和Ca(OH)2。 (8)肥皂：主要成分是高级脂肪酸钠。 (9)碱石灰：NaOH和CaO的混合物。 (10)铝热剂：铝粉和高熔点的金属氧化物的混合物。 (11)漂白粉：Ca(ClO)2和CaCl2的混合物。 3.一种重要的混合物——胶体 (1)胶体与其他分散系的本质区别是分散质粒子的直径的大小(1～100 nm),胶体的特性是丁达 数学Ⅰ参考答案与评分标准 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，则 U A = ▲ ． 【答案】{3，5}． 2． 已知复数1z 13i =+，2z 3i =+(i 为虚数单位)．在复平面内，12z z -对应的点在第 ▲ 象限． 【答案】二． 3． 命题：“x ?∈R ，0x ≤”的否定是 ▲ ． 【答案】x ?∈R ，||0x >． 4． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =上横坐标为1的点到其焦点的距离为 ▲ ． 【答案】3． 5． 设实数x ，y 满足0 0 3 24 x y x y x y ???? +??+?≤≤≥，≥，， ， 则32z x y =+的最大值是 ▲ ． 【答案】7． 6． 如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的 值是 ▲ ． 【答案】32 -． 7． 抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下： 则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为 ▲ （填甲或乙）． 【答案】乙． 8． 已知正三棱锥的侧棱长为1．现从该正三棱锥的六条棱中随机选取 两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 ▲ ． 【答案】25 ． 9． 将函数()()sin 2f x x ?=+()0?<<π的图象上所有点向右平移π6 个单位后得到的图象关于原点 对称，则?等于 ▲ ． 【答案】π3 ． （第6题） 10．等比数列{a n }的首项为2，公比为3，前n 项和为S n ．若log 3［12a n (S 4m +1)］=9，则1n +4 m 的最小值 是 ▲ ． 【答案】52 ． 11．若向量()cos sin αα=， a ，()cos sin ββ=， b ，且2+?≤a b a b ，则cos()αβ-的值是 ▲ ． 【答案】1． 12．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+是曲线ln y a x =的切线，则当a ＞0时，实数b 的最小 值是 ▲ ． 【答案】1-． 13．已知集合M ={(,)|3x y x -≤y ≤1}x -，N ={|P PA ,(1,0),(1,0)}A B -，则表示M ∩N 的图形 面积等于 ▲ ． 【答案】43 π+ 14．若函数2()2014(0)f x ax x a =++>对任意实数t ，在闭区间[1 1]t t -+，上总存在两实数1x 、2x ， 使得12|()()|f x f x -≥8成立，则实数a 的最小值为 ▲ ． 【答案】8． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分) 如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，1AB BC ⊥，且1AA AB =． （1）求证：AB ∥平面11D DCC ； （2）求证：1AB ⊥平面1A BC ． （1）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ， AB ?平面11D DCC ， CD ?平面11D DCC ， 所以//AB 平面11D DCC ． ……………………………………………………………………6分 （2）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形11A ABB 为平行四边形，又1AA AB =， 故四边形11A ABB 为菱形． 从而11AB A B ⊥．…………………………………………………………………………… 9分 A 1 B 1 C 1 C D A B D 1 （第15题） 【步步高学案导学设计】2014-2015学年高中化学第一章化学反应 与能量复习课新人教版选修4 1．下列对化学反应热现象的说法正确的是( ) A．放热反应发生时不必加热 B．化学反应一定有能量变化 C．一般地说，吸热反应加热后才能发生 D．化学反应的热效应数值与参加反应的物质的多少无关 答案 B 解析本题旨在考查化学反应的能量变化规律及发生条件。化学反应是“断旧键，成新键”的过程。断键需要吸收能量，只有当反应物分子具有足够的能量时，才能使旧键断裂发生化学反应。因此许多放热反应仍需加热才能发生，如H2在空气(O2)中燃烧，开始应点燃，故A不正确；由于反应物的总能量一般不可能恰好等于生成物的总能量，能量差一般通过“吸热”或“放热”途径找补(但热能不是化学反应的惟一能量变化方式，还有光能、声能、电能、动能等形式)，B正确；有不少吸热反应不必加热也能发生，如盐类的水解就属于吸热反应，但升温可促进水解的进行，C、D均不正确。 2．下列说法不正确的是( ) A．化学变化过程是原子的重新组合过程 B．化学反应的焓变用ΔH表示，单位是kJ·mol－1 C ．化学反应的焓变ΔH 越大，表示放热越多 D ．化学反应中的能量变化不都是以热能形式表现出来的 答案 C 解析 ΔH 带符号，对于放热反应，ΔH 越大表示放热越少，对于吸热反应，ΔH 越大则表示吸热越多，故C 选项错误。 3．下列热化学方程式书写正确的是( ) A ．2SO 2＋O 22SO 3 ΔH ＝－196.6 kJ ·mol －1 B ．H 2(g)＋12 O 2(g)===H 2O(l) ΔH ＝－285.8 kJ·mol －1 C ．2H 2(g)＋O 2(g)===2H 2O(l) ΔH ＝－571.6 kJ D ．C(s)＋O 2(g)===CO 2(g) ΔH ＝＋393.5 kJ·mol －1 答案 B 解析 A 项无状态；C 项ΔH 的单位错；D 项ΔH 的`符号错。 4．一定质量的无水乙醇完全燃烧时放出的热量为Q ，它所生成的CO 2用过量饱和石灰水完全吸收，可得100 g CaCO 3沉淀，则在此条件下完全燃烧1 mol 无水乙醇时放出的热量是 ( ) A ．0.5Q B ．Q C ．2Q D ．5Q 答案 C 解析 C 2H 5OH ～2CO 2～2CaCO 3～热量 1 mol 200 g x 100 g Q x ＝200 g 100 g Q ＝2Q 5．已知：①C (石墨，s)＋O 2(g)===CO 2(g) ΔH 1＝－393.5 kJ·mol －1 ②CO (g)＋12 O 2(g)===CO 2(g) ΔH 2＝－283.0 kJ·mol －1 则③C (石墨，s)＋12 O 2(g)===CO(g)的反应热是 ( ) A ．－123 kJ·mol －1 B ．－676.5 kJ·mol －1 C ．－55.0 kJ·mol －1 D ．－110.5 kJ·mol －1 答案 D 解析 ①－②即得：C(石墨，s)＋12 O 2(g)＝CO(g) ΔH ＝－110.5 kJ·mol －1 6．下列叙述中正确的是( ) A ．在稀溶液中，1 mol 酸和1 mol 碱完全反应所放出的热量，叫做中和热 B ．在101 kPa 时，1 mol 物质燃烧时所放出的热量叫做该物质的燃烧热 C ．热化学方程式中，各物质前的化学计量数不表示分子个数 D ．如果反应物所具有的总能量小于生成物所具有的总能量，则发生的反应是放热反应 答案 C 解析 A 、B 两项要注意对中和热、燃烧热概念的理解，前者是以稀的强酸、强碱反应生成1 mol H 2O 为标准，后者是以1 mol 纯可燃物完全燃烧，生成稳定的氧化物为标准；D 项中反应物总能量低于生成物总能量，反应过程中需吸收能量，即为吸热反应。 7．在25°C、101 kPa 下，1 g 甲醇燃烧生成CO 2和液态水时放热22.68 kJ ，下列热化学方程式正确的是( ) A ．CH 3OH(l)＋32 O 2(g)===CO 2(g)＋2H 2O(l) ΔH ＝＋725.8 kJ·mol －1 B ．2CH 3OH(l)＋3O 2(g)===2CO 2(g)＋4H 2O(l) ΔH ＝－1 452 kJ·mol －1 2019届江苏省南通市高三第一次模拟 数 学 理 科 (满分160分，考试时间120分钟) 参考公式： 柱体的体积公式：V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高. 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 1. 已知集合A ＝{1，3}，B ＝{0，1}，则集合A ∪B ＝ . 2. 已知复数z ＝2i 1－i －3i (i 为虚数单位)，则复数z 的模为 . 3. 某中学组织学生参加社会实践活动，高二(1)班50名学生参加活动的次数统计如下： 次数 2 3 4 5 人数 20 15 10 5 则平均每人参加活动的次数为 . 4. 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 . 5. 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 . 6. 已知正四棱柱的底面边长是3 cm ，侧面的对角线长是35cm ，则这个正四棱柱的体积为 cm 3. 7. 若实数x ，y 满足x ≤y ≤2x ＋3，则x ＋y 的最小值为 . 8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px(p>0)的准线为l ，直线l 与双曲线 x24 －y 2＝1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，AB ＝6，则p 的值为 . 9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝3x ＋t 与曲线y ＝a sin x ＋b cos x(a ，b ，t ∈R )相切于点(0，1)，则(a ＋b )t 的值为 。 10. 已知数列{a n }是等比数列，有下列四个命题： ① 数列{|a n |}是等比数列； ② 数列{a n a n ＋1}是等比数列； ③ 数列? ??? ?? 1an 是等比数列； ④ 数列{lg a2n }是等比数列. 其中正确的命题有 个. 11. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x ).当0 [考纲要求] 1.了解电解质在水溶液中的电离,以及电解质溶液的导电性；了解电解质的概念；了解强电解质和弱电解质的概念。2.了解弱电解质在水溶液中的电离平衡。3.了解水的电离和水的离子积常数。4.了解溶液pH的定义；了解测定溶液pH的方法,能进行pH的简单计算。 5.了解盐类水解的原理、影响盐类水解程度的主要因素以及盐类水解的应用。 6.了解难溶电解质的沉淀溶解平衡；了解溶度积的含义及其表达式,能进行相关的计算。 7.以上各部分知识的综合利用。 1.一个基本不变 相同温度下,不论是纯水还是稀溶液,水的离子积常数不变。应用这一原则时需要注意两个条件:水溶液必须是稀溶液；温度必须相同。 2.两个判断标准 (1)任何温度 c(H＋)>c(OH－),酸性； c(H＋)＝c(OH－),中性； c(H＋)＜c(OH－),碱性。 (2)常温(25 ℃) pH>7,碱性； pH＝7,中性； pH＜7,酸性。 3.三种测量方法 (1)pH试纸 用pH试纸测定溶液的pH,精确到整数且只能在1～14范围内,其使用方法为取一小块试纸放在干净的玻璃片或表面皿上,用玻璃棒蘸取液体,点在试纸中部,待试纸变色后,与标准比色卡对比,读出pH。 注意①pH试纸不能预先润湿,但润湿之后不一定产生误差。②pH试纸不能测定氯水的pH。 (2)pH 计 pH 计能精确测定溶液的pH,可精确到0.1。 (3)酸碱指示剂 酸碱指示剂能粗略测定溶液的pH 范围。 常见酸碱指示剂的变色范围如下表所示: 4.四条判断规律 (1)正盐溶液 强酸强碱盐显中性,强酸弱碱盐(如NH 4Cl)显酸性,强碱弱酸盐(如CH 3COONa)显碱性。 (2)酸式盐溶液 NaHSO 4显酸性(NaHSO 4===Na ＋ ＋H ＋ ＋SO 2－ 4)、 NaHSO 3、NaHC 2O 4、NaH 2PO 4水溶液显酸性(酸式根电离程度大于水解程度)；NaHCO 3、NaHS 、Na 2HPO 4水溶液显碱性(酸式根水解程度大于电离程度)。 注意 因为浓度相同的CH 3COO － 与NH ＋ 4的水解程度相同,所以CH 3COONH 4溶液显中性,而NH 4HCO 3溶液略显碱性。 (3)弱酸(或弱碱)及其盐1∶1混合溶液 ①1∶1的CH 3COOH 和CH 3COONa 混合液呈酸性。 ②1∶1的NH 3·H 2O 和NH 4Cl 混合溶液呈碱性。 (对于等浓度的CH 3COOH 与CH 3COO － ,CH 3COOH 的电离程度大于CH 3COO － 的水解程度) (4)酸碱pH 之和等于14等体积混合溶液 pH 和等于14的意义:酸溶液中的氢离子浓度等于碱溶液中的氢氧根离子的浓度。 ①已知酸、碱溶液的pH 之和为14,则等体积混合时: 强酸、强碱――→恰好中和 pH ＝7 强酸、弱碱――→碱过量pH>7 弱酸、强碱――→酸过量pH ＜7 ②已知酸、碱溶液的pH 之和为14,若混合后溶液的pH 为7,溶液呈中性,则 强酸、强碱―→V 酸∶V 碱＝1∶1 强酸、弱碱―→V 酸∶V 碱>1∶1 江苏南通2019高三第一次调研考试-数学（word 版） 参考答案与评分标准 〔考试时间：120分钟 总分值：160分〕 【一】填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分、请把答案填写在答题卡相应的位 置上、 1、全集U =R ，集合{}10A x x =+>，那么U A =e ▲ 、 答案：(,1]-∞-、 2、复数z =32i i -(i 是虚数单位)，那么复数z 所对应的点位于复平面的第 ▲ 象限、 答案：三、 3、正四棱锥的底面边长是6 ，那个正四棱锥的侧面积是 ▲ 、 答案：48. 4、定义在R 上的函数()f x ，对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=，当(2,0)x ∈- 时，()4x f x =， 那么(2013)f = ▲ 、 答案：14 、 那么p 是q 的▲、〔从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空〕 答案：否命题、 6、双曲线2222 1y x a b -=的一个焦点与圆x 2+y 2－10x =0的圆心重合， ，那么该双曲线的标准方程为▲、 答案： 2 21520 y x -=、 7、假设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9=－36，S 13=－104， 那么a 5与a 7的等比中项为▲、 答案 ：±、 8、实数x ∈[1，9]，执行如右图所示的流程图， 那么输出的x 不小于55的概率为▲、 答案：38 、 9、在△ABC 中，假设AB =1，AC ||||AB AC BC +=，那么|| BA BC BC ?=▲、答案：12 、 10、01a <<，假设log (21)log (32)a a x y y x -+>-+，且x y <+λ，那么λ的最大值为▲、 答案：－2、 11、曲线2(1)1()e (0)e 2 x f f x f x x '=-+在点(1，f (1))处的切线方程为▲、 答案：1e 2 y x =- 、 12、如图，点O 为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，假设振 幅为3cm ，周期为3s ，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时、那么该物体5s 时刻的位移为▲cm 、 (第12题) O江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试试题
南通市2021届高三第一次调研测试数学试卷解析
高中化学步步高二轮复习全套课件专题二
2012-2013南通市高三数学一模
【步步高】2019版高考化学(全国通用)考前三个月专题1 物质的组成、分类及化学用语
2016年江苏南通市高三一模数学试卷
高中化学步步高必修1章末检测卷(三)
2017届南通高三一模数学试卷
2020届高三化学一轮复习步步高全书完整的Word版文档-2
南通2017届高三数学最后一卷
高2020届高2017级高三化学步步高二轮复习学案专题一
江苏省南通市高三数学第一次调研测试试题苏教版
【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中化学 第一章 化学反应与能量复习课 新人教版选修4
2019届江苏省南通市高三第一次模拟考试 数学(理)
高中化学步步高二轮复习全套课件专题九
江苏南通2019高三第一次调研考试-数学(word版)
相关主题
文本预览