3.2 反应位移法
在此，围绕反应位移法的想法和负载的施加方法，举一个矩形断面的例子。
（1）想法和负载的施加方法
假定构造物—地表整个体系由于地震发生了如图3-1的变形。此时，在构造物和地表的接触面上，假如地表这边的相互作用力是{F1}，在构造物这边就要产生{-F1}的逆向的相互作用力来保持构造物～地表整个体系的平衡状态。另外，假定接触面中地表和构造物间没有滑移和剥离，双方都发生了同样的位移{u1 }。
这个构造物—地表全体系如图3—2所示，分成了仅有构造物的体系（构造物振动系）和去掉构造物的地表振动系（这样的地表在后文中将称作“空洞地表”）的两个部分系。但是，构造物振动系的外周面中，由于与构造物～地表整个体系的构造物外周面一样的位移{u1 }，使其发生了相互作用力{-F1}。还有，地表振动系的空洞部分也一样，位移是{u1 }，发生了相互作用力{F1}。即，地表振动系的空洞部分中再次编排构造物振动系的时候，变成了与构造物～地表整个体系完全一样的状态。
接下来，把地表振动系再分成如图3-3所示的两个体系。即，将接触面中的位移{u1 }分离为基于来自于基岩层的地震动{üB }的位移{u n }（地表入射系）和基于相互作用力{F1}的位移{u12 }（地表加振系）。
根据上文，构造物～地表整个体系分为了一下的三部分系。
因为反应位移法是地震时将地表上产生的位移强制地施加在构造物上的方法，所以这3个部分系中可以将构造物振动系看成反应位移法的基本模型。
那么，来试着从地表入射系和地表加振系来求一下构造物振动系中的焦点的未知量的接触面位移{u1 }和相互作用力{F1}吧。
将构造物振动系用离散型的模型表现，就是运动方程式（3.1）。
在此，{u1 }：结构和地表的接触面的位移矢量（向量？我也不知道，是vector）{u s }：结构和地表的接触面以外的结构的位移矢量
[K ss]，[K sI]，[K Is]，[K II]：部分刚性矩阵
I：结构和地表接触面的节点的总称
S：结构和地表的接触面以外的结构节点的总称
但是，在此简单的说明下，省略了由于结构自身的惯性和结构自身以及与结构和地表的相互作用的衰减。
接触面中的位移{u1 }是
还有，地表加振系中的力{F1 }和位移{u12 }之间的关系是以下这个公式。
在此，[K]：称作地表阻抗，是能够产生在空洞的各点中的单位的位移的必要的力。
通过公式（3.2）和（3.3），可以得出
代入公式（3.1），可以得出：
上式就是反应位移法的基本式。
看公式（3.5），右边的外力项是地表阻抗[K]和地表入射系的位移{u n }相乘得来的，还有左边的刚性矩阵是在接触面上加地表阻抗[K]得来的。即，构造物振动系的接触面的位移{u1 }和相互作用力{F1}是，配置了表现构造物周围的地表和构造物之间的相互作用的地表弹力，在此施加空洞地表的反应位移而替换而来的（感觉好怪，自己体会哈）。
而且，反应位移法中通过这种方法实行构造物的模型化，施加负载。
由上所述，一般情况下，地下构造物的的质量都比同体积的地表的质量小或者相同程度，所以可以无视构造物自身的惯性力，但是以下情况要考虑惯性力。
公式(3.1)中加上惯性力这一项，再继续上述的演算，可以得出：
把惯性力这个项移项到右边，就是这样：
但是，反应位移法中考虑惯性力时，如图3-4所示就会变成构造物的质量中加上空洞地表的反应位移的惯性力的作用了。
那么，作为位移施加的空洞地表的反应位移{u n }，一般使用如图3-5这样的有限要素模型的动态解析可以算出。但是，如果要实施这样的动态解析，一开始就使用编入了地下构造物的有限要素模型实施动态解析就可以了，也没有必要去通过反应位移法来做抗震计算。
因此，代替空洞地表的反应位移法，接下来将展示使用自然地表的反应位移法的情况。将在第2章中展示的自然地表的反应位移法，通过公式（2.32）的简略式和一次元重复反射理论的方法等，可以进行比较简单的计算。
（2）使用自然地表的反应位移
假定自然地表由于地震会发生图3-6的（a）所示的这样剪断变形（或者剪切、切力变形。不知道是哪一个）。将这个地表的内部的地下构造物想成影像的假想领域（点线面），边
界部分像图中箭头这样的剪断反应力在领域的内侧和外侧作用，保持平衡状态。
在此，如图这样的自然地表内的假想领域的上下端的相对位移为。
接下来，如图3-6的（b）所示，去掉假想领域，使自然地表内产生空洞。此时，因为没有了从假想领域作用的剪断反应力，丧失平衡状态的空洞由于要素外侧的剪断反应力，边界的反应力变成了0就更加变形了。此时产生的空洞的上端和下端的相对位移假定为，当然，。这个与公式（3.5）中的对应。即要求空洞地表的位移，从如图3-6的（c）这样的自然地表的位移的状态，进而让其作用于空洞的表面
中剪断反应力和逆向的剪断反应力就可以了。
结果，使构造物中空洞地表的反应位移作用的负载状态，使自然地表的位移
作用的同时，也变成了使自然地表中产生的剪断反应力作用的相同状态。
总结一下，反应位移法中使用自然地表的反应位移的情况是，如图3-7所示，用地表弹力支撑周围的构造模型，介入地表弹力使自然地表发生作用，进而使自然地表的构造物位置的剪断反应力对构造物起作用（周面剪断力）就可以了。
6 超静定结构內力计算 1 ．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？ 答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的 结构为超静定结构。 从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。若去掉其中任何一 个约束，静定结构即成为几何可变体系。也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其 几何不变性都是必要的，称为必要约束。对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束 后，结构仍可能是几何不变的。 2 ．什么是超静定结构的超静定次数？ 答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。 3．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？ 答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。 4 ．如何确定超静定结构的超静定次数？ 答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构， 则去掉多余约束的个数，即为结构的超静定次数。 5．撤除多余约束的方法有哪几种？ 答：撤除多余约束常用方法如下： （ 1）去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。 （ 2）去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。 （3）去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。 6． 用力法计算超静定结构的基本思路是什么？ 答：用力法计算超静定结构的基本思路是： 去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知 力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解 多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结 构在荷载作用下产生的内力。 7．什么是力法的基本结构和基本未知量？ 答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。力法的基本未 知量是对应于多余约束的约束反力。 8．简述 n 次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。 答：（1） n 次超静定结构的力法方程 对于 n 次超静定结构，撤去 n 个多余约束后可得到静定的基本结构，在去掉的 建筑力学常见问题解答 n 个多
建筑力学常见问题解答 6 超静定结构內力计算 1．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？ 答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。 从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。 2．什么是超静定结构的超静定次数？ 答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。 3．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？ 答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。 4．如何确定超静定结构的超静定次数？ 答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即为结构的超静定次数。 5．撤除多余约束的方法有哪几种？ 答：撤除多余约束常用方法如下： （1）去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。 （2）去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。 （3）去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。 6．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？ 答：用力法计算超静定结构的基本思路是： 去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。 7．什么是力法的基本结构和基本未知量？ 答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。 8．简述n次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。 答：（1）n次超静定结构的力法方程 对于n次超静定结构，撤去n个多余约束后可得到静定的基本结构，在去掉的n个多
第7章位移法 一. 教学目的 掌握位移法的基本概念； 正确的判断位移法基本未知量的个数； 熟悉等截面杆件的转角位移方程； 熟练掌握用位移法计算荷载作用下的刚架的方法 了解位移法基本体系与典型方程的物理概念和解法。 二. 主要章节 §7-1 位移法的基本概念 §7-2 杆件单元的形常数和载常数—位移法的前期工作 §7-3 位移法解无侧移刚架 §7-4 位移法解有侧移刚架 §7-5 位移法的基本体系 §7-6 对称结构的计算 ＊§7-7支座位移和温度改变时的位移法分析（选学内容） §7-8小结 §7-9思考与讨论 三. 学习指导 位移法解超静定结构的基础是确定结构的基本未知量以及各个杆件的转角位移方程，它不仅可以解超静定结构，同时还可以求解静定结构，另外，要注意杆端弯矩的正负号有新规定。 四. 参考资料 《结构力学(Ⅰ)-基本教程第3版》P224～P257 第六章我们学习了力法，力法和位移法是计算超静定结构的两个基本方法，力法发展较早，位移法稍晚一些。力法把结构的多余力作为基本未知量，将超静定结构转变为将定结构，按照位移条件建立力法方程求解的；而我们今天开始学的这一章位移法则是以结构的某些位移作为未知量，先设法求出他们，在据以求出结构的内力和其他位移。由位移法的基本原理可以衍生出其他几种在工程实际中应用十分普遍的计算方法，例如力矩分配法和迭代法等。因此学习本章内容，不仅为了掌握位移法的基本原理，还未以后学习其他的计算方法打下良好的基础。此外，应用微机计算所用的直接刚度法也是由位移法而来的，所以本章的内容也是学习电算应用的一个基础。
本章讨论位移法的原理和应用位移法计算刚架，取刚架的结点位移做为基本未知量，由结点的平衡条件建立位移法方程。位移法方程有两种表现形式：①直接写平衡返程的形式（便于了解和计算）② 基本体系典型方程的形式（利于与力法及后面的计算机计算为基础的矩阵位移法相对比，加深理解） §7-1 位移法的基本概念 1.关于位移法的简例 为了具体的了解位移法的基本思路，我们先看一个简单的桁架的例子：课本P225。图7-1和图7-2所示。 (a) (a) (b) (b) 图7-1 图7-2 第一步：从结构中取出一个杆件进行分析。（杆件分析） 图7-2中杆件AB 如已知杆端B 沿杆轴向的位移为i u （即杆件的伸长）则杆端力Ni F 为： i i i Ni u l EA F （7-1） E-为弹性模量，A-为杆件截面面积，i l -为杆件长度
第十章位移法 §10－1 概述 位移法——以结点位移（线位移，转角）为基本未知量的方法。 基本概念：以刚架为例（图10-1） 基本思路：以角位移Z1为基本未知量 平衡条件——结点1的力矩平衡 位移法要点：一分一合 ①确定基本未知量（变形协调）基本体系－独立受力变形的杆件 ②将结构拆成杆件－杆件分析（刚度方程－位移产生内力、荷载产生内力） ③将结构杆件合成结构：整体分析——平衡条件——建立方程 §10－2 等截面直杆的转角位移方程 单跨超静定梁——由杆端位移求杆端力——转角位移方程 矩阵形式 一、端（B端）有不同支座时的刚度方程 （1）B端固定支座 （2）B端饺支座 （3）B端滑动支座 二、由荷载求固端力（3*，4，11*，12，19，20） （1）两端固定 （2）一端固定，一端简支 （3）一端固定，一端滑动（可由两端固定导出） 三、一般公式 叠加原理杆端位移与荷载共同作用 杆端弯矩：（10-1） 位移法意义（对于静定、超静定解法相同） 基本未知量－被动（由荷载等因素引起） →按主动计算——位移引起杆端力＋荷载的固端力 →结点满足平衡 正负号规则——结点转角（杆端转角） 弦转角——顺时针为正 杆端弯矩 位移法三要素： 1.基本未知量－独立的结点位移 2.基本体系－原结构附加约束，分隔成独立变力变形的杆件体系。 3.基本方程－基本体系在附加约束上的约束力（矩）与原结构一致 （平衡条件）
§10－3基本未知量的确定 角位移数＝刚结点数（不计固定端） 线位移数＝独立的结点线位移 观察 几何构造分析方法——结点包括固定支座）变铰结点 铰结体系的自由度数＝线位移数 ――即使其成为几何不变所需添加的链杆数。 §10－4典型方程及计算步骤 典型方程（10－5、6） 无侧移刚架的计算 无侧移刚架－只有未知结点角位移的刚架（包括连续梁）（△＝0） 有侧移刚架计算 有侧移刚架――除结点有位移外还有结点线位移 求解步骤： （1）确定基本未知量：Z i （按正方向设基本未知量）——基本体系， （2）作荷载、Z i = 1 —— ()()01i P i i M M ??==、图 （3）求结点约束力矩：荷载 —— 自由项R Ip ，及ΔJ = 1 —— 刚度系数 k IJ （4）建立基本方程：[k IJ ]{ Z i } + { R Ip } = {0} —— 附加约束的平衡条件 求解Z i （Δi ） (5) 叠加法作i i P Z M M M ∑+= §10－5 直接建立位移法方程 求解步骤： （1）确定基本未知量：Z i （按正方向设基本未知量）——基本体系， （2）写杆端弯矩（转角位移方程） （3）建立位移法方程—— 附加约束的平衡，求解Z i (4) 叠加法作i i P Z M M M ∑+= §10－6 对称性利用 对称结构 对称荷载作用 —— 变形对称，内力对称 （M 、N 图对称，Q 图反对称——Q 对称） 反对称荷载作用 —— 变形反对称，内力反对称 （M 、N 图反对称，Q 图对称——Q 反对称） —— 取半跨 对称结构上的任意荷载 ——对称荷载＋反对称荷载
3.2 反应位移法 在此，围绕反应位移法的想法和负载的施加方法，举一个矩形断面的例子。 （1）想法和负载的施加方法 假定构造物—地表整个体系由于地震发生了如图3-1的变形。此时，在构造物和地表的接触面上，假如地表这边的相互作用力是{F1}，在构造物这边就要产生{-F1}的逆向的相互作用力来保持构造物～地表整个体系的平衡状态。另外，假定接触面中地表和构造物间没有滑移和剥离，双方都发生了同样的位移{u1 }。 这个构造物—地表全体系如图3—2所示，分成了仅有构造物的体系（构造物振动系）和去掉构造物的地表振动系（这样的地表在后文中将称作“空洞地表”）的两个部分系。但是，构造物振动系的外周面中，由于与构造物～地表整个体系的构造物外周面一样的位移{u1 }，使其发生了相互作用力{-F1}。还有，地表振动系的空洞部分也一样，位移是{u1 }，发生了相互作用力{F1}。即，地表振动系的空洞部分中再次编排构造物振动系的时候，变成了与构造物～地表整个体系完全一样的状态。 接下来，把地表振动系再分成如图3-3所示的两个体系。即，将接触面中的位移{u1 }分离为基于来自于基岩层的地震动{üB }的位移{u n }（地表入射系）和基于相互作用力{F1}的位移{u12 }（地表加振系）。 根据上文，构造物～地表整个体系分为了一下的三部分系。 因为反应位移法是地震时将地表上产生的位移强制地施加在构造物上的方法，所以这3个部分系中可以将构造物振动系看成反应位移法的基本模型。 那么，来试着从地表入射系和地表加振系来求一下构造物振动系中的焦点的未知量的接触面位移{u1 }和相互作用力{F1}吧。 将构造物振动系用离散型的模型表现，就是运动方程式（3.1）。
力法位移法。力矩分配法常见问题
建筑力学常见问题解答 6 超静定结构內力计算 1．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？ 答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。 从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。 2．什么是超静定结构的超静定次数？ 答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。 7
3．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？ 答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。 4．如何确定超静定结构的超静定次数？ 答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即为结构的超静定次数。 5．撤除多余约束的方法有哪几种？ 答：撤除多余约束常用方法如下： （1）去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。 （2）去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。 （3）去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。 7
6．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？ 答：用力法计算超静定结构的基本思路是：去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。 7．什么是力法的基本结构和基本未知量？ 答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。 8．简述n次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。 答：（1）n次超静定结构的力法方程 对于n次超静定结构，撤去n个多余约束后 7