第29计 向量开门
数形与共
●计名释义
非数学问题数学化，说的是数学建模，非运算问题运算化，向量是典型的代表. 向量是近代数学的最重要和最基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.同时，它又具有代数运算的功能.因此，它像一个媒婆，牵起了一根线，一头连着代数，另一头连着图形，只要经它轻轻一拉，数形便能结合成一家人.
●典例示范
【例1】 α,β为锐角，且sin α-sin β=2
1-,cos α-cos β=
2
1
，求tan(α-β)之值
. 【解答】 如图，设A (cos α,sin α), B (cos β,sin β)为单位圆上两点， 由条件知：0<α<β<
2
π
. 那么：-= =（cos α- cos β,sin α- sin β）
=???
??-21,2
1
?
.
∴||=
2
2
4141=
+，||=|
|=1. 例1题解图 △OAB 中,由余弦定理：cos(α-β)= cos (β-α) =
4
311242
11=??-
+. ∴
sin(α-β)=4
7
1691-
=-
-,tan(α-β)=3
7
-
. 【点评】 如果说本例用向量求三角函数值中没有太大的优越性，那么利用向量 模型证明不等式则有其独到的简便之处，再看下例. 【例2】 设a,b,c,d ∈R ，证明：ac+bd ≤2
222d c b a +?
+
【解答】 设m =（a,b ），n =（c,d ），则mn =ac+bd ，|m |2|n |=2222d c b a +?+ ∵m 2n =|m |2n cos （m ,n ）≤|m |2|n
|.
∴ac+bd ≤2222d c b a +?+
.
【点评】 难以置信的简明，这正是向量的半功伟绩之一，那么，向量在解析几 何中又能起作用吗
?
【例3】 在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且两
两夹角均为60°，则对角线AC
1 .
【思考】 求线段的长度常用的手段是归结为解三角形.利用勾股定理或余弦定理，显然，这种方法需要较大的计算量，例如，确定AC 1与平面ABCD 所成角的大小就不是省油的灯.有无更好的方法呢？这个平行六面体的各个表面不都是边长相等且夹锐角为60°的菱形
吗？利用向量岂不更为省事?
向量的数量积公式可以保驾护航. 对！走向量法解题的道路.
【解答】 如图所示，11CC BC AB AC ++=
∴2
12
1)
(CC BC AB AC ++=
=2
122CC BC AB ++
)(211CC CC ?+?+?+
=1+1+1+2(cos60°+ cos60°+ cos60°)=6
∴|1AC |=6.
例2题解图
【点评】 向量运算的优越性，由本例已可一览无遗，特别是|1AC |2
=2
1AC 的运用奇妙.注意：AB 与BC 所成角等于AB 与AD 所成角，是60°而不是120°.
●对应训练
1,在棱长为a 的正方体 ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F
分别是AB 、AC 上的动点，满足AE=BF . (Ⅰ)求证：C A '⊥'
(Ⅱ)当三棱锥B ′—BEF 的体积取得最大值时，
求二面角B ′—EF —B 的大小(结果用反三角函数表示). 第1题图
2a ,b ∈R +，且a ≠b ，求证：(a 3+b 3)2<(a 2+b 2)(a 4+b 4). 3xy =1上任取不同三点A,B,C ,证明△ABC 的垂心也在该双曲线上.
●参考答案
1.(1)如图，以B 为原点，直线BC,BA,BB ′分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，并设
||||==x ,则有:A ′(0,a,a ),C ′(a ,0,a ). E (0,a -x ,0)，F (x ,0,0),∴A '=(x ,-a ,-a )，E C '
=(-a ,a-x,-a ).
∵F A '2E C '=(x,-a,-a )(-a,a-x,-a )=-ax-a 2+ax+a 2=0， ∴
A '⊥C '.
(2)V B ′—BEF =
31S △EEF 2|B B |=3122
1
(a-x )2x 2a =61a (a-x )2x ≤61a 232
2412)(a x x a =??
?
???+-， 当且仅当a-x=a ，即x =2
a
时, (V B ′—BEF )max =
3
24
1a ， 此时E 、F 分别为AB,BC 的中点,必EF ⊥BD .
设垂足为M ，连B ′M ,∵BB ′⊥平面ABCD , 第1题图 由三垂线定理知B ′M ⊥EF ,∠BMB ′是二面角B ′—EF —B 的平面角
, 设为θ,∵|BM |=
a BD 4
2||41= ∴tan θ=
224
2
a a
.
即θ=arctan22，则二面角B ′—EF —B 的大小为arctan22
. 2
m =(a,b )，n =(a 2,b 2), ∵m 2n ≤|m |2|n |.
∴a 3+b 3≤4422b a b a +?+，即是(a 3+b 3)2≤(a 2+b 2)(a 4+b 4). 3
,设A (x 1,
11x )，B (x 2,2
1x ), C (x 3，
3
1
x )，△ABC 的垂心为H (x 0，y 0), 则),(1
22
112x x x x ?
x x --=
, )1
,(3
30x ?y
x x -
-=
, 第3题解图 ∵⊥,
(x 0-x 3)(x 2-x 1)+(y 0-
31
x 202
121=-x x x x
. ∵x 1≠x 2，∴x 0-x 301
3
2103=--
x x x y x
.
∴x 0+
2
1033211
x x y x x x x += (1)
同理：x 0+
3
20131023211
x x y x x x y x x x x +=+=
.
∴x 2-x 1=y 03212103132)(11x x x x x y x x x x -=???
?
??-.
∵x 1≠x 2，∴y 0=-x 1x 2x 3，代入 (1)：x 0-01
y =x 32
1321x x x x x -=0, ∴x 0y 0=1，即H (x 0，y 0)在双曲线xy =1上
.
第30计 统计开门
存异求同
●计名释义
甲问：什么是“可能一统”？乙答：就是“可能性”完成大一统.
甲：此话怎讲？乙：排列、组合讲的是“可能状态”，概率讲的是“可能比值”，而统计则是对“各种可能”的计算，故称“可能一统”.
甲：这有什么意义呢？乙：现实意义，实际意义，应用意义.你不知道吗，如今的数学应用题几乎全部转入到“可能一统”之中
.
甲：不错！以往的高考应用题，多在函数、方程、不等式上打主意，自从新课标普及以来，应用题转到概率和统计上了.不过，这是否在实用方面有点偏离高中数学的主干内容呢？乙：大概命题人也想到这点，因此近年的概统应用题，似乎都在想方设法往函数、方程、不等式方面拉关系!
●典例示范
【例1】 假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：
若由资料可知y 对x 呈线性相关关系.试求： （1）线性回归方程；
（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
【分析】 本题告诉了y 与x 间呈线性相关关系，倘若记住了公式，便可以迅速解答出此题.
注：设所求的直线方程为y
?=bx+a ，其中a 、b 是待定系数． ???????
??
-===-=---=∑∑∑∑
∑∑======x
b y a y n y ??x n x ?x
xy
n y
x x x y y x x b n i n
i i
i n i i
n
i i
i n i i n
i i i 111
2
1
11
1,1,)())((
相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析.
于是b =
2314
5905
453112552
5
1
2
25
1?=?-??-?=
--∑∑==i i i x
x xy
xiyi ， a ==??-=-42315bx y 0.08. ∴线性回归方程为：y ?=bx+a =1.23x +0.08.
（2）当x =10时，y
?=1.23310+0.08=12.38（万元） 即估计使用10年时维修费用是12.38万元.
【点评
】 本题若没有告诉我们y 与x 间是呈线性相关的，应首先进行相关性检验.如果本身两个变量不具备线性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出回归方程也是没有意义的，而且其估计与预测也是不可信的.
【例2】 某种灯泡的使用时数在1000小时之上的概率是0.7,求： （1）3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个的概率； （2）3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个的概率.
【思考】 本题的实质是检查3个灯泡，可视为3次独立重复试验.(1)中3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个，相当于在3次独立重复试验中事件A 恰好发生2次（事件A 是“灯泡的使用时数在1000小时以上”）；（2）中指“恰好坏1个”与“3个都未坏”这两种情况，即事件A 发生2次和发生3次，可用独立重复试验的方法求解.
【解答】
设“灯泡的使用时数在1000小时以上”为事件A ，则P （A ）=0.7,检查3个灯泡可视为3次独立重复试验.
(1)3个灯泡在使用1000小时之后恰好坏1
个，相当于在3次独立重复试验中事件A 恰好发生2次.
∴P 3(2) =C 2
3(0.7)2(1-0.7)3-2=330.4930.3=0.441.
(2)“3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个”包括了“恰好坏1个”和“3个都未坏”这两种情况，它们彼此互斥，相当于A 发生2次和发生3次的概率和，即所求概率为P 3（2）
+P 3(3)=0.441+C 330.73
=0.784.
【点评】 用独立重复试验的概率公式P n (k )=C k
n 2P k 2(1-p )n-k 来求概率的步骤：①首先判断是不是独立重复试验；②求一次试验中事件A 发生的概率P ；③利用公式计算在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率.
【例3】 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.
(1)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望; (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
【思考】 本题主要考查概率统计的基础知识，离散变量的概念，数学期望的定义；首先要弄清ξ的取值范围,ξ=0,1,2,3,然后再求概率.
【解答】 （1）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：
E ξ=03
301+1310
3+2321+3361=
59
(2)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则
P (A )=321202060C C C C 310361426=+=+ P (B )=15
141205656C C C C 3
10
3
8
1228=+=+?
因为事件
A 、
B 相互独立,
方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为
45
1
)15141)(321()()()(=
--=?=?B P A P B A P
∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率P =1-P （B A ?）=1-45
44
451=
方法二：∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P =P (A
2B )+P （A 2B ）+P (A 2
B )=P (
A )P (
B )+P (A )2P (B )+P (A )P (B )=323151+3131514+3
23
1514=45
44
【点评】 ①要分清对立事件与互斥事件的关系，独立事件、互斥事件的相互区别.②在数学中必须强调随机变量的概念，分布列的定义与求法，熟悉常用的分布列：0~1分布、二项分布，数学期望与方差的计算等.
●对应训练
1.在袋里装30个小球，其彩球中有n (n ≥2)个红球，5个蓝球，10个黄球，其余为白球
.若从袋里取出3个都是相同颜色的彩球（无白色）的概率是
400
13
，求红球的个数，并求从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率.
2.某突发事件，在不采取任何预防措施情况下发生的概率为0.3,一旦发生，将造成400万元的损失.现在甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件突不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.(总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值)
3.公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ξ～N （173，72）（cm
4.为考虑广告费用x 与销售额y 之间的关系，抽取了5家餐厅，得到如下数据：
现要使销售额达到6万元，则需广告费用为
（保留两位有效数字）.
●参考答案
1.取3个小球的方法数为C 230=4060.
设“3个小球全是红球”为事件A ，“3个小球全是蓝球”为事件B ，“3
个小球全是黄球”为
事件C ，则P (B )=406010C C 33035
=，P (C )=4060
120C C 3303
10=.
∵A 、B 、C 为互斥事件，∴P (A+B+C )=P (A )+P (B )+P (C ). 即
406
13=P (A )+406010+
?4060120
P (A )=0.∴红球的个数≤2，又∵n ≥2，故n =2. 记“3个小球至少有一个是红球”为事件D ，则D
为“3个小球没有一个红球”.
P (D )=1-P (D )=1145
28C C 330328
=
-. 2.①不采取任何预防措施时，总费用即损失期望值为40030.3=120(万元);
②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1-0.9=0.1,损失期望值为40030.1=40(万元
)，所以总费用为45+40=85（万元）.
③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1-0.85=0.15,损失期望值为40030.15=60(万元)，所以总费用为30+60=90（万元）
④若联合采取甲、乙两种措施，
则预防措施费用为45+30=75(万元)，发生突发事件的概率为（1-0.9）(1-0.85)=0.015，损失期望值为40030.015=6(万元)，所以总费用为75+6=81(万元)综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择甲、乙两种预防措施联合采用，可使总费用最少.
3.设公共汽车门的设计高度为x cm P （ξ≥x ）＜1%. ∵ξ～N
（173，
72），∴P （ξ≤x ）=Φ（
7
173
-x ）＞0.99. 查表得
7
173
-x ＞2.33，∴x ＞189.31，即公共汽车门的高度应设计为190 cm 99%
以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞.
点评：本题将正态分布的计算带入实际生活中，但本质上仍然是考查对正态分布的掌握.
4.类似于例1，根据公式，先求出回归方程y
?=bx+a ，令y ?=6，得x =1.5万元. 答案：1.5万元
点评：仍然是运用公式求回归直线的例子，只要掌握了例4中提到有关回归直线的公式，便可迅速解答并且最终求出结果.
第31计 解几开门 轨迹遥控
●计名释义
求动点的轨迹图形及轨迹方程是解析几何中的核心，体现了用代数方法研究几何问题的数学思想.轨迹是解析几何的灵魂，它就象一个遥控器，指挥着我们行动的方向.由方程研究曲线和已知曲线求其方程是解析几何的两大研究方向，在图形与方程问题遇到困难的人，往往疏忽了“轨迹”二字.正是“轨迹”二字告诉了动点的性质，动点的性质才是图形性质和
方程性质的根基.
●典例示范
【例1】 动椭圆过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率e =2
1
. (1)求动椭圆左顶点的轨迹方程；（2）求椭圆长轴长的最大值和最小值.
【思考】 如M （1，2）为右顶点，则左顶点为P （1-2a ,2）.(1-a ,2)，左准
线为y 轴.
12+-c
a -a =0，e =
21=a c . ∴c a =2，有-3a +1=0，a =31. 得点P 1(3
1
,2)；如M （1，2）为左顶点，有
P 2（1，2），
P 1P 2中点为（
3
2
，2）. 由以上可以预见,所求轨迹是中心为O ′(
3
2
,2)的椭圆. 【解答】 （1）设椭圆左顶点为M (x,y )，则左焦点为F （x 0，y 0）=F (x+a-c ，y )，
∵e =21=a c ，且左准线为y 轴, ∴a x c
a ++-
2
=0,
得a=x ，c =
a 21=2x ，有：F ??
?
???y x ?,23，由椭圆第二定义：
1||MF = e =21.
∴
21)2(1232
2
=-+??? ??-y x ，化简得：22
)1(4329-+??? ?
?-y x ①
(2)椭圆①的长半轴a ′=
31，∴-31≤x -32≤31，得x ∈??
????1,31??.
原椭圆长半轴为a=x ，∴2a =2x ∈?
?
????2,32??.
故原椭圆长轴最大值为2，最小值为
3
2.
【例2】 已知双曲线的两个焦点分别为F 1，F 2，其中F 1又是抛物线y 2=4x 的焦点，点A （-1，2），B （3，2）在双曲线上，（1）求点F 2的轨迹方程；（2）是否存在直线y=x+m 与点F 2的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m 的值，不存在，说明理由. 【思考】 F 1（1，0）为定点，∴|AF 1|=22=|BF 1|为定值，设F 2(x ，y )，则|F 2A |-22=±(F 2B-22).得|F 2A |=|F 2B |或|F 2A |+|F 2B |= 42，知动点F 2的轨迹为直线AB 的垂直平分线或以A 、B 为焦点的椭圆.
【解答】 （1）点F 2的轨迹方程为直线l ：x =1或椭圆
14
)2(8)1(2
2=-+-y x .(不含短轴
两端，即不含（1，0），（1，4）解法略
).
（2）如图，当椭圆与直线y=x+m 相切时，直线与所求轨迹恰有两交点（-为切点，另-为切线与直线x =1的交点），其他情况下，若直线y=x+m 过椭圆短轴端点时与所求轨迹仅有一个公共点，若不过短轴两端点而经过椭圆内部时则有三个公共点，由
.8])2()2(2[2)12(8
)2(2)1(2222
2=-+-+++-????=-+-+=m x m x x x y x m
x y ∴3x 2+(4m -10)x +2m 2-8m
+1=0. 此方程应有相等二实根，
∴Δ=(4m -10)2-12(2m 2-8m +1)=0. 化简得：m 2-2m -11=0,∴m =1±23
.
【小结】 探求轨迹，一要注意 其完备性也就是充分性：只要符合 条件的点都适合轨迹方程；二要 注意其纯粹性也就是必要性：只要
适合轨迹方程的点都符合轨迹条件. 例3题图 以例2为例：若忽视了直线x =1(不含（1，0），（4，0）)则不完备，若不除去（1，0），（4，0）则又不纯粹.
●对应训练
1.已知双曲线过坐标原点O ，实轴长为2，其中一个焦点坐标为F 1（6,0），另一个焦点F 2为动点.
(1)求双曲线中心的轨迹方程;
(2)双曲线离心率最大时，求双曲线方程.
2.已知定直线l 和线外一定点O ，Q 为直线l 上一动点，△OQP 为正三角形（按逆时针方向转），求点P 的轨迹方程.
3.已知双曲线过坐标原点O ，实轴长为2，其中一个焦点坐标为F 1（6，0），另一个焦点F 2为动点.(1)求双曲线中心的轨迹方程；（2）双曲线离心率最大时，求双曲线方程
.
4.已知抛物线C ：y 2=4x ，(1)若椭圆左焦点及相应准线与抛物线C 的焦点及相应准线分别重合.(1)求椭圆短轴端点B 与焦点F 所连线段的中点P 的轨迹方程；（2）若M （m ,0）是x 轴上的一个定点，Q 是（1）中所求轨迹上任意一点，求|MQ |的最小值.
●参考答案
1.设F 2(x 0，y 0), ∵O (0,0)在双曲线上, ∴|OF 2| - |OF 1| =±2，|OF 1|=6,
∴|OF 2|=6±2，如|OF 2|=8，则x 20+y 20=64 ①如|OF 2|=4，则x 20+y 20=16 ② 当O 、F 1、F 2共线时，F 1、F 2应在点O 两侧，故上述轨迹中应分别不含（8，0），（4，0）设双曲线中心为M （x ，y ）,则
??
?=-=????
????=+=y y x x y y x x 26222
6000
0 ③
③代入①：(2x -6)2+(2y )2=64， 即(x -3)2+y 2=16(x ≠7) ③代入②：（2x -62+(2y )2=16， 即(x -3)2+y 2=4(x ≠5) (2)∵a =1，∴e =
a
c = c ，且c =|MF 1|=2
2)6(y x +-
, 如M 的轨迹为(x -3)2+y 2=16， 则c =436)3(16)6(2
2+-=
--+-x x x
∵-4≤x -3<4，∴-1≤x
<7
当x =-1时，c max
=7.
如M 的轨迹为(x -3)2+y 2=4，则316)3(4)6(22+-=--+-=x x x c
∵-2≤x -3<2，∴1≤x <5，当x =1时，c max
=5,
于是取c =7，a =1，∴b 2=48，又当x =-1时，由（x -3）2+y 2=16，得y=0,即双曲线中心为(-1,0),
一个焦点为F 1(6,0),故实轴在x 轴上，则所求方程为：(x +1)2
-48
2
y
=1. 2.如图作OA ⊥l 于A ，以直线OA 为x 轴， 过O 且垂直于OA 的直线为y 轴建立 如图的直角坐标系，设A （a ,0），则有 直线l ：x =a ，设|OQ |=|OP |=d ∠AOQ=θ，则∠AOP=θ+3
π 设P (x,y )，∵d =
θ
cos a
， ∴x = d cos (θ+
3π)=θcos a (21cos θ-2
3sin θ) 第2题解图 =
2
a
(1-3tan θ
), y =d sin(θ+
3π)=θcos a (21sin θ+2
3cos θ)= 2a (tan θ+3).
于是得点P 的参数方程：???
????
+=-=)3(tan 2)tan 31(2
θθa y a x （θ为参数） 消去参数得：x +3y =2a .
3.(1)设F 2(x 0，y 0)，∵O (0,0)在双曲线上，∴|OF 2| - |OF 1|=±2，|OF 1|=6，∴|OF 2|=6±2，如|OF 2|=8，
则x 20+y 20=64 ①；如|OF 2|=4，则x 20+y 2
0=16 ②，当O ，F 1，F 2共线时，F 1，F 2应在点O 两侧，故上述轨迹中应分别不含（8，0），（4，0）
.
设双曲线中心为O ′(x ，y )，则???=-=????
????
=+=y y x x y y x x 26222
6000
0 ③
③代入①：(2x -6)2+(2y )2=64, 即 (x -3)2+y 2=16 (x ≠7). ③代入②：(2x -6)2+(2y )2=16, 即 (x -3)2+y 2=4 (x ≠5). (2)∵a =1，∴e =
a
c = c ，且c =|MF 1|=2
2)6(y x +-
, 如M 的轨迹为（x -3）2+y 2=16,
则c =436)3(16)6(2
2+-=
--+-x x x
.
∵-4≤x -3<4, ∴ -1≤x
<7, 当x = -1时，c max
=7.
如M 的轨迹为(x -3)2+y 2=4，则c=316)3(4)6(2
2+-=
--+-x x x .
∵-2≤x -3<2，∴1≤x <5当x =1时，c max
=5.
于是取c =7，a =1. ∴b 2=48，又当x = -1时，由(x -3)2+y 2=16，得y =0，即双曲线中心为（-1，
0），一个焦点为F 1（6，0），故实轴在x 轴上，则所求方程为：(x +1)2
48
2
y -=1.
4.（1）如图设椭圆中心为O ′(x 0,0)， 由于左焦点F （1，0），左准线x = -1，
∴x 0=c +1，且x 0+1=c
a 2
.
∴a 2=c (x 0-1)=x 20-1，
b 2=a 2-
c 2=(x 20-1) - (x 0-1)2=2x 0-2， 得椭圆短轴端点B （x 0，220-x ）
. 第4（1）题解图
设FB 的中点为P (x ，y )
，则：
???+=-=????
????-=+=242122
221212
0000y x x x x y x x 消去x 0：y 2
=x -1(x ≥1). (2)曲线y 2=x -1(x ≥1)的图形如图中虚线所示，其顶点为F （1，0）.
显然当m ≤1时，|MQ | min =1-m ，即点M （m ,0）到抛物线顶点F 最近，当m >1时，以M （m ,0）为圆心，R 为半径的圆的方程为：(x-m )2+y 2=R 2.(*)
由??????-==+-1
)(2
2
22x y R
y m x x 2+(1-2m )x+m 2-1-R 2
=0. 命Δ≥0，即（1-2m ）2-4(m 2-1-R 2
)=0, ∴R 2≤
4
5
4-m .
(1) 当m ≥
45时，R min =454-m
， 即|MQ |的最小值为4
54-m
. 当1 4 5 时，不等式（1）无解，说明圆（*）与抛物线y 2=x -1不可能有交点，此时抛物线 顶点与M 距离最近,即|MQ | min =m -1. 注：此题选自陕西师大“中学数学教学参考”0421～2期P72，63题，原题答案为： 当 212-m ≤1，即m ≤23时，|MQ |无最小值；当212-m >1，即m >23时，|MQ | min =4 5 -m .笔者以为不妥，故重解如上，不当之处，请各位同仁指正 . 第32计 立几开门 平面来风 ●计名释义 空间型试题感到困难怎么办？退到平面去，平面是立体几何的基础，“空间几何平面化”是我们的基本手段.“平面化”的主要形式有：（1）展开图，把空间展到平面；（2）三视图，从不同的角度看平面；（3）射影图，把一个平面放到另一个平面去；（4）截面图，把我们关心的平面进行特写.如此等等，可以把直观图中的错觉或误差分别转移到平面上作“真实分析”. ●典例示范 【例1】 “神舟六号”飞船上 使用一种非常精密的滚球轴承， 如图所示，该滚球轴承的内 外圆的半径分别为1mm 、3mm ， 则这个轴承里最多可放 滚珠 个. 例1题图 【解答】 6如图，设两滚球P ，Q 相切 于点T ，轴承中心为O ，连接OT ， 设滚球半径为d ，内、外圆半径 分别为r 、R ，则R =3，d =r=1. 在Rt △OTP 中，∠POT =2 α ，OP =2，PT =1, 则有sin 2α= 21 =OP PT ， 得α=236π=3π，即在圆心角为3 π 的轨道内， 例1题解图 可放一个滚珠，故圆心角为周角（2π弧度） 时可放的滚珠为 3 22π α π = =6个. 【点评】 本题考查了球体知识的相切问题，把复杂的空间立体图形简化成平面图形来解 决. 【例2】 在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 边长为3，高为4，在棱C 1B 1，C 1D ，CC 上分别取一点M 、N 、L 使C 1M ＝C 1N ＝1，C 1L ＝ 4 3. (1)求证：对角线AC 1⊥面MNL ； （2）求四面体D —MNL 的体积； （3）求AM 和平面MNL 所成夹角的正弦值. 【思考】 (1)本题并不难，但其手法还是“退”，由证线面垂直退到证线线垂直.根据对称性，只需证AC 1与LM 、LN 之一垂直即可; (2)四面体D —MNL 的体积不好求，可退而求四面体C 1—MNL 的体积，这两个四面体等底不 等高，再退而求四面体对应高之比，然后将所求四面体C 1—MNL 的体积适当扩大即可； （3）AM 与面MAC 1夹角的正弦不好求，可退而求AM 、AC 1夹角的余弦. 【解答】 （1）如图所示，以D 1为原点，直线D 1A 1，D 1C 1，D 1D 分别为x,y ，z 轴建立空间坐标系， 则有：A （3，0，4），C 1（0，3，0） ∴1AC =(-3,3,-4)；L ?? ? ?? 43,3,0????，N (0,2,0), ∴=?? ? ?? 43,1,0????∵1AC 2=0+3-3=0, ∴1AC ⊥,根据图形对称性， 同理有1AC ⊥NL ，故AC 1⊥平面MNL . 例2题解图 (2)四面体D —MNL 与C 1—MNL 同底不等高，设其高分别为h 1，h 2，连C 1D 交NL 于E . ∵D (0,0,4), ∴C 1=(0,-3,4),且C 12=(0,-3,4)2?? ? ??43,1,0????=0. ∴D C 1⊥NL ，知L 、E 、D 、C 在同一个圆上，|L C 1|2 |C C 1|=|E C 1|2|D C 1|, 即4 3 24=|C 1|25. ∴|C 1|=53，从而|C 1|=5-53=5 22 . h 1∶h 23 22 1= E C . 易求V C 1－MNL ＝ 612C 1M 2C 1N 2C 1L =61313138 1 43=，∴V D-MNL =32281 ? =12 11(立方单位). (3)设AM 与平面AC 1成θ角，已证AC 1⊥平面MNL ，∴∠MAC 1=90°-θ. ∵M (1,3,0),∴AM =(-2,3,-4), AM 21AC =(-2,3,-4)2(-3,3,-4)=6+9+16=31. 又｜｜=29)4(3)2(2 22= -++-, ｜1AC ｜= 34)4(3)3(222=-++-. ∴cos (90°-θ986 3134 2931| |||11= ?= ?AC AM .sin θ= 986 31，即AM 与平面MNL 所成角的正弦值为 986 31. 【评注】 本题第（2)问另一解法：∵V D-MNL =V M-DNL ，而S △DNL MC 1⊥面DNL ， 从而V D-MNL = 3 1 2S △DNL MC 1也不失为另一有效解法. 【例3】 （042全国卷Ⅲ）如图， 四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形， AB =8，AD =43，侧面P AD 为等边 三角形，并且与底面所成二面角为60°. (Ⅰ)求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）求证：P A ⊥BD . 【分析】 1.题目没有讲是“正”四棱锥， 不要粗心地乱加条件“按正棱锥”解题， 否则是“瞎子点灯”——白费蜡， 因此，顶点在底面的射影不一定是底面的中心. 例3题图 2.图中的三角因素很多，证垂直的最好办法是利用向量.因而制定三角加向量的解题策略. 【解答】 （Ⅰ）设O 为P 在底面的射影，作OE ⊥AD 于E ，连PE ，则∠PEO 是二面角P —AD —O 的平面角，有∠PEO =60°.已知△P AD 为正三角形，且边长为4 3. ∴|PE |=43sin60°=6，PO =6sin60°=33. ∴V P —ABCD = 3 1 2S □ABCD PO = 3 1 28243233]=96(立方单位). (Ⅱ)以O 为原点，平行于AD 的直线为x 轴，平行于AB 的直线为y 轴，垂线OP 所在直线为z 轴建立如图的空间直角坐标系. 则有P (0,0,3 3)，A (23,-3,0)，B (23,5,0),D (-23,-3,0), ∴PA =(23,-3,-33),BD =(-43,-8,0), ∵2=-24+24+0=0. ∴⊥. ●对应训练 1.如图所示，ABCD 是边长 为2a 的正方形， PB ⊥平面ABCD ， MA ∥PB ，且PB =2MA =2a ， E 是PD 的中点 (1)求证：ME ∥平面ABCD ; (2)求点B 到平面PMD 的距离; (3)求平面PMD 与平面 ABCD 所成二面角的余 第1题图 2.在正三棱锥S —ABC 中，底面是边长为a 的正三角形，点O 为△ABC 的中心，点M 为边 BC 的中点，AM =2SO ，点N 在棱SA 上，且SA =25SN . (Ⅰ)求面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小； （Ⅱ）证明：SA ⊥平面NBC . 3.如图,边长为2的正方形ADEF 所在的 平面垂直于平面ABCD ，AB=AD ， AB ⊥AD ，AC =32，AC ⊥BD ， 垂足为M ，N 为BF 的中点. (1)求证：MN ∥平面ADEF ； （2）求异面直线BD 与CF 所成角的大小； （3）求二面角A-CF-D 的大小. 第3题图 ●参考答案 1.(1)延长PM 、BA 交于F ，连接FD ，FD 、BC 延长交于G ，连接PG ， ∵MA 2 1 PB =a ， ∴M 为PF 中点，又E 为PD 中点， ∴ME 为△PFD 中位线，ME ∥FD ， 而FD 平面ABCD , ∴ME ∥平面ABCD . (2)MA 2 1 PB 时，A 为FB 的中点. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，DC ∥AB ， ∴D 、C 分别为FG 、BG 的中点. 第1题解图 ∵AB=BC =2a . ∴BF=BG =4a . ∴BD ⊥FG ，∵PB ⊥平面ABCD ，∴PB ⊥FG ，故FG ⊥平面PBD . 作BH ⊥PD 于H ，必FG ⊥BH ， 故BH ⊥平面PFG ，BH 之长是点B 到平面PFG (也就是平面PMD)的距离. Rt △PBD 中，PB =2a ，BD =22a. ∴PD =22BC PB +=23a ，BH = 632=?PD BD PB a ，即所求距离为63 2 a . (3)由(2)知FG ⊥DB ，FG ⊥DP . ∴∠PDB 是二面角P-FG-B 的平面角，且 cos ∠PDB = 3 6 3222= =a a DP DB ，即所求二面角的余弦值为36. 点评： (1)解立体几何题有两句格言:一是空间问题平面化，一是不规则图形规则化.本解 中“规则化”的手段是补形，最终补成底面为等腰直角三角形且高与底面垂直的规则四面体， 以下的分析计算也就方便了. (2)将正方体截下一个角，所得四面体由于有三条侧棱两两垂直，我们称这样的四面体为直 角四面体，直角四面体有许多重要性质，其中最重要的有3条： ①若用S ，S 1，S 2，S 3分别表示直角四面体的底面积和三个侧面积,那么：S 2=S 21+S 22+S 2 3 ②若直角四面体的三条侧棱之长依次为a ，b ，c ，则其底面积：S = 2 1222222a c c b b a ++ ③若直角四面体的三条侧棱之长，依次为a ，b ，c ，且直角顶点到底面的距离为h ，那么 h = 2 221111c b a ++ . 根据公式③本题第2问可轻而易举地解决：图中B —PFG 为直角四面体，且BP =2a ，BF=BG =4 a ∴BH = .63 2 1 144)4(1 )4(1)2(11 2 22a a a a a = ++= + + 2.(1)如图，正△ABC 边长为a 时， AM = 23a ，OM =31AM =63 a . SO = 21AM =4 3 a . ∠SMA 是二面角S —BC —A 的平面角， 设为α，则tan α= 2 3 =OM SO . ∴面SBC 与面ABC 成arctan 2 3 的角 . 第2题解图 (2)以O 为原点，直线AM 、OS 分别为x,z 轴，过O 且平行于BC 的直线为y 轴建立如图的空间直角坐标系，则有B ( 63a ,2a -,0)，M (63a ，0,0)，C (63a ,2a ,0)，S (0,0, 4 3a ). ∵33||32||== AM OA a ，有A (-33 a ，0，0). ∵=(-33a ，0，-4 3 a )，BC =（0，a ，0）， ∴ 2BC =0,⊥BC . 又= 251，故有N (25 3 - a ，0，3256a ). =3509a ，0，-3256 a). 故2=（- 33 a ,0,- 4 3 a ）2（5039a ,0,-2536a ）= -509a 2 +0+509a 2 =0. ∴⊥，从而SA ⊥平面NBC . 3.方法一：（1）∵AB=AD ，AC ⊥BD ，垂足为M ，∴M 为BD 的中点，∵N 为BF 中点，∴MN ∥ DF ∵MN 面ADEF ，DF 面ADEF ，∴MN ∥平面ADEF . (2)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，又∵F A ⊥AD ，∴F A ⊥面A BCD ， ∵AC 是FC 在平面ABCD 内的射影，BD ⊥AC ，∴BD ⊥CF ， ∴异面直线BD 与CF 所成角的大小为90° . （3）在平面ACF 内过M 作MH ⊥CF 于H ，连DH ， ∵BD ⊥AC ，BD ⊥CF ，AC ∩CF=C ， ∴BD ⊥面ACF ，斜线DH 在平面ACF 内的射影是MH ， 又CF ⊥MH ，∴CF ⊥DH ，∴∠MHD 是二面角A-CF-D 的平面角. 在等腰Rt △ABD 中，DM =2，AM =2，∵AC =32，∴CM =22，CF =22 , ∵△CMH ∽△CF A ,∴ FA MH CF CM =，∴MH =11 4 ,tan MHD = 4 22 , ∴二面角A-CF-D 的大小为 arctan 4 22 . 方法二：（1 ）同法一； （2）∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，又∵F A ⊥AD ，∴F A ⊥面ABCD ， ∴平面F AC ⊥平面ABCD ，在平面F AC 内作MG ⊥AC 交FC 于点G ， ∴MG ⊥平面ABCD . 如图，建立空间直角坐标系M-xyz , 则C （22，0，0），B （0，-2，0），D （0，2，0），F （-2，0，2）， ∴BD =（0,22,0），FC =（32,0,-2），∴BD 2FC =0，∴BD ⊥FC . ∴异面直线BD 与CF 所成角的大小为90° . 第3题解图（1） 第3题解图（2） 第3题解图（3） (3)设n =（x,y,z ）是平面CFD 的法向量， ∵=（32，0，-2）,=（2，2，-2）, 由?????=?=?0 0FC n n ，∴?????=-+=-02220223z y x x x ，令z =3，则x =2，y =22， ∴n =（2，22，3），∵MD ⊥AC ，∴MD ⊥平面ACF ∴平面ACF 的法向量=（0，2，0），则cos 38 212 194| |||= ?= MD n . ∴二面角A-CF-D 的大小为arccos 19 38 2. 第19计 模式开门 请君入瓮 ●计名释义 数码时代就是非数学问题数学化，非数字问题数字化，非函数问题函数化，非方程问题方程化，如此等等. 如何“化”法呢？这就是数学建模.数学建模是一种能力，把实际问题加工为数学问题的能力. 数学建模是一种思维形式，对中学生来讲，有以下三种形式. 第一，现成的模式直接拿来应用；第二，实际问题理想化，从复杂的问题中抓住主要矛盾，使之符合某种现有的模式；第三，对原始问题进行重新建构，“重新”的意思包含：①对原有模型重新组合；②对新问题创建新模式. ● 典例示范 【例1】 实数x ，y 满足x 2+(y -1)2=1，则使不等式x+y+c ≥0恒成立的实数c 的取值范围是 （ ） A .［-12-，2-1］ B .［2-1，+∞) C .( 2- +1，2-1) D .(-∞，2--1) 【分析】 容易看出：x 2+(y -1)2=1表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆，而x+y+c ≥0表示直线y=-x-c 即其上半平面，因而构造解析几何模型，原题转化为：当点（x ，y ）既在直线y=-x-c 上方，又在圆x 2+(y -1)2=1上运动时，实数c 应满足什么条件？ 【解答】 如图，斜率为-1的直线 y=-x-c 切圆x 2+(y -1)2=1于A ，B ， 交y 轴于M ，N .连AB ， 则AB 过圆心C （1，0）. 等腰直角三角形MCB 中，∣CB ∣=1， ∴∣CM ∣=2，设M （0，-c ）， 必-c =1-2，得M （0，1-2）. 当且仅当-c ≤1-2时，圆x 2+(y -1)2=1 例1题解图 上的点在直线y=-x-c 上或其上方.于是c ≥2-1，选 B . 【例2】 正数x ，y ，z 满足方程组???? ?????=++=+=++2222 222 22433 1531x zx z z y y xy x ，则xy +2yz +3xz 的值是 . 【分析】 从题目的条件看，方程组的左边具有余弦定理或勾股定理的形式，而右边正好 2019年考研数学二真题 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．曲线3sin 2cos ()2 2 y x x x x π π =+- << 的拐点是（ ） （A ）(0,2) （B ）(,2)π- （C ）(,)22ππ - （D ）33(,)22 ππ - 3．下列反常积分发散的是 （ ） （A ） x xe dx +∞ -? （B ）2 x xe dx +∞ -? (C ）20 arctan 1x dx x +∞ +? （D ）201x dx x +∞+? 4．已知微分方程x y ay by ce '''++=的通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ） （A ）1,0,1 （B ）1,0,2 (C ）2,1,3 （D ）2,1,4 5．已知平面区域{(,)|}2 D x y x y π =+≤ ，记1D I =，2D I =??， 3(1D I dxdy =-?? ，则 （ ） （A ）321I I I << （B ）213I I I << （C ）123I I I << （D ）231I I I << 6．设函数(),()f x g x 的二阶导函数在x a =处连续，则2 ()() lim 0() x a f x g x x a →-=-是两条曲线()y f x =，()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）充分必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 7． 设A 是四阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中只有两个向量，则(*)r A =（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 8．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若2 2A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是 （ ） （A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222 123y y y --- 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．( ) 20 lim 2 x x x x →+= ． “三十六计”在数学课堂教学中的妙用 摘要：有人曾说，一堂成功的数学课就是一场漂亮的战斗。既然是战斗就必须 讲究其战略战术，想让学生真正成为课堂教学中的主人，让他们在自由、平等、 轻松、开放的境遇中充分发展，就要讲究“用兵之道”。他山之石，可以攻玉，借 用一下我国古代兵法精华之作“三十六计”，用作数学课堂教学中的“求胜”策略， 将让你体会到出奇制胜的效果。 关键词：三十六计数学妙用 一、以逸待劳，“涌”现精彩 “凡是学生自己可以做的事，就让他们自己去做，教师只要在旁指导，培养学 生从小自立的精神。”在课堂教学上，作为教师不能越俎代庖，要学会“偷懒”。“以逸待劳”，以静制动，调动学生自主学习的积极性，让学生多做脑力和体力的“劳动”，用“劳动”来创设美好的意境，而我们教师只要“以逸”坐收“渔翁之利”。 “教育”总是与“苦和累”连在一起，但“懒老师”未必就是坏老师。在学生减负的同时，教师也应适时地给自己减减压，图个清静；要给学生时间上和空间上的自由，给学生心灵上的自由，给学生敢说敢做的自由，给学生一个能自由伸展的舞台。 二、假痴不癫，借“考”制胜 “假痴不癫”是“三十六计”之中的第二十七计，它的本义是指：表面装作糊里 糊涂，实际上却是非常的清楚，假装不行动，却在暗地里策划，等待时机。应用 于数学课堂教学之中，教师可在表达、演示时有意地出现一些错误和漏洞，在回 答问题时故意装作不知，“能而示之不能”，让学生自己去发现问题、提出问题、 解决问题，从中培养学生大胆质疑、自主探究的能力。 在教学中，教师也可适当地在提问中主观杜撰，来一个“无中生有”；也可以 在辨析中故作正经，来一点幽默；还可以出示错误，从中引发深思。教师的“韬光养晦”，常常可以带来空前活跃的课堂气氛，在愉快中完成教学中的任务。 三、隔岸观火，以彼“促”己 “隔岸观火”即“坐山观虎斗”。本义是指：当敌方内部矛盾激化，相互倾轧， 势不两立，搞分裂时，我方切不可操之过急，免得反而促成敌方暂时联起手来对付。正确的方法就是以静制动，让他们先相互残杀，力量削弱，两败俱伤。在平 时的教学中利用此计，这是指学生在互相争辩时，教师应做一个“旁观者”，不仅 不去制止，适当的时候还需要搞一点“火上浇油”。这样，吸收他人的信息为自己 所用，自己已有的知识被他人的观点所唤醒和激活，做到一举两得，我们何乐而 不为呢？ 四、顺手牵羊，“借”题发挥 “顺手牵羊”是三十六计中的第十二计，喻指意外获得某种便宜，或毫不费力 地获得某种平常要花大气力才能获得的东西。教师在数学教学中，不应过于忠于 教材，我们应变“以教材为本”为“以学生为本”，根据学生的实际情况，对教材进 行创造性的改变，促进学生的全面发展。 在教学“稍复杂的整数应用题”中，有这样一道题：一场音乐会的票价有40元 和60元两种，60元的有100个座位，40元的有250个座位。票房总收入为15000元，观众可能有多少人？（已知两种票价售出的张数都是整十数）这道题 的答案是唯一的330人。但是，在我们现实生活中并非如此，于是我就把括号中 的条件省去了让学生解答。不“省”不知道，一“省”吓一跳，课堂顿时沸腾了起来， 第19计 模式开门 请君入瓮 ●计名释义 数码时代就是非数学问题数学化，非数字问题数字化，非函数问题函数化，非方程问题方程化，如此等等. 如何“化”法呢？这就是数学建模.数学建模是一种能力，把实际问题加工为数学问题的能力. 数学建模是一种思维形式，对中学生来讲，有以下三种形式. 第一，现成的模式直接拿来应用；第二，实际问题理想化，从复杂的问题中抓住主要矛盾，使之符合某种现有的模式；第三，对原始问题进行重新建构，“重新”的意思包含：①对原有模型重新组合；②对新问题创建新模式. ● 典例示范 【例1】 实数x ，y 满足x 2+(y -1)2=1，则使不等式x+y+c ≥0恒成立的实数c 的取值范围是 （ ） A .［-12-，2-1］ B .［2-1，+∞) C .( 2-+1，2-1) D .(-∞，2--1) 【分析】 容易看出：x 2+(y -1)2=1表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆，而x+y+c ≥0表示直线y=-x-c 即其上半平面，因而构造解析几何模型，原题转化为：当点（x ，y ）既在直线y=-x-c 上方，又在圆x 2+(y -1)2=1上运动时，实数c 应满足什么条件？ 【解答】 如图，斜率为-1的直线 y=-x-c 切圆x 2+(y -1)2=1于A ，B ， 交y 轴于M ，N .连AB ， 则AB 过圆心C （1，0）. 等腰直角三角形MCB 中，∣CB ∣=1， ∴∣CM ∣=2，设M （0，-c ）， 必-c =1-2，得M （0，1-2）. 当且仅当-c ≤1-2时，圆x 2+(y -1)2=1 例1题解图 上的点在直线y=-x-c 上或其上方.于是c ≥2-1，选B . 【例2】 正数x ，y ，z 满足方程组???? ?????=++=+=++2 22222222433 1531x zx z z y y xy x ，则xy +2yz +3xz 的值是 . 【分析】 从题目的条件看，方程组的左边具有余弦定理或勾股定理的形式，而右边正好是一个直角三角形三边之长的平方值.因此考虑构造直角三角形. 数学破题36计 第36计思想开门人数灵通 ●计名释义 为什么要学数学？难道仅仅是为了那几个公式、那几项法则、那几条定理？学过数学的人，到后来多数把那些具体的公式、法则和定理忘得一干二净，这岂不是说，他们的数学白白学了？ 所谓“数学使人聪明”，就是学过数学的人们，看待问题和解决问题时有一种优质的、高品位的思想. 这种思想，它来自数学公式、法则和定理的学习过程，但它一旦形成了思想，就可以与形成它的数学具体的知识相对分离. 而与人的灵性结合，形成人的自觉行为活动. 中学数学可以形成的思想（方法），公认的有七种，这七种思想首先要与人的灵性融合，反过来，在解决数学问题时，又能使数学问题也具有灵性，从而达到人与数的沟通、实现“人数合一”的思想境界. ●典例示范 【例1】有一个任意的三角形 ABC（材料），计划拿它制造一个 直三棱柱形的盒子（有盒盖） ，怎样设计尺寸（用虚线表示）， 才能不浪费材料（图右上）？例1图 【思考】“任意”三角形属一般情况， 它的对立面是“特殊”的三角形. 我们先从正三角形考虑起. 假设这个尺寸如图（1）所示. （1）三棱柱的底面A1B1C1的 中心G为原三角形的中心. （2）柱体的三侧面是三个矩形， 矩形的长与底面△A1B1C1的边长对应相等. （3）柱体的上底面（盒盖）由 三个四边形拼合，拼成后的三角形与A1B1C1全等.例1题解图（1） 经过以上思考，底面小三角形的三个顶点，如C1，它应满足两个条件：其一，C1是GC的中点；其二，C1到∠C两边的距离相等， 因此它在∠C的平分线上.于是在一般的情况下，点G应是△ABC的内心. 【解答】作△ABC的∠A和∠B的 平分线相交于内心G，如图（2）所示. 分别作GA、GB、GC的中点A1、B1、C1. △A1B1C1为直三棱柱的一个底面. 过A1，B1，C1三点分别作对应边 的垂线（段），所得矩形为柱体的三个侧面. 经过以上截取后，原△ABC三个顶点 处所余下的三个四边形拼在一起， 作为柱体的另一个底面（盒盖）.例1题解图（2） 2018年考研数学二真题及答案 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的. 1 若1) (lim 2 12 =++→x x x bx ax e ,则（ ） A 1,21-== b a B 1,21 -=-=b a C 1,21==b a D 1,2 1 =-=b a 2下列函数中不可导的是（ ） A. )sin()(x x x f = B.)sin()(x x x f = C. x x f cos )(= D.) cos()(x x f = 3设函数?? ???≥-<<--≤-=???≥<-=0 011 ,2)(0,10,1)(x b x x x x ax x g x x x f 若) ()(x g x f +在R 上连续，则（ ） A 1 ,3==b a B 2 ,3==b a C 1 ,3=-=b a D 2 ,3=-=b a 4 设函数 ) (x f 在 ] 1,0[上二阶可导，且 )(1 =? dx x f 则 （ ） A 当0 )(<'x f 时，0)21( 巧用“三十六计”兵法渗透数学课堂 课堂教学过程中的评价语言不仅是一种智慧、一项技能，更是一门艺术，要想把数学课上得生动有趣，让课堂成为一潭活水，就要讲究“用兵之道”，采取多种谋略。《三十六计》是一部“谋略”大全，在教学评价中适当应用其中的一些计策，能使教学如鱼得水，收到事半功倍的效果。下面结合实例探讨数学课堂中如何用好“三十六计”来提高课堂评价的有效性。 一、围魏救赵――课堂评价语言，具有时机性 “围魏救赵”是《三十六计》中第二计，该计应用在数学课堂教学上，就是针对学生的回答“机不逢时”时，反守为攻，不露声色地进入到教学的下一环节。 例如，我校一位教师上公开课《时、分的认识》，预备让学生通过数数得出结论“一小时=60分钟”。同学们正要开始数数，其中有一个学生说：“不要数了，我知道一共有60个小格，因为一小时=60分钟。”这位学生三言两句就概括了这节课的学习内容。但这位老师不慌不忙地夸奖了他几句，然后对全班学生说：“那么现在让我们来验证一下这位同学是否回答正确了。”接着这位老师就开始了新授课。 在教学《面积的初步认识》时，孩子想出了各种各样的办法比较图形面积的大小，汇报了一种又一种，虽然有的方法原理都是一样的，但是这些鲜活的东西毕竟是他们小脑 袋瓜经过认真思索、操作得出的，别说学生个个激情高涨，跃跃欲试，我也被感染着，可一看时间不允许了，怎么既不打击孩子的激情，又让我的下一环节得以实施呢，三十六计“走为上”不能拖了，“你们的办法真多，但是无论用什么办法，最后的结果都是……？”“2号图形的面积大！”“对，这个太简单了，看来还要考考你们……”这样孩子们中了“调虎离山”计，我通过“围魏救赵”顺势进入了下面的教学。 二、笑里藏刀――课堂评价语言，具有教育性 教育家斯维特若夫讲过：“教育家最主要的，也是第一位的助手是幽默。”有时候我们如果采用幽默的语言缓解课堂气氛，则能春风化雨，达到教育学生的目的。在一堂“小数除法”课上，我请一个同学到黑板上板演竖式计算。这位学生平时就很爱做点小动作引起同学注意，他“刷刷”地很快就把黑板写得满满的，把竖式列得又高又大，如“狂草”一样潦草，引得其他学生都笑了起来，该生看着自己的“书法作品”亦颇有得意之色。我待静下来以后说道：“这位同学的计算全对了，但是‘字高字大’自高自大）就不太好了！”我针对学生所暴露出来的思想缺点，没有大发其火，也没有一本正经地进行批评教育，而是运用谐音双关“指桑骂槐”的方法，含蓄委婉地表示了自己的看法，使学生在思而得知后的笑声中受到教育。又如一次发现学生做作业潦草马虎， 第3计 诸葛开门 扇到成功 ●计名释义 诸葛亮既不会舞刀，也不会射箭，他的兵器就是他手中的那把扇子. 草船借箭用扇子，借东风也是用扇子. 有人把“借东风”的意思弄肤浅了，以为东风就是东边来的风，其实，这里真正所指是“东吴”的风. 在赤壁大战中，刘备哪是曹操的对手，后来能把曹兵打败，借的就是东吴的力量. 数学解题的高手们，都会“借力打力”，这就是数学“化归转换思想”的典型应用. ●典例示范 ［题1］ 已知f (x )=221 +x 试求 f (-5 )+ f (-4 )+…+ f (0 )+…+ f (6 )的值. ［分析］ 若分别求f (x )在x = -5，-4，…，0，…，6时的12个值然后相加. 这不是不行，只是工作量太大，有没有简单的办法？我们想“借用”等差数列求和时“倒序相加”的办法. 于是，我们关心f (x )+f (1-x )的结果. ［解析］ 因为 f (x )+ f (1-x ) = 2 212 211++ +-x x =) 22(212 2122222 21 ++ += ?++ +x x x x x = 2 2) 22(222=++x x 所以 f (-5 )+ f (-4 )+…+ f (0 )+…+ f (6 ) = 2 1［（f (-5 )+ f (6 )）+（f (-4)+ f (5 )）+…+（f (6 )+ f (-5 )）］ = 2 1 ［f (1-x )+ f (x )］×6 =23122221=?? ［点评］ 这里，“借来”的不是等差数列本身的性质，而是等差数列求和时曾用过的办法——倒序相加法. ●对应训练 1.已知sin 2α+sin 2β+sin 2 γ=1(α、β、γ均为锐角)，那么cos αcos βcos γ的最大值等于 . 数学破题36计 三年级数学海读试题《三十六计》满分 50 分 一、 判断下列说法是否正确。每小题 2分，共 20分。 1. 薛仁贵用瞒天过海之计让唐太宗轻而易举跨过了大海。 （ ） 2. 周瑜用围魏救赵之计，除去了曹操的两员大将。 （ ） 3. 赵国名将李牧用借刀杀人之计，战胜了匈奴。 （ ） 4. 春秋时期，越王勾践用趁火打劫之计，最终灭了吴国。 （ ） 5. 东汉末年，在官渡袁绍以少胜多打败了曹操。 （ ） 6. 张巡效仿诸葛亮草船借箭，也不费力气就得到几十万支箭。 （ ） 7. 韩信明修栈道，是为了吸引敌军的注意力，好暗渡陈仓。 （ ） 8. 苏代为秦国立下了汗马功劳，最终却落得自杀的下场。 （ ） 9. 卫鞅率兵攻打赵国，魏国隔岸观火，所以保全了自己。 （ ） 10. 程婴用自己的孩子，替换了赵家男婴，并把他培养成了文武双全的青年。（ ） 二、 选择。每小题 2 分，共 20 分。 1. 楚王（ ）灭掉了息国。 A.顺手牵羊 B .无中生有 C .借刀杀人 2. 北魏伏兵因为（ ）最终被破六韩拔陵打败。 A .喝酒误事 B .贪生怕死 C .打草惊蛇 3. 孙策写信让刘勋攻打上缭， 而自己则趁机占领了刘勋的卢江郡， 这就是（ ） A .李代桃僵 B .声东击西 C .调虎离山 4. 诸葛亮对（ ）七擒七纵，使他心服口服。 A .孟获 B .孙权 C .周瑜 5. 曹操采用（ ）计策，收降了文丑的兵马。 A .擒贼擒王 B .抛砖引玉 C .欲擒故纵 6. 赵高和李斯用（ ）手段，立胡亥做了皇帝。 A .偷梁换柱 B .李代桃僵 C .金蝉脱壳 7. 东汉末年（ ）挟天子以令永无诸侯，引起大家的不满。 A .刘备 B .曹操 C .孙权 8. 刘琦脱险是（ ）出的计策。 A . 刘备 B . 诸葛亮 C . 周瑜 9. （ ）桥头大喝，吓退曹兵。 A .刘备 B .关羽 C .张飞 10. 王允用（ ），借吕布之手除掉了董卓。 A .美人计 B .空城计 C .苦肉计 三、把下列故事与计谋对号入座。每个 A .走为上计 B .苦肉计 C .空城计诸葛亮三尺瑶琴退雄师。 （ ） 悬羊击鼓巧撤兵。（ ） 诸2 分，共 10 分。 D .浑水摸鱼 E .金蝉脱壳 跳出题海，我有36计 第11计 耗子开门 【计名释义】 《说唐》中有这样一个故事.唐太宗征北，困在木阳城，绝粮.军师献计，沿着鼠洞挖去，可能找到粮食.结果，真的在地下深处发现了粮仓.太宗嘉奖耗子的牙啃立功，并题诗曰：鼠郎个小本能高，日夜磨牙得宝刀，唯恐孤王难遇见，宫门凿出九条槽. 庞大的数学宝库也是众多的“数学耗子”啃穿的.你可知道，前1万个质数就是这些耗子们一个个啃出来的，七位数字对数表也是这样啃出来的. 数学解题，当你无计可施，或者一口难吞时，那就决定“啃”吧. 【典例示范】 【例1】如图，在直四棱柱1111A B C D A B C D -中，底面A B C D 为菱形， A C = 12A A B D ==, E 为1B D 中点. （Ⅰ）证明： 1//B B 面A E C ； （Ⅱ）求二面角E D C A --的余弦值. 【答案】 (Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)7. 【解析】试题分析： （Ⅰ）设AC BD O ?=，连E O ，由中位线的性质可得11////O E D D B B ，结合线面平行的判断定理可得 1//B B 面A E C . （Ⅱ）过O 作O F C D ⊥，垂足为F ，连O F ，则E F O ∠是二面角E O C A --的平面角. 由题意可得2O F =， 2E F =， 7c o s E F O ∠=.即二面角E D C A --的余弦值为7. 【例2】已知，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 ，当且仅当时取等号 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 2003年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设,0, 0, 0,1cos )(=≠?????=x x x x x f 若若λ 其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是_____. （2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b ________. （3）设a>0，，x a x g x f 其他若, 10,0,)()(≤≤? ? ?==而D 表示全平面，则 ??-=D dxdy x y g x f I )()(=_______. （4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 T E A αα-=， T a E B αα1 +=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a=______. （5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为________. （6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样 本，则当∞→n 时，∑==n i i n X n Y 1 21依概率收敛于______. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x x f x g ) ()(= [ ] (A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0. (C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. （2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是 [ ] (A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. （3）设2 n n n a a p += ，2 n n n a a q -= ， ,2,1=n ，则下列命题正确的是 [ ] (A) 若 ∑∞ =1n n a 条件收敛，则 ∑∞ =1n n p 与 ∑∞ =1 n n q 都收敛. (B) 若 ∑∞ =1n n a 绝对收敛，则 ∑∞ =1n n p 与 ∑∞ =1n n q 都收敛. (C) 若 ∑∞ =1 n n a 条件收敛，则 ∑∞ =1 n n p 与 ∑∞ =1 n n q 敛散性都不定. (D) 若 ∑∞ =1 n n a 绝对收敛，则 ∑∞ =1 n n p 与 ∑∞ =1 n n q 敛散性都不定. （4）设三阶矩阵???? ??????=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 [ ] (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0. (C) a ≠b 且a+2b=0. (D) a ≠b 且a+2b ≠0. （5）设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是 [ ] (A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ， 则s ααα,,,21 线性无关. (B) 若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有 .02211=+++s s k k k ααα (C) s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s. 数学三十六计继集之4：直接间接 作者：马到成功老师 在用方程与方程组解决各类应用题的时候，对未知数的设定可根据题目的实际情况，直接设定所求，或者间接设所求，都可以把题目的难度降低，或更清晰，更容易理解。 【精典名题1】奥林匹克业余体校篮球班的同学进行一次投篮测试，每人投10次，按每人的进球数统计，得到下表（中间部分的数据已被擦去）： 进球数012 (8910) 人数754 (341) 已知至少投进3个球的人平均每人投进6个球，进球少于8个的人平均每人投进3个球。篮球班参加测试的同学有多少人？ 【思路点拨】直接设有x人参加测验。由上表看出，至少投进3个球的有（x-7-5-4）人，投进不到8个球的有（x-3-4-1）人。投中的总球数，既等于进球数不到3个的人的进球数加上至少投进3个球的人的进球数， 0×7+1×5+2×4+6×（x-7-5-4） =5+8+6×（x-16） =6x-83， 也等于进球数不到8个的人的进球数加上至少投进8个球的人的进球数， 3×（x-3-4-1）+8×3+9×4+10×1，=3×（x-8）+24+36+10=3x+46。由此可得方程6x-83=3x+46，3x=129， x=43（人）。 【精典名题2】一批树苗,按下列原则分给各班栽种;第一班取走100棵又取走剩下树苗的10 1 ,第二班取走200棵又取走剩下树 苗的 10 1 .第三班取走300棵又取走剩下树苗的10 1 ,照此类推,第i 班取走树苗100 i 棵又取走剩下树苗的 10 1 .直到取完为止.最后各班所得树苗都相等.试问这批树苗有多少棵?有几个班?每个班取走树苗多少棵? 【思路点拨】直接设，列出的方程稍复杂。设这批树苗有x 棵,则第一班取走树苗(100+ )10 100 -x 棵,第二班取走树苗 10 )10 10 -100(-200-200x x + + 棵.依题意,得 本卷第1页（共138页） 高考数学解题破题36计 第1计 芝麻开门 点到成功 ●计名释义 七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点. 《阿里巴巴》用“芝麻开门”，讲的是“以小见大”. 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了. 数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点”的重要性. 因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了. ●典例示范 ［例题］将杨辉三角中的每一个数r n C 都换成分数r n C n )1(1 +，就得到一 个如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可 以看出 r n x n r n nC C n C n 11)1(1)1(1-=+++，其中=x . 令 221)1(1160130112131n n n C n nC a +++++++= - ，则= ∞→n n a lim . ［分析］ 一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物. 从何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意. 莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点11 的主意. ［解Ⅰ］ 将等式r n x n r n nC C n C n 11)1(1)1(1-=+++与右边的顶点三角形对应（图右），自然有21)1(1 =+r n C n 21)1(1=+x n C n 1111=-r n nC 对此，心算可以得到：n =1，r =0，x=1 对一般情况讲，就是x = r+1 这就是本题第1空的答案. ［插语］ 本题是填空题，只要结果，不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，点到成功. 要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点. 因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出x = r+1. 2005年考研数学二真题与解析 一、填空题(本题共6小题,每小题4分，满分2４分. 把答案填在题中横线上） (1)设x x y )sin 1(+=，则|x dy π=＝_＿____ . (2） 曲线x x y 23) 1(+=的斜渐近线方程为＿＿__＿_ ． (３)=--?10221)2(x x xdx ______ ． （４） 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91 )1(-=y 的解为＿＿_＿__ . （5)当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k= ___＿_＿ . （６)设321,,ααα均为3维列向量,记矩阵 ),,(321ααα=A ,)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B . 二、选择题（本题共8小题，每小题4分,满分3２分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (7）设函数n n n x x f 31lim )(+=∞→，则f （x)在),(+∞-∞内 (Ａ) 处处可导. (B ） 恰有一个不可导点. (C ） 恰有两个不可导点． (D ） 至少有三个不可导点. [ ] （8)设F(x)是连续函数f(x ）的一个原函数,""N M ?表示“Ｍ的充分必要条件是N ”,则必有 (A) F(x)是偶函数?f （x)是奇函数. （Ｂ） Ｆ(x)是奇函数?ｆ(x ）是偶函数. (C) Ｆ(x)是周期函数?f(ｘ）是周期函数. (D ） F(x)是单调函数?f （x)是单调函数. [ ］ （９)设函数y=y(x)由参数方程???+=+=) 1ln(,22t y t t x 确定,则曲线y=y （x)在ｘ＝3处的法线与x 轴交点的横坐标是 (Ａ） 32ln 81+． (B) 32ln 8 1+-． (C ） 32ln 8+-. （D) 32ln 8+． ［ ] （１０)设区域}0,0,4),{(2 2≥≥≤+=y x y x y x D ，f （x)为Ｄ上的正值连续函数,ａ,b 为常数,则=++??σd y f x f y f b x f a D )()()()( [转载]学数学36计 (2010-07-30 11:22:39) 转载原文 标签： 转载 原文地址：学数学36计作者：李广学 第1计：挖掘潜能。不管你现在情况怎样，你都要相信自己还有巨大的潜能。从现在到高考进步50名的大有人在，进步80名的也有可能。. 第2计：坚定意志。高考其实是看谁坚持到最后，谁就笑到最后。考生应全力以赴知难而进，战胜惰性提升意志. 第3计：调好心态。心态决定成败，高考不仅是知识和智力的竞争，更是心理的竞争。考生应努力改变最近的不良心态。 第4计：把握自我。复习时紧跟老师踏踏实实地复习没有错，但也要有自我意识：“我”如何适应老师的要求，如何根据自己的特点搞好最后阶段的复习，如何在“合奏”的前提下灵活处理“独奏”。 第5计：战胜自我。面对迎考复习的艰辛，面对解题的繁难，面对竞争的压力，面对多变的情绪，只有“战胜自我”，才能海阔天空。 第6计：每日做题。每日做些题目，让自己保持对问题的敏感，形成模式识别能力。当然，做题的数量不能多，难度不宜大。 第7计：一次成功。面对一道题（最好选择陌生的中档题）用心去做，看看能否一下子就理出思绪，一做就成功。一份试卷，若不能一次成功地解决几道题，就往往会因考试时间不够而造成“隐性失分”。 第8计：讲求规范。建议考生找几道有评分标准的考题，认真做完，再对照评分标准，看看答题是否严密、规范、恰到好处。 第9计：回到基础。一般说来，考前不宜攻难题，既没有这么多的时间，也没必要。要回到基础，把基础打扎实，在考试时才能做到“基础分一分不丢”。 第10计：限时训练。可以找一组题（比如10道选择题），争取限定一个时间完成；也可以找1道大题，限时完成。这主要是创设一种考试情境，检验自己在紧张状态下的思维水平。第11计：激活思维。可以找一些题，只想思路：第一步做什么，第二步做什么……（不必 数学破题36计 第35计符号开门来意弄懂 ●计名释义 数学老师讲“数学语言”,他在黑板上写了这样一句话，其中没有一个汉字： 3x+2y+z=100 问学生：“这句话的意思是什么？” 学生甲说：这是一个故事，马驮粮食的故事：一匹大马驮3袋粮食，中马驮2袋，小马驮1袋，一共驮走了100袋粮食. 学生乙说：这是一个方程，三元一次方程，3个未知数x,y,z.这是个不定方程. 学生丙说：这是一个问题：第1个数乘3，第2个数乘2，第3个数乘1，其和为100.问这3个数各为多少？ 老师很高兴：这种用来表示数学语言的“数学文字”，通常称作数学符号.这里的3，2，1，100，+，=等数学文字都是数学符号.其实，这三个学生对“这句话”的理解是有区别的：甲说的是情境，乙说的是形式，丙说的才是数学本意.单从句式上看，方程不是一个陈述句，也不是感叹句，而是疑问句. ●典例示范 【例1】计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0～9和字母A～F共16个计数符十六进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A.6E B.72 C.5F D.B0 【分析】本题破门首先是弄懂数学符号A，B,C，D，E，F的意思.依题意，他们是16位进制数中后6个数字.说它们是第10，11，12，…，15等数字时，则请注意，这是在借用10进制说话.这里11到15，在10进制中都是十位数，而A到F，在16位进制中都是个位数. 对于E+D=1B，有人写成E+D=14+13=27=1B.这就混淆了数学符号在两种进制中的意义.这里14，13，1B 中的1的意思相同吗？ 【解答】我们用符号［x］(10),［y］(16)分别表示10进制和16进制中的数，依题意，就是［16］(10)=［10］(16) .则有A×B=［10×11］(10) =［110］(10)=［6×16+14］(10)= ［610+E］(16)=6E. 答案为A. 【插语】这里，解题人的特殊数学语言（10进制数和16进制数）用特别符号（［x］(10)和［y］(16))来与读者“约定”，使表达式形式准确而简明. 【点评】高考数学新题型中，往往有新的数学符号出现.由于有新符号,所以一定有对新符号的介绍.这时我们的任务是:把新的“符号语言”和我们已经掌握了的“普通语言”完成互译：（1）把“新符号”译成“普通话”；（2）把迁移后（解答后）的“普通话”译成“新符号”. 【例2】对于任意的两个实数对(a1，b1)和(a2，b2), 规定：（a1，b1)=（a2，b2)，当且仅当a1=a2，b1=b2，运算“?”为：（a1，b1)?(a2，b2)=(a1a2-b1b2，b1a2+a1b2)；运算“⊕”为：（a1，b1)⊕(a2，b2)=(a1+a2，b1+b2). 设p,q∈R，若（1，2）?（p,q)=(5,0)，则 (1,2)⊕(p,q)= ( ) A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-4) 【分析】本题破门首先是弄清符号所表示的运算意义：（1）运算对象是有序数对（a,b),运算结果也 第10计 聋子开门 慧眼识钟 ●计名释义 一群人到庙里上香，其中有一个聋子，还有一个小孩. 上香完毕，发现小孩不见了.半天找不到影子后，大家来“问”这聋子.聋子把手一指，发现小孩藏在大钟底下，而且还在用手拍钟.大家奇怪，连我们都没有听见小孩拍钟的声音，聋子怎么听着了呢？ 其实，大伙把事情想错了，聋子哪里听到了钟声，只是凭着他的亮眼，发现大钟底下是好藏小孩的地方. 聋子的直觉感往往超过常人.数学家黎曼是个聋子，据说，他所以能创立他的黎曼几何，主要受益于他的超人的直觉看图. 为了增强直觉思维，建议大家在解数学题时，不妨装装聋子，此时，难题的入口处，可能闪出耀眼的灯光. ●典例示范 【例1】 若(1-2x )2008 = a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2008x 2008(x ∈R ), 则 (a 0+a 1)+(a 0+a 2)+(a 0+a 3)+…+(a 0+a 2008)= (用数字作答) 【思考】 显然a 0=1, 且当x =1时，a 0+a 1+…+a 2008=1, ∴原式=2008a 0+a 1+a 2+…+a 2008 =2007+(a 0+a 1+…a 2008)=2007+1=2008. 【点评】 本例的易错点是：必须将2008a 0拆成2007a 0+a 0,否则若得出2008+1=2009就错了. 【例2】 对于定义在R 上的函数f (x )，有下述命题：①若f (x )是奇函数，则f (x -1)的图象关于点A （1，0）对称；②若对x ∈R , 有f (x +1)= f (x -1), 则f (x )的图象关于直线x =1对称；③若函数f (x -1)的图象关于直线x =1对称，则f (x )是偶函数；④函数f (1+x )与f (1-x )的图象关于直线x =1对称.其中正确命题的序号为 . 【思考】 奇函数的图象关于原点对称，原点右移一单位得（1，0），故f (x -1)的图象关于点A （1，0）对称，①正确；f (x )= f ［(x +1)-1］= f (x +2)，只能说明f (x )为周期函数，②不对；f (x -1)右移一单位得f (x )直线x =1左移一单位得y 轴，故f (x )的图象关于y 轴对称，即为偶函数，③正确；④显然不对，应改为关于y 轴对称.例如设f (x )=x , 则f (1+x )=1+x , f (1-x )=1-x ,两图象关于y 轴对称. 【点评】 本例的陷沟是：容易将f (1+x )与f (1-x )误认为f (1+x )=f (1-x )，这是容易鱼目混珠的地方, 而后者才是R 上的函数f (x )的图象关于直线x =1对称的充要条件. 【例3】 关于函数f (x )=2x -2-x (x ∈R ).有下列三个结论：①f (x )的值域为R ; ②f (x )是R 上的增函数；③对任意x ∈R , 都有f (x )+f (-x )=0成立，其中正确命题的序号是 (注：把你认为正确命题的序号都填上). 【解答】 由y ?- =x x 2 1 2(2x )2-y ·2x -1=0. 关于2x 的方程中，恒有Δ=y 2+4>0. ∴y ∈R ①真. 第10计聋子开门慧眼识钟 ●计名释义 一群人到庙里上香，其中有一个聋子，还有一个小孩. 上香完毕，发现小孩不见了.半天找不到影子后，大家来“问”这聋子.聋子把手一指，发现小孩藏在大钟底下，而且还在用手拍钟.大家奇怪，连我们都没有听见小孩拍钟的声音，聋子怎么听着了呢？ 其实，大伙把事情想错了，聋子哪里听到了钟声，只是凭着他的亮眼，发现大钟底下是好藏小孩的地方. 聋子的直觉感往往超过常人.数学家黎曼是个聋子，据说，他所以能创立他的黎曼几何，主要受益于他的超人的直觉看图. 为了增强直觉思维，建议大家在解数学题时，不妨装装聋子，此时，难题的入口处，可能闪出耀眼的灯光. ●典例示范 【例1】若(1-2x)2008 = a0+a1x+a2x2+…+a x2008(x∈R), 则 2008 (a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2008)= (用数字作答) 【思考】显然a0=1, 且当x=1时，a0+a1+…+a2008=1, ∴原式=2008a0+a1+a2+…+a2008=2007+(a0+a1+…a2008)=2007+1=2008. 【点评】本例的易错点是：必须将2008a0拆成2007a0+a0,否则若得出2008+1=2009就错了. 【例2】对于定义在R上的函数f (x)，有下述命题：①若f (x)是奇函数，则f (x-1)的图象关于点A（1，0）对称；②若对x∈R, 有f (x+1)= f (x-1), 则f (x)的图象关于直线x=1对称；③若函数f (x-1)的图象关于直线x=1对称，则f(x)是偶函数；④函数f(1+x)与f(1-x)的图象关于直线x=1对称.其中正确命题的序号为 . 【思考】奇函数的图象关于原点对称，原点右移一单位得（1，0），故f(x-1)的图象关于点A（1，0）对称，①正确；f (x)= f［(x+1)-1］= f (x+2)，只能说明f (x)为周期函数，②不对；f (x-1)右移一单位得f (x)直线x=1左移一单位得y轴，故f (x)的图象关于y轴对称，即为偶函数，③正确；④显然不对，应改为关于y轴对称.例如设f (x)=x, 则f (1+x)=1+x, f (1-x)=1-x,两图象关于y轴对称. 【点评】本例的陷沟是：容易将f (1+x)与f (1-x)误认为f (1+x)=f (1-x)，这是容易鱼目混珠的地方, 而后者才是R上的函数f (x)的图象关于直线x=1对称的充要条件. 【例3】关于函数f (x)=2x-2-x (x∈R).有下列三个结论：①f (x)的值域为R; ②f (x)是R上的增函数；③对任意x∈R, 都有f (x)+f (-x)=0成立，其中正确命题的序号是(注：把你认为正确命题的序号都填数学破题36计(19-27)
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