线路独立坐标系的建立方法研究
1 绪论
坐标系统的选择对一项工程来说是一项首先必须进行的工作，同时坐标系统选择的适当与否关系到整个工程的质量问题，因此对坐标系统的研究是一项非常重要和必须的工作。我国《规范》规定：所有国家的大地点均按高斯正形投影计算其在带内的平面直角坐标……。在1：1万和更大比例尺测图的地区，还应加算其在带内的直角坐标系。我们通常将这种控制点在带或带内的坐标系称为国家统一坐标系统。
在实际应用中，国家统一坐标系统往往不能满足工程建设的需要，所以必须针对不同的工程采用适合它的独立坐标系统。
线路独立坐标系的建立方法研究主要是研究线路工程中如何建立坐标系统而使其精度
能满足工程需要。由于线路测量的特点是跨度较长，当采用国家统一坐标系时往往会因为离开中央子午线较远而使变形量超限，因此必须采用独立坐标系统。
由于线路工程的不同，因此需采用的独立坐标系统也不尽相同。所以针对不同的线路工程应采用不同的独立坐标系统。当线路工程是南北走向时由于线路基本上位于中央子午线
上,因此不必要对多个独立坐标系统的转换衔接问题进行研究。当线路工程是东西走向时由于线路跨度较长而往往需要建立多个独立坐标系统，因此需要对多个独立坐标系统的转换衔接问题进行研究。
公路、铁路、架空送电线路以及输油管道等均属于线型工程，它们的中线统称线路。一条线路的勘测和设计工作，主要是根据国家的计划与自然地理条件，确定线路经济合理的位置。为达此目的，必须进行反复地实践和比较。
线路在勘测设计阶段首先要进行控制测量工作，由于在线路控制测量过程中，每条线路所在测区的位置不同且距离不可能很短,有的可能跨越一个投影带,二个投影带甚至更多,所以,在线路控制测量中,投影长度变形很容易超限，这就需要我们采取一定的措施来使投影长度变形减弱，将投影长度变形控制在允许的范围之内。最有效的方法就是建立与测区相适应的坐标系统。
坐标系统是所有测量工作的基础，所有测量成果都是建立在其上的,因此坐标系统选择的适当与否关系到整个工程的质量问题。对于线路工程而言，使投影长度变形控制在允许的精度范围之内是建立独立坐标系统主要解决的问题，因此，独立坐标系统的建立主
要是根据线路的长度和所在测区的不同而建立与本测区和本线路相适应的坐标系统，从而使其投影长度变形控制在允许范围之内。
本文以线路控制测量为例，详细论述了线路独立坐标系统的建立方法。
2 高斯平面直角坐标系的建立
我们已经知道，大地坐标系是以椭球面为基准面的坐标系，它可以用来确定地面点在椭球面上的位置，但是如果用于大比例尺测图控制网以及工程控制网则不适应。因此通常是将椭球面上的元素，如大地坐标、长度、方向等转化至平面上，采用平面直角坐标系进行计算，本章就高斯平面直角坐标系的建立及相关问题进行了讨论。
2.1.1地球椭球的基本几何参数
参考椭球具有一定的几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球叫做参考椭球。地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在该面上进行计算，它是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。
有关元素如图1
O为椭球中心；
NS为旋转轴；
a为长半轴；
b为短半轴；
子午圈（或径圈或子午椭圆）；
平行圈（或纬圈）；
赤道。
旋转椭球的形状和大小是由子午椭圆的五个基本几何参数（元素）（图1：椭球参数示意图）
来决定的，即：
椭圆的长半轴： a
椭圆的短半轴： b
椭圆的扁率：(2-1)
椭圆的第一偏心率： (2-2)
椭圆的第二偏心率： (2-3)
其中：a、b称为长度元素；
扁率反映了椭球体的扁平程度，如=0时，椭球变为球体；=1时，则为平面。
e和e/是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映了椭球体的扁平程度，偏心率越大，椭球愈扁。
五个参数中，若知道其中的两个参数就可决定椭球的形状和大小，但其中至少应已知一个长度元素（如a或b），人们习惯于用和表示椭球的形状和大小，便于级数展开。引入下列符号：
(2-4)
式中B为大地纬度，c为极曲率半径（极点处的子午线曲率半径）。
两个常用的辅助函数，W第一基本纬度函数，V第二基本纬度函数。
(2-5)
2.1.2地球椭球参数间的相互关系由(2-2)和(2-3)式得：
并得：
(2-6)
推得：
同理可得：
(2-8)
。
2.2.1高斯投影与高斯平面直角坐标
地球投影所谓地球投影，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。
(2-9)
式中L，B是椭球面上某点的大地坐标，而是该点投影后的平面(投影面)直角坐标。式(2-9)表示了椭球面上一点同投影面上对应点之间坐标的解析关系，也叫做坐标投影公式。投影问题也就是建立椭球面元素与投影面相对应元素之间的解析关系式。投影的方法很多，如高斯投影、兰勃脱投影等。我国采用高斯投影。
高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影，是德国测量学家高斯于1825～1830年首先提出的。实际上，直到1912年，由德国另一位测量学家克吕格推导出实用的坐标投影公式后，这种投影才得到推广，所以该投影又称高斯-克吕格投影。想象有一椭圆柱面横套
（图2：横轴椭圆柱等角投影示意图）
在地球椭球体外面，并与某一条子午线（称中央子午线或轴子午线）相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定的投影方法将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。
我国规定按经差和度进行投影分带，大比例尺测图和工程测量一般采用带投影。特殊情况下工程测量控制网也可用带或任意带。
高斯投影带自子午线起每隔经差自西向东分带，依次编号1,2,3,…。我国带中央子午线的经度，由起每隔而至，共计12带，带号用n表示，中央子午线的经度用表示，则与n的关系为。
（图3：高斯投影分带示意图）
高斯投影带是自子午线每隔经差自西向东分带，它的中央子午线一部分同带中央子午线重合，一部分同带分界子午线重合，带号用n/表示，带中央子午线用L表示，关系是：。
在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标轴，以赤道的投影为横坐标轴，这样便形成了高斯平面直角坐标系。在我国坐标均为正，坐标的最大值（在赤道上）约为330KM。为避免出现负的横坐标，可在横坐标上加500KM。此外还应在坐标前面冠以带号，这种坐标称为国家统一坐标。如某点Y=19123456.789m，该点位于19带内，其相对于中央子午线而言的横坐标是：首先去掉带号，再减去500KM，最后得y=-376543.211m。由于分带造成了边界子午线两侧的控制点和地形图处于不同的投影带内，为了把各带连成整体，一般规定各投影带要有一定的重叠度，其中每一带向东加宽，向西加宽，这样在上述重叠范围内，控制点将有两套相邻带的坐标值，地形图将有两套公里格网，从而保证了边缘地区控制点间的互相应用，也保证了地图的拼接和使用。
由于高斯投影是正形投影，故保证了投影的角度不变性、图形的相似性以及在某点各方向上长度比的同一性；由于采用了同样法则的分带投影，既限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简单公式和数表进行由于变形引起的各项改正的计算，且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。高斯投影这些优点使它得到广泛的推广和具有国际性。
2.2.2高斯投影坐标正反算公式
2.2.2. 1高斯投影坐标正算公式：B, x,y
高斯投影必须满足以下三个条件：
⑴中央子午线投影后为直线；⑵中央子午线投影后长度不变；⑶投影具有正形性质，即正形投影条件。
由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即式中，x 为的偶函数，y为的奇函数；，即，如展开为的级数，收敛。
（2-10）
式中是待定系数，它们都是纬度B的函数。
由第三个条件知：
分别对和q求偏导数并代入上式
(2-11)
上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂前的系数应相等，即
(2-12)
(2-12)是一种递推公式，只要确定了就可依次确定其余各系数。
由第二条件知:位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X，即(2-10)式第一式中，当时有：
(2-13)
顾及(对于中央子午线)
得：
(2-14,15)
(2-16)
依次求得并代入(2-10)式，得到高斯投影正算公式
(2-17)
2.2.2. 2高斯投影坐标反算公式
x,y B,
投影方程：
(2-18)
高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。
⑴由x求底点纬度(垂足纬度),对应的有底点处的等量纬度，求x,y与的关系式，仿照式有，
由于y和椭球半径相比较小(1/16.37)，可将展开为y的幂级数；又由于是对称投影，q必是y的偶函数，必是y的奇函数。
(2-19)
是待定系数，它们都是x的函数.
由第三条件知：
，
，(2-20)
(2-19)式分别对x和y求偏导数并代入上式
上式相等必要充分条件，是同次幂y前的系数相等，
第二条件，当y=0时，点在中央子午线上，即x=X，对应的点称为底点，其纬度为底点纬度，也就是x=X时的子午线弧长所对应的纬度，设所对应的等量纬度为。也就是在底点展开为y的幂级数。
由(2-19)1式
依次求得其它各系数
(2-21)
(2-21)1
…………
将代入(2-19)1式得
(2-22)1
(2-22)
将代入(2-19)2式得(2-23)2式。(最后表达式) ⑵求与的关系。
由式知：
(2-23)
(2-24)
按台劳级数在展开
(2-25)
(2-25)
由式可求出各阶导数：
(2-26)
(2-27)1
(2-27)2
…………………
将式(2-22)1(2-22)(2-26)(2-27)入(2-25)并按y幂集合得高斯投影坐标反算公式(2-28)
(2-28)
归纳由求的基本思想：由点得到底点，将底点f作为过渡，也就是说将坐标原点o移到f点，先求关系式，再将关系式代入关系式得关系式，最后将坐标原点移回到o点,从而求得点。
2.2.2. 3高斯投影坐标正反算公式的几何解释：
（图4：高斯投影坐标正反算公式的几何解释示意图）
⑴当B=0时x=X=0，y则随的变化而变化，这就是说，赤道投影
RTK测量中独立坐标系的建立 向垂规 （红河州水利水电勘察设计研究院） 摘要：介绍GPS-RTK测量中WGS-84大地坐标系与独立坐标系转换的方法及南方测绘工程之星数据处理中坐标转换的方法，同时结合工程实例予以验证。关键词：GPS-RTK测量；WGS-84大地坐标系；独立坐标系；坐标转换 1 引言 在水利工程测量中，多数情况下工程所处位置地形复杂，交通不便，通视条件较差，采用以经纬仪、全站仪测量为代表的常规测量常常效率低下。随着GPS-RTK测量系统的使用，由于它具有观测速度快，定位精度高，经济效益高等特点，现在我院多数水利工程测量都是采用RTK测量技术来完成。对于GPS-RTK系统来说，由于它采用的是WGS-84固心坐标系，而在实际工程应用中，由于顾及长度变形、高程异常等影响而采用独立坐标系，这就需要将RTK 测量采集的数据在两坐标系中进行转换。 2 国家坐标系及独立坐标系的建立 2.1 国家坐标系的建立 在我国，由于历史原因先后采用不同的参考椭球体和大地起算数据而形成多个国家坐标系，主要国家坐标系有1954北京坐标系、1980西安坐标系、2000国家坐标系和WGS-84坐标系。前两个是参心坐标系，后两个是固心坐标系。由于他们采用不同的椭球体参数，所以地面上同一个点在不同的坐标系中有不同的坐标值。 国家坐标系的主要作用是在全国建立一个统一的平面和高程基准，为发展国民经济、空间技术及国防建设提供技术支撑，也为防灾、减灾、环境监测及当代地球科学研究提供基础资料。 2.2 独立坐标系的建立
在工程应用中，由于起算数据收集困难、测区远离中央子午线及满足特殊要求等诸多原因，如在水利工程测量中，常要测定或放样水工建筑物的精确位置，要计算料场的土石方贮量和水库的库容。规范要求投影长度变形不大于一定的值（如《工程测量规范》为2.5cm/km,《水利水电工程测量规范（规范设计阶段）》为5.0cm/km）。如果采用国家坐标系统在许多情况下（如高海拔地区、离中央子午线较远地方等）不能满足这一要求，这就要求建立地方独立坐标系。 在常规测量中，这种独立坐标系只是一种高斯平面直角坐标系，而在采用GPS-RTK采集数据时，独立坐标系就是一种不同于国家坐标系的参心坐标系。 跟国家坐标系一样，建立独立坐标要确定的主要元素有：坐标系的起算数据、中央子午线、参考椭球体参数及投影面高程等。对于起算数据，可以采用国家坐标系的坐标和方位角或任意假设坐标和方位角。在RTK测量中，我们常采用基线的某一端点的单点定位解作为起点，然后以另一点定向，用测距仪测出基线边长，经改正后算出基线端点的坐标；中央子午线常采用测区中央的子午线；投影面常采用测区的平均高程面。参考椭球体一般是基于原来的参考椭球体做某种改动，使改变后的参考椭球面与投影面拟合最好，投影变形可以减到最小，也便于与国家坐标系统进行换算。 3 坐标系的转换 GPS-RTK接收机采集的坐标数据是基于WGS-84椭球下的大地坐标，而我们经常使用的独立坐标系是基于某种局部椭球体下的平面直角坐标，这两种坐标是不同坐标基准下的两种表现形式。利用WGS-84下的大地坐标来推求独立坐标系中的平面直角坐标，必然要求得两坐标系之间转换参数。求取转换参数的基本思路是利用两坐标系中必要个数的公共点，根据相应的椭球参数及中央子午线采用最小二乘法严密平差解算转换参数，具体操作是由转换模型把不同坐标基准下的坐标转换为同基准下的不同坐标形式，再进行同基准下不同坐标形式的转换，
R T K测量中独立坐标系的建立 RTK测量中独立坐标系的建立 摘要：介绍GPS-RTK测量中WGS-84大地坐标系与独立坐标系转换的方法及南方测绘工程之星数据处理中坐标转换的方法，同时结合工程实例予以验证。 关键词：GPS-RTK测量；WGS-84大地坐标系；独立坐标系；坐标转换 1 引言 在水利工程测量中，多数情况下工程所处位置地形复杂，交通不便，通视条件较差，采用以经纬仪、全站仪测量为代表的常规测量常常效率低下。随着GPS-RTK测量系统的使用，由于它具有观测速度快，定位精度高，经济效益高等特点，现在我院多数水利工程测量都是采用RTK测量技术来完成。对于GPS-RTK系统来说，由于它采用的是WGS-84固心坐标系，而在实际工程应用中，由于顾及长度变形、高程异常等影响而采用独立坐标系，这就需要将RTK测量采集的数据在两坐标系中进行转换。 2 国家坐标系及独立坐标系的建立 2.1 国家坐标系的建立 在我国，由于历史原因先后采用不同的参考椭球体和大地起算数据而形成多个国家坐标系，主要国家坐标系有1954北京坐标系、1980西安坐标系、2000国家坐标系和WGS-84坐标系。前两个是参心坐标系，后两个是固心坐标系。由于他们采用不同的椭球体参数，所以地面上同一个点在不同的坐标系中有不同的坐标值。 国家坐标系的主要作用是在全国建立一个统一的平面和高程基准，为发展国民经济、空间技术及国防建设提供技术支撑，也为防灾、减灾、环境监测及当代地球科学研究提供基础资料。 2.2 独立坐标系的建立
在工程应用中，由于起算数据收集困难、测区远离中央子午线及满足特殊要求等诸多原因，如在水利工程测量中，常要测定或放样水工建筑物的精确位置，要计算料场的土石方贮量和水库的库容。规范要求投影长度变形不大于一定的值（如《工程测量规范》为2.5cm/km,《水利水电工程测量规范（规范设计阶段）》为5.0cm/km）。如果采用国家坐标系统在许多情况下（如高海拔地区、离中央子午线较远地方等）不能满足这一要求，这就要求建立地方独立坐标系。 在常规测量中，这种独立坐标系只是一种高斯平面直角坐标系，而在采用GPS-RTK采集数据时，独立坐标系就是一种不同于国家坐标系的参心坐标系。 跟国家坐标系一样，建立独立坐标要确定的主要元素有：坐标系的起算数据、中央子午线、参考椭球体参数及投影面高程等。对于起算数据，可以采用国家坐标系的坐标和方位角或任意假设坐标和方位角。在RTK测量中，我们常采用基线的某一端点的单点定位解作为起点，然后以另一点定向，用测距仪测出基线边长，经改正后算出基线端点的坐标；中央子午线常采用测区中央的子午线；投影面常采用测区的平均高程面。参考椭球体一般是基于原来的参考椭球体做某种改动，使改变后的参考椭球面与投影面拟合最好，投影变形可以减到最小，也便于与国家坐标系统进行换算。 3 坐标系的转换 GPS-RTK接收机采集的坐标数据是基于WGS-84椭球下的大地坐标，而我们经常使用的独立坐标系是基于某种局部椭球体下的平面直角坐标，这两种坐标是不同坐标基准下的两种表现形式。利用WGS-84下的大地坐标来推求独立坐标系中的平面直角坐标，必然要求得两坐标系之间转换参数。求取转换参数的基本思路是利用两坐标系中必要个数的公共点，根据相应的椭球参数及中央子午线采用最小二乘法严密平差解算转换参数，具体操作是由转换模型把不同坐标基准下的坐标转换为同基准下的不同坐标形式，再进行同基准下不同坐标形式的转换，从而得到所要的独立坐标系中的平面直角坐标。转换的难点是WGS-84椭球与独立坐标系局部椭球的变换。 3.1 常用的坐标转换方法
空间立体几何建立直角坐标系 1．[2015·浙江]如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝ AC ＝2，A 1A ＝4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是 B 1C 1的中点。 (1)证明：A 1D ⊥平面A 1BC ； (2)求二面角A 1－BD －B 1的平面角的余弦值。 解析：(1)证明：设E 为BC 的中点，连接A 1E ，AE ，DE ，由题意得A 1E ⊥平面ABC ，所以A 1E ⊥AE 。 因为AB ＝AC ，所以AE ⊥BC 。 故AE ⊥平面A 1BC 。 由D ，E 分别为B 1C 1，BC 的中点，得DE ∥B 1B 且DE ＝B 1B ，从而DE ∥A 1A 且DE ＝A 1A ，所以A 1AED 为平行四边形。 故A 1D ∥AE 。 又因为AE ⊥平面A 1BC ，所以A 1D ⊥平面A 1BC 。 (2)方法一：作A 1F ⊥BD 且A 1F ∩BD ＝F ，连接B 1F 。 由AE ＝EB ＝2，∠A 1EA ＝∠A 1EB ＝90°， 得A 1B ＝A 1A ＝4。 由A 1D ＝B 1D ，A 1B ＝B 1B ，得△A 1DB 与△B 1DB 全等。 由A 1F ⊥BD ，得B 1F ⊥BD ，因此∠A 1FB 1为二面角A 1－BD －B 1的平面角。 由A 1D ＝2，A 1B ＝4，∠DA 1B ＝90°，得 BD ＝32，A 1F ＝B 1F ＝43 ， 由余弦定理得cos ∠A 1FB 1＝－1 8。 方法二：以CB 的中点E 为原点，分别以射线EA ，EB 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E －xyz ，如图所示。
工程独立坐标系的建立 摘要：在工程建设地区布设测量控制网时，其成果不仅要满足大比例尺地形图测图的需要，还要满足一般工程放样的需要。施工放样时要求控制网中两点的实测长度与由坐标反算的长度应尽可 能相符，而采用国家坐标系其坐标成果大多数情况下是无法满足这些要求的。本文主要阐述了工程独立坐标系的建立方法，通过在乾县和靖边供水工程可研阶段测量中的应用，得出了一些有益的结论和建议。 关键词：国家坐标系，独立坐标系，中央子午线，抵偿高程面abstract: in the engineering construction area layout measure control network, its results not only meets the large scale topographic map surveying the need, but also meet the needs of the general projects layout. when construction lofting requirements in the two control net by the length and the length of the coordinates should as far as possible and is consistent with national coordinate system and the coordinate results in most cases is unable to meet these requirements. this paper mainly expounds the methods to set up the independent coordinate system engineering, through in situations water supply project of qian county and feasibility study stage of the application of the measurement and draw some useful conclusions and suggestions.
建立空间直角坐标系，解立体几何高考题 立体几何重点、热点： 求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等． 常用公式： 1 、求线段的长度： 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离： PN = ，（N 为垂足，M 为斜足，为平面α的法向量） 3、求直线l 与平面α所成的角：|||||sin |n PM ?= θ，(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角：cos = θ 5、求二面角的平面角θ：|||||cos |21n n ?= θ，（ 1n ，2n 为二面角的两个面的法向量） 6、求二面角的平面角θ：S S 射影 = θ cos ，（射影面积法） 7、求法向量：①找；②求：设, 为平面α内的任意两个向量，)1,,(y x =为α的法向量， 则由方程组?????=?=?0 n b n a ，可求得法向量．