重点内容
第一章
● 复数的模与幅角；
● 复数的代数、三角及指数表示方法； Euler 公式
cos sin i e i θθθ
=+
12111
112
(),(
)Arg z z Argz Argz z Arg Argz Argz z =+=-
方根公式：arg 22,0,1,, 1.iArgz z k k i
i
n
n
n
e
k n π
θπ
++===-
● 复函数的连续性, 极限 (罗必达法则仍成立) ● 区域：连通的开集；单（多）连通区域。
● 函数可导的判定, 解析的概念， 柯西-黎曼条件（,x y y x u v u v ==-）， ● 调和函数的定义，如何求共轭调和函数， 共轭对:
223223,23,3cos ,sin x x x y xy x xy x y y e y e y
--- ● 初等解析函数（特殊的性质，如正、余弦函数无界；指数函数是以2i π为周期的）
(cos sin ),sin ,cos 22
iz iz iz iz
z
x
e e e e e e y i y z z i ---+=+==
，
ln ,b bLna Lnz z iArgz a e =+=
● 函数()f z u iv =+在单连通区域D 上解析?,u v 在D 上可微且处处满足柯西黎曼条件?,u v 在D 上调和且处处满足柯西黎曼条件（或v 是u 的共轭调和函数）?f 在D 上连续且沿任意简单曲线C D ?的积分为零?f 在D 上任意点z 处有幂级数展式
● 沿给定路线的积分：直线段或圆弧。此时函数一般不解析，如解析就求原函数
直线段的参数方程：12()(1),[0,1]z t t z tz t =-+∈，其中12,z z 分别为起点与终点
圆弧的参数方程：(),[,],i z re a θθθαβ=+∈其中,r a 分别为半径与弧心。
● 柯西定理:函数f 在围线C 上连续，C 内部解析，则
0C
fdz =?
。判定是否解析？
● 复围线柯西积分定理i
C C
fdz fdz =∑??
● 柯西积分公式：f 在围线C 内部解析，a 在C 内部，则
()()
1()
2()
()2()
!C n n C f z dz if a z a f z i dz f a n z a ππ+=-=-?? ● 最大模原理:非常函数的解析函数的最大模不能在内部取得
刘维尔定理：有界的整函数必是常函数
● 收敛半径：通项的绝对值不超过1；条件收敛点必在收敛圆周上
● 泰勒、洛朗展式 必考
1
,()11()n n f f z f z ∞
==<-∑ ()
,!
n
f z n f e
n ∞
==∑
sin ,cos z z
● 解析函数的零点是孤立的；零点的阶数, (加减乘除复合) 1阶 sin 1tan z z z e z -
2阶
2
1cos 2z z - ; 3阶3
sin 6
z z z - ● 解析函数具有唯一性，即不可能有两个不同的解析函数在一列有极限的点列上的取值一样。
● 孤立奇点的分类: 可去奇点、极点、本性奇点 (定义, 判定)
● 留数定理、留数的求法，特别是极点
211
R((),)R((),0)f z f t t
∞=-
● 特殊点或函数的留数, 如 1. 当函数f 偶时,
R((),0)0f z =;
2. 当函数f 以a 点偶对称时, R((),)0f z a =;
3. 当函数()
()
P z f
Q z =, 分母是比分子至少高2次的多项式
时
R ((),)f z ∞=
● 用留数计算实积分
20(cos ,sin ),R d π
θθθ?
(),()
P x dx Q x +∞
-∞
?
分母是比分子至少高2次的多项式, 分
母无实根
()(0)()
imx
P x e dx m Q x +∞
-∞
>?
分母是比分子至少高1次的多项
式, 分母无实根 特别2
1
,
cos d a b π
θθ
+?20
1sin d a b π
θθ=+?
a b
>
●旋转角
●分式线性变换的性质:保角性，保圆周性，保对称点性，
保交比性
●给出三对点，求分式线性变换
第七、八、九章
● 波方程, 热方程的边界条件, 初值条件的种类及物理意义
● 分离变量法求三类方程，步骤一样，注意边值条件的差异。
120,(0,0),(0,)(,)0,(0)
(,0)(),(,0)(),(0).
tt xx t u a u x l t u t u l t t u x x u x x x l ?ψ?-=<<>?==≥??==≤≤?
220,(0,0),
(0,)(,)0,(0)(,0)(),(0).t xx u a u x l t u t u l t t u x x x l ??-=<<>?==≥??=≤≤?
1,2中边值条件是左点((0,)0,u t =或(0,)0x u t =), 右点((,)0,u l t =或(,)0x u l t =)各取一种情况的四种组合. 注意题型中,a l 可能是具体的数字. ,?ψ是具体的函数. ●
30,(,),|(,)
xx yy u u x y u f x y ?Ω+=∈Ω???=??，这里区域Ω可能是圆或矩形. 如果Ω是圆, 则化为极坐标, 便为第9章第1节的内容; 如果Ω是矩形区域, 则直接令u XY =, 化类似第7章的方法; ● δ函数的定义，性质
● 习题 7.5 7.13；8.13；9.3，9.5
第十章
● 达朗贝尔方法解一维的无界（半无界）弦方程 三种情形 1 第一节例子
2
(,0)(),(,0)()tt xx
t u a u u x x u x x ?ψ?=??
==??
2 古尔萨问题
2(,)(),(,)()tt xx
u a u u x x x u x x x ?ψ?=?
=??-=?
这里(0)(0)?ψ=
3 特殊情形, 非齐次 （可化为齐次）
2
()
(,0)0,(,0)0tt xx t u a u f x u x u x ?=+??
==??
这里非齐次项只是x 的函数 方法：取(),F x 使2()
''()f x F x a
=
，令w u F =+。则w 满足
2
(,0)(),(,0)0tt xx
t w a w w x F x u x ?=??
==??
解得w ，进而求出u 。
● 依赖区间、决定区域、影响区域 ● 参考习题
10.1节，习题8，11
第十二章
● 傅氏(逆)变换的定义、性质等.
11
1
[()]()()
1
[()]()()
2i x R
i x
R f x f x e dx F F F e d f x λλλλλλπ
--===
=??
F F
● 性质: 线性性质、滞后性质、相似性质、卷积性质、乘积性质、原像的导数性质、像的导数性质。（记住主要内容）
δ
-函数的傅氏变换。
22
4
2
2
[],(0),
1[],12[],1,(1,1)
sin [],1,1
2
0,[1,1]
ax x
e a e x
e x x λλπλ
πλπλλ-
---=
>=+=+∈-???==-???-??F F F F 等的变换（书上没有）
● 用傅氏变换解偏微分方程（第二节的两个例子） 热方程
2(,)
(,0)()t xx u a u f x t u x x ??=+?
=?
波方程
2
(,)
(,0)(),(,0)()tt xx t u a u f x t u x x u x x ?ψ?=+??
==??
第十三章
● 拉氏变换的定义、性质，
12222
''2'![],[sin ],[cos ]()[][](0)'(0),[][](0),
t n n n p
L e t L t L t p p p L f p L f pf f L f pL f f ααααααα+=
==
-++=--=-
● 常函数，幂函数，指数函数，三角函数的拉氏变换 ● 解一、二阶线性常系数常微分方程初值问题
0'()()()
(0)y t ay t f t y y +=??
=?
01
'()'()()()
(0),'(0)y t ay t by t f t y y y y ++=??
==? ● 积分方程. 有时可以化为常微分方程 (用到卷积性质)
第十四章 适定性
若问题的解存在, 唯一, 且稳定, 则称问题是适定的
过往题样
第1章
第2章
第3章
第4章
第5章
第6章
第7章
1. (12秋) 论述波动方程定解问题傅里叶解的物理意义。P173
2 (12秋)
20
(0,)0,(,)0(0,0) (,0)2,(,0)0
tt xx
x x
t
u a u
u t u l t x l t
u x x l u x
εε
?-=
?
==<<>?
?=-+=
?
11秋求解混合问题：
20 (0,0) (0,)0,(,)0 (0)
(,0)(), (,0)() (0) tt xx
x
t
u a u x l t
u t u l t t
u x x u x x x l ?φ
?-=≤≤≥
?
==≥
?
?==≤≤
?
其中
()x ?，()x φ为充分光滑的已知函数。
第8章
第9章
12春 用分离变量法求解下列单位正方形上的椭圆型方程的边值问题
(,)(0,1)(0,1)(0,)(1,)0,[0,1]
(,0)sin ,(,1)sin ,[0,1].xx yy u u x y u y u y y u x x u x e x x πππ+?∈???
==?∈??==?∈?
=0， 第10章
1 (12秋) 给出波动方程
4,0,
(,0)(),(,0)()tt xx t u u x t u x x u x x ?ψ=-∞<<+∞>??
==?
初值问题在点（1,3）的依赖区间、区间[1,2]的决定区域、点5x =的影响区域。
12春 用D’Alembert 方法解下列问题
2
,0,(,0),,(,0)0,.tt xx t
u u x R t u x x x R u x x R =∈>??=∈??=∈?，
第11章
1,(12秋)函数()1f t =的傅氏变换, 1
()2δλπ
12春
求解热传导0,(0, )
(,0)1,()t xx u u t x R u x x R -=>∈??=∈?
的初值问题.
第12章
1,(12秋)应用拉普拉斯变换,求()''y 4()0t y t +=满足初始条件
y(0)2=-，'y (0)4=的特解。
12春 用Laplace 变换法求解下列常微分方程的初值问题
'()()1,
(0)0.y t y t y +=??
=?
复变函数与积分变换 综合试题（一） 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设cos z i =，则（ ） A ． Im 0z = B ．Re z π= C ．0z = D ．argz π= 2．复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．44 3(cos ,sin )55i ππ D ．44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分 ?c z dz ||等于（ ） A ．0 B ．2πi C ．2π D ．－2π 4．设函数()0z f z e d ζ ζζ=?，则()f z 等于（ ） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答： 5．1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ） A ．4411z w z +=- B ．44-11z w z =+ C ．44z i w z i -=+ D ．44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+，则(,)uxy = （ ） A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y - C.(cos sin )x e y y y y - D.(cos sin )x e x y y y -
中 国 海 洋 大 学 命 题 专 用 纸（首页） 学年第 2学期 试题名称 ： 大学物理III2-B 共 2 页 第1页 专业年级： 学号 姓名 授课教师名 分数 题1：有三平行金属板A,B,C,面积均为200cm 2，A 和B 相距 4.0mm,A 和C 相距2.0mm 。B,C 都接地，如图所示。如果A 板带正电-7C ，略去边缘效应，问B 和C 板的感应电荷各是多 少？以地的电势为零，则A 板的电势是多少？（15分） 题2：简述平面电磁波的特性。（15分） 题3：用波长为590nm 的钠光垂直照射到每厘米刻透镜有5000条缝的光栅上，在光栅后面放置焦距为20cm 的会聚。试求（1）第一级与第三级明条纹的距离；（2）最多能看到第几级明条纹；（3）若光线以入射角30度斜入射，最多能看到几级明纹？ （15分） 题4：在康普顿散射中，入射光子的波长是，反冲电子的速度为0.60c （c ：光速），求散射光子的波长和散射角。（15分） 题5：如图所示一玻璃三棱镜，折射率为n=，设光在棱 镜中不被吸收。问（1）何种偏振光在何种条件下可以完 全入射棱镜？（2）若入射光束从棱镜右侧折射出来，其 强度保持不变，则棱镜的顶角是多少？（15分） 题6：已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函 数为：（15分） ()a x a x 23cos 1πψ= （-a 天津工业大学（2009—2010学年第一学期） 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ； 三角形式为：)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？). 4. 给出矢量场旋度的散度值，即=????f ? 0 . 5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线 于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分，共6小题) 1. )(z 的实部xy y x y x u +-=22),(，求该解析函数 嘉应学院 物理 系 《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 2、奇点分为几类？如何判别？ （6分） 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） 6、写出复数2 3 1i +的三角形式和指数形式（8分） 7、求函数 2 ) 2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 8、求回路积分 dz z z z ?=12cos （8分） 9、计算实变函数定积分dx x x ?∞ ∞-++1 1 4 2（8分） 10、求幂级数k k i z k )(11 -∑∞ = 的收敛半径（8分） 二、计算题（共30分） 1、试用分离变数法求解定解问题（14分） ?? ?????=-===><<=-====0, 2/100 ,000002t t t l x x x x xx tt u x u u u t l x u a u 2、把下列问题转化为具有齐次边界条件的定解问题（不必求解）（6分） ??? ? ? ???? ===-==?====0,sin 0),(000b y y a x x u a x B u u y b Ay u u π 3、求方程 满足初始条件y(0)=0,y ’(0)=1 的解。(10分) 嘉应学院 物理 系 《数学物理方法》A 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 2、奇点分为几类？如何判别？ （6分） 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分） 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） 6、求幂级数k k i z k )(11 -∑∞ = 的收敛半径（8分） 7、求函数2 )2)(1(1 --z z 在奇点的留数（8分） 8、求回路积分 dz z z z ?=12cos （8分） t e y y y -=-'+''32 第七章 数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知0=x 端是自由的，则该端的边界条件为 __。 2．研究细杆的热传导，若细杆的0=x 端保持绝热，则该端的边界条件为 。 3．弹性杆原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在x 轴上，则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。 4．一根长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中力为0T 。在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f (0)=0,f (l )=0; _____。 5、下列方程是波动方程的是 D 。 A 2tt xx u a u f =+； B 2 t xx u a u f =+； C 2t xx u a u =； D 2tt x u a u =。 6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题，则应有的初始条件个数为 B 。 A 1个； B 2个； C 3个； D 4个。 7．“一根长为l 两端固定的弦，用手把它的中 点朝横向拨开距离h ，（如图〈1〉所示）然后放 手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。 A ．?????∈-∈==] ,2[),(2]2,0[,2l l x x l l h l x x l h u o t B ．???? ?====00 t t t u h u C ．h u t ==0 D ．???????=???? ?∈-∈===0 ],2[),(2]2,0[,200t t t u l l x x l l h l x x l h u 8．“线密度为ρ，长为l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点)0(00l x x <<受谐变 u x h 2 /l 0 u 图〈1〉 数学物理方法试卷 一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ ） A ．微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件. C ．微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ ） A ．存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性. C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性. 3．牛曼内问题 ?????=??=?Γ f n u u ,02 有解的必要条件是（ ） A ．0=f . B ．0=Γu . C ．0=?ΓdS f . D ．0=?Γ dS u . 4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题???==<<=+0 )()0(0 ,0)()(''l X X l x x X x X λ 的解是（ ） A ．) cos , (2x l n l n ππ??? ??. B ．) sin , (2 x l n l n ππ?? ? ??. C ．) 2)12(cos ,2)12( (2x l n l n ππ-??? ??-. D ．) 2)12(sin ,2)12( (2x l n l n ππ-?? ? ??-. 5．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ ） A ．0254=++++y x yy xy xx u u u u u . B ．044=+-yy xy xx u u u . C ．02222=++++y x yy xy xx u y xyu u y xyu u x . D ．023=+-yy xy xx u u u . 二、填空题（每题4分，共20分） 1．求定解问题???? ?????≤≤==>-==><<=??-??====πππx 0 ,cos 2 ,00 t ,sin 2 ,sin 20 ,0 ,00002222x u u t u t u t x x u t u t t t x x 的解是( ) 2．对于如下的二阶线性偏微分方程 0),(),(2),(=++++-fu eu du u y x c u y x b u y x a y x yy xy xx 其特征方程为( ). 3．二阶常微分方程0)()4341()(1)(2'''=-++ x y x x y x x y 的任一特解=y （ ). 4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ r 1ln ），三维拉普拉斯方程的基本解为（ ）. 5．已知x x x J x x x J cos 2)( ,sin 2)(2 121ππ== -，利用Bessel 函数递推公式求 =)(2 3x J （ ）. 三、（20分）用分离变量法求解如下定解问题 222220 000, 0, 00, 0, t 0, 0, 0x .x x l t t t u u a x l t t x u u x x u x u l ====???-=<<>???????==>?????==≤≤?? 解： 数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】 3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上 物理科学与技术学院2011级数学物理方法期中考试 专业 ； 学号 ； 姓名; 1、填空或选择填空（20分） 1、长为l 温度为0T 的均匀杆，一端温度保持为零度，另一端有其热流密度为)(t f 的热量流入，则该杆的热传导的定解问题为[ ] 2、函数)4(2-=z Ln w 的支点为[ ], 它有[ ]叶里曼面； 而函数3 2--z z 的支点为[ ], 它有[ ]叶里曼面；3、由Γ函数的相关知识，可得积分 dx e x x 206-∞ ?=[ ]； [以下两题,分别请在A,B,C,D四答案中选择一个你认为正确的答案填入空内] 4．设)(z f 在单连通区域σ内处处解析且不为零，l 为σ内的任何一条闭合围道，则积分 =+'+''?dz z f z f z f z f l ) ()()(2)([ ]；A.i π2 B.i π2- C. 0 D.不能确定 5．∞=z 为z z f sin 1)(=的：[ ]A.一阶极点 B.本性奇点 C.解析点 D.非孤立奇点 二、（20分）验证xy y x y x u +-=22),(为调和函数，并求一满足条件0)0(=f 的解析函数iv u z f +=)(三、（20分）试分别用科希积分理论和留数理论计算下列函数和围道积分之值（要求写出 主要步骤的依据）1、设 ?=--=23)(z d z e z f ζζπζζ，求)(i f ； 2、计算? =-+23) 1)(1(1z dz z z z ；四、（20分）试将函数61)(2-+=z z z f 按以下要求展开为泰勒或罗朗级数，并指出所展开的级数的收敛域及类型（是泰勒还是罗朗）。 1、以0=z 为中心展开； 2、在2=z 的去心领域中展开 五、（20分）利用留数定理计算下列实积分： 嘉应学院物理系《数学物理方法》B课程考试题 一、简答题（共70 分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（ 6 分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数 相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分） 在挖去孤立奇点Zo 而形成的环域上的解析函数F（ z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则 只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo 称为函数 F（ z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（ 6 分） 1，定解问题有解； 2，其解是唯一的； 3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题 的适定性。 4、什么是解析函数其特征有哪些（ 6 分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数 . u x, y C1 2）这两曲线族在区域上正交。 v x, y C2 3）u x, y 和 v x, y 都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数 ) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（ 6 分） 数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出 (x) 挑选性的表达式（ 6 分） f x x x 0 dx f x 0 f x x dx f 0 f (r ) ( r R 0 ) dv f ( R 0 ) 、写出复数 1 i 3 的三角形式和指数形式（ 8 分） 6 2 cos isin 1 3 2 i 2 三角形式： 2 sin 2 cos 2 1 i 3 cos i sin 2 3 3 1 指数形式：由三角形式得： 3 i z e 3 、求函数 z 在奇点的留数（ 8 分） 7 1)( z 2) 2 (z 解： 奇点：一阶奇点 z=1；二阶奇点： z=2 Re sf (1) lim (z 1) z 1 ( z 1)( z 2) 2 z 1 2011年度《大学物理I2》（《热学》）期中考试试卷 1．一热平衡系统的华氏温度值与它的绝对温度值相同，问该系统的温度是多少摄氏度？2．用一活塞式抽气机将体积为V0的钟罩中的空气从压强p0抽至p1需要T分钟，已知抽气过程中温度不变，电机的转速为R转/分钟，求出抽气机的抽气速率（即每分钟抽出空气的体积）。 3．将1mol范德瓦耳斯气体中的（a）体膨胀系数α，（b）压强系数β，（c）等温压缩系数κ用方程中的参数a、b表示出来。 4．单位时间穿过单位核反应堆面积的中子个数为J=4x1016/（m2s）, 该中子系统的温度为300K，并服从麦克斯韦速率分布律。求出中子的数密度n及压强P。 5. 体积为V的容器储有气体，气体从器壁上面积为A的小孔逸出。设气体逸出后即被抽走 而无法返回并设温度不变，求出容器内气体的压强随时间的变化关系。 6. N个假想气体分子其速率分布如图所示，f(v)为气体分子的速率分布函数，f(v)在v>5v0 时为0。（a）根据N和v0求出a；（b）速率在2v0和3v0间隔内的分子数为多少？（c）速率在2v0和3v0间隔内的分子的平均速率是多少？ 7．证明由N个粒子组成的气体系统，不管其速率分布函数f（v）的具体形式如何，其平均速率不会大于访均根速率。 8．气体分子为刚性4原子分子，处于四面体的四个顶点，（a）求出这种分子的平动、转动和振动自由度分别是多少？(b)温度为T时，该种分子的平均能量是多少？ 9．证明压强与黏度系数之比近似地等于气体分子在单位时间内的碰撞次数。 10. 已知空气的导热系数κ0=5.6x10-3/(m s K),玻璃的导热系数κ1=0.016/(m s K)。（a）当室内温 度为20o C，室外温度为-20o C，窗玻璃厚度3.0mm，这时外流热流J=？（b)保持上面的有关参数，但现在用所给的玻璃作了双层玻璃窗，两层玻璃之间有7.5cm厚的空气层，求出这时从房间内传出的热流J’。 第6题图 福师大物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类？如何判别？（6分） 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分） 数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数2 31i +的三角形式和指数形式（8分） 三角形式：()3sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式：由三角形式得： 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解： 奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z 分享一下我的一些复习经验： 英语 英语的话，当你看到这个帖子的时候，你就该准备了。 ⑴单词 英语的单词基础一定要打好，如果单词过不了关，那你其他可以看懂吗？单词参考书可以用《一本单词》，到考前也不能停止的。我的单词并没有背好，导致英语后来只有60+，很难过… ⑵阅读 阅读分数很高，所以一定要注重，可以听蛋核英语公众号的名师讲解。阅读最重要的是自己有了自己的方法，考研英语很bt，和四六级是完全不同的！大家肯定都听说过，所以你要做bt里的超级战斗机，请大家加油↖(^ω^)↗阅读暑假就可以开始做了，真题可以用《木糖英语真题手译版》，要反复摸索，自己安排好时间。 ⑶作文 作文我是跟着木糖英语公众号走的，觉得用处很大，谨记踏踏实实写作文，不要到头来依靠模板，模板自己可以整理出来，但也请高大上一点，语法什么不要错误。字体也要写的好看一点，一定有帮助的。 ⑷完型 分值小，做题时放在最后做，实在没时间做，全选A也会有分数。当然平时可以多练习，不至于到时候慌乱。 ⑸新题型 新题型今年超级简单，但是有时候会难，大家平时也要多加练习。 ⑹翻译 翻译一般得分都很低，尽力去练习，遵循“信达雅”原则。 政治 我用的复习资料是李凡《政治新时器》系列。政治学习可以不用太早，因为容易忘，一般是大纲出来以后开始复习，在暑假如果学英语学累了，也可以选择听一些老师讲的政治网课，有的老师讲的很有意思，完全不会觉得而在背东西，就是在讲故事一样的。到了大纲出来以后，你就要开始了解知识体系了。政治不 能掉以轻心，我听很多人说他们裸考都能考五十多，我觉得如果完全什么都没学的话是不可能取得较为满意的分数的，特别是你的报考院校是较好的大学的时候，你不能有任何一门课拖后腿，政治过线很简单，可是要让它拉分就有难度了。政治最为重要的是选择题，大题分数都拉不太开，因为大家都背了，但是选择题，尤其是多选题，特别拉分。你一道大题十分，一个大题最少两个小题，一小题五分，你还不可能拿满分，而一个多选就两分，你最对了，别人做错了，你们一个多选的分差就是四分，所以选择题一定好好好重视，不要只背大题，不顾选择题。 关于专业课我下面给出一份粗略的复习时间表。 6月初 过第一遍专业课，自己做笔记。按照我的经验，第一遍看书基本上是抓瞎，毕竟本科四年完全没接触过这类专业书籍，可能接触过，不过完全没印象。那么这种情况应该怎么办呢？首先深呼吸放松，安慰自己反正不是我一个人，毕竟跨考的不少，然后采取正确的合适的读书方法：首先看大纲，这几年大纲都没有变化，大家买一本上一年的大纲就可以，看大纲对应的科目的大标题，根据大标题揣摩每一具体科目究竟围绕哪些内容展开的，接下来看对应的书目，看书的目录和前言，大家不要不拿豆包不当干粮，目录和前言会清楚明白地告诉你这本书的主题、指导思想、框架和大体的内容，想一想这些内容为什么会出现在这本书里，这些目录之间有什么关联，这些内容有什么异同点，弄清楚这些，一本书的精髓就领略到了，现在应该不至于抓瞎了。 然后，一个章节一个章节仔细地看，先看大的标题，接着看二级标题，接着看三级标题，然后看具体内容，遇到自己认为重要的内容，就动手画一画写一写记一记，btw,这里帮助大家预习一下新知识，这几种方法分别对应着复述策略和精细加工策略，是超级棒的阅读技巧，大家再以后的学习中要学以致用。大家看书的时候，一定要注意理解，现在这个时间不理解，以后就没有机会了，做真题的大题时尤其需要理解加上自己的阐述。这样差不多三个月的时间，要争取看完第一遍书，过程简直。这里就不吓唬大家了。 6月初-8月初 缩短一个月的时间，按照第一遍看书的方式过完第二遍书。大家千万千万不要掉以轻心，往后做真题时会发现，选择题里会有一道两道三道题目考察的就是 嘉应学院物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分） 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 # 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 > 4、什么是解析函数其特征有哪些（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 | 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（6分） 数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数 231i +的三角形式和指数形式（8分） ￥ 三角形式：()3 sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式：由三角形式得： 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解： 奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 中国海洋大学物理化学2005—2006年期末考试试题 一、填空题（共20分） 1、当接触角时θ_________90O，固体不为液体所润湿。（填>，< 或=） 2、?P1和?P2分别代表平面液体和凹面液体下的附加压力，则?P1______?P2。（填>，< 或=） 3、在AgNO3溶液中加入稍过量KI溶液，得到溶胶的胶团结构可表示为： _________________________________ [(AgI)m·n I-·(n-x) ·K+]x-·x K+ 4、雾属于分散体系，其分散介质是：_______气体______。 5、质量摩尔浓度为m的H3PO4溶液，离子平均活度系数为γ±，则溶液中H3PO4的活度a B为：_____ 27m4γ±4 _______。 6、已知298K时，(NH4)2SO4、NaOH、Na2SO4的Λ∝分别为3.064 ×10-2、 2.451 ×10-2、2.598 ×10-2 S·m2·mol-1，则NH4OH的Λ∝为：________2.684 ×10-2________。 7、25℃时，反应2H2S + SO2 = 3S↓+ 2H2O达到平衡时，其平衡常数为 _______3.25 ×101－11_________。(已知25℃时，E (S/H2S) = 0.14 V， E (SO2/S) = 0.45V) 8、可逆电池必须同时满足的2个条件是：（1）_________________________ ； （2）_____________________________________。 9、下列两图的四条极化曲线中分别代表原电池的阴极极化曲线和电解池的阳极极化曲线的是：_____1、3________。 4、等量的0.05 mol·kg-1的LaCl3水溶液及0.05 mol·kg-1的NaCl水溶液混合后，溶液的离子强度I = _________ 0.175 mol·kg-1________。 二、选择题（共20分） 1、已知反应H2 ( g ) + ?O2 ( g ) ＝H2O ( l ) 的Δr G m = -237.19 kJ·mol-1，则在25℃时极稀硫酸的分解电 2. 试解方程：()0,04 4 >=+a a z 44424400000 ,0,1,2,3 ,,,,i k i i z a a e z ae k ae z i i πππ π ωωωωω+=-=====--若令则 1．计算： （1） i i i i 524321-+ -+ （2） y = （3） 求复数2 12?? + ? ??? 的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ (1) 原式= ()()()12342531081052 916 2525255 i i i i i i +?+-?+-++=+=-+-- （2） 3 32( )10205 2(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式 (3) 2 223 221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,223 i i i e r π πππππ θπ??==+=+==- ?????=-===+=±±L 原式所以：， 3．试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数. (1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++- 3. ()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y u e x y y y e y x u e x y y y y y v e y y x y e y y x v e y y y x y y u v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+?=-+??=---??=++??=-+?????==-????=+?'= ?证明：所以：。 由于在平面上可微 所以在平面上解析。()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x v i e x y y y e y i e y y x y e y x x ?+=-++++? 由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-= 解： ()()()()()()()222222222212,2,21 2,2,,,2112, 2211 1,0,1,1,, 221112. 222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ??????==+∴=++?????''=+=-=-+∴=-=-+?????=-+++-+ ??? =-+==+==? ?=-++-++ ?? ?而即所以由知带入上式，则则解析函数 2. ()21,3,,.i i i i i i e ++试求 中国海洋大学命题专用纸 2005-2006学年第 1 学期试题名称：大学物理Ⅰ（3）共5页第 1 页 授课教师 命题教师或命题负责人 签字 院系负责人 签字 年月日中国海洋大学命题专用纸 2005-2006学年第 1 学期试题名称：大学物理Ⅰ（3）共5页第 2 页 中国海洋大学命题专用纸 2005-2006学年第 1 学期试题名称：大学物理Ⅰ（3）共 5 页第 3 页12.（本题5分）（3230）要使一束线偏振光通过偏振片之后振动方向转过90°，至 少需要让这束光通过__________块理想偏振片．在此情况下，透射光强最大是原来光强的 ______________________倍． 13.（本题3分）（4353）已知惯性系S＇相对于惯性系S系以0.5 c的匀速度沿x轴的负方向运动，若从S＇系的坐标原点O＇沿x轴正方向发出一光波，则S系中测得此光波在真空中的波速为____________________________________． 14.（本题5分）（4732）观察者甲以0.8c的速度（c为真空中光速）相对于静止的观察者乙运动，若甲携带一质量为1 kg的物体，则 (1)甲测得此物体的总能量为____________； (2)(2) 乙测得此物体的总能量为_________． 二、计算题（共38分） 15．如图所示，一厚为b的“无限大”带电平板，其电荷体密度分布为 ＝kx (0≤x≤b )，式中k为一正的常量．求： (1) 平板外两侧任一点P1和P2处的电场强度大小； (2) 平板内任一点P处的电场强度； (3) 场强为零的点在何处？ 12届真题 1． 求下列各小题（2*5=10分）： （1）用几何图形表示0arg(1)4z π<-< ； （2）给出序列(1/)sin 6 n n z i n π=+的聚点； （3）在复数域中求解方程cos 4z =的解； （4）给出二阶偏微分方程的基本类型； （5）给出解析函数所满足的柯西-黎曼方程。 2．按给定路径计算下列积分（5*2=10分）： （1）320Re i zdz +?，积分路径为线段[0,3]和[3,3+2i]组成的折线； （2 ）11,==?积分路径由z=1出发的。 3．利用留数定理计算下列积分（5*2=10分）： （1）2 41x dx x +∞ -∞+?； （2）3||1z z e dz z =?。 4．求常微分方程20w z w ''-=在0z =邻域内的两个级数解（15分）。 5．求下列线性非奇次偏微分方程的通解：2222u u xy y x y ??-=-??（15分）。 6．利用分离变量法求解：（20分） 2222000 (),|0, |0,0, 0.x x l t t u u x l x t x u u u u t ====???-=-?????==????==??? 7．用拉普拉斯变换方法求解半无解问题（20分） 220, 0,0,(0,)1, lim (,) 0, (,0)|0, 0. x u u x t t x u t u x t t u x x κ→∞???-=>>?????=>??=>??? 有界， 2005级 一、填空（请写在答题纸上，每题6分，共计48分） 1. 三维泊松方程是______________________________ 2. 边界为Γ的区域Ω上函数u 的第二类边界条件为___________________。 3. 极坐标下的二维拉普拉斯方程为__________________________。 4. 定解问题20 02||0tt xx t t t u u x u x u ===-∞<<+∞???==??， ，的解__________________________。 5. 三维拉普拉斯方程的牛曼内问题为______________________________； 其解存在的必要条件为____________。 6. 写出4阶贝塞尔方程的标准形式_____________________________。 7. 设2()J x 为2阶贝塞尔函数，则22()d x J kx dx ????=__________________。 8. 设弦一端在0x =处固定，另一端在x l =处做自由运动。则弦振动问题的边界条件为： 二、（10分）求解定解问题： 200(0)()00()0.t xx x x u a u x l t u t u l t t u x x x l ?=<<>?==≥??=≤≤? ， ，，，，， ， ，0， 中国海洋大学物理海洋学课程大纲（理论课程）（本课程大纲根据2011年本科人才培养方案进行修订或制定） 【开课单位】海洋环境学院【课程模块】学科基础 【课程编号】0701******** 【课程类别】必修 【学时数】50 【学分数】 3 一、课程描述 1、教学对象 海洋科学专业、大气科学专业的本科生 2、教学目标及修读要求 本课程旨在使学生系统地掌握物理海洋的基本理论及其发展全貌、理解已达到的水平和今后发展的方向。要求掌握动力海洋（海流、海浪和潮波）的基本概念和运动变化的基本规律，学会分析研究海洋动力现象的基本思路和方法。 3、先修课程（参照2011版人才培养方案中的课程名称，课程名称要准确） 《海洋学》、《海洋调查》、《流体力学》 二、教学内容 第一章：海流 § 1、引言 § 2、地转流 § 3、考虑摩擦的定常流动 § 4、非定常流动 § 5、风生大洋环流 教学重点：大洋中的基本流动和风生大洋环流 难点：大洋环流的西向强化 教学手段：多媒体课堂讲授为主、随堂讨论与课后大作业为辅第二章：海浪 § 1、引言 § 2、线性波动理论 § 3、线性波动的合成 § 4、波动的折射和绕射 § 5、有限振幅波动 § 6、海浪的统计性质 § 7、海浪谱 教学重点：线性波动、海浪谱 难点：线性波动、海浪谱 教学手段：多媒体课堂讲授为主、随堂讨论与课后大作业为辅第三章：潮波 § 1、引言 § 2、平衔潮理论 § 3、考虑地球形状的潮波 § 4、等深广阔水域中的潮波 § 5、海峡和海湾中的潮波 § 6、变截面海湾中的潮波 § 7、浅水潮波 § 8、三维潮波 教学重点：平衡潮理论，广阔水域、海峡和海湾中的潮波、三维潮波 难点：等深广阔水域中的潮波、三维潮波 教学手段：多媒体课堂讲授为主、随堂讨论与课后大作业为辅 三、考核方式及评价体系 1、考核方式：闭卷考试 2、评价体系：课程考核成绩由平时成绩和期末考试成绩构成，平时成绩根据出勤、课堂讨论、课后作业、期中检查等评定，所占比重一般不超过50%。考核各部分的比重由老师结合课程内容给定：平时成绩：20 %，期末考试：80 %。 四、选用教材及必读参考书（注明作者、出版社、出版时间及版次） 1、选用教材 叶安乐、李凤歧编著，《物理海洋学》．青岛：青岛海洋大学出版社．1992年12月． 2、主要参考书 1）、吕美仲、侯志明、周毅编著，《动力气象学》．北京：气象出版社，2004数学物理方法期末考试规范标准答案
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