第２９卷第１期２００８年１月
工程热物理学报
ＪｏＵＲＮＡＬＯＦＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧＴＨＥＲＭＯＰＨＹＳＩＣＳ
Ｖｂｌ．２９．ＮＯ．１
Ｊａｎ．，２００８一种非定常Ｎ—Ｓ方程并行求解设计
李雪松徐建中Ｖ
（中国科学院工程热物理研究所，北京１０００８０）
摘要为了解决计算流体力学（ＣＦＤ）中非定常计算与越来越大的计算量，并行计算已成为一种现实有效的选择．论文首先研究了一种并行区域分解策略，该策略简单而高效，但需要算法配合。为此，采用了一种与并行完全兼容的隐式方法ＤＰ—ＬＵＲ方法．通过双时间步长法，将ＤＰ．ＬＵＲ方法延伸应用到非定常计算中而不改变其原有的性质．最后分析了并行编程中的主要难点，提出解决方法，即采用中间数据分离节点下标与处理，并给出了并行程序的总体结构。
关键词并行；非定常；隐式ＤＰ—ＬＵＲ方法；双时间步长法
中图分类号，０３５４文献标识码：Ａ文章编号。０２５３－２３１Ｘ（２００８）０１－００５２－０３
ＡＰＡＲＡＬＬＥＬＳｏＬＶＩＮＧＤＥＳＩＧＮＦｏＲＵＮＳＴＥＡＤＹ
ＮＡＶＩＥＲ—ＳＴｏＫＥＳＥＱＵＡＴＩｏＮ
ＬＩＸｕｅ－ＳｏｎｇＸＵＪｉａｎ－Ｚｈｏｎｇ
（ＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＴｈｅｒｍｏｐｈｙｓｉｅｓ，ＣｈｉｎｅｓｅＡｃａｄｅｍｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００８０，Ｃｈｉｎａ）
ＡｂｓｔｒａｃｔＷｉｔｈｔｈｅｒａｐｉｄｉｎｃｒｅａｓｅｏｆｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｃｏｓｔｆｏｒｕｎｓｔｅａｄｙｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｆｌｕｉｄｄｙｎａｍ－ｉａｓ（ＣＦＤ）ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，ｔｈｅｐａｒａｌｌｅｌｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｂｅｃｏｍｅｓｍｏｒｅａｎｄｍｏｒｅｉｍｐｏｒｔａｎｔ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒａｎｉｎｔｅｇｒａｔｅｄｅｆｆｅｃｔｉｖｅｐａｒａｌｌｅｌｓｏｌｖｉｎｇｄｅｓｉｇｎｆｏｒｕｎｓｔｅａｄｙＣＦＤＷａｓｄｅｖｅｌｏｐｅｄ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ａｄｅｃｏｍｐｏｓｉｎｇｓｔｒａｔｅｇｙｏｆｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｄｏｍａｉｎｗａｓｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ．Ｔｈｉｓｓｔｒａｔｅｇｙｉｓｓｉｍｐｌｅａｎｄｈａｓｈｉｇｈｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｆｏｒｍａｓｓｉｖｅｌｙｐａｒａｌｌｅｌｃｏｍｐｕｔｅｒｓ，ｂｕｔｎｅｅｄｓａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅＣＦＤａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ａｎｉｍｐｌｉｃｉｔＣＦＤｍｅｔｈｏｄｔｈａｔｈａｄａｌｍｏｓｔｐｅｒｆｅｃｔｌｙｄａｔａｐａｒａｌｌｅｌｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ，ＤＰ．ＬＵＲｍｅｔｈｏｄ，ｗａｓｒｅｓｅａｒｃｈｅｄｓｅｃｏｎｄｌｙ．Ｔｈｅｎ，Ｕｓｉｎｇｄｏｕｂｌｅｔｉｍｅｓｔｅｐｐｉｎｇ，ＤＰ—ＬＵＲｍｅｔｈｏｄｗａｓｄｅｖｅｌｏｐｅｄｆｏｒｕｎｓｔｅａｄｙｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｗｉｔｈｋｅｅｐｉｎｇｉｔｓｐａｒａｌｌｅｌｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅｍａｉｎｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙｏｆｗｒｉｔｉｎｇｃｏｄｅＷａｓｓｏｌｖｅｄｔｏｓｅｐａｒａｔｅｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｆｒｏｍｓｕｂｓｃｒｉｐｔｏｆｎｏｄｅｓｗｉｔｈｍｉｄｄｌｅｄａｔａ，ａｎｄｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｐａｒａｌｌｅｌｃｏｄｅＷａｓｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｔｈｉｓｐａｒａｌｌｅｌｓｏｌｖｉｎｇｄｅｓｉｇｎｉｓａｔｔｒａｃｔｉｖｅｆｏｒｌａｒｇｅ－ｓｃａｌｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓｐａｒａｌｌｅｌ；ｕｎｓｔｅａｄｙ；ｉｍｐｌｉｃｉｔＤＰ—ＬＵＲｍｅｔｈｏｄ；ｄｏｕｂｌｅｔｉｍｅｓｔｅｐｐｉｎｇｍｅｔｈｏｄ
１引言
叶轮机械计算流体动力学（ＣＦＤ）技术正在由三维粘性定常计算向非定常计算方向发展。然而，非定常计算的计算量远远大于定常计算，这限制了非定常计算的应用。
近年来，随着高速局域网技术的成熟，组建高经济高性能的机群系统已经成为可能．因此，并行计算也已经成为计算加速的一个重要手段．而隐式算法则是定常计算有效的加速收敛的方法之一．因此，隐式与并行理应成为非定常计算的重要手段．对于隐式算法，一类著名的分解方法是ＡＤＩ方法１１１．ＡＤＩ方法在二维计算时效果非常好，但在三维计算时存在明显的缺陷，如不再是无条件稳定的．为解决这些问题，Ｊａｍｅｓｏｎ与Ｔｕｒｋｅｌ提出了ＬＵ因子分解方法【２１．与ＡＤＩ方法的比较显示ＬＵ方法更有吸引力【引．随后，ＬＵ方法又有了许多发展，如ＬＵ－ＳＧＳ方法【４１、ＤＰ—ＬＵＲ方法【５，６】等．应用独立于机器的通信库，如ＭＰＩ，并行程序可以运行于不同的计算平台上，但需要算法的配合．由于边界难以处理，并行条件下，隐式算法的实施复杂程度与收敛速度都受到很大影响【７】，甚至影响到计算稳定性．因此，采用良好的并行逻辑以及与之匹配的非定常并行隐式算法是非常关键的．
２主导方程
主导方程Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ（Ｎ—Ｓ）方程，在三维任意曲线坐标系（∈，叩，ｅ）下的表达式如下：
薯－４Ｉ－誓－４Ｉ－需＋等＝筹＋筹－４Ｉ－器㈤…＋一＝一十一一Ｉ＿ｌａｔ。ａ毒。ａ７７。ａｅａ∈ａ叩ａｅ、‘７
收稿日期：２００７－０１—２９；修订日期；２００７－１１－２９
作者简介；李雪松（１９７８＿），男，江苏金湖人，在读博士生，主要从事叶轮机内流数值计算的研究工作．
１期李雪松等：一种非定常Ｎ—Ｓ方程并行求解设计
其中，虿＝ＪＬｏｐｕｐｖｐｗＲＥ］Ｔ为守恒变量，其它
变量具体形式可以参见一般的计算流体力学讲义．
３并行策略
本文将采取的并行策略为一种简单高效的区域
分解办法【８Ｉ．这一区域分解策略为：将一个流动计
算域分别沿ｉ、歹、七向等分为砸、删、礼忍段，
则该计算域等分为ｍ×ｎｊ×礼膏个子域，每个子域
对应一个进程．每个子域边界向外增加辅助网格，
用于存放从相邻子域通讯得到的数据，网格宽度随
具体计算格式而定．
图１显示了礼ｔ＝４，礼ｆ＝１，钆％＝１时的子
域分解，子域两侧的白块表示增加的辅助网格。图２
显示了每一轮迭代获得新值之后的数据通讯情况，
为下一迭代步的边界点计算做准备．
进程０进程１进程２进程３
发送接收发送接收发送接收
接收发送接收发送接收发送进程０进程ｌ进程２进程３
图１子域分解示意图图２子域通讯示意图
这一并行逻辑简单而效率高，容易做到负载平衡。在ＣＦＤ计算中采用显式计算时，计算逻辑与该并行逻辑一致，两者完全兼容，串并行计算的收敛过程与结果完全一致．但对于隐式算法，由于该并行逻辑对子域边界采用显式处理，并不适用，需要采用更复杂的并行策略．但复杂并行策略不但实施复杂，而且并行效率低，对于隐式算法并不一定有良好的效果【７１．因此，寻找并发展一种与图１、图２并行逻辑相适应的并行隐式算法，是十分必要的．
４非定常并行隐式算法
在隐式算法中，ＬＵ类算法比ＡＤＩ类算法更适合并行计算，因为ＬＵ类算法只需要求本地点的矩阵逆．但一般的ＬＵ类算法需要对边界进行隐式处理．为了改进这一点，文献［５１５提出了ＤＰ—ＬＵＲ方法．这里将该方法延伸应用到非定常计算中．由于ＤＰ—ＬＵＲ方法采用线化处理，因此破坏了时间推进的物理意义，只有收敛后的解才是物理解．也就是说，该方法只适合于定常计算．为了能够在非定常计算中利用该方法收敛加速能力，这里结合双时间步长法，推导出非定常ＤＰ—ＬＵＲ方法．
采用双时间步长法，主导方程（１）需变化为：
面ＯＱ＋簧＋筹＋篑＝餐ｌ筹Ｉ一餐一百ＯＱ－ｉ－－－ｔ（２）一十一＋一＋一＝……●三ｌａｔ。越。ａ叼。ａ（ａ∈。ａ卵。ａｅａｒ、一７
此时方程中的ｔ为虚拟时间，在迭代内层推进，丁为真实时间，在迭代外层推进．当虚拟时间推进倒足够大时，收敛解即为当前真实时间的物理解．真实时间项按源项处理，其离散采用具有二阶精度的三点后差格式：（等）”：丁３Ｑ－＇＋ｌ－４Ｑ＂＋Ｖ－Ｉ
对于虚拟时间，采用线化处理与隐式方法，则相应的隐式离散可写为如下形式：
（警Ｈ警¨筹）埘＝‰ｉ七一亟拿牲（４）
其中，上标ｉ表示内迭代次数，上标ｎ表示外迭代次数，Ａｚ＝Ｏ（一Ｆｔ一胃）／ａｅ，ＡＱ‘＝Ｑ件１一Ｑ‘．等号右边的跪为公式（１）的残差，也就是方法的显式部分，决定了计算空间精度，可以与隐式无关．而等号左边是计算的隐式部分，决定了计算的收敛速度，是本文的讨论对象．
对公式（４）左边项中流量按特征值分解，如：
Ｆ＝Ａ＋ＱＬ＋Ａ—ＱＲ
此分解通常米用一彤ｒ重构，并将非对角隐式兀素移至等号右边，则公式（４）可以写为：
。△Ｑｉ，五知：噙Ｊ，七一—３Ｑ—ｉ，—ｊ，ｋ—－—４互－蕊夏ｉ，＿ｊ，ｋ—＋—Ｑ—ｉ，ｊ，ｋ＋Ａ＋，ｉ－吾，，，知△Ｑ：～１，Ｊ，≈一Ａ，ｉＴ丢，Ｊ，鬼△Ｑ耳１，Ｊ，南＋
０，ｔ，Ｊ一丢，七△Ｑ：，Ｊ一１，知一Ｂ～，ｉ，Ｊ＋丢，七△Ｑ：，Ｊ＋１，％＋
ｑ，ｔ，Ｊ，肛丢△Ｑ：’Ｊ＇Ｈ—Ｑ，ｔ，ｊ，蚪；△Ｑ：，Ｊ，蚪１（５）其中，
。＝警Ｊ＋３２Ｊ△ｉｄ丁，ｋＩ＋Ａ州＋跏～。一知＋Ｂ＋＾Ｊ＋｛，ｋ—Ｂ一＾Ｊ一｛，七＋ｑ’ｔ，Ｊ，知＋≥一Ｑ，幻，七一≥
为了保证移至等号右边的项也能发挥隐式作用，ＤＰ．ＬＵＲ方法的实施步骤如下：
（１）首先，
△Ｑ孙Ｄ－ｌ（‰ｉ厂３一Ｑｉ，ｊ，ｋ－－４爨Ｑｉ，ｊ，ｋ＋一Ｑｉ，ｊ，ｋ”）
工程热物理学报２９卷
（２）随后进行一系列的松弛迭代步，ｍ＝１一ｍ。。，建议取ｍ。ａｘ＝４［引．
△Ｑ：≥：＝Ｄ－ｌ［跪。ｉ囊七一变至羔型［二雩缪＋
Ａ＋，ｔ一≥，五南一Ａ（ｗ－｝ｉ（ｍ一１－，Ｊ１，）膏一Ａ一，件≥，ｔ知一Ａｏｗ件ｍ１－，Ｊｌ，）七＿Ｌ－
Ｂ０，ｉ，Ｊ一§，南一Ａｗｎｉ（，ｍＪ一－１ｌ，）七一Ｂ一，ｉ，Ｊ＋｛，七一ＡＤｗｔ（，ｍＪ＋－１ｌ，）七－－Ｌ
ｑ＾ｍ一≥一ｈＤＫ（ｍｍ－－一１）－一Ｑ＾舭＋｛△Ｑ黯≈］（７）
（３）最后，
△创，Ｊ，七＝ＡＤ、（ｍ”ｍ“’（８）
式中，ＡＰ、Ａ一的取法可以参考文献【６】．
公式（６）一（８）就是非定常的ＤＰ—ＬＵＲ算法。从算法实现逻辑可以直接看出，非定常的ＤＰ—ＬＵＲ方法与显式一样，是一种本质上的并行算法，只需对本地点的矩阵求逆并且显式处理边界．
非定常的ＤＰ—ＬＵＲ方法的优势在于：对真实时间的推进步长可以按照实际需求取值；而对虚拟时间采用非定常并行隐式方法，可以有效加快获得真实物理解的速度．该隐式方法具有隐式的收敛速度以及显式的并行性质，无论是串行运行，还是任何规模的并行运行，收敛过程与计算结果都将完全一致，不会因为并行规模不同而损失收敛速度与计算稳定性，从而充分地利用了隐式与并行的能力．
５并行编程
程序并行化的一个关键是边界节点的处理．并行程序中，由于要求并行规模可以任意指定，所以难以通过下标判断节点类型，从而难以正确处理。
本文采取的做法是通过中间数据，将节点下标与节点处理的耦合关系分离．先运行辅助程序，通过节点下标，指定代表节
点类型的中间数据的值，
如设置字符串Ｂ＿Ｔｙｐｅ．
常见的节点类型如内流
点、固壁点，进出口点、周
期性点等．在主程序中根
据Ｂ－Ｔｙｐｅ的值，而不是
下标，进行相应的处理。
图３上下边界示意图辅助程序中还需要添加ＢＡＩＬ信息，即上下边界，如图３所示，对于计算方向ｉ而言，包括厶和风两个值。厶表示ｔ向下边界，对于变量西，咖６＝咖＋１，下标ｂ表示近边界节点．凰表示ｔ向上边界，Ｃｂ＝也一１．对其它两个方向，也有类似定义．只需要Ｂ＿Ｔｙｐｅ和ＢＡＩＬ值，即可提供足够信息．当改变计算规模时，程序不需做任何改动．
这里所述的方法，也可以满足程序通用化的需要．当计算不同的ＣＦＤ问题时，只需重新生成网格，并更改设定Ｂ＿Ｔｙｐｅ和Ｂ＿ＨＬ值的子程序．对于本文程序，考虑并行，下面给出经过实践形成的总体处理流程：
（１）前处理：这是串行程序，主要功能为网格生成，计算网格变换函数，设置Ｂ』ｌｙｐｅ和Ｂ＿ＨＬ值，并按并行主程序需要准备数据文件．
（２）求解器：这足并行主程序，主要功能为并行求解流体力学基本方程，相对独立．
（３）后处理：包括一批串行程序，各自目的不同，主要功能为读入主程序并行写出的数据，再按具体要求以串行形式写出。
６结论
本文研究并给出了一种完整的并行编程方案：
（１）研究了一种高效率的并行策略以及与之完全匹配的隐式ＤＰ—ＬＵＲ方法。
（２）结合双时间步长法，将ＤＰ—ＬＵＲ方法延伸应用到非定常计算中．
（３）研究了并行编程的难点与技巧，给出了并行程序结构．
这一方案效率高而且相对简便易行，对于并行ＣＦＤ程序的开发与应用有相当的借鉴意义．这一方案已实现于自主开发软件ＨＰＰＤ中【９１。
致谢本文得到中国科学院超级计算中心的支持。参考文献
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鬟
小学解方程（经典50题） 35 3141=+ x x 2、45 9 4=- x ）（ 3、 18 5 1=+ x x 4、8 516 5=+ x 5、15 84 3 = ÷x 6、185 1=+x x 7、2753=x 8、 14 17 2= - x x 9、 9 88 9= ÷ x 10、33 211 3=-x 11、 0.4x=0.72 12、 3212 5=-x 13、283 11(=+x ） 14、 40 )7 21(=- x 15、 365 2=- x x 16、5574=+ x x 17、 16 5 4=÷ x 18、 6 53 2= x
19、10 495 13 2= - x x 20 5)4 18 3( =- x 21、 4 92 14 3= + x x 22、8 35 4= -x x 23、 9 55 68= ÷ x 24、 16 510 9=- x x 25、3 216 34 12 1? = - x x 26、 10 95 14 1= + x x 27、 6 53 510 15 3= ? + x 28、40 7)4 13 1(= + ?x 29、 10 1489 1÷ =- x x 30、 18 59 5= x 31、5 412=x 32、 156 5=x 33、 3 28 3= ÷ x
34、9 84 3= +x 35、 5 215 4= - x 36、 20 74 3= + x x 37、3 27 6= ÷x 38、 2 74 72 3= - x 39、 8 9 44 3÷= ÷ x 40、56 1=-x x 41、 214 3=+ x x 42、 12 )3 11(=+ x 43、15 5 25 1=+ x x 44、10 )4 18 3( =+ x 45、 24)7 11(=- x 46、4 36 1= ÷x 47、 5 215 7= ? x 49、 3 17 6= ÷ x 50、25 1852= x 51、6x+4(50-x)=260 52、 8x+6(10-x)=68 53、5x+2(20-x)=82 54、 4x+2(35-x)=94
五年级解方程180题有答案(1) (0.5+x)+x=9.8 - 2 (12) X+8.3=10.7 (2) 2(X+X+0.5)=9.8 (13) 15x = 3 (3) 25000+x=6x (14) 3x -8= 16 (4) 3200=440+5X+X (15) 3x+9=27 (5) X-0.8X=6 (16) 18(x-2)=270 (6)12x-8x=4.8 (17) 12x=300-4x (7) 7.5+2X=15 (18) 7x+5.3=7.4 (8)1.2x=81.6 (19) 3x - 5=4.8 (7) x+5.6=9.4 (25) 0.5x+8=43 (10)x-0.7x=3.6 (26) 6x-3x=18 (11)91 - x = 1.3 (27) 7(6.5+x)=87.5
(28) 0.273 - x=0.35 (40) 20-9x=2 (29) 1.8x=0.972 (41) x+19.8=25.8 (30) x - 0.756=90 (42) 5.6x=33.6 (31) 0.1(x+6)=3.3 X 0.4 (43) 9.8-x=3.8 (32) (27.5-3.5) - x=4 (44) 75.6 - x=12.6 (33) 9x-40=5 (45) 5x+12.5=32.3 (34) x - 5+9=21 (46) 5(x+8)=102 (35) 48-27+5x=31 (47) x+3x+10=70 (36) 10.5+x+21=56 (48) 3(x+3)=50-x+3 (37) x+2x+18=78 (49) 5x+15=60 (38) (200-x) - 5=30 (50) 3.5-5x=2 (39) (x-140) - 70=4 (51) 0.3 X 7+4x=12.5
解方程测试题 请使用任意方法解下列方程，带*的必须检验。 x-104=33.5 x+118=11.9 26.4×x=40 62.2-x=70.7 x÷31=21.0 69.4+x=87.4 94.8+x=48.2 37.3x=84.1 91.1x=38.7 x÷13.3=14.5 31.4x=59.8 41.7x=69.9 105x=82.6 x×7.1=10.7 x+75.4=16 x÷63=42.2 x-8=32.8 64.2x=78 14÷x=21 59.9-x=40 9.8+x=99.3 44.2-x=86.1 x÷35.0=9.0 52.6-x=52.0 x×63.4=62.7 2.8-x=52 x÷41.0=139 9.6x=97.2 51x=42.9 x-48.8=95 x×6.8=25.4 118+x=35 56.6x=54.0 23x=145 x+50.3=28.1 54.6+x=96.2 x+89.2=59.1 45x=48 28.7x=83.5 17.3x=60.8 x+101=20.8 55.9x=75.2 59.7-x=23 x÷61.6=55.0 45.3÷x=79.5 x-48.2=85 x×43.6=62.6 5.9x=6.1 80.3x=11.7 104x=47.7 x×100.7=70 92.1x=27.3
56x=56 x÷16.8=88.3 95x=90.8 49.6x=125 2.1+x=73.4 16.7÷x=76.8 x+99=37.9 33÷x=56.6 48.5÷x=61.8 x÷3.6=96.5 68.0÷x=73 x×16.8=5.0 26.9x=88.0 45.5x=87 x×82=48.1 88.5+x=20.8 53.3x=21.3 95x=42.1 68÷x=139 x+34.7=135 x-63.1=43 19.5÷x=116 1.6x=5.7 2.3x=68.1 55.6+x=99.4 94.8÷x=28.9 100.3÷x=101 x+21.0=128 17-x=6.6 x-51=95.5 33.7×x=126 1.8x=111 48.4x=56 x×43.3=93.6 65.6x=100.9 6.8÷x=78.7 38.7-x=90.8 100x=143 64+x=31.9 x×122=28.7 x-55.1=95 17-x=92.8 x+20.8=53.1 90.9x=80.1 30.6x=58 43.9-x=37.2 6x=25.6 66.6x=113 x×21.0=65.6 x×30.6=51.1 58x=88.5 86.1x=89.5 x÷19.2=22.3 8.9×x=55 94.5+x=36.4 129x=86.3
五年级解方程练习题 方程：含有未知数的等式叫做方程。 方程的解：使方程成立的未知数的值叫做方程的解。解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 解方程的依据：1. 等式性质（等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； 等式两边同时乘以或除以同一个数，等式仍然成立。） 2. 加减乘除法的变形。 加法：加数1+加数2=和 加数1=和–加数2 加数2=和–加数1 减法：被减数–减数=差 被减数=差+减数 减数=被减数–差 乘法：乘数1×乘数2 =积 乘数1=积÷乘数2 乘数2=积÷乘数1 除法：被除数÷除数= 商 被除数=商×除数
除数=被除数÷商 一、解方程： 20x-50=50 28+6 x =88 32-22 x =10 24-3 x =3 10 x ×（5+1）=60 99 x =100- x 36÷x=18 x÷6=12 56-2 x =20 4y+2=6 x+32=76 3x+6=18 16+8x=40 2x-8=8 4x-3×9=29 二、解方程： 8x-3x=105 x-6×5=42+2x 2x+5=7 ÷ 3 2（x+3）=10 12x-9x=9 6x+18=48
56x-50x=30 5x=15（x-5）78-5x=28 32y-29y=3 5（x+5）=15 89 – 9x =80 100-20x=20+30x 55x-25x=60 76y÷ 75=1 23y÷23=23 4x-20=0 80y+20=100-20y 53x-90=16 2x+9x=11 12（y-1）=24 80÷5x=100 7x÷8=6 65x+35=100 19y+y=40 25-5x=15
简易方程 【知识分析】 大家在课堂上已经学了简单的解方程，现在我们学习比较复杂的解方程。首先，我们要对方程进行观察，将能够先计算的部分先计算或合并，使其化简，然后求出X的值。 【例题解读】 例1解方程：6X+9X-13=17 【分析】方程左边的6X与9X可以合并为15X，因此，可以将原方程转化成15X-13=17，从而顺利地求出方程的解。 解：6X+9X-13=17， 15X-13=17 15X=30 X=2。 例2解方程：10X-7=4.5X+20.5 【分析】方程的两边都有X,运用等式的性质,我们先将方程的两边同时减去4.5X,然后再在两边同时加上7,最后求出X. 解:10X-7-4.5X=4.5X+20.5-4.5X, 5.5X-7=20.5 5.5X-7+7=20.5+7 5.5X=27.5, X=5. 【经典题型练习】解方程:7.5X-4.1X+1.8=12 解方程:13X+4X-19.5=40
解方程:5X+0.7X-3X=10-1.9 解方程练习课【巩固练习】 1、解方程：7（2X-6）=84 2、解方程5（X-8）=3X 3、解方程4X+8=6X-4 4、解方程7．4X-3.9=4.8X+11.7
列方程解应用题 【知识分析】 大家在三四年级的时候一定学过“年龄问题”吧！记得那时候思考这样的问题挺麻烦的，现在可好啦！我们学习了列方程解应用题，就可以轻松地解决类似于这样的应用题。 【例题解读】 例题1 今年王老师的年龄是陈强的3倍，王老师6年前的年龄和陈强10年后的年龄相等，陈强和王老师今年各是多少岁？ 【分析】要求陈强和王老师两个人的年龄，我们不妨设今年陈强的年龄是X岁，王老师的年龄是3X岁，然后根据“王老师在6年前的年龄和陈强10年后的年龄相等”这个数量关系式，列出方程。解：设今年陈强的年龄是X岁，王老师的年龄是3X岁，可列方程：3X-6=X+10，2X=16，X=8 3X=3×8=24 答：陈强今年8岁，王老师今年24岁。 例题2 今年哥哥的年龄比弟弟年龄的3倍多1岁，弟弟5年后的年龄比3年前哥哥的年龄大1岁，兄弟俩现在各多少岁？ 【分析】先表示出哥哥和弟弟今年的年龄，然后运用弟弟5年后，哥哥3年前的年龄作为等量关系。 解：设弟弟今年X，那么哥哥今年（3X+1）岁，可列方程 X+5=3X+1-3+1，X+5=3X-1，6=2X，X=3。 3X+1=3X3+1=10 答：哥哥今年10岁，弟弟今年3岁。
列方程解应用题及解析 例1甲乙两个数，甲数除以乙数商2余17．乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数． 分析：被除数、除数、商和余数的关系：被除数=除数×商+余数．如 果设乙数为x，则根据甲数除以乙数商2余17，得甲数=2x＋17．又 根据乙数的10倍除以甲数商3余45得10x=3（2x＋17）＋45，列出 方程． 解：设乙数为x，则甲数为2x+17． 10x=3（2x＋17）+45 10x=6x＋51+45 4x=96 x＝24 2x+17=2×24+17=65． 答：甲数是65，乙数是24． 例2电扇厂计划20天生产电扇1600台．生产5天后，由于改进技术，效率提高25％，完成计划还要多少天 思路1： 分析依题意，看到工效（每天生产的台数）和时间（完成任务 需要的天数）是变量，而生产5天后剩下的台数是不变量（剩余工作 量）．原有的工效：1600÷20=80（台），提高后的工效：80×（1＋25 ％）=100（台）．时间有原计划的天数，又有提高效率后的天数，因 此列出方程的等量关系是：提高后的工效x 所需的天数=剩下台数． 解：设完成计划还需x天． 1600÷20×（1+25％）×x=1600-1600÷20×5 80×=1600-400 100x=1200 x=12． 答：完成计划还需12天．例4 中关村中学数学邀请赛中，中关村一、二、三小六年级大约有380～450人参赛．比赛结果全体学生的平均分为76分，男、女生平均分数分别为79分、71分．求男、女生至少各有多少人参赛 分析若把男、女生人数分别设为x人和y 人．依题意全体学生 的平均分为76分，男、女生平均分数分别为79分、71分，可以确 定等量关系：男生平均分数×男生人数+女生平均分数×女生人数= （男生人数+女生人数）×总平均分数．解方程后可以确定男、女生 人数的比，再根据总人数的取值范围确定参加比赛的最少人数，从而 使问题得解． 解：设参加数学邀请赛的男生有x人，女生有y人． 79x+71y＝（x+y）×76 79x+71y＝76x+76y 3x＝5y ∴x：y=5：3 总份数：5＋3=8． 在380～450之间能被8整除的最小三位数是384，所以参加邀 请赛学生至少有384人． 男生：384×=240（人） 5 8 女生：384×=144（人） 3 8 答：男生至少有240人参加，女生至少有144人参加． 例 5 瓶子里装有浓度为15％的酒精1000克．现在又分别倒入 100克和400克的A、B两种酒精，瓶子里的酒精浓度变为14％．已 知A种酒精的浓度是B种酒精的2倍，求A
一、基本练习： x+4=10 x-12=34 8x=96 4x－３０＝０８.3x－２x＝６３x÷10 = 5.2 二、提高练习： 3x+ 7x +10 = 90 3（x - 12）+ 23 = 35 7x－8＝2x＋27 5x -18 = 3–2x （7x - 4）+3（x - 2）= 2x +6 三、列方程解应用题： 1、食堂运来150千克大米，比运来的面粉的3倍少30千克。食堂运来面粉多少千克？ 2、李师傅买来72米布，正好做20件大人衣服和16件儿童衣服。每件大人衣服用2.4米，每件儿童衣服用布多少米？ 综合练习 1、80÷x＝20 2、12x＋8x－12＝28 3、3（2x－1）＋10=37 4、1.6x＋3.4x－x－5＝27
5、2（3x－4）＋（4－x）＝4x 6、3（x+2）÷5=（x+2） 7、（3x＋5）÷2＝（5x－9）÷3 0.7(x＋0.9)=42 1.3x＋2.4×3=12.4x＋(3－0.5)=127.4－(x－2.1)=6 1、果园里有52棵桃树，有6行梨树，梨树比桃树多20棵。平均每行梨树有多少棵？ 2、一块三角形地的面积是840平方米，底是140米，高是多少米？ 能力升级题 1、7（4－x）＝9（x－4） 2、128－5(2x+3)=73 3、1.7x＋4.8＋0.3x＝7.8 4、x÷0.24＝100 5、 3（x +1 ）÷（2x – 4）= 6
1、一辆时速是50千米的汽车，需要多少时间才能追上2小时前开出的一辆时速为40千米汽车？(列方程解答) 2、学校举行书画竞赛,四、五年级共有75人获奖,其中五年级获奖人山数是四年级的1.5倍,四、五年级各有多少同学获奖? (列方程解答)
【同步教育信息】 一、本周教学主要内容： 列方程解决实际问题（1） 二、本周学习目标： 1、在解决实际问题的过程中，理解并掌握形如ax±b=c的方程的解法，会列上述方程解决两步计算的实际问题。 2、在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中，经历将现实问题抽象为方程的过程，进一步体会方程的思想方法及价值。 3、在积极参与数学活动的过程中，养成独立思考，主动与他人合作交流，自觉检验等习惯。 三、考点分析： 经历寻找实际问题中数量之间的相等关系并列方程解决问题的过程，在过程中自主理解并掌握有关方程的解法，加深对列方程解决实际问题的体验。 四、典型例题 例1、小强的爸爸今年37岁，比他年龄的3倍还大4岁，小强今年是多少岁？ 分析与解： 这个题目包含的信息有：（1）小强爸爸的年龄（已知）37岁；（2）小强的年龄（未知）乘3再加上4岁和他爸爸年龄一样。 根据（1）（2）之间的关系，很快就可以找出下面的数量关系，小强今年多少岁不知道，可以设为x岁。 小强的年龄×3 + 4 岁 = 小强爸爸的年龄 根据上面的数量关系可以列出方程，再解答。 解：设小强今年是x岁。 3x + 4 = 37 3x + 4 - 4 = 37 – 4 ┄┄（） 3x = 33
x = 33 ÷ 3 ┄┄（） x = 11 这道题你会检验吗？ 答：小强今年11岁。 这道题你还会列其它方程解答吗？（依据不同的数量关系可以列出不同的方程） 点评：实际解答这一题时，还可以想出几种不同的数量关系式。但是，对于符合题意的数量关系式，我们在解题时一般用最容易想到的数量关系式，即顺着题目的意思所想到的数量关系式。 例2、一种墨水有两种包装规格，大瓶容量是1.5升，比小瓶容量的4倍少0.9升，小瓶容量是多少？ 分析与解： 这个题目包含的信息有：（1）大瓶容量（已知）1.5升；（2）小瓶容量（未知）乘4减去0.9升和大瓶容量一样。 根据（1）（2）之间的关系，很快就可以找出下面的数量关系，小瓶容量不知道，可以设为x升。 小瓶的容量×4 - 0.9升 = 大瓶的容量 根据上面的数量关系可以列出方程，再解答。 解：设小瓶的容量是x升。 4x – 0.9 = 1.5 4x - 0.9 + 0.9 = 1.5 + 0.9 4x = 2.4 x = 2.4 ÷ 4 x = 0.6 这道题你会检验吗？ 答：小瓶的容量是0.6升。 点评：在解形如ax±b=c的方程时，要先把ax看作一个整体，根据等式的性质在方程的两边同时加上或减去或乘一个相同的数，变形为“ax= b”的形式，最后再求出x的值。 例3、一个三角形的面积是100平方厘米，它的底是25厘米，高是多少厘米？ 分析与解： 根据题目可以得出这一题的等量关系式是：三角形的面积=底×高÷2
四年级解方程典型练习题 练习一 【知识要点】学会解含有三步运算的简易方程。 2、口算下面各题。 3.4a－a= a－0.3a= 3.1x－ 1.7x= 0.3x＋3.5x＋x= 15b－4.7b= 6.7t－t= 32x－4x x－0.5x－0.04x= 3、解方程。 2x＋0.4x=48(并检验) 8x－ x=14.7 35x＋13x=9.6 4、列出方程，并求出方程的解。 ①x的7倍比52多25。②x的9倍减去x的5倍，等于24.4。 ①0.3乘以14的积比x的3倍少0.6。②x的5倍比3个7.2小3.4。 ③一个数的3倍加上它本身 2、苹果：x千克 梨子：比苹果多270千克 求苹果、梨子各多少千克？
3、两个数的和是144，较小数除较大数，商是3，求这两个数各是多少？ 练习二 1、解方程 0.52×5－4x=0.6 0.7(x＋0.9)=42 1.3x＋2.4×3=12.4 x＋(3－0.5)=12 7.4－(x－2.1)=6 5(x＋3)=35 x＋3.7x＋2=16.1 14x＋3x－1.2x=158 5x＋34=3x ＋54 【拓展训练】 1、在下面□里填上适当的数，使每个方程的解都是x=2。 □＋5x=25 5x－□=7.3 2.3x×□ =92 2.9x÷□=0.58 2、列方程应用题。 ①果园里有苹果树270棵，比梨树的3倍少30棵，梨树有多少棵？
②王阿姨买空11个暖瓶，付了200元，找回35元，每个暖瓶多少元？ ③一个长方形的周长是35米，长是12.5米，它的宽是多少米？ 练习三 1、①学校有老师x人，学生人数是老师的20倍，20x表 示，20x＋x表示。 ②一本故事书的价钱是x元，一本字典的价钱是一本故事书的2.5倍。一本字典元，3本故事书和2本字典一共 是元。 ③甲数是x，乙数是甲数的3倍，甲乙两数的和是。 ④如果x=2是方程3x＋4a=22的解，则a= 。 2、解方程。 5x＋2x=1.4＋0.07 6x－3x=6÷5 x－13.4＋ 5.2=1.57 0.4×25－3.5x=6.5 7x＋3×1.4x=0.2×56 5×(3－2x)=2.4×5
七年级解方程练习题 1、依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形 依据． 解：原方程可变形为（） 去分母，得3（3x+5）=2（2x﹣1）．（） 去括号，得9x+15=4x﹣2．（） （），得9x﹣4x=﹣15﹣2．（） 合并，得5x=﹣17．（） （），得x=．（） 5（x﹣5）+2x=﹣4 6（x﹣5）=﹣24 5（x+8）﹣5=6（2x﹣7） 7、=﹣1 ﹣=1 1﹣3（8﹣x）=﹣2（15﹣2x） 5（x+8）=6（2x﹣7）+5 4（2x+3）=8（1﹣x）﹣5（x﹣2）
= ﹣2 ﹣2= 12（2﹣3x ）=4x +4 ﹣1= 2﹣ =x ﹣ ﹣1= x － 27 x =43 2x + 25 = 35 70%x + 20%x = 3.6 x ×5 3=20×4 1 25% + 10x = 5 4 x - 15%x = 68 x ＋83x ＝121 5x －3× 21 5 ＝75 32 x ÷41＝12 6x ＋5 =13.4 3x =8 3
x ÷7 2=16 7 x ＋8 7x =4 3 4x －6×3 2=2 125 ÷x =3 10 53 x = 72 25 98 x = 6 1×51 16 x ÷ 356=4526 ×25 13 4x －3 ×9 = 29 21x + 61 x = 4 103 x －21×32=4 204 1=+x x 8)6.2(2=-x 6x ＋5 =13.4 25 x -13 x =3 10 4x －6＝38 5x =19 15 x ＋25%x =90 218 x =15 4 x ÷54 =28 15 32x ÷41 =12 x －37 x = 89 53x =7225 98x =61×51 16
五年级解方程50题有答案 （1）(0.5+x)+x=9.8÷2 （2）2(X+X+0.5)=9.8 （3）25000+x=6x （4）3200=440+5X+X （5）X-0.8X=6 (6)12x-8x=4.8 (7) 7.5+2X=15 (8)1.2x=81.6 （7）x+5.6=9.4 (10)x-0.7x=3.6 (11)91÷x＝1.3 （12） X+8.3=10.7 (13) 15x＝3 (14) 3x－8＝16
(16) 18(x-2)=270 (17) 12x=300-4x (18) 7x+5.3=7.4 (19) 3x÷5=4.8 (25) 0.5x+8=43 (26) 6x-3x=18 (27) 7(6.5+x)=87.5 (29) 1.8x=0.972 (30) x÷0.756=90 (31) 0.1(x+6)=3.3×0.4 (32) (27.5-3.5)÷x=4 (33) 9x-40=5 (34) x÷5+9=21 (35) 48-27+5x=31
（37） x+2x+18=78 (38) (200-x)÷5=30 (39) (x-140)÷70=4 （40） 20-9x=2 (41) x+19.8=25.8 (42） 5.6x=33.6 （43） 9.8-x=3.8 （45） 5x+12.5=32.3 （46） 5(x+8)=102 （47） x+3x+10=70 （48） 3(x+3)=50-x+3 （49） 5x+15=60 （50） 3.5-5x=2
五年级解方程50题答案 （1）(0.5+x)+x=9.8÷2 0.5+2x=4.9 0.5+2x-0.5=4.9-0.5 2x=4.4 2x÷2=4.4÷2 X=2.2 （2）2(X+X+0.5)=9.8 2x+2x+1=9.8 4x+1-1=9.8-1 4x=8.8 4x÷4=8.8÷4 X=2.2 （3）25000+x=6x 25000+x-x=6x-x 5x=25000 5x÷5=25000÷5 X=5000 （4）3200=440+5X+X 6x+440=3200 6x+450-450=3200-440 6x=2760 6x÷6=2760÷6 X=460 （5）X-0.8X=6 0.2x=6 0.2x÷0.2=6÷0.2 X=30 (6)12x-8x=4.8 4x=4.8 4x÷4=4.8÷4 X=1.2 (7) 7.5+2X=15 2x+7.5-7.5=15-7.5 2x=7.5 2x÷2=7.5÷2 X=3.75 (8) 1.2x=81.6 1.2x÷1.2=81.6÷1.2 X=68 (9) x+5.6=9.4 X+5.6-5.6=9.4-5.6 X=3.8 (10)x-0.7x=3.6 0.3x=3.6 0.3x÷0.3=3.6÷0.3 X=12 (11)91÷x＝1.3 91÷x×x=1.3×x 1.3x=91 1.3x÷1.3=91÷1.3 X=70 (12) X+8.3=10.7 X+8.3-8.3=10.7-8.3 X=2.4 (13) 15x＝3 15x÷15=3÷15 X=0.2 (14) 3x－8＝16 3x-8+8=16+8 3x=24 3x÷3=24÷3 X=8 (15) 3x+9=27 3x+9-9=27-9 3x=18 3x÷3=18÷3 3x=6 (16) 18(x-2)=270 18x-36=270 18x-36+36=270+36 18x=306 18x÷18=306÷18 X=17 (17) 12x=300-4x 12x+4x=300-4x+4x 16x=300 16x÷16=300÷16 X=18.75 (18) 7x+5.3=7.4
小学解方程（经典50题） 353141=+x x 2、4594=-x ）（ 3、 185 1=+x x 4、85165=+ x 5、15843=÷x 6、185 1 =+x x 7、2753=x 8、 14172=-x x 9、 9 889=÷x 10、332113= -x 11、 = 12、 3212 5 =-x 13、28311(=+x ） 14、 40)721(=-x 15、 365 2=-x x 16、5574=+x x 17、 1654=÷x 18、 6 532=x
19、10495132=-x x 20 5)4183(=-x 21、 4 92143=+x x 22、8354=-x x 23、 95568=÷x 24、 16 5 109=-x x 25、321634121 ?=-x x 26、 1095141=+x x 27、 6 5 3510153=?+x 28、407)4 13 1(=+?x 29、 1014891÷=-x x 30、 18 5 95=x 31、5412=x 32、 1565=x 33、 3 283=÷x
34、9843=+x 35、 52154=-x 36、 20 7 43= +x x 37、3276 =÷x 38、 274723=-x 39、 89 443÷=÷x 40、561=-x x 41、 2143=+x x 42、 12)3 11(=+x 43、155251=+x x 44、10)4183(=+x 45、 24)7 11(=-x 46、4361=÷x 47、 52157=?x 49、 3 176=÷x 50、25 18 52 =x 51、6x+4(50-x)=260 52、 8x+6(10-x)=68 53、
【列方程解方程】 1．李晖买了一支铅笔和一本练习本，一共花了0.48元，练习本的价钱是铅笔价钱的2倍，铅笔和练习本的单价各是多少钱？ 17．小强妈妈的年龄是小强的4倍，小强比妈妈小27岁，他们两人的年龄各是多少？ 18．有两袋大米，甲袋大米的重量是乙袋大米的3倍，如果再往乙袋大米装5千克大米，两袋大米就一样重，原来两袋大米各有多少千克？ 19．爸爸的体重是66千克，比小军的2倍轻24千克，小军的体重是多少千克？ 20．一辆双层巴士共有乘客51人，下层乘客人数是上层的2倍，上层有乘客多少人？ 21．在一个笼子里，有鸡又有兔共8只，数一下它们的脚，共有20只。鸡兔各几只？ 22．修一条长360米的路，每天修80米，修了若干天后，还剩40米，已修了多少天？ 1、共有1428个网球，每5个装一筒，装完后还剩3个，一共装了多少筒？ 2、故宫的面积是72万平方米，比天安门广场面积的2倍少16万平方米。天安门广场的面积多少万平方米？ 3、宁夏的同心县是一个“干渴”的地区，年平均蒸发量是2325mm，比年平均降水量的8倍还多109mm，同心县的年平均降水量多少毫米？
4、猎豹是世界上跑得最快的动物，能达到每小时110km，比大象的2倍还多30km。大象最快能达到每小时多少千米？ 5、世界上最大的洲是亚洲，面积是4400万平方千米，比大洋洲面积的4倍还多812万平方千米。大洋洲的面积是多少万平方千米？ 6、大楼高29.2米，一楼准备开商店，层高4米，上面9层是住宅。住宅每层高多少米？ 7、太阳系的九大行星中，离太阳最近的是水星。地球绕太阳一周是365天，比水星绕太阳一周所用时间的4倍还多13天，水星绕太阳一周是多少天？ 8、地球的表面积为5.1亿平方千米，其中，海洋面积约为陆地面积的2.4倍。地球上的海洋面积和陆地面积分别是多少亿平方千米？ 9、6个易拉缺罐，9个饮料瓶，每个的价钱都一样，一共是1.5元。每个多少钱？ 10、两个相邻自然数的和是97，这两个自然分别是多少？ 11、鸡和兔的数量相同，两种动物的腿加起来共有48条。鸡和兔各有多少只？ 12、妈妈今年的年龄儿子的3倍，妈妈比儿子大24岁。儿子和妈妈今年分别是多少岁？ 13、我买了两套丛书，单价分别是：<<科学家>>2.5元/本，<<发明家>>3元/本，两套丛书的本数相同，共花了22元。每套丛书多少本？
《解方程》典型例题 例1 解方程：89210+-=+-x x 例2 解方程：)2(3)3(2+=-x x 例3 解方程：7722121-=-- x x 例4 解方程： 6233)5(54--+=--+x x x x 例5 解方程： 5303.02.05.05.01.24.0=--+x x 例6 下面解题过程正确吗？如果正确，请指出每一步的依据；如果不正确，请指出错在哪里，并给出正确的解答． （1）解方程4 13x x += 两边都乘以12，得 134=-x x ∴1=x （2）解方程83243212 x x --+= 去分母，得 x x 326220--+= 移项，得 202623--=-x x 合并同类项，得 16-=x 例7 如果一个正整数的2倍加上18等于这个正整数与3之和的n 倍，试求正整数n 的值． 例8 解方程234=-+-x x 例9 解方程.132=-+-x x
参考答案 例1 分析 这个方程可以先移项，再合并同类项． 解 移项，得.28910-=+-x x 合并同类项，得6=-x 把系数化为1，得6-=x 说明：初学解方程者应该进行检验，就是把求得的方程的解代入原方程中，看方程的左右两边是否相等，如果相等则是方程的解，否则就不是方程的解．则说明我们的解题过程有误．当熟练之后可以不进行检验，以后我们会知道一元二次方程不会产生增根． 例2 分析 这个方程含有括号，我们应先去掉括号，然后再进行合并同类项等． 解 去括号，得.6362+=-x x 移项，得6632+=-x x 合并同类项，得12=-x 把系数化为1，得.12-=x 说明：在去括号时要注意符号的变化，同时还应该注意要用括号前的数去乘括号内的每一项，避免出现漏乘的现象． 例3 分析 该方程中含有分母，一般我们是要先去掉分母，然后再按其他步骤进行． 解 去分母，得217)2(3)2(21?-?=--x x 去括号，得1476221-=+-x x 移项，得2211476---=--x x 合并同类项，得1707-=-x 把系数化为1，得.7 224=x 说明：初学者在去括号时，如果分子是两项的，应该用括号把分子括上以避免出现符号的错误．
简单解方程练习题及答案 一个数的8倍比它的5倍多24,求这个数? x的6倍加上2.5与4的积,和是25,求x? 解简易方程 填空. 1、铅笔每枝a元,买了m枝,付出b元,应找回元. 2、服装计划做x套衣服,已经做了5天,每天做y套,还剩套. 3、小东每小时走8千米,小明每小时走7千米,他们走t小时后,小东比小明我走 千米. 4、甲乙两数的和是m, 乙数是甲数的3倍,甲数是,[ 乙数是. 5、两种水果的价钱都是a元,小芳的妈妈分别买了2千克和3千克,一共花了元. 二、判断 1、x＝3.6是方程2.8＋x＝6.4的解. 2、a2＞a 3、x的5倍加上5,写成式子是5x＋5,是方程. 4、6a-57＝50是方程. 5、等式就是方程. 三、解方程
8.5x＋6.5x＝221.2x0.9x＝2.1 100－9x－12x＝37 四、列方程并解答出来. 某数的5倍加上3等于它的8倍减去9,求这个数? 一个数的6倍减去15,正好等于这个数的4倍加5,这个数是多少? 列方程解答应用题 用含字母的式子表示下面数量关系. 、127加上a的5倍和是 、学校买来a个足球,每个m元,又买来b个排球,每个n元,一共用去元,足球比排球多用元. 、姐姐今年a岁,比妹妹大b岁,5年后姐姐比妹妹大岁. 二、解下列方程. 0.5x＋1.5x＝15.616x＋4－9x＝29.6－3x＝3.24× 三、找出数量间的等量关系,再列方程. 1、小明买了8个作业本,每本x元,付给营业员5元,找回2.6元. 等量关系式:_________________________ 列方程式:____________________________ 、一条1000米的公路,平均每天修x米,修了8天,还剩440米. 等量关系式:_______________ 列方程式:_______________________ 小学数学五年级《简易方程》练习题
【同步教育信息】 一、 本周主要内容： 列方程解决实际问题 二、本周学习目标： 1、在解决实际问题的过程中，理解并掌握形如ax ±b=c 、ax ÷b=c 、ax ±bx=c 等方程的解法，会列上述方程解决需要两、三步计算的实际问题。 2、在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中，提高分析数量关系的能力，培养学生思维的灵活性 3、在积极参与数学活动的过程中，树立学好数学的信心。 三、 考点分析： 掌握形如ax ±b=c 、ax ÷b=c 、ax ±bx=c 等方程的解法以及列方程解应用题的基本方法, 在理解题意分析数量关系的基础上正确找出应用题中数量间的相等关系。 四、 典型例题 例1. 看图列方程，并求出方程的解。 x 棵 松树： 15棵 杉树： x 棵 x 棵 x 棵 75棵 科技书： x 本 x 本 x 本 186 本 文艺书：
例2. 解方程：４+ 6x = 40 ４x + 6x = 40 分析与解： ４+ 6x = 40这是一道“a+bx=c”的方程，解答时先根据等式的性质在方程的两边同时减去a，再同时除以b，求出x的值。 ４x + 6x = 40这是一道“ax +bx=c”的方程，解答时先根据乘法分配律把方程左边的ax +bx进行化简，再根据等式的性质在方程的两边同时除以（a+b）的和，求出x的值。 ４+ 6x = 40 ４x + 6x = 40 6x + 4 - 4 = 40 - 4 （4 + 6）x = 40 6x = 36 10x = 40 6x ÷ 6 = 36 ÷ 6 10x ÷ 10 = 40 ÷ 10 x = 6 x = 4 点评：这两题同学们容易产生混肴，产生错误解法的原因是很典型”的学新知忘旧知“，这也是同学们学习时经常犯的错误。如果能认真分析题目，并仔细思考，正确解答这类题目并不是难事。 例3. （1）甲、乙两地相距1000米，小华从甲地、小明从乙地同时相向而行，小华每分钟走60米，小明每分钟走65米。两人几分钟相遇？ 分析与解： 两人走到最后相遇了就说明两人走的路程就是甲、乙两地之间的路程，这一题的等量关系式是：小华走的路程 + 小明走的路程 = 甲、乙两地之间的路程。路程= 速度×时间，两人走的时间是一样的，设两人x分钟相遇。 解：设两人x分钟相遇。 60x + 65x = 1000 125x = 1000 125x÷125 = 1000÷125 x = 8 答：两人8分钟后相遇。 （2）小东、小英同时从某地背向而行，小东每分钟走50米，小英每分钟走45
小学四年级解方程的方法详解 方程：含有未知数的等式叫做方程。如4x-3=21，6x-2(2x-3)=20 方程的解：使方程成立的未知数的值叫做方程的解。如上式解得x=6 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 解方程的依据：方程就是一架天平，“=”两边是平衡的，一样重！ 1. 等式性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； （2）等式两边同时乘以或除以同一个非零的数，等式仍然成立。 2. 加减乘除法的变形： (1) 加法：a + b = 和则a = 和－b b = 和－a 例：4+5=9 则有：4=9-5 5=9-4 (2) 减法：被减数a–减数b = 差则： 被减数a=差＋减数b 被减数a－差=减数b 例：12-4=8则有：12=8+4 12-8=4 (3) 乘法：乘数a×乘数b = 积则： 乘数a =积÷乘数b乘数b=积÷乘数a 例：3×7=21则有：3=21÷7 7=21÷3 (4) 除法：被除数a÷除数b = 商则： 被除数a=商×除数b 除数b=被除数a÷商 例：63÷7=9 则有：63=9×7 7=63÷9 解方程的步骤： 1、去括号：（1）运用乘法分配律；（2）括号前边是“－”，去掉括号要变号；括号前边是“＋”，去掉括号不变号。 2、移项：法1——运用等式性质，两边同加或同减，同乘或同除；法2——符号过墙魔法，越过“=”时，加减号互变，乘除号互变。 注意两点：（1）总是移小的；（2）带未知数的放一边，常数值放另一边。 3、合并同类项：未知数的系数合并；常数加减计算。 4、系数化为1：利用同乘或同除，使未知数的系数化为1。 5、写出解：未知数放在“=”左边，数值（即解）放右边；如x=6 6、验算：将原方程中的未知数换成数，检查等号两边是否相等！ 注意：（1）做题开始要写“解：”（2）上下“=”要始终对齐
解方程 知识回顾： 1、 含有未知数的等式叫做方程。 2、 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 3、 求方程的解的过程叫做解方程。 4、等式的基本性质①等式两边加上或减去同一个数或式子，左右两边仍然相等 ②等式两边乘或除以同 一个不为0的数或式子，左右两边仍然相等 本次课我们要解决稍复杂的方程，比如方程两边都含有未知数，如()62108+=-x x ；等号两边都是分数形式的方程，如3 7615=+x 。 一、利用等式的基本性质简化方程: ① 等式两边加上或减去同一个数或式子，左右两边仍然相等 ② 等式两边乘或除以同一个不为0的数或式子，左右两边仍然相等 二、合并含未知数的式子：根据乘法分配律 三、去括号:乘法分配律;
括号前面是减号,去掉括号要改号;括号前面是加号,去掉括号不改号. 四、两边是分数形式的方程，运用交叉相乘法，转化为不是分数形式的方程。 五、解方程步骤要规范，求出得数后可以检验。 解方程实际上就是利用等式的性质将等式一步一步变形，最后变成 知数的值，即方程的解。 （1）去括号； （2）整理不含未知数的数：利用等式的基本性质消去等号一边的数 （3）如果等号左右两边都出现含未知数x的式子，则要利用等式的基本性质把等号一边的x消掉； （4）合并含未知数x的式子； （5）使含未知数x的式子出现在等号的一边，不含未知数的数出现在等号的另一边； （6）等号左右两边同除以未知数x前的乘数； 补充：【把一个式子从等号的一边移到另一边，要改变式子的符号。一般情况下，把含有未知数的式子移到等号的右边，把其他数移到等号的右边。（4x=3x+50=>4x-3x=50;5+2x=7=>2x=7-5）】 一、利用等式的基本性质： 20-x=95÷x=3 2(x+1)=6 43-5x=23 x=×8 (5x-12) ×8=24 (3x-101)÷2=8
解方程提高训练 X － 27 X=4 3 2X + 25 = 3 5 70%X + 20%X = 3.6 X ×53=20×41 25% + 10X = 5 4 X - 15%X = 68 X ＋83X ＝121 5X －3×215＝7 5 32X ÷41＝12 6X ＋5 =13.4 8 3 4143=+X 3X=83 X ÷72=167 X ＋87X=43 4X －6×3 2 =2 125 ÷X=3 10 53 X = 7225 98 X = 61×5116 X ÷ 356=4526×25 13 4x －3 ×9 = 29 21x + 61x = 4 103X －21×32=4 204 1 =+x x 8)6.2(2=-x
6X ＋5 =13.4 25 X-13 X=310 4χ－6＝38 0.36×5- 34 x = 3 5 5X=1915 218X=15 4 X ÷54=281 5 23 (x- 4.5) = 7 32X ÷41=12 53X=7225 98X=61×51 16 1 2 x- 25%x = 10 X ÷356=4526÷2513 X-0.25=41 4 X =30% x- 0.8x = 16+6 4+0.7X=102 32X+21X=42 X+4 1 X=105 20 x – 8.5= 1.5 X- 83X=400 X-0.125X=8 X 36 = 43 x- 4 5 x -4= 21 X+37 X=18 X ×( 16 + 38 )=13 12 x －0.375x=6 5 X ＋25%X=90 x ×32+21=4×83 X －7 3X ＝12 5 X －2.4×5＝8 X －37 X= 89
解方程姓名： 一、求加数或求因数的方程 7+x=19 x+120=176 ☆58+x=90 x+150=290 79.4+x=95.5 ☆x+55=129 7 x=63 9 x =4.5 ☆4.4x=444 4.5 x =90 5 x =100 ☆6.2x=124
1.8x=0.972 7 x =49 20x=40 8x=8 1.2x=81.6 ☆x－6=19 x－3.3=8.9 x－25.8=95.4 x－54.3=100 x÷1.25=8 x÷4.4=10 ☆x÷78=10.5
x÷2.5=100 x÷3=33.3 x÷2.2=8 x－77=275 x－58=144 x－6=12 x－7.6=8 x－5.3=3.49 x÷6=12 三、求减数或除数的方程 －x=4.5 73.2－x=52.5 87－x=22 66－x=32.3 77－x=21.9 99－x=61.9 88-x=80 43－x=38 54－x=24
x=0.3 8.8÷x=4.4 9÷x=0.03 7÷x=0.001 56÷x=5 39÷x=3 91÷x =1.3 0.245÷x=0.35 10÷x=8 四、带括号的方程（先将小括号内的式子看作一个整体来计算， 然后再来求方程的解） 3×(x－4)=46 (８+x) ÷5=15 先把(x－4)当作因数算。先把(8+x)当作被除数算。解：x－4= 46 ÷3 x－4= x= x= (x＋5) ÷3=16 15÷(x+0.5)=1.5 先把(x＋5)当作算。先把(x+0.5)当作算。 五、含有两个未知数的，我们可以用乘法分配律来解答，求出方程的解。 12x+8x=40 12x－8x=40 12x＋x=26 解：(12+8)x=40 20x=40 x=40÷20 x=2 x+ 0.5x=6 x－0.2x=32 1.3x+x=26