河南省开封市第二实验高中2014-2015学年高一上学期9月月考数学试卷
一、选择题（每题5分，共60分）
1．（5分）设全集U={1，2，3，4}，集合S={l，3}，T={4}，则（?U S）∪T等于（）A．{2，4} B．{4} C．?D．{1，3，4}
2．（5分）图中阴影部分表示的集合是（）
A．B∩（?U A）B．A∩（?U B）C．?U（A∩B）D．?U（A∪B）
3．（5分）设集合A={1，2，4}，集合B={x|x=a+b，a∈A，b∈A}，则集合B中有（）个元素．A．4B．5C．6D．7
4．（5分）已知函数，则f（f（f（﹣1）））的值等于（）A．π2﹣1 B．π2+1 C．πD．0
5．（5分）设集合P={（x，y）|x+y＜4，x，y∈N*}，则集合P的非空子集个数是（）
A．2B．3C．7D．8
6．（5分）已知集合A={x|﹣3≤x≤1}，B={x|x≤2}，则集合A∪B（）
A．{x|﹣3≤x≤1} B．{x|﹣3≤x≤2} C．{x|x＜1} D．{x|x≤2}
7．（5分）集合，则下列关系正确的是（）A．?R A??R B B．A??R B C．B??R A D．A∪B=R
8．（5分）设集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x≥a}．若A?B，则a的范围是（）
A．a＜1 B．a≤1 C．a＜2 D．a≤2
9．（5分）已知集合M={（x，y）|x+y=2}，N={（x，y）|x﹣y=4}，那么M∩N为（）
A．x=3，y=﹣1 B．（3，﹣1）C．{3，﹣1} D．{（3，﹣1）} 10．（5分）已知函数f（x）=|x|，则下列哪个函数与y=f（x）表示同一个函数（）
A．g（x）=（）2B．h（x）=
C．s（x）=x D．y=
11．（5分）若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（小时）的函数关系用图象表示为（）
A．B．
C．D．
12．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）
A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1}，集合B={x|x2﹣1≤0，x∈R}，则A∩B=．14．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x≤﹣2，x∈R}，B={x|x＜1，x∈R}，则（?U A）∩B=．15．（5分）函数f（x）=x2+4x+1（x∈[﹣1，1]）的最大值等于．
16．（5分）若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是
．
三、解答题（17题10分，其余每题12分）
17．（10分）A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}，若1∈A，求a的值．
18．（12分）已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}
（1）若a=，求A∩B．
（2）若A∩B=?，求实数a的取值范围．
19．（12分）判断函数f（x）=在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明．
20．（12分）（1）求函数的定义域；
（2）求函数在[2，6]上的值域．
21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣2|x|﹣3．
（Ⅰ）作出函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）的单调区间；以及在各单调区间上的增减性．
（Ⅱ）求函数f（x）当x∈[﹣2，4]时的最大值与最小值．
22．（12分）已知函数f（x）=x2+（2a﹣1）x﹣3
（1）当a=2，x∈[﹣2，3]时，求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值为1，求实数a的值．
河南省开封市第二实验高中2014-2015学年高一上学期9月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分，共60分）
1．（5分）设全集U={1，2，3，4}，集合S={l，3}，T={4}，则（?U S）∪T等于（）A．{2，4} B．{4} C．?D．{1，3，4}
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：利用集合的交、并、补集的混合运算求解．
解答：解：∵全集U={1，2，3，4}，集合S={l，3}，T={4}，
∴（?U S）∪T={2，4}∪{4}={2，4}．
故选：A．
点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题．2．（5分）图中阴影部分表示的集合是（）
A．B∩（?U A）B．A∩（?U B）C．?U（A∩B）D．?U（A∪B）
考点：Venn图表达集合的关系及运算．
专题：数形结合．
分析：由韦恩图可以看出，阴影部分是B中去掉A那部分所得，由韦恩图与集合之间的关系易得答案．
解答：解：由韦恩图可以看出，
阴影部分是B中去A那部分所得，
即阴影部分的元素属于B且不属于A，
即B∩（C U A）
故选：A
点评：阴影部分在表示A的图内，表示x∈A；阴影部分不在表示A的图内，表示x∈C U A．
3．（5分）设集合A={1，2，4}，集合B={x|x=a+b，a∈A，b∈A}，则集合B中有（）个元素．A．4B．5C．6D．7
考点：元素与集合关系的判断．
专题：集合．
分析：根据集合元素的互异性，满足条件的集合元素的个数即为6，可得答案．
解答：解：∵a∈A，b∈A，x=a+b，所以x=2，3，4，5，6，8，
∴B中有6个元素，
故选：C．
点评：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，熟练掌握集合的定义是解答本题的关键．
4．（5分）已知函数，则f（f（f（﹣1）））的值等于（）A．π2﹣1 B．π2+1 C．πD．0
考点：函数的值．
专题：计算题．
分析：根据分段函数的定义域，求出f（﹣1）的值，再根据分段函数的定义域进行代入求解；
解答：解：函数，
f（﹣1）=π2+1＞0，
∴f（f（﹣1））=0，
可得f（0）=π，
∴f（f（f（﹣1）））=π，
故选C；
点评：此题主要考查函数值的求解，是一道基础题；
5．（5分）设集合P={（x，y）|x+y＜4，x，y∈N*}，则集合P的非空子集个数是（）
A．2B．3C．7D．8
考点：子集与真子集．
专题：集合．
分析：根据集合子集的公式2n（其中n为集合的元素），求出集合A的子集个数，然后除去空集即可得到集合A的非空子集的个数．
解答：解：因集合P={（x，y）|x+y＜4，x，y∈N*}，
故P{（1，1），（1，2），（2，1）}，
所以集合P有3个元素，
故P的非空子集个数是：23﹣1=7．
故选C．
点评：解得本题的关键是掌握当集合中元素有n个时，非空子集的个数为2n﹣1．同时注意子集与真子集的区别：子集包含本身，而真子集不包含本身．
6．（5分）已知集合A={x|﹣3≤x≤1}，B={x|x≤2}，则集合A∪B（）
A．{x|﹣3≤x≤1} B．{x|﹣3≤x≤2} C．{x|x＜1} D．{x|x≤2}
考点：并集及其运算．
专题：集合．
分析：利用并集的定义求解．
解答：解：∵集合A={x|﹣3≤x≤1}，B={x|x≤2}，
∴A∪B={x|x≤2}．
故选：D．
点评：本题考查并集的求法，是基础题，解题时要注意不等式性质的合理运用．
7．（5分）集合，则下列关系正确的是（）A．?R A??R B B．A??R B C．B??R A D．A∪B=R
考点：集合的包含关系判断及应用．
专题：集合．
分析：本题的关键是理清集合A、B的关系，抓住代表元素，认清集合的特征
解答：解：集合B={y|y=，0≤x≤4}
∴B={y|0≤y≤2}，C R B={y|y＜0或y＞2}
又∵A={x|﹣4≤x≤2}，C R A={x|x＜﹣4或x＞2}
∴C R A?C R B，故A正确，B、C、D错误
故选：A
点评：本题主要考查集合的相等等基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间相等的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．
8．（5分）设集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x≥a}．若A?B，则a的范围是（）
A．a＜1 B．a≤1 C．a＜2 D．a≤2
考点：集合的包含关系判断及应用．
分析：根据题意，A?B，在数轴上表示集合A，分析a的值，可得答案．
解答：解：根据题意，A?B，
而A={x|1≤x≤2}，在数轴上表示可得，
必有a≤1，
故选B．
点评：本题考查集合间的包含关系的运用，难点在于端点的分析，有时需要借助数轴来分析．
9．（5分）已知集合M={（x，y）|x+y=2}，N={（x，y）|x﹣y=4}，那么M∩N为（）
A．x=3，y=﹣1 B．（3，﹣1）C．{3，﹣1} D．{（3，﹣1）}
考点：交集及其运算．
专题：计算题．
分析：将集合M与集合N中的方程联立组成方程组，求出方程组的解即可确定出两集合的交集．
解答：解：将集合M和集合N中的方程联立得：
，
①+②得：2x=6，
解得：x=3，
①﹣②得：2y=﹣2，
解得：y=﹣1，
∴方程组的解为：，
则M∩N={（3，﹣1）}．
故选D
点评：此题考查了交集及其运算，以及二元一次方程组的解法，是一道基本题型，学生易弄错集合中元素的性质．
10．（5分）已知函数f（x）=|x|，则下列哪个函数与y=f（x）表示同一个函数（）
A．g（x）=（）2B．h（x）=
C．s（x）=x D．y=
考点：判断两个函数是否为同一函数．
专题：函数的性质及应用．
分析：由f（x）的对应关系和定义域，求出A、B、C、D中函数的定义域和对应关系，判定是否与f（x）为同一函数即可．
解答：解：∵f（x）=|x|，x∈R；
∴A中，g（x）=x，x≥0，定义域不同，不是同一函数；
B中，h（x）=|x|，x∈R，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
C中，s（x）=x，x∈R，对应关系不同，不是同一函数；
D中，y==|x|，x≠0，定义域不同，不是同一函数．
故选：B．
点评：不同考查了判定函数是否为同一函数的问题，解题时只需考虑两个函数的定义域、对应关系是否相同即可，是基础题．
11．（5分）若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（小时）的函数关系用图象表示为（）
A．B．
C．D．
考点：函数的图象．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据实际情况即可解答
解答：解：蜡烛剩下的长度随时间增长而缩短，根据实际意义不可能是D，更不可能是A、C．
故选B．
点评：解答一次函数的应用题时，必须考虑自变量的取值范围要使实际问题有意义．
12．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）
A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．
考点：函数的定义域及其求法．
专题：函数的性质及应用．
分析：原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解．
解答：解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），
∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣．
∴则函数f（2x+1）的定义域为．
故选B？．
点评：考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1}，集合B={x|x2﹣1≤0，x∈R}，则A∩B={﹣1，0，1}．
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集的运算求解．
解答：解：∵A={﹣2，﹣1，0，1}，
B={x|x2﹣1≤0，x∈R}={x|﹣1≤x≤1}，
则A∩B={﹣1，0，1}．
故答案为：{﹣1，0，1}．
点评：本题考查交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础的计算题．
14．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x≤﹣2，x∈R}，B={x|x＜1，x∈R}，则（?U A）∩B={x|﹣2＜x＜1}．
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：根据全集U及A求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．
解答：解：∵全集U=R，集合A={x|x≤﹣2}，
∴?U A={x|x＞﹣2}，
∵B={x|x＜1}，
∴（?U A）∩B={x|﹣2＜x＜1}．
故答案为：{x|﹣2＜x＜1}
点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
15．（5分）函数f（x）=x2+4x+1（x∈[﹣1，1]）的最大值等于4．
考点：二次函数在闭区间上的最值．
专题：函数的性质及应用．
分析：求出函数的对称轴，通过函数的开口方向，利用函数的单调性，求解函数的最大值．解答：解：因为对称轴为x=2?[﹣1，1]，所以函数在[﹣1，1]上单调递增，因此当x=1时，函数取最大值4．
故答案为：4．
点评：本题考查二次函数闭区间上的最值的求法，注意对称轴与函数的单调性的应用．
16．（5分）若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是
y=﹣（x+2）（x﹣4）．
考点：二次函数的性质．
专题：常规题型．
分析：先利用二次函数的图象与零点间的关系设y=a（x﹣2）（x﹣4），再利用最大值为9求出a可得这个二次函数的表达式．
解答：解：由题可设y=a（x+2）（x﹣4），
对称轴x=1，所以当x=1时，y max=9?a=﹣1，得a=﹣1，
故这个二次函数的表达式是y=﹣（x+2）（x﹣4），
故答案为：y=﹣（x+2）（x﹣4）．
点评：本题考查二次函数的图象与零点间的关系．二次函数y=ax2+bx+c的零点就是相应的一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，也是二次函数的图象与x轴交点的横坐标．
三、解答题（17题10分，其余每题12分）
17．（10分）A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}，若1∈A，求a的值．
考点：元素与集合关系的判断．
专题：计算题．
分析：集合A给出了三个元素，又1是集合A中的元素，所以分三种情况进行讨论求解．解答：解：因为A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}，又1∈A，
所以当a+2=1时，解得a=﹣1，此时a2+3a+3=1，违背了集合中元素的互异性，所以舍去；
当（a+1）2=1时，解得a=0或a=﹣2，若a=0，集合A={2，1，3}，符合题意，若a=﹣2，此时（a+1）2=a2+3a+3=1，违背集合中元素的互异性，所以舍去；
当a2+3a+3=1时，解得a=﹣1或a=﹣2，均违背集合中元素的互异性．
所以所求a的值为0．
点评：本题考查了集合与元素关系的判断，考查了分类讨论的数学思想，解答的关键是考虑集合中元素的互异性．
18．（12分）已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}
（1）若a=，求A∩B．
（2）若A∩B=?，求实数a的取值范围．
考点：集合关系中的参数取值问题；交集及其运算．
专题：计算题；分类讨论．
分析：（1）当a=时，A={x|}，可求A∩B
（2）若A∩B=?，则A=?时，A≠?时，有，解不等式可求a的范围
解答：解：（1）当a=时，A={x|}，B={x|0＜x＜1}
∴A∩B={x|0＜x＜1}
（2）若A∩B=?
当A=?时，有a﹣1≥2a+1
∴a≤﹣2
当A≠?时，有
∴﹣2＜a≤或a≥2
综上可得，或a≥2
点评：本题主要考查了集合交集的求解，解题时要注意由A∩B=?时，要考虑集合A=?的情况，体现了分类讨论思想的应用．
19．（12分）判断函数f（x）=在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明．
考点：函数单调性的判断与证明．
专题：函数的性质及应用．
分析：任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）变形后易判＞0，由单调性的定义可得．
解答：解：函数f（x）=在区间（1，+∞）上的单调递减，证明如下：
任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）
=﹣==，
∵x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，
又∵x1，x2∈（1，+∞），
∴x2+x1＞0，，，
∴＞0，即f（x1）＞f（x2）
由单调性的定义可知函数在区间（1，+∞）上的单调递减．
点评：本题考查函数的单调性的判断与证明，属基础题．
20．（12分）（1）求函数的定义域；
（2）求函数在[2，6]上的值域．
考点：函数的定义域及其求法；函数的值域．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：（1）由分式的分母不等于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组得答案；（2）利用函数的单调性，结合函数的定义域求得值域．
解答：解：（1）由，解得：x≤1且x≠﹣1．
∴函数的定义域是{x|x≤1且x≠﹣1}；
（2）函数在[2，6]上为单调减函数，
∴当x=2时，．
当x=6时，．
∴函数在[2，6]上的值域为：．
点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了利用函数的单调性求解函数的值域，是基础的计算题．
21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣2|x|﹣3．
（Ⅰ）作出函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）的单调区间；以及在各单调区间上的增减性．
（Ⅱ）求函数f（x）当x∈[﹣2，4]时的最大值与最小值．
考点：函数图象的作法；函数单调性的判断与证明．
专题：函数的性质及应用．
分析：（Ⅰ）当x≥0时f（x）x2﹣2x﹣3，增区间为（1，+∞），减区间为（0，1]，当x＜0时f（x）=x2+2x﹣3，增区间为（﹣1，0]，减区间为（﹣∞，﹣1]；
（Ⅱ）结合图象可知最小值，f（1）=f（﹣1）=﹣4，最大值f（4）=5．
解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的图象如下图所示：
由图可得：
函数f（x）的单调区间有：（﹣∞，﹣1]，（﹣1，0]，（0，1]，（1，+∞），
函数f（x）的在区间（﹣∞，﹣1]，（0，1]上单调递减，
函数f（x）的在区间（﹣1，0]，（1，+∞]上单调递增．
（Ⅱ）由图可得：
当x∈[﹣2，4]时，
当x=±1时，函数f（x）的最小值为﹣4，
当x=4时，函数f（x）的最大值为5．
点评：带绝对值的函数首先分情况去掉绝对值符号转化为分段函数，第二问求二次函数最值要注意结合函数图象考虑．
22．（12分）已知函数f（x）=x2+（2a﹣1）x﹣3
（1）当a=2，x∈[﹣2，3]时，求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值为1，求实数a的值．
考点：函数的最值及其几何意义；函数的值域．
专题：计算题．
分析：（1）当a=2时，先将二次函数进行配方，然后求出对称轴，结合函数的图象可求出函数的值域．
（2）根据二次函数的性质可知二次项的系数为正数，函数f（x）=x2+（2a﹣1）x﹣3的对称轴是：x=﹣a．进行分类讨论：当=﹣a＞1时，当=﹣a＞1时，分别函数f（x）在[﹣1，
3]上的最大值，再根据最值在定点处取得建立等式关系，解之即可．
解答：解：（1）当a=2时，f（x）=x2+3x﹣3
=（x+）2﹣，对称轴为x=﹣＜3，
∴函数在[﹣2，﹣]上单调递减函数，在[﹣，3]上单调递增函数，
∴f（）≤y≤f（3）
f（3）=15，f（）=﹣
∴该函数的值域为：[，15]．
（2）函数f（x）=x2+（2a﹣1）x﹣3的对称轴是：x=﹣a．
当﹣a＞1时，函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值为f（﹣1）=﹣2a﹣1=1
∴a=﹣1；
当﹣a≤1时，函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值为f（3）=6a+3=1
∴a=﹣；
∴实数a的值a=﹣．或a=﹣1．
点评：本题主要考查了函数的值域，以及二次函数的图象等有关基础知识，考查计算能力，数形结合的思想，属于基础题．