直线与圆
考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题．直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中等，一般以选择题、填空题的形式出现，有时也会出现解答题，多考查其几何图形的性质或方程知识．
1． 直线方程的五种形式
(1)点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)(直线过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)．
(2)斜截式：y ＝kx ＋b (b 为直线l 在y 轴上的截距，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)．
(3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1
x 2－x 1(直线过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，不包括
坐标轴和平行于坐标轴的直线)．
(4)截距式：x a ＋y
b ＝1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，且a ≠0，b ≠0，不包括坐标轴、
平行于坐标轴和过原点的直线)．
(5)一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)． 2． 直线的两种位置关系
当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时： (1)两直线平行l 1∥l 2?k 1＝k 2. (2)两直线垂直l 1⊥l 2?k 1·k 2＝－1.
提醒 当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略． 3． 三种距离公式
(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离：|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.
(2)点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程为：Ax ＋By ＋C ＝0)．
(3)两平行线间的距离：d ＝|C 2－C 1|
A 2＋
B 2
(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0.l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0)．
提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等． 4． 圆的方程的两种形式
(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.
(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)． 5． 直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法． (2)圆与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法.
考点一 直线的方程及应用
例1 (1)过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是 ( )
A ．2x ＋y －12＝0
B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0
C ．x －2y －1＝0
D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0
(2)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2
B.823
C. 3
D.833
答案 (1)B (2)B
解析 (1)当直线过原点时方程为2x －5y ＝0，不过原点时，可设出其截距式为x a ＋y
2a ＝1，
再由过点(5,2)即可解出2x ＋y －12＝0. (2)由l 1∥l 2，
知3＝a (a －2)且2a ≠6(a －2)，2a 2≠18， 求得a ＝－1，
所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋2
3＝0，两条平行直线l 1与l 2间的距离为d ＝???
?6－2312
＋(－1)2＝82
3
. (1)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
(2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究．
(1)直线l 1：kx ＋(1－k )y －3＝0和l 2：(k －1)x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k ＝
( )
A ．－3或－1
B ．3或1
C ．－3或1
D ．3或－1
(2)过点(1,0)且倾斜角是直线x －2y －1＝0的倾斜角的两倍的直线方程是________________． 答案 (1)C (2)4x －3y －4＝0
解析 (1)∵l 1⊥l 2，∴k (k －1)＋(1－k )(2k ＋3)＝0， 解得k 1＝－3，k 2＝1.∴k ＝－3或1.
(2)设直线x －2y －1＝0的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. 由已知得tan α＝1
2
，
则tan 2α＝2tan α
1－tan 2α
＝2×
121－(12)
2＝43，
所以所求直线方程为y －0＝4
3(x －1)，
即4x －3y －4＝0. 考点二 圆的方程及应用
例2 (1)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上．直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的
弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________________．
(2)已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△P AB 面积的最大值是________．
答案 (1)x ＋y －3＝0 (2)3＋ 2
解析 (1)设圆心坐标为(x 0,0)(x 0>0)，由于圆过点(1,0)，则半径r ＝|x 0－1|.圆心到直线l 的距离为d ＝|x 0－1|2.由弦长为22可知? ????|x 0－1|22＝(x 0－1)2－2，整理得(x 0
－1)2＝4.
∴x 0－1＝±2，∴x 0＝3或x 0＝－1(舍去)．
因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线y ＝x －1垂直的直线方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.
(2)依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心(－k 2，0)位于直线x －y －1＝0上，于是有－k
2－1＝
0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1.由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是
x －2＋y
2＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB 的距离等于|1－0＋2|2
＝322，点P
到直线AB 的距离的最大值是
322＋1，△P AB 面积的最大值为1
2×22×32＋22
＝3＋ 2.
圆的标准方程直接表示出了圆心和半径，而圆的一般方程则表示出了曲线与
二元二次方程的关系，在求解圆的方程时，要根据所给条件选取适当的方程形式．解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
(1)已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过点A (－1,0)的直线l 与圆C 相交于P 、Q 两点，若|PQ |＝23，则直线l 的方程为
( )
A ．x ＝－1或4x ＋3y －4＝0
B ．x ＝－1或4x －3y ＋4＝0
C ．x ＝1或4x －3y ＋4＝0
D ．x ＝1或4x ＋3y －4＝0
(2)已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________． 答案 (1)B (2)x 2＋(y －1)2＝10
解析 (1)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意；
当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，线段PQ 的中点为M ，由于|PQ |＝23，易得|CM |＝1.
又|CM |＝|－3＋k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，此时直线l 的方程为y ＝43(x ＋1)．故所求直线l 的方
程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.故选B.
(2)设所求圆的半径是r ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋(－3)2＝1，则r 2＝d 2
＋(|AB |2)
2＝10，故圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10. 考点三 直线与圆、圆与圆的位置关系
例3 (2013·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y
＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．
(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的 方程；
(2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 解 (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)， 于是切线的斜率必存在．
设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 由题意，
|3k ＋1|
k 2＋1
＝1，解得k ＝0或－3
4，
故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.
(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为 (x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.
设点M (x ，y )，因为|MA |＝2|MO |，所以x 2＋(y －3)2＝2
x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －
3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则2－1≤|CD |≤2＋1，
即1≤a 2＋(2a －3)2≤3. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤
125
. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为?
???0，125. (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系判断依据两个圆心距离与半径差与和的比较． (2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．通过过圆外一点的圆的切线条数可以判断此点和圆的位置关系．过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离利用勾股定理处理．
(1)(2013·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于
( )
A.3
3
B ．－
3
3
C ．±33
D ．－ 3
(2)(2013·重庆)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为
( )
A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2
D.17
(3)(2013·山东改编)过点P (3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为________，△P AB 的外接圆方程为________________________． 答案 (1)B (2)A (3)2x ＋y －3＝0 (x －2)2＋(y －12)2＝54
解析 (1)∵S △AOB ＝1
2|OA ||OB |·sin ∠AOB
＝12sin ∠AOB ≤12
. 当∠AOB ＝π
2时，S △AOB 面积最大．
此时O 到AB 的距离d ＝
22
. 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)， 即kx －y －2k ＝0. 由d ＝
|2k |k 2＋1＝22
得k ＝－3
3.
(也可k ＝－tan ∠OPH ＝－
33
)． (2)设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2. 而|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.
(3)易知点P (3,1)与圆心C 连线和AB 垂直，圆心为点(1,0)，点P (3,1) 与圆心连线斜率k ＝1－03－1＝12，故直线AB 斜率k AB ＝－2，结合图
形易知A 点坐标为(1,1)，由点斜式得直线AB 的方程为y －1＝－ 2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.
又由CA ⊥P A ，CB ⊥PB 知，A 、P 、B 、C 四点共圆，且CP 为其直径． ∴△P AB 的外接圆方程为(x －2)2＋(y －12)2＝5
4
.
1． 由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由
所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况． 2． 确定圆的方程时，常用到圆的几个性质：
(1)直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长，弦心距，圆半径)； (2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (3)圆心在任一弦的中垂线上；
(4)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；
(5)圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称． 3． 直线与圆中常见的最值问题
圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．
4． 过两圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0的交点的圆系方
程为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0.
5． 两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在
的直线方程．
1． 若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值
范围是________． 答案 (2－1，2＋1)
解析 注意到与直线x －y －2＝0平行且距离为1的直线方程分别是x －y －2＋2＝0、x －y －2－2＝0，要使圆上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，需满足在两条直线x －y －2＋2＝0、x －y －2－2＝0中，一条与该圆相交且另一条与该圆相离，所以|2－2|2 ，即2－1 2． 过点O (0,0)作直线与圆C ：(x －45)2＋(y －8)2＝169相交，在弦长均为整数的所有直线 中，等可能地任取一条直线，则弦长不超过14的概率为________． 答案 932 解析 已知圆C 的半径为13，C (45，8)， ∵|CO |＝(45)2＋82＝12<13， ∴O 点在圆C 的内部，且圆心到直线的距离d ∈[0,12]， ∴直线截圆所得的弦长|AB |＝2r 2－d 2∈[10,26]，其中最短和最长的弦各有一条，长为11到25的整数的弦各有两条，共有32条，其中弦长不超过14的有1＋8＝9(条)， ∴所求概率P ＝9 32 . (推荐时间：70分钟) 一、选择题 1． “a ＝0”是“直线l 1：(a ＋1)x ＋a 2y －3＝0与直线l 2：2x ＋ay －2a －1＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C 解析 当a ＝0时，l 1：x －3＝0，l 2：2x －1＝0， 此时l 1∥l 2，所以“a ＝0”是“直线l 1与l 2平行”的充分条件． 当l 1∥l 2时，a (a ＋1)－2a 2＝0，解得a ＝0或a ＝1. 当a ＝1时，l 1：2x ＋y －3＝0，l 2：2x ＋y －3＝0， 此时，l 1与l 2重合，所以a ＝1不满足题意，即a ＝0. 所以“a ＝0”是“直线l 1∥l 2”的必要条件． 2． a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线 bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是 ( ) A ．平行 B ．重合 C ．垂直 D ．相交但不垂直 答案 C 解析 ∵直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0，而b sin A ＋a (－sin B )＝0，∴两直线垂直．故选C. 3． (2013·广东)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋2＝0 答案 A 解析 与直线y ＝x ＋1垂直的直线设为：x ＋y ＋b ＝0. 则 |b | 2 ＝r ＝1，所以|b |＝2，又相切于第一象限， 所以b ＝－ 2. 4． 已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程 为 ( ) A ．(x ±33)2＋y 2＝4 3 B ．(x ±33)2＋y 2＝1 3 C ．x 2＋(y ±33)2＝4 3 D ．x 2＋(y ±33)2＝1 3 答案 C 解析 由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2 3π，设圆心(0，a )，半径 为r ， 则r sin π3＝1，r cos π 3＝|a |， 解得r ＝ 23 ，即r 2＝43，|a |＝3 3， 即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋(y ±33)2＝4 3 . 5． 设P 为直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切 线，切点分别为A ，B ，则四边形P ACB 的面积的最小值为 ( ) A ．1 B. 3 2 C ．2 3 D. 3 答案 D 解析 依题意，圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心是点C (1,1)，半径是1，易知|PC |的最 小值等于圆心C (1,1)到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离，即10 5＝2，而四边形P ACB 的面积等 于2S △P AC ＝2×(1 2|P A |·|AC |)＝|P A |·|AC |＝|P A |＝|PC |2－1，因此四边形P ACB 的面积的最 小值是22－1＝3，选D. 6． 两个圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条 公切线，则a ＋b 的最小值为 ( ) A ．－6 B ．－3 C ．－3 2 D ．3 答案 C 解析 两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4， 圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1， 所以|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝2＋1＝3， 即a 2＋b 2＝9. 由(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22得(a ＋b )2≤18，所以－32≤a ＋b ≤32，当且仅当“a ＝b ”时取 “＝”．∴选C. 二、填空题 7． 已知直线l 1与圆x 2＋y 2＋2y ＝0相切，且与直线l 2：3x ＋4y －6＝0平行，则直线l 1的方 程是________． 答案 3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝0 解析 依题意，设所求直线l 1的方程是3x ＋4y ＋b ＝0，则由直线l 1与圆x 2＋(y ＋1)2＝1相切，可得圆心(0，－1)到直线3x ＋4y ＋b ＝0的距离为1，即有|b －4|5＝1，解得b ＝－1 或b ＝9.因此，直线l 1的方程是3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝0. 8． (2013·山东)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． 答案 2 2 解析 由题意知，当弦的中点与圆心的连线与弦垂直时弦长最短，此 时，点(3,1)为弦的中点，如图所示． ∴|AB |＝2|BE |＝2|BC |2－|CE |2＝ 24－2＝2 2. 9． 若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________． 答案 5 解析 由题意知，圆心坐标为(－2，－1)， ∴－2a －b ＋1＝0， ∵(a －2)2＋(b －2)2表示点(a ，b )与(2,2)的距离， ∴(a －2)2＋(b －2)2的最小值为|4＋2－1| 4＋1＝5， ∴(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5. 10．(2013·湖北)已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1(0<θ<π 2 )．设圆O 上到直线 l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________. 答案 4 解析 圆心O 到直线l 的距离d ＝ 1 cos 2θ＋sin 2θ ＝1， 而圆O 半径为5，∴圆O 上到l 的距离等于1的点有4个． 三、解答题 11．如图所示，已知以点A (－1，2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0 相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是 MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P . (1)求圆A 的方程； (2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程； (3)BQ →·BP →是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由． 解 (1)设圆A 的半径为R . ∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴R ＝|－1＋4＋7|5 ＝2 5. ∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20. (2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＝0.连接AQ ，则AQ ⊥MN . ∵|MN |＝219，∴|AQ |＝20－19＝1. 由|AQ |＝ |k －2| k 2＋1 ＝1，得k ＝3 4. ∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0. ∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. (3)∵AQ ⊥BP ，∴AQ →·BP → ＝0. ∴BQ →·BP →＝(BA →＋AQ →)·BP → ＝BA →·BP →＋AQ →·BP →＝BA →·BP →. 当直线l 与x 轴垂直时，得P ????－2，－5 2. 则BP →＝????0，－52，又BA → ＝(1,2)， ∴BQ →·BP →＝BA →·BP → ＝－5. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)． 由? ???? y ＝k (x ＋2)，x ＋2y ＋7＝0，解得P ? ??? ?－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k . ∴BP →＝? ?? ??－5 1＋2k ，－5k 1＋2k . ∴BQ →·BP →＝BA →·BP → ＝－51＋2k －10k 1＋2k ＝－5. 综上所述，BQ →·BP →是定值，且BQ →·BP → ＝－5. 12．已知曲线C 的方程：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5m ＝0. (1)当m 为何值时，此方程表示圆； (2)若m ＝0，是否存在过点P (0,2)的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|P A |＝|AB |，若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解 (1)方程可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5－5m ， 当5－5m >0，即m <1时表示圆． (2)当m ＝0时，曲线C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0. ①当直线l 斜率不存在时， 即直线l 方程为x ＝0，A (0,0)，B (0，－2)，|P A |＝|AB |，符合题意． ②当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为y ＝kx ＋2， 联立方程组? ??? ? y ＝kx ＋2，x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0. 有(1＋k 2)x 2＋(6k －4)x ＋8＝0. 依题意有Δ＝4(k 2－12k －4)>0， ∵|P A |＝|AB |， ∴A 为PB 的中点，∴x B ＝2x A . ∴????? x A ＋x B ＝ 4－6k 1＋k 2 ，x A x B ＝8 1＋k 2 ， 即????? x A ＝4－6k 3(1＋k 2)，x 2A ＝4 1＋k 2 . 解得k ＝－5 12，满足Δ>0， ∴直线l 的方程为5x ＋12y －24＝0. 综上所述，直线l 的方程为x ＝0或5x ＋12y －24＝0. 13．已知点P 是圆F 1：(x ＋3)2＋y 2＝16上任意一点，点F 2与F 1关于原点对称．线段PF 2 的中垂线与PF 1交于M 点． (1)求点M 的轨迹C 的方程； (2)设轨迹C 与x 轴的左、右两个交点分别为A ，B ，点K 是轨迹C 上异于A ，B 的任意一点，KH ⊥x 轴，H 为垂足，延长HK 到点Q 使得HK ＝KQ ，连接AQ 并延长交过B 且垂直于x 轴的直线l 于点D ，N 为DB 的中点．试判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系． 解 (1)由题意得，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，圆F 1的半径为4，且|MF 2|＝|MP |， 从而|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝4>|F 1F 2| ＝2 3. ∴点M 的轨迹是以F 1、F 2为左、右焦点的椭圆，其中长轴长2a ＝4，焦距2c ＝23，则短半轴长b ＝a 2－c 2＝4－3＝1， ∴点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2 ＝1. (2)如图，设K (x 0，y 0)， 则x 20 4 ＋y 20＝1. ∵HK ＝KQ ，∴Q (x 0,2y 0)． ∴OQ ＝x 20＋(2y 0)2＝2， ∴Q 点在以O 为圆心，2为半径的圆上，即Q 点在以AB 为直径的圆O 上． 又A (－2,0)，∴直线AQ 的方程为y ＝2y 0x 0＋2(x ＋2)． 令x ＝2，得D (2，8y 0 x 0＋2)． 又B (2,0)，N 为DB 的中点， ∴N (2，4y 0 x 0＋2 )． ∴OQ →＝(x 0,2y 0)，NQ → ＝(x 0－2，2x 0y 0x 0＋2 )． ∴OQ →·NQ → ＝x 0(x 0－2)＋2y 0·2x 0y 0x 0＋2 ＝x 0(x 0－2)＋4x 0y 20 x 0＋2 ＝x 0(x 0－2)＋x 0(4－x 20) x 0＋2 ＝x 0(x 0－2)＋x 0(2－x 0)＝0. ∴OQ →⊥NQ → .∴直线QN 与圆O 相切．
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