数列高考知识点大扫描
数列基本概念
数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：
依定义域分为：有穷数列、无穷数列； 依值域分为：有界数列和无界数列；
依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。
数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）； 数列通项：()
n
a f n =2、等差数列
1、定义 当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1,()n n a a d d +-=常，d 叫公差。
2、通项公式
1(1)n a a n d =+-
1）、从函数角度看
1()n a dn a d =+-是n 的一次函数，其图象是以点 1(1,)a 为端点, 斜率为d 斜线上一些孤立点。 2）、从变形角度看 (1)()n n a a n d =+--, 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。
又11(1),(1)n
m a a n d a a m d =+-=+-,
相减得
()n m a a n m d -=-，即()n m a a n m d =+-.
若 n>m ，则以 m a 为第一项，n a 是第n-m+1项，公差为d ；
若n m a 以为第一项时，n a 是第m-n+1项，公差为-d. 3）、从发展的角度看 若{}n a 是等差数列，则12(2)p q a a a p q d +=++- ，12(2)m n a a a m n d +=++-, 因此有 如下命题：在等差数列中，若2m n p q r +=+= , 则2m n p q r a a a a a +=+=. 3、前n 项和公式 由 1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++， 相加得 12n n a a S n += ， 还可表示为1(1) ,(0)2 n n n S na d d -=+≠，是n 的二次函数。 特别的，由1212n n a a a -+= 可得 21(21)n n S n a -=-。 3、等比数列 1、 定义 当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1 (0)n n a q q a -=≠ , q 叫公比。 2、通项公式： 11n n m n m a a q a q --==, 在等比数列中，若2m n p q r +=+= , 则2m n p q r a a a a a ?=?=. 3、前n 项和公式: 由 12231,n n n n n S a a a qS a a a a +=+++=++++， 两式相减， 当 1q ≠时，11(1),(1)11n n a a q a q S q q q --= =≠-- ；当1q =时 ，1n s na = 。 关于此公式可以从以下几方面认识： ①不能忽视11(1)11n n a a q a q S q q --== -- 成立的条件：1q ≠。特别是公比用字母表示时，要分类讨论。②公式推导过程中，所使用的“错位相消法”，可以用在相减后所得式子能够求和的情形。 如，公差为d 的等差数列{}n a ，212n n n S a x a x a x =+++ ，则231121n n n n n xS a x a x a x a x +-=+++， 相减得 211(1)n n n n S x a x dx dx a x +-=+++-， 当 1x ≠时，11 1(1)(1)1n n n n dx x S x a x a x x -+--=+--，12112 (1)1(1)n n n n a x a x dx x S x x +---=+ -- 当1x =时 ，121(1)2 n n n n d S a a a na -=++ +=+ ； 3）从函数角度看 n S 是n 的函数，此时q 和 1a 是常数。 4、等差与等比数列概念及性质对照表 }等差 ，公差{}n k a 等比 即连续相同个数的和成 12log ,log a a a a 项和求法，利用错位相消法 5、递推数列 表示数列中相邻的若干项之间关系的式子叫数列递推公式。作为特殊的函数，数列可用递推式表示。求递推数列通项公 式常用方法：公式法、归纳法、累加法、累乘法。特别的，累加法是求形如 1()n n a a f n +=+递推数列的基本方法，其中数列 {()}f n 可求前 n 项和，即 1211()()n n n a a a a a a -=+-++-；累乘法是求形如 1()n n a g n a +=? 递推数列通项公式 的基本方法，其中数列 {()}g n 可求前n 项积，即 3 2112 1 ,(0)n n n a a a a a a a a a -=? ?≠. 第一节 等差数列的概念、性质及前n 项和 题根一 等差数列{a n }中，6 9121520a a a a +++= ，求S 20 [思路]等差数列前n 项和公式11()(1) 22 n n a a n n n S na d +-= =+： 1、 由已知直接求a 1 ，公差d. 2、 利用性质q p n m a a a a q p n m +=+?+=+ [解题 ] 由6 9121520a a a a +++= ，615912120a a a a a a +=+=+ ，得 1202()20a a +=， 12010a a ∴+=，120()20 1002 n a a S +?∴= =。 [收获] 灵活应用通项性质可使运算过程简化。 [请你试试 1——1] 1、 等差数列{a n } 满足12 1010a a a ++ += ，则有 （ ） A 、 11010a a +> B 、 21000a a +< C 、 3990a a += D 、 5151a = 2、 等差数列中,a 3+a 7-a 10=8,a 11-a 4=4,求 13S 。 第1变 求和方法——倒序相加法 [变题1] 等差数列{a n }共10项，12 3420a a a a +++= ，12360n n n n a a a a ---+++=，求S n. [思路] 已知数列前四项和与后四项和，结合通项性质，联想S n 公式推导方法。 [解题] 已知12 3420a a a a +++=，12360n n n n a a a a ---+++=， 又 14()80n a a +=，得 120n a a +=，1()20 1010022 n n a a n S +?∴= =?=， [收获] 1、重视倒加法的应用，恰当运用通项性质：q p n m a a a a q p n m +=+?+= +，快捷准确； 3、 求出1n a a +后运用“整体代换”手段巧妙解决问题。 [请你试试 1——2] 1、 等差数列{a n }共2k+1项，所有奇数项和为S 奇 ，所有偶数项和为S 偶 ，求 S 奇：S 偶 的值。 2、 等差数列{a n }前n 项和为18 ，若 1S =3, 123n n n a a a --++=, 求项数n . 3、 求由 1,2,3,4四个数字组成的无重复数字的所有三位数的和。 4、 求和 12 2n n n n n S n C C C =++ +。 第2变 已知前n 项和及前m 项和，如何求前n+m 项和 [变题2] 在等差数列{a n }中，S n =a,S m =b,(m>n)，求S n+m 的值。 [思路] ,,m m n S S S +n 下标存在关系：m+n=m+n, 这与通项性质 q p n m a a a a q p n m +=+?+=+是否有关？ [解题] 由S n =a,S m =S n +a n+1+a n+2+……+a m =b 得 a n+1+a n+2+……+a m =b-a, 即 a b n m a a m n -=-++)(21 ， 得 n m a b a a m n --=++21 由(n+1)+m=1+(n+m), 得a n+1+a m =a 1+a m+n 故).()(2)(211n m n m a b n m a a n m a a S m n n m n m +--=++=++= +++ 2、在等差数列{a n }中，1S =3 ，3S =9，求 S 12 。 第3变 已知已知前n 项和及前2n 项和，如何求前3n 项和 [变题3] 在等差数列{a n }中，20S =10 ，40S =20，求 S 30 [思路] 由2030,,S S S 10寻找102030,,S S S S S --1020之间的关系。 [解题] 设数列{a n }公差为d ， 101210S a a a =+++， 2010111220S S a a a -=+++，3020212230S S a a a -=+++, 201010()1010S S S d ∴--=?, 30202010()()1010S S S S d ---=?， 所以 102030,,S S S S S --1020 成等差数列，公差100d , 于是 2010302()() S S S S S -=+-1020，得 30203()32060S S S =-=?=10。 [收获] 1、在等差数列{a n }中， 102030,,S S S S S --1020 成等差数列，即 1210 a a a +++， 111220 a a a +++， 212230a a a +++，……，成等差数列，且30203()S S S =-10。 3、 可推广为 535()n n S S S =-2n ，747()n n S S S =-3n ，……，(21)(21)[]k n kn S k S S -=--(k-1)n 。 [请你试试 1——4] 1、在等差数列{a n }中，123a a +=，346a a +=，求 78a a + 2、在等差数列{a n }中，121010a a a ++ +=，11122020a a a ++ +=，求 313240a a a ++ + 3、在等差数列{a n }中，20S =10，30S =20，求 S 50及S 100。 4、数列{a n }中，S a =n ，S b =2n ，求 S 3n 。 5、等差数列{a n }共有3k 项，前2k 项和25S =2k ，后2k 项和 75S '=2k ，求中间k 项和S 中。 第4变 迁移变换 重视Sx=Ax 2+Bx 的应用 [变题4] 在等差数列{a n }中，S n =m,，S m =n,(m>n)，求S n+m 的值。 [思路] 等差数列前n 项和公式是关于n 的二次函数，若所求问题与1,a d 无关时，常设为S=An 2+Bn 形式。 [解题] 由已知可设 S n =An 2+Bn=m S m =Am 2+Bm=n , 两式相减 ，得 A(n+m)(n-m)+B(n-m)=m-n , 又m>n , 所以 ()1A n m B ++=-， 得 2()()()[()]() m n S A m n B m n m n A m n B m n +=+++=+++=-+。 [收获] “整体代换”设而不求，可以使解题过程优化。 2、 在等差数列{a n }中，,()n S S m n =≠m ， ，求 S m+n 3、 在等差数列{a n }中，0a >1 ，15S S =10，求 当n 为何值时，S n 有最大值 第5变 归纳总结，发展提高 [题目] 在等差数列{a n }中，S n =a,S m =b,(m>n)，求S n+m 的值。（仍以变题2为例） 除上面利用通项性质q p n m a a a a q p n m +=+?+=+求法外，还有多种方法。现列举例如下： 1、 基本量求解： 由b d m m ma S a d n n na S m n =-+==-+ =2) 1(,2)1(11， 相减得b a d n m a m n -=-++ -]21)[(1, d n m n m a n m S n m 2 ) 1)(()(1-++++=+ 代入得m n b a n m S n m --+=+) )((。 2、利用等差数列前x 项和公式Sx=Ax 2+Bx 求解 由Sx=Ax 2+Bx ，得 S n =An 2+Bn, S m =Am 2+Bm 两式相减 ，得 A(n+m)(n-m)+B(n-m)=a-b 即 m n b a B m n A --= ++)( 故)()()(2 b a m n m n n m B n m A S n m --+= +++=+ 3、利用关系式 B An n S n +=求解 由 B An n S n += 知 n S n 与n 成线性关系，从而点集{(n, n S n )}中的点共线，即(n, n S n ), (m, m S m ),(m+n, n m S n m ++)共线，则有 n n m n s n m s m n m s n s n n m m n -+-+=--+ ， 即m n a n m s m n m b n a n m - +=--+ ， 化简, 得 m n nb na a m n nb ma s n m n n m --=+--=++ ， 即)(b a m n m n s n m --+=+. 4、利用定比分点坐标公式求解 由A(n, n S n ), B(m, m S m ), P(m+n, n m S n m ++)三点共线,将点P 看作有向线段 → AB 的定比分点,则 n m n m m n n m PB AP -=+--+==→→ )(λ ，可得 m n b a n m n b n a n m m s n m n s n m s m n n m --=-- =-+-+=++1)(1)(, 即)(b a m n m n s n m --+= +. [请你试试 1——6] 若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 2=3，S 6=4 ，则S 12______. 第二节 等比数列的概念、性质及前n 项和 题根二 等比数列{a n } ， 574,6a a ==, 求a 9。 [思路] 1、由已知条件联立，求，从而得 2、由等比数列性质，知成等比数列。 [解题1] 由 4651714,9a a q a a q ====, 两式相除，得 232q = ，2 973692 a a q ∴==?=。 [解题2] 由579,,a a a 成等比，得 22 795694 a a a ===。 [收获] 1、灵活应用性质，是简便解题的基础； 2、等比数列中，序号成等差的项，成等比数列。 [ 请你试试2 ——1] 等比数列{a n } ， 10,2a q >=，若 30123302a a a a ???=，则36930a a a a ???=_______。 第1变 连续若干项之和构成的数列仍成等比数列 [变题2] 等比数列{a n } ，12 34562,6a a a a a a ++=++=，求 101112a a a ++。 [思路] 等比数列中，连续若干项的和成等比数列。 [解题] 设1 1232456,b a a a b a a a =++=++，……，4101112b a a a =++， 则{}b n 是等比数列，12,3b q ==，33412354b b q ∴==?=，即 10111254a a a ++=。 [收获] 等比数列{a n } ， 1q ≠- 时，232,,k k k k k S S S S S --，…… 成等比数列，但总有2322()()k k k k k S S S S S ?-=- 。 当k 为偶数时，0k q >恒成立。 [请你试试2——2] 1、等比数列{a n } ， 1q ≠- 时，242,6S S ==，求6S 。 2、等比数列{a n } ， 1q ≠- 时，261,21S S ==，求4S 。 第2变 396,,S S S 成等差，则 396,,a a a 成等差 [变题3] 等比数列{a n } 中， 396,,S S S 成等差，则 396,,a a a 成等差 。 [思路] 396,,S S S 成等差，得3692S S S +=，要证 396,,a a a 等差，只需证 3692a a a +=。 [解题]由 396,,S S S 成等差，得3692S S S +=， 当 q=1时，3 161913,6,9S a S a S a === , 由 10a ≠ 得 3692S S S +≠，1q ∴≠。 由3692S S S +=， 得 36 9 111 (1)(1) 2(1)111a q a q a q q q q ---+=---， 整理得 369 2q q q +=，0q ≠，得 36 12q q +=， 两边同乘以 3a ， 得 3692a a a +=，即 396,,a a a 成等差。 [收获] 1、等比数列{a n } 中，396,,S S S 成等差，则 285,,a a a 成等差。 2、等比数列{a n } 中，,,n m k S S S 成等差，则 ,,n d m d k d a a a +++ （其中*,,,m d n d k d N d Z +++∈∈ ）成等差 3、等比数列{a n } 中，,,n m k a a a 成等差，则,,n d m d k d a a a +++ （其中* ,,,m d n d k d N d Z +++∈∈）成等差。 [请你试试2——3] 1、 等比数列{a n } ， 1q ≠，356,,a a a 成等差， 求11910()a a a -+的值。 2、等比数列{a n } ，174,,a a a 成等差，求证 361262,,S S S S -成等比。 第3变 {}n S 是等比， {}n a 也是等比数列 [变题4]数列{}n a 中，1 0a ≠ 且 12,, ,, n S S S ，是等比数列，公比 q (1q ≠)，求证{}n a (2n ≥) 也是等比数列。 [思路] 1n n n a S S -=- ,欲证 {}n a 为等比数列，只需证 1 n n a a -为常数。 [解题] 1n n n a S S -=-，11n n n a S S ++=-， （2n ≥）, 得111 n n n n n n a S S a S S ++--=-，而 1n n S S q -=?，211n n S S q +-=?， 111(1) (1) n n n n a S q q q a S q +--?-∴ ==-， （2n ≥ ）, 故{}n a 从第二项起，构成等比数列，公比为 q 。 第4变 等比数列在分期付款问题中应用 问题 顾客购买一售价为5000元的商品时，采用分期付款方法，每期付款数相同，购买后1个月付款一次，到第12次付款后全部付清。如果月利润为0.8%，每月利息按复利计算，那么每期应付款多少？（精确到1元） 分析一：设每期应付款x 元，则 第1次付款后，还欠 5000(1+0.8%)-x （元） 第2次付款后，还欠 [5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x （元） 第3次付款后，还欠 {5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x}(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)3-x(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x （元） ………… 最后一次付款后，款已全部还清，则 5000(1+0.8%)12-x(1+0.8%)11-x （1+0.8%）10-……-x(1+0.8%)-x=0 ， 移项 5000(1+0.8%)12=x(1+0.8%)11+x （1+0.8%）10+……+x(1+0.8%)+x ， 即 12 121 1.0085000 1.0081 1.008 x -?=?- 算得 12125000 1.008(1.0081)1.0081 x ??-=- 438.6≈（元） 一般地，购买一件售价为a 元的商品，采用分期付款时，要求在m 个月内将款还至b 元，月利润为p ，分n （n 是m 的约数）次 付款，那么每次付款数计算公式为[(1)][(1)1] (1)1 m m n m a p b p x p +-+-= +- . 分析二：设每月还款x 元，将商家的5000元折算成12个月后的钱要计算12个月的利息，而顾客第一次还的钱也应计算11个月的利息，第二次还的钱应计算10月的利息……，于是得方程 5000(1+0.8%)12=x(1+0.8%)11+x （1+0.8%）10+……+x(1+0.8%)+x ， 解得438.6x ≈（元） 分析三：设每次还款x 元，把还款折成现在的钱，可得 2 11 500010.8%(10.8%) (10.8%)x x x = +++ +++ ， 解得 438.6x ≈（元）。 将上述方法应用到其他实际问题中，如木材砍伐，人口增长等。 [请你试试2——4] 某地现有居民住房的总面积为a m 2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半。当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建设新住房。如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x 是多少？（取1.110为2.6） 第三节 常见数列的通项及前n 项和 [题根3] 求分数数列 111 ,,,122334 ???的前n 项和n S [思路] 写出数列通项公式，分析数列特点：分母中两因数之差为常数1。 [解题] 数列通项公式 1(1) n a n n = +，亦可表示为11 1n a n n =-+ ， 所以 111 11111223 111 n n S n n n n =-+-+ ---=+++。 [收获] 将数列每一项裂为两项的差，再相加，使得正负抵消。 第1变 分母中两因数之差由常数1由到d [变题1] 求分数数列 111,,,133557 ???的前n 项和n S 。 [思路] 写出通项公式，裂项求和。， [解题] 1111(21)(21)22121n a n n n n ?? = =?- ?-+-+?? ， 11111111112335 212122121 n n S n n n n ????∴=?-+-+ + -=?-= ? ? -+++????。 [收获]1、求分数数列的前n 项和n S 时，将数列每一项裂为两项的差，称裂项法。 2、用裂项法可求解： （1） 若{}n a 为等差数列，0,1,2, n a k ≠=，公差为d ，则 122334 111 111 1n n n n a a a a a a a a a a ++++++ = ?????. 3、常见裂项法求和有两种类型：分式型和根式型。如分式型1111(3)33n a n n n n ?? = =?- ?++? ? ； 根式型 n a = =； 1 a b =-。另外还有：nn!=(n+1)!-n!， 11m m m n n n C C C -+=-。 [请你试试 3——1] 1、求分数数列 1111 ,,,,261220的前n 项和n S 2、求分数数列2 2221111 ,,,,12243648++++的前n 项和n S 。 2、 求分数数列2222222281828384 ,,,, 13355779 ????????的前n 项和n S 。 第2变 分母中因数由2到3 [变题2] 求分数数列 111 ,,,123234345 ??????的前n 项和n S 。 [思路] 数列中的项的变化：分母因数由两个变为三个，是否还可裂项呢？ [解题] 由1111 (1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ??= =?- ??+++++?? ， 得 11111 11 ()()212232334 (1)(1)(2)n S n n n n ??∴=?-+-++ -??????+++?? 111(3) 212(1)(2)(1)(2) n n n n n n ??+=?-= ? ?++++??。 [收获] 1、分母为连续三因数的积，仍拆为两项的差，再相加，使得正负抵消。 2、对于公差为d (0d ≠)的等差数列{}n a ,有 12 121231111 ()(1)k k k a a a k d a a a a a a -= ?-?-?? . [请你试试 3——2] 1、求分数数列111 ,,,135357579??????……的前n 项和n S 。 2、求分数数列 111 ,,,123423453456 ?????????……的前n 项和n S 。 3、求分数数列 3 3 3 33 4 5 1 1 1 1 ,,,, , n C C C C ……的前n 项和n S 。 第3变 由分数数列到幂数列 [变题3] 求数列2 221 ,2,3,……的前n 项和n S 。 [思路] 利用恒等式 332(1)331k k k k +-=++，取k=1 , 2 , 3 ,……，相加正负抵消可解。 [解题] 由恒等式 332(1)331k k k k +-=++ 取k=1、2、3……， 得 3322131311-=?+?+ 3323232321-=?+?+ ………… 332(1)331n n n n +-=++ 各式相加得 332 22 (1)13(12)3(12) n n n n +-=++ + +++++ 得 222331 1(1)12[(1)3(12)1](1)313 32n n n S n n n n n n +?? =+++=+-++ +--=+-?--???? 1 (1)(21)6 n n n = ++ 。 [收获] 利用恒等式4 432(1) 4641k k k k k +-=+++ ，类似可得 33 3 12n S n =++ +2 (1)2n n +??=? ??? 。 注意：正整数的平方和、立方和公式应用十分广泛。 [请你试试 3——3] 求和 （1）22224(2)n S n =++ +，（2）33 313(21)n S n =+++-， （3）33 324(2)n S n =+++。 第4变 由幂数列到积数列 [变题4] 求数列12,23,34,???……的前n 项和n S 。 [思路1]写通项公式，由通项特征求解。 [解题1] 2(1)n a n n n n =+=+， 222(11)(22)()n S n n ∴=++++ ++222(12)(12)n n =++++++ + 1(1)1 (1)(21)(1)(2)623 n n n n n n n n += +++=++。 [思路2] 利用[]1 (1)(1)(2)(1)(1)3n a n n n n n n n n =+=++--+ 裂项相加。 [解题2] 由[]1 (1)(1)(2)(1)(1)3 n a n n n n n n n n =+=++--+ 得 122334(1)n S n n =?+?+?+ ++ []1 (123012)(234123)(1)(2)(1)(1)3n n n n n n = ??-??+??-??++++--+ 1 (1)(2)3n n n =++。 [收获] 对于通项为两因数的积，可推广到通项为k 个因数的积，如求数列123 ,23(1),34(2),k k k ???+?+……的前 项和n S 。 由1 (1)(1)[(1)()(1)(1)],1 n a n n n k n n n k n n n k k =?+?+-= ++--+-+ 将每一项裂为两项的差，相加 即可正负抵消。 [思路3] 联想组合数公式，可见 2 1 (1)2 n n n C = +，利用组合数性质可得。 [解题3] 由2 (1)2n n a n n C =+=，得 2 2 22 23122()2n n n S C C C C ++=++ +=1(1)(2)3 n n n =++。 [请你试试 3——4] 求数列123,234,345,??????……的前n 项和n S 。 第4变 由等差数列与等比数列对应项的积构成的积数列 [变题5] 在数列{}n a 中，2 10(1)11n n a n n n ??=+?=+ ??? ， （1） 分别求出10n n a a +-> 和 10n n a a +-<的n 取值范围；（2）求数列最大项；（3）求数列前n 项和n S 。 [思路] 1、解正整数不等式，2、利用函数单调性，3、利用错位相消法。 [解题] （1）由 1 11010910(2)(1)11111111n n n n n n a a n n ++-?????? -=+?-+?=? ? ? ? ?? ???? ，当n<9时，10n n a a +-> ，即 1n n a a +>； 当 n<9时 ，10n n a a +-<， 即 1n n a a +<。 （2） 当n=9时，9 109991001111a a -??-=?= ??? ，9 910101011a a ?? ∴==? ? ??是数列的最大项。 （3） 设 2 10101023(1)111111n n S n ?? ?? =?+?+ ++? ? ? ?? ?? (1) 则 2 31 1010101023(1)11111111n n S n +?????? =?+?+++? ? ? ? ???? ?? (2) 相减得 2 3 110101010102(1)111111111111n n n S n ????????=?+?++-+? ? ? ? ?????????12010(12)1111n n ?? =-+? ? ?? 。 [请你试试 3——5] 1、 求数列 {2}n n ?……的前n 项和n S 。 2、 求和2311357(21)n n S x x x n x -=++++++。 3、 求和13521 2482n n n S n n n n -= ++++ ?。 4、 已知数列 {}n a ，11,23n a a n =-=- 数列{}n b ，114,2n n b b +==，求数列 {}n n a b 的前n 项和n S 。 第四节 递推数列的通项公式及前n 项和 1、利用不动点求数列通项 [题根三] 数列 {}n a 满足11a =，121n n a a +=+，求通项公式n a 。 [思路] 1、写出 1234 ,,,a a a a ，由不完全归纳法得n a 表达式。 2、构造新数列，转化成等比数列求解。 [解题] 在的1 21n n a a +=+ 两边加1，则数列 {1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列， 得 1122n n a -+=?，即 122121n n n a -=?-=-即为所求。 [收获] 1(1)n n a pa q p +=+≠型递推数列，当p=1时, 数列为等差数列；当0,0q p =≠时,数列为等比数列。下面给出1p ≠时 递推式的通项公式的求法： 方法1、因为 1,p ≠ 所以一定存在 α 满足 p q αα=+ ， 从而得 1q p α= -， 此为函数()f x px q =+的不动点。 由 1()()n n n a p a q p q p a ααα+-=+-+=-，得{}n a α-是首项为 1a α-，公比为p 的等比数列，于是 11()n n a a p αα--=-, 即 1 1()n n a a p αα-=+- ，将 1q p α= - 代入上式， 得 通项公式为 11().11n n q q a a p p p -= +--- ………………（I ） 方法2、由1n n a pa q +=+,1n n a pa q -=+， 得11()n n n n a a p a a +--=-，令1n n n b a a +=-， 则1n n b pb -=，则{} n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列， 得 1 11 n n k k a a b -==+∑111(1) 1n b p a p --=+ - 1211()(1) (2)1n a a p a n p ---=+≥- （*）；当n=1时,（*）式也成立。 [请你试试4——1] 数列{}n a 满足 19a =, 134n n a a ++= ， 求 n a 。 [变题1] 数列 {}n a 满足11a =，1221 n n n a a a += + 求通项公式n a 。 [思路] 常见解法：先求数列 1n a ?? ???? 的通项公式 [解题]由将已知关系式取倒数得 111112n n a a +=?+， 由（#）式 得 1 1122n n a -??=- ??? ，所以11 22n n a -= -。 [收获] 1n n n pa a ra s += +型递推数列的通项公式的求法： 令 px x rx s = +，得10x = 或2p s x r -= 为两不动点。由于111111n n n s r a x a p a p ++==?+-， 设 1n n b a = ，则 1n n s r b b p p += ?+，此为 1(1) n n a pa q p +=+≠模型。 同样， 12 1 n a x +- 也可化为 1(1)n n a pa q p +=+≠模型，由（I ）式 可求得n a 。更为特殊的是 p=s 时， 111111n n n r a x a a p ++==+-, 设 1 n n b a = 则数 列 {}n b 是等差数列 。我们常取1n n n pa a ra p += +的倒数求解 ，原因恰是为此 。 [变题2] （06年江西理第22题）数列 {}n a 满足132a = ，11321 n n n na a a n --=+-*(2,)n n N ≥∈ 求通项公式n a 。 [解答] 11321n n n na a a n --= +-1112 33 n n n n a a --?=?+， 即11233n n b b -=?+1111()33n n b b -?-=?-，又132a =，得 1213b =-，所以 1 21(1)33n n b -?? =-? ? ?? ，得 331 n n n n a ?=-。 [请你试试4——2] 函数 ()31 x f x x = + ，数列{}n a 满足11a =，1()n n a f a +=，* ()n N ∈ ，（1）求{}n a 的通项公式 n a ；（2）设 12231n n n S a a a a a a +=?+?+ +?，求 n S 。 [变题2] 数列{}n a 中，11 14 0,,(2)2 n n n a a a n a --+== ≥- ，求 n a [思路1] 令 42 x x x += -，得 124,1x x ==-，即两不动点，可得1141n n a a ++?? -??+?? 是等比数列， [解法1] 由11111143123(4)44222 n n n n n n n a a a a a a a ------+-+--= -==- ---， 令4n n b a =-， 则1 132 n n n b b a --=- - ……………………（a ） 由111142(1) 1122 n n n n n a a a a a ----+++= += --， 令1n n c a =+， 则 1 122 n n n c c a --= - ……………………（b ） (a) 式除以(b)式 得 11 32n n n n b b c c --=-?，即n n b c ?????? 是首项为111144,1b a c a -==-+ 公比为32-的等比数列，1 4 3421 n n n n n b a c a --?? ∴=-?-= ? +?? ， 1 11 344 2024.3241423n n n n a ---?? --+ ???∴==-?????-++- ? ????? [思路2] 111n a x +-和12 1 n a x +-均可化为1(1)n n a pa q p +=+≠型递推式， [解法2] 由 1112121.43(4)3(4)3n n n n a a a a ----=-=----- 令1 4 n n b a = -， 则 12133n n b b -=--， 由（I ）式 得 111123322431133n n b -?? - - ???=+--?- ? ??? ?++?? 1112152034n n a -??=--?-= ?-?? 所以 1 1 12044.1122452033n n n a --=+ =- ?? ??---+- ? ??? ?? [解法3] 由 11311 1212 n n a a -=-?+++， 亦可求得1 204.243n n a -=-?? +- ??? [收获] 求解1 n n n pa q a ra s ++= +型递推数列的通项公式的方法： 令 px q x rx s += + ， 设其两根为 12,x x 即两不动点。于是1112n n a x a x ++??-??-?? 是等比数列， 并且111n a x +-和121 n a x +-均可化 为1 (1)n n a pa q p +=+≠型递推式 。 [请你试试4——3] 写出解法3的详细过程。 [变题3] 设数列{}n a 前n 项和为432n n S a n =-+，求 n a 及 n S 。 [思路] 将已知关系中 n S 的化为 n a ，再进一步变形。 [解题] 由432n n S a n =-+，得 1141a a =-, 即11 .3 a = 11432[43(1)2]n n n n n a S S a n a n --=-=-+---+1443 n n a a -=-+, 得14 13 n n a a -=-. 这是1n n a pa q -=+ 型递推式，由(#)式得 1 1 11144310.443331133n n n n a --?? ???=+-?=-+? ? ??? ?--?? 443210103.3n n n S a n n ?? ∴=-+=-+- ??? 第1变 递推式 1()n n a f n a += 2、累积错位相消法求数列通项 [变题4] 数列 {}n a 满足11a =，12n n n a a +=，求通项公式n a 。 [思路] 观察 1a 与2a 、2a 与3a 存在的关系，思考解题方法。 [解题] 212a a =，322a a =，432a a =，……，12n n a a -=，各式相乘得 11122n n n a a --==。 [收获] 1、若f(n)为常数, 则{}n a 为等比数列。2、1 ()n n a f n a +=型递推式，通项公式求解方法如下： 12 12 1 (1),(2),(1).n n n n a a a f n f n f a a a ---=-=-= 各式两边分别相乘，得 1(1)(2)(1),n a a f f f n =- ……………………………（II ） 当n=1时, (II)仍成立 [变题5] 在数列{}n a 中,1 1121,2()n n a na a a a +==++ , （1） 求{}n a 通项公式 （2）令1 22 24n n n n a b a a ++=，求{}n b 的前n 项和n S 。 [思路] 将题中递推式转化、归类，再求解。 [解题] （1）将题中递推式转化为： 1121212()2()2(1)2n n n n n n na a a a a a a a n a a +-=++ =++++=-+. 即 11n n n a a n ++= .由 (II) 式 得{}n a 通项公式123 .12 1 n n a a n n =??=- (2) 由 {}n a n =, 得 1222222 244(1)11 .(2)(2)n n n n a n b a a n n n n +++= ==-++ 所以数列{}n b 前n 项和 ： 221 1 11[ ](2) n n n k k k S b k k ====-+∑∑ 2222222111 1111 1324 (1)(1)(2)n n n n =-+-+ +-+--++222 5265.4(1)(2)n n n n ++=-+?+ 第2变 )(1n f a a n n +=+型递推数列 3、累加错位相消法求数列通项 [变题6] 已知数列}{n a 中，11a =，11 (1)n n a a n n +=+-, 求}{n a 的通项公式。 [思路] 将题中递推式变形 111 1n n a a n n +-=--，利用错位相消法。 解 将题中递推式表示为：1111n n a a n n +-= --， 于是 21112a a -=-，321123a a -=-，4311 34 a a -=-，……，111 21 n n a a n n --=--- 各式相加得 213211()()(),n n n a a a a a a a a --+-+-=- 得 11111111(1)()()()2233421n a a n n =+- +-+-++--- 11 11211 n n =+-=--- 即为所求通项公式。 [收获] 对于数列}{n a ，设 ,2,1,1=-=+n a a b n n n 则称数列}{n b 是}{n a 差数列， 则 121213211()()(),n n n n b b b a a a a a a a a --+++=-+-+ -=- 得∑-=+=1 11.n k k n b a a 所以{}n a 的通项公式为1 11 (),(2)n n k a a f k n -==+≥∑………… （III ）. 当n=1时，也满足(III)式。 [变题7] 在数列}{n a 中，12a =, 1(1) n n na n a +=+ , 求}{n a 通项公式。 [思路] 题中关系式不是)(1 n f a a n n +=+型的递推式，但两边同除以n(n+1)，经过变量替换，可化为)(1n f a a n n +=+型递推式。 [解题] 在递推式 1(1)n n na n a +=+ 两边同除以 n(n+1) , 得 11 1(1) n n a a n n n n +=+++ 令n n a b n = 得 11 (1) n n b b n n +=+ +，1121a b ==。由（III ）式得 n b 表达式为： 1 1 1111111 ()(1)1n n n k k b b b k k k k --===+=+-++∑∑111111 2(1)3.2231n n n =+-+-+ + -=-- 于是{}n a 通项公式为 1 (3)3 1.n n a nb n n n ==- =- [请你试试4——4] 求数列 1、4、11、26、57、120、……，的通项公式。 第3变 1()n n a pa q n +=+型递推数列 4、两边同除以 1n p + ，经过变量替换，化为)(1n f a a n n +=+型递推式 [变题8] 数列{}n a 满足 12a =, 1223n n a a n +=+- ， 求 n a 。 [思路] 递推式两边同除以1 2n + ，经过变量替换，可化为)(1n f a a n n +=+型递推式。 [解题] 在1223n n a a n +=+- 两边同除以 12n +， 得 11123 222 n n n n n a a n +++-=+ 令 2n n n a b = ，则 11 23 2 n n n n b b ++-=+ , 此为模型)(1n f a a n n +=+。 于是1 1111 1 23 , 1.22n n k k a k b b b -+=-=+==∑ 则1211.22n n n b -=+- 所以 1 3212()22168. 22 n n n n n n n a b n --=?=-?= -+ [收获] 在1(),(1)n n a pa q n p +=+≠中， 当q(n)是常数q 时，即为模型1(1)n n a pa q p +=+≠。 在 1(),(1) n n a pa q n p +=+≠两边同除以 1 n p +, 得 111 () n n n n n a a q n p p p +++=+, 令 1 (),()n n n n a q n b f n p p += =, 得 1()n n b b f n +=+ 即可求出 {}n b 的通项公式，从而得n n n a p b ==n p 321 ().22 n n -- [变题9]（2006年全国理第22题）设数列{}n a 前n 项和为1412 2 333 n n n S a +=-?+，n=1,2,……，求通项 n a 。 [解答] 14122 333n n n S a +=-?+211412 2333 a a ?=-?+12a ?=。因为 1(2)n n n a S S n -=-≥，所以由题设得：1412(2)333n n n a a +=-?+1412(2)333n n a ---?+142n n n a a -?=+112444n n n n n n a a --?=+，即 112n n n b b -?? =+ ??? 112n n b ?=-，得 42n n n a =-。 [规律小结] 根据数列性质1(2)n n n a S S n -=-≥可得出递推关系，然后再根据结构特征求通项公式。 [请你试试4——5] 1、数列{}n a 满足 11a =, 1235n n n a a +=+? ， 求 n a 。 2、数列{}n a 的前n 项和 21n n S a n +=+，10a =, 求 n a 第3变 1,(0,0 )q n n n a p a p a +=>>型 4、两边取对数，变形转化为模型1()n n a f n a += [变题10] 数列{}n a 中1110,n a a +==，令lg n a n b =， （1）求数列{}n b 的通项公式，（2）设1 21 n k k k b T b +=-=∑ ，求lim n T →∞ 。 [思路] 利用对数运算法则变形转化。 解：（1）由已知得 11111 1,lg lg n n a a n n b b b n n ++==== =，即模型1()n n a f n a +=， 由(II)式，得1111 1111231123(1)(1)! n b b n n n =??? ==-??--。 （2） 由 111 1!1(1)(2)!n n b n b n n n +-== --， 得 121n k k k b T b +=-=∑1111223(1)n n =++??-? 11111111.2231n n n =-+-++-=-- 则 1lim lim(1)1n n T n →∞→∞=-=。 [收获] 1,(0,0)q n n n a pa p a +=>>，当 q=1时，{}n a 为等比数列。当 1q ≠时，对递推式两边取常用对数，得 1l g l g l g n n a a p q +=+, 令lg n a n b =, 得 1lg p n n b qb +=+，此为模型1(1)n n a pa q p +=+≠，即题根 。 第4变 11n n n a pa qa +-=+型 5、利用特征根求通项公式 [变题11] 在数列 {}n a 中， 120,1a a ==，1144n n n a a a +-=- ，求 n a [思路] 在数列{}n a 中，已知 12,a a ，且 11n n n a pa qa +-=+，求其通项公式方法介绍如下：当 1p q +≠时，存在 12,λλ满 足11211()n n n n a a a a λλλ+--=- （*） ，即112121()n n n a a a λλλλ+-=+- ，与 11n n n a pa qa +-=+比较系数，得 1212{p q λλλλ +==， 由根与系数的关系知12,λλ 是二次方程 20t pt q --=两实根，此方程称为递推式的特征方程。易见，只需将递推式中的 11 ,,n n n a a a +-换成 2,,1t t 即可得特征方程。由 （*）式知数列 11n n a a λ--是等比数列，于是 1112211()n n n a a a a λλλ-+-=- 或 1 121221()n n n a a a a λλλ-+-=-。当 1p q +=时， 将p=1-q 代入递推式，得11()n n n n a a q a a +--=-- ，则 1{}n n a a +-是以 21a a -为首项，-q 为公比的等比数列，从而1121()()n n n a a q a a -+-=-- ，利用错位相消法即可求解。 2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练 【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S n ＋2?S n =36，则n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】D 【解析】解法一：由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+，S n ＋2=(n ＋2)2，由S n ＋2?S n =36得，(n ＋2)2?n 2=4n ＋4=36，所以n =8. 解法二：S n ＋2?S n =a n ＋1＋a n ＋2=2a 1＋(2n ＋1)d =2＋2(2n ＋1)=36，解得n =8.所以选D ． 【易错点】对S n ＋2?S n =36，解析为a n ＋2，发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算 例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若28641,2a a a a ==+，则a 6的值是________． 【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0)，∵a 2=1，则由8642a a a =+得6422q q q =+，即42 20q q --=，解得q 2=2， ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】 等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路： (1)设基本量a 1和公差d (公比q )． (2)列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量． 数列知识点归纳及例题分析 《数列》知识点归纳及例题分析 一、数列的概念： 1.归纳通项公式：注重经验的积累 例1.归纳下列数列的通项公式： (1)0，-3,8，-15,24，....... (2)21,211,2111,21111,...... (3), (17) 9 ,107,1,23 2.n a 与n S 的关系：???≥-==-)2(,) 1(,11n S S n a a n n n 注意：①强调2,1≥=n n 分开，注意下标；②n a 与n S 之间的互化（求通项） 例2：已知数列}{n a 的前n 项和???≥+==2 ,11 ,32n n n S n ，求n a . 3.数列的函数性质： （1）单调性的判定与证明：①定义法；②函数单调性法 （2）最大（小）项问题：①单调性法；②图像法 （3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系） 例3：已知数列}{n a 满足?? ??? <<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ，531 =a ，求2017a . 二、等差数列与等比数列 1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处） 等差数列 等比数列 定义 1n n a a d +-=（d 是常数1,2,3n =，…） 1 n n a q a +=（q 是常数，且0≠q ，1,2,3n =，…） 通项 公式 ()11n a a n d =+- ()n m a a n m d =+- 11n n a a q -= 推广：n m n m a a q -= 求和 公式 () 112 n n n S na d -=+=()12n n a a + ()111 (1)1(1)11n n n na q S a q a a q q q q =?? =-?-=≠? --? 中项 公式 2 n k n k a a A -++=（*,,0n k N n k ∈>>） k n k n a a G +-±=（*,,0n k N n k ∈>>） 高一数学数列知识总结 知识网络 二、知识梳理 ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) 三、在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足?? ? ≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足???≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。在解含绝对值 的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法： （1）利用观察法求数列的通项. （2）利用公式法求数列的通项：①???≥-==-) 2()111n S S n S a n n n （；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式. （3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项： ①)(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+ （4）造等差、等比数列求通项： ① q pa a n n +=+1；②n n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ?+?=++12. 第一节通项公式常用方法 题型1 利用公式法求通项 例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 2.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ 1322-+=n n S n ； ⑵12+=n n S . 总结:任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系：???≥-==-) 2() 1(11n S S n S a n n n 若1a 适 合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项 例2：⑴已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式； ⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ?=2 ，求数列{}n a 的通项公式. 总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”； 迭乘法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n ?=+“；⑵迭加法、迭乘法公式： ① 11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=----- ② 11 22332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ??????= ----- . 题型3 构造等比数列求通项 例3已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“q pa a n n +=+1” 适用于待定系数法或特征根法： 《数列》知识点归纳及例题分析 一、数列的概念： 1.归纳通项公式：注重经验的积累 例1.归纳下列数列的通项公式： (1)0，-3,8，-15,24，....... (2)21,211,2111,21111,...... (3), (17) 9 ,107,1,23 2.n a 与n S 的关系：???≥-==-) 2(,) 1(,11n S S n a a n n n 注意：强调2,1≥=n n 分开，注意下标；n a 与n S 之间的互化（求通 项） 例2：已知数列}{n a 的前n 项和???≥+==2,11 ,32n n n S n ，求n a . 3.数列的函数性质： （1）单调性的判定与证明：定义法；函数单调性法 （2）最大（小）项问题： 单调性法；图像法 （3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系） 例3：已知数列}{n a 满足????? <<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ，531 =a ，求2017a . 二、等差数列与等比数列 1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处） 例题： 例4（等差数列的判定或证明）：已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1 a n －1 (n ≥2，n ∈N * )，数列{b n }满足b n ＝1a n －1 (n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 ∵a n ＝2－1 a n －1 (n ≥2，n ∈N * )，b n ＝1 a n －1 . ∴n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1 a n －1－1 ＝ 1? ?? ??2－1a n －1－1 －1 a n －1－1 ＝a n －1 a n －1－1－1a n －1－1 ＝1. ∴数列{b n }是以－5 2 为首项，1为公差的等差数列． 高考理科数学《数列》题型归纳与训练 【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S n ＋2?S n =36，则n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】D 【解析】解法一：由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+，S n ＋2=(n ＋2)2，由S n ＋2?S n =36得，(n ＋2)2?n 2=4n ＋4=36，所以n =8. 解法二：S n ＋2?S n =a n ＋1＋a n ＋2=2a 1＋(2n ＋1)d =2＋2(2n ＋1)=36，解得n =8.所以选D ． 【易错点】对S n ＋2?S n =36，解析为a n ＋2，发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算 例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若28641,2a a a a ==+，则a 6的值是________． 【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0)，∵a 2=1，则由8642a a a =+得6422q q q =+，即42 20q q --=，解得q 2=2， ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】 等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路： (1)设基本量a 1和公差d (公比q )． (2)列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量． 数列知识点题型方法总复习 一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函 数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如 （1）已知* 2 () 156 n n a n N n = ∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（125）； （2）数列}{n a 的通项为1 +=bn an a n ，其中 b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（n a <1+n a ）； （3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（3λ>-）；（4）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数 列}{n a 满足)(* 1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（A ） A B C D 二．等差数列的有关概念： 1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。如设{}n a 是等差数列，求证：以b n = n a a a n +++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。 2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = 210n +；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ 8 33 d <≤ 3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S += ，1(1) 2n n n S na d -=+。如（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2 n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和15 2n S =-，则13a =-，10n =； （2）已知数列 {}n a 的前n 项和2 12n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答：2* 2* 12(6,) 1272(6,) n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）. 4．等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2 a b A +=。 提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、 d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ） 三．等差数列的性质： 1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率 为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数 列。 数列知识点总结 第一部分 等差数列 一 定义式： 1n n a a d --= 二 通项公式：n a 1()(1)m a n m d a n d =+-??=+-? 一个数列是等差数列的等价条件：b an a n +=(a ，b 为常数)，即n a 是关于n 的一次函数，因为n Z ∈，所以n a 关于n 的图像是一次函数图像的分点表示形式。 三 前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=na =中间项 1(1)2 n n na d -=+ 一个数列是等差数列的另一个充要条件：bn an S n +=2(a ，b 为常数，a ≠0)，即n S 是关于n 的二次函数，因为n Z ∈，所以n S 关于n 的图像是二次函数图像的分点表示形式。 四 性质结论 1.3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置， 如：3个数a-d,a,a+d ； 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d 2.a 与b 的等差中项2 a b A +=； 在等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则 m n p q a a a a +=+；若2m n p +=，则2m n p a a a +=； 3.若等差数列的项数为2() +∈N n n ，则，奇偶nd S S =- 1 +=n n a a S S 偶奇 ； 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇，1 -=n n S S 偶奇 4.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设12,n A a a a =++?+，122n n n B a a a ++=++?+， 21223n n n C a a a ++=++?+，则有C A B +=2； 5.10a >,m n S S =,则前2m n S +(m+n 为偶数)或12 m n S +±(m+n 为奇 数)最大 第二部分 等比数列 一 定义：1 (2,0,0){}n n n n a q n a q a a -=≥≠≠?成等比数列。 二 通项公式：11-=n n q a a ，n m n m a a q -= 数列{a n }是等比数列的一个等价条件是： (1),(0,01n n S a b a b =-≠≠，） 当0q >且0q ≠时，n a 关于n 的图像是指数函数图像的分点表示形式。 累加累积 归纳猜想证明 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了 典型 题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 (1)观察法。(2)由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 ⑴递推式为a n+i =3+d 及a n+i =qa n (d ，q 为常数) 例1、 已知｛a n ｝满足a n+i =a n +2，而且a i =1。求a n 。 例1、解 ■/ a n+i -a n =2为常数 ??? ｛a n ｝是首项为1，公差为2的等差数列 /? a n =1+2 (n-1 ) 即 a n =2n-1 1 例2、已知｛a n ｝满足a n 1 a n ，而a 1 2，求a n =? 佥 1 2 解■/^ = +是常数 .■-傀｝是以2为首顶，公比为扌的等比数 把n-1个等式累加得： .' ? an=2 ? 3n-1-1 ji i ? / ] — 3 ⑷ 递推式为a n+1=p a n +q n (p ，q 为常数) s 1 1 【例即己知何沖.衍二右札+ 吧求％ 略解在如十冷)*的两边乘以丹得 2 严‘ *珞1 = ~〔2怙血)+1.令亠=2n 召 则也€%乜于是可得 2 2 n b n 1 n 1 n b n 1 b n (b n b n 1)由上题的解法，得：b n 3 2(—) ? a . n 3(—) 2(—) 3 3 2 2 3 ★说明对于递推式辺曲=+屮，可两边除以中叫得蹲= Q 計/斗引辅助财如(%=芒.徼十氣+护用 (5) 递推式为 a n 2 pa n 1 qa n 知识框架 数列 的概念 数列的分类 数列的通项公式 数列的递推关系 函数角度理解 (2)递推式为 a n+1=a n +f (n ) 1 2 例3、已知｛a n ｝中 a 1 a n 1 a n 1 ，求 a n . 4n 2 1 等差数列的疋义 a n a n 1 d(n 2) 等差数列的通项公式 a n a 1 (n 1)d 等差数列 等差数列的求和公式 S n (a 1 a n ) na 1 n(n 1)d 2 2 等差数列的性质 a n a m a p a q (m n p q) 两个基 本数列 等比数列的定义 a n 1 q(n 2) 等比数列的通项公式 a n n 1 a 1q 数列 等比数列 a 1 a n q 3(1 q ) (q 1) 等比数列的求和公式 S n 1 q 1 q / n a 1(q 1) 等比数列的性质 S n S m a p a q (m n p q) 公式法 分组求和 错位相减求和 裂项求和 倒序相加求和 解：由已知可知a n 1 a n (2n 1)(2n 1)夕2n 1 2n 令n=1，2，…，(n-1 )，代入得(n-1 )个等式累加，即(a 2-a 1) + 1广 K z 1】、 =-[(1-" + J J 5 _■ 冷(一 Jr ★ 说明 只要和f ( 1) +f (2) 入，可得n-1个等式累加而求a n 。 ⑶ 递推式为a n+1=ps n +q (p , q 为常数) 1 a n a 1 (1 2 +?…+f 例 4、｛a n ｝中，ai 1，对于 n > 1 (n € N) 有a n (a 3-a 2) + ? + (a n -a n-1) L )也 2n 1 4n 2 (n-1 )是可求的，就可以由 a n+1=a n +f (n )以n=1，2，…， 3a n 1 2 ，求 a n ? 数列 求和 解法一： 由已知递推式得 a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3 (a n -a n-1) 因此数列｛a n+1-a n ｝是公比为3的等比数列，其首项为 a 2-a 1= (3X 1+2) -1=4 --a n+1 -a n =4 ? 3 - a n+1 =3a n +2 - - 3a n +2-a n =4 ? 3 即 a n =2 ? 3 -1 解法_ : 上法得｛a n+1-a n ｝是公比为 3 的等比数列，于是有： a 2-a 1=4， a 3-a 2=4 ? 3， a 4-a 3=4 ? 3 ? 3 ， 数列的应用 分期付款 其他 数列知识点及常用解题方法归纳总结 一、 等差数列的定义与性质 () 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ?=+2 ()()前项和n S a a n na n n d n n = +=+ -112 12 {}性质：是等差数列a n （）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+ {}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232-- （）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则 ；421 21 a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52 a S an bn a b n n n ?=+ 0的二次函数） {}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2 项，即： 当，，解不等式组可得达到最大值时的值。a d a a S n n n n 11 000 0><≥≤?? ?+ 当，，由可得达到最小值时的值。a d a a S n n n n 11000 <>≤≥?? ?+ {}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123 （由，∴a a a a a n n n n n ++=?==----12113331 ()又·，∴S a a a a 3132 22 33113 = +=== 数列 1. 等差数列 通项公式：1(1),n a a n d n *=+-∈N 等差中项：如果2 a b A += ，那么A 是a 与b 的等差中项 前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 若n a 是等差数列，且k l m n +=+，则k l m n a a a a +=+ ? 等差数列的通项求法应该围绕条件结合1,a d ，或是利用特殊项。 ? 等差数列的最值问题求使0(0)n n a a ≥≤成立的最大n 值即可得n S 的最值。 例1.{}n a 是等差数列，538,6a S ==，则9a =_________ 解析：513113248,33362 a a d S a d a d ?=+==+ =+=，解得10,2a d ==，916a = 例2.{}n a 是等差数列，13110,a S S >=，则当n 为多少时，n S 最大？ 解析：由311S S =得1213 d a =- ，从而 21111(1)249()(7)2131313n a n n S na a n a -=+?-=--+，又10a >所以1013 a -< 故7n = 2. 等比数列 通项公式：11(0)n n a a q q -=≠ 等比中项：2G ab = 前n 项和：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??=--?=≠?--? 若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+，则m n p q a a a a ?=? 例.{}n a 是由正数组成的等比数列，2431,7a a S ==，则5S =__________ 数列 一、等差数列与等比数列 1.基本量的思想： 常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。 2.等差数列与等比数列的联系 1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n a a 是等比数列，公比为d a ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。 （a>0且a ≠1）； 2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且 0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。 3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。 3.等差与等比数列的比较 4、典型例题分析 【题型1】等差数列与等比数列的联系 例1 （2010陕西文16）已知{}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{}的通项;（Ⅱ）求数列{2}的前n项和. 解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0， 由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得12 1 d + ＝ 18 12 d d + + ， 解得d＝1，d＝0（舍去），故{}的通项＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得 2+22+23+…+22(12) 12 n - - 21-2. 小结与拓展：数列{}n a是等差数列，则数列} {n a a是等比数列，公比为d a，其中a是常数，d是{}n a的公差。（a>0且a≠1）. 【题型2】与“前n项和与通项”、常用求通项公式的结合 例2 已知数列{}的前三项与数列{}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{＋1－}是等差数列．求数列{}与{}的通项公式。 解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n(n∈N*) ① 当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2－1＝8(n－1)(n∈N*) ② ①－②得2n－1＝8，求得＝24－n， 在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1， ∴＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2， ∴数列{＋1－}的公差为－2－(－4)＝2，∴＋1－＝－4＋(n－1)×2＝2n－6， 数列专题解析方法 一、数列通项公式的求解 类型一：观察法 例 1: 写出下列数列的一个通项公式 （1）3,5,9,17,33 ，； （2）11,22,33,44, ; 2345 （3）7,77.777.7777. （4）2, 1,10, 17,26, ; 3 7 9 11 （5）3,9,25,65, ; 2 4 8 16 类型二：公式法 (1) a n a1 (n 1)d a m (n m)d 例 2：已知等差数列a n 中，a1 1,a3 3,求a n 的通项公式 n 1 n m (2)a n a1q n1 a m q n m 例 3：已知等比数列a n 中，a2 6,6a1 a3 30, 求a n 的通项公式类型三：利用“ S n ”求解 S1,(n 1) (1) (1) a n n S n S n 1(n 2) 例 4：已知数列a n 的前n项和S n n2 24n(n N* )，求a n 的通项公例 5：已知数列a n 的前n项和为S n，且有a1 3,4S n 6a n a n 1 4S n 1,求a n 的通项公式 例 6：已知数列a n 的前n 项和为S n，且有a1 1,a n 1 2S n 1(n 1), 求a n 的通项公式 例 7：已知正数数列a n 的前n项和为S n ，且对任意的正整数n满足 2 S n a n 1, 求a n 的通项公式 (2)S n S n 1的推广 例 8：设数列a n满足a13a232a33n 1a n n,n N*求a n的通项公 3 式 类型四：累加法 形如a n 1 a n f (n)或a n a n 1 f (n)型的递推数列(其中f(n)是关于n 的函数) (1)若 f (n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和例 9：a n 1 a n 2n 1,a1 2, 求a n 的通项公式 (2)若 f (n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和例 10：a n 1 a n 2n,a1 2, 求a n 的通项公式 (3)若 f (n) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和 例11：a n 1 a n n n 1,a1 1, 求a n 的通项公式 (4)若 f (n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和 例 12：a n 1 a n 21,a1 1, 求a n的通项公式 n 2 2n n 类型五：累乘法 形如an1f(n)或an f (n)型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数) a n a n 1 数列知识梳理 一、看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) 三、在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题： (1)当1a >0,d<0时，满足?? ?≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足???≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意 转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法： （1）利用观察法求数列的通项. （2）利用公式法求数列的通项：① ? ? ? ≥ - = = - )2 ( )1 1 1 n S S n S a n n n （；②{} n a等差、等比数列{}n a公式. 1、已知{a n}满足a n+1=a n+2，而且a1=1。求a n。 例1已知 n S为数列{}n a的前n项和，求下列数列{}n a的通项公式： ⑴1 3 22- + =n n S n ；⑵1 2+ =n n S. （3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项： ①) ( 1 n f a a n n + = + ；②). ( 1 n f a a n n = + 数列求和的常用方法 一公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n2 )1 ( 2 ) ( 1 1 - + = + = 2、等比数列求和公式： ?? ? ? ? ≠ - - = - - = = )1 ( 1 1 ) 1( )1 ( 1 1 1 q q q a a q q a q na S n n n 二.裂项相消法:适用于 ? ? ? ? ? ? +1 n n a a c 其中{ n a}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。 例2 求数列 )1 (n 1 + n 的前n项和 ***这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1） 1 1 1 )1 ( 1 + - = + = n n n n a n 人教版高中数列知识点总结(知识点+例题) Lesson6 数列 知识点1：等差数列及其前n 项 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式a n ＝a 1＋(n －1) d . 3．等差中项 a ＋b 如果 A ＝2 ，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋（n-m ）d ，(n ，m ∈N *) ． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *) ，则 (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为. (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *) 是公差为的等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式 n (a 1＋a n )n (n －1) 设等差数列{a n }的公差d ，其前n 项和S n 或S n ＝na 1＋22. 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 d d 2? S n 2＋ a 1－2n . 数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2＋Bn ，(A 、B 为常数) ． ?? 7．等差数列的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d 0，则S n 存在最小值． [难点正本疑点清源] 1．等差数列的判定 (1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2) ； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2. 20XX 年高考数学数列知识点及题型大总结 等差数列 知识要点 1．递推关系与通项公式 m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m n n n m n n n n --= --= --=-+=-+==-+1; )1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系： 为常数） 即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(), (1+==-+= ),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。 2．等差中项： 若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2 c a b +=；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。 3．前n 项和公式 2 )(1n a a S n n += ； 2)1(1d n n na S n -+= ) ,()(,)2(22212为常数即特征：B A Bn An S Bn An n f S n d a n d S n n n +=+==-+= 是数列 {}n a 成等差数列的充要条件。 4．等差数列 {}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若反之，不成立。 ⑵d m n a a m n )(-=- ⑶m n m n n a a a +-+=2 ⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。 5．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法： ）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列 ②中项法： )22 1*++∈+=N n a a a n n n （?{}n a 是等差数列 ③通项公式法： ),(为常数b k b kn a n +=?{}n a 是等差数列 ④前n 项和公式法： ),(2为常数B A Bn An S n +=?{}n a 是等差数列 练习：1．等差数列 {}n a 中， ) (3 1 ,1201191210864C a a a a a a a 的值为则-=++++ A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 165 1203232)(32) 2(3 1 318999119=?==-=+-=-a d a d a a a a 2．等差数列 {}n a 中，12910S S a =>，，则前10或11项的和最大。 解：0912129 =-=S S S S ， 003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ，又，， ∴ {}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。 3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110 解：∵ ，，，，，1001102030102010S S S S S S S --- 成等差数列，公差为D 其首项为 10010=S ，前10项的和为10100=S 解 数 列 一、数列的概念 （1 项叫第1项（或首项）第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a （1）(2)2010（2例如：①：1 ，2 ，②：4131211，，，说明： ①{}n a 表示数列，n a 的通项公式； ② 同一个数列的(1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈?+=? ； （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一 个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值 n a 来代替()f n ，其图象是一 . 有穷数列和无穷数、 … … 和n S 与通项n a 的关系： 322 +=n ，求数列}{n a 的通项公式 2项起，每一项与它的d 表示。用递推公式表示为1)。 = (1)n d +-； d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。 例：1.已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ） 3.等差数列,12-=n a n 题型三、等差中项的概念： 定义：如果a ，A ，b 2 a b A += a ，A ， b 成等差数列?A （m n m n n a a a +-+=2） 例：1．（06全国I ）设{}n a A ．120 B ．D ．75 2.设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为 48，则它的首项是（ ） A ．1 B.2 C.4 D.8 题型四、等差数列的性质： ()n m a a n m d =+-， 且m n p q +=+，则 n 。 ) 127...a a a +++= （D ）n n n 项和，已知23a =， 611a =，则7S 等于( ) 数列知识点题型法总复习 一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如 （1）已知* 2 () 156 n n a n N n =∈ + ，则在数列{}n a的最大项为__（ 1 25 ）； （2）数列} { n a的通项为 1 + = bn an a n ，其中b a,均为正数，则 n a与 1+ n a的大小关系为___（ n a< 1+ n a）； （3）已知数列{} n a中，2 n a n n λ =+，且{} n a是递增数列，数λ的取值围（3 λ>-）；（4）一给定函数) (x f y=的图象在下列图中，并且对任意)1,0( 1 ∈ a，由关系式) ( 1n n a f a= + 得到的数列} { n a满足) (* 1 N n a a n n ∈ > + ，则该函数的图象是（A） A B C D 二．等差数列的有关概念： 1．等差数列的判断法：定义法 1 ( n n a a d d + -=为常数）或 11 (2) n n n n a a a a n +- -=-≥。如设{} n a是等差 数列，求证：以b n= n a a a n + + +Λ 2 1* n N ∈为通项公式的数列{} n b为等差数列。 2．等差数列的通项： 1 (1) n a a n d =+-或() n m a a n m d =+-。如(1)等差数列{} n a中， 10 30 a=， 20 50 a=， 则通项 n a=210 n+；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取 值围是______ 8 3 3 d <≤ 3．等差数列的前n和：1 () 2 n n n a a S + =， 1 (1) 2 n n n S na d - =+。如（1）数列{} n a中， * 1 1 (2,) 2 n n a a n n N - =+≥∈， 3 2 n a=，前n项和 15 2 n S=-，则 1 3 a=-，10 n=； （2）已知数列{} n a的前n项和2 12 n S n n =-，求数列{||} n a的前n项和 n T （答： 2* 2* 12(6,) 1272(6,) n n n n n N T n n n n N ?-≤∈ ? =? -+>∈ ?? ）. 4．等差中项：若,, a A b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且 2 a b A + =。 提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、d、n、n a及n S，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2 a d a d a a d a d --++…（公差为d）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3 a d a d a d a d --++,…（公差为2d） 三．等差数列的性质： 1．当公差0 d≠时，等差数列的通项公式 11 (1) n a a n d dn a d =+-=+-是关于n的一次函数，且斜率 为公差d；前n和2 11 (1) () 222 n n n d d S na d n a n - =+=+-是关于n的二次函数且常数项为0. 2．若公差0 d>，则为递增等差数列，若公差0 d<，则为递减等差数列，若公差0 d=，则为常数 重点高中数学数列知识点总结 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()()11122 n n a a n n n S na d +-==+ 性质：{}n a 是等差数列 （1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； （3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121 m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项， 即：当100a d ><，，解不等式组100 n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由1 00n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S Λ nd S S =-奇偶，1 +=n n a a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{} n a ，有 )()12(12为中间项n n n a a n S -=-， n a S S =-偶奇， 1-=n n S S 偶奇.2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练及参考答案
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