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高数线性代数习题解答

习题 1.1

1．设1111

11111??

?=- ? ?-??A ,12312405

1??

=-- ? ???

B ,求32-AB A . 解: AB 1111230

581

1112405611

105

0??????

? ? ?=---=- ? ?

? ? ? ?-?

?????

, 32-AB A 0

15242220

1518222627

022

2????

? ?=--- ? ? ? ?-????2

1322217204

2-??

?=--

? ?-??

. 2．已知两个线性变换

112212331232,232,45,x y y x y y y x y y y =+??=-++??=++? 1122133

233,

2,3,

y z z y z z y z z =-+??

=+??=-+? 求从123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换.

解: 1

321023241

5x y x y x y ?????? ? ? ?=- ? ? ? ? ? ????

???1232103

102322014

3z z z -?????? ? ? ?=- ? ? ? ? ? ?-??????1

211249101

16z z z -????

? ?=- ? ? ? ?--?

???

, 所求为

112321233

12342,1249,1016.

x z z z x z z z x z z z =-++??

=-+??=--+? 3．计算下列矩阵:

(1) 1

???

; 解: 21111112

21121111112

211??????????

=== ? ? ?

? ???????????

, 3

11111111111124111111111111????????????

=== ? ? ? ? ? ?????????????,

11111111111148111111111111????????????=== ? ? ? ? ? ?????????????

, …………,

2111111111111122111111111111n

n n n ---????

???????

?=== ? ?

? ? ? ?????????????

(2) 10

1n a ??

???

;

解:

11112

01010101

a a a a

????????

? ? ? ?

????????

11112113 010*********

a a a a a a

????????????

===

? ? ? ? ? ?

????????????

, …………,

111

010101

n n

a a a

??????

? ? ?

??????

1(1)11

010101

n a a na

??????

? ? ?

??????

(3)

cos sin

sin cos

θθ

解:

cos sin cos sin cos sin

sin cos sin cos sin cos

θθθθθθ

---

??????

? ? ?

??????

cos2sin2

cos sin2sin cos

sin2cos2

2sin cos cos sin

θθ

θθθθ

θθ

θθθθ

--??

? ?

-??

cos sin cos2sin2cos sin

sin cos sin2cos2sin cos

θθθθθθ

---

??????

? ? ?

??????

cos2cos sin2sin cos2sin sin2cos

sin2cos cos2sin cos2cos sin2sin

θθθθθθθθ

---

= ?

cos3sin3

sin3cos3

θθ

= ?

假设

cos sin cos sin

sin cos sin cos

k k

θθθθ

????

? ?

????

成立,则

cos sin cos sin cos sin

sin cos sin cos sin cos

k k

θθθθθθ

---

??????

? ? ?

??????

cos cos sin sin cos sin sin cos

sin cos cos sin cos cos sin sin

k k k k

θθθθθθθθ

---

= ?

cos(1)sin(1)

sin(1)cos(1)

k k

θθ

+-+

= ?

因此

cos sin cos sin

sin cos sin cos

n n

θθθθ

????

? ?

????

4．设

1111

---

A,求2A和21n+

解: 2

11111111

------

????

? ?

------

? ?

------

? ?

------

????

4000

0400

0040

0004

212

()(4)4

n n n n

+===

A A A I A A

4444

n n n n

---

5．求与1101??

???

A 可交换的所有矩阵. 解: 若矩阵

B 与A 可交换,即=AB BA ,则B 为2阶方阵.设a b c

d ??

???

B ,则 110

1a b a c b d c

d c

d ++??????==

? ? ???????A B ,110

b a a b

d c

c d +??????

== ? ? ?+??????

B A . 由=AB BA 得

a c

b d a

a b c

d c

c d +++????

= ? ?+????

, 解得0,c d a ==.因此

a b a ??

???

B , 其中,a b 为任意数. 6．设1000

0010

a a a a ?? ?

?= ? ???

A ,求n A . 解: 将矩阵A

写成a =+A

I B ,其中

01000010

00010

0?? ?

?= ? ???B . 对于矩阵B 有

0010000100000

0?? ?

?= ?

???B ,300010000

00000

0?? ?

?= ? ???

B ,4=B O . 显然B 与a I 可交换,所以

()()

n n

r n r

r a C

a -==+=∑A I B I B

233

n n n n n n n a C a

C a

---=+++I B B B

112

1(1)(1)(2)0(1)0000

n n n n

n n n

n n

a na n n a n n n a

na n n a a

na a

------??--- ?- ?= ? ? ??

. 7．矩阵A 称为反对称的,若T =-A A .证明任何方阵都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和.

证明: 记T

1()2

+S A A ,T

()2

-T A A ,则S 为对称阵,而T 为反对称阵,且有=+A S T .

8．设,A B 为n

阶对称阵,证明AB 为对称阵的充要条件是=AB BA .

证明: 因,A B 为对称阵,所以T =A A ,T

=B B ,于是

T T T

()=AB B A

=BA .

因此,T ()=AB AB 的充要条件是=AB BA .也就是说,AB 为对称阵的充要条件是=AB BA .

9．举反例说明下列命题是错误的:

(1) 若2

=A O ,则=A O ;

(2) 若2=A A ,则=A O 或=A I ;

(3) 若=AX AY ,且≠A O ,则=X Y .

解:(1) 对于矩阵0100??= ???

A ,有2

=A O ,但≠A O . (2) 对于矩阵100

0??=

???

A ,有2

=A A ,但≠A O 且≠A I . (3) 对于矩阵0

0??=

???A ,010

0??

= ???

X ,=Y O ,有=AX AY ,且≠A O ,但≠X Y . 习题 1.2

1．求行列式3

032

--中元素2和2-的代数余子式. 解: 元素2的代数余子式为31

04(1)00

+-=,而元素2-的代数余子式为32

34(1)

295

+--=.

2．计算下列行列式:

(1) ab

ac ae bd

cd de bf

ef ---; 解: 原式1

111

abcdef -=--1

110

020

abcdef -=111

0200

abcdef -=-4abcdef =. (2) x

y x y y x y x x y

x y +++.

解: 原式222222x y

y x y x y

x y x x y

++=+++2200

x y

y x y x y x y

++=

---(22)

x y x y x y

-=+--

(22)()22x y x xy y x y =+-+-=--.

3．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为1,2,0,1-,它们的余子式依次分别为5,3,7,4-,求D 的值.

解: (1)52(3)0(7)1(4)15D =-?+?-+?-+?-=-.

4．已知1001

2014

3??

=- ? ??

A ,求T |(4)(4)|--I A I A .

解:

300

|4|1206

141

-==

I A,

T T

|(4)(4)||(4)||(4)|

--=-?-

I A I A I A I A2

|(4)|36

=-=

I A.

5．已知三阶矩阵A的行列式||2

123

211

110

= ?

B,求||

AB A.

解: |||()||||| -=-=?-AB A A B I A B I

023

2201

111

023

2223224

100

=-==

6．设

1111

2222

3333

4444

x a b c

1111

2222

3333

4444

y a b c

B,且已知||4,||1

A B,试求||

A B.

解:

11111

22222

33333

44444

222

x y a b c

A B

11111

22222

33333

44444

x y a b c

8(||||)40

=+=

A B.

7．计算下列行列式:

(1) 1111 1234 13610 141020

;

解: 原式

1111

0123

0136

01410

1111

0123

0013

0014

1111

0123

0013

0001

==.

(2) 1234 2341 3412 4123

;

解: 原式

1234

0127

02810

071013

---

1234

0127

0044

00436

---

1234

0127

160

0044

00040

---

(3)

2240 4135 3123 2051

;

解: 原式60210413570122

051

62107

122

=-80671233

-=---8633

-=-

--270=-.

(4)

2112401412104

212------.

解: 原式2

112401430340

012

---=

--4143340

-=--4123320

-=4223

=-=-.

8．解下列方程:

(1) 1

04300102x x x +--=--;

解: 1

1011430(2)

x x x x x x +-+--=----(2)[(1)(3)4]x x x =-+-+2

(2)(1)x x =--,

原方程的解为1232,1x x x ===.

(2)

1111110111111x

x x x ----=----.

解:

1111111111

x x x --------111111111111

x x x x x x x -----=-----11110122021200

x x x x ---+-=

+--

22(1)

2120

x x x x +-=-+--2

12(1)2

x x x +=-+3

(1)(3)x x =-+,

原方程的解为12343,1x x x x =-===.

9．计算下列行列式:

(1)

12311

0311********

(1)

n n n n n n n n --------------

;

解: 将原行列式D 的第一行加于其余各行,得

12310262(1)20032(1)

2!000120

n n n n n n D n n n n

---=

(2) 1122300000000000001

1n n a a a a a a a ----

;

解: 将原行列式D 的第1列加于第2列,第2列加于第3列,…,第n 列加于第1n +列,得

12300000000000000001

231

n a a a D a n

n ---=

1(1)(1)n

n n a a =-+ .

(3)

10000

10000000001n

n n x x x x a a a a x a -----+

解: 原行列式n D 按第1列展开,得

n D 1

1000100(1)0

000

1n n n n x

xD a x x

+----=+--

1n n xD a -=+

221n n n x D a x a --=++= 12121n n n n x D a x a x a ---=++++

121n n n n n x a x

a x

a x a ---=+++++ .

10．证明:

(1)

121

1111111

(1)1

n i i

a a a a a a

a =++=+

+∑

,其中120n a a a ≠ ;

证明: 左边行列式n D 的第i 列提取i a (1,2,,)i n = ,得

n D 1

212

111111111111n n n n

a a a a a a a a a a a ++=+

121

11111111111111n

i i n n

i i

a a a a a a a a a a a ===+

+=+

∑

211

1110100

01n

i i

n n

a a a a =+

=∑

1(1)n

n i i

a a a ==+

∑

(2) cos 10001

2cos 1

00012cos 000002cos 10

2cos n D ααααα

cos n α=;

证明: n D 按最后一列展开,得

cos 10001

2cos 100012cos 002cos 0002cos 10

n n n D D ααααα--=?-

122cos n n D D α--=?-,

1cos D α=,2

22cos 1cos 2D αα=-=.假设,1n k k =+时,成立cos n D n α=,则当2n k =+时,有

212cos k k k D D D α++=?-2cos cos(1)cos k k ααα=+-cos(2)k α=+.

由归纳原理即得所证.

(3)

22224

111a b c d a b c d a

()()()()()()()

a b a c a d b c b d c d a b c d =------+++.

证明: 左边行列式

22222224

1000a b a c a d a D a b a c a d a a

b a

c a

d a

---=

------1()()()b a c a d a D =---,

其中

11D b a

c a

d a

b b a ba a

c c a ca a

d d a da a

++++++++++++

2322

322

00b a

c b

d b

b b a ba a

c c a ca b b a ba

d d a da b b a ba =

+--+++++---++---

222

()()

c b

d b c bc b ac ab a

d bd b ad ab a

=--++++++++++

()()()c b d b d bd ad c bc ac =--++---()()()()c b d b d c d c b a =---+++,

于是 1()()()D b a c a d a D =---()()()()()()()a b a c a d b c b d c d a b c d =------+++.

习题 1.3

1．已知1002

1010

1??

?=- ? ?-?

?A ,11201200

1-??

= ? ?-?

B ,求1|()|-BA . 解: 1|()|-BA 11||(||||)1--==?=BA B A .

2．已知A 是三阶方阵,且||2=A ,求1|3|-A ,*||A 和1

1|(3)|2

A A .

解: 1|3|-A 1

2727||27||2

--===

A ,

*||A 2

||4==A ,

1|(3)

A A 1

11|

-=-

A *

11|

A A *

1||3

A *

14||27

A .

3．求线性变换11232123312322,35,323x y y y x y y y x y y y

=++??

=++??=++?的逆变换.

解: 线性变换的系数矩阵2

213

1532

3??

= ? ??

?A ,其伴随矩阵为 *

7496

3732

4--?? ?=- ? ?-?

A . 将||A 按第1行展开,得

||2(7)26131=?-+?+?=A ,

因此A 可逆,且有

7491

37||32

4---??

?==- ? ?-?

A A .

所求逆变换为

112321233

123749,637,324.

x y y y x y y y x y y y =--+??

=+-??=+-? 4．利用逆矩阵求以下方程的解:

(1) 1

102002

1202032

100

2-????

? ?-= ? ? ? ?-?

X ; 解: 记矩阵1

102

1232

1-??

=- ? ?-??

A ,其伴随矩阵 *

124

1211

1-?? ?=- ? ?--?

A . 将||A 按第1行展开,得

||13(1)40(1)1=?+-?+?-=-A ,

因此A 可逆,且有

121

12||11

1---??

?==-- ? ?-?

A A . 所求解为

122

006

244

1202082411

2----??????

? ? ?=--=-- ? ?

? ? ? ?--?

?????

X . (2) 2111132

1043

211

1-??

-??

?= ? ?

?-?

X . 解: 记矩阵2112

1011

1-??

= ? ?-??

A ,其伴随矩阵 *

012

3233

0?? ?=-- ? ?-?

A . 将||A 按第1行展开,得

||211(2)(1)(3)3=?+?-+-?-=A ,

因此A 可逆,且有

1011

1232||33

0-??

?==-- ? ?-?

A A .

所求解为

1012211131232824

235

3??-??

-??

?=?

--=

? ? ?-

- ??? ?-??

?X . 5．设1010

2000

1??

= ? ??

A ,求12(3)(9)-+-A I A I . 解: 121(3)(9)(3)(3)(3)--+-=++-A I A I A I A I A I (3)=-A I 2

010

1000

2-??

?=- ? ?-??

. 6．已知1010

2010

1??

= ? ?-?

A ,且2+=+A

B I A B ,求B . 解: 由2+=+A B I A B ,得 2

-=-A B B A I ,()()()-=-+A I B A I A I .

因为

01||0

1011

-==-A I , 所以1()--A I 存在,于是

=+B A I 2

010

3010

2??

?= ? ?-?

. 7．设1

1112111

3-?? ?

= ? ??

,求伴随矩阵*A 的逆矩阵. 解: *

521()

()2

20101----?? ?==- ? ?-??A A . 8．设=AP PB ,其中141

1--??= ???P ,1

2-??= ???

B ,求11

A . 解: 容易求得1

141113-??

?--??

.于是由=AP PB 得 1

-=A PB P

,21121()---==A PBP PBP PB P ,…,

111

-=A

PB P

141014111021

13---??????=? ? ? ?--??????1114101411

102113---??????= ? ? ?--??????

11141211131

2??-??= ? ?---????13

11111242

131242??++= ?

----??2731

2732683684??

= ?--??

9．设3011

1001

4??

= ? ??

A ,且2=+A

B A B ,求B . 解: 由2=+AB A B ,得(2)-=A I B A .

0121

1001

2??

?-=- ? ??

?A I ,*

11(2)22111

1-??

-=- ? ?--?

?A I ,|2|1-=-A I , 因此2-A I 可逆,且有

(2)

(2)|2|--=--A I A I A I 2112

2111

1--??

?=-- ? ?-?

?. 由(2)-=A I B A ,得

(2)-=-B A I A 2112

2111

1--?? ?=-- ? ?-?

0111001

4?? ? ? ??

?5224322

3--??

?=--

? ?-??

. 10．设n

=A O ,证明

()

n ---=++++ I A I A A A

证明: 由n

=A O ,得

()()n n

--++++=-= I A I A A A

I A I ,

因此121()n ---=++++ I A I A A A .

11．设方阵A 满足方程2

24--=A A I O ,证明3-A I 可逆,并求其逆矩阵. 证明: 由2

24--=A A I O ,得

(3)()23-+=--=A I A I A A I I ,

因此3-A I 可逆,且有1(3)--=+A I A I .

12．设B 为可逆矩阵,A 与B 同阶,且满足22

++=A A B B O ,证明A 和+A B 均为可逆矩阵.

证明: 因B 为可逆矩阵,故||0≠B .由22

++=A A B B O ,得

()+=-A A B B ,

两边取行列式,得

||||||(1)||0n

?+=-=-≠A A B B B ,(n 为A 与B 的阶数).

于是||0≠A ,||0+≠A B ,所以A 和+A B 均为可逆矩阵.

习题 1.4

1．设21001

200

00200

2?? ?-

?= ? ???

A ,求8||A 和8A . 解: 令12112??= ?-??A ,2

2??

= ???

A ,则1||5=-A ,2||4=A ,

212121501

2120

5??????==

? ? ?--??????A ,4

14500

5??

= ???

A , 8

888211810102022118

122??

???=== ?

? ???????

A . 所以 8888812||||(||||)(20)20==?=-=A A A A ,

188211

8500005

000

02000

2?? ??? ?

? ? ??

A A A . 2．设5

2002

100

00830

2?? ?

?= ? ???

A ,求1-A . 解: 令15221??=

???A ,2

2??

= ???

A ,则 1||1=A ,*

11225-??=

?-??A ,1*

11112125||--??

= ?-??A A A , 2||1=A ,*

2235

8-??=

?-??A ,1*

2222315

8||--??=

= ?-??

A A A . 因此 11

1121

200250000230058----?? ?-?? ?== ? ?-??

?-??

A A

A . 3．设A 为n 阶可逆方阵,D 为m 阶方阵,B

为n m ?矩阵,C 为m n ?矩阵.计算

1n n

m m --??

-???? ? ? ?-??????

I O A B I A B CA

I C D O I , 并由此证明

||||-=?-A B A D C A B C

解: 1

m m --??-???? ? ? ?-??????I O A B I A B CA I C D O I 1

n m --??-??= ? ?-????A

I A B O

D CA B O

I 1

-??

?-??

A O

D C A B . 上式两边取行列式得

n m m ---??

-I O

A B I A B CA

I C

I 1

-A O O

D C A B

由

1n m

-=-I O C A

I ,

1n m

--=I A B O

I ,

--A O O

D C A B

||||-=?-A D CA B ,

即得所证.

习题 2.1

1．把下列矩阵化为行最简形矩阵:

(1) 02310

3430471-?? ?- ? ?--??; 解: 02310

34304

1-?? ?- ? ?--?

r r

-??→0

112034304

1--?? ?- ? ?--?

112001300

9r -?? ???→-- ? ?--?

105001300

0r ?? ???→ ? ??

. (2) 2

313712024

3283023743--?? ?--

? ?- ?-??

. 解: 2313712024328302

743--?? ?--

? ?

- ?-??12024231373283023

743r --?? ?--

???→ ?

- ?-??1

20240111108891207

11r --?? ?-

???→ ?- ?-??

10202011110001400

-?? ?

---

???→ ?

??1

020201103

000140

0r -??

?- ???→ ? ???

. 2．用消元法解下列线性方程组:

(1) 123412341

2347890,23320,41113160;

x x x x x x x x x x x x +-+=?

-+-=??+-+=?

解: 对方程组的系数矩阵A 施行初等行变换:

17892

332411

16-?? ?=-- ? ?-?

A 1

7890171920017

20r -?? ???→-- ? ?--?

3131717

192017

171

00100

-?? ???→

? ??

, 于是得同解方程组

1342

343130,1717

19200.1717x x x x x x ?

-+=???

?-+=??

令自由未知元3142,x k x k ==,得原方程组的通解为

3131

17171920217171234

1001x x k k x x -??????

? ? ?- ? ? ?=+ ? ? ? ? ? ???????

,(12,k k 为任意数).

(2) 123412341

23420,51050,714370;

x x x x x x x x x x x x ++-=??

++-=??++-=?

解: 对方程组的系数矩阵A 施行初等行变换:

12115

1015714

7-?? ?=- ? ?-?

?A 1211004000

0r -?? ???→- ? ?-?

201001000

0r -??

???→ ? ??

, 于是得同解方程组

124320,

0.x x x x +-=??

令自由未知元2142,x k x k ==,得原方程组的通解为

21234

21100001x x k k x x -??????

? ? ?

? ? ?=+ ? ? ? ? ? ?

??????

,(12

,k k 为任意数).

(3) 123123

1231

23233,350,43,3136;

x x x x x x x x x x x x

-+=??

+-=??

-+=??+-=-?

解: 对方程组的增广矩阵(,)A b 施行初等行变换:

(,)A b 2

1333

150********

6-?? ?-

?= ?- ?--??

322114

r r r r r r --??→-141691283126313

6-?? ?-- ? ?

- ?--??14169062412

021060

15r -??

?--

???→ ?

-- ?--??

1001014200220

?? ?--

???→ ?

-- ?--??10010102

001100

0r ??

???→ ? ???

. 原方程组的解为1231,2,1x x x ===.

(4) 1234234124

2342344,3,331,731;

x x x x x x x x x x x x x -+-=??

-+=-?

+-=??-++=-?

解: 对方程组的增广矩阵(,)A b 施行初等行变换:

(,)A b 123440

1113130310

1--?? ?--

?= ?

- ?--??1234401113053130

1r --??

?--

???→ ?-- ?--??

234

4011130024120

04822r

--?? ?--

???→ ?- ?--??12344011130024120

0002r --?? ?

???→ ?- ?

??. 最后的增广矩阵对应的方程组中,第四个方程为02=,不可能.因此,原方程组无解.

(5) 12312313223,435,22;x x x x x x x x ++=??

++=??+=?

解: 对方程组的增广矩阵(,)A b 施行初等行变换:

(,)A b 21234

13520

2??

?= ? ??

123011101

1r ?? ???→--- ? ?---?

012011100

0r ?? ???→ ? ??

. 于是得同解方程组 132322,1.

x x x x +=??

+=?

令自由未知元3x k =,得原方程组的通解为

111

10x x k x -??????

? ?

?=-+ ? ? ? ? ? ?????

??,(k 为任意数). (6) 12341234

12341234

235,25,2333,237.

x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=??+++=??

++-=??+++=?

解: 对方程组的增广矩阵(,)A b 施行初等行变换:

(,)A b 123151

1215123331123

7-?? ?

?= ?

- ???1231501120000220114

2r -??

?--

???→ ?-- ?--??

1013501120000220

0022r

?? ?-

???→ ?

-- ???1010201102

000110

0r ?? ?

???→ ? ???

. 于是得同解方程组 132342,2,1.x x x x x +=??

+=??=?

令自由未知元3x k =,得原方程组的通解为

12341212

1001x x k x x -?

?????

? ? ?- ? ? ?=+ ? ?

? ? ? ?????

,(k 为任意数).

习题 2.2

1．用矩阵的初等行变换,求下列矩阵的逆阵:

(1) 12342312

11111

6?? ?

? ?- ?--??; 解: (,)A I 123410002

3120100111100101

0260001?? ?

?= ?

- ?

--??1

23410000156210001251010025101001r ??

?---- ????→ ?---- ?----?? 1078320001562100003111100052

3201r

---?? ?-

????→ ?

- ?-??342r r -??→1

078320001562100001010210

0523201---?? ?-

? ?-- ?-?? 1008102147010671105001010210

028

---?? ?--

????→ ?

-- ?--??1000226261701001752013

001010210

3r --??

?--

????→ ?

-- ?--??

, 1

22626171752013

1021415

3---??

?-- ?= ?

-- ?--??

. (2) 10001100

111011

1?? ?-

? ?-- ?---??; 解: (,)A I 100010001

1000100111000101

11000

1?? ?-

?= ?

-- ?---??1000100001001100011010100

11110

1r ??

????→ ?- ?--??

1000100001001100001021100

2101r

?? ?

????→ ?

?-??10001000010011000010211000

4211r ??

????→ ? ???

, 1

10001100211042

1-?? ? ?= ? ??

(3) 32010221

123201

1--?? ?

?--- ? ??

. 解: (,)A I 3

20110000

2210100123200100

1210001--?? ?

?= ?

--- ???123200100121000132011000022101

00r ---??

????→ ?-- ??? 1232001001210001049510300221

---?? ?

????→ ?

- ???101000120121000100111034002101

02r ?? ?

????→ ?-- ?---?? 100110460101206

9001110340

001

10r

--?? ?--

????→ ?

-- ?--??1000112401000101

001011360

10r --??

????→ ?-- ?--??

, 1

11240101

113621

10---??

?- ?=-- ? ?--?

. 2．用矩阵的初等行变换,求下列方程的解:

(1) 1

211411

1113210

1325????

? ?-= ? ? ? ?-?

?X ; 解: (,)=A B 1

211411

111321013

25??

?- ? ?-?

21141012011022

466r

?? ????→--- ? ??? 1031230

1201100

-?? ????→- ? ?-?

10054901045700

---?? ????→ ? ?---?

, 15494

5722

4----??

?== ? ?---??X A B . (2) 2211

111310

132???? ? ?-=- ?

? ? ?-?

?X . 解: (,)=A B 2

21141

111310

2??

?-- ? ?-?

01321111322

4r -?? ???→-- ? ??

01320102502

8r ---?? ???→ ? ??

101320

102500

---?? ???→ ? ?-?

?83

231

0020102500

r --?? ???→ ? ?-?

, 83

2322

51---?? ?== ? ?-??X A B . 3．设0212

1333

4??

=- ?

?--?

?A ,1232

1??

= ?-??

B ,求解=XA B . 解: T T (,)=A B 023122

13231343

1-??

?-- ? ?-?

1343121323023

2r -?? ???→-- ? ?-?

13431071145023

2r -?? ???→--- ? ?-??

234r r +??→1

34310110302

2-??

? ?-?

01380110300

4r --??

???→- ? ?--?

00240101700

4r -??

???→- ? ?-?

, T

4()1714--??

==- ?

?-??

X A B

,2114

4--??

= ?-??

X . 4．设0101

0000

1??

?= ? ??

?A ,10021000

1?? ?=- ? ???B ,1

43201120-?? ?

=- ? ?-?

?C ,求解=A X B C . 解: (,)=A C 0

101431

00201001

0-??

?- ? ?-?

0020101014300

0r -??

???→- ? ?-?

, 1

2011

4312

0--??

?=- ? ?-?

?A C . 1-??= ???B A C 1

002100012

0114312

0??

? ? ?- ? ?- ? ?-?

0001000120174332

?? ? ? ???

→ ?- ? ?-- ? ?--?

, 1

()--=X A C B

20174332

0-?? ?=-- ? ?--?

. 5．设A 为m 阶可逆矩阵,B 为n 阶可逆矩阵,求??

???

O A T B

O 的逆矩阵.

解: (,)=T I m n ??

???I O O

A O

I B

m r

--????

→ ???O I A

O I O

B 1

n r

--??

??→ ???

I O O B

I A

O , 因此1

---??= ???

O B

O . 6．设A 为m 阶可逆矩阵,D 为n 阶可逆矩阵,求??

???

A O T C

D 的逆矩阵. 解: (,)=T I m n ??

???

I O A

O O

I C

112R R --??→A D 1

11m

---??

???

I O A

O D C

I O

D 1

()R R -+-???????→D C 1

----??

?-??

I O A

O O

I D CA

D , 因此1

111-----??

= ?

-??

A O T D CA D . 7．设,,,A

D 为n 阶矩阵,且A 可逆,=AC CA ,证明

||=-A B A D C B C

证明: 由Schur 公式知

||||-=?-A B A D C A B C

1||-=-AD ACA B 1||-=-AD CAA B ||=-AD CB .

8．设,A B 分别为n m ?和m n ?矩阵,证明

||||n m -=-I AB I BA .

证明: 由Schur 公式知

||||||n n m n m m -=?-=-I A I I B I A I B A B I , 1||||||n m n m n m

-=?-=-I A I I A I B I A B B

I ,

所以 ||||n m -=-I AB I BA n m

I A B

I .

9．设,A B 为n 阶矩阵,λ为数,证明

||||λλ-=-I AB I BA .

证明: 当0λ=时,易知

||(1)||||||n

-=-?=-AB A B BA .

当0λ≠时,由Schur 公式知

|||()|||λλλλ-=?-=-I A

I I B I A I B A B

||||||λλλ-=?-=-I A I I A I B I A B B

所以 ||||λλ-=-I AB I BA λ=

I A B

线性代数测试试卷及答案

线性代数（A 卷）一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；

线性代数考试题库及答案(五)

线性代数考试题库及答案一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为（） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则（） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与（） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似（D ）既不合同，又不相似

二、填空题（共二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系是。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为。

线性代数模试题试题库(带答案)

第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分) 1、若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。 2、若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =1 5n +。由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+

线性代数第五章课后习题及解答

第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +

因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T

线性代数考试题库及答案(六)

线性代数考试题库及答案第一部分客观题（共30分）一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分） 1. 若行列式11 121321 222331 32 33 a a a a a a d a a a =，则212223 11 121331 32 33 232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d - 2. 设123010111A ?? ? =- ? ??? ，ij M 是A 中元素ij a 的余子式，则313233M M M -+=（） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（） (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足（） (A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是．．n 阶矩阵A 可逆的充要条件为（） (A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ?矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，B AC =，则 ( )。 (A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B )

(C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,, ,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是（） (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=++ + 成立 (C) 存在一组数12,, s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (D) 对β的线性表达式唯一 8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解，12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解，则（） (A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解 9. 设110101011A ?? ? = ? ??? ,则A 的特征值是( )。 (A) 0,1,1 (B) 1,1,2 (C) 1,1,2- (D) 1,1,1- 10. 若n 阶方阵A 与某对角阵相似，则 ( )。 (A) ()r A n = (B) A 有n 个互不相同的特征值 (C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 必为对称矩阵二、判断题（共 10小题，每小题1分，共10分）注：正确选择A,错误选择B. 11. 设A 和B 为n 阶方阵，则有22()()A B A B A B +-=-。（） 12. 当n 为奇数时，n 阶反对称矩阵A 是奇异矩阵。（）

(完整word版)线性代数考试题及答案解析

WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试《线性代数》试卷答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （密） … … … … … … … … … … … … （封） … … … …… … … … … … … … （线） … … … … … … … … … … … …

(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小【】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示【】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系，则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。

《线性代数》习题集(含答案)

《线性代数》习题集（含答案）第一章【1】填空题（1）二阶行列式 2a ab b b =___________。（2）二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。（3）二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。（4）三阶行列式x y z z x y y z x =___________。（5）三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。【2】选择题（1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。（2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，

（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。（4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。（5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性：（1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。（2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。（3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。【5】计算下列的逆序数：（1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1）【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：

线性代数复习题及答案

《线性代数复习提纲及复习题》理解或掌握如下内容：第一章 n 阶行列式 .行列式的定义，排列的逆系数，行列式性质，代数余子式，行列式的计算，三角化法及降阶法，克莱姆法则。第二章矩阵及其运算矩阵的线性运算，初等变换与初等矩阵的定义，方阵的逆矩阵定义及性质方阵的逆矩阵存在的充要条件，用初等变换求逆矩阵，矩阵方程的解法，矩阵的秩的定义及求法；齐次线性方程组只有零解、有非零解的充要条件，；非齐次线性方程组有解的充要条件，解的判定。第三章线性方程组ｎ维向量的线性运算，向量组线性相关性的定义及证明，向量空间，向量组的极大线性无关组、秩；齐次线性方程组的基础解系，解的结构，方程组求解；非齐次线性方程组解的结构，用初等变换解方程组，增广矩阵含有字母元素的方程组的求解。复习题：一、填空（1）五阶行列式的项5441352213a a a a a 前的符号为负；（2）设)3,3,2(2),3,3,1(-=+-=-βαβα，则α= （1，0，0）；（3）设向量组γβα,,线性无关，则向量组γβαβα2,,+-线性无关；（4）设* A 为四阶方阵A 的伴随矩阵，且*A =8，则12)(2-A = 4 ；（5）线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间的维数是 4 ；（6）设???? ? ??=k k A 4702031，且0=T A 则k = 0或6 ；（7）n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩r(A)秩是r,则其解空间的维数是 n-r ；（8）的解的情况是：方程组b Ax b A R A R 2),,()3(== 有解；（9）方阵A 的行向量组线性无关是A 可逆的充要条件；

2010-2011-2线性代数试卷及答案

东北大学考试试卷（A 卷） 2010 — 2011学年第二学期课程名称：线性代数（共2页） ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (15分) 设三阶矩阵()321,,ααα=A ， ()3323214,3,32αααααα+-+=B ，且A 的行列式1||=A ，求矩阵B 的行列式||B . 解因为()3323214,3,32αααααα+-+=B ＝? ???? ??-413031002),,(321ααα，所以，24413031002||||=-=A B 分) 设向量组????? ??-=2111α，????? ??=1122α，????? ??=a 213α线性相关，向量 ???? ? ??=b 13β可由向量组321,,ααα线性表示，求b a ,的值。解由于 ????? ??-=b a 1212113121),,,(321βααα????? ??---→62304330312 1b a ? ???? ??-+→210043303121b a 所以，.2,1=-=b a 三分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V 是R 2? 2 的子空间，试在 V 上定义内积运算，使V 成为欧几里得空间，并给出V 的一组正交基. 解由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵，数乘二阶实对称矩阵还是二阶实对称矩阵，即V 对线性运算封闭，所以V 是R 2? 2 的子空间。对任意V b b b b B a a a a A ∈??? ? ??=???? ??=2212121122121211,,定义内积：[A,B]=222212121111b a b a b a ++，显然满足：[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. ???? ??=00011A ,???? ??=01102A ,???? ??=10003A 就是V 的一组正交基. 注：内积和正交基都是不唯一的. 2－1

线性代数习题及解答

线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设行列式11 121321 222331 3233a a a a a a a a a =2，则1112 13 31323321312232 2333 333a a a a a a a a a a a a ------=（） A ．-6 B ．-3 C ．3 D ．6 2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（） A ．E +A -1 B ．E -A C ．E +A D ． E -A -1 3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（） A ．?? ? ??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ???A B B ．?? ??? A B 不可逆 C ．?? ? ??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ??? B A D ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1?? ?? ? A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（） A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关 B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0 C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=（） A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T C ．（1，-1，-2，0）T D ．（2，-6，-5，-1）T 6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（）

线性代数期末考试试卷答案合集

线性代数期末考试试卷答案合集文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆，则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。

线性代数练习题及答案精编

线性代数练习题一选择题 1B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则必有:（） (A) 0A =或0=B . (B) 0A B == . (C) 0=A 或.0=B (D) 0A B == 2设1011,1101a b c d -??????= ??? ?-?????? 则a b c d ?? = ???（） (A)01. 11?? ?-?? (B)11. 10-?? ??? (C)11. 11-?? ??? (D)11. 01?? ?-?? 3若 A 为n m ?矩阵,且n m r A R <<=)(则( )必成立. （A ）A 中每一个阶数大于r 的子式全为零。（B ）A 是满秩矩阵。（C ）A 经初等变换可化为??? ? ??000r E （D ）A 中r 阶子式不全为零。 4 向量组 s ααα ,,21,线性无关的充分条件是( ) （A ） s ααα ,,21均不是零向量. （B ） s ααα ,,21中任一部分组线性无关. （C ） s ααα ,,21中任意两个向量的对应分量都不成比例. （D ） s ααα ,,21中任一向量均不能由其余S-1个向量线性表示. 5 齐次线性方程组0AX =是非齐次线性方程组AX B =的导出组,则( )必定成立. （A ）0AX =只有零解时, AX B =有唯一解. （B ）0AX =有非零解时, AX B =有无穷多解. （C ）α是θ=AX 的任意解,0γ 是AX B =的特解时,0γα+是AX B =的全部解. （D ）12γγ，是AX B =的解时, 21γγ+ 是0AX =的解. 6若θ≠B ,方程组B AX =中, 方程个数少于未知量个数，则有( )

线性代数试题和答案(精选版)

线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解

线性代数期末考试试卷答案

线性代数期末考试题样卷一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3. 向量组m a a a ，，，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。（） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

8线性代数练习题(带解题过程)

０线性代数试题一填空题 ◆1．设 A 为3阶方阵且 2 =A ，则 = -*-A A 231 ；【分析】只要与* A 有关的题，首先要想到公式， E A A A AA ==**，从中推你要的结论。这里1 1* 2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意：为什么是3 )1(- ◆2．设1 33322211 ,,α+α=βα+α=βα+α=β，如 3 21,,ααα线性相关，则3 21,,βββ线性 ______(相关) 如 3 21,,ααα线性无关，则 3 21,,βββ线性 ______(无关) 【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘

１法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。 ?? ?? ? ?????=110011101],,[],,[321321αααβββ，记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==，切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定是方阵！！ ◆3．设非齐次线性方程b x A m =?4 ，2)(=A r ，3 2 1 ,,ηη η是它的三个解，且 T T T )5,4,3,2(,)4,3,2,1(,)7,6,4,3(133221=+=+=+ηηηηηη 求该方程组的通解。(答案： T T T k k x )2,2,1,1()1,1,1,1()6,5,3,2(2 1 21++= ，形式不唯一) 【分析】对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数（也是解空间的维数）是多少，通解是如何构造的。其次要知道解得性质（齐次线性方程组的任意两解的线性

线性代数习题及答案(复旦版)

线性代数习题及答案习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13 (2) 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512 312 1 23 122x x x D x x x = 的展开式中包含3 x 和4 x 的项. 解：设 123412341234() 4 1234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素的行下标，则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 0010 30000004 ； (2) 1230 002030450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314) 4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式.

上海财经大学《线性代数》课程考试卷(B)及答案

诚实考试吾心不虚，公平竞争方显实力，考试失败尚有机会，考试舞弊前功尽弃。上海财经大学《线性代数》课程考试卷（B ）闭卷课程代码 105208 课程序号姓名学号班级一、单选题(每小题2分，共计20分) 1. 当=t 3 时，311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。 2. 设A 为三阶方阵，3A = ，则* 2A -=__-72__。 3. 设矩阵01000 01000010 00 0A ????? ?=?????? ，4k ≥,k 是正整数，则=k P 0 。 4. 设A 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2 26A A I +=，则 () 1 4A I -+= 2 2A I - 。 5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1，则 a 的取值为__1___。 6. 方程组1243400x x x x x ++=??+=? 的一个基础解系是 ???? ? ? ? ??--??????? ??-1101,0011 。 7. 设矩阵12422421A k --?? ?=-- ? ?--??，500050004A ?? ? = ? ?-?? ，且A 与B 相似，则=k 4 。 …………………………………………………………… 装订线…………………………………………………

8. 123,,ααα是R 3 的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ???? ? ??001100010 。 9. 已知413 1 210,32111 a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。 10. 设二次型222 12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5 4||< t 。二．选择题（每题3分，共15分） 1. 设A 为n 阶正交方阵，则下列等式中 C 成立。 (A) *A A =; (B)1*A A -= (C)()1T A A -=; (D) *T A A = 2. 矩阵 B 合同于145-?? ? - ? ??? (A) 151-?? ? ? ??? ; （B ）????? ??--321;（C ）???? ? ??112;（D ）121-?? ? - ? ?-?? 3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的（ C ）。（A ）充分必要条件；（B ）充分条件；（C ）必要条件；（D ）无关条件。 4．设,A B 都是n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（ B ）。（A ）必有一个等于零；（B ）都小于n ；（C ）必有一个等于n ；（D ）有一个小于n 。 5．123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系，则__B___也可作为齐次线性方程组 AX O =的基础解系。 (A) 1231231222,24,2αααααααα-+-+--+ （B ）1231212322,2,263αααααααα-+-+-+

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是 5 阶偶排列的是( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ). n! (A) k (B) n k (C) k 2 n(n 1) (D) k 2 3. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项. (A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)! 0 0 0 1 4． 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 0 0 1 0 5.0 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 2x x 1 1 6．在函数 1 x 1 2 f (x) 中 3 2 x 3 3 x 项的系数是( ). 0 0 0 1 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 1

7. 若 a a a 11 12 13 1 D a a a ，则 21 22 23 2 a a a 31 32 33 2a a 13 a 33 a 11 a 31 2a 12 2a 32 11 D 2a a a 2a ( ). 1 21 23 21 22 2a 31 (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 a a 11 ，则 12 8．若 a a a 21 22 a 12 a 11 ka 22 ka 21 ( ). 2 (D) k2a (A) ka (B) ka (C) k a 9．已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ). (A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 2 8 7 4 3 10. 若 6 2 3 1 D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). 1 1 1 1

线性代数试卷及答案

《线性代数A 》试题（A 卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：题号一二三四五六七总分得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A 经过初等行变换变为B ，则（）.(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <； () B ()()r A r B =； ()C ()()r A r B >； () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2．设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =，则（）。 () A A 中有一行元素全为零； () B A 有两行（列）元素对应成比例； () C A 中必有一行为其余行的线性组合； () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4．下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是（） () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠；

() B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ； 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为（）。 ()A 1； () B 11n -； () C 1-； () D 11 n -. 6．四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于（）。 ()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； () C 12123434()()a a b b a a b b --； () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵* A 的行列式为（）。 ()A b ； () B 2b ； () C 3b ； () D 4b 8．设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=（） () n A I ； ()3n B A I +； ()3n C A I --； ()D 3n A I + 9．设A ，B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（）。 ()A A 与B 的秩相同； ()B A 与B 的特征值相同； () C A 与B 的特征矩阵相同； () D A 与B 的行列式相同；

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