第5讲 任意角的三角函数、诱导公式及三角恒等变换
【高考要求】
1.高考命题要点：（1）任意角的概念 （2）三角函数的定义 （3）同角三角函数的关系 （4）三角函数诱导公式的运用 （5）两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （6）倍角（半角）公式 （7）公式的正运、逆用、变形运用
2.高考命题趋势：
（1）任意角的三角函数及诱导公式在高考中主要考查三角函数中的求值、化简问题。涉及的主要内容有：用两种度量角的单位制表示角；任意角的三角函数的定义；同角三角函数的关系；诱导公式。从近几年高考来看，一般以给角求值、给值求值、给值求角为主，其中多以在限定角所在范围的情境下求值为命题的热点，同时注重考查公式的灵活运用、式子的有效转化，通常用“1”的代换、弦化切、切化弦等方法来达到化简的目的。
（2）三角恒等变换高考中主要与三角的求值、化简以及三角函数的性质相结合的试题为主，重点考查学生的基本运算能力与化归、转化的数学思想，在三角恒等变换过程中，准确的记忆公式，适当地变换式子，有效地选取公式是解决问题的关键。
【基础知识回顾】
1.扇形的弧长公式：l R α=
2.扇形的面积公式：2
112
2
S R lR α=
=
3.三角函数的定义公式：(1)sin ;(2)cos ;(3)tan ;cot y x y x r
r
x
y
αααα=
=
=
=
sec ;csc .r r x
y
αα=
=
（其中角α的终边经过点(,),P x y r =
4.同角三角函数的基本公式：22
sin sin cos 1;tan cos ααααα
+==
5.诱导公式记忆法：2
k π
α?
+与α的关系是：“奇余偶同，象限定号”。
6.两角和与差公式基本公式： 公式组一
βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ β
αβαβαsin sin cos cos )cos(+=-余余正正，中间反
β
αβαβαsin cos cos sin )sin(+=+
β
αβαβαsin cos cos sin )sin(-=-正余余正，中间同
β
αβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=
+
β
αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=
-
公式组二:
α
ααcos sin 22sin = ααααα2
222
sin 211cos 2sin cos
2cos -=-=-=
α
αα2
tan
1tan 22tan -=
2
cos 12
sin
α
α
-±
=
2
cos 12
cos
α
α
+±
=
,
sin 1cos tan
21cos sin ααααα
-==+
注:⑴以上公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如
tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβ+-=+ ，2
1cos cos
2
2
α
α
+=
，2
sin
2
α
=
1cos 2
α
-等
从而可做到:正用、逆用、变形用，灵活使用各公式. ⑵三角函数恒等变形的基本策略。
①常值代换：特别是用“1”的代换，如221cos sin tan cot tan 45x x αα?
=+=?=等。 ②项的分拆与角的配凑。如分拆项：222222sin 2cos (sin cos )cos 1cos x x x x x x +=++=+; 配凑角(常用角变换):2()()ααβαβ=++-、2()()βαβαβ=+--、2
2
αβ
αβ
α+-=
+
2
2
αβ
αβ
β+-=
-
、()ααββ=+-等.
③降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。（降次升角，升次扩角） ④化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
⑤引入辅助角。sin cos )a b θθθ?+=
+，
这里辅助角?所在象限由,a b 的符号确定，?角的值由tan b a
?=
确定。
【例题解析】 【典例1】已知32
4
π
πβα<<<
,123cos(),sin()13
5
αβαβ-=
+=-
,求sin 2α的值。
【典例2】设关于x 的函数2
2cos 2cos (21)y x a x a =--+的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=
2
1的
a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.
【典例3】已知A B C ?的面积为3，且满足06AB AC ≤?≤ ，设AB 和A C
的夹角为θ。
（1）求θ的取值范围; (2)
求函数2
()2sin ()24
f π
θθθ=+-的最大值与最小值。
【典例4】是否存在实数a ，使函数2
53sin cos 8
2
y x a x a =++-
在
[0,
]2
π
上的最大值为1？
若存在，求出对应的a 值；若不存在，请说明理由。
【强化练习】
1.已知sin()2sin(),2
π
παα-=-+则sin cos αα?=
2.已知tan sin(),2
x x π
=+则sin x =
3.已知
1sin 1cos 2
x x
+=-
，则
cos sin 1
x x -的值为
4.已知1sin cos (0)5
x x x π+=
<<，则tan x =
5.设()sin()cos()4f x a x b x παπβ=++++，其中,,,,a b R αβ∈且0,ab ≠k απ≠
()k Z ∈。若(2010)5,f =则(2013)f =
6.
若
cos 22
sin()
4
απα=--
则cos sin αα+=
7.
若1(0,
),cos()sin(
)2
2
2
2
2
π
β
α
αβαβ∈-
=
-=-
、，则cos()αβ+=
8.非零向量(sin ,2),(cos ,1)a b θθ== ，若a 与b 共线，则tan()4
π
θ-=
9.设3(
,
)4
4
π
πα∈(0,
)4
π
β∈,3cos()4
5
π
α-
=
,35sin(
)4
13
πβ+=
，则sin()αβ+=
10.已知0,4παβ<<为函数()cos(2)8f x x π
=+的最小正周期，1
(tan(),1),4
a αβ=+- (cos ,2)
b α= ，且a b m ?= ，求
22cos sin 2()
cos sin ααβαα
++-的值
11.已知83
αβπ-=
且()k k z απ≠∈,求
2
1cos()4sin (
)14
4
sin
2
sin
2
παπ
β
α
α
----
-的最大值及取最大值
时的条件
12.已知()()4cos ,sin ,cos ,sin ,(cos ,sin )5cos O M O N x x PQ x x ααα
===-+
（1）当4
cos 5sin x
α=
时，求函数y O N PQ =?
的最小正周期；
（2）当12,13
O M O N O M ?= ∥,,PQ x x αα-+
都是锐角时，求cos 2α的值。
13.
已知cos sin sin cos αβαβ+=
+的取值范围是D ，x D ∈，
求函数12
log 410
y x =+的
最小值，并求取得最小值时x 的值
14.若函数)()0(cos sin sin
)(2
为常数的图象与直线m m y a ax ax ax x f =>-=相切，
并且切点的横坐标依次成的等差数列，且公差为
.2
π
（I ）求m 的值；
（II ）若点00(,)A x y 是)(x f y =图象的对称中心，且]2
,0[0π
∈x ，求点A 的坐标.
设计思路： 教师是学习活动的引导者和组织者，学生是课堂的主人。教师在教学中要充分体现教师的导向作用，尊重学生的个体差异，选择适合自己的学习方式，鼓励学生自主探索与合作交流，让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生的直觉并且运用基本方法进行相关的验证，指导学生注重数学知识之间的联系，不断提高解决问题的能力。 教学过程： 师生问好，组织上课。 师：我们在初一第二学期就已经学习了乘法完全平方公式,请一位同学用文字语言来描述一下这个公式的内容？ 生1：（答略） 师：你能用符号语言来表示这个公式吗？ 生1：（a＋b）2=a2＋2ab＋b2（a－b）2=a2－2ab＋b2 师：不错，请坐。由此我们可以看出完全平方公式其实包含几个公式？ 生齐答：两个。 师：接下来有两道填空题，我们该怎么进行填空？ a2＋＋1=(a＋1)24a2－4ab＋=(2a－b)2 生2：（答略） 师：你能否告诉大家，你是根据什么来进行填空的吗？ 生2：根据完全平方公式，将等号右边的展开。 师：很好。（将四个式子分别标上○1○2○3○4） 问题：○1、○2两个式子由左往右是什么变形？ ○3、○4两个式子由左往右是什么变形？ 生3：（答略） 师：刚才的○1和○2是我们以前学过的完全平方公式，那么将这两个公式反过来就有：
a2＋2ab＋b2=（a＋b）2a2－2ab＋b2=（a－b）2（板书） 问题：这两个式子由左到右的变形又是什么呢？ 生齐答：因式分解。 师：可以看出，我们已将左边多项式写成完全平方的形式，即将左边的多项式分解因式了。 这两个公式我们也将它们称之为完全平方公式，也是我们今天来共同学习的知识（板书课题） 师：既然这两个是公式，那么我们以后遇到形如这种类型的多项式可以直接运用这个公式进行分解。这个公式到底有哪些特征呢？请同学们仔细观察思考一下，同座的或前后的同学可以讨论一下。 （经过讨论之后） 生4：左边是三项，右边是完全平方的形式。 生5：左边有两项能够写成平方和的形式。 师：说得很好，其他同学有没有补充的？ 生6：还有一项是两个数的乘积的2倍。 师：这“两个数的乘积”中“两个数”是不是任意的？ 生6：不是，而是刚才两项的底数。 师：刚才三位同学都回答得不错，每人都找出了一些特征。再请一位同学来综合一下。 生7：左边的多项式要有三项，有两项是平方和的形式，还有一项是这两个数的积的2倍。右边是两个数的和或差的平方。 教师在学生回答的基础上总结： 1)多项式是三项式 2)有两项都为正且能够写成平方的形式 3)另一项是刚才写成平方项两底数乘积的2倍，但这一项可以是正，也可以是负 4)等号右边为两平方项底数和或差的平方。
第 18 讲 任意角的三角函数及基本公式 （第课时） 任意角的三角函数? ? ?? ? ? ? ?? ??? ????? ?? ??????? ±±--?±?+????? ????? ??的函数关系与以及的函数关系 与以及的函数关系与的函数关系与诱导公式倒数关系式 商数关系式平方关系式系式同角三角函数的基本关任意角三角函数定义 弧度制角的概念的扩充三角函数的概念ααπαπααααααα232360180360k 重点：1．任意角三角函数的定义；2．同角三角函数关系式；3．诱导公式。 难点：1．正确选用三角函数关系式和诱导公式；2．公式的理解和应用。 2．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；3．掌握同角三角函数的基本关系式；4. 掌握正弦、余弦的诱导公式。 ⑴ 角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的，射线旋转开始的位置叫做角的始边，旋转终止的位置叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点。 ⑵ 射线逆时针旋转而成的角叫正角。射线顺时针旋转而成的角叫负角。射线没有任何旋转所成的角叫零角。 2．弧度制 ⑴ 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。用“弧度” 作单位来度量角的制度叫做“弧度制”。 注意：1sin 表示1弧度角的正弦，2sin 表示2弧度角的正弦，它们与?1sin 、?2sin 不是
一回事。 ⑵ 一个圆心角所对的弧长与其半径的比就是这个角的弧度数的绝对值。正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。 ⑶ 设一个角的弧度数为α，则 r l = α （l 为这角所对的弧长，r 为半径）。 ⑷ 所有大小不同的角组成的集合与实数集是一一对应的，这个对应是利用角的弧度制建立的。 ⑸ 1π=?弧度，1弧度?=)180 ( 。 设扇形的弧长为l ，扇形面积为S ，圆心角大小为α弧度，半径为r ， 则 αr l = ，α22 1 21r lr S == 。 3．角的集合表示 ⑴ 终边相同的角 设β表示所有终边与角α终边相同的角（始边也相同），则 αβ+??=360k （也可记为 απβ+=k 2 Z k ∈） 。 ⑵ 区域角 介于某两条终边间的角叫做区域角。例如 ?+??<
学习《教师的境界与教育》心得体会 铜仁市第七小学教师：何华 2018年7月8日我阅读了陶志琼教授的《教师的境界与教育》一书，体会到了“教师”---这一崇高的职业，在人们的心中，教师是知识的化身，是智慧的灵泉，是道德的典范，是人格的楷模，是先进思想文化的传播者。李云玲叶澜教授说：没有教师的发展，难有学生的发展，没有教师的解放，难有学生的解放；没有教师的创造，难有学生的创造，没有教师的转型，难有学生的转变。而在人类社会发展进程中，教师也承担着人类文明的传播，新生代的培养，各种社会所需人才的造就等艰巨任务，面对千差万别的人，教师必须有着良好的师德师风才能以德服人。现行我们国家对教师提出了“爱国守法、爱岗敬业、关爱学生、教书育人、为人师表、终身学习”的职业道德规范，认真学习之后，我有了以下几点体会。 第一、教师作为一个平凡又特殊的职业，教师的道德水准高低将与民族的存亡，国家的命运息息相关。可以说，没有教师的社会劳动，没有教师道德的高素质，便没有新一代民族素质的提高。因此，教师应以德立教，以身示教，与时代同步，锻造不朽师魂，要铸师魂先立德。因此，教师应该热爱教育事业，坚定忠诚于党的教育事业的信念。教师从一选择教师职业，就应具备“捧着一颗心来，不带半根草去”、决不为外物所动的胆魂与气概。这就完全取决于教师正确的人生观、世界观以及价值观的确立。
第二、教师应该热爱学生。热爱教育事业是一种理想与情感，爱学生才是实施教育的基本着力点。爱是教育的基本要素——“没有爱便没有教育”。爱生不仅是教师人品、学识、情感与亲和力的展现，实际上是倾注了教师对祖国、对人类、对未来的热爱。因此，爱生是衡量一个教师师德水平的一把基本尺子。“爱是一门艺术”。能爱是一个层面，善爱则是另一个层面。作为教师，爱的形式与内容，就是教师品德、学识和情感的结晶。因此，教师要做到能爱、善爱：要爱学生成长过程中的每一微小“闪光点”；要爱他们具有极大的可塑性；要爱他们在教育过程中的主体能动性；要爱他们成长过程中孕育出来的一串串教育劳动成果。爱要一视同仁，持之以恒；爱要以爱动其心，以严导其行；爱要以理解，尊重、信伍为基础。只有这样的爱，才是以德立教。只有以德立教的爱，才能爱出师生间的师生谊。随着素质教育改革的不断深化，“爱生”的意义也在不断地得到升华。爱的双向功能是现代教育中的媒介，不热爱学生的老师，学生决不会欢迎他。因此，“爱生”是现代教育衡量每一位教师是否称职的重要标志。 第三、教师应当勤奋学习，走在时代和学生发展的前头。教师担负着教书育人的重任，是从事精神产品生产的劳动者，因之必须有真才实学。陶行知先生说：“教师对自己从事的教学工作抱什么态度，对掌握业务专门知识抱什么态度，这也是师德问题。”面对当今时代的发展，社会的进步，科技的飞跃，以及学生成长对“学高为师，身正为范”的挑战，教师如果不强化“自育”意识，自律
教师的几个层次与境界 1．教师的含义 关于教师的含义，在古代，以韩愈在《师说》中的表述为代表，即 师者，所以传道、授业、解惑也。 在近现代,教师特指专门学科的讲授者，而前苏联的加里宁认为，教师就是有威望的、明智的、对人们有巨大影响的人。 针对教师的这些刻画和描述，都能在一定程度上反映教师的职业内涵。 2．教师的专业特点 一般地，教师的工作具有如下特点： 教师的工作完全是为了学生，教师的工作需要专业知识、专业经验、专业判断，教师必须经过长期的培训、严格的资格考核，教师的工作需要有充裕的专业自主空间，教师的工作必须有足够的监察与纪律，教师的社会地位在于教师的不断学习。 3．教师劳动的特点 首先是复杂性，即教师劳动的目的和任务，与教师劳动的对象-学生，是复杂的，劳动方式和影响因素也是复杂的。 其次是创造性，具体先在：需要对不同对象的因材施教，对教学内容的加工处理，对教学原则和方法的遵循与运用。 第三是示范性，即身教胜于严教。 最后是长期性，具体表现在人才培养的周期长，教师劳动成果显效时间长，劳动成果的效用十分长久。 4．教师的知识 教师的知识结构包括两方面：一是关于理论方面的知识，即学科专业知识和教育理论知识；二是关于实践的知识，即，教师在面临实现有目的行为中所具有的课堂情境知识及与之相关的知识，包括案例知识（学科教学的特殊案例、个别经验）与策略知识（运用原理于案例的策略，核心是反思）。除此之外，条件性知识与底部宽厚的文化知识，也构成教师知识结构的不可或缺的组成部分。 教师成长的关键在于，将外在的理论知识通过自己的反思转化为自己自觉的教学行为。就教师知识的积累和发展来说，需要细于留心，善于积累，乐于交流，勤于反思。 5．现代教师的专业能力结构 通常情况下，我们认为，现代中小学教师，其专业能力应该包含教师的教育能力、教师的教学能力、教师的反思能力和教师的科研能力（如上图所示）。 6．教师人格的三境界 （1）经师——韩愈说：“师者，传道、授业、解惑也”。经师是指教师就像传道士一样，严肃、严格、严谨地对待每一位学生，做一位不误人子弟的合格教师。（对教师最起码的要求） （2）能师——具有教育智慧的专家型、研究型教师，有深厚的专业功底、独特的教学风格和教学艺术，出色的教学效果，对教育教学有高水平的研究成果。 （3）人师——教师人格修养的最高境界，是对教师的最高要求。人师以自身独特、高尚的人格魅力去塑造学生人格，以自己的德、才、情给学生以潜移默化、终生受益的影响和感化。该境界是教师完善自我、实现自我、超越自我的享受境界。 7．教师的几个层次 有学者认为，教师分为若干个层次：大教师，好教师，教书匠，以教谋生者，与因教
第五章教师与学生 第一节教师 一、教师职业的性质和特点 （一）教师职业的性质：专业性职业，教师是专业人员；促进个体社会化的职业。 （二）教师职业的特点：职业角色的多样化：传道者、授业解惑者、管理者、示范者、父母与朋友、研究者。 二、教师职业专业化的条件 （一）需要有学科专业素养。不仅包括专业知识，而且包括一定的科研能力。 （二）需要有教育专业的素养。教育理论、理解教育的本质、现代教育观念、掌握教育艺术等。首先要对教育的功能有全面的认识，教育有两个最基本的功能：满足社会发 展的需要和促进人自身的发展。人的发展，学生的发展，既是教育的终极目标，也 是教育的社会功能得以实现的必要条件。一方面要让学生得到多方面的发展，另一 方面又要为学生个性的发展提供充分的机会和良好的氛围，促进每个学生的特点、 优势的发展。而且，要着眼未来，使学生能获得终身发展的能力，对未来的适应能 力、继续学习的能力、接受挑战并改造环境的能力等。 （三）需要与教师职业有关的特殊要求，比如语言表达能力等。 第二节学生 教师应该吃透两头：充分理解教材和充分认识学生。 一、学生的本质属性 1、学生是处于迅速发展时期的人。他们有很大的可塑性。进入学校后，社会性因素 对个体发展的制约作用逐渐加大。推动个体从自然人向社会人转变的动力，是社会 环境对个体的客观要求所引起的需要与个体的发展水平之间的矛盾，这一矛盾运动 的阶段性完成是个体和客观现实之间相互作用的结果，是个体在参加社会实践活动 中发生的。 2、学生是具有能动性和自我教育可能性的受教育对象。学生的发展性和不成熟性是 一个问题的两个方面。学生具有依赖性和向师性，即盲目信任教师的特点。同时， 要培养学生独立、自立的发展意识和能力，发展学生自我教育能力。 二、学生的社会地位 1、青少年是权利的主体。从法制上讲，青少年是独立的社会个体。1989联合国《儿 童权利公约》：保护儿童的原则。 2、青少年的合法权利。（1）生存的权利。《宪法》：父母有抚养未成年子女的义务。《未 成年人保护法》：父母或其它监护人应当依法履行对未成年人的监护职责和抚养义 务，不得虐待、遗弃未成年人；不得歧视女性示成年人或者有残疾的未成年人；禁 止溺婴、弃婴。（2）受教育的权利。《宪法》《义务教育法》（3）受尊重的权利。《未 成年人保护法》：不得体罚等行为。（4）安全的权利。《未成年人保护法》
数学教案的运用完全平方公式法 1。使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法； 2。理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力。 3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力． 4．通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。 1。问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解。我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法。 2。把下列各式分解因式： (1)ax4－ax2 (2)16m4－n4。 解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1) (2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2 =(4m2+n2)(4m2－n2) =(4m2+n2)(2m+n)(2m－n)。 问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?
答：有完全平方公式。 请写出完全平方公式。 完全平方公式是： (a+b)2=a2+2ab+b2， (a－b)2=a2－2ab+b2。 这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解。 和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2。 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。式子 a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式。运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式。 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式。 问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2； (3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1。
《任意角的三角函数》第一课时教学设计 会宁县第二中学数学教研组曹蕊 一、教学内容分析 本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。二、学生情况分析 本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。 三、教学目标 知识与技能目标:借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。 方法与过程目标:在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。 情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。 四、教学重、难点分析： 重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。 五、教学方法与策略： 教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学. 六、教具、教学媒体准备： 为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维． 七、教学过程 （一）教学情景 1．复习锐角三角函数的定义 问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图1（课件中）在直角△POM中，∠M是直角，那么根据锐角三角函数的定义，∠O的正弦、余弦和正切分别是什么？
第六章教师与学生 第一节教师 填空：西方古代祭司就是教师。 填空：西方中世纪教师大多是神职人员。 填空：1861年，法国基督教兄弟会神甫拉萨尔在兰斯创立了世界上第一所师资培训学校。 填空：专业化是当今世界教师职业和教师教育的一种趋势。 填空：我国《教师法》规定：“教师是履行教育教学职责的专业人员，承担教书育人，培养社会主义事业建设者和接班人、提高民族素质的使命。 教师职业的专业性体现在哪几方面？ 1.专业功能与专业伦理； 2.专业知识和技能； 3.专业训练和资格； 4.专业自主； 5.专业组织或专业团体； 6.专用地位。 填空：中小学教师这种职业的功能表现在：促进所有学生全面发展，使社会更加文明进步。伦理规定《中小学教师职业道德规范》 填空：教师有两个专业：一个是所教学科的专业知识和技能；另一个是教育专业的知识和技能。 填空：教师对自己专业范围内的事情有自主权。 辨析：教学有法而无定法？ 答：“此题正确，教师专业技能有技艺性、经验性。教学是一种艺术。 填空：教师的专业地位是指教师在社会各行各业中所处的社会地位和经济、政治待遇的高低。 填空：教师的经济地位分三种：高于型、相等型、低于型。 教师劳动的特点有哪几方面？ 1.劳动对象的复杂性； 2.劳动手段的主体性； 3.劳动时间的延续性； 4.劳动空间的室内性； 5.劳动成果精神性。 填空：教师角色是指教师根据社会、学生的期望和职责要求，而表现出来的行为模式。 填空：教师的角色是随着社会和教育的发展而变化的。
现代教师应扮演的角色？ 1.诊断者； 2.传授者； 3.指导者； 4.评价者； 5.管理者； 6.研究者； 7.协调员填空：诊断者：是指教师应对学生现有的各方面情况、特点、原因等进行了解、分析和判断。诊断者的目的在于因材施教。 教师怎样才能做好诊断者？ 1.教师要掌握关于人的一系列知识。 2.教师需要掌握一系列教育诊断的工具和方法。 3.教师多做诊断性评价的工作。 填空：韩愈说：“师者，所以传道授业解惑也。”教师最原始最基本的角色是传道者。 传授者对教师的要求？ 1.自己勤于学习，知识丰富，注重修养，品行端正。 2.教师还要掌握传授的方法和技能，既要善于言传，更要注重身教。 填空：陶行知说“学为人师，行为世范。”体现传授者。 论述：指导者？ 指导者角色，是指教师要善于引导和帮助学生自主学习、自我管理、自我教育。知道的主要内容是两方面，一是学习指导，而是生活指导。 教师为什么要做好指导者？ 由于社会的发展，文化的繁荣，人们获取信息的渠道更加多样化。对学生自主发展的要求更高了。现代社会是一个急速发展的社会，容易产生心理和精神上的紧张和压力。需要教师给与指导和帮助。 教师怎样才能做好一个指导者？ 1.要了解学生发展的知识。 2.要有与学生平等交流的态度。 3.教师要懂得思想指导、行为指导、心理辅导的知识和方法。 4.建立学习、生活与心理辅导的机制。 5.教师自己要善于自主学习，努力保持心里的健康和身心的快乐。
我的教育梦 ——做一名有境界的教师 人们常把天真烂漫的小学生比作是“祖国的花朵”，而老师自然是“园丁”。我心目中理想的小学教师，就是那辛勤忙碌与于“花丛”的园丁。何谓理想的小学教师？那就是有境界的教师。怎样才算是一名有境界的教师? 做一个有温度的教师 充满温情和爱心是教师的第一素质要求。教育需要以爱作支撑，没有爱就没有真正的教育。没有爱心的老师就不可能爱岗位，爱学生。在推行素质教育的今天，教师必须以一种宽容、理解和接纳的态度来认识和看待学生，从人性化的角度去理解、教育学生，以心换心。 教师的爱润物无声，教师的爱感天动地，教师的爱纯洁无暇。我相信：有心的地方，就会有发现；有发现的地方，就会有欣赏；有欣赏的地方，就会有爱；有爱的地方，就有了希望。 爱是具体的，教师的爱是多方面的。我想，要在以下方面体现出具有职业特色的深深师爱： 一要俯下身子，做学生倾诉心声的听众。 二要放下架子，当学生快乐学习的朋友。 三要摘下镜子，成为学生幸福成长的导师。每个人都有自己的闪光点，教师应该用赏识的眼光看待每一个学生，特别是对于“后进生”，教师一定要摘下有色镜子，用发展的眼光，倾注更多的时间和耐心来对待他们。“精诚所至，金石为开”，他们并非“朽木不可雕”。“ 做一个有深度的教师 我认为，教师的深度着重要体现出教师的职业素养。 在信息爆炸的时代，作为一名教师，更加需要静下心来多学一点、学深一点、学好一点，争做一名有素养的教师。 如何做一个有深度的教师?我认为，要从以下三个方面去努力： 一是要不断地加强学习，与时俱进。我们只有不断地学习，才能迎接时代的挑战。 二是要不断地研究教育艺术和教学规律。教育是艺术，面对新生代，如果我们还是老办法，有时候可能真的“没办法”了。新的一代，思想更活跃，视野更宽阔，不研究教育艺术，不学会从他们的角度去想事情、看问题，我们就难以走进他们的心灵，就难以开展有效的教育。
运用公式法 教学设计示例――完全平方公式(1) 教学目标1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．4．通过分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。教学重点和难点重点：运用完全平方式分解因式. 难点：灵活运用完全平方公式公解因式.教学过程设计一、复习1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法. 2.把下列各式分解因式：(1)ax4－ax2 (2)16m4－n4. 解(1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2=(4m2+n2)(4m2－n2)=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式? 答：有完全平方公式.请写出完全平方公式. 完全平方公式是：(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2. 这节1 ————来源网络整理，仅供供参考
课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解. 二、新课和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2；a2－2ab+b2=(a－b)2. 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式. 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式. 问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2；(3)25x4－10x2+1；(4)16a2+1. 答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以x2+6x+9=(x+3) . (2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy. (3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以25x －10x +1=(5x－1) . (4)不是完全平方式.因为缺第三部分. 请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=? 答：完全平方公式为：其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y. ————来源网络整理，仅供供参考 2
【巩固练习】 1．角θ的终边经过点12? ? ? ??? ，那么tan θ的值为（ ） A ．12 B ．- C ． D ．2．若角0420的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（ ） A ．34 B ．34- C ．34± D ．3 3．下列三角函数值结果为正的是（ ） A ．cos100° B ．sin700° C ．2tan 3π??- ??? D ．9sin 4π??- ??? 4．化简0sin 390的值是（ ） A ． 12B ．12-C ．5．若42π π θ<<，则下列不等式成立的是（ ） A ．sin θ＞cos θ＞tan θ B ．cos θ＞tan θ＞sin θ C ．sin θ＞tan θ＞cos θ D ．tan θ＞sin θ＞cos θ 6．设α角属于第二象限，且2cos 2cos α α -=，则2 α角属于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7．若θ为锐角且2cos cos 1-=--θθ，则θθ1cos cos -+的值为（ ） A ．22 B ．6 C ．6 D ．4 8．若cos θ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．5sin90°+2cos0°―3sin270°+10cos180°=________。 10．若α为第二象限角，则|sin |cos sin |cos | αααα-=________。 11．已知角α的终边经过点(230,2cos30)P sin -o o ，则cos α=。 12．已知角α的终边在直线2y x =上，则sin α=。
《教师的五重境界》读书摘记 我将自己这些年从教的经历回顾了一遍，根据我对教师职业的理解将其划分成五个不同的阶段。 第一个阶段：教知识。 我初上讲台时，教初中数学。我满脑子想的都是教材教法，想着怎么样把每节课的知识点落实。教学目标是什么？教学重点、难点是什么？如何引入？如何设计变式训练？单元测试结果出来后，学生成绩在年级里名列前茅我就欢欣鼓舞，平均分不佳就急火攻心，然后花更多的时间去练习、讲解。那时候，年级里教我班的平行班的是另一位老教师，也是学校安排给我的带教教师。我使出浑身解数，所教班级的平均分居然与她的班级不相上下，算是初步站稳脚跟。 第二个阶段：教方法。 教了几年之后，我逐渐把关注点从教转移到学生的学。同样在一个课堂里听课，每个学生的学习结果却迥异。于是我开始尝试理解学生的学习过程，把自己放到学生的位置上，想象他们在学习时会遇到什么问题。我领悟到数学与数学教育是完全不同的两个领域，自己在大学里学到的那些数学知识并不能保证我成为一名优秀的数学教师。在这个阶段，我逐渐减少自己讲课的比重，而留给学生更多的时间去预习、探究、试错乃至请学生上台讲题。总之，一切能够提高学生学习效果的方法我都愿意去尝试。这一阶段的成果是，我教得不累，基本上不需要再占用数学课之外的时间，学生成绩却维持在较高的水平。
第三个阶段：教状态。 再后来，我注意到一个现象，那些学习成绩好的学生，哪怕数学学习能力并不突出，但通常都态度端正、学习认真；而那些看起来很聪明的学生，如果学习马虎，成绩就很可能不理想。有时候，你准备了一节课，设计很精彩，课上得也很顺利，为学生铺设的路径很巧妙，可有些学生根本就没听，对他来说效果等于零。于是，我开始用更多的时间去关注每一个学生的学习状态，判断哪些学生是真心喜爱学习，哪些是在被动应付，哪些学生悟性强，哪些学生虽然勤奋却学得吃力。在课上，我发现学生听课状态不理想时甚至会停下来给学生讲一个小故事以集中他们的注意力。课后也更加频繁地与学生谈心、沟通，对学生取得的点滴进步及时进行鼓励。在我发现学生的学习成绩基本上与其学习状态成正比后，我便更执着于发掘学生的内驱力，而慢慢放弃外在的推、拉乃至拖、拽，也变得更加有耐心。 第四个阶段：教人生。 在前面三个阶段奋斗了十多年后，我的教育视野有一天突然打开。回顾自己以往的努力，总还是离不开分数二字。无论是关注知识、方法还是状态，最终的目标还是指向学生的学习成绩。要完成这样一种顿悟并不容易，我经历了漫长的渐悟过程。我带过的第一届学生在工作之后回学校看望我，聊到他们当年的学习点滴，还聊到现在工作了才发现在学校里学到的哪些东西是有用的、哪些是没有用的，在那一刻我豁然开朗。我作为老师，看到那些曾经学习成绩优秀的学生长大之后很平庸而调皮的孩子却大有作为的时候，不由自主地去反思教
因式分解基础习题 （公式法） 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.24x - 2.2 9y - 3.21a - 4.224x y - 5.2125b - 6.222 x y z - 7.2240.019m b - 8.2219 a x - 9.2236m n - 10.2249x y - 11.220.8116a b - 12.222549p q - 13.2422a x b y - 14.41x - 15. 44411681 a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1.22()()x p x q +-+ 2. 22 (32)()m n m n +-- 3.2216()9()a b a b --+ 4.22 9()4()x y x y --+ 5.22()()a b c a b c ++-+- 6.22 4()a b c -+ 题型(三)：把下列各式分解因式 1.53x x - 2.22 4ax ay - 3.322ab ab -
4.316x x - 5.2433ax ay - 6.2 (25)4(52)x x x -+- 7.324x xy - 8.343 322x y x - 9.4416ma mb - 10.238(1)2a a a -++ 11.416ax a -+ 12.2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1.证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2.计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷222221 1111(1)(1)(1)(1)(1) 234910---???-- 专题训练二：利用完全平方公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.221x x ++ 2.2441a a ++ 3. 2169y y -+ 4.2 14m m ++ 5. 221x x -+ 6.2816a a -+
任意角的三角函数和弧度制 基础练习 一、选择题 1.下列选项中与－80°终边相同的角为（ ） A. 100° B. 260° C. 280° D. 380° 2.在平面直角坐标系中，角 3πα+ 的终边经过点P (1,2)，则sin α=（ ） 3.若5sin 13α=- ，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A. 125 B. 512- C. 512 D. 125 - 4.小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是 ( ) A. π3 B. π6 C. -π3 D. -π6 5.已知角α的终边经过点(sin 48,cos48)P ??，则 sin(12)α?-=（ ） A. 12 C. 12- D. 6.若12cos 13x = ，且x 为第四象限的角，则tanx 的值等于 A 、125 B 、－125 C 、512 D 、－512 7.若函数 ()cos 2()6f x x xf π=+'，则()3f π-与()3f π的大小关系是（ ） A. ()()33f f π π-= B. )3()3(ππf f <- C. )3()3(π πf f >- D. 不确定 8.若θ是第四象限角，则下列结论正确的是（ ） A ．sin 0>θ B ．cos 0<θ C ．tan 0>θ D ．sin tan 0>θθ 9.一扇形的中心角为2，对应的弧长为4，则此扇形的面积为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10.已知tan 2α ，其中α为三角形内角，则cos α=（） A. 5 - D.
二、填空题 11.若扇形的面积是1 cm 2,它的周长是4 cm,则扇形圆心角的弧度数为______. 12.已知角2α的终边落在x 轴下方，那么α是第 象限角． 13.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α=1 3，则 sin β=_________． 14.已知一扇形所在圆的半径为10cm ，扇形的周长是45cm ，那么这个扇形的圆心角为 弧度． 15.弧长为3π，圆心角为135°的扇形，其面积为____. 三、解答题 16.已知角α的终边经过点P (54，5 3-)． (1)求 sin α的值． (2) 17.(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个 同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的 半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）． （1）求θ关于x 的函数关系式； （2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为 9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最 大值？
第六章课程 课程是教育的内容,是教育目的的载体,回答“教什么”的问题。课程论是有关课程的理论，历史上有各种不同的课程理论派别。课程问题是教育领域中的一个永恒问题。课程改革是教育改革的核心。我国当前正在进行新一轮的基础教育课程改革。正是中国现代教育史上规模最大、投入最多、历时最长、参加人员最多、影响最为深远的一次课程改革。 回答“教什么”的问题 在一次学术研讨会上，与会者就课程改革遇到的问题进行了激烈的讨论。 一位教师说：“我是一名中学教师。对这次课程改革，我表示支持并积极参与。这次课程改革提出的一些新观点、新理念，我也非常赞同。但是，理论家告诉我们，课程既包括书本知识，又包括学生的活动经验；既有教材内容，又有教师、学生、环境；既有看得见的，又有看不见的；既有校内的，又有校外的。总之，我感觉理论家似乎在告诉我们处处是课程，时时有课程。这样的课程概念似乎有点玄、空。真到了实际工作中，我还是不知该如何理解和把握课程，还是不知该怎样做。” 第一节课程与课程理论 一、课程定义的维度 1.课程即教学科目 我国古代：“六艺”礼、乐、射、御、书、数 西方“七艺”：文法、修辞、辩证法、算术、集合、音乐、天文学 局限：未能包括学生在学校的活动中所获得的经验；忽略智力发展、创造力表现和个人成长等因素；未能包括课外活动和学校生活的经验；忽略涉及课程设计的工作，如教学策略、顺序程序、引起动机的方法、内容的诠释等。完整的课程，应该是学科课程、活动课程和潜在课程三者的有机统一，这样才有利于学生的知识建构、心智发展、情感陶冶和个性发展。 2.课程即学习经验 代表人物：杜威（美） 主要观点：把课程定义为学习经验，试图把握学生学到了什么。学生被视为有很大潜力的、独特的学习者，因此学生的经验是最为重要的。 局限：理论上讲，这种课程很具有吸引力，但是在实践中却很难实行。这种课程定义的维度未能指出何种经验应由学校或其他机构提供；会在一定程度上排除系统化知识的学习； 即使在教师的指导下，亦可能包含好的和不好的经验；未指出经验所要达到的结果，似乎以学习经验为目标。 3.课程即文化再生产 代表人物：鲍尔斯和金帝斯 主要观点：任何社会文化中的课程，实施上都是该种社会文化的反映，学校教育的职责是要再生产对下一代有用的知识和价值。政府有关部门根据国家需要来规定所教的知识、技能等，专业教育者的任务是要考虑如何把它们转换成可以传递给学生的课程。换言之，课程就是从某种社会文化里选择出来的材料。 局限：认为课程应该不加批判地再生产社会文化的想法是幼稚的，现实社会文化远非人们想象的那样合理。倘若教育者以为课程无须关注社会文化的变革，那么就会使现存的偏见永久化。 4.课程即社会改造的过程
提升教师的教育境界-《教学的道德尺度》简介 内容简介 《教师教育力译丛·提升教师的教育境界：教学的道德尺度》是一本富有思想的著作。美国著名教育理论家与教育改革的引领者约翰I.古德莱德携手美国众多资深教育专家，就学校教学中的道德这个看似老套的话题进行了深入的剖析，并试图完善学校教育与教学中的道德基础和道德举措。全书从道德与伦理的角度，对学校教学中的专业主义进行了重新定义，论述了美国公立教育的作用与功能、教师在民主社会中承担的道德角色以及教师与学生之间内在的道德伦理关系。书中提出的教师专业化、自由诚信原则、公立学校的道德责任、专业问责、行业道德准则等理念，对当代学校教育具有极高的借鉴价值。 在思考学生到底要学习什么以及怎样学习之时，学校教师及教育管理者们研读一下本书，从道德角度来进行探索，或许会豁然开朗！ 《教师教育力译丛·提升教师的教育境界：教学的道德尺度》被美国教育研究协会评论家甄选小组评为教育研究领域的杰出著作。 编辑推荐 早在20世纪80年代，美国著名教育理论家与教育改革的引领者约翰I．古德莱德(John I．Goodlad)就关注到了学校教育的道德问题。他携手美国众多资深教育专家，基于对美国中小学教师的教学状况及其在教育中遇到的道德问题进行反思与研究，编撰了本书——《提升教师的教育境界：教学的道德尺度》(作者约翰I.古德莱德、罗杰·索德、肯尼思A.斯罗特尼克)。书中反复提到“教学是一种道德活动”，“教师是道德教育者”，“教师要成为具有反思能力的道德行为者”，“学校是道德学习共同体”。这些理念也许算不上新颖，但足够让当下许多教育工作者感到震撼。 目录 序言 第1部分教学作为专业化职业的属性与责任 第1章学校中的教学职业 第2章论教师职业专业化 第3章教师专业化的限度 第4章关于教学作为专业化职业的道德思考 第2部分教育的道德使命及其对教学行业的影响 第5章公立学校的道德责任 第6章教师的法律责任与道德责任 第7章责任、信任与行业道德准则 第8章教师与学生：课堂中的道德交流 第9章学校——符合道德规范的学习共同体 第10章社会、学校教育、教学以及教师职前教育 书摘
第五章教师与学生测试题 一、单项选择题 1.当前教师队伍中存在着以教谋私，热衷于“有偿家教”现象，这实际上违背了（ D ）的职业道德。 A、爱岗敬业 B、依法执教 C 、严谨治学 D、廉洁从教 2.依据育人为本的理念，教师的下列做法中，不正确的是( D )。 A.培养学生特长 B.发展学生潜能 C.尊重学生个性 D.私拆学生信件 3.“多一把衡量的尺子，就会多出一批好学生”的理论依据是( C )。 A.个体需求具有层次性 B.气质类型具有多样性 C.人类智能具有多元性 D.人类发展具有共同性 4.《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010~2020)》提出，对中小学教师实行( D ) A.每两年一周期的全员培训 B.每三年一周期的全员培训 C.每七年一周期的全员培训 D.每五年一周期的全员培训 5.李老师就校务公开问题向学校提建议，李老师的做法是( A )。 A.行使教师权利 B.履行教师义务 C.影响学校的秩序 D.给学校出难题 6.张丽莉老师在2012年5月8日的一次交通事故中，为救学生而受重伤，致使双腿截肢。张丽莉的行为体现了她( B )。 A.终身学习，爱国守法 B.关爱学生，行为世范 C.因材施教，为人师表 D.作风正派，关心集体 7.课间，小莉正在同学面前大声朗读小娟的日记，被走进教室的小娟发现，小娟找到班主任诉说此事，班主任最恰当的做法是( A )。 A.制止小莉这种行为 B.批评小娟总是告状 C.劝说小莉不要声张 D.劝说小娟宽容小莉 8.班主任张老师按照学生的期中考试成绩调整座位，将考试成绩后5名的学生安排在教师的最后一排。张老师的做法( B )。 A.是激发学生的重要手段 B.侵犯了学生的人格尊严 C.是管理班级的有效手段 D.侵犯了学生的受教育权 9.某县中学教师李某对学校给予他的处分不服，李某可以提出申诉的机构是( C )。 A.学校教工代表大会 B.当地县级人民政府