什么叫分数的拆分？
把一个分数拆成两个或两个以上分数的和或差的形式，叫做分数的拆分。
例如：
27
1541181+=； 30
1451181+=； 22
1991181+=； 3
12161-=； 4
131121-=；等等。
下面具体讲一下怎样把一个分数拆成两个分数的差。 当一个分数为
)1(1n ＋n ?的形式时，可以拆分为111n ＋－n 的形式（n 为自然数，且n 不为0） 即：1
11)1(1n ＋－n ＝n ＋n ? 例如：
5141541201-=?=；7161761421-=?=
分数拆分的具体应用 例·计算：42
13012011216121+++++ 7671171616151514141313121214213012011216121=-=-+-+-+-+-+=+++++
当分数的分子正好等于分母中两个因数的差时，这个分数也可以拆成两个分数之差。 例如：
9
171972632-=?=；
8
131835245-=?=；
7
141743283-=?=
用公式表示就是：当n 、n+d （n 不为0）都是自然数时，d
n n d n n d +-=+?11)(
具体应用： 计算：20
182181621614214122?+?+?+? 12
120
120118118116116114114112120
182181621614214122=+-+-+-+-=?+?+?+
?
d
n n d n n d +-=+?11)( 这个公式同学们已经熟悉了。对这个公式可以进行变形：
例如：
)8
131(5124551241-?=?= 因为8-3=5 所以提取一个5
1，当然，24也可以看成4×6，而6-4=2，所以也可以提取一个21，)6
141(2124221241-?=?=，这得看计算时的需要了。 练习：计算21
171171311391951511?+?+?+?+? 21
521
2041)21
11(41)211171171131131919151511(41)21
174171341394954514(4121
171171311391951511=?=-?=-+-+-+-+-?=?+?+?+?+??=?+?+?+?+?
1/1*5+1/5*9+1/9*13+1/13*17+1/17*21
=1/4*（1-1/5）+1/4*（1/5-1/9）+1/4*（1/9-1/13）+1/4*（1/13-1/17）+1/4* （1/17-1/21）=1/4*（1-1/5+1/5-1/9+1/9-1/13+1/13-1/17+1/17-1/21）
=1/4*20/21
=5/21
1/18=1/？+1/？
先求出分母18的所有约数：1、2、3、6、9、18
要使两个分数单位的和等于1/18，我们可以分别取两个18的约数，用1/18的分子、分母乘这两个约数的和，再通过分拆的办法得到满足两个分数单位的和等于1/18这个条件的一组数。
取1和2
1/18=（1+2）/18*（1+2）=1/18*3+2/18*3=1/54+1/27
取1和3
1/18=（1+3）/18*（1+3）=1/18*4+3/18*4=1/72+1/24
取1和6
1/18=（1+6）/18*（1+6）=1/18*7+6/18*7=1/126+1/21
等等
注意：取1和2与取3和6；1和3，2和6，3和9与6和18结果一样，知道为什么吗？1/24=1/（）+1/（）=1/（）+1/（）=1/（）+1/（）
24的约数有1、2、3、4、6、8、12、24
取1和2
1/24=（1+2）/24*（1+2）=1/24*3+2/24*3=1/72+1/36
取1和3
1/24=（1+3）/24*4=1/96+1/32
取1和4
1/24=（1+4）/24*5=1/120+1/30
分子是1的分数拆成两个分数单位之和的形式已经掌握了，如果分子不是1呢？现在就讨论一下这个问题。
例如：4/15=1/（）+1/（）
前面讲的方法仍然适用，先求出分母15的所有约数：1、3、5、15，但这时要保证所取两个约数的和必须是分子4的整数倍。
那同学们想一想，取1和5行吗？不行，因为1+5=6，6不能被4整除。
可以取1和3；3和5；1和15；5和15（结果同1和3）
取1和3
4/15=4*（1+3）/15*（1+3）=4*1/15*4+4*3/15*4=1/15+1/5
取3和5
4/15=4*（3+5）/15*（3+5）=4*3/15*8+4*5/15*8=1/10+1/6
取1和15
4/15=4*（1+15）/15*（1+15）=4*1/15*16+4*15/15*16=1/60+1/4
8/15=1/（）+1/（）=1/（）+1/（）
15的约数有1、3、5、15
取3和5
8/15=8*（3+5）/15*（3+5）=8*3/15*8+8*5/15*8=1/5+1/3
取1和15
8/15=8*（1+15）/15*（1+15）=8*1/15*16+8*15/15*16=1/30+1/2
已知两个分数单位的和是1/12，则这两个分数单位之差的最小值是多少？
12的约数有哪几个？要使两个分数单位之差最小，在取约数时就要取最接近的两个约数。12的约数有1、2、3、4、6、12
1和2，2和3，3和4都接近，用哪一组呢？
取1和2
1/12=1/12*3+2/12*3=1/36+1/18
取2和3
1/12=2/12*5+3/12*5=1/30+1/20
取3和4
1/12=3/12*7+4/12*7=1/28+1/21
那这三组比较应该是1/28和1/21
1/21-1/28=1/84
1、把1/2写成四个不同的分数单位之和。
2、把1/20拆成6个不同的分数单位之和。
3、把3/5写成3个不同的分数单位之和。
1、1/2=1/5+1/6+1/12+1/20
2、1/20=1/25+1/600+1/552+1/506+1/462+1/420
3、3/5=1/3+1/6+1/10
3、分数大小的比较
把下列各数按照从小到大的顺序排成一列。
3/7 5/13 9/16 15/28
分数大小的比较，传统方法一般是先考虑把这几个分数化成同分母的分数，再进行比较。但这道题如果这样做比较麻烦，仔细观察发现它们的分子的最小公倍数是45，可以把他们转化成同分子的分数，再进行比较就比较方便。
将下列各数按照从小到大的顺序排列。
73/84 46/57 89/100 25/36 51/62
这是5个真分数，仔细观察可以发现：每个分数的分子都比分母少11，根据这一特点，可以用“间接比较”的方法。现将这些分数与1相比。
73/84=1-11/84
46/57=1-11/57
89/100=1-11/100
25/36=1-11/36
51/62=1-11/62
根据被减数相同，减数越小得到的差就越大，可以比较出这几个分数的大小。
利用上面的方法，比较一下19/17和23/21的大小。
把下列各数按照从小到大的顺序排成一列。
3/7 5/13 9/16 15/28
3/7=45/105
5/13=45/117
9/16=45/80
15/28=45/84
利用上面的方法比较下面几个分数的大小：
1999/2001、2001/2003、2003/2005
1999/2001=1-2/2001
2001/2003=1-2/2003
2003/2005=1-2/2005
因为2/2001〉2/2003〉2/2005
所以1999/2001<2001/2003<2003/2005
再看一种类型的题。
比较111/1111和1111/11111的大小。
这种题可以利用“倒数法”来比较
111/1111的倒数是1111/111 即10又1/111
1111/11111的倒数是11111/1111 即10又1/1111
先比较他们倒数的大小，倒数大的原数就小，倒数小的原数反而大。
这样可以判断出哪个分数大了吧？
找出一个比4/5大，比5/6小的分数。
同学们先想一想，用什么方法？如果再加一个要求，找出一个符合条件的且分母最小的分数是不是9/11
分子与分子相加,分母与分母相加就可以了
同学们，你们知道吗？两千多年前，古埃及人总喜欢把分数转化成分子是1的分数来计算，所以后来人们常把分子是1的分数称埃及分数，我们也称之为单位分数。有些单位分数组合在一起构成了一些有趣的计算题。本专题中列举了许多例题，主要是为同学们提供“分数拆分”的方法，希望同学们认真学习，理解并记住拆分的几个公式，在解题中灵活的应用。 一、将一个分数拆分成两个分数单位相加。 把一个分数拆成两个或两个以上分数的和的形式，叫做分数的拆分。 怎样才能把一个分数拆成两个分数和的形式呢？我们以 通过上题可以看出，拆分主要有以下几个步骤： 叫做扩分。 注意：为什么要乘以5？因为5正好是分母6的两个质因数的和。 ③把分子拆成分母的两个质因数的和，再拆成两个分数的和。即： ④把拆开后的两个分数约分，化成最简分数。 二、把一个分数拆成几个分数的和 以上拆分的方法同样也适用于把一个分数拆成三个或三个以上分数的和。
解：18的约数有1、2、3、6、9、18。可以任意取其中三个约数，得到不同的解。 ……答案不只一种。 三、把一个分数拆成两个分数的差 能不能把一个分数拆成两个分数差的形式呢？观察下面的分数运算，看左右两边有什么关系。
观察下面几个分数的运算，左右两边有什么关系。 以上每个分数的分子d都是分母中两个因数的差。当n、n+d，都是自然 当d=1时，公式（2）则转化为公式（1）。利用公式（2）可以把一些分数拆成两个分数差的形式。 例5把下面各分数写成两个分数差的形式。
观察下面等式，左右两边有什么关系。 通过上面算式，可以得出这样的结论： 由此可知，一个分数可以根据需要拆成两个或若干个分数的和或两个分数的差的形式。 四、拆分方法在分数加法运算中的应用
思维训练分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。 分数裂项求和方法总结 （一）用裂项法求 1一型分数求和分析：因为n(n 1) 1 n(n 1) n(n 1) （n为自然数）所以有裂项公式: n（n 1） 【例1】 求丄 10 11 11 12 1的和。 59 60 【例2】 咕右）'11 1 1 10 60 1 12 用裂项法求 1 1 k(n 计算 n(n k) 1 1 - [2 5 1 15 n(n 1) 59 60) 型分数求和: k) n n(n k)] 分析： n（n k） 型。 （n,k 均为自然 数） 因为 n(n k) 所以n(n k)k( ； n k 9 11 11 13 13 15 7) 1 1) 丄(1 2 7 1 (1 9) 1(1 却 2、11 1 1 1 1 1 , 1 1、1(丄丄 2(13 15 1 13) 1 用裂项法求 9 11 11 13 型分数求和: n（n k） n n k n(n k) n(n k) n(n k) 13 分析：型（n,k均为自然数）n（n k） k 所以一- n(n k) n n k
(1 1 3 97 99 3200 9603 自然数） n(n k)( n 2k)( n 3k) 3k (n(n k^(n 2k) 1139 20520 I (n k)(n 2k)(n 3k) 【例3】 的和 97 99 98 99 (四) 1 3) (3 5 1 1 )( 5 1 7) 1 1 1 99 用裂项法求 型分数求和: n （n k ）（n 2k ） 分析: 2k n(n k)(n 2k) 【例4】 计算： 4 4 4 4 1 3 5 3 5 7 93 95 97 95 97 99 (1I II 3 15) (315 517)…( 1 1 )( 1 1 ) 3 93 95 95 9/ V 95 97 97 99, 1 1 （n,k 均为自然数） 【例5】 1 1 计算：1 2 3 4 2 3 4 5 1 17 18 19 20 3[(1 1 1 3[1 2 3 （丘 18 19 20] 1 17 18 19 1 18 19 20 )] （六）用裂项法求 3k n(n k)(n 2k)(n 3k) 型分数求和：分析: 3k n(n k)(n 2k)( n 3k) (n,k 2k n(n k)(n 2k) 1 1 n(n k) (n k)( n 2k) (五) 用裂项法求 型分数求和分析: n(n k)(n 2k)(n 3k) (n,k 均为 n(n k)(n 2k)(n 3k)
第十三讲 分数裂项与分拆 1. “裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 ①对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- ②对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有： 1111[]()(2)2()()(2) n n k n k k n n k n k n k =-?+?+?+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-?+?+?+?+?++?+?+
③对于分子不是1的情况我们有：?? ? ??+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h n n k k n n k ??=- ?++?? ()()()()() 21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()() 31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222h h n n k n k k n n k n k n k ??=-??+++++?? ()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k k n n k n k n k n k n k ??=-??++++++++?? ()()() 221111212122121n n n n n ??=+- ?-+-+?? 2. 裂差型裂项的三大关键特征： ①分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 ②分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” ③分母上几个因数间的差是一个定值。 3.复杂整数裂项型运算 复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。 整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，差数除以N 。N 取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。 需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。 此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。 4. “裂和”型运算
六年级奥数解析（六）分数的分拆 《奥赛天天练》第6讲《分数的分拆》。 分数的分拆就是把一个分数拆成几个分数的和或差的形式，一般都是分拆成几个分数单位和或差。 把一个单位分数分拆成几个单位分数的和或差，有一定的规律和方法，相关常识请查阅： 【原创】五年级奥数解析（六十四）单位分数 最常用的分拆规律有(可以通过计算加以验证)： (1)1n n 1?（＋）＝1n －1n 1 ＋ (2) n n ?a （＋a ）＝1n －1n ＋a 通过对算式中的部分分数进行分拆，使分拆后的某些项互相抵消，可以使一些复杂的分数计算变得简便。 《奥赛天天练》第6讲，模仿训练，练习1 【题目】： 计算：16＋112＋120＋…＋172＋190＋1110 。 【解析】： 仔细观察算式中分母，可以发现每个分数分母都可以分拆成相邻两个自然数的积。根据前面的规律（1）进行分拆，使其中的一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便：
1 6＋ 1 12 ＋ 1 20 ＋…＋ 1 72 ＋ 1 90 ＋ 1 110 ＝ 1 23 ? ＋ 1 34 ? ＋ 1 45 ? ＋…＋ 1 89 ? ＋ 1 910 ? ＋ 1 1011 ? ＝1 2 － 1 3 ＋ 1 3 － 1 4 ＋ 1 4 － 1 5 ＋…＋ 1 8 － 1 9 ＋ 1 9 － 1 10 ＋ 1 10 － 1 11 ＝1 2 － 1 11 ＝9 22 《奥赛天天练》第6讲，模仿训练，练习2 【题目】： 计算： 2 1113 ? ＋ 2 1315 ? ＋ 2 1517 ? ＋ 2 1719 ? ＋ 1 19 。 【解析】： 仔细观察，可以发现算式中前4个分数，分母中两个因数的差正好等于分子2，都可以分拆成两个单位分数之差，根据前面的规律（2）进行分拆，使其中的一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便： 2 1113?＋ 2 1315 ? ＋ 2 1517 ? ＋ 2 1719 ? ＋ 1 19 ＝1 11 ― 1 13 ＋ 1 13 ― 1 15 ＋ 1 15 ― 1 17 ＋ 1 17 ― 1 19 ＋ 1 19 ＝1 11 《奥赛天天练》第6讲，巩固训练，习题1【题目】： 计算：
2008年10月4日 六年级 基本公式：()111n n+1n n 1-+＝； 推广形式：()111n n+d d n n d ??-??+?? 1＝ 例1、计算：11111122334989999100+++++?????=（1－21）＋（21－31）＋（31－4 1）＋……＋（991－100 1）=1－1001=10099。 例2、计算：1111112612203042+++++=7 6； 例3、计算：1111111357911104088154238340+++++=20 336； 例4、计算：=?+++?++?++?+200120002001200043433232212122222222 200120004000 注意：拆分未必拆成两个分数之差，有的时候，需要拆成两个分数之和；可以利用公式： 11m+n m n mn +＝ 例5、计算：1111(1)(1)(1(1)2233441010 -?-?-??-???? (1120) 提示：1n n 1(n 1)(n 1)1n n n n n n ?--+- ==???。 解：原式＝1324359112233441010????????????……＝111210?＝1120 例6、计算：60 59605859586035343602423260131211+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ = 解答：因为()2 1211121-=-??=-+++n n n n n n n n ，所以 ()886 59212 112 592221160 59605859586035343602423260131211=+++?+=++++=+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ 【课堂练习】 1. 计算：111116425672-+++=9 8；
课 题： 分数的拆分 知识概述： 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫单位分数。单位分数又叫埃及分数。在很早以前，埃及人就研究如何把一个分数单位表示成若干个分数单位的和，把一个真分数表示成两个（或几个）分数单位的和叫分数的拆分。 教学目标： 1、让学生熟练的掌握“单位分数”加减计算的速算方法，并能准确快速的计算。 2、让学生掌握分数拆分的基本方法，并能使一些计算简化。 3、让学生感受归纳的一般方法。 教学重点：1、发现总结“单位分数”加减计算的速算方法。2、分数的拆分的方法。 教学难点：分数的拆分的灵活应用。 教具与学具： 本周通知事项： 教学过程： 一、引入： 12 7化成小数等于多少？ 分析：4 131127+==0.3 。+0.25=0.583 。 这里的31和4 1数学里称为：单位分数（分数单位）。今天我们学习的课题就是如何又快又准将一个分数拆分成若干个单位分数的和（或者差）。 定义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫单位分数（分数单位）。 二、新课教授： 例1：在等式y x 1161+= 中，求出所有整数解。 分析：要找出一组解很容易，但是要找出所有解容易漏。通过观察我们发现要使分子最终为1，必需让分子分母约分。怎样才能约分？我们想到了约数。这时列出6的所有约数：1，2，3，6。通过扩分的方法： 911812)(1×62)(1×161+=++= 10 11513)(2×63)(2×161+=++=
812413)(1×63)(1×161+=++= 8 12416)(2×66)(2×161+=++= 714216)(1×66)(1×161+=++= 9 11816)(3×66)(3×161+=++= 分析：里面结果相同的原因？ 注意：两个相加的约数，它们比值相同时结果也相同。 总结:y x n 111+=型，拆分分数的步骤: 1.找出分母n 的所有的约数；（找约数） 2.将约数进行分组，比值相同的分为一组；（分组） 3.将n 1的分子、分母分别同时乘以其中两个约数之和（或者差）；（扩分） 4.将所得分数拆成同分母的两个分数之和（或者差），使两个约数恰好是两个分数的分子；（拆分） 5.将各个分数分别约分，使分子为1，即变成单位分数。（约分） 练习：z y x 11161++= 分析：此题与之前题目的区别以及相同之处？可不可以用同样的方法解答？ 请同学们说出结果。 例2：已知两个不同的单位分数之和是 12 1，则这两个单位分数之差的（较大分数为被减数）的最小值是多少？ 1.12的所有约数：1，2，3，4，6，12。 2.分组： 第一组：（1，2）、（2，4）、（3，6）、（6，12） 第五组：（1，12） 1813612)(1×122)(1×1121+=++= 131156112)(1×1212)(1×1121+=++= 第二组：（1，3）、（2，6）、（4、12） 第六组：（2，3），（4，6） 1614813)(1×123)(1×1121+=++= 20 13012)(1×122)(1×1121+=++= 第三组：（1，4）、（3，12） 第七组：（3，4）
分数拆分 一、考点扫描 1、任意两个数的积做分母，其差做分子的分数可拆成较大的单位分数减较小的单位分数，即 b a b a a b 11-=?-（a
7、 50481861641421?+?+?+? 8、111111234542567290110 9、 987187617651??+??+?? 10、111111212312341234100 四、巩固提高 1、（）—（）11211= 2、（）（）11211+= 3、（）（）112110+= 4、41121 5、1111112612203042 6、 1009711071741411?++?+?+? 7、 6301162091276?+?+? 8、20120182181621614214122+?+?+?+? 9、151413114131211312111??+??+?? 10、11111363693691236912300 五、拔高题 1、)10010011()4411()3311()2211(?-???-??-??- 2、 )1111()911()711()511()311()1011()811()611()411()211(-?-?-?-?-?+?+?+?+?+ 3、)8631()7531()6431()5331()4231(?-??-??-??-??-
分数裂项计算 本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2) n n n ?+?+，1(1)(2)(3)n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： 知识点拨 教学目标
什么叫分数的拆分？ 把一个分数拆成两个或两个以上分数的和或差的形式，叫做分数的拆分。 例如： 27 1541181+=； 30 1451181+=； 22 1991181+=； 3 12161-=； 4 131121-=；等等。 下面具体讲一下怎样把一个分数拆成两个分数的差。 当一个分数为 )1(1n ＋n ?的形式时，可以拆分为111n ＋－n 的形式（n 为自然数，且n 不为0） 即：1 11)1(1n ＋－n ＝n ＋n ? 例如： 5141541201-=?=；7161761421-=?= 分数拆分的具体应用 例·计算：42 13012011216121+++++ 7671171616151514141313121214213012011216121=-=-+-+-+-+-+=+++++ 当分数的分子正好等于分母中两个因数的差时，这个分数也可以拆成两个分数之差。 例如： 9 171972632-=?=； 8 131835245-=?=； 7 141743283-=?= 用公式表示就是：当n 、n+d （n 不为0）都是自然数时，d n n d n n d +-=+?11)(
具体应用： 计算：20 182181621614214122?+?+?+? 12 120 120118118116116114114112120 182181621614214122=+-+-+-+-=?+?+?+ ? d n n d n n d +-=+?11)( 这个公式同学们已经熟悉了。对这个公式可以进行变形： 例如： )8 131(5124551241-?=?= 因为8-3=5 所以提取一个5 1，当然，24也可以看成4×6，而6-4=2，所以也可以提取一个21，)6 141(2124221241-?=?=，这得看计算时的需要了。 练习：计算21 171171311391951511?+?+?+?+? 21 521 2041)21 11(41)211171171131131919151511(41)21 174171341394954514(4121 171171311391951511=?=-?=-+-+-+-+-?=?+?+?+?+??=?+?+?+?+?
【小学五年级奥数讲义】分数的拆分 1.概念 单位分数: 分子为1、分母为自然数的分数叫单位分数。 分数的分拆：把一个分数分拆成几个分数相加的和，叫做分数的分拆 2．解题方法与技巧。 （1）把单位分数拆分成单位分数相加的和 方法一：先扩分：同剩以分母的约数的和 再拆分：拆分成约数作分子的分数。 后约分：约分成最简分数 方法二：分子、分母同剩以大于分母，小于分母两倍的自然树（2）把真分数分拆成单位分数相加的和。 把一个真分数拆成两个单位分数相加的和，先给要分拆的分数分子和分母同剩以分母除以分子的整数商加1的和，再给分子加上分母，要使分数大小不变，同时应减去这个数，然后再分拆并约分。 （3）把假分数分拆成单位分数相加的和 方法：先把这个假分数分拆成真分数，再按真分数的分拆方法去分。 例题一 在错误!未找到引用源。的括号里填入适当的自然数，使等式成立。 分析一：从式子的左边往右边看，是分数的分拆；才有便往左边看，则是分数的加法，可见分数的分析与分数的加法过程刚好相反。分数加法主要步骤是通分、合并、约分，因此分数的分拆可按先扩分，再拆分，最后约分的步骤来做。 分析二：根据把单位分数分拆成单位分数相加的和的方法二：分子、分母同剩
以大于分母8，小于分母8的2倍（16）的自然数分别求解。 解析一：8的约数有1、2、4、8。 ①错误!未找到引用源。 ②错误!未找到引用源。 ③错误!未找到引用源。 ④错误!未找到引用源。 ⑤错误!未找到引用源。 ⑥错误!未找到引用源。 以上六种分析方法，其中①、④、⑥相同，②和⑤相同。 如果两个约数相同时，可以得到错误!未找到引用源。，共有四组解。 解法二：错误!未找到引用源。(像解法二这样的拆分方法不止一种．同学们，你们愿意研究吗？) 练习一 将下列各分数写成两个单位分数： 1.错误!未找到引用源。 2. 错误!未找到引用源。 3. 错误!未找到引用源。 4.错误!未找到引用源。 5. 错误!未找到引用源。 6. 错误!未找到引用源。
分数巧算一（裂项求和） 一、归纳公式： 二、例题： 1．=+++++++++11019017215614213012011216121 2． =?++?+?+?35311151111171731 3．=+++++++++++++++ 10032114321132112111 4． =??++??+??+??10099981543143213211 5． =+-+-+-+-110219019721756154213301120912765 6．=++++++++110199018721756164215301420131212611 7． =+++++++++11010990897271565542413029201912116521 8． =+++++++++++++120110519117816615514513612812111511016131 9． =-+-+-+-90 717255564142293019201112561 10．+?3122+?4232 +?5 342=?+10098992
三、练习 1．=++++++++110111909172735657424330312021121367 2． =?++?+?+?353211181851521 3．=++++++1101139011172195617421530132011 4． =+-+-+-+-55214519361728152113151110916735 5． =+++++++++3301270121611681126190160136118161 6． =??++??+??+??103101991975175315311 7．=++++++++ 4589367128552141152910196113511 8． =+++++++++++++++999631129631963163131 9． ()()()()() ()()100219921100432132143212132112+++?++++++++?+++++?+++? 10．+?6222+?8432 +?10642=?+200196992
分数裂项计算 本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的 过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 教学目标 知识点拨
分数的拆分： 例1 能否把2 1拆成两个单位分数的和？ 是否每个单位分数都可以进行拆分？有什么方法吗？ 例2 把 61写成两个单位分数的和（写出所有可能的情况） 例3 （1）你能否把6 1写成三个单位分数的和？（对方法数量的推广） （2）已知A,B,C,D,E,F 是互不相同的自然数，那么当它们为何值时F E D C B A 11111161+++++=成立？ 例4 求出 121的所有形如b a 11-的形式（对方法运算方向的推广）
裂项公式：1 11)1(1+-=+n n n n 例1 42 130120112161211++++++ 练习：42111301920171215613 1+++++ 例2 101 992972752532312?++?+?+?+? 裂项公式的推广： 例3 19511431991631351151+++++ 例4 1098298728762765265425432??+??+??+??+??+?? 练习： 100 9998143213211??++??+??
判断： 1. 最简分数都是真分数 2. 假分数比真分数大 3. 分母是5的真分数只有4个 4. 正分数可分为真分数、假分数、带分数 5. 如果分数的分子和分母都是奇数，那么这个分数是最简分数 填空： 1. 带分数假分数互化：=12117_________;=837__________ 2. 7个121加上2个12 1的和是___________ 3. 一个数加上36 17和是1811，这个数是___________ 4. 一根绳子，剪去7265米，余下部分比剪去的少72 1米，这根绳子长______米 5. 3.5小时加上40分钟是________小时 6. 分母为9的最简正真分数的和为____________ 7. 分子为4的正假分数的和为___________ 8. 10吨黄豆，第一次运走了 41，第二次运走了21吨，余下________吨 9. 若5x 是真分数，3 x 是假分数，则正整数x 可取_________ 10. 619减去857所得的差等于x 与4 3相加所得的和，则x=________ 11. 甲做语文作业用了53小时，比做数学作业少用了6 1小时，则甲做数学作业用了_______小时，他做两科作业用了__________小时 12. 当a=_______（自然数）时，分数9a 与3 1的和是真分数 13. 真分数的分子和分母都加上1后，所得的分数_________原分数（填<、>、=） 14. 把12 1表示成两个单位分数的和为_________；表示成两个单位分数的差为__________(只需写一种情况) 计算： 1. 316141++ 2. 85923623-+ 3. 215241075+- 4. )431613(815 -- 5. 18171954+=x 6. 10 761548=-x
分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法。裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ?形式的，这里我们把较 小的数写在前面，即a b <，那么有 1111 ()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2) n n n ?+?+，1 (1)(2)(3)n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111 [](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2） 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 分数裂项计算
裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 【例 1】 11111 1223344556 ++++= ????? 。 【例 2】1111 11212312100 ++++ ++++++ 【例 3】 1111 133******** ++++=???? 【例 4】 11111111 ()128 8244880120168224288 +++++++?= 【例 5】 1111 135357579200120032005 ++++ ???????? 例题精讲
分数的基本性质 例1、分数3 8 的分子加上9，要使分数值不变，分母要扩大多少倍？ 分析： 38 =3+9 8+（ ） ，分子增加3倍，说明分子扩大了4倍，分母也要增加3倍或扩大4倍。 拓展：分数 15 4 的分子加上8，要使分数值不变，分母要扩大多少倍？ 例2、分数47 的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是3 4 ，求分子和分母都加上的这个数是几？ 分析：方法一 试一试：将3 4 的分子、分母同时扩大相同的倍数 34 =68= 912= 1216 =1520 用这些分数的分子、分母与4 7 的分子、分母相减，结果相同的就是。 方法二 先观察下面的几组等式：23 =46 35= 915 43= 16 12 交叉相乘可以发现3×4=2×6 5×9=3×15 4×12=3×16，因此我们得出这样一个结论，当a b = d c 时，a ×c=b ×d 。 解：设分子和分母都加上的这个数为x ，根据题意可得： 4+x 7+x = 3 4 (4+x)×4=(7+x)×3 16+4x=21+3x X=21-16 X=5 方法三 ：【利用分母与分子差不变】 拓展：分数 41 11的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是83 ，求分子和分母都加上的这个数是几？ 原来相差30 加同样的数还是相差30 但新数相差为5， 必须5×6 =30 例3：一个分数，分子比分母大20，如果分子减去6，得到新分数约分后等于3 2 1 ，求原分数。 方法：【利用分母与分子差不变】
例4、一个分数，如果分子加上1，就变成34 ，如果分子减去1，就变成1 2 ，那么原来的分数是多少？ 方法一、将分子，分母数字较大的采用“等值放大” 看分子减2倍 可以不可以变成1/2 方法二、通分 拓展：一个分数，如果分子加上1，分母减去1，就变成45 ，如果分子减去1，分母加上1，就变成1 2 ，那么原来的 分数是多少？ 将分子，分母数字较大的采用“等值放大” 将分子，分母数字较小的数， 变成分子比第一个数小2，分母比第一个数大2 方程法： 一个分数，如果分母减去2，就变成23 ，如果分母加上5，就变成3 8 ，那么原来的分数是多少？ 方法一、等值放大 两数分母相差7 方法二、通子 一个分数，如果分母减去4，就变成1，如果分子减去2，就变成3 5 ，那么原来的分数是多少？ 将分子，分母数字较大的采用“等值放大” 将分子，分母数字较小的数， 变成分子比第一个数大2，分母比第一个数小4 例5、一个分数，分子分母的和是122，如果分子分母都减去19 ，得到是新分数化简后是1 5 ， 求原来的分数是多少？ 利用和变 拓展： 分数 6455的分子减去某数，而分母同时加上这个数后，所得的新分数化简后为 13 4 ，求某数是多少？ 利用和不变 例6 一个分数，如果分子加上16，分母减去166，那么约分后是 4 3 ，如果分子加上124，分母加上340，那么约
【例1】在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立。 ⑴11111111111102020()()()()()()()() =+=+=+=+=+ ⑵11110()()=- 【巩固】 1111111111145()()()()()()()()()()=+=-=++=-- 【辅垫】 ++++++???????111111112233445566778 。 【例2】 +++++??????1111112558811111414171720 。 【巩固】计算： 111111447710101397100+++++????? 。 分数计算之拆分、裂项与通项归纳
【例3】计算： 11111111 1357911131517 612203042567290 ++++++++。 【巩固】计算：11111 315356399 ++++。 【例4】 234 1(12)(12)(123)(123)(1234) ++++?++?++++?+++ 100 (12399)(123100) ++++?++++ 【巩固】 12345 12123123412345123456 ++++ ??????????????? 【例5】1111 11212312100 ++++ ++++++
【巩固】计算：++++++++++++++++++++111111224246246824681024681012 【例6】计算：1111 23419991(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)223234231999 +++++++++++++ 【巩固】1111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2232342319993452000- --------++++
点击目标 把单位“1”平均分成若干份，表示期中一份的数叫分数单位。分数单位又叫埃及分数。在很早以前，埃及人就研究如何把一个分数单位表示成若干个分数单位的和，把一个真分数表示成两个（或几个）分数单位的和叫分数的拆分。 例： 1133121122366663 ?===+=+? 11441311334121212124 ?===+=+? 11551411445202020205?===+=+? 方法一： 111(1)1n n n n =+?++ 或 111(1)1n n n n =-?++ 课堂练习：15 = 17 = 例：在 ()() 11114=+ 的括号里填上适当的自然数，使等式成立 方法二：把一个分数单位拆分成两个分数单位之和的方法是 ⑴ 找分母的约数； ⑵ 扩分 把分数单位1A 的分子、分母分别乘A 的任意两个约数之和； ⑶ 拆分 把所得分数拆分成两个分数之和，使两个约数恰好是两个分数的分子； ⑷ 约分 把所得两个分数约成最简分数。 练习： 112 = 121 = 11997=
例： ()() 1116=+的括号里填入适当的自然数，使等数成立。（填出全部结果） 方法三：把一个单位分数 1a 拆成两个单位分数的和的方法是，先求出2a 的值，然后找出2a 的成对因子m 、n （2m n a ?=）。则111a a m a n =+++，成对因子寻找法。 课堂练习 将 17拆成3个单位分数之和。 将 18拆成4个单位分数之和。 把1拆分成5个单位分数之和。 将 110化为111a b c ++的形式，其中,,a b c 为自然数，且它们的最大公约数为1. 将 14拆成11A B -的形式。
分数的拆分 1.概念 单位分数: 分子为1、分母为自然数的分数叫单位分数。 分数的分拆：把一个分数分拆成几个分数相加的和，叫做分数的分拆 2．解题方法与技巧。 （1）把单位分数拆分成单位分数相加的和 方法一：先扩分：同剩以分母的约数的和 再拆分：拆分成约数作分子的分数。 后约分：约分成最简分数 方法二：分子、分母同剩以大于分母，小于分母两倍的自然树（2）把真分数分拆成单位分数相加的和。 把一个真分数拆成两个单位分数相加的和，先给要分拆的分数分子和分母同剩以分母除以分子的整数商加1的和，再给分子加上分母，要使分数大小不变，同时应减去这个数，然后再分拆并约分。 （3）把假分数分拆成单位分数相加的和 方法：先把这个假分数分拆成真分数，再按真分数的分拆方法去分。 例题一 在的括号里填入适当的自然数，使等式成立。 分析一：从式子的左边往右边看，是分数的分拆；才有便往左边看，则是分数的加法，可见分数的分析与分数的加法过程刚好相反。分数加法主要步骤是通分、合并、约分，因此分数的分拆可按先扩分，再拆分，最后约分的步骤来做。
分析二：根据把单位分数分拆成单位分数相加的和的方法二：分子、分母同剩以大于分母8，小于分母8的2倍（16）的自然数分别求解。 解析一：8的约数有1、2、4、8。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 以上六种分析方法，其中①、④、⑥相同，②和⑤相同。 如果两个约数相同时，可以得到，共有四组解。 解法二：(像解法二这样的拆分方法不止一种．同学们，你们愿意研究吗？)
练习一 将下列各分数写成两个单位分数： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 例题二: 将分拆成三个单位分数之和(任求一解)。 思路导航 分析一：可以先把拆成两个单位分数之和，再拆成三个单位分数之和。 分析二：任取分母10的三个约数之和进行扩分。 解法一：10的约数有1、2、5、10，任取两个约数之和进行扩分，就能得到一种拆分 又 所以 方法二：任取10的三个约数1、2、5。
小学奥数计算专题--分数拆分与裂项（六年级）竞赛测试 姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________ 题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分 得分 一、xx题 评卷人得分 （每空xx 分，共xx分） 【题文】。 【答案】 【解析】原式 提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：， 计算过程就要变为：． 【题文】= 【答案】 【解析】原式 【题文】 【答案】 【解析】原式 【题文】= 【答案】 【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有
，，……， 原式 【题文】 【答案】 【解析】 【题文】计算： 【答案】 【解析】原式 【题文】 = 【答案】 【解析】原式 【题文】 【答案】 【解析】原式 【题文】计算： 【答案】 【解析】原式
【题文】_______ 【答案】 【解析】根据裂项性质进行拆分为： 【题文】 【答案】 【解析】原式 【题文】计算：＝【答案】 【解析】原式
【题文】。【答案】 【解析】原式 【题文】计算： 【答案】 【解析】原式 【题文】 【答案】 【解析】原式 【题文】计算： 【答案】 【解析】原式
【题文】计算：=。 【答案】 【解析】原式 【题文】计算：。 【答案】 【解析】原式 【题文】计算： 【答案】 【解析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：，，……，， 所以原式 【题文】计算：．