本章结构框图
基本要求
1. 理解转动惯量及其计算；
2. 掌握角动量，角动量定理和角动量守恒定律，并能熟练运用它们解决问题；
3. 熟练掌握并运用力矩概念和刚体定轴转动定律解题；
4. 了解旋进运动和角动量守恒与空间旋转对称性。
1. 转动惯量
质点系或刚体绕定轴转动时，每个质点的质量与该质点到转轴距离的平方之积的总和称为质点系或刚体对转轴的转动惯量。
质点分立的质点系质量连续分布的质点系
通常规则物体的转动惯量可查表得到。
2. 角动量
(1) 质点的角动量
做任意曲线运动的质点，某时刻质点相对于选定参考点的角动量定义为
其中m为质点质量，为质点相对参考点O的位矢，为质点的动理。
角动量L是矢量，方向垂直于r与组成的平面，大小，为r与p的夹角。
(2) 质点系的角动量
质点系内所有质点对同一参考点的角动量的质量和称为质点系对该参考点的角动量。
其中称为轨道角动量，称为自旋角动量。
(3) 定轴转动刚体的角动量
刚体定轴转动时，其上所有质点均在转动平面内绕轴作圆周运动，且各质点转动的角速度相同，因此，定轴转动刚体对轴的总角动量为
3. 力矩
力的作用点对参考点的位矢与力的矢积称为力对该参考点的力矩，
当刚体绕定轴转动时，对于作用在刚体上的力F，可以证明(参见教材P.82)只有F在转动平面内的分量
产生的力矩影响刚体绕轴的转动状态，该力矩一定平行时轴，称为F对轴的力矩。
注意：
①若力的作用线通过参考点或转轴，这种力称为有心力。显然，有心力对力心的力矩恒为零。
②一对内力总是等大反向，作用在同一直线上，因此，一对内力对同一参考点的力矩之和恒为零。
③对质点系而言，合力矩是指作用于质点系的各个力矩的矢量和，而不是合力的力矩。当外力的矢量和为零时，合外力矩不一定为零。
4. 刚体定轴转动的定律
力矩的瞬时作用效果是产生角加速度；刚体定轴转动的角加速度的大小与刚体所受的对该轴的合外力矩成正比，与刚体对该轴的转动惯量成反比。
5. 角动量定理
（1）质点的角动量定理
质点所受合力矩的角冲量等于质点角动量的增量, 即
（2）定点系的角动量定理
质点系所受合外力矩的角冲量等于质点系角动量的增量, 即
（3）定轴转动刚体的角动量定理
6. 角动量守恒定律
由质点的角动量定理可知，当时, 即L = 恒矢量。即若对某一固定参考点，质点所受的合力矩为零，则质点对该定点的角动量不随时间变化。
同理，由质点系和定轴转动刚体的角动量定理可得，当质点系所受外力对某参考点的力矩的矢量和为零时，质点系对该参考点的角动量L = 恒矢量；当刚体所受的对转轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量不随时间变化。
7. 角动量守恒与空间旋转对称性
角动理守恒定律是自然界物质运动的普遍规律，不论是宏观物质还是微观物质的运动都必然遵守这个规律，其原因是空间具有旋转对称性，物理定律对所有的空间方向都是等价的。
重点与难点
1. 重点
质点，质点系和定轴转动刚体的角动量定义。
刚体定轴转动定律及应用。
质点和质点系角动量定理及应用。
角动量守恒定律及应用
2. 难点
①区别动量定理和角动量定理。
②区别动量守恒定律和角动量守恒定律的条件，并能综合运用。
③动量及动量定理、角动量及角动量定理是否与参考系的选择有关。
1. 动量及动量定理，角动量与角动量定理是否与参考系选择有关？
质点动量，角动量，由于v 和r 都是相对量，与参考系的选择有关，所以，动量和角动量应与参考系的选择有关。
动量定理和角动量定理只适用于惯性系，对于非惯性系，该两定理不成立。
2. 区别动量定理与角动量定理
动量定理表示质点或质点系的动量改变与质点或质点系所受的合力的时间累积-- 冲量相对应；角动量定理表示质点或质点系的角动量的改变与质点或质点系所受的外力矩的矢量和的时间累积-- 角冲量相对应。两者是不同的概念。例如：有力作用下的质点系（太阳地球系统），地球在太阳引力作用下，动量不断发生变化，但角动量却始终不变，因引力通过力心（太阳），对力心的力矩始终为零。
3. 动量和角动量守恒的条件质点或质点系所受合外力为零时，质点或质点系的动量将保持不变。质点或质点系对某一参考点或参考轴的合外力矩为零时，质点或质点系对该参考点或参考轴的角动量保持不变。在实际问题中要认真区别两个守恒定律成立的条件。许多情况下，系统对某一参考点的力矩矢量和为零时，系统所受外力不一定为零。即系统角动量守恒时，动量不一定守恒。反之，系统所受合外力为零时，合外力矩不一定为零，即系统动量守恒时，角动量不一定是守恒。（参看教材P.91【例2】）。
对质点系而言，内力总是成对出现，大小相等方向相反，作用在同一直线上，因此，内力的矢量和及内力对某一参考点或参考轴的力矩的矢量和始终为零，因此，内力不改变系统的总动量，内力矩不改变系统的角动量。
例1水分子的形状如图5-2所示。从光谱分析得知水分子对AA′轴的转动惯量是
，对BB′轴的转动惯量是。试由此数据和
各原子的质量求出氢和氧原子间的距离 d 和夹角。假设各原子都可当质点处理。
解：由图可得
此二式相加，可得
上二式相比，可得
例2一质量m = 2200kg 的汽车以的速度沿一平直公路开行。求汽车对公路一侧距公路d = 50m 的一点的角动量是多大？对公路上任一点的角动量又是多大？
解：如图5-3所示，汽车对公路一侧距公路d = 50m的一点P1的角动量的大小为
汽车对公路上任一点P2的角动量的大小为
例3两个质量均为m 的质点，用一根长为2a、质量可忽略不计的轻杆相联，构成一个简单的质点组。
如图5-4所示，两质点绕固定轴OZ以匀角速度转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为，求质点组对O点的角动量大小及方向。
解: 设两质点A、B在图示的位置，它们对O点的角动量的大小相等、方向相同（与OA和m v组成的平面垂直）。
角动量的大小为
例4如图5-5所示，转轴平行的两飞轮Ⅰ和Ⅱ，半径分别为R1、R2。对各自转轴的转动惯量分别为J1、J2。Ⅰ轮转动的角速度为，Ⅱ轮不转动。移动Ⅱ轮使两轮缘互相接触。两轴仍保持平行，由于摩擦，两轮的转速会变化。问转动稳定后，两轮的角速度各为多少？
辨析:首先分析系统所受的外力，再看这些外力对定轴的合外力矩是否为零，如果为零应用角动量守恒定律，否则应用角动量定理。
解：轮Ⅰ、轮Ⅱ接触时，轮Ⅰ受到重力m1g，轴给轮的力T1，以及摩擦力f 1，轮Ⅱ施加的正压力N1；轴Ⅱ受到重力m2g，轴给轮的力T2，以及摩擦力f2、轮Ⅰ施加的正压力N2，以及外加力F。f1和f2大小相等、方向相反，对轮Ⅰ和轮Ⅱ组成的系统来说，f1和f2是一对内力，它们的力矩和不会改变系统的总角动量。轮Ⅰ、轮Ⅱ系统受到的外力T1、T2、m1g和m2g，它们对O1轴或者O2轴的合外力矩皆不为零，这个系统对O1或者O2的角动量都不守恒。所以应对轮Ⅰ、轮Ⅱ分别运用角动量定理。
对Ⅰ轮，设顺时针转动为正向
（1）
对Ⅱ轮，设逆时针转动为正负
（2）
联立（1）、（2）两式可得
（3）
转动稳定时，两轮缘的线速度相等，即
（4）
联立（3）、（4）解得
例5唱机的转盘绕过盘心的固定竖直轴转动，唱片放上后将受转盘的摩擦力作用随转盘移动。设唱片可以看成是半径为R的圆盘，唱片质量为m，唱片与转盘之间摩擦系数为μ，求唱片刚放上去时受到的摩擦力矩M f和唱片由放上去到具有角速度所需的时间t1。
解：唱片之所以转动是因受到转盘施加的力矩的作用，也就是摩擦力矩，它是唱片的动力矩。
在唱片上选为半径为r，宽度为d r的圆环，如图5-6所示。它受的动力矩为
上式中，是唱片的密度。
整块唱片受的摩擦力矩为
视唱片为刚体，据转动定律
分离变量有
积分上式
例6如图5-7所示，两物体质量分别为m1和m2，定滑轮的质量为m，半径为r，可视作均匀圆盘。已知m2与桌面间的滑动摩擦系数为，求m1下落的加速度和两段绳子中的张力各是多少？设绳子和滑轮间无相对滑动，滑动轴受的摩擦力忽略不计。
解：
对m1，由牛顿第二定律
对m2，由牛顿第二定律
对滑轮，用转动定律
又由运动学关系，设绳在滑轮上不打滑
联立解以上诸方程，可得
例7如图5-8所示。两个圆轮的半径分别为R1和R2，质量分别为M1和M2。二者都可视为均匀圆柱体而且同轴固结在一起，可以绕一水平固定轴自由转动。今在两轮上各绕以细绳，绳端分别挂上质量是m1和m2的两个物体。求在重力作用下，m2下落时轮的角加速度。
解：如图示，由牛顿第二定律
对m1：
对m2：
对整个轮，由转动定律
又由运动学关系
联立解以上诸式，即可得
例8固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴OO′转动，设大小圆柱体的半径分别为R和r，质量分别为M和m，绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和物体m2相连，m1和m2 分别挂在圆柱体的两侧，如图5-9（a）所示。设R = 0.20m，r = 0.10m，m = 4kg，M = 10kg，m1= m2= 2kg，且开始时m1、m2离地均为h = 2m，求：
（1）柱体转动时的角加速度；
（2）两侧细绳的张力；
（3）m1经多长时间着地？
（4）设m1与地面作完全非弹性碰撞，m1着地后柱体的转速如何变化？
解：设a
1
、a2分别为m1、m2的加速度，为柱体角加速度，方向如图5-9(b)所示。
（1）m1、m2的平动方程和柱体的转动
方程如下：
式中：
;;
; ；
联立（1）、（2）、（3）式，解得角加速度为
代入数据后得
（2）由(1)式得
图5-9(a)
由(2)式得
（3）设m1着地时间为t，则
（4）m1着地后静止，这一侧绳子松开。柱体继续转动，因只受另一侧绳子拉力的阻力矩，柱体转速将减小，m2减速上升。
讨论:如果只求柱体转动的角加速度，可将柱体、m1、m2选做一个系统，系统受的合外力矩，则加速度
本题第二问还要求两侧细绳的张力，故采用本解法是必要的，即分别讨论柱体的转动、m1和m2的平动。
例9 一轻绳绕过一质量可以不计且轴光滑的滑轮，质量皆为m 的甲、乙二人分别抓住绳的两端从同一高度静止开始加速上爬，如图5-10所示。
（1）二人是否同时达到顶点？以甲、乙二人为系统，在运动中系统的动量是否守恒？机械能是否守恒？系统对滑轮轴的角动量是否守恒？
（2）当甲相对绳的运动速度u是乙相对绳的速度2倍时，甲、乙二人的速度各是多少？
解：（1）甲、乙二人受力情况相同，皆受绳的张力T，重力mg，二人的运动相同，因为
所以二人的加速度相同，二人的速度为
因初速度v0 = 0，二人在任一时刻的速度相同，上升的高度相同，所以同时到达顶点。
以二人为系统，因二人是加速上升，所受合外力2(T-mg) > 0，故系统的动量不守恒。以人和地球为系统，张力T对系统做功，因而系统的机械能不守恒。显然人在上升中机械能在样加。但
甲、乙二人相对滑轮轴的合外力矩（M = TR -TR + mgR-mgR）等于零，系统对轴的角动量守恒。
（2）设甲的速度、乙的速度为，从解（1）知二人的速度相等，即，这个结果也可用角动量守恒得到，因
故
设绳子的牵连速度为v0，设滑轮左侧绳子的v0向下，那么滑轮右侧的v0一定向上，根据速度合成定理
所以
则
讨论:由于人用力上爬时，人对绳子的拉力可能改变，因此绳对人的拉力也可能改变，但甲、乙二人受力情况总是相同，因此同一时刻甲、乙二人的加速度和速度皆相同，二人总是同时到达顶点。
例10哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近的
距离是，此时它的速率是
。它离太阳最远时的速率是
，这时它离太阳的距离r2是多少？
解：慧星运行受的引力指向太阳，所以它对太阳的角动量守恒，它在走过离太阳最近或最远的地点时，速度的方向均与对太阳的径矢方向垂直，所以角动量守恒给出
由此得
例11太阳的热核燃料耗尽时，它将急速塌缩成半径等于地球半径的一颗白矮星。如果不计算质量散失，那时太阳的转动周期将变为多少？太阳和白矮星均按均匀球体计算，目前太阳的自转周期按26d计。
解：由太阳的自转角动量守恒可得
= 3.1(min) 例13赤道上有一高楼，楼高h（图5-12）。由于地球自转，楼顶和楼根对地心参考系都有线速度。
（1）证明：楼顶和楼根的线速度之差为，其中为地球自转角速度。
（2）证明：一物体由楼顶自由下落时，由于地球自转的影响，着地点将在楼根东侧约处。这就是落体偏东现象。计算h = 30m时，着地点偏东的距离。（此结果利用了物体下落时“水平”速度不变
这一近似处理。实际上物体下落时应该是地球对自转轴的角动量保持不变。利用这一点，并取楼高对地球
半径之比的一级近似，则可得更有为准确的结果。）
证：
（1）楼顶的线速度为楼根的线速度为。二者之差。
（2）将楼所在处的地面局部视为向东以速度平移，则落体下落时间为
而着地时偏东的距离为
以
代入上式可得
例14地球的自转轴与它绕太阳的轨道平面的垂线间的夹角是23.5o（图5-13）。由于太阳和月亮对地球的引力产生力矩，地球的自转轴绕轨道平面的垂线旋进，旋进一周需时间约26000a。已知地球绕自转轴
的转动惯量为。求地球自旋角动量矢量变化率的大小，即，并求太阳和月亮对地球的合力矩多大？
解：
太阳和月亮对地球的合力矩的大小为
例15一个内壁光滑的圆环型细管，正绕竖直光滑固定轴OO′自由转动。管是刚性的，环半径为R。一质量为m的小球静止于管内最高点A处，如图5-14所示。由于微小扰动，小球向下滑动，试判决小球在管内下滑过程中，下列三种说法是否正确，并说明理由。
（a）地球、环管与小球系统的机械能不守恒。
（b）小球的动量不守恒。
（c）小球对OO′轴的角动量守恒。
辨析
（a）不正确。对小球、环管、地球系统，外力为零，外力的功当然为零，环管与小球间的正压力N和N′是一对非保守内力。在小球下滑过程中，小球受管壁的压力N（与管壁垂直）始终与小球相对管壁的速度方向（与管壁相切）垂直，所以这一对内力做功之和为零，而且与参考系的选择无关。系统中只有保守内力（重力）做功，系统的机械能守恒。
（b）正确。小球在下滑过程中始终受到管壁的压力和重力，而此二力的方向不同，所以合力不为零，使得小球的动量不断变化。
（c）不正确。小球在下滑过程中受重力和管壁的压力，重力和OO′轴平行，重力的轴向力矩恒为零，但管壁对小球的压力方向不通过OO′轴，对OO′轴有力矩，所以小球对OO′的角动量在变化，角动量不守恒。例如小球在位置 A 对OO′轴的角动量为零，在B处小球有垂直于环半径的水平分速度，它对OO′轴的角动量不再是零，到达最低点C时，对OO′轴的角动量又等于零。
第3章 刚体和流体 3.1 在描述刚体转动时，为什么一般都采用角量，而不采用质点力学中常采用的线量? 答：对于刚体，用角量描述方便可行，这是因为对刚体上的各点角量（βωθ?,,）都相同，若采用线量描述，由于刚体上各点线量（a r ? ??,,υ?）均不相同，这对其运动的描述带来麻烦，甚至不可行。 3.2 当刚体绕定轴转动时，如果角速度很大，是否作用在它上面的合外力一定很大?是否作用在它上面的合外力矩一定很大?当合外力矩增加时，角速度和角加速度怎样变化?当合外力矩减小时，角速度和角加速度又怎样变化? 答：（1）当刚体绕定轴转动时，如果角速度很大，作用在它上面的合外力不一定很大（它们没有必然联系）；（2）当合外力矩增加时，角加速度增大，若角加速度方向与角速度方向相同时，角速度也增大，反之，角速度减小。（3）当合外力矩减小时，角加速度减小，但角速度同（2）中情况。 3.3 有人把握着哑铃的两手伸开，坐在以一定角速度转动着的(摩擦不计)凳子上，如果此人把手缩回，使转动惯量减为原来的一半。(1)角速度增加多少?(2)转动动能会发生改变吗? 答：（1）角速度增加一倍（据角动量守恒=ωJ 常量） （2）由22 1 ωJ E k = 知，转动动能增加一倍。 3.4 什么是流体?流体为什么会流动? 答：具有流动性的物体叫流体。 流体之所以会流动是由于构成流体的分子间的作用很小，可以忽略，使得流体中 的各分子可以自由运动。 3.5 连续性原理和伯努利方程成立的条件是什么?在推导过程中何处用过? 答：连续性方程成立的条件是理想流体作稳定流动（其核心是不可压缩性 t s t s ?=?2211υυ）。伯努利方程成立的条件是：理想流体，稳定流体，同一流线。在推 导中按理想稳定流体对待（未考虑粘滞力，考虑不可压缩性流线上的速度不随时间改变）。 3.6 为什么从消防栓里向天空打出来的水柱,其截面积随高度增加而变大?用水壶向水瓶中灌水时,水柱的截面积却愈来愈小? 答：从救火筒理向天空打出来的水柱，其截面随高度增加而变大，是由于从高度的增加，水流的速度变小，由连续性方程就决定了液面截面积要增加。同理，用水壶向水瓶中灌水时，水柱的截面积愈来愈小（由于速度增大）。 3.7 两船同向并进时,会彼此越驶越靠拢,甚至导致船体相撞,这是为什么? 答：这是由于在两船间，水流的截面变小，流速增大，从而据伯努利方程知压强
多刚体系统的碰撞理论及应用现状 一、多体系统碰撞动力学建模理论 多体系统碰撞力学从力学本质上是一种非定常、变边界的高度非线性动力学过程，其中对碰撞过程的正确处理是解决多体接触碰撞动力学问题的关键。按照对碰撞过程假设的不同，可以将其建模方法分为以下3种类型:冲量动量法，连续碰撞力模型，基于连续介质力学的有限元方法。文献[1]对它们各自在理论建模和数值方法方面的优势和局限性进行了讨论。 碰撞问题作为持续时间很短的瞬态动力学过程，对于实验装置的响应速度要求很高。常用的碰撞测量传感器主要有应变传感器、压电传感器、激光传感器和高速摄影机。 二、具有摩擦的刚体碰撞 刚体碰撞是力学上的一个经典问题,但目前大都采用给定恢复系数进行分析的方法，文献[2]则直接从两刚体碰撞时Newton第二定律出发，建立了计及摩擦的两刚体碰撞基本理论。对于具有摩擦的刚体碰撞，两刚体接触点切线方向受到摩擦力的作用，影响了碰撞结果，而两刚体切线方向的运动状态(称碰撞状态)又与刚体质量分布、摩擦系数和初始接触状态等有关，呈现出多样性。具有摩擦的刚体碰撞过程两刚体在接触点的相对运动可分为单向滑动(Sliding)，反向滑动(Reversed sliding)和粘滞(Sticking)这三种现象。 1、两个刚体不受外力自由地运动,在某一瞬间发生碰撞,如图1所示。 假定：（1）假定在接触点,法线方向作用压缩力,切线方向作用摩擦力,且接触点不传递力矩； （2）在碰撞过程中,碰撞接触时间极短,在碰撞过程中,刚体1和2的惯性矩阵以及雅可比矩阵可视为一定； （3）是2维平面碰撞问题,其运动只在n和t构成的平面内产生。在接触点,刚体2作用刚体1的力的切向成分,滑动时按照库仑摩擦定律(干摩擦)。 在这3点假设的基础上，可以得到接触点的相对速度、两个刚体的相对运动和碰撞接触时的力传递模型和基本关系式。 2、碰撞状态的分类判别法、冲量和恢复系数 碰撞过程中,切线方向的相对运动如图2所示，能分成三类:单向滑动碰撞，其相对滑动方向在碰撞过程中是一定的不变的；反向滑动碰撞，其切向相对滑动速度减小，在时刻成为
第2章多体系统动力学基本理论
本章主要介绍多体系统动力学的基本理论，包括多刚体系统动力学建模、多柔体系统动力学建模、多体系统动力学方程求解及多体系统动力学中的刚性（Stiff）问题。通过本章的学习可以对多体系统动力学的基本理论有较深入的了解，为具体软件的学习打下良好的理论基础。 2.1 多体系统动力学研究状况 多体系统动力学的核心问题是建模和求解问题，其系统研究开始于20世纪60年代。从60年代到80年代，侧重于多刚体系统的研究，主要是研究多刚体系统的自动建模和数值求解；到了80年代中期，多刚体系统动力学的研究已经取得一系列成果，尤其是建模理论趋于成熟，但更稳定、更有效的数值求解方法仍然是研究的热点；80年代之后，多体系统动力学的研究更偏重于多柔体系统动力学，这个领域也正式被称为计算多体系统动力学，它至今仍然是力学研究中最有活力的分支之一，但已经远远地超过一般力学的涵义。 本节将叙述多体系统动力学发展的历史和目前国内外研究的现状。 2.1.1 多体系统动力学研究的发展 机械系统动力学分析与仿真是随着计算机技术的发展而不断成熟的，多体系统动力学是其理论基础。计算机技术自其诞生以来，渗透到了科学计算和工程应用的几乎每一个领域。数值分析技术与传统力学的结合曾在结构力学领域取得了辉煌的成就，出现了以ANSYS、NASTRAN等为代表的应用极为广泛的结构有限元分析软件。计算机技术在机构的静力学分析、运动学分析、动力学分析以及控制系统分析上的应用，则在二十世纪八十年代形成了计算多体系统动力学，并产生了以ADAMS和DADS为代表的动力学分析软件。两者共同构成计算机辅助工程（CAE）技术的重要内容。 多体系统是指由多个物体通过运动副连接的复杂机械系统。多体系统动力学的根本目的是应用计算机技术进行复杂机械系统的动力学分析与仿真。它是在经典力学基础上产生的新学科分支，在经典刚体系统动力学上的基础上，经历了多刚体系统动力学和计算多体系统动力学两个发展阶段，目前已趋于成熟。 多刚体系统动力学是基于经典力学理论的，多体系统中最简单的情况——自由质点和一般简单的情况——少数多个刚体，是经典力学的研究内容。多刚体系统动力学就是为多个刚体组成的复杂系统的运动学和动力学分析建立适宜于计算机程序求解的数学模型，并寻求高效、稳定的数值求解方法。由经典力学逐步发展形成了多刚体系统动力学，在发展过程中形成了各具特色的多个流派。 早在1687年，牛顿就建立起牛顿方程解决了质点的运动学和动力学问题；刚体的概念最早由欧拉于1775年提出，他采用反作用力的概念隔离刚体以描述铰链等约束，并建立了
第五节刚体平衡的条件 沈阳市私立科汇高级中学于欣禾 教材：人教版物理选修2-2 第一章：物体的平衡 教学目标： 一、知识技能 1、知道刚体的概念。 2、理解刚体平衡的条件。 3、结合生活实例，掌握解决刚体平衡问题的步骤。 二、过程与方法 同时受到几个非共点力作用的刚体平衡条件的探究过程，培养学生的动手操作能力，概括能力和分析推理能力。 三、情感态度与价值观 通过探究刚体平衡条件的实验过程，培养学生实事求是的科学态度，团队合作精神和创新意识。通过刚体平衡条件的应用培养学生理论联系实际的能力。 教学重点： 1、什么是刚体 2、掌握刚体平衡的条件 3、学会解决刚体平衡条件问题的步骤 教学难点： 1、探究刚体平衡条件的设计实验 2、解决刚体平衡问题的条件的步骤与实际应用 教学方法： 实验法、转换法、讲练法、归纳法 教学用具： 刻度尺、弹簧测力计、钩码、铁架台、细线、多媒体 教学过程： 一、复习 通过前几节课的学习，我们已经知道力可以改变物体的运动状态，还可以改变物体的转动状态，为了描述力对物体的转动作用效果，我们引入了力矩这个概念。 1、什么叫做力矩？ 学生：力和力臂的乘积叫做力对转动轴的力矩。 2、力矩的定义式？ 学生：M=F L 3、力矩的方向？ 顺时针力矩：使物体顺时针转动的力矩（M顺） 逆时针力矩：使物体逆时针转动的力矩（M逆） 一般规定逆时针力矩为正，顺时针力矩为负。 4、什么是力偶？ 学生：大小相等，方向相反，不共线的两个平行力组成的系统，叫做力偶。 5、对于一个有固定转动轴的物体，力矩的平衡条件是什么？
学生：有固定转动轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零。 M1+M2+M3=0 或M合=0。 二、导入新课 1、概念导入 （1）我们来思考一下，物体受共点力的平衡条件什么？学生答：F合=0 （2）当物体受共点力作用时，我们可以把物体看成什么？学生答：质点。 当物体受非共点力作用时，我们就不能把物体看成质点。所以在力的作用下，我们就要考虑形变，但在正常情况下，很多物体的形变都非常微小，可忽略不计。（引出刚体的概念）所以我们定义：在任何外力作用下，大小和形状不变的物体，我们称为刚体。与质点一样，刚体也是一种理想化模型。 （3）如果刚体F合=0，一定处于平衡状态吗？ （引导学生回答：当刚体受到力偶的作用时，就会加速转动，并不平衡。例如生活中的汽车方向盘。） 那么怎样才能使刚体处于平衡状态呢？这就是我们本节课要探究学习的内容。 2、新课引入：本节课我们来探究第一章第五节刚体平衡的条件。 三、新课教学 1、引入： 图片上所显示的是生活中常见的刚体模型，我们以扁担挑水为例，用实验模拟扁担挑水，探究扁担同时受到几个非共点力的作用，而处于平衡状态，需要满足什么条件呢？ 2、实验探究 （1）构建刚体模型 首先我们要构造一个刚体模型，选用一个不容易变形的刻度尺，两个弹簧测力计模拟人对扁担的作用力，钩码模拟水桶对扁担的作用力。 （2）实验设计分析 我们都知道最简单的平衡状态是静止，要保证刻度尺处于静止状态（如图1），需要测量哪些物理量呢？ 学生：力和力臂。 测量力时，就要对物体进行受力分析，分析刻度尺自身的重力，找到重心位置，为了实验方便，老师选取了质量分布均匀，形状规则的刻度尺，那它的重心在哪里?C点。（如图2）为什么要保持刻度尺水平呢？ 学生：为了方便测量力臂。 根据桌子上有的实验器材，设计实验，设计表格，探究刚体平衡的条件。 （3）实验器材 刻度尺，弹簧测力计，钩码，铁架台，细线 （4）实验步骤及注意事项 a、先用弹簧测力计测出刻度尺自身重量G, b、细线拴住刻度尺A、B两点，把它挂在两个弹簧测力计下面，用铁架台固定弹簧测力计的上端。 c、在D处挂几个钩码（测出不同的总重量用G1表示） d、调节测力计的高低，使刻度尺在水平方向上平衡。 （注意：为了最终使刻度尺保持水平，可再用两个竖直的刻度尺分别测量水平刻度尺左右两端所处高度是否一致。减小实验误差）
刚体的定轴转动 一、选择题 1、（本题3分）0289 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是[ C ] （A）只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关。 （B）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关。 （C）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置。 （D）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关。 2、（本题3分）0165 均匀细棒OA可绕通过某一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水平位置由静止开始自由下降，在棒摆到竖直位置的过程中，下述 说法哪一种是正确的？ （A）角速度从小到大，角加速度从大到小。 （B）角速度从小到大，角加速度从小到大。 （C）角速度从大到小，角加速度从大到小。 （D）角速度从大到小，角加速度从小到大。 3.（本题3分）5640 一个物体正在绕固定的光滑轴自由转动，则[ D ] （A）它受热或遇冷伸缩时，角速度不变. （B）它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小. （C）它受热或遇冷伸缩时，角速度均变大. （D）它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大. 4、（本题3分）0292
一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，滑轮质量为m ，绳下端挂一物体，物体所受重力为P ，滑轮的角加速度为β，若将物体去掉而以与P 相等的力直接向下拉绳子，滑轮的角加速度β将 [ C ] （A ）不变 （B ）变小 （C ）变大 （D ）无法判断 5、（本题3分）5028 如图所示，A 、B 为两个相同的绕着 轻绳的定滑轮，A 滑轮挂一质量为M 的物体，B 滑轮受拉力F ，而且F=Mg ， 设A 、B 两滑轮的角加速度分别为βA 和βB ，不计滑轮轴的摩擦， 则有 [ C ] （A ）βA =βB （B ）βA ＞βB （C ）βA ＜βB （D ）开始时βA =βB ，以后βA ＜βB 6、（本题3分）0294 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 [ B ] （ A ）刚体不受外力矩的作用。 （ B ）刚体所受合外力矩为零。 （ C ）刚体所受的合外力和合外力矩均为零。 （ D ）刚体的转动惯量和角速度均保持不变。 7、（本题3分）0247 如图示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴O 旋转，初始状态为静止悬挂。现有一个小球自左方水平打击细杆，设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统 （A ）只有机械能守恒。 （B ）只有动量守恒。
§3.5转动惯量 教学目的能够熟练掌握推导动量矩的表达式，能够求导出刚体对定点的转动动能，理解和掌握刚体的转动惯量的定义及定义式，牢记并能熟练运用平行轴定理，了解刚体的惯量张量及惯量椭球，能够运用惯量椭球消去惯量积。 重点刚体的动量矩，刚体的转动动能，转动惯量，惯量张量和惯量椭球，惯量主轴极其求法。 教学过程 一、刚体的动量矩 在质点动力学和质点组动力学重，我们都曾遇到动量矩定理，并把它作为三大基本定理之一。在刚体动力学重，大量篇幅是研究刚体的转动问题。因此，就经常要用到动量矩定理。 在还没有研究动量矩定理在刚体动力学中的作用以前，让我们先来研究一下，在转动问题中，动量矩的表达式是怎样的？ 图3.5.1 假设刚体在某一时刻以角速度ω作定点转动。在它里面，取任一质点 P，它 i 的质量是 m，速度为i v（未画出）。如i P对定点O的位矢是i r（图3.5.1），则此i 质点对定点O的动量矩为
i i i v r m ? 而整个刚体对O 的动量矩为刚体中各质点对同一点的动量矩的矢量和： ∑=?=n i i i i v r J 1)(m （3.5.1） 因为 i i r ωv ?= 故 ])([1∑=??=n i i i i r ωr J m 即 ])([12∑=?-=n i i i i i r ωr r ωJ m （3.5.2） 式（3.5.2）告诉我们，动量矩J 一般并不与角速度ω共线。在平动中，动量 p 与线速度v 总是共线的。在定点转动中，只在惯量主轴上，J 才与ω共线[参看 本节中的（4）及（5）]。 现在来求在一般情况下动量矩J 的分量表达式。把动量矩矢量J 和角速度矢量ω都分为沿三正交坐标轴x ，y ，z （原点在O ）上的分量，则因 k j i r i i i i z y x ++= k j i ωz y x ωωω++= 故得J 在x 方向上的分量x J 为 i i n i i z i i n i i y i i n i i x i z i y i x i i i i x n i i x z x m y x m z y m z y x x z y x m J ∑∑∑∑====--+=++-++=1 1 221 2221)()] ()([ωωωωωωω（3.5.3） 同理 ??? ?? ?? ++--=-++-=∑∑∑∑∑∑======) ()(221111 22 11i i n i i z i i n i i y i i n i i x z i i n i i z i i n i i y i i n i i x y y z m y z m x z m J z y m x z m x y m J ωωωωωω（3.5.4）
多体系统动力学简介
多体系统动力学研究对象——机构 工程中的对象是由大量零部件构成的系统。在对它们进行设计优化与性态分析时可以分成两大类 一类为结构 ——正常工况下构件间没有相对运动（房屋建筑，桥梁等） ——关心的是这些结构在受到载荷时的强度、刚度与稳定 一类为机构 ——系统在运动过程中这些部件间存在相对运动（汽车，飞机起落架。机器人等）——力学模型为多个物体通过运动副连接的系统，称为多体系统 多体系统动力学俄研究的对象——机构（复杂机械系统）
不考虑系统运动起因的情况下研究各部件的位置与姿态及其变化速度和加速度的关系 典型案例：平面和空间机构的运动分析 系统各部件间通过运动副与驱动装置连接在一起 数学模型：各部件的位置与姿态坐标的非线性代数方程，以及速度与加速度的线性代数方程
当系统受到静载荷时，确定在运动副制约下的系统平衡位置以及运动副静反力 典型案例：机车或汽车中安装有大量的弹簧阻尼器，整车设计中必须考虑系统在静止状态下车身的位置与姿态，为平稳性与操纵稳定性的研究打下基础 数学模型：非线性微分代数方程组
讨论载荷和系统运动的关系 研究复杂机械系统在载荷作用下各部件的动力学响应是工程设计中的重要问题 动力学正问题——已知外力求系统运动的问题 动力学逆问题——已知系统运动确定运动副的动反力，是系统各部件强度分析的基础 动力学正逆混合问题——系统的某部分构件受控，当它们按照某已知规律运动时，讨论在外载荷作用下系统其他构件如何运动 数学模型：非线性微分代数方程组
机械系统的多体系统力学模型 在对复杂机械系统进行运动学与动力学分析前需要建立它的多体系统力学模型。对系统如下四要素进行定义： ?物体 ?铰链 ?外力（偶） ?力元 实际工程中的机械系统多体系统力学模型的定义取决于研究的目的 模型定义的要点是以能揭示系统运动学与动力学性态的最简模型为优 性态分析的求解规模与力学模型的物体与铰的个数有关
计算多刚体动力学介绍 1.多体系统动力学研究状况 工程领域对机械系统的研究主要有两大问题。第一个问题是涉及系统的结构强度分析。由于计算结构力学的理论与计算方法的研究不断深入。加之有限元（FEA）应用软件系统成功开发并应用，这方面的问题已经基本得到解决；另一个问题是要解决系统的运动学、动力学与控制的性态问题，也就是研究机械系统在载荷作用下各部件的动力学响应。作为大多数的机械系统，系统部件相互连接方式的拓扑与约束形式多种多样，受力的情况除了外力与系统各部件的相互作用外，还可能存在复杂的控制环节，故称为多体系统。与之适应的多体动力学的研究已经称为工程领域研究的热点和难点。 多体系统动力学的核心问题是建模和求解，其系统研究开始于20世纪60年代。起始于20世纪70年代的基于多体系统动力学的机械系统动力学分析与仿真技术，随着计算机技术，以及计算方法的不断进步，到了20世纪90年代，在国内外已经成熟并成功地应用于工业界，成为当代进行机械系统设计不可或缺的有力工具之一。 多体系统是指由多个物体通过运动副连接的负载机械系统。多体系统动力学的根本目的是应用计算机技术进行负载机械系统的动力学分析与仿真。它是在经典力学基础上产生的新学科分支，在经典刚体系统动力学的基础上，经历了多刚体系统动力学和计算多体系统动力学两个发展阶段，特别是在前者已经趋于成熟。 多体动力学是以多体系统动力学、计算方法，以及软件工程相互交叉为主要特点，面向工程实际问题新学科。计算多体动力学是指利用计算机数值手段来研究负载机械系统静力学分析、运动学分析、动力学分析，以及控制系统分析的理论和方法。计算多体动力学的产生极大地改变了传统机构动力学分析面貌，对于原先不能够求解或者求解困难的大型复杂问题，可以借助计算机顺利完成。 在20世纪80年代初，Haug等人提出了“计算多体动力学”的概念，认为其主要任务如下： （1）建立复杂机械系统运动学和动力学程式化的数学模型，开发实现这个数学模型的软件系统，再输入少量描述系统特征的数据、由计算机自动建立系统运动学与动力学方程。 （2）建立稳定的、有效的数值计算方法，分析弹性变形对静态偏差、稳定性、动态响应的影响，通过仿真由计算机自动产生系统的动力学响应。 （3）将仿真结果通过计算机终端以方便直观的形式表达出来。实现有效数据后处理，采用动画显示、图标或者其他方式提供数据后处理。 2.多刚体系统建模理论简介 多体系统动力学是基于经典力学理论的，多体系统中最简单的情况（自由质
第二部分运动学 运动学是研究物体作机械运动的几何性质，而不涉及引起运动的原因，也就是说，不涉及物体的受力。 物体的机械运动是指物体的空间位置随时间的变化，这种变化具有相对性，即对于不同的参照物这种变化具有不同的描述，因此，选取参考系或称参考基是运动学分析首先要解决的问题。其次，要研究物体及物体系统（刚体及刚体系）的位置、速度和加速度的变化以及它们在构件及机构中的传递，它们的数学模型如何表达，对这些变量如何分析和计算等。 我们仅仅研究刚体作平面运动的运动学。
第二章刚体的位置和姿态 运动学问题是研究物体或物体系统在空间的运动情况，即它或它们的空间形态如何随时间变化，以及它们形态之间的相互关系等等。为此，我们首先要解决的是，对它或它们的空间形态如何描述的问题。在《大学物理》课程里，我们已经学习了点的运动，但是物体的运动远比点的运动复杂，因为点只有位置而没有姿态，一个物体可以看作由无数的点组成，在运动过程中各个点的运动一般情况下是不一样的，也就是说，一个物体的运动不能视为一个点的运动。体育比赛之所以能够吸引数以千万计的目光，是因为大家不仅将运动员在比赛场地的状态视为一个点的运动，更主要的是欣赏他们力量型的或优美型的姿态。工程结构的运动状态更是如此，图2-0-1是曲柄连杆机构的示意图，我们对曲柄施加一力偶矩使之绕O点转动时，连杆和滑块将产生运动，显然，滑块的运动状态只能是沿滑槽移动，其上各点的运动是一样的，但是，连杆的运动就比滑块复杂，其上各点的运动不一样。因此我们需要寻找一种方法以描述这些点的位置以及它们相互的位置关系。为了从点的位置的描述过渡到刚体的形态的描述，我们将采用与《大学物理》中不同的方法。
第4章 刚体和刚体系统的平衡 4-1 质点系和刚体的平衡条件 例1：如图所示的平面刚架，在B 点处受到一水平力P =20kN 的作用，刚架自重不计，试求A 、D 处的约束力。 解：（1）选刚架为研究对象。 （2） 画受力图。根据三力汇交定理，RA 的指向如图所示。 （3） 列平衡方程。 0548 ∑=+=A R P X 05440∑=+=A D R R Y kN 4.22-25-==P R A kN 1051-==A D R R
例2：梁AB 受一力偶作用，其矩m = -100kN·m 。尺寸如图所示，试求支座A 、B 的反力。 解：（1）取梁AB 为研究对象 2）画受力图 由支座A 、B 的约束性质可知，RB 的作用线为垂直方向，而RA 的作用线方向不定。由于力偶只能与力偶相平衡，因此力RA 与力RB 必定组成一个力偶，其大小满足RA=RB ，指向如图所示。 3）列平衡方程求未知量 由平面力偶系的平衡方程有： 例3：在水平梁AB 上作用一力偶矩为M 的力偶，在梁长的中点C 处作用一集中力P 它与水平的夹角为θ ，如图所示。梁长为l 且自重不计。求支座A 和B 的反力。 解：取水平梁AB 为研究对象，画受力图。 例4：水平外伸梁AB ，若均布载荷q =20kN/m ，P =20kN ，力偶矩m =16kN·m ，a =0.8m 。求支座A 、B 处的约束力。 A kN R R kN R m R M A B A A 2020050i ===?=-=∑ 0cos -F 0A ∑==θP X x θ cos F A P x =0 F 2sin -M -0)(∑ =+?=l l P F M B i A θ2 sin M F θ P l B +=0 F -2sin M -0)(A B ∑ =?+=l l P F M y i θ2 sin M -F A θ P l y +=
an 和切向加速度 a 和法向加速 L ](A) a 相同, a 相同 n (B) a 相同，a 不同 L n (C) a, 不同, an 相同 (D) a 不同, a 不同 n ,不影响刚体转动惯量的是 (B)刚体质量 (D)转轴的位置 ](A) (B) (C) 大学物理 第3章刚体和流体 选择题 -、选择题 1. 一飞轮从静止开始作匀加速转动时 ，飞轮边缘上一点的法向加速度 a 的值怎样？ ](A) a 不变，a 为0 n L (C) an 增大，为0 (B) a 不变，a 不变 n t (D) an 增大，a 不变 2. 当飞轮作加速转动时，飞轮上到轮心距离不等的二点的切向加速度 度a 是否相同？ n 3. 下列各因素中 [ ](A)外力矩 (C) 刚体质量的分布 4. 关于刚体的转动惯量，以下说法中错误的是 转动惯量是刚体转动惯性大小的量度 转动惯量是刚体的固有属性，具有不变的量值
转动惯量是标量，对于给定的转轴，刚体顺时针转动和逆时针转动时 量的数值相同 (D) 转动惯量是相对量，随转轴的选取不同而不同 5.两个质量分布均匀的圆盘 A 和 B 的密度分别为 A 和 B,如果有 A > B,但 两圆盘的总质量和厚度相同.设两圆盘对通过盘心垂直于盘面的轴的转动惯量分别为 出，则有： J A 和 J\> Jb (B)山 VJb J\= Jb (D)不能确定J A 、J B 哪个大 3-1-6所示，一均匀圆环质量为 m,内半径为R,外半径 为圆环绕过中心且垂直于圆环面的转轴的转动惯量是 T ](A) (C) 6.如图 ](A) ( m R 2 2 R2 (B) m(
第3章 刚体和流体 一、选择题 1. 飞轮绕定轴作匀速转动时, 飞轮边缘上任一点的 [ ] (A) 切向加速度为零, 法向加速度不为零 (B) 切向加速度不为零, 法向加速度为零 (C) 切向加速度和法向加速度均为零 (D) 切向加速度和法向加速度均不为零 2. 刚体绕一定轴作匀变速转动时, 刚体上距转轴为r 的任一点的 [ ] (A) 切向加速度和法向加速度均不随时间变化 (B) 切向加速度和法向加速度均随时间变化 (C) 切向加速度恒定, 法向加速度随时间变化 (D) 切向加速度随时间变化, 法向加速度恒定 3. 一飞轮从静止开始作匀加速转动时, n 度ιa 的值怎样? [ ] (A) n a 不变, ιa 为0 (B) n a 不变, ιa 不变 (C) n a 增大, ιa 为0 (D) n a 增大, ιa 不变 4. 当飞轮作加速转动时, 飞轮上到轮心距离不等的二点的切向加速度ιa 和法向加速度n a 是否相同? [ ] (A) ιa 相同, n a 相同 (B) ιa 相同, n a 不同 (C) ιa 不同, n a 相同 (D) ιa 不同, n a 不同 5. 刚体的转动惯量只决定于 [ ] (A) 刚体的质量 (B) 刚体的质量的空间分布 (C) 刚体的质量对给定转轴的空间分布 (D) 转轴的位置 6. 关于刚体的转动惯量J , 下列说法中正确的是 [ ] (A) 轮子静止时其转动惯量为零 (B) 若m A ＞m B , 则J A ＞J B (C) 只要m 不变, 则J 一定不变 (D) 以上说法都不正确 7. 下列各因素中, 不影响刚体转动惯量的是 [ ] (A) 外力矩 (B) 刚体的质量 (C) 刚体的质量分布 (D) 转轴的位置 8. 关于刚体的转动惯量, 以下说法中错误的是 [ ] (A) 转动惯量是刚体转动惯性大小的量度 (B) 转动惯量是刚体的固有属性, 具有不变的量值 (C) 转动惯量是标量, 对于给定的转轴, 刚体顺时针转动和反时针转动时, 其转动 惯量的数值相同 (D) 转动惯量是相对量, 随转轴的选取不同而不同