2015年山东省淄博市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数
（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
2．集合A={x|y=x }，B={y|y=log 2x ，x ∈R}，则A ∩B 等于（ ）
3．已知命题p ：x ≠1或y ≠2，命题q ：x+y ≠3，则命题
p 是q 的（ ）
4．将函数y=sin （2x ﹣）图象向左平移
个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）
5．函数y=的一段大致图象是（ ）
C
6．某班组织文艺晚会，准备从A ，B 等8个节目中选出4个节目演出，要求：A ，B 两个节目至少有一个选中，且A ，B 同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为（ ）
7．已知x，y∈R，且2x+3y＞2﹣y+3﹣x，则下列各式中正确的是（）
8．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）
C
9．函数f（x）=e x+x2+x+1与g（x）的图象关于直线2x﹣y﹣3=0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为（）
B C D
10．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．某算法的程序框图如图所示，若输出结果为3，则可输入的实数x的个数共有
个．
12．已知不等式|8x+9|＜7和不等式ax2+bx＞2的解集相同，则实数a+b的值为．13．已知向量满足，，则的夹角为．14．在约束条件下，当3≤m≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的取值范围是（请用区间表示）．
15．对于函数f（x），若存在区间A=，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：
①f（x）=cos x；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．
存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（请写出所有正确的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16．已知函数f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（3，sinB）共线，求a，b的值．
17．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB=4，BC=CD=EA=ED=2，F是线段EB的中点．
（Ⅰ）证明：BD⊥AE；
（Ⅱ）求平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值．
18．为了开展全民健身运动，市体育馆面向市民全面开放，实行收费优惠，具体收费标准如下：
①锻炼时间不超过1小时，免费；
②锻炼时间为1小时以上且不超过2小时，收费2元；
③锻炼时间为2小时以上且不超过3小时，收费3元；
④锻炼时间超过3小时的时段，按每小时3元收费（不足1小时的部分按1小时计算）已知甲、乙两人独立到体育馆锻炼一次，两人锻炼时间都不会超过3小时，设甲、乙锻炼时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5，锻炼时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3．
（Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．
19．在数列{a n}中，a3=1，S n是其前n项和，且S n=a n+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求a n，S n；
（Ⅱ）设b n=log2S n，数列{c n}满足c n?b n+3?b n+4=1+n（n+1）（n+2）?2bn，数列{c n}的前n项和为T n，当n＞1时，求使T n＜2n+成立的最小正整数n的值．
20．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞1，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＜2+a恒成立，求a的
取值范围．
21．已知F1，F2分别是椭圆+y2=1（a＞1）的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，
F2到直线AF1的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F2的直线交椭圆于M，N两点，求?的取值范围；
（Ⅲ）过椭圆的右顶点C的直线l与椭圆交于点D（点D异于点C），与y轴交于点P（点P异于坐标原点O），直线AD与BC交于点Q．证明：?为定值．
2015年山东省淄博市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）
解：因为复数==
所以复数在复平面内对应的点为（﹣
2．集合A={x|y=x}，B={y|y=log2x，x∈R}，则A∩B等于（）
y=x
3．已知命题p：x≠1或y≠2，命题q：x+y≠3，则命题p是q的（）
4．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）
=
）图象向左平移个单位，
2x+）
x=x=
5．函数y=的一段大致图象是（ ）
C
，所以，函数在（﹣∞，
6．某班组织文艺晚会，准备从A ，B 等8个节目中选出4个节目演出，要求：
A ，
B 两个节目至少有一个选中，且A ，B 同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为（ ）
只有一个选中，则不同演出顺序有
共有：
7．已知x，y∈R，且2x+3y＞2﹣y+3﹣x，则下列各式中正确的是（）
8．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）
C
四棱锥的体积为：×=
﹣=
9．函数f（x）=e x+x2+x+1与g（x）的图象关于直线2x﹣y﹣3=0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为（）
C
d=
．
10．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（）
|MT|=|PF﹣（（
|OM|=|PF
|MT|=|PF=
×（﹣
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．某算法的程序框图如图所示，若输出结果为3，则可输入的实数x的个数共有 3 个．
的值，
12．已知不等式|8x+9|＜7和不等式ax2+bx＞2的解集相同，则实数a+b的值为﹣13 ．
﹣﹣
，﹣
=；
），
13．已知向量满足，，则的夹角为．
解：向量满足，
==
化为=
=．
故答案为：．
14．在约束条件下，当3≤m≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的取值范围是（请用区间表示）．
?
15．对于函数f（x），若存在区间A=，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：
①f（x）=cos x；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．
存在“同域区间”的“同域函数”的序号是①②③（请写出所有正确的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16．已知函数f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（3，sinB）共线，求a，b的值．
）﹣
间的距离为，可得最小正周期为
﹣C=，由已知可得
c=
sin+﹣
sin﹣﹣
sin2cos2
）﹣
∵其图象两相邻对称轴间的距离为．
2x
﹣
∴﹣＜，
=，
C=
由已知∥可得
17．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB=4，BC=CD=EA=ED=2，F是线段EB的中点．
（Ⅰ）证明：BD⊥AE；
（Ⅱ）求平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值．
BD=2AD=2
BD=2
AD=2
，2，，
=（﹣，，（
的法向量为
，取的一个法向量为=
的一个法向量为=
＜=
所成角（锐角）的余弦值为
18．为了开展全民健身运动，市体育馆面向市民全面开放，实行收费优惠，具体收费标准如下：
①锻炼时间不超过1小时，免费；
②锻炼时间为1小时以上且不超过2小时，收费2元；
③锻炼时间为2小时以上且不超过3小时，收费3元；
④锻炼时间超过3小时的时段，按每小时3元收费（不足1小时的部分按1小时计算）已知甲、乙两人独立到体育馆锻炼一次，两人锻炼时间都不会超过3小时，设甲、乙锻炼时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5，锻炼时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3．
（Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．
19．在数列{a n}中，a3=1，S n是其前n项和，且S n=a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a n，S n；