高考数学第一轮复习知识点分类指导
一、集合与简易逻辑
1.集合元素具有确定性、无序性和互异性.
（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，
}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个。
（答：8） （2）非空集合}5,4,3,2,1{?S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_____
个（答：7）
2. “极端”情况否忘记?=A ：集合{|10}A x ax =-=，{}
2
|320B x x x =-+=，且
A B B = ，则实数a ＝______.（答：10,1,2
a
=）
3.满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 （答：7）
4.运算性质：设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，
}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝___.（答：{2,3}A =，{2,4}B =）
5.集合的代表元素：（1）设集合{|M x y =，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则
M N = ___（答：[4,)+∞）；（2）设集合{|(1,2)(3,4),
M a a R λλ==+∈
，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+
，}R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--）
6.补集思想：已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一
个实数c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围。 （答：3
(3,)2
-）
7.复合命题真假的判断：在下列说法中：⑴“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑵“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑶“p 或q ”为真是“非p ”为假的必要不充分条件；⑷“非p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件。其中正确的是____答：⑴⑶）
8.充要条件：（1）给出下列命题：①实数0=a 是直线12=-y ax 与322=-y ax 平行的充要条件；②若0,,=∈ab R b a 是b a b a +=+成立的充要条件；③已知R y x ∈,，“若
0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ”；④“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_______（答：①④）；
（2）设命题p ：|43|1x -≤；命题q:0)1()12(2
≤+++-a a x a x 。若┐p 是┐q 的必要
而不充分的条件，则实数a 的取值范围是 （答：1
[0,]2
）
9. 一元一次不等式的解法：已知关于x 的不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为)3
1
,(--∞，则关于x 的不等式0)2()3(>-+-a b x b a 的解集为_______（答：{|3}x x <-）
10. 一元二次不等式的解集：解关于x 的不等式：01)1(2
<++-x a ax 。
（答：当0a =时，1x >；当0a <时，1x >或1x a <；当01a <<时，1
1x a
<<；当1
a =时，x ∈?；当1a >时，1
1x a
<<）
11. 对于方程02
=++c bx ax 有实数解的问题。（1）()()222210a x a x -+--<对一切
R x ∈恒成立，则a 的取值范围是_______（答：(1,2]）；（2）若在[0,]2
π
内有两个不等的实
根满足等式cos221x x k =+，则实数k 的范围是_______.（答：[0,1)）
12.一元二次方程根的分布理论。
（1）实系数方程2
20x ax b ++=的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则1
2
--a b 的取值范围是_________（答：（
4
1
，1）） （2）不等式2
3210x bx -+≤对[1,2]x ∈-恒成立，则实数b 的取值范围是____（答：?）。
二、函 数
1.映射f : A →B 的概念。
（1）设:f M N →是集合M 到N 的映射，下列说法正确的是 A 、M 中每一个元素在
N 中必有象 B 、N 中每一个元素在M 中必有原象 C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的 D 、N 是M 中所在元素的象的集合（答：A ）；（2）点),(b a 在映射f 的作用下的象是),(b a b a +-，则在f 作用下点)1,3(的原象为点________（答：（2，－1））；（3）若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个，A 到B 的函数有 个（答：81,64,81）；（4）设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}M N =-=，映射:f M N →满足条件“对任意的x M ∈，()x f x +是奇数”，这样的映射f 有____个（答：
12）
2.函数f : A →B 是特殊的映射。若函数422
12
+-=
x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝ （答：2）
3.若解析式相同，值域相同，但其定义域不同的函数，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为2y x =，值域为{4，1}的“天一函数”共有__个（答：9）
4.研究函数问题时要树立定义域优先的原则）： （1）函数
lg 3y x =
-的定义域是____(答：(0,2)(2,3)(3,4) )；（2）设函数
2()lg(21)f x ax x =++，①若()f x 的定义域是R ，求实数a 的取值范围；②若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围（答：①1a >；②01a ≤≤）
（2）复合函数的定义域：（1）若函数)(x f y =的定义域为??
????2,2
1，则)(log 2x f 的定义
域为__________（答：{}
42|≤≤x x ）；（2）若函数2
(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________（答：[1,5]）．
5.求函数值域（最值）的方法： （1）配方法―
1）当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2
-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值
范围是___（答：2
1
-
≥a ）；
（2）换元法（1）22sin 3cos 1y x x =--的值域为_____（答：17[4,
]8
-）； 2
）21y x =+的值域为_____（答：(3,)+∞）
t =，0t ≥。运用换元
法时，要特别要注意新元t 的范围）；
3）sin cos sin cos y x x x x =++?的值域为____
（答：1
[1,
2
-）； 4
）4y x =+的值域为____
（答：[14]）；
（3）函数有界性法―求函数2sin 11sin y θθ-=+，313x
x
y =+，2sin 11cos y θθ-=+的值域（答：
1(,]2-∞、（0,1）、3(,]2
-∞）；
（4）单调性法――求1(19)y x x x =-<<，2
29sin 1sin y x x
=++的值域为______（答：
80(0,)9、11
[,9]2
）；
（5）数形结合法――已知点(,)P x y 在圆22
1x y +=上，求2
y x +及2y x -的取值范围
（答：[
、[）
； （6）不等式法―设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则2
12
21)(b b a a +的取值
范围是____________.（答：(,0][4,)-∞+∞ ）。
（7）导数法―求函数32
()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。（答：－48）
6.分段函数的概念。（1）
设函数2
(1).(1)
()41)
x x f x x ?+
取值范围是____（答：(,2][0,10]-∞- ）；（2）已知1(0)()1(0)x f x x ≥?=?-
，则不等式
(2)(2)5x x f x +++≤的解集是___（答：3
(,]2
-∞）
7.求函数解析式的常用方法：
（1）待定系数法―已知()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式 。（答：2
1()212
f x x x =
++） （2）配凑法―（1）已知,s i n )c o s 1(2
x x f =-求()
2x f 的解析式___（答
：
242()2,[f x x x x =-+∈）
；（2）若22
1)1(x
x x x f +=-，则函数)1(-x f =___（答：223x x -+）；
（3）方程的思想―已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式（答：2
()33
f x x =--）；
8. 反函数：
（1）函数223y x ax =--在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是
A 、(],1a ∈-∞
B 、[)2,a ∈+∞
C 、[1,2]a ∈
D 、(],1a ∈-∞ [)2,+∞ （答：D ）
（2）设)0()1(
)(2
>+=x
x
x x f .求)(x f 的反函数)(1x f -（答：1()1)f x x -=>）． （3）反函数的性质：
①单调递增函数)(x f 满足条件)3(+ax f = x ，其中a ≠ 0 ，若)(x f 的反函数)(1
x f -的
定义域为??
????a
a 4,1 ，则)(x f 的定义域是____________（答：[4,7]）.
②已知函数13
2)(-+=
x x x f ，若函数()y g x =与)1(1
+=-x f y 的图象关于直线x y =对
称，求(3)g 的值（答：7
2
）；
③（1）已知函数)24
(
log )(3+=x
x f ，则方程4)(1=-x f 的解=x ______（答：1）
； ④已知()f x 是R 上的增函数，点()()1,1,1,3A B -在它的图象上，()1f x -是它的反函数，那
么不等式()12log 1f x -<的解集为________（答：（2,8））；
9.函数的奇偶性。
（1）①定义法：判断函数
y =
____（答：奇函数）。
②等价形式：判断11
()()212
x
f x x =+-的奇偶性___.（答：偶函数） ③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称。 （2）函数奇偶性的性质：若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==.
若定义在R 上的偶函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，且)31
(f =2，则不等式2
)(log 8
1>x f 的解集为______.（答：(0,0.5)(2,)+∞ ）
④若22
()21
x x a a f x +-=+·为奇函数，则实数a ＝____（答：1）. (0)0f =
⑤设)(x f 是定义域为R 的任一函数， ()()
()2
f x f x F x +-=，()()()2f x f x G x --=。①
判断)(x F 与)(x G 的奇偶性； ②若将函数)110lg()(+=x
x f ，表示成一个奇函数)(x g 和一
个偶函数)(x h 之和，则)(x g ＝____（答：①)(x F 为偶函数，)(x G 为奇函数；②)(x g ＝1
2
x ）
10.函数的单调性。
（1）若()f x 在区间(,)a b 内为增函数，则()0f x '≥，已知函数3
()f x x ax =-在区间
[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是____(答：(0,3]）)；
（2）若函数2)1(2)(2
+-+=x a x x f 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a 的取值范围是______(答：3-≤a ）)；
（3）已知函数1
()2
ax f x x +=
+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____（答：1
(,)2
+∞）； （4）函数()
212
log 2y x x =-+的单调递增区间是________(答：（1,2）)。
（5）已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数
m 的取值范围。（答：12
23
m -<<）
11. 常见的图象变换
①设()2,()x
f x
g x -=的图像与()f x 的图像关于直线y x =对称，()
h x 的图像由()g x 的
图像向右平移1个单位得到，则()h x 为__________(答： 2()log (1)h x x =--)
②函数()lg(2)1f x x x =?+-的图象与x 轴的交点个数有____个(答：2)
③将函数a a
x b
y ++=的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线x y =对称,那么
0,1)(≠-=b a A R b a B ∈-=,1)( 0,1)(≠=b a C R b a D ∈=,0)( (答：
C)
④函数()ax f y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴伸缩为原来的a
1
得到的。如若函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴方程是_______(答：1
2
x =-)．
12. 函数的对称性。
①已知二次函数)0()(2≠+=a bx ax x f 满足条件)3()5(-=-x f x f 且方程x
x f =)(有等根，则)(x f ＝_____(答：2
12
x x -
+)； ②己知函数33
(),()232
x f x x x -=
≠-,若)1(+=x f y 的图像是1C ,它关于直线y x =对称图像是22,C C 关于原点对称的图像为33,C C 则对应的函数解析式是_______（答：
221
x y x +=-+）；
③若函数x x y +=2
与)(x g y =的图象关于点（-2，3）对称，则)(x g ＝______（答：276x x ---）
13. 函数的周期性。
（1）类比“三角函数图像”已知定义在R 上的函数()f x 是以2为周期的奇函数，则方程
()0f x =在[2,2]-上至少有__________个实数根（答：5）
（2）由周期函数的定义
(1) 设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于_____(答：5.0-)；(2)已知()f x 是偶函数，且(1)f =993，()g x =(1)f x -是奇函数，求(2005)f 的值(答：993)；（3）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，
若它的最小正周期为T ，则=-
)2
(T
f ____（答：0） （2）利用函数的性质
（1）设函数()()f x x N ∈表示x 除以3的余数，则对任意的,x y N ∈，都有 A 、(3)()f x f x += B 、()()()f x y f x f y +=+ C 、(3)3()f x f x = D 、()()()f xy f x f y =（答：A ）；
（2）设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，且满足)()1()2(x f x f x f -+=+，如果
2
3
lg
)1(=f ，15lg )2(=f ，求)2001(f （答：1）；（3）已知定义域为R 的函数)(x f 满足)4()(+-=-x f x f ，且当2>x 时，)(x f 单调递增。如果421<+x x ，且0)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值的符号是____（答：负数） （3）利用一些方法
（1）若x R ∈，()f x 满足()()f x y f x +=()f y +，则()f x 的奇偶性是______（答：奇函数）；（2）若x R ∈，()f x 满足()()f xy f x =()f y +，则()f x 的奇偶性是______（答：偶函数）；（3）已知()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，
当03x <<时，()f x 的图像如右图所示，那么不等式()cos 0f x x <
的解集是_____________（答：(,1)(0,1)(,3)22
π
π
-
- ）；
三、数 列
1、数列的概念：（1）已知*
2()156n n a n N n =
∈+，则在数列{}n
a 的最大项为__（答：125）；（2）数列}{n a 的通项为1
+=bn an
a n ，其中
b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：
n a <1+n a ）
；（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；
A B C D
2.等差数列的有关概念：
(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）；（2）
首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833
d <≤）
（1）数列 {}n a 中，*
11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152
n S =-，则1a ＝
＿，n ＝＿（答：13a =-，10n =）；
（2）已知数列 {}n a 的前n 项和2
12n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答：
2*
2*
12(6,)1272(6,)
n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）. （4）等差中项
3.等差数列的性质：
（1）等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝____（答：27）；
（2）在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则A 、
1210,S S S 都小于0，1112,S S 都大于0 B 、1219,S S S 都小于0，2021,S S 都大于0 C 、125,S S S 都小于0，67,S S 都大于0 D 、1220,S S S 都小于0，2122,S S 都大于0
（答：B ）
等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 。（答：225） （2）在等差数列中，S 11＝22，则6a ＝______（答：2）；（2）项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.
设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若3
41
3-+=
n n T S n n ，那么
=n
n b a ___________（答：
62
87n n --） （3）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：
前13项和最大，最大值为169）；
（2）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，
200320040a a ?<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是 （答：4006）
4.等比数列的有关概念： （1）等比数列的判断方法：（1）一个等比数列{n a }共有21n +项，奇数项之积为100，偶数
项之积为120，则1n a +为____（答：
5
6
）；（2）数列{}n a 中，n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若n n n a a b 21-=+ ，求证：数列｛n b ｝是等比数列。
（2）等比数列的通项：设等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝
126，求n 和公比q . （答：6n =，1
2
q =或2）
（3）等比数列的前n 和：（1）等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ （答：44）；
（2）
)(1010
∑∑==n n
k k
n
C
的值为__________（答：2046）
； （4）等比中项：已知两个正数,()a b a b ≠的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大
小关系为______（答：A ＞B ）
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）奇数个数成等比，可设为…，
22
,,,,a a
a aq aq q q
...（公比为q ）；但偶数个数成等比时，不能设为 (33)
,,,aq aq q a q
a ，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2
q 。 5.等比数列的性质：
（1）在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ?=，则3132310log log log a a a +++= （答：10）。
（1）已知0a >且1a ≠，设数列{}n x 满足1l o g 1l o g a n a
n x x +=+(*)n N ∈，且12100
100x x x
+++= ，则101102200x x x +++= . （答：100100a ）；（2）在等比
数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，若140,1330101030=+=S S S S ，则20S 的值为______（答：40）
若{}n a 是等比数列，且3n n S r =+，则r ＝ （答：－1）
设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q 的值为-_____（答：－2）
设数列{}n a 的前n 项和为n S （N ∈n ）， 关于数列{}n a 有下列三个命题：①若
)(1
N ∈=+n a a n n ，则{}n a 既是等差数列又是等比数列；②若()R ∈+=b a n b n a S n 、2，则
{}n a 是等差数列；③若()n n S 11--=，则{}n a 是等比数列。这些命题中，真命题的序号是
（答：②③）
6.数列的通项的求法：
已知数列 ,32
1
9,1617,815,413
试写出其一个通项公式：__________（答：1
1
212n n a n +=++
） ①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a （答：{
3,1
2,2
n n n a n ==≥）；②数列{}
n a 满足
12211125222
n n a a a n +++=+ ，求n a （答：{
114,12,2n n n a n +==≥）
数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a ______（答：61
16
） 已知数列{}n a 满足11a =，n
n a a n n ++=
--111(2)n ≥，则n a =________（答
：
1n a =）
已知数列}{n a 中，21=a ，前n 项和n S ，若n n a n S 2=，求n a （答：4
(1)
n a n n =
+）
①已知111,32n n a a a -==+，求n a （答：1231n n a -=- ）
；②已知111,32n n n a a a -==+，求n a （答：11532n n n a -+=- ）
； ①已知1
111,31
n n n a a a a --==
+，求n a （答：132n a n =-）；②已知数列满足1a =1
，
=n a （答：21
n a n =）
数列{}n a 满足11154,3
n n n a S S a ++=+=，求n a （答：{
1
4,1
34,2n n n a n -==?≥） 7.数列求和的常用方法：
（1）公式法：（1）等比数列{}n a 的前n 项和S ｎ＝2ｎ
－１，则2
232221n a a a a ++++ ＝
_____（答：41
3
n -）；（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，
如2)1101
(表示二进制数，将它转换成十进制形式是13212021210123=?+?+?+?，那么将二
进制
1
20052)11111(个转换成十进制数是_______（答：2005
2
1-）
（2）分组求和法： 1357(1)(21)n n S n =-+-+-+-- （答：(1)n n -?）
（3）倒序相加法：①求证：01235(21)(1)2
n n n n n n C C C n C n +++++=+ ；②已知2
2
()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝______（答：72）
（4）错位相减法：（1）设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++ ，已知11T =，
24T =，①求数列{}n a 的首项和公比；②求数列{}n T 的通项公式.（答：①11a =，2q =；
②122n n T n +=--）；（2）设函数)1(4)()1()(2-=-=x x g x x f ，，数列}{n a 满足：
12,()n a f a =(n a =-
))(()1++∈N n a g a n n ，①求证：数列}1{-n a 是等比数列；②令212()(1)(1)h x a x a x =-+-
(1)n n a x ++- ，求函数)(x h 在点3
8
=x 处的导数)38(h '，并比较)38(h '与n n -22的大小。
（答：①略；②8()(1)213n h n '=-+
，当1n =时，)3
8
(h '＝n n -22；当2n =时，)38(h ' 8 (h '>n n -22） （5）裂项相消法：（1）求和：111 1447(32)(31)n n +++=??-?+ （答：31n n +）；（2）在数列{}n a 中，1 1 ++=n n a n ，且S ｎ＝９，则n ＝_____（答：99）； （6）通项转换法：求和：111 112123123n ++++=+++++++ （答： 21n n +） 四、三角函数 1、α的终边与 6π的终边关于直线x y =对称，则α＝_____。（答：Z k k ∈+,3 2π π） 若α是第二象限角，则2 α 是第_____象限角（答：一、三）；已知扇形AOB 的周长是6cm ， 该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：22 cm ） 2、三角函数的定义：（1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααc o s s i n +的值为＿＿。（答：713-）；（2）设α是第三、四象限角，m m --=432sin α，则m 的取值范围是_______（答：（－1，)23 ）； 3.三角函数线（1）若08π θ-<<，则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系为_____(答：tan sin cos θθθ<<)；（2）若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大 小关系为_______ （答：sin tan ααα<<）；（3）函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的 y T A x α B S O M P 定义域是_______（答：2(2,2]()33 k k k Z π π ππ- + ∈） 4.同角三角函数的基本关系式：（1）已知53sin +-=m m θ，)2 (524cos πθπ θ<<+-=m m ，则θt a n ＝____（答：12 5-）；（2）已知11tan tan -=-αα，则ααα αc o s s i n c o s 3s i n +-＝____； 2cos sin sin 2++ααα＝___（答：35-；5 13 ）；（3）已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sin f 的值为______（答：－1）。 5.三角函数诱导公式（1）97cos tan()sin 2146πππ+-+的值为________（答：2）；（2）已知5 4)540sin(-=+α ，则=-)270c o s ( α______，若α为第二象限角，则 =+-+-) 180tan()]360cos()180[sin(2 ααα ________。（答：54-；1003-） 6、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： （1）下列各式中，值为 12的是 A 、1515sin cos B 、221212 cos sin ππ- C 、 22251225tan .tan .- D （答：C ）； （2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 A 、充要条件 B 、 充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件（答：C ）；（3）已知 35sin()cos cos()sin αβααβα---= ，那么2cos β的值为____（答：7 25 ）；（4） 11080 sin sin - 的值是______（答：4）；(5)已知0tan110a =，求0 tan 50的值（用a 表示） ，乙求得的结果是212a a -，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是 ______（答：甲、乙都对） 7. 三角函数的化简、计算、证明 （1）巧变角：（1）已知2tan()5αβ+= ，1tan()44πβ-=，那么tan()4 π α+的值是_____（答：322）；（2）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3 cos()5 αβ+=-，则y 与x 的 函数关系为______（答：43 (1)55 y x x =<<） (2)三角函数名互化(切割化弦)，（1）求值sin50(1) （答：1）；（2）已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值（答：1 8 ） (3)公式变形使用设ABC ?中，tan A tan B Atan B +，4 sin Acos A =， 则此三角形是____三角形（答：等边） (4)三角函数次数的降升 函数25f (x )sin xcos x x = -x R )∈的单调递增区间为___________（答：51212 [k ,k ](k Z )π π ππ- + ∈） (5)式子结构的转化（1）tan (cos sin )ααα- sin tan cot csc αα αα +++（答：sin α）；（2）求证： 21tan 1sin 212sin 1tan 22αααα++= --；（3）化简：42212cos 2cos 22tan()sin () 44 x x x x ππ-+ -+（答：1cos 22 x ） (6)常值变换主要指“1”的变换已知tan 2α=，求22 sin sin cos 3cos αααα+-（答：35 ）. (7)“知一求二”（1）若 sin cos x x t ±=，则sin cos x x = __（答：21 2 t -±)，特别提醒： 这里[t ∈；（2）若1(0,),sin cos 2απαα∈+=，求tan α的值。 （答：）； 8、辅助角公式中辅助角的确定：（1） 若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；（2）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tan x 的值是 ______(答：3 2 -)；（3）如果()()sin 2cos()f x x x ??=+++是奇函数，则tan ?= (答：－ 2)；（4）求值：=?+? -?20sin 6420cos 120sin 32 2 2________(答：32) 9、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）若函数sin(3)6 y a b x π=-+的最大值为23，最小值为21 -，则=a __，=b ＿（答： 1,12 a b ==或1b =-）；（2）函数x x x f cos 3sin )(+=（]2,2[ππ-∈x ）的值域是____（答： [－1, 2]）；（3）若2αβπ+=，则6y cos sin βα=-的最大值和最小值分别是____ 、_____ （答：7；－5）；（4） 函数2()2cos sin()3 f x x x x π =+-sin cos x x +的最小值是_____， 此时x ＝__________（答：2；()12 k k Z π π+ ∈）；（5）己知2 1 cos sin = βα，求αβc os s i n =t 的变化范围（答：1[0,]2 ）；（6）若αβαcos 2sin 2sin 22=+，求βα22 s i n s i n +=y 的最大、 最小值（答：1max =y ，222min -=y ）。 （3）周期性： (1)若3 sin )(x x f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++ ＝___（答：0）； (2) 函数4 ()cos f x x =2sin cos x x -4sin x -的最小正周期为____（答：π）；(3) 设函数 )5 2 sin( 2)(π π + =x x f ，若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则||21x x -的最小 值为____（答：2） （4）奇偶性与对称性：（1）函数522y sin x π?? =- ??? 的奇偶性是______（答：偶函数） ；（2）已知函数31f (x )ax bsin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f()-=______（答：－5）； （3）函数)c o s (s i n c o s 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________（答：128k ( ,)(k Z )ππ-∈、28 k x (k Z )ππ=+∈）；（4）已 知f (x )s i n )c o s (x )θθ=++为偶函数，求θ的值。（答：6 k (k Z )π θπ=+∈） （5）单调性： 16、形如sin()y A x ω?=+的函数： ()sin()(0,0f x A x A ω?ω=+>>，||)2 π ?< 则()f x ＝_____（答：15()2sin()23 f x x π =+）； （1）函数2sin(2)14 y x π =- -sin y x =的图象？（答：2sin(2)14y x π=--向上平移1个单位得2sin(2)4 y x π =-的图象，再向左平移8 π 个单位得2sin 2y x =的图象，横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象， 最后将纵坐标缩小到原来的12即得sin y x =的图象）；(2) 要得到函数cos()24x y π =-的图 象，只需把函数sin 2x y =的图象向___平移____个单位（答：左；2 π ）；（3）将函数 72sin(2)13y x π =- +图像，按向量a 平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯 一？若唯一，求出a ；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量(,1)6 a π=-- ）；（4）若函数()[]()cos sin 0,2f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有 四个不同的交点，则k 的取值范围是 （答：） （5）研究函数sin()y A x ω?=+性质的方法：（1）函数23 y sin(x )π =-+的递减区间是 ______（答：51212[k ,k ](k Z )ππππ- +∈）；（2）1234x y log cos()π =+的递减区间是_______（答：336644[k ,k ](k Z )π πππ-+∈）；（3）设函数)2 2,0,0)(sin()(π?πω?ω<<->≠+=A x A x f 的图象关于直线3 2π =x 对称，它的周期是π，则A 、)21,0()(的图象过点x f B 、()f x 在区 间52[ ,]123ππ 上是减函数 C 、)0,12 5()(π是的图象的一个对称中心x f D 、()f x 的最大值是A （答：C ）；（4）对于函数()2sin 23f x x π? ?=+ ?? ?给出下列结论：①图象关于原点成中心对称； ②图象关于直线12 x π =成轴对称；③图象可由函数2sin 2y x =的图像向左平移 3 π 个单位得到；④图像向左平移 12 π 个单位，即得到函数2cos 2y x =的图像。其中正确结论是_______（答：②④）；（5）已知函数()2sin()f x x ω?=+图象与直线1y =的交点中，距离最近两点间的距 离为3 π ，那么此函数的周期是_______（答：π） x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2 π ，而1|2s i n (3)|,|2s i n (3)2|626 y x y x ππ =-+=-+，|tan |y x =的周期不变； ABC ?中，若C B A B A 22222sin sin cos cos sin =-，判断ABC ?的形状（答：直角 三角形）。 （1）ABC ?中，A 、B 的对边分别是 a b 、 ，且A=60 4,a b == ，那么满足条件的ABC ? A 、 有一个解 B 、有两个解 C 、无解 D 、不能确定（答：C ）；（2）在ABC ?中，A ＞B 是sin A sin B >成立的_____条件（答：充要）；（3）在ABC ?中， 112(tan A)(tan B )++=，则2log sinC ＝_____（答：1 2 - ）；(4)在ABC ?中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若(a b c )(sin A sin B +++3sinC )a sin B -=，则C ∠＝____（答： 60 ）；（5）在ABC ?中，若其面积222 S =则C ∠=____（答：30 ）；（6）在ABC ? 中，60 1A ,b == ，则ABC ?外接圆的直径是_______（答：3 ）； （7）在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，21,cos 32 B C a A +==则= ， 22b c +的最大值为 （答：19 32;）；（8）在△ABC 中AB=1，BC=2，则角C 的取值范围是 （答：06 C π<≤）；（9）设O 是锐角三角形ABC 的外心，若75C ∠= ，且 ,,AOB BOC COA ???的面积满足关系式AOB BOC COA S S ???+=，求A ∠（答：45 ）． 19.求角的方法（1）若,(0,)αβπ∈，且t a n α、tan β是方程2560x x -+=的两根，则求αβ +的值______（答：34 π ）；（2）ABC ?中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则C ∠＝_______（答： 3 π ）；（3）若02αβγπ≤<<<且0sin sin sin αβγ++=， 0cos cos cos αβγ++=，求βα-的值（答： 23 π）. 五、平面向量 1、向量有关概念： （1）向量的概念：已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得 到的向量是_____（答：（3,0）） 下列命题：（1）若a b = ，则a b = 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同， 终点相同。（3）若A B D C = ，则A B C D 是平行四边形。（4）若A B C D 是平行四边形，则AB DC = 。（5）若,a b b c == ，则a c = 。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______（答：（4）（5）） 2、向量的表示方法：（1）若(1,1),a b == (1,1),(1,2)c -=- ，则c = ______（答：132 2a b - ）； （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D. 1213 (2,3),(,)24e e =-=- （答：B ） ；（3）已知,AD BE 分别是ABC ?的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b == ,则BC 可用向量,a b 表示 为_____（答：2433 a b + ）；（4）已知ABC ?中，点D 在BC 边上，且?→ ??→?=DB CD 2， ?→ ??→??→?+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___（答：0） 4、实数与向量的积 5、平面向量的数量积： （1）△ABC 中，3||=?→ ?AB ，4||=?→ ?AC ，5||=?→ ?BC ，则=?_________（答：－9）； （2）已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=- ，c 与d 的夹角为4π ，则k 等于____（答：1）； （3）已知2,5,3a b a b ===- ，则a b + 等于____；（4）已知,a b 是两个非零向 量，且a b a b ==- ，则与a a b + 的夹角为____（答：30 ） 已知3||=→a ，5||=→b ，且12=?→→b a ，则向量→a 在向量→ b 上的投影为______（答： 5 12） （1）已知)2,(λλ=→ a ，)2,3(λ=→ b ，如果→ a 与→ b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______ （答：43λ<-或0λ>且13 λ≠）；（2）已知OF Q ?的面积为S ，且1=??→??→?FQ OF ，若 2 3 21< (cos ,si n ),(cos ,si n a x x b y y == a 与b 之间有关系式,0ka b kb k +=-> 其中，①用k 表 示a b ? ；②求a b ? 的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小（答：①21(0)4k a b k k +?=> ；②最小值为 12 ，60θ= ） 6、向量的运算： （1）几何运算： （1）化简：①AB BC CD ++= ___；② AB AD DC --= ____； ③()()AB CD AC BD ---= _____（答：①AD ；②CB ；③0 ）；（2）若正方形ABCD 的边长 为1，,,AB a BC b AC c === ，则||a b c ++ ＝_____（答：；（3）若O 是ABC 所在 平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+- ，则ABC 的形状为____（答：直角三角 形）；（4）若D 为ABC ?的边BC 的中点，ABC ?所在平面内有一点P ，满足 0P A B P C P ++= ，设|| || AP PD λ= ，则λ的值为___（答：2）；（5）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++= ，则ABC △的内角C 为____（答：120 ）； （2）坐标运算：（1）已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若()AP AB AC R λλ=+∈ ，则当λ ＝____时，点P 在第一、三象限的角平分线上（答： 1 2 ）；（2）已知1(2,3),(1,4),(sin ,cos )2A B AB x y = 且，,(,)22x y ππ∈-，则x y += （答：6 π 或2π-）；（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-= ，则合力123F F F F =++ 的 终点坐标是 （答：（9,1）） 设(2,3),(1,5)A B -，且13 AC AB = ，3AD AB = ，则C 、D 的坐标分别是__________（答： 11 (1,),(7,9)3 -） ； 已知向量＝（sinx ，cosx ）, ＝（sinx ，sinx ）, ＝（－1，0）。（1）若x ＝3 π ，求向量a 、c 的夹角；（2）若x ∈]4,83[ππ- ，函数b a x f ?=λ)(的最大值为2 1 ，求λ的值（答：1 (1)150;(2)2 或1）； 已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60 ，那么|3|a b + ＝_____； 如图，在平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠= ，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是 这样定义的：若12OP xe ye =+ ，其中12,e e 分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y 。（1）若点P 的斜坐标为（2，－2），求P 到O 的距离｜PO ｜；（2）求以O 为圆 心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程。（答：（1）2；（2）22 10x y xy ++-=）； 7、向量的运算律：下列命题中：① → →→ →→ → → ?-?=-?c a b a c b a )(；② → → →→ →→ ??=??c b a c b a )()(； ③ 2 ()a b → → -2 ||a → =2 2||||||a b b → → → -?+；④ 若0=?→ →b a ，则0=→ a 或0=→ b ；⑤若,a b c b ?=? 则 a c = ；⑥22a a = ；⑦2a b b a a ?= ；⑧222()a b a b ?=? ；⑨222()2a b a a b b -=-?+ 。其中正确的 是______（答：①⑥⑨） (1)若向量(,1),(4,)a x b x == ，当x ＝_____时a 与b 共线且方向相同（答：2）；（2）已 知(1,1),(4,)a b x == ，2u a b =+ ，2v a b =+ ，且//u v ，则x ＝______（答：4）；（3）设 (,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k === ，则k ＝_____时，A,B,C 共线（答：－2或11） (1)已知(1,2),(3,)OA OB m =-= ，若OA OB ⊥ ，则m = （答：3 2 ）；（2）以原点 O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=?，则点B 的坐标是________ （答： (1,3)或（3，－1））；（3）已知(,),n a b = 向量n m ⊥ ，且n m = ，则m 的坐标是________ （答： (,)(,)b a b a --或） 10.线段的定比分点： 若点P 分AB 所成的比为34，则A 分BP 所成的比为_______（答：7 3 -） （1）若M （-3，-2），N （6，-1），且1MP MN 3--→ --→=-，则点P 的坐标为_______（答：7 (6,)3 --）； （2）已知(,0),(3,2)A a B a +，直线1 2 y ax = 与线段AB 交于M ，且2AM MB = ，则a 等于_______（答：２或－４） 11.平移公式：（1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a 把点(7,2)-平移到点______ （答：（－８，３））；（2）函数x y 2sin =的图象按向量→ a 平移后，所得函数的解析式是 12cos +=x y ，则→ a ＝________（答：)1,4 (π - ） 12、向量中一些常用的结论： 若⊿ABC 的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、 （-1，-1），则⊿ABC 的重心的坐标为_______（答：24 (,)33 - ）； 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足 =?→ ?OC ?→ ??→ ?+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹是_______（答：直线AB ） 六、不等式 1、不等式的性质： （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①2 2,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③2 2,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 1 1,0<<<则 若；⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）； 2. 不等式大小比较的常用方法：比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小（答：当 01x <<或43x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当4 3 x =时， 1+3log x ＝2log 2x ） 3. 利用重要不等式求函数最值 （1）下列命题中正确的是A 、1y x x =+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2 C 、423(0)y x x x =-->的最大值是2- D 、23(0)y x x x =-->的最小值是 2-C ） ；（2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______（答：；（3）正数 ,x y 满足21x y +=，则y x 1 1+的最小值为______（答：3+； 4.常用不等式有：如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_____（答：[)9,+∞） 5、证明不等式的方法： （1）已知c b a >>，求证：2 22222ca bc ab a c c b b a ++>++ ；(2) 已知R c b a ∈,,， 求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++；（3）已知,,,a b x y R +∈，且11 ,x y a b >>，求证： x y x a y b >++；(4)已知R c b a ∈,,，求证：2222 a b b c +22()c a abc a b c +≥++； 6.简单的一元高次不等式的解法：（1）解不等式2(1)(2)0x x -+≥。（答：{|1x x ≥或 2}x =-） ；（2）不等式(0x -≥的解集是____（答：{|3x x ≥或1}x =-）；（3）设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<，()0g x ≥的解集为?，则不等式()()0f x g x > 的解集为____（答：(,1)[2,)-∞+∞ ）；（4）要使满足关于x 的不等式0922 <+-a x x （解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式 08603422<+-<+-x x x x 和中的一个，则实数a 的取值范围是_____.（答：81 [7, )8 ） 7.分式不等式的解法：（1）解不等式 25123 x x x -<---（答：(1,1)(2,3)- ）； （2）关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式 02 >-+x b ax 的解集为____________（答：),2()1,(+∞--∞ ）. 8.绝对值不等式的解法：解不等式|||1|3x x +->（答：(,1)(2,)-∞-+∞ ）；若不等式 |32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______。（答：4 {}3 ） 9、含参不等式的解法：（1）若2log 13a <，则a 的取值范围是_____（答：1a >或2 03 a <<）； （2）解不等式 2 ()1 ax x a R ax >∈-（答：0a =时，{|x 0}x <；0a >时，1{|x x a >或0}x <；0a <时，1 {|0}x x a <<或0}x <）；（3）关于x 的不等式0>-b ax 的解集为)1,(-∞，则不 等式02 >+-b ax x 的解集为__________（答：（－1,2）） 11.恒成立问题（1）设实数,x y 满足22 (1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围 是______（答：) 1,+∞）；（2）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____（答：1a <）；（3）若不等式)1(122->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成 立，则x 的取值范围_____（答：（712-,312+））；（4）若不等式n a n n 1)1(2)1(+-+<-对 于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_____（答：3 [2,)2 -）；（5）若不等式 22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.（答：1 2 m >-）（6） 已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______（答：1a >） 七、直线和圆 1、直线的倾斜角：（1）直线023co s =-+y x θ的倾斜角的范围是____（答： 5[0][)66，，πππ ）；（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[ππα∈值的范围是______（答：42≥-≤m m 或） 2、直线的斜率： (1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则x y 的最大值、最小值分别为______（答： 2 ,13 -） 3、直线的方程：（1）经过点（2，1）且方向向量为v =(－1,3)的直线的点斜式方程是 ___________（答：12)y x -=-）；（2）直线(2)(21)(34)0m x m y m +----=，不管 m 怎样变化恒过点______（答：(1,2)--） ；（3）若曲线||y a x =与(0)y x a a =+>有两个公共点，则a 的取值范围是_______（答：1a >） 过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3） 4.设直线方程的一些常用技巧： 5、点到直线的距离及两平行直线间的距离： 6、直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系： （1）设直线1:60l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=，当m ＝_______时1l ∥2l ；当m ＝________时1l ⊥2l ；当m _________时1l 与2l 相交；当m ＝_________时1l 与2l 重合（答： －1； 1 2 ；31且m m ≠≠-；3）；（2）已知直线l 的方程为34120x y +-=，则与l 平行，且过点（—1，3）的直线方程是______（答：3490x y +-=）；（3）两条直线40ax y +-=与20x y --=相交于第一象限，则实数a 的取值范围是____（答：12a -<<）；（4）设,,a b c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ++= 与sin sin 0bx B y C -+= 的位置关系是____（答：垂直）；（5）已知点111(,)P x y 是直线:(,)0l f x y =上一点，222(,)P x y 是直线l 外一点，则方程1122(,)(,)(,)f x y f x y f x y ++＝0所表示的直线与l 的关系是____（答：平行）；（6）直线l 过点（１，０），且被两平行直线 360x y +-=和330x y ++=所截得的线段长为9，则直线l 的方程是________（答： 43401 x y x +-==和） 7、到角和夹角公式：已知点M 是直线240x y --=与x 轴的交点，把直线l 绕点M 逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是______（答：360x y +-=） 8、对称（1）已知点(,)M a b 与点N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线0x y +=对称，则点Q 的坐标为_______（答：(,)b a ）；（2）已知直线1l 与2l 的夹角平分线为y x =，若1l 的方程为0(0)ax by c ab ++=>，那么2l 的方程是___________（答：0bx ay c ++=）；（3）点Ａ（４，５）关于直线l 的对称点为Ｂ(－2,7)，则l 的方程是_________（答：3y=3x ＋）；（4）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线l :3x －4y+4=0反射。如果 反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________（答：18x 510y -=＋）； （5）已知ΔABC 顶点A(3，－１)，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y －59=0，∠B 的 平分线所在的方程为x －4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程（答：29650x y +-=）；（6）直线2x ―y ―4=0上有一点Ｐ，它与两定点Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距离之差最大，则Ｐ的坐标是______（答：（5,6））；（7）已知A x ∈轴，:B l y x ∈=，C （2，1），ABC 周长的最小值为______ （答：。 9、简单的线性规划： 已知点A （—2，4），B （4，2），且直线:2l y kx =-与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是__________（答：(][)31∞∞ －，－，＋） （1）线性目标函数z=2x －y 在线性约束条件 { ||1 ||1x y ≤≤下，取最小值的最优解是____（答： （－1，1））；（2）点（－２，t ）在直线2x －3y+6=0的上方，则t 的取值范围是_________（答： 2 3 t > ）；（3）不等式2|1||1|≤-+-y x 表示的平面区域的面积是_________（答：8）；（4）如果实数y x ,满足20 40250x y x y x y -+≥??+-≥?--≤??，则|42|-+=y x z 的最大值_________（答：21） 10、圆的方程： （1）圆C 与圆22 (1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为____________（答： 22(1)1x y ++=） ；（2）圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________（答：9)3()3(2 2 =-+-y x 或1)1()1(2 2 =++-y x ）；（3） 已知(1P -是圆 { cos sin x r y r θθ==（θ为参数，02)θπ≤<上的点，则圆的普通方程为________，P 点对应的θ值 为_______，过P 点的圆的切线方程是___________（答：22 4x y +＝；23 π ；40x +=）； （4）如果直线l 将圆：x 2+y 2 -2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是____ （答：[0，2]）；（5）方程x 2+y ２ －x+y+k=0表示一个圆，则实数k 的取值范围为____（答：2 1 （6）若{ 3cos {(,)|3sin x M x y y θθ===（θ为参数，0)}θπ<<，{}b x y y x N +==|),(，若 φ≠N M ，则b 的取值范围是_________ （答：( －） 11、点P(5a+1,12a)在圆(x －１)２ ＋y 2=1的内部,则a 的取值范围是______（答：13 1||< a ） 12、直线与圆的位置关系：（1）圆12222=+y x 与直线sin 10(,2 x y R π θθθ+-=∈≠ k π+， )k z ∈的位置关系为____（答：相离） ；（2）若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=切于点(1,2)P -，则ab 的值____（答：2）；（3）直线20x y +=被曲线2262x y x y +--150 -= 所截得的弦长等于 （答：）；（4）一束光线从点A(－1,1)出发经x 轴反射到圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 （答：4）；（5）已知(,)(0)M a b ab ≠是圆222:O x y r +=内一点，现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线2:l ax by r +=，则A ．//m l ，且l 与圆相 交 B ．l m ⊥，且l 与圆相交 C ．//m l ，且l 与圆相离 D ．l m ⊥，且l 与圆相离（答：C ）；（6）已知圆C ：22 (1)5x y +-=，直线L ：10mx y m -+-=。①求证：对m R ∈，直 线L 与圆C 总有两个不同的交点；②设L 与圆C 交于A 、B 两点，若AB =L 的倾斜角；③求直线L 中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. （答：②60 或120 ③最长：1y =，最短：1x =） 13、圆与圆的位置关系 双曲线22 221x y a b -=的左焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线右支上任意一点，则分别 以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆位置关系为 （答：内切） 14、圆的切线与弦长： 设A 为圆1)1(22=+-y x 上动点，PA 是圆的切线，且|PA|=1，则P 点的轨迹方程为__________（答：22(1)2x y -+=）； （2）弦长问题： 八、圆锥曲线 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．10 21=+PF PF D ．122 2 2 1 =+PF PF （答：C ）；（2）方程 28= 表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是 _____（答：2） 2.圆锥曲线的标准方程 （1）椭圆：（1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答： 11(3,)(,2)22 --- ）；（2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2 2y x + 的最小值是___2） （2）双曲线：（1）双曲线的离心率等于2 5，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲 高三数学知识点总结最新5篇 高三数学知识点1 1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况 3.你会用补集的思想解决有关问题吗? 4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件? 5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则. 7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称. 8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域. 9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调 10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法 11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示. 12.求函数的值域必须先求函数的定义域。 13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大 小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗? 14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗? (真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论 15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值? 16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。 17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形? 18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”. 19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么? 20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么? 21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”. 22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示. 23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b>0，a<0. 24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗? 25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。 高考前重点知识 第一章?集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性.无序性. 工集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A胃A ; ②空集是任何集合的子集，记为。包A ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①〃个元素的子集有2〃个.〃个元素的真子集有2〃 -1个.〃个元素的非空真子集有2〃-2个. ［注］①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题。逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题。逆否命题. 交：A,且x e B} 2、集合运算：交、并、补产AU6Q{xlxeA或xe* 未卜：或A o {% ￡ （/, 且x任A} （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p或q （记作〃pvq〃）； p且q （记作〃p 八q〃）；mEp（i己作、q〃） o 工〃或〃‘〃且"、"非"的真假判断 种命题的形式及相互关系: 原命题：若P则q；逆命题：若q则p； 否命题：若1 P则1 q ；逆否命题：若1 q则］Po ④、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 i命题为真它的否命题不一定为真。 @、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p=q那么我们说，P是q的充分条件，q是P的必要条 件。 若p=q且q = p,则称p是q的充要条件，记为p<=>q. 一.函数的性质 (工)定义域：(2)值域: (3)奇偶性：(在整个定义域内考虑) ①定义：①偶函数：/(—x) = /(x),②奇函数：/(—x) = -/(X) ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点 对称；c.求/(-X)；&比较/(T)与/(X)或/(T)与—/(X)的关系。 (4 )函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值X1f X2, 。语当X1VX2时，都有f(XT)Vf(X2),则说f(X)在这个区间上是增函数； (2语当X1 高中数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-? ?? ???1013 3． 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??== (３）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？(排除法、间接法) 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30 555 5015392522 ∈-- 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f:Ａ→B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? （一对一,多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ (定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()()（答：，，，）022334 1０． 如何求复合函数的定义域? [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是＿____＿_____＿_。 [] （答：，）a a - 1１． 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？ ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t =+≥10 ∴x t =-21 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210 12. 反函数存在的条件是什么? （一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x ；②互换x 、ｙ；③注明定义域) () () 如：求函数的反函数f x x x x x ()=+≥--- 原命题 若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否 互 互逆 否 互 高中数学必修+选修知识点归纳必修1数学知识点 第一章：集合与函数概念 1、集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合： Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 3、并集.记作：B A Y .交集.记作：B A I . 全集、补集{|,}U C A x x U x A =∈?且 (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A =I A B ??； 简易逻辑： 或：有真为真，全假为假。 且：有假为假，全真为真。 非：真假相反 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ；否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 常用变换： ①) () ()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =-?=+. 证)()(])[()() () ()(y f y x f y y x f x f x f y f y x f -=+-=?= - ②)()()()()()(y f x f y x f y f x f y x f +=??-= 证：)()()()(y f y x f y y x f x f +=?= 4、设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,. 5、定义域1?? ??? 分母不等于零被开方大于等于零对数的幂大于零，底大于零不等于 值域：利用函数单调性求出所给区间的最 大值和最小值， 6、函数单调性： (1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 (2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若 0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则) (x f 为减函数. 7、奇偶性 ()x f 为偶函数：()()x f x f =-图象关于y 轴对称. 高考数学高考必备知识点 总结 Jenny was compiled in January 2021 高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补. {|,}{|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为pq. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：偶函数： )()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求 )(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1 高考数学复习一本全 目录 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。 而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。 高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归 纳和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归） 思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 2019年高考数学主要考查哪些知识点 第一，函数与导数。主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。 第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。 第三，数列及其应用。这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。 第四，不等式。主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。是高考的重点和难点。 第五，概率和统计。这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。 第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。 第七，解析几何。是高考的难点，运算量大，一般含参数。 “教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师” 为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。 高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。以不变应万变。 唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。 对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。 对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧 高考数学重点全归纳 立体几何 线、面位置关系的证明，常出现在解答题第一小问，特别注意逻辑推理的严密性和书写的规范性。 求解与体积相关的问题，注重体积之间的转化，常用等体积法、割补法：空间角的考查，主要要求学生会用法向量和相关夹角公式进行计算。 数列 高考中有關数列的试题经常是综合题，常把数列知识与指数函数、对数函数、不等式的知识综合起来考查。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。 数列求和是数列知识的综合体现。常见的求和方法有公式法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法、数学归纳法等。 三角函数 易错点梳理：（1）没有挖掘题目中的隐含条件而造成增、漏解现象。（2）对正余弦函数的性质：如图象、对称轴、对称中心易遗忘或没有深刻理解其意义。（3）在利用三角函数的图象变换中，将周期变换和相位变换搞混淆。 综合运用：（1）解三角形的问题通常会与向量结合，并利用正余弦定理进行边角转换。（2）熟练掌握三角函数的图象及性质，突出数形结合思想。 概率统计 利用统计思想研究问题，一般过程是通过采取样本、建立统计模型、分析统计数据、作出合理判断，形成尽可能准确的结论。 概率思想是通过对随机现象的观察研究发现必然，去研究隐藏在随机现象背后的统计规律，进而理解随机现象。 高考的考查重点是利用统计与概率思想解决实际应用问题。考点一：概率、决策建议：考点二：二项分布;考点三：超几何分布;考点四：正态分布：考点五：统计图表;考点六：线性回归方程;考点七：独立性检验。 解析几何 解析几何的灵魂是用代数方法研究几何问题，综合性强，运算量大，题目灵活多变。 综合运用：遇到直线与圆锥曲线的位置关系的时候，常常会联立得到方程组，进而利用韦达定理求解。（1）定值、定点问题，先用变量表示所需证明的不变量，然后通过已知条件，消去变量，得到定值、定点。（2）最值与范围，选好合适变量（比如：斜率、点），建立目标函数和不等式求最值、范围。代数法常见有二次配方、基本不等式、导数等。 [全国通用]高中数学高考知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-?????? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??==I Y （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?50352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335305555015392522∈-- 2019年高考数学必备知识点总结 1、混淆命题的否定与否命题 命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念，命题p 的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论。 2、忽视集合元素的三性致误 集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。 3、判断函数奇偶性忽略定义域致误 判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数。 4、函数零点定理使用不当致误 如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f（a）f（b）0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，但f（a）f（b）0时，不能否定函数y=f（x）在（a，b）内有零点。函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题。 5、函数的单调区间理解不准致误 在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”，学会从函 数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法。对于函数的几个不同的单调递增（减）区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增（减）区间即可。 6、三角函数的单调性判断致误 对于函数y=Asin（ωx+φ）的单调性，当ω0时，由于内层函数u=ωx+φ是单调递增的，所以该函数的单调性和y=sin x 的单调性相同，故可完全按照函数y=sin x的单调区间解决；但当ω0时，内层函数u=ωx+φ是单调递减的，此时该函数的单调性和函数y=sinx的单调性相反，就不能再按照函数 y=sinx的单调性解决，一般是根据三角函数的奇偶性将内层函数的系数变为正数后再加以解决。对于带有绝对值的三角函数应该根据图像，从直观上进行判断。 7、向量夹角范围不清致误 解题时要全面考虑问题。数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如当a·b0时，a与b的夹角不一定为钝角，要注意θ=π的情况。 8、忽视零向量致误 零向量是向量中最特殊的向量，规定零向量的长度为0，其方向是任意的，零向量与任意向量都共线。它在向量中的位置正如实数中0的位置一样，但有了它容易引起一些混淆，稍微考虑不到就会出错，考生应给予足够的重视。 2020高考数学知识点归纳分享 高三数学是一个新的起点，高三一轮复习从零开始，完整涵盖高中所有的知识点，第一轮复习是高考复习的关键，是基础复习阶段。下面就是给大家带来的数学高考知识点总结，希望能帮助到大家! 数学高考知识点总结1 定义： 形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a 为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于 0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域。 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q 是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制****于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 数学高考知识点总结2 1.等差数列的定义 高考数学重点知识点汇总 高考，意味着什么?那是一座窄窄的桥，千军万马将要从这里挤过，要发挥的优势和能力，来保证自己不被淘汰。下面就是给大家带来的高考数学知识点总结，希望能帮助到大家! 高考数学知识点总结1 (1)先看“充分条件和必要条件” 当命题“若p则q”为真时，可表示为p=q，则我们称p为q 的充分条件，q是p的必要条件。这里由p=q，得出p为q的充分条件是容易理解的。 但为什么说q是p的必要条件呢? 事实上，与“p=q”等价的逆否命题是“非q=非p”。它的意思是：若q不成立，则p一定不成立。这就是说，q对于p是必不可少的，因而是必要的。 (2)再看“充要条件” 若有p=q，同时q=p,则p既是q的充分条件，又是必要条件。简称为p是q的充要条件。记作p=q 回忆一下初中学过的“等价于”这一概念;如果从命题A成立可以推出命题B成立，反过来，从命题B成立也可以推出命题A 成立，那么称A等价于B，记作A=B。“充要条件”的含义，实际上与“等价于”的含义完全相同。也就是说，如果命题A等价于命题B，那么我们说命题A成立的充要条件是命题B成立;同时有命题B成立的充要条件是命题A成立。 (3)定义与充要条件 数学中，只有A是B的充要条件时，才用A去定义B，因此每个定义中都包含一个充要条件。如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这一定义就是说，一个四边形为平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行。 显然，一个定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一个含有充要条件的语句来表示。 “充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”。“仅当”表示“必要”。 (4)一般地，定义中的条件都是充要条件，判定定理中的条件都是充分条件，性质定理中的“结论”都可作为必要条件。 高考数学知识点总结2 基本事件的定义： {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 高考前数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的元素一般属性，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 中元素各表示什么？ 2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或文氏图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3.已知集合A 、B ，当A B ?=?时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?； 4. 注意下列性质：（1） 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为n 2，n 21-， n 21-， n 2 2.- （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）：空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。 5. 学会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 6.可以判断真假的语句叫做命题。 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 7. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 8.注意四种条件，判断清楚谁是条件，谁是结论； 9. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域） 10. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 11. 如何求复合函数的定义域？ 12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，需注明函数的定义域。 13. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x ，注意正负的取舍；②互换x 、y ；③反函数的定义域是原函数的值域） 14. 反函数的性质有哪些？ ①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性； 整理全面《高中数学知识点归纳总结》 教师版高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向 量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用 高中数学知识点回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素嘚特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合嘚性质：①任何一个集合是它本身嘚子集，记为A A ?； ②空集是任何集合嘚子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合嘚真子集； ①n 个元素嘚子集有2n 个. n 个元素嘚真子集有2n －1个. n 个元素嘚非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题嘚否命题为真，它嘚逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它嘚逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补. {|,}{|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题嘚形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”嘚真假判断 4、四种命题嘚形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它嘚逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它嘚否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它嘚逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 嘚充分条件，q 是p 嘚必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 嘚充要条件，记为p ?q. 第二章-函数 一、函数嘚性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：①偶函数： )()(x f x f =-，②奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求)(x f -； d.比较 )()(x f x f 与-或)()(x f x f --与嘚关系。 （4）函数嘚单调性 定义：对于函数f(x)嘚定义域I 内某个区间上嘚任意两个自变量嘚值x 1,x 2, ⑴若当x 1 高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补.{|,} {|}{,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?I U U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：①偶函数：)()(x f x f =-，②奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求)(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 （4）函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1 高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版 一、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合： Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是 集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?， 则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定： 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子 集，21n -个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完 全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则： ()()21x f x f -=… (2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为 偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数 1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方 程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ；高三数学知识点总结最新5篇
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