辅导教案
AB
⊥于D．因为⊥于M，CD AB
∠=____＝(
（已知），所以NMB
,直线AB上一点 C ,过点
如图,将一副三角板叠放在一起
平行与垂直 教学目标： 知识与技能：理解平行与垂直是同一平面内两条直线的两种特殊位置关系，初步认识平行线与垂线。 过程与方法：在观察、操作、比较、概括中，经历探究平行线和垂线特征的过程，建立平行与垂直的概念。 情感态度价值观：在活动中丰富学生活动经验，培养学生的空间观念和空间想象能力。 教学重点：正确理解“相交”、“互相平行”、“互相垂直”的概念。 教学难点：理解平行与垂直概念的本质特征。 教学准备：多媒体课件、直尺、三角板、量角器等 教学过程： 一、情景导入 师：同学们，我们之前已经学过了直线的相关知识，那谁能说一说直线都有哪些特征？生：没有端点，可以向两端无限延长。 师：我们一起来学习有关直线的知识——平行与垂直。（板书课题） 1、学生想象在无限大的平面上两条直线的位置关系。 师：摸一摸平放在桌面上的白纸，你有什么感觉？ （1）生交流汇报 （2）师：像这样很平的面，我们就称它为平面。（板书：平面） 我们可以把白纸的这个面作为平面的一部分，请大家在这个平面上任意画一条直线，说一说，你画的这条直线有什么特点？ （3）师：闭上眼睛想一想：白纸所在的平面慢慢变大，变得无限大，在这个无限大的平面上，直线也跟着不断延长。这时平面上又出现了另一条直线，这两条直线的位置关系是怎样的呢？会有哪几种不同的情况？
要求：把你想象的情况画在白纸上，注意一张纸上只画一种情况，想到几种就画几种，相同类型的不画。 二、探究新知 （一）观察分类，感受特征 1、展示作品 师：同学们的想象力真丰富！互相看一看，你们的想法一样吗？老师选择了几幅有代表性的作品，我们一起来欣赏一下。 如果你画的和这几种情况不一样，可以补充到黑板上。 不管哪种情况，我们所画的两条直线都在同一张白纸上。因为我们把白纸的面看作了一个平面，所以可以这样说，我们所画的两条直线都在同一平面。（板书：同一平面） 2、分类讨论 师：现在你们能给它们分分类吗？为了方便描述，我们先给作品标上序号，可以怎样分类？按什么标准分？ （1）先独立思考：我打算怎么分？为什么这么分？分几类？ （2）再小组交流 3、学生汇报 师：哪一组愿意派代表来汇报一下？你们是怎么分的？分类的结果是什么？ 各个小组交流分类情况。当学生在汇报过程中出现“交叉”一词时，教师随即解释：在数学上把这种交叉的关系叫作相交。（板书：相交） 师：还有没有不同的分法？能说一说你们是怎么想的吗？
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为???? ? n ·a ＝0，n ·b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2. (3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1 ∥u 2. 3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( ) (6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( ) 1．下列各组向量中不平行的是( )
c c ∥∥b a b a ∥?一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那 么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β b a a =??βαβ α∥b a ∥? b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?
7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （三）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα∥?a β ∥a ?b ∥a b a αα??α ∥a ?
苏教版七年级上册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 平行与垂直（不分层）知识讲解 【学习目标】 1.理解“互相平行”“互相垂直”的概念； 2. 通过自主探究，深刻理解平行与垂直的两个基本事实，并能灵活运用； 3. 熟练地过一点画出一条直线的垂线或平行线，并会度量点到直线距离. 【要点梳理】 要点一、平行 1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b. 要点诠释： （1）同一平面内的两条直线的位置:平行与相交. （2）互相平行的两条直线永远没有公共点，两条相交直线有且只有一个公共点. （3）互相重合的直线通常看做一条直线. （4）两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行. 2.平行线的做法： 小学用直尺和三角尺画平行线步骤：一放、二靠、三移、四画. 如下图. 3.平行线的一个基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 要点诠释：由基本事实可以推出下面的结论成立： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行. 要点二、垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互
⊥或AB⊥CD垂直于点O. 相垂直，记作a b 要点诠释：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：∠=°判定 AOC 90 CD⊥AB． 性质 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 要点诠释： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释： （1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性． （2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 要点诠释： （1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【典型例题】 类型一、平行线
立体几何知识点总结 一、平面 通常用一个平行四边形来表示. 平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC. 在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如： a)A∈l—点A在直线l上；A?α—点A不在平面α内； b)l?α—直线l在平面α内； c)a?α—直线a不在平面α内； d)l∩m=A—直线l与直线m相交于A点； e)α∩l=A—平面α与直线l交于A点； f)α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l. 二、平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 三、证题方法 四、空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 五、异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.
第2讲空间中的平行与垂直 高考定位 1.以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择题、填空题的形式出现，题目难度较小；2.以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并与空间角的计算综合命题. 真题感悟 1.(2019·全国Ⅲ卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则() A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 解析连接BD，BE， ∵点N是正方形ABCD的中心， ∴点N在BD上，且BN＝DN， ∴BM，EN是△DBE的中线， ∴BM，EN必相交. 连接CM，设DE＝a，则EC＝DC＝a，MC＝3 2a，
∵平面ECD ⊥平面ABCD ，且BC ⊥DC ， ∴BC ⊥平面EDC ， 则BD ＝2a ，BE ＝ a 2＋a 2＝2a ， BM ＝ ? ?? ?? 32a 2 ＋a 2＝72a ， 又EN ＝ ? ????a 22 ＋? ?? ?? 32a 2 ＝a ， 故BM ≠EN . 答案 B 2.(2019·全国Ⅰ卷)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为________. 解析 如图，过点P 作PO ⊥平面ABC 于O ，则PO 为P 到平面ABC 的距离. 再过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ， 连接PC ，PE ，PF ，则PE ⊥AC ，PF ⊥BC . 所以PE ＝PF ＝3，所以OE ＝OF ， 所以CO 为∠ACB 的平分线， 即∠ACO ＝45°. 在Rt △PEC 中，PC ＝2，PE ＝3，所以CE ＝1， 所以OE ＝1，所以PO ＝PE 2－OE 2＝ （3）2－12＝ 2. 答案 2 3.(2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱DD 1，BB 1上，且2DE ＝ED 1，BF ＝2FB 1.证明：
—————————————— 线 线垂直 线面垂直 面面垂直 上面定理性质，请大家务必透彻牢记、掌握！ a,b αa∩b=A β
其他重要基础知识： 1. 直线与直线的位置关系：相交、平行、异面 2. 直线与平面的位置关系：平行、相交、直线在平面内 3. 平面与平面的位置关系：平行、相交 4. *************************************【经典练习】************************************ 空间平行问题训练 1、空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别为各边中点，求证： EH //平面BCD ，BD //平面EFGH 2、空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且EH //FG ，求证：EH //BD 3、正方体D C B A ABCD ''''-中，E 为1DD 中点， 求证：//1BD 平面AEC 4 如图，ABCD 是平行四边形，S 是平面ABCD 外一点，M 为SC 的中点. 求证：SA ∥平面MDB.
5、已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1 证：平面AB 1D 1∥平面C 1BD . 6、 直三棱柱111C B A ABC 中，AC=BC ，点D 是AB 求证：//1BC 平面D CA 1 7.棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，M 、N 分别为ＡＢ，ＣＰ的中点。求证： ＭＮ／／平面ＰＡＤ 8、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1MN ∥平面AA 1B 1B . 9、棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，BA ⊥AD ，CD ＝2AB ，P A ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中 点，求证：BE // 平面P AD
空间几何平行与垂直证明 线面平行 方法一：中点模型法 例：1.已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形， E 为PC 的中点. 求证：PA//平面BDE 练习： 1.三棱锥_P ABC 中，P A A B A C ==，120BAC ∠= ，P A ⊥平面A B C ， 点E 、F 分别为线段P C 、B C 的中点， （1）判断P B 与平面A E F 的位置关系并说明理由； （2）求直线P F 与平面P A C 所成角的正弦值。 P A B C D E C B
2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD .DB 平分∠ADC ，E 为PC 的中点，AD ＝CD . (1)证明：PA ∥平面BDE ； (2)证明：AC ⊥平面PBD . 3.已知空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点. 求证：AC//平面EFG. 4.已知空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别为AB,BC,CD,DA 的中点. 求证：EF //平面BGH. 方法二：平行四边形法 例：1.已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形，E 为PC 的中点，O 为BD 的中点. 求证：OE //平面ADP A B C D E F G H A B C D E F G H P A B C D E O
2.正方体1111ABC D A B C D -中，,E G 分别是11,BC C D 中点. 求证：//E G 平面11BD D B 练习 1.如图，在四棱锥O A B C D -中，底面A B C D 四边长为1的菱形， M 为O A 的中点，N 为B C 的中点 证明：直线MN ‖平面O C D ； 2.在四棱锥P-ABCD 中，底面四边形ABCD 是平行四边形，E,F 分别是AB ，PD 的中点. 求证：//A F 平面PC E 3．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对角线的交点． 求证：（1）C 1O//平面AB 1D 1； G E D 1 C 1 B 1 A 1A D C B O A M D C B N P B C D A E F D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C
空间中的平行与垂直(文/理) 热点一空间线面位置关系的判定 空间线面位置关系判断的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题； (2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断． 例1(1)(·广东)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是() A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 (2)关于空间两条直线a、b和平面α，下列命题正确的是() A．若a∥b，b?α，则a∥α B．若a∥α，b?α，则a∥b C．若a∥α，b∥α，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b 答案(1)D(2)D 解析(1)若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交． (2)线面平行的判定定理中的条件要求a?α，故A错；对于线面平行，这条直线与面内的直线的位置关系可以平行，也可以异面，故B错；平行于同一个平面的两条直线的位置关系：平行、相交、异面都有可能，故C错；垂直于同一个平面的两条直线是平行的，故D正确，故选D. 思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中． 跟踪演练1设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；
线段：有两个端点，不能延伸，能够量出长度有限长。 射线：一个端点，可以向一端无限延伸，不能量出长度，无限长。 直线：没有端点，可以向两端无限延伸，不能量出长度，无限长。 2，角的定义：从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。角通常用符号“∠”来表示。角由1个顶点，2条边组成。 3，角的大小：角的大小与两边的长短无关，与角两边叉开得大小有关 4、两点之间线段最短。一个点能画出无数条直线，两个点只能画出一条直线 5、连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离。 6，量角器：一个圆是360度，半圆是180度。把半圆平分成180等份，每一份所对的角的大小是l 度。记做1° （2）量角的方法：①点对点；（角的顶点，量角器的中心点）②边对边；（量角器的0刻度线，角的一条边）易错：看清楚0刻度线在内圈还是外圈。③再看另一边，度数看另一边。0度在里看里线，0度在外看外线。 （3）三角形三个角加起来都是180度。四边形（包括长方形，正方形梯形）的四个角加起来都是2×180=360.五边形内角和是540度。 ,7.钟面时间问题： 关于时针：因为周角是360°钟面上的一圈也是360度，而钟面上时针有12个整点刻度，也就是12小时。所以每两个整点刻度间的夹角也就是1小时是360°÷12=30°两小时就是2×30°=60°.时针走6小时就是6×30°=180° 关于分针：因为周角是360°钟面上的一圈也是360度，而钟面上分针有60个刻度，也就是一圈是60分钟。所以分针每分钟走360°÷60=6°两分钟就是2×6°=12°.分针走40分针就是40×6°=240° 8. 熟练记忆三角尺各个角的度数： 9、尖尖的三角尺度数分别是：30度、60度、90度，另一个三角尺45度、45度、90度。 用一副三角尺还能画出15度（60-45或45-30）、75度（45+30）、105度（60+45）、120度（90+30）、135度（90+45）和150度（90+60）的角。 9，.角的分类：0°＜锐角＜90°，90°＜钝角＜180°平角=180°，周角=360° （2）1个周角=2个平角=4个直角； 1个平角=2个直角； ,10、两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫作垂足。 11、从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到直线的距离。
空间平行与垂直专题 1.已知E F , G, H 是空间四点，命题甲： E , F , G H 四点不共面，命题乙：直线 EF 和GH 不相交，则甲 是乙成立的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 E, F , G H 四点不共面，则直线 EF 和GH 肯定不相交，但直线 EF 和GH 不相交，E , F , G H 四点 答案：B a // 3 , a // Y ，^ U 3 // Y 其中正确命题的序号是（ A .①③ B.①④ C.②③ D .②④ 解析：对于?』因为平行于同一个平面的两个平面相互平行』所叹①正确j 对于②，当直线用位于平面# 內J 且平行于平面為0的交线时，满足条件，但显然此时用与平面弄不垂直』因此②不正确.对于?』在 平面厲内取直线丘平行于flb 则宙ml a,曲"心得"丄fib 又n 申 因此有厲丄0，③正确；对于④，直线 曲可能位于平面口内，显然此时用与平面《■不平行，因此?不正确.综上所述，正确命題的序号是①③, 答案：A 3 .如图，在三棱锥 P — ABC 中，不能证明 API BC 的条件是（ ） A. API PB AP I PC 可以共面, 例如 EF// GH 故选B. 解析：若 2 .设m n 是不同的直线, 3 , 丫是不同的平面，有以下四个命题: ①若 ②若 a 丄 3, m /a,贝 y m 丄 3 ③若 m± a , mil 3，贝U a ④若 m// n , n? a ,贝U m//
B. API PB BC ^ PB C. 平面 BPQ_平面 APC BCL PC D. API 平面 PBC 解析：A 中，因为AP I PB API PC PBn PC= P ,所以API 平面PBC 又BC ?平面PBC 所以API BC 故A 正确；C 中，因为平面 BPCL 平面APC BC! PC 所以BCL 平面APC AP ?平面APC 所以AP I BC 故C 正 确；D 中，由A 知D 正确；B 中条件不能判断出 API BC 故选B. 答案：B 4 ?设m n 是两条不同的直线， a , 3是两个不同的平面，给出下列四个命题: 其中真命题的个数为（ A . 1 B . 2 C. 3 D . 4 解析：对于0由直线与平面垂直的判定定理易知其正确；对于②，平面a 与f 可能平行或相交，故②错 误；对于?,直线斤可能平行于平面0,也可能在平面0内，故③错误；对于⑨ 由两平面平行的判定定理 易得平面5平行，故?错误.综上所述，正确命题的个数为I,故选A. 答案；A 5?如图，在下列四个正方体中， A, B 为正方体的两个顶点, 解析：B 选项中，AB// MQ 且AB?平面MNQ MQ 平面MNQ 则AB//平面MNQ C 选项中，AB// MQ 且AB ?平 面MNQ MQ 平面MNQ 则AB//平面 MNQ D 选项中，AB// NQ 且AB?平面MNQ NC ?平面MNQ 则AB//平面 MNQ 故选A. 答案：A 6.如图所示,直线 PA 垂直于O O 所在的平面，△ ABC 内接于O O,且AB 为O O 的直径，点 M 为线段PB 的中 ①若 m// n , ②若 m// a ,m//3 ,贝U a // 3 ； ③若 m// n , m// 3 ,贝 U n // ④若 ml a 中，直线 AB 与平面MNQT 平行的是（ . _________ B A AT-? M N, Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体 A i M
突破点11 空间中的平行与垂直关系 提炼1 异面直线的性质 (1)面内的两条直线或平面内的一条直线与平面外的一条直线． (2)异面直线所成角的范围是? ????0，π2，所以空间中两条直线垂直可能为异面垂直或相交垂直． (3)求异面直线所成角的一般步骤为：①找出(或作出)适合题设的角——用平移法；②求——转化为在三角形中求解；③结论——由②所求得的角或其补角即为所求. 提炼2 平面与平面平行的常用性质 (1)(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (3)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． (4)两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 提炼3 证明线面位置关系的方法 (1)平行的性质定理；③面面平行的性质定理；④线面垂直的性质定理． (2)证明线面平行的方法：①寻找线线平行，利用线面平行的判定定理；②寻找面面平行，利用面面平行的性质． (3)证明线面垂直的方法：①线面垂直的定义，需要说明直线与平面内的所有直线都垂直；②线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理． (4)证明面面垂直的方法：①定义法，即证明两个平面所成的二面角为直二面角；②面面垂直的判定定理，即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线．
回访1异面直线的性质 1．(2016·全国乙卷)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为() A. 3 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 1 3 A[设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1. ∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1， ∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1， 同理可证CD1∥n. 因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形， 故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为 3 2.] 2．(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是() A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 D[由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．] 回访2面面平行的性质与线面位置关系的判断 3．(2013·全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l
直线、平面平行的判定及其性质 知识点一、直线与平面平行的判定 ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种） 位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行 公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点 符号表示a?αa∩α=A a||α 图形表示 注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 ⅱ.思考：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a 与平面α平行.（a||b） 判定 文字描述直线和平面在空间永无交点，则直线 和平面平行（定义） 平面外的一条直线与平面内的一条直线平 行，则该直线与此平面平行 图形 条件a与α无交点 结论 a∥αb∥α
知识点二、直线与平面平行的性质 性质 文字描述一条直线与一个平面平行， 则这条直线与该平面无交点 一条直线和一个平面平行，则过 这条直线的任一平面与此平面 相交，这条直线和交线平行． 图形 条件 a∥αa∥α，a?β，α∩β＝ b 结论 a∩α＝?a∥b 线面平行，则线线平行 特别提示 证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通 过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行， 证得“线面”平行. 判定 文字描述如果两个平面无公共 点，则这两个平面平行一个平面内有两条相 交直线与另一个平面 平行，那么这两个平面 平行． 如果两个平面同时垂直于 一条直线，那么这两个平 面平行。 图形 条件 α∩β＝?a，b?β a∩b＝P a∥α b∥α l⊥α l⊥β 结论 α∥βα∥βα∥β
知识点四、平面与平面平行的性质 性质 文字描述如果两个平行平面同时和第 三平面相交，那么他们的交 线平行如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面 图形 条件α∥β β∩γ＝b α∩γ＝a α∥β a?β 结论a∥b a∥α 直线、平面垂直的判定及其性质 知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义判定 语言描述如果直线l和平面α内的任意一条直线都 垂直，我们就说直线l与平面互相垂直， 记作l⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形 条件b为平面α内的任一直线，而l对这 一直线总有l⊥b l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，mα，nα 结论l⊥αl⊥α 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直） 知识点二、直线和平面垂直的性质 性质 语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条直线 垂直于这个平面内的所有直线 垂直于同一个平面的两条直线平行.图形
平行四边形和梯形知识点总结 主要内容：垂直于平行（认识、画法）、平行四边形与梯形（认识、画高、等腰梯形） 知识点：平行与垂直的概念、画法，会画长方形与正方形、平行四边形和梯形的概念、特征、各部分名称、高，四边形的分类、 认识等腰梯形 重点：垂直于平行的概念和画法、平行四边形与梯形的概念和特点难点：垂线与平行线的画法 易错点：1、两组对边（分别平行）的四边形叫做平行四边形。很多学生不注意分别二字，容易丢。 2、（）和（）都是特殊的平行四边形。正方形和长方形 是特殊的平行四边形，这一点一定要让学生理解掌握。 2、两条平行线之间的距离是6厘米，在这两条平行线之间作一条垂线，这 条垂线的长是（ 6）厘米。考平行四边形的高，对高的概念一定要理 解到位。 3、右图中有（3）个平行四边形，（3）个梯形。 查找没规律时容易漏数，要教给学生方法。 4、（判断）两条直线互相平行，这两条直线相等。（×）直线的长度不可 测量，两条直线互相平行与长度无关。 2、从平行四边形的一条边上的一点到对边可以引（A）垂线。 A、一条 B、两条 C、无数条 无论是直线上，还是直线外，无论是画直线还是垂线，都是只能画一条。 5、下面四边形中（A）不是轴对称图形。 A、、
对二年级轴对称概念的考察，教学中要注意知识点的衔接。 6、过直线外一点作已知直线的垂线和平行线。画垂线和平行线，是本单元 的重点和难点。 7、画一个长4厘米、宽3厘米的长方形。同上，更综合。 4、在下面这组平行线中画垂线。（至少画三条）理解:可以画无数条 8、如图，要从东村挖一条水渠与小河相通，要使水渠最短，应该怎样挖？ 请在图上画出来。 数学知识与生活实际相结合的实例， 要学生理解;要学生理解两条直线之 间，垂线段最短。
空间中的平行与垂直 高考对本节知识的考查主要是以下两种形式：1.以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题真假实行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体实行考查，难度中等． 1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理 线面平行的判定定理 ? ??? ? a ∥ b b ?αa ?α?a ∥α 线面平行的性质定理 ? ??? ?a ∥α a ?βα∩β＝ b ?a ∥b 线面垂直的判定定理 ? ??? ?a ?α，b ?αa ∩b ＝O l ⊥a ，l ⊥b ? l ⊥α 线面垂直的性质定理 ? ????a ⊥αb ⊥α?a ∥b 2． 面面垂直的判定定理 ? ????a ⊥αa ?β?α⊥β 面面垂直的性质定理 ? ??? ?α⊥β α∩β＝c a ?αa ⊥c ?a ⊥β
面面平行的判定定理 ? ????a ?βb ?β a ∩ b ＝O a ∥α， b ∥α? α∥β 面面平行的性质定理 ? ??? ?α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b ?a ∥b 3． 平行关系及垂直关系的转化示意图 考点一 空间线面位置关系的判断 例1 (1)l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题准确的是 ( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3?l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3?l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3?l 1，l 2，l 3共面 D ．l 1，l 2，l 3共点?l 1，l 2，l 3共面 (2)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题准确的是 ( ) A ．若l ⊥m ，m ?α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ?α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 答案 (1)B (2)B 解析 (1)对于A ，直线l 1与l 3可能异面、相交；对于C ，直线l 1、l 2、l 3可能构成三棱柱的三条棱而不共面；对于D ，直线l 1、l 2、l 3相交于同一个点时不一定共面，如正方体一个顶点的三条棱．所以选B. (2)A 中直线l 可能在平面α内；C 与D 中直线l ，m 可能异面；事实上由直线与平面垂直的判定定理可得B 准确． 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理实行判断，必要时能够利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全移植到立体几何中． (1)(2013·广东)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中准确的是 ( )
关于高考数学高考必备知 识点总结归纳 Last revision on 21 December 2020
高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补.{|,}{|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。
①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为pq. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求)(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 （4）函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1
专练 1．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的() A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题： ①若α∥β，α∥γ，则β∥γ ②若α⊥β，m∥α，则m⊥β ③若m⊥α，m∥β，则α⊥β ④若m∥n，n?α，则m∥α 其中正确命题的序号是() A．①③B．①④ C．②③D．②④ 3．如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是() A．AP⊥PB，AP⊥PC B．AP⊥PB，BC⊥PB C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC D．AP⊥平面PBC 4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m∥n，m⊥β，则n⊥β； ②若m∥α，m∥β，则α∥β； ③若m∥n，m∥β，则n∥β； ④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β. 其中真命题的个数为()
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6.如图所示，直线PA 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长．其中正确的是( ) A ．①② B ．①②③ C ．① D ．②③ 7．已知平面α及直线a ，b ，则下列说法正确的是( ) A ．若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行 B ．若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直 C ．若直线a ，b 平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行 D ．若直线a ，b 垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直 8．三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等边三角形，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝AB ，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A.110 B.35 C.710 D.45 9．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则f (x )的图象大致是( )
专题空间几何中的平行与垂直 考点 点、线、面位置关系的判断 一 1.(优质试题浙江卷)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n 满足m∥α,n⊥β,则( ). A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 【解析】∵α∩β=l,∴l?β.∵n⊥β,∴n⊥l. 【答案】C 2.(优质试题安徽卷)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面, 则下列命题正确的是( ). A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行 B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行 C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线 D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面 【解析】A项,α,β可能相交,故错误;B项,直线m,n的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故错误;C项,若m?α,α∩β=n,m∥n,则m∥β,故错误;D项,假设m,n垂直于同一平面,则必有m∥n,所以原命题正确.故D项正确. 【答案】D 3.(优质试题广东卷)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平 面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( ). A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交
C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 【解析】由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行也不相交,故l1,l2中至少有一条与l相交. 【答案】D 4.(优质试题全国Ⅲ卷)在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( ). A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC 【解析】连接B1C,由题意得BC1⊥B1C. ∵A1B1⊥平面B1BCC1,且BC1?平面B1BCC1, ∴A1B1⊥BC1, ∵A1B1∩B1C=B1,∴BC1⊥平面A1ECB1, ∵A1E?平面A1ECB1,∴A1E⊥BC1.故选C. 【答案】C 5.(优质试题上海卷)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为BC、BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是( ). A.直线AA1 B.直线A1B1 C.直线A1D1 D.直线B1C1
3.2 立体几何中的向量方法 3.2.1 平行与垂直关系 【基础知识在线】 知识点一空间的方向向量与平面的法向量★★★ 考点：求空间直线的方向向量与平面的法向量 利用方向向量与法向量表示空间角 利用方向向量与法向量表示平行与垂直关系 知识点二线线、线面、面面平行的向量表示★★★★★ 考点：利用线线、线面、面面平行的向量表示证明平行关系 知识点三线线、线面、面面垂直的向量表示★★★★★ 考点：利用线线、线面、面面垂直的向量表示证明垂直关系 【解密重点·难点·疑点】 问题一：空间的方向向量与平面的法向量 1. 空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．点A是直线l上一点，向量a表示直线l的方向，这个向量a叫做直线的方向向量. ⊥l，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面α的法向量. 2. 直线α (1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量.
(2)一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行. 3.平面的法向量的求法 （1）已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可. (2)已知平面内两不共线向量()()321321,,,,,b b b b a a a a ==时，常用待定系数法: 设法向量(),,,z y x u =由???? ?=?=?,00n b n a 得???=++=++, 00 321321z b y b x b z a y a x a 在此方程组中，对z y x ,,中 的任一个赋值，求出另两个，所得u 即为平面的法向量.利用此方法时，方程组有无数组解，赋得值不同，所得法向量就不同，但它们是共线向量. 4.用向量语言表述线面之间的平行与垂直关系 : 设直线m l ,的方向向量分别为b a ,，平面βα,的法向量分别为v u ,，则 线线平行：;,////R k b k a b a m l ∈=?? 即：两直线平行或重合?两直线的方向向量共线． 线线垂直：;0=??⊥?⊥b a b a m l 即：两直线垂直?两直线的方向向量垂直． 线面平行：;0//=??⊥?u a u a l α 即：直线与平面平行 直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外． 线面垂直：;,//R k u k a u a l ∈=??⊥α 即：直线与平面垂直 直线的方向向量与平面的法向量共线 直线的方向向量与平面内 两条不共线直线的方向向量都垂直． 面面平行：;,////R k v k u v u ∈=??βα 即：两平面平行?两平面的法向量共线． 面面垂直：.0=??⊥?⊥v u v u βα