2011年浙江省湖州市九年级数学竞赛试卷
（2011年12月11日上午9：00—11：00）
题号
一二三
总分1－8 9－14 15 16 17 18
得分
评卷人
复查人
答题时注意: 1．用圆珠笔或钢笔作答．
2．解答书写时不要超过装订线．
3．可以用计算器
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分．请将正确选项的代号填入题后的括号
里．不填、多填或错填均得零分）
1．若点（3，4）是反比例函数图象上一点，则此函数图象必须经过点（）A．（2，6）B．（2，﹣6）C．（4，﹣3）D．（3，﹣4）
2．已知|a+b|+|a﹣b|﹣2b=0，在数轴上给出关于a，b的四种位置关系如图所示，则可能成立的有（）
A．1种B．2种C．3种D．4种
3．在直角坐标系中，已知两点A（﹣8，3）、B（﹣4，5）以及动点C（0，n）、D（m，0），则当四边形ABCD的周长最小时，比值为（）
A．B．﹣2 C．D．﹣3
4．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG，则图中阴影部分的面积为（）
A．B．C．D．
5．（2010?鄂尔多斯）定义新运算：a※b=，则函数y=3※x的图象大致是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．观察下列三角形数阵：
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … A
． 1225 B ． 1260 C ． 1270 D ． 12
75
7．如图，一个边长分别为3cm 、4cm 、5cm 的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD 、DC 上，那么这个正方形的面积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．空间6个点（任意三点不共线）两两连线，用红、蓝两色染这些线段，其中A 点连出的线段都是红色的，以这6个点为顶点的三角形中，三边同色的三角形至少有（ ） A ． 3个
B ． 4个
C ． 5个
D ． 6个
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．王师傅围一块一面靠墙长方形花圃，面积为50m 2
，如果不靠墙的三面用竹篱笆去围．那么，竹篱笆最少需要 _________ m 长．
10．如图，在△ABD 中，∠ADB=90°，C 是BD 上一点，若E 、F 分别是AC 、AB 的中点，△DEF 的面积为3.5，则△ABC 的面积为 _________ ．
11．如图，△ABC中，已知AB=AC，△DEF是△ABC的内接正三角形，α=∠BDF，β=∠CED，γ=∠AFE，则用β、γ表示α的关系式是_________ ．
12．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是_________ ．
13．假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车每辆车有40个座，租金400元；乙种客车每辆车有50个座，租金480元．则租用该公司客车最少需用租金_________ 元．
14．如图，正△ABC中，点M、N分别在AB、AC上，且AN=BM，BN与CM相交于点O，若S△ABC=7，S△OBC=2，则= _________ ．
三、解答题（共4小题，满分50分）
15．（2007?绍兴）设关于x的一次函数y=a1x+b1与y=a2x+b2，则称函数y=m（a1x+b1）+n（a2x+b2）（其中m+n=1）为此两个函数的生成函数．
（1）当x=1时，求函数y=x+1与y=2x的生成函数的值；
（2）若函数y=a1x+b1与y=a2x+b2的图象的交点为P，判断点P是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．16．已知：对于实数a，只有一个实数值x满足等式，试求所有这样的实数a的和．
17．某乡镇小学到县城参观，规定汽车从县城出发于上午7时到达学校，接参观的师生立即出发去县城．由于汽车在赴校的途中发生了故障，不得不停车修理．学校师生等到7时10分，仍未见汽车来接，就步行走向县城．在行进途中遇到了已经修理好的汽车，立即上车赶赴县城，结果比原定到达县城的时间晚了半小时．如果汽车的速度是步行速度的5倍，问汽车在途中排除故障花了多少时间？
18．（2009?眉山）如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、
E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标．
2011年浙江省湖州市九年级数学竞赛试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．若点（3，4）是反比例函数图象上一点，则此函数图象必须经过点（）A．（2，6）B．（2，﹣6）C．（4，﹣3）D．（3，﹣4）
考点：反比例函数图象上点的坐标特征。
专题：数形结合；函数思想。
分析：
根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点（3，4）代入反比例函数，求得m2+2m﹣1值，
然后再求函数图象所必须经过的点．
解答：
解：∵点（3，4）是反比例函数图象上一点，
∴点（3，4）满足反比例函数，
∴4=，即m2+2m﹣1=12，
∴点（3，4）是反比例函数为y=上的一点，
∴xy=12；
A、∵x=2，y=6，∴2×6=12，故本选项正确；
B、∵x=2，y=﹣6，∴2×（﹣6）=﹣12，故本选项错误；
C、∵x=4，y=﹣3，∴4×（﹣3）=﹣12，故本选项错误；
D、∵x=3，y=﹣4，∴3×（﹣4）=﹣12，故本选项错误；
故选A．
点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
2．已知|a+b|+|a﹣b|﹣2b=0，在数轴上给出关于a，b的四种位置关系如图所示，则可能成立的有（）
A．1种B．2种C．3种D．4种
考点：绝对值；数轴。
专题：探究型。
分析：根据绝对值的几何意义由每个数轴对|x+y|+|x﹣y|﹣2y=0，进行分析判断是否成立．
解答：解：根据绝对值的几何意义：
由第一个图可得：
|x+y|+|x﹣y|﹣2y=x+y+y﹣x﹣2y=0，成立；
由第二个图可得：
|x+y|+|x﹣y|﹣2y=x+y+x﹣y﹣2y=2x﹣2y≠0，不成立；
由第三个图可得：
|x+y|+|x﹣y|﹣2y=x+y+y﹣x﹣2y=0，成立；
由第四个图可得：
|x+y|+|x﹣y|﹣2y=x+y+x﹣y﹣2y=2x﹣2y≠0，不成立；
所以可能成立的有2种．
故选B．
点评：本题考查的是绝对值的性质，熟知数轴上两点之间距离的定义是解答此题的关键．
3．在直角坐标系中，已知两点A（﹣8，3）、B（﹣4，5）以及动点C（0，n）、D（m，0），则当四边形ABCD的周长最小时，比值为（）
A．B．﹣2 C．D．﹣3
考点：坐标与图形性质。
分析：过x轴作B点的对称点B1，过y轴作A点的对称点A1，连接BB1，AA1，与y轴x轴的交点为C，D，连接各点这时周长最小，从而可求解．
解答：解：作B点关于x轴的对称点B1，作A点关于y轴的对称点A1，连接BB1，AA1，与
y轴x轴的交点为C，D，连接各点这时周长最小作，容易得到m、n 的关系．
有：=﹣（m为负数）．
故选C．
点评：本题考查平面内坐标的特点和两点之间线段最短的性质．
4．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG，则图中阴影部分的面积为（）
A．B．C．D．
考点：旋转的性质；正方形的性质。
专题：计算题。
分析：设EF交CD 于G点，连AG，根据旋转的性质得到∠BAE=30°，则∠EAD=90°﹣30°=60°，易证得Rt△ADG ≌Rt△AEG，得∠DAG=30°，根据含30°的直角三角形三边的关系可得GD=，则S△ADG=?AD?DG=×1×=，利用S阴影部分=S正方形ABCD﹣2S△ADG计算即可．
解答：解：设EF交CD于G点，连AG，如图，
∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG，
∴∠BAE=30°，
∴∠EAD=90°﹣30°=60°，
∵AE=AD，AG公共，
∴Rt△ADG≌Rt△AEG，
∴∠DAG=30°，
而AD=1，
∴AD=GD，
∴GD=，
∴S△ADG=?AD?DG=×1×=，
∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣2S△ADG=1﹣2×=1﹣．
故选D．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．
5．（2010?鄂尔多斯）定义新运算：a※b=，则函数y=3※x的图象大致是（）A．B．C．D．
考点：反比例函数的图象；一次函数的图象。
专题：新定义。
分析：先根据新定义运算列出y的关系式，再根据此关系式及x的取值范围画出函数图象即可．
解答：
解：根据新定义运算可知，y=3※x=，
（1）当x≥3时，此函数解析式为y=2，函数图象在第一象限，以（3，2）为端点平行于x轴的射线，故可排除C、D；
（2）当x＜3时，此函数是反比例函数，图象在二、四象限，可排除A．
故选B．
点评：此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
6．观察下列三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10 11 12 13 14
……
A．1225 B．1260 C．1270 D．1275
考点：规律型：数字的变化类。
专题：规律型。
分析：观察三角形数阵：要求的第50行的最后一个数是构成三角形一个边的一列数1，3，6，10，15，…的第50个数，再观察1，3，6，10，15，…这列数，找出规律求出第50个数，即第50行的最后一个数．
解答：解：要求的第50行的最后一个数是：
三角形数阵中1，3，6，10，15，…这列数的第50个数．
1，3，6，10，15，…中，
1=×1×（1+1）
3=×2×（2+1）
6=×3×（3+1）
10=×4×（4+1）
15=×5×（5+1）
…
由此可得到第n个数表示为：n（n+1）．
因此第50个数为：×50×（50+1）=1275．
即即第50行的最后一个数是1275．
故选：D．
点评：此题考查了学生分析判断问题和观察归纳问题的能力．解答此题的关键是明确要求的第50行的最后一个数是构成三角形一个边的一列数1，3，6，10，15，…的第50个数．
7．如图，一个边长分别为3cm、4cm、5cm的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是（）
A．B．C．D．
考点：勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质。
分析：如图，由△BEF的三边为3、4、5，根据勾股定理逆定理可以证明其是直角三角形，利用正方形的性质可以证明△FDE∽△ECB，然后利用相似三角形的性质可以得到DE：CB=3：4，设DE为3x，则BC是4x，根据勾
股定理即可求出x2=，也就求出了正方形的面积．
解答：解：如图，∵△BEF的三边为3、4、5，而32+42=52，
∴△BEF为直角三角形，
∴∠FEB=90°，而四边形ABCD为正方形，
∴∠D=∠C=90°，
∴△FDE∽△ECB，
∴DE：CB=EF：EB，即DE：CB=3：4，
∴设DE为3x，则BC是4x，
∴EC是x，
∵三角形EBC为直角三角形，
∴EB2=EC2+BC2，
∴16=x2+（4x）2，
∴x2=，
∵S正方形ABCD=（4x）2=cm2．
故选D．
点评：此题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理等知识，综合性比较强，对于学生的能力要求比较高．
8．空间6个点（任意三点不共线）两两连线，用红、蓝两色染这些线段，其中A点连出的线段都是红色的，以这6个点为顶点的三角形中，三边同色的三角形至少有（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
考点：三角形。
专题：分类讨论。
分析：根据5个点三边同色的三角形最少有0个，再加上第6个点A，则三边同色三角数至少为5个，然后证明少于5个是不可能的．
解答：解：
如所给图，5个点三边同色的三角形最少有0个
再加上第6个点A，则三边同色三角数至少为5个
下证小于5个不行
非同色三角形组成条件，就是只要有一个点出发的两条线段是非同色的，则其组成的三角一定为非同色的．所以，分以下情况：
1，包含A点：其他五条为蓝色，组成5个非同色三角形
2，未包含A点：因为5个点三边同色的三角形最少有0个，所以最多有10个非同色三角形
如此，三边同色三角数至少为20﹣5﹣10=5个
点评：本题主要考查了三角形的认识，正确理解三角形的定义，理解题目的含义是解决本题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．王师傅围一块一面靠墙长方形花圃，面积为50m2，如果不靠墙的三面用竹篱笆去围．那么，竹篱笆最少需要20 m长．
考点：一元二次方程的应用；根的判别式；根与系数的关系。
专题：几何图形问题；转化思想。
分析：本题可设与墙平行的一面长为am，另一面长为bm，篱笆长为z米，那么根据题意可知a，2b是方程x﹣zx+100=0的两个根，利用根的判别式可求得z的取值范围，从而求得竹篱笆最少需要的长度．
解答：解：设与墙平行的一面长为am，另一面长为bm，篱笆长为z米，根据题意得a?b=50，a?2b=100，a+2b=z，所以a，2b是方程x﹣zx+100=0的两个根，那么z2﹣400≥0，
即z≥20（z为正数），
因此篱笆最少需要20m长．
点评：本题综合考查了一元二次方程的应用以及根与系数的关系等知识点．要注意判断z时使用的方法．
10．如图，在△ABD中，∠ADB=90°，C是BD上一点，若E、F分别是AC、AB的中点，△DEF的面积为3.5，则△ABC的面积为14 ．
考点：相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理。
分析：根据三角形的中位线定理和直角三角形的性质，可得△DEF和△ABC的对应边的比都是1：2，从而得到两个三角形相似，再根据相似三角形的面积比是相似比的平方进行求解．
解答：解：∵∠ADB=90°，E、F分别为AC、AB的中点，
∴EF=BC=EF，DF=AB=AF，DE=AC=AE．
∴△DEF∽△ABC，且相似比为1：2，
则S△ABC=4S△DEF=4×3.5=14．
点评：用到的知识点有：
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；三条对应边的比相等的两个三角形相似；
相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线的性质．
可以直接根据三边对应成比例证明△DFE和△ABC相似，再利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求解．
11．如图，△ABC中，已知AB=AC，△DEF是△ABC的内接正三角形，α=∠BDF，β=∠CED，γ=∠AFE，则用β、γ表示α的关系式是α=．
考点：等边三角形的性质；等腰三角形的性质。
专题：探究型。
分析：先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可知∠A+2∠B=180°，由α=∠BDF，β=∠CED，γ=∠AFE，△DEF是等边三角形可知∠1=120°﹣β，∠2=120°﹣γ，由三角形内角和定理可知∠A+∠1+γ=180°，∠B+α+∠2=180°，再把所得式子联立即可求出α、β、γ的关系．
解答：解：∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠A+2∠B=180°①，
∵△DEF是等边三角形，α=∠BDF，β=∠CED，γ=∠AFE，
∴∠1=120°﹣β，∠2=120°﹣γ，
在△AEF中，∠A+∠1+γ=180°，即∠A+120°﹣β+γ=180°②，
在△BDF中，∠B+α+∠2=180°，即∠B+α+120°﹣γ=180°③，
①②③联立，解得α=．
故答案为：α=．
点评：本题考查的是等边三角形及等腰三角形的性质，解答此类题目时往往用到三角形的内角和是180°是解答此题的关键．
12．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是74 ．
考点：规律型：数字的变化类。
专题：规律型。
分析：观察四个正方形，可得到规律，每个正方形中左下角的数比左上角的数大2、右上角的数比左上角的数大4．解答：解：0+2=2 2=2=4 4+2=6，所以第四个正方形左下角的数为，6+2=8
0+4=4 2+4=6 4+4=8，所以第四个正方形右上角的数为，6+4=10．
8=2×4﹣0 22=4×6﹣2 44=6×8﹣4 所以m=8×10﹣6=74．
故答案为：74．
点评：此题是一个寻找规律性的题目，注重培养学生观察、分析、归纳问题的能力．关键是观察四个正方形，得规律，每个正方形中左下角的数比左上角的数大2、右上角的数比左上角的数大4．
13．假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车每辆车有40个座，租金400元；乙种客车每辆车有50个座，租金480元．则租用该公司客车最少需用租金3520 元．
考点：一元一次不等式的应用。
分析：若只租甲种客车需要360÷40=9辆．若只租乙种客车需要8辆，但有一辆不能坐满．只租甲种客车正好坐满，这种方式一定最贵．因而两种客车用共租8辆．两种客车的载客量大于360，根据这个不等关系，就可以求出两种客车各自的数量，进而求出租金．
解答：解：若只租甲种客车需要360÷40=9辆．若只租乙种客车需要8辆，因而两种客车用共租8辆．设甲车有x辆，乙车有8﹣x辆，则40x+50（8﹣x）≥360
解得：x≤4
整数解为1、2、3、4．
汽车的租金W=400x+480（8﹣x）即W=﹣80x+3840
W的值随x的增大而减小，因而当x=4时，W最小．
故取x=4，W的最小值是3520元．
点评：本题是一次函数与不等式相结合的问题，能够通过条件得到两种客车共租8辆，是解决本题的关键．14．如图，正△ABC中，点M、N分别在AB、AC上，且AN=BM，BN与CM相交于点O，若S△ABC=7，S△OBC=2，则=
或．
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。
专题：计算题。
分析：根据等边三角形的性质证明△BAN≌△CBM（SAS），然后有全等三角形的性质知S△BAN=S△CBM，最后利用“割补法”求得△AOM和△BOM面积间的数量关系列出方程，解方程即可．
解答：解：连接AO，设S△AOM=m，BM：MA=a：1（a＞0）．
∵AN=BM，AB=AC，
∴AN：CN=a；
在△BAN和△CBM中：
∵△ABC为正三角形，
∴AB=BC，∠BAN=∠CBM=60°，
又∵BM=AN，
∴△BAN≌△CBM（SAS），
∴S△BAN=S△CBM，
∴S△BAN﹣S△BOM=S△CBM﹣S△BOM，
∴S四边形AMON=S△BOC；
又∵S△OBC=2，
∴S四边形AMON=2；
∴S△AON=S四边形AMON﹣S△AOM=2﹣m…①
而S△ABC=7，
∴S△BOM+S△CON=S△ABC﹣S△BOC﹣S四边形AMON=3；
∵△AOM和△BOM的高相等（都是点O到AB得距离），
∴S△BOM：S△AOM=BM：AM=a，
∴S△BOM=am…②
∴S△CON=3﹣S△BOM=3﹣am，
同理，S△AON：S△CON=AN：CN=a，
∴（2﹣m）：（3﹣am）=a，即2﹣m=3a﹣a2m…③
同理，S△ACM：S△BCM=AM：BM=1：a，
∴[m+（2﹣m）+（3﹣am）]：（am+2）=1：a，即（5﹣am）：（am+2）=1：a，
∴am+2=5a﹣a2m…④
④﹣③得，（a+1）m=2a
∴m=；
将m值代入③式，得
2﹣=3a﹣a2?，即（a+1）（2a﹣1）（a﹣2）=0，
∴a=1，或者a=2；
当a=时，；
当a=2时，；
故答案为：或．
点评：本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定及性质；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
三、解答题（共4小题，满分50分）
15．（2007?绍兴）设关于x的一次函数y=a1x+b1与y=a2x+b2，则称函数y=m（a1x+b1）+n（a2x+b2）（其中m+n=1）为此两个函数的生成函数．
（1）当x=1时，求函数y=x+1与y=2x的生成函数的值；
（2）若函数y=a1x+b1与y=a2x+b2的图象的交点为P，判断点P是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．
考点：一次函数综合题。
专题：新定义。
分析：（1）根据题目提供信息，直接将函数解析式代入即可求得函数y=x+1与y=2x的生成函数的值；
（2）只要证出点P的坐标符和生成函数的解析式即可．
解答：解：（1）当x=1时，
y=m（x+1）+n（2x）
=m（1+1）+n（2×1）
=2m+2n
=2（m+n），
∵m+n=1，
∴y=2；
（2）点P在此两个函数的生成函数的图象上，
设点P的坐标为（a，b），
∵a1×a+b1=b，a2×a+b2=b，
∴当x=a时，y=m（a1x+b1）+n（a2x+b2），
=m（a1×a+b1）+（a2×a+b2）
=mb+nb=b（m+n）=b，
即点P在此两个函数的生成图象上．
点评：此题是一道新定义信息题，难度不大，考查了同学们的阅读理解和对新知识的接受能力，只要仔细阅读，就可根据相关函数知识作出解答．
16．已知：对于实数a，只有一个实数值x满足等式，试求所有这样的实数a的和．
考点：分式方程的增根；根的判别式。
专题：计算题。
分析：方程两边都乘以最简公分母（x+1）（x﹣1）把分式方程化为整式方程，再求出根的判别式△，然后分①△=0时，方程有两个相等实数根，②△＞0时，方程有有一个根是分式方程的增根，另一个根不是方程的增根，分别求出a的值，然后相加即可得解．
解答：解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得，（x+1）2+（x﹣1）2+2x+a+2=0，
整理得，2x2+2x+a+4=0，①
△=b2﹣4ac=22﹣4×2×（a+4）=﹣8a﹣28，
（1）当方程①有两个相等的实数根时，△=0，
即﹣8a﹣28=0，
解得a1=﹣，
此时方程①有一个根x=﹣，验证可知x=﹣的确满足题中的等式，
（2）当方程①有两个不相等的实数根时，△＞0，
即﹣8a﹣28＞0，
解得a＜﹣，
（i）若x=1是方程①的根，则原方程有增根x=1，代入①得，2+2+a+4=0，
解得a2=﹣8，
此时方程①的另一个根x=﹣2，它的确也满足题中的等式；
（ii）若x=﹣1是方程①的根，则原方程有增根x=﹣1，代入①得，2﹣2+a+4=0，
解得a3=﹣4，
此时方程①的另一个根x=0，验证可知x=0的确满足题中的等式；
因此a1=﹣，a2=﹣8，a3=﹣4即为所求，
a1+a2+a3=﹣﹣8﹣4=﹣．
故答案为：﹣．
点评：本题考查了分式方程的增根，根的判别式，难点在于把分式方程化为一元二次方程后，分式方程有一个根，则一元二次方程可以有两个相等的实数根或有一个根是分式方程的增根，另一个不是分式方程的增根两种情况讨论求解．
17．某乡镇小学到县城参观，规定汽车从县城出发于上午7时到达学校，接参观的师生立即出发去县城．由于汽车在赴校的途中发生了故障，不得不停车修理．学校师生等到7时10分，仍未见汽车来接，就步行走向县城．在行进途中遇到了已经修理好的汽车，立即上车赶赴县城，结果比原定到达县城的时间晚了半小时．如果汽车的速度是步行速度的5倍，问汽车在途中排除故障花了多少时间？
考点：分式方程的应用。
分析：设学校与县城的距离为S千米，汽车故障时间为a分钟，师生步行的时间为t分钟，步行的速度为x千米/分钟，则汽车速度为5x千米/分钟，由题意得：①晚的10分+师生步行的时间t分钟+汽车回县城行驶的时
间=原定到达县城的时间+半小时，由此可得方程：10+t+=+30，②汽车故障时间为a分钟+汽车县城行驶2（S﹣xt）的时间=原定到达县城的时间+半小时，由此可得方程a+=+30，解第一个
方程可算出t的值，再把t的值代入第二个方程可得到a的值．
解答：解：设学校与县城的距离为S千米，汽车故障时间为a分钟，师生步行的时间为t分钟，步行的速度为x 千米/分钟，则汽车速度为5x千米/分钟，
，
，
解得：t=25，a=40，
经检验：t=25，a=40是原方程的解．
答：汽车在途中排除故障共花了40分钟．
点评：此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄清题意，找到合适的等量关系，理清师生步行的时间，汽车回县城行驶的时间，原定时间之间的关系，列出方程．
18．（2009?眉山）如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、
E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标．
考点：二次函数综合题。
专题：代数几何综合题。
分析：
（1）易得点A（0，1），那么把A，B坐标代入y=x2+bx+c即可求得函数解析式；
（2）让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点E的坐标．△PAE是直角三角形，应分点P为直角顶点，点A是直角顶点，点E是直角顶点三种情况探讨；
（3）易得|AM﹣MC|的值最大，应找到C关于对称轴的对称点B，连接AB交对称轴的一点就是M．应让过
AB的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标．
解答：
解：（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入y=x2+bx+c
得，
解得，
∴抛物线的解折式为y=x2﹣x+1；（2分）
（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为m2﹣m+1，
即E点的坐标（m，m2﹣m+1），
又∵点E在直线y=x+1上，
∴m2﹣m+1=m+1
解得m1=0（舍去），m2=4，
∴E的坐标为（4，3）．（4分）
（Ⅰ）当A为直角顶点时，
过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1（a，0）易知D点坐标为（﹣2，0），由Rt△AOD∽Rt△P1OA得
即，
∴a=，
∴P1（，0）．（5分）
（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，过E作EP2⊥DE交x轴于P2点，
由Rt△AOD∽Rt△P2ED得，
即=，
∴EP2=，
∴DP2==
∴a=﹣2=，
P2点坐标为（，0）．（6分）
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3（b、0），
由∠OPA+∠FPE=90°，得∠OPA=∠FEP，Rt△AOP∽Rt△PFE，
由得，
解得b1=3，b2=1，
∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0），（8分）
综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）；
（3）抛物线的对称轴为，（9分）
∵B、C关于x=对称，
∴MC=MB，
要使|AM﹣MC|最大，即是使|AM﹣MB|最大，
由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM﹣MB|的值最大．（10分）易知直线AB的解折式为y=﹣x+1
∴由，
得，
∴M（，﹣）．（11分）
点评：一个三角形是直角三角形，应分不同顶点为直角等多种情况进行分析；
求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点．
希望杯数学竞赛小学三年级试题
希望杯数学竞赛（小学三年级）赛前训练题1．观察图1的图形的变化进行填空． 2．观察图2的图形的变化进行填空． 3．图3中，第个图形与其它的图形不同． 4．将图4中A图折起来，它能构成B图中的第个图形． 5．找出下列各数的排列规律，并填上合适的数． （1）1，4，8，13，19，（）． （2）2，3，5，8，13，21，（）． （3）9，16，25，36，49，（）．
（4）1，2，3，4，5，8，7，16，9，（）． （5）3，8，15，24，35，（）． 6．寻找图5中规律填数． 7．寻找图6中规律填数． 8．（1）如果“访故”变成“放诂”，那么“1234”就变成． （2）寻找图7中规律填空． 9．用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字组成图8的加法算式，每个数字只用一次，现已写出三个数字，那么这个算式的结果是．
10．图9、图10分别是由汉字组成的算式，不同的汉字代表不同的数字，请你把它们翻译出来． 11．在图11、图12算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立． 12．已知两个四位数的差等于8765，那么这两个四位数和的最大值是． 13．中午12点放学的时候，还在下雨．已经连续三天下雨了，大家都盼着晴天，再过36小时会出太阳吗？ 14．某年4月份，有4个星期一、5个星期二，问4月的最后一天是星期几？
15．张三、李四、王五三位同学中有一个人在别人不在时为集体做好事，事后老师问谁做的好事，张三说是李四，李四说不是他，王五说也不是他．它们三人中只有一个说了真话，那么做好事的是． 16．小李，小王，小赵分别是海员、飞行员、运动员，已知：（1）小李从未坐过船；（2）海员年龄最大；（3）小赵不是年龄最大的，他经常与飞行员散步.则是海员，是飞行员，是运动员． 17．用凑整法计算下面各题： （1）1997+66 （2）678+104 （3）987-598 （4）456-307 18．用简便方法计算下列各题： （1）634+（266-137）（2）2011-（364+611） （3）558-（369-342）（4）2010-（374-990-874）19．用基准法计算： 108+99+93+102+97+105+103+94+95+104 20．用简便方法计算：899999+89999+8999+899+89 21．求100以内的所有正偶数的和是多少？ 22．有一数列3，9，15，…，153，159．请问：
创新杯数学竞赛试题 一、选择题(5’×10＝50’) 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的字母填在下面的表格中。明阳教育 1．与30以内的奇质数的平均数 最接近的数是 A．12 B．13 C．14 D．15 2．把10个相同的小正方体按如图所示的位置堆放，它的外表含有 若干个小正方形，如图将图中标有字母A的一个小正方体搬去， 这时外表含有的小正方形个数与搬动前相比 A．不增不减 B．减少1个 C．减少2个 n．减少3个 3．一部电视剧共8集，要在3天里播完，每天至少播一集，则安排 播出的方法共有________种。 A．21 B．22 C．23 D．24 4．甲、乙、丙三人出同样多的钱买同样的笔记本，最后甲、乙都比丙多得3本，甲、乙都给了丙2.4元，那么每本笔记本的价格是________元． A．0.8 B．1.2 C．2.4 D．4.8 5．用0，1，2，…，9这十个数字组成一个四位数，一个三位数，一个两位数与一个一位数，每个数字只许用一次，使这四个数的和等于2007，则其中三位数的最小值是：C，1736+204+58+9=2007 A．201 B．203 C．204 D．205
6．有2007盏亮着的灯，各有一个拉线开关控制着，拉一下拉线开关灯会由亮变灭，再拉一下又由灭变亮，现按其顺序将灯编号为1，2，…，2007，然后将编号为2的倍数的灯线都拉一下，再将编号为3的倍数的灯线都拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线都拉一下，三次拉完后亮着的灯有_________盏． A．1004 B．1002 C．1000 D．998 7．已知一个三位数的百位、十位和个位分别是a，b，c，而且 a×b×c=a+b+c，那么满足上述条件的三位数的和为 A．1032 B，1132 C．1232 D．1332 8．某次数学考试共5道题，全班52人参加，共做对181题．已知每人至少做对1题；做对1道题的有7人，做对2道题的人和做对3道题的人一样多，做对5道题的有6人，那么做对4道题的人数是 A．29 B．31 C．33 D．35 9．一个三角形将平面分成2个部分，2个三角形最多将平面分成8个部分，…，那么5个三角形最多能将平面分成的部分数是 A．62 B．92 C．512 D．1024 10．一条单线铁路上有5个车站A，B，C，D，E，它们之间的路程如图所示．两辆火车同时从A，E两站相对开出，从A站开出的每小时行60千米，从E站开出的每小时行50千米．由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道，要使对面开来的列车通过，必须在车站停车，才能让开行车轨道．那么应安排在某个站相遇，才能使停车等候的时间最短．先到这一站的那一列火车至少需要停车的时间是 二、填空题(5’×12二60’)
初三数学百题竞赛试题 一、选择题（每小题2分） 1. 已知,5252 a b = =-+，则227a b ++的值为( ) （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 2．下列计算正确的是（ ） A ．2 4 6 x x x += B ．235x y xy += C ．326 ()x x = D ．632 x x x ÷= 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．等腰梯形 B ．平行四边形 C ．正三角形 D ．矩形 4．已知ABC DEF △∽△，相似比为3，且ABC △的周长为18，则DEF △的周长为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．54 5．如果x ＝4是一元二次方程2 2 3a x x =-的一个根，则常数a 的值是（ ） A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．±4 6．如图，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 上一个动点（C 点不与A 、B 重合），CD ⊥AB ，AD 、CD 分别交⊙O 于E 、F ，则与AB ?AC 相等的一定是（ ） A ． AE ?AD B ． AE ?ED C ．CF ?C D D ．CF ?FD 7．计算2 2-的结果是（ ） A ．4 B ．4- C ． 1 4 D ．14 - 8．下列函数中，自变量x 的取值范围是2x >的函数是（ ） A ．2y x = - B ．2 y x = - C ．21y x =- D ．21 y x = -9．高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ） A ．5 B ．7 C ．375 D ．377 10．如图，是某工件的三视图，其中圆的半径为10cm ，等腰三角形的高为30cm ，则此工件的侧面积是( )2 cm ． A ．π150 B ．π300 C ．10π D ．10010π O D A B C 正 视 图 左 视 图 俯 视 图
希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题................................................ 003-005 希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题................................................ 010-012 希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题................................................ 017-020 希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题................................................ 023-026 希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题................................................ 031-032 希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题................................................ 037-040 希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题................................................ 047-050 希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题................................................ 055-058 希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题................................................ 063-066 希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题 ............................................... 070-073 希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题................................................ 077-080 希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题................................................ 084-087 希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题................................................ 095-098 希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题................................................ 102-105 希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题................................................ 110-113 希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题................................................ 117-120 希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题................................................ 126-129 希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题................................................ 135-138 希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题................................................ 144-147 希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题................................................ 148-151 希望杯第十一届（2000年）初中一年级第一试试题............................................ 158-161 希望杯第十一届（2000年）初中一年级第二试试题............................................ 166-169 希望杯第十二届（2001年）初中一年级第一试试题............................................ 170-174 希望杯第十二届（2001年）初中一年级第二试试题............................................ 175-178 希望杯第十三届（2002年）初中一年级第一试试题............................................ 181-184 希望杯第十三届（2001年）初中一年级第二试试题............................................ 185-189 希望杯第十四届（2003年）初中一年级第一试试题............................................ 192-196 希望杯第十四届（2003年）初中一年级第二试试题............................................ 197-200
2011年天津工业大学“创新杯”数学建模竞赛赛题 要求：1.在A、B、C题中选择一题； 2.按以下格式加封面，在答卷中不得出现班级、姓名等； 3.如不愿意参加假期培训（7.9—7.23）和全国大学生数学建模竞赛的必须在封面声明，不愿自费参加竞赛的同学也请在封面声明； 4.参赛选手务必于2011年6月13日11时之前将纸质版论文上交，老校区同学交到主楼A座606，新校区同学交到第一公共教学楼B区314。
编号：（同学不得填写） ------------------------------------------------------------------- 编号： 队员姓名：队员一：__________________ 班级：___________学号：___________ 队员二：___________________班级：___________学号：___________ 队员三：___________________班级：___________学号：___________ (附：不愿意参加假期培训（7.9—7.23）和全国大学生数学建模竞赛)
A题：一种汽车比赛的最优策略 汽车运动是当前世界上一项重要的体育项目。这项运动比传统的体育项目更具综合性，尤其涉及科学技术的各个方面。数学物理科学在这个项目中自然十分重要。当然，汽车运动的比赛项目也十分丰富。其中的速度赛和节油赛就是两项基本比赛。有人设计了如下的两个比赛项目： 项目1：给汽车加一定量的燃油，在一定的路面及其风速环境下汽车行驶路程最远。 项目2：给汽车加一定量的燃油，在一定的路面及其风速环境下，在确定的比赛路段内，汽车行驶时间最短。 上述两个比赛项目的要点是比赛者应设计自己的最优比赛策略，既是给出定量燃油的消耗速率v(t), 尽量使上述两个项目达到最优效果。既是得到尽量好的比赛成绩。 请在合理的路面阻力和其他阻力假设下建立数学模型，并求出上述两个问题(项目)的最优策略，既是定量燃油的最优消耗律v(t)函数。 当汽车还有能量输入(例如：太阳能)时，如何修正数学模型。
九年级数学（上）竞赛试题 一. 选择题(每小题3分,共36分) 1．一元二次方程的解是 A ． B ．1203x x ==， C ．12 10,3 x x == D ． 2．顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是 A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 3. 若一个几何体的主视图、左视图、俯视图分别是三角形、三角形、圆，则这个几何 体可能是 A ．球 B ．圆柱 C ．圆锥 D ．棱锥 4. 在同一时刻，身高1.6m 的小强，在太阳光线下影长是1.2m ，旗杆的影长是15m ， 则旗杆高为 A 、22m B 、20m C 、18m D 、16m 5. 下列说法不正确的是 A ．对角线互相垂直的矩形是正方形 B ．对角线相等的菱形是正方形 C ．有一个角是直角的平行四边形是正方形 D ．一组邻边相等的矩形是正方形 6. 直角三角形的两条直角边分别是6和8，则这三角形斜边上的高是 A ．4.8 B ．5 C ．3 D ．10 7. 若点（3,4）是反比例函数221m m y x +-=图像上一点 ，则此函数图像必经过点 A ．(3,-4) B ．(2,-6) C ．(4,-3) D ．（2，6） 8. 二次三项式2 43x x -+配方的结果是（ ） A ．2(2)7x -+ B ．2 (2)1x -- C ．2(2)7x ++ D ． 2(2)1x +- 9．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=3．若点E 是边CD 的中点，连接AE ，过点B 作BF ⊥AE 交AE 于点F ，则BF 的长为（ ） 第9题图 A ． 3√10 2 B ． 3√105 C ．√10 5 D ．3√55 10. 函数x k y =的图象经过（1，-1），则函数2-=kx y 的图象是 11．如图，矩形ABCD ，R 是CD 的中点，点M 在BC 边上运动，E 、F 分别是AM 、MR 的中点，则EF 的长随着M 点的运动 A ．变短 B ．变长 C ．不变 D ．无法确定 12．如图，点A 在双曲线6 y x = 上，且OA ＝4，过A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ，则△ABC 的周长为 A ．47 B ．5 C ．27 D ．22 二：填空题.(每小题3分,共12分) 13.如图，△ABC 中，∠C=090，AD 平分∠BAC ，BC=10，BD=6，则点D 到AB 的距离是 。 14.如图，△OPQ 是边长为2的等边三角形，若反比例函数的图象过点P ，则此反比例函数的解析式是 。 2 30x x -=0x =1 3x = 2 2 2 2 -2 -2 -2 -2 O O O O y y y y x x x x A ． B ． C ． D ． A B C R D M E F 第11题图
九年级数学竞赛试题 1．当x________时，二次根式x –2有意义． 2．若最简二次根式4a+3b 与 b+1 2a+5是同类二次根式，则a ＝ ． 3．已知2是一元二次方程x 2–3kx +2＝0的根，则k 的值是___________． 4．设x 1、x 2是方程2x 2－4x －1＝0的两实数根，则x 1+x 2＝________． 5．若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0没有实数根，则m 的取值范围是__________． 6．已知：在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，sin A ＝45 ，则BC 的长为 cm ． 7．如图，电灯P 在横杆AB 的上方，AB 在灯光下的影子为CD ， AB ∥CD ，AB ＝2m ，CD ＝6m ，点P 到CD 的距离是3m ，则P 到 AB 的距离是 m ． 8．已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，若要使△ABC 与△ADE 相似，则只需添加一个条件：___________即可（只需填写一个）． 9、当x ___________ . 10 、0x ≤=当__________． 二、精心选一选 11、方程x(x+1) = 3(x+1)的解为 （ ） A 、x= －1 B 、x=3 C 、x 1=－1,x 2=3 D 、以上均不对 12、在同一时刻物高与影长成比例，若高为1.5米的测杆的影长为2.5。那么，影长为30米的旗杆高为 （ ）米。 A 、20 B 、18 C 、16 D 、15 13、在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次。若设参加此会的学生为x 名，据题意可列方程为 （ ） A 、x(x+1)=253 B 、x(x －1)=253 C 、2x(x －1)=253 D 、x(x －1)=253×2 14、“从一个布袋中闭上眼随机摸出一球恰是黄球的概率为15”的意思是 （ ） A 、摸球5次就一定有1次摸出黄球。 B 、摸球5次就一定有4次不能摸中黄球 C 、布袋中一定有一个黄球和4个别的颜色的球 D 、如果摸球次数很多，那么平均每摸球5次便有1次摸中黄球 15．下列计算准确的是 （ ） A ．2+3＝ 5 B ．32－22＝1 C ．2×3＝ 6 D ．24÷6＝4 16.18 2 1 - 92的值是( ) A ．112 B ．272 C ．92 D ．0 第7题 A B C D P
希望杯数学竞赛（小学三年级）赛前训练题1．观察图1的图形的变化进行填空． 2．观察图2的图形的变化进行填空． 3．图3中，第个图形与其它的图形不同． 4．将图4中A图折起来，它能构成B图中的第个图形． 5．找出下列各数的排列规律，并填上合适的数． （1）1，4，8，13，19，（）． （2）2，3，5，8，13，21，（）． （3）9，16，25，36，49，（）． （4）1，2，3，4，5，8，7，16，9，（）． （5）3，8，15，24，35，（）． 6．寻找图5中规律填数． 7．寻找图6中规律填数．
8．（1）如果“访故”变成“放诂”，那么“1234”就变成．（2）寻找图7中规律填空． 9．用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字组成图8的加法算式，每个数字只用一次，现已写出三个数字，那么这个算式的结果是． 10．图9、图10分别是由汉字组成的算式，不同的汉字代表不同的数字，请你把它们翻译出来． 11．在图11、图12算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立． 12．已知两个四位数的差等于8765，那么这两个四位数和的最大值是． 13．中午12点放学的时候，还在下雨．已经连续三天下雨了，大家都盼着晴天，再过36小时会出太阳吗？
14．某年4月份，有4个星期一、5个星期二，问4月的最后一天是星期几？ 15．张三、李四、王五三位同学中有一个人在别人不在时为集体做好事，事后老师问谁做的好事，张三说是李四，李四说不是他，王五说也不是他．它们三人中只有一个说了真话，那么做好事的是． 16．小李，小王，小赵分别是海员、飞行员、运动员，已知：（1）小李从未坐过船；（2）海员年龄最大；（3）小赵不是年龄最大的，他经常与飞行员散步.则是海员，是飞行员，是运动员． 17．用凑整法计算下面各题： （1）1997+66 （2）678+104 （3）987-598 （4）456-307 18．用简便方法计算下列各题： （1）634+（266-137）（2）2011-（364+611） （3）558-（369-342）（4）2010-（374-990-874） 19．用基准法计算： 108+99+93+102+97+105+103+94+95+104 20．用简便方法计算：899999+89999+8999+899+89 21．求100以内的所有正偶数的和是多少？ 22．有一数列3，9，15，…，153，159．请问： （1）这组数列共有多少项？（2）第15项是多少？（3）111是第几项的数？ 23．有10只盒子，54只乒乓球，把这54只乒乓球放到10只盒子中，要求每个盒子中最少放1只乒乓球，并且每只盒子中的乒乓球的只数都不相同，如果能放，请说出放的方法；如果不能放，请说明理由．
1．高中数学竞赛试题 ◇1986年上海高中数学竞赛试题 ◇1987年上海高中数学竞赛试题 ◇1987年上海市黄埔区高中数学选拔赛试题 ◇1988年上海市高一数学竞赛试题.doc ◇1988年上海高中数学竞赛试题 ◇1989年上海高中数学竞赛试题 ◇1990年上海高中数学竞赛试题 ◇1991年上海高中数学竞赛试题 ◇1992年上海高中数学竞赛试题 ◇1993年上海高中数学竞赛试题 ◇1994年上海高中数学竞赛试题 ◇1995年上海高中数学竞赛试题 ◇1996年上海高中数学竞赛试题 ◇1997年上海高中数学竞赛试题 ◇1998年上海高中数学竞赛试题 ◇1999年上海高中数学竞赛试题 ◇1999年上海市高中数学竞赛试题.doc ◇2000年上海高中数学竞赛试题 ◇2000年上海市高中数学竞赛试题.doc ◇2001年上海高中数学竞赛试题 ◇2002年上海市高中数学竞赛.doc ◇2003年上海高中数学竞赛试题 ◇杭州市第7届"求是杯"高二数学竞赛 ◇杭州市第8届"求是杯"高二数学竞赛 ◇北京市海淀区第9届高二数学竞赛团体赛 ◇北京市海淀区第10届高二数学竞赛团体赛 ◇北京市海淀区第11届高二数学竞赛团体赛 ◇1986年杭州市高中数学竞赛第二试试题 ◇1990年四川省高中数学竞赛一试试卷 ◇1991年四川省高中数学联合竞赛决赛试题 ◇1992年四川省高中数学联合竞赛决赛试题 ◇1996河北省高中数学联合竞赛 ◇1999年河北省高中数学竞赛试题 ◇2000年锦州市“语数外”三科联赛高一数学试题.doc ◇2000年创新杯数学竞赛高一初赛试卷.doc ◇2000年上海市中学生业余数学学校高一招生试题.doc ◇2000年河北省高中数学竞赛试卷.doc ◇2000年温州市高二数学竞赛 ◇2001年锦州市“语数外”三科联赛高二数学竞赛试题◇2001年温州市高一数学竞赛试卷.wps
九年级数学测验二 满分：120分 时间：150分钟 一、填空题（共9小题，每小题3分，满分27分） 1.实数x 、y 满足等式22 92|3|0x y xy x y xy -++-=，则x y -的取值范围为 。 2.关于x 的方程1 1 3267 a a x x a +=-++无解，则实数a 的可能取值有 。 3. 已知111Rt A B C ?的直角边长分别为1a 、1b ，斜边长为1x ，222Rt A B C ?的直角边长分别为2a 、2b ，斜边长为2x ；请以111Rt A B C ?与222Rt A B C ?的直角边长构造出Rt ABC ?的直角边： ，使得其斜边长为 12x x 4.在ABC ?中，P 为其内部一点，请你构造出一对全等三角形，使得以下结论分别成立： 当 时，ABC ?为以BC 为底边的等腰三角形； 当 时，ABC ?为以AC 为底边的等腰三角形，且P 为它外接圆的圆心； 当 时，ABC ?为等边三角形。 5.在四边形ABCD 中，P 、Q 、R 、S 分别为AB 、BC 、CD 、DA 四边中点，记四边形ABCD 的对角线长度之和为 1l ，四边形PQRS 的对角线长度之和为2l ，令1 2 l k l = ，则k 的取值范围为 。 6.已知函数2 1y ax ax a =++-与直线0x ay a ++=只有一个交点，那么这个交点的坐标为 。 7.给出三个关于x 的方程：2 2 2 20,20,20ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=， 若2 2 0a b ac bc -+-≠，且这三个方程有相同的根，则这个根为 ； 若0abc ≠，则前两个方程均有实根的概率为 ； 若0ab >，在这三个方程中恰有某个方程存在唯一实根，则它们共有 个不相等的实根。 8. 已知某梯形的边长与对角线可构成三组长度相等的线段，那么最短边 与最长边之比为 。 9.如图，给出反比例函数3 k y x =，这里1k >；在x 轴正半轴上依次排列 2010个点122010,,,A A A L ，点n A 的坐标为(,0)(1,2,,2010)n x n =L ， 1(1,2,,2009)n n x x d n +=+=L ，1(1)x d k =-；过点n A 作x 轴的垂线交反比例函数于点n P ，记12n n n P P P ++?的 面积为(1,2,,2008)n S n =L ，那么122008S S S +++=L 。 二、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分） 10.若22221a ab b ++= ，那么a 、b （ ） A.一个为无理数、一个为有理数 B.均为分数 C 均为无限不循环小数 D.不是实数 11.下列整式中哪个不能在实数范围内因式分解？（ ） A. 3 2 333k k k -+- B. 3 2 331k k k ++- C. 3 2 332k k k +-+ D. 3 2 332k k k -++ 12.如图，在无限单位正方形网格中，任意找三个正方形顶点构成一个角，以下特殊角中不可能得到的有（ ）个：①22.5? ②30? ③36? ④45? A.4 B.3 C.2 D.1 13.将一个多边形中所有的点连结成线段后，边长及对角线长共有n 种取值，那么在这些线段构成的角中，最小的角是（ ）度。 A. 180(2)n n -或180(1)1n n -+ B. 90n 或18021n + C. 180n 或360 21 n + D. 180(1)n n -或180(21)21n n -+ 14.如图，一开口向下的抛物线与x 轴负半轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点Q （0，-3），其顶点为P ，若 ~PAB BAQ ??，则抛物线的方程为（ ） A. 2143 333y x x =- -- B. 2123363y x x =-- - C. 2323y x x =-- D. 2 343y x x =-- 15.如图，在半径为r 的O e 中，有内接矩形ABCD ，AB 中点E 与圆上逆时针排列的三点 F 、G 、H 构成边长为a 的菱形，若2GDH EFG ∠=∠，则DG 的长为（ ） A. 2242r a -2242r a + B. 242r ra -242r ra +C. 2 42ra a -2 42ra a + D. 22a r r -或2 2a r r + 16. 如图，在直角坐标系中，直线340x y a ++=与y 轴、反比例函数k y x =和x 轴 依次交于A 、B 、C 、D 四点，若2BC AB CD =+，且2AC BD ?=，则 a k =（ ）
第20届全国希望杯高二数学邀请赛 第二试 一、选择题（每题4分，40分） 1、设的定义域为D ，又()()().h x f x g x =+若(),()f x g x 的最大值分别是M ，N ，最小值分别是m ，n ，则下面的结论中正确的是（ ） A ．()h x 的最大值是M+N B ．()h x 的最小值是m ＋n C ．()h x 的值域为{|}x m n x M N +≤≤+ D ．()h x 的值域为{|}x m n x M N +≤≤+的一个子集 2、方程log (0,1)x a a x a a -=>≠的实数根的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、已知函数32()1(0)f x ax bx cx a =++-<，且(5)3f =，那么使()0f x =成立的x 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．不确定的 4、设22{(,)|S x y x y =-是奇数，,}x y R ∈,22{(,)|sin(2)sin(2)T x y x y ππ=-＝ 22cos(2)cos(2),,}x y x y R ππ-∈，则S ，T 的关系是（ ） A ．S ≠?T B ．T ≠ ?S C ．S=T D ．S T =Φ 5、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =，N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（ ） A ．9 B ．6 C ．18 D ．16 6、关于x 的整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中，若a b +是偶数，c 是奇数，则（ ） A ．方程没有整数根 B ．方程有两个相等的整数根 C ．方程有两个不相等的整数根 D ．不能判定方程整数根的情况 7、设x 是某个三角形的最小内角，则cos cos sin 22 x y x x =-的值域是（ ） A ．( B ．( C ． D ． 8、已知e tan ）
2014年广西“创新杯”数学竞赛高二初赛试卷参考答案及评分标准 一、选择题（每小题6分，共36分） 1、函数x x x y +-=)1(的定义域为（ ） A.{|0}x x ≥ B.{|1}x x ≥ C.{|1}{0}x x ≥ D.{|01}x x ≤≤ 答案：C 解析：由(1)0,0x x x -≥≥解得：1x ≥或0x =. 2、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ） A. B. C.6 D.4 答案：C 解析：几何体为三棱锥P ABC -，底面ABC 为等腰三角形，,4AB BC AC ==，顶点B 到AC 的距离为4，面PAC ⊥面ABC ，且三角形PAC 为以A 为直角的等腰直角三角形，所以棱PB 最长，长度为6。 3、在区域22:(1)4D x y -+≤内随机取一个点，则此点到点(1,2)A 的距离大于2的概率是（ ） A.13+ B.32π C.13 D.13-答案：A 解析：如图，因为A 点在圆22(1)4x y -+=上，所以到点(1,2)A 的距离大于2的点构成的区域是区域D 内去除它与区域22(1)(2)4x y -+-≤公共部分剩 下的部分，剩下部分的面积为144242433πππ??-??-?=+ ??? ，故 所求事件的概率为41343ππ+=+。 4、已知A 为ABC ?的最小内角，若向量
222211(cos ,sin ),( ,),cos 1sin 2 a A A b A A ==+-则a b ?的取值范围是 ( ) A ．1(,)2-∞ B ．1(1,)2- C ．21[,)52- D ． 2[,)5-+∞ 解：选C. 22222222222cos sin cos sin 1tan 31cos 1sin 22cos sin 2tan tan 2 A A A A A a b A A A A A A --?=+===-+-+++， (0,]3A π∈,tan A ∴∈.21[,)52a b ∴?∈- 5、设x x x f +=3)(，R x ∈，当20πθ≤ ≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立， 则实数m 的取值范围是（ ） A.)1,0( B. )0,(-∞ C. )2 1,(-∞ D. )1,(-∞ 解：选D 因为函数)(x f 是奇函数，所以不等式0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立转化为)1()sin (->m f m f θ，又)(x f 是增函数，所以1sin ->m m θ在]2 ,0[π 上恒成立。当0≥m 时，只要10->m ，解得10<≤m ，当0 刚刚结束的“中环杯”初赛，今年题型的变化纷纷让学生们措手不及，历来中环杯的难度都是各热门的数学杯赛竞赛中偏高的，小学中热门的数学竞赛，由于“希望杯”相对而言更注重基础，因此似乎对考生来说是最有“希望”拿到证书的数学竞赛。而掌握“希望杯”备考及竞赛过程中的几个要点，对取得好成绩大有帮助。更多信息请点击>> 破解简单题目中的玄机 “希望杯“主要考察学生奥数基础知识的掌握情况，一般奥数教材里的数论、几何、应用题等都会考到，覆盖面较广。比如学生的计算能力；是否能熟记基本的知识点；有无学会对知识和解题方法进行归纳总结，并举一反三，触类旁通等。 相对于其他杯赛，“希望杯”命题风格非常直白，考察学生运用知识点解决实际问题的能力。考试题目虽然比较简单，但可能暗藏陷阱，学生一不留神就可能“中招”。 “希望杯”竞赛的一个特色就是面向的参赛群体非常广泛。在校成绩突出的学生有机会获奖；成绩并不突出但学习踏实的学生同样也有机会获奖。“希望杯”的最终评奖结果在每年的六月初揭晓，而第一试是在每年三月初就公布成绩，进入第二试的比例为20%。有一点要提醒大家注意，“希望杯”第一试往往是“一题两解”，考生在解题时要考虑周全可能包含的各种情况，切勿粗心大意。 专家认为，“希望杯”思维能力竞赛的试题内容不超教学大纲，不超进度，贴近现行的数学课本，又稍高于课本。试题活而不难，巧而不偏，能将知识、能力的考察和思维能力的培养结合起来，而不只是让学生单纯地解答数学题目。 更重视解题过程 由于“希望杯”考察的知识点不偏不刁，这就对不一定具有数学天分但是学习踏实的同学很有利；而且“希望杯”的第二试试题重视解题过程，平时学习习惯好，作业过程认真清晰的学生有希望冲击更高的奖项。从这两点可以看出，“希望杯”非常有利于大部分成绩并不突出的同学获奖，这也是“希望杯”有别于其他杯赛的重要区别之一。 奥数知识基础相对扎实、解题认真的考生最适合报考“希望杯”，那些在学校学习处于中等偏上、学有余力的同学都可以参加。对他们来说，参加考试最大的意义在于检验知识的灵活运用能力。“希望杯”强调灵活的变通，这正符合喜欢思考、善于思考的学生的需求。学生不妨看看“希望杯”基础在哪，基础之上的变通又在哪，从而检测自己对于数学学习的掌握情况。我们建议只要对数学有兴趣者都可以参加，“希望杯”注重基础知识点的考察，难度又稍高于平时。考生要想获得名次，就肯定要花时间去“吃透”这些知识点。如果学生能以此标准来要求自己，那学起基础数学就更是应对自如了。 历年真题是法宝 九年级数学竞赛试卷（含答案） 温馨提示： 1.本试卷共 8 页,三大题,满分 150 分。考试时间 120 分钟。 2.答卷前请将密封线内的项目填写清楚。 一、 选择题（每小题4分,满40分） 下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的,请将正确 答案的代号字母填入题前小括号内 1. 下列说法中不正确的是（ ） A.若 a 为任一有理数,则 a 的倒数是 B.若∣a ∣＝∣b ∣,则 a ＝±b C.x2＝（－2） 2,则 x ＝±2 D.x2＋1 一定是正数 2.图中从三个方向看所得的图形所对应的直观图是（ ） 3. m m m m m m 15462-+的值（ ） A.是正数 B.是负数 C.是非负数 D.可为正也可为负 4.四边形 ABCD 中,对角线 AC 、BD 相交于点 O,给出下列四个条件：①AD ∥BC;②AD ＝BC;③OA ＝OC;④OB ＝OD,从中任选两个条件,能使四边形 ABCD 为平行四边形的选法有（ ） A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种 5.在四张完全相同的卡片上分别印有等边三角形、平行四边形、等腰梯形、圆的图案,现将印有图案的一面朝下,混合后从中一次性随机抽取两张,则抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为（ ） A. 41 B. 3 1 C. 2 1 D. 4 3 6.如图所示,半径为 5 的☉A 中,弦 BC 、ED 所对的圆心角分别是∠BAC,∠EAD.已知 DE ＝6,∠BAC ＋∠EAD ＝180°,则弦 BC 的弦心距等于（ ） A. 2 41 B. 2 34 C.4 D.3 7.如图所示,P 为☉o 的直径 BA 延长线上一点,PC 与☉O 相切.切点为 C.点 D 是☉O 上一点,连接PD.已知 PC=PD=BC.下列结论：①PD 与☉O 相切；②四边形 PCBD 是菱形；③PO=AB;④∠PDB=120°.其中正确的个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 8.如图,在平面直角坐标系中,放置一个半径为 1 的圆,与两坐标轴相切,若该圆沿 x 轴正方向滚动 2016 圈后（滚动时在 x 轴上不滑动）,则该圆的圆心坐 标为（ ） A.（4032π＋1,0） B.（4032π＋1,1） C.（4032π－1,0） D.（4032π－1,1） 9.如图所示,平行四边形 ABCD 中,AB ：BC=3:2,∠DAB=60°,E 在 AB 上,且 AE ：EB=1：2,F 是 BC 的中点,过 D 分别作 DP ⊥AF 于 P,DQ ⊥CE 于 Q,则 DP ：DQ 等于（ ） A.3:4 B. 13 : 25 C. 13 : 26 D. 23 : 13 10.如图,菱形 ABCD 中,AB ＝2,∠B ＝60°,M 为 AB 的中点,动点 P 在菱形的边上从点 B 出发,沿 B → C →D 的方向运动,到达点 D 时停止。连接 MP,设点 P 运动的路程为 x,MP 2＝y,则 y 与 x 之间的函数关系图象大致为（ ） 第十五届“创新杯”大学生数学建模竞赛赛题 一、A—D题2018 年“深圳杯”数学建模挑战赛赛题 A题-人才吸引力评价模型研究 B题-无线回传拓扑规划 C题-人体减重机制调控模型及健康效用研究 D题-基于多源监测数据的道路交通流状态重构研究 二、E题 空气污染物的数据特性和相关性分析 雾霾常见于城市, 雾霾的源头多种多样，比如汽车尾气、工业排放、建筑扬尘、垃圾焚烧，甚至火山喷发等等，雾霾天气通常是多种污染源混合作用形成的。但各地区的雾霾天气中，不同污染源的作用程度各有差异。中国不少地区将雾并入霾一起作为灾害性天气现象进行预警预报，统称为“雾霾天气”。 雾霾现在几乎避无可避，其成分中PM2.5和PM10都属于可吸入颗粒物，两者都含有毒、有害物质，而且都能在大气中长期漂浮，输送距离远，对人体健康和空气污染影响大。PM2.5和PM10这两种物质的含量常被用来作为重要的检测指标。 E题附件是某省辖市在其各10个区县布设的检测设备（一个设备号代表一个检测站）采集的一段时间的PM2.5和PM10数据。请根据数据完成以下任务： 1.挑选某2-3个检测设备的采集数据，分析其PM 2.5和PM10含量的数据规律； 2.分析不同地区之间PM2.5和PM10数据的相关性； 3.建立合理的综合评价模型，根据10个区县各检测站的PM2.5和PM10数据，合理给出能够反映该省辖市每天各个时间段的PM2.5和PM10数据。 三、F题 大气污染问题 复旦大学经济学院、中国经济研究中心陈诗一教授和陈登科博士合作的论文“雾霾污染、政府治理与经济高质量发展”在国内权威经济学期刊《经济研究》2018年第2期作为封面文章发表，该论文也是陈诗一教授主持的国家社会科学基金重大项目“雾霾治理与经济发展方式转变机制研究”（项目批准号14ZDB144）的阶段性研究成果。这篇论文首次系统考察了雾霾污染对中国经济发展质量的影响及其传导机制，并估算了中国政府环境治理政策的减霾效果和政府环境治理对中国经济发展质量的影响。此项研究成果在推动中国经济发展方式转变和加快生态文明体制建设方面具有重要的理论价值和政策意义。 F题附件(1、2)为某城市2016年的大气监测数据（数据已做脱敏处理），请结合各监测点的数据，完成以下问题： 1.根据所给数据进行分析，大气污染主要和哪些因素有关， 2.对整个城市的大气污染状况的整体规律进行分析。 3.对各监测点之间的污染状况的相关关联性进行分析。数学希望杯竞赛
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