专题七 解析几何
1．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5
2
，则C 的渐
近线方程为( )
A ．y ＝±14x
B ．y ＝±1
3x
C ．y ＝±1
2
x D ．y ＝±x
解析：选C.由e ＝52，得c a ＝5
2
，
∴c ＝52a ，b ＝c 2－a 2＝1
2a .
而x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a
x ， ∴所求渐近线方程为y ＝±1
2
x .
2．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )
A ．2
B ．2 2
C ．2 3
D ．4
解析：选C.设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋2＝42， ∴x 0＝32， ∴y 20＝42x 0＝42×32＝24， ∴|y 0|＝2 6.
∵F (2，0)，∴S △POF ＝12|OF |·|y 0|＝1
2
×2×26＝2 3.
3．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直
线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )
A.x 245＋y 236＝1
B.x 236＋y 227＝1
C.x 227＋y 218＝1
D.x 218＋y 29＝1 解析：选D.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则?
??
x 21a 2＋y 21
b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22
b 2
＝1. ②
①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2
＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)
b 2
， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)
. ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2
a
2.
而k AB ＝0－(－1)3－1
＝1
2，
∴b 2
a 2＝1
2
，∴a 2＝2b 2， ∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9， ∴b ＝c ＝3，a ＝32，
∴E 的方程为x 218＋y 2
9
＝1.
4．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是
C 上的点， PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )
A.
36 B.13 C.12 D.33 解析：选D.
如图，由题意知
s in 30°＝|PF 2||PF 1|＝1
2
， m
∴|PF 1|＝2|PF 2|.
又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，
∴|PF 2|＝2a
3
.
∴tan 30°＝|PF 2||F 1F 2|＝2a
32c ＝3
3
.
∴c a ＝3
3.故选D. 5．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )
A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1
B ．y ＝33(x －1)或y ＝－3
3
(x －1)
C ．y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1)
D ．y ＝22(x －1)或y ＝－2
2
(x －1)
解析：选C.设直线AB 的倾斜角为θ，由题意知p ＝2，F (1，0)，|AF |
|BF |
＝3.
又1|F A |＋1|FB |＝2p ， ∴13|BF |＋1|BF |
＝1， ∴|BF |＝4
3，|AF |＝4，
∴|AB |＝16
3
.
又由抛物线焦点弦公式：|AB |＝2p
sin 2θ
，
∴163＝4sin 2θ
， ∴s in 2θ＝34，∴s in θ＝3
2
，
∴k ＝tan θ＝±3.故选C.
6．(2013·高考大纲全国卷)椭圆C ：x 24＋y 2
3
＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线
P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是 ( )
A ．[12，34]
B ．[38，34]
C ．[12，1]
D ．[34
，1]
解析：选B.由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)，当P A 2的斜率为－2时，直线P A 2的方程为y ＝－
2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝26
19
.由点P 在椭圆上得
点P (2619，2419)，此时直线P A 1的斜率k ＝3
8
.同理，当直线P A 2的斜率为－1时，直线P A 2方程为y ＝－
(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27.由点P 在椭圆上得点P (2
7
，
127)，此时直线P A 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线P A 1斜率的取值范围是[38，34
]． 7．(2013·高考大纲全国卷)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )
A.x 22＋y 2＝1
B.x 23＋y 22＝1
C.x 24＋y 23＝1
D.x 25＋y 24
＝1 解析：选C.由题意知椭圆焦点在x 轴上，且c ＝1，可设C 的方程为x 2a 2＋y 2
a 2－1
＝1(a >1)，由过
F 2且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长|AB |＝3，知点(1，3
2
)必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a 4
－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2
＝14(舍去)．故椭圆C 的方程为x 24＋y 23
＝1.
8．(2013·高考大纲全国卷)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2，2)，过C 的焦点且斜率为k 的
直线与C 交于A 、B 两点．若MA →·MB →
＝0，则k ＝( )
A.12
B.22
C. 2 D ．2
解析：选D.抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝4＋8
k
2，x 1x 2＝4.
所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8
k
，
y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.
因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，
将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 9．(2013·高考山东卷)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 ( )
A ．2x ＋y －3＝0
B ．2x －y －3＝0
C ．4x －y －3＝0
D ．4x ＋y －3＝04
解析：选A.设P (3,1)，圆心C (1,0)，切点为A 、B ，则P 、A 、C 、B 四点共圆，且PC 为圆的直
径，∴四边形P ACB 的外接圆方程为(x －2)2＋(y －12)2＝5
4
①，圆C ：(x －1)2＋y 2＝1②，①－②得2x
＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．
10．(2013·高考山东卷)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23
－y 2
＝1的右焦点的连
线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )
A.316
B.38
C.233
D.4
33
解析：选D.
∵双曲线C 2：x 23
－y 2
＝1，
∴右焦点为F (2,0)，渐近线方程为y ＝±3
3
x .
抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)，焦点为F ′(0，p
2
)．
设M (x 0，y 0)，则y 0＝1
2p x 20
.
∵k MF ′＝k FF ′，∴12p x 20－
p 2x 0＝p 2
－2
.①
又∵y ′＝1p x ，∴y ′|x ＝x 0＝1p x 0＝3
3.②
由①②得p ＝43
3
.
11．(2013·高考浙江卷)
如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x
2
4
＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四
象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )
A. 2
B. 3
C.32
D.62
解析：选D.由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3. 因为四边形AF 1BF 2为矩形， 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，
所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4，
所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|＝12－4＝8，所以|AF 2|－|AF 1|＝22， 因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3，
所以C 2的离心率e ＝c a ＝6
2
.
12．(2013·高考北京卷)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )
A.43 B ．2 C.83 D.1623 解析：选C.
∵抛物线方程为x 2
＝4y ，∴其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1.如图所示，可知l 与
C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝1
4
x 2的图象和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的
图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S ＝4－2??0
2x 2
4
d x ＝4－2·x 312???
20＝4－43＝83. 13．(2013·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2p x (p>0)的
准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )
A ．1 B.3
2
C ．2
D ．3
解析：选C.由已知得c a ＝2，所以a 2
＋b 2a 2＝4，解得b
a
＝3，即渐近线方程为y ＝±3x .而抛物线
准线方程为x ＝－p 2，于是A ????－p 2，－3p 2，B ???
?
－p 2，3p 2，从而△AOB 的面积为12·3p·p 2＝3，可
得p ＝2.
14．(2013·高考北京卷)双曲线x 2－y 2m
＝1的离心率大于2的充分必要条件是( ) A ．m>12 B ．m ≥1
C ．m>1
D ．m>2
解析：选C.∵双曲线x 2－y
2m
＝1的离心率e ＝1＋m ，又∵e>2，∴1＋m>2，∴m>1.
15．(2013·高考福建卷)双曲线x 24
－y 2
＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A .25 B.45 C .255 D.455
解析：选C.双曲线的渐近线为直线y ＝±12x ，即x ±2y ＝0，顶点为(±2,0)，∴所求距离为d ＝
|±2±0|
5
＝255
.
16．(2013·高考天津卷)已知过点P(2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线a x －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )
A ．－12
B ．1
C ．2 D.1
2
解析：选C.由题意知圆心为(1,0)，由圆的切线与直线a x －y ＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x ＋ay ＋c ＝0，由切线x ＋ay ＋c ＝0过点P(2,2)，∴c ＝－2－2a ，
∴|1－2－2a|1＋a 2
＝5，解得a ＝2.
17．(2013·高考福建卷)双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A .12 B.22 C ．1 D. 2 解析：选B.双曲线x 2－y 2＝1的顶点坐标为(±1,0)，渐近线为y ＝±x ，∴x ±y ＝0，∴顶点到渐近
线的距离为d ＝|±1±0|2
＝2
2.
18．(2013·高考湖南卷)
在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 发射后又回到点P(如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )
A ．2
B ．1
C .83 D.43 解析：选D.
分别以AB ，AC 所在直线为x 轴，y 轴，A 为原点建立如图所示的平面直角坐标系．因为AB ＝AC ＝4，故B(4,0)，C(0,4)．设P(t,0)为线段AB 上的点，点P 关于AC 的对称点P ′(－t,0)．点P 关于直线BC 的对称点为M(4,4－t)．由光的反射定理知，点P ′，M 一定在直线RQ 上．又△ABC
的重心坐标为G(43，4
3)，由题意知点G 在线段RQ 上，即P ′，G ，M 三点共线．
∵P ′G →＝(43＋t ，43
)，MP ′→＝(－4－t ，t －4)，P ′G →∥MP ′→
，
∴(43＋t)(－4＋t)－43(－4－t)＝0，解得t ＝43， 即|AP →|＝43
.
19．(2013·高考辽宁卷)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )
A ．b ＝a 3
B ．b ＝a 3＋1
a
C ．(b －a 3)(b －a 3－1
a )＝0
D ．|b －a 3|＋|b －a 3－1
a
|＝0
解析：选C.若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；
若∠A ＝π
2
，则b ＝a 3≠0.
若∠B ＝π2，根据斜率关系可知a 2·a 3
－b a
＝－1， 所以a(a 3－b)＝－1，即b －a 3－1
a
＝0.
以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件． 20．(2013·高考陕西卷)已知点M(a ，b)在圆O ：x 2＋y 2＝1外， 则直线a x ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )
A ．相切
B ．相交
C ．相离
D ．不确定
解析：选B.由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1
a 2＋b
2<1，故直线与圆
相交．
21．(2013·高考江西卷)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原
点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )
A .33
B ．－33
C ．±33
D ．－ 3
解析：选B.
由于y ＝1－x 2
，即x 2
＋y 2
＝1(y ≥0)，直线l 与x 2
＋y 2
＝1(y ≥0)交于A ，B 两点，如图所示，S △AOB ＝12·s in ∠AOB ≤12，且当∠AOB ＝90°时，S △AOB 取得最大值，此时AB ＝2，点O 到直线l 的距离为22，则∠OCB ＝30°，所以直线l 的倾斜角为150°，则斜率为－33
. 22．(2013·高考湖北卷)已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2
sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2
sin 2θtan 2θ
＝
1的( )
A ．实轴长相等
B ．虚轴长相等
C ．焦距相等
D ．离心率相等
解析：选D.双曲线C 1的焦点在x 轴上，a ＝co s θ，b ＝s in θ，c ＝1，因此离心率e 1＝1
cos θ
；双
曲线C 2的焦点在y 轴上，由于0<θ<π
4
，所以a ＝s in θ，b ＝s in θtan θ，c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ，因此
离心率e 2＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin θ＝sin θ1＋tan 2θsin θ＝1
cos θ
.故两条双曲线的实轴长、虚轴长、焦距都不
相等，离心率相等．
23．(2013·高考江西卷)已知点A(2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|∶|MN|＝( )
A ．2∶ 5
B ．1∶2
C . 1∶ 5
D ．1∶3 解析：选C.
如图所示，由抛物线定义知|MF|＝|MH|，所以|MF|∶|MN|＝|MH|∶|MN|.由于△MHN ∽△FOA ，则|MH||HN|＝|OF||OA|＝12
， 则|MH|∶|MN|＝1∶5， 即|MF|∶|MN|＝1∶ 5.
24．(2013·高考湖北卷)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2
sin 2θ
＝1的( )
A ．实轴长相等
B ．虚轴长相等
C ．离心率相等
D ．焦距相等
解析：选D.双曲线C 1和C 2的实半轴长分别是s in θ和co s θ，虚半轴长分别是co s θ和s in θ，则半焦距c 都等于1，故选D.
25．(2013·高考四川卷)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．2 3 B ．2 C . 3 D ．1 解析：选D.抛物线y 2＝8x 的焦点为F(2,0)，
则d ＝
|2－3×0|12
＋(－3)
2
＝1.故选D.
26．(2013·高考四川卷)从椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a>b>0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，
A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，
B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
A .24 B.12 C .22 D.32
解析：选C.设P(－c ，y 0)，代入椭圆方程求得y 0，从而求得k OP ，由k OP ＝k AB 及e ＝c
a
可得离心
率e.
由题意设P(－c ，y 0)，将P(－c ，y 0)代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得c 2a 2＋y 20b 2＝1，则y 20＝b 2????1－c 2a 2＝b 2·a 2－c 2
a
2＝
b 4a 2
. ∴y 0＝b 2a 或y 0＝－b 2a (舍去)，∴P ????－c ，b 2a ，∴k OP ＝－b 2ac
.
∵A(a,0)，B(0，b)，∴k AB ＝b －00－a ＝－b
a .
又∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，∴－b a ＝－b 2
ac
，∴b ＝c.
∴e ＝c a ＝c b 2＋c
2＝c 2c 2＝22.故选C. 27．(2013·高考四川卷)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 2
3
＝1的渐近线的距离是( )
A .12 B.32 C ．1 D. 3
解析：选B.由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)， 双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，
则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|(3)2＋(－1)2＝32 或d 2＝|3×1＋0|(3)2＋12＝3
2. 28．(2013·高考重庆卷)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17
解析：选A.设P(x ,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C ′1C 2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2.
而|PM|＝|PC 1|－1，|PN|＝|PC 2|－3， ∴|PM|＋|PN|＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4. 29．(2013·高考重庆卷)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A ．6
B ．4
C ．3
D ．2 解析：选B.
如图，圆心M(3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.
30．(2013·高考广东卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )
A ．x ＋y －2＝0
B ．x ＋y ＋1＝0
C ．x ＋y －1＝0
D ．x ＋y ＋2＝0
解析：选A.与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝
1相切，可得|b|
12＋12
＝1，故b ＝±2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b ＝－2，
故直线方程为x ＋y －2＝0，故选A.
31．(2013·高考广东卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3,0)，离心率等于3
2
，则C 的
方程是( )
A .x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C .x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25
＝1 解析：选B.右焦点为F(3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3.又离心率为c a ＝3
2
，故
a ＝2，
b 2＝
c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y
25
＝1，故选B.
32．(2013·高考广东卷)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0)，离心率等于1
2
，则C 的方
程是( )
A .x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C .x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23
＝1 解析：选D.右焦点为F(1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1.又离心率为c a ＝1
2
，故a
＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y
23
＝1，故选D.
33．(2013·高考安徽卷)直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．4 6 解析：选C.
圆的方程可化为C ：(x －1)2
＋(y －2)2
＝5，其圆心为C(1,2)，半径R ＝ 5.
如图所示，取弦AB 的中点P ，连接CP ，则CP ⊥AB ，圆心C 到直线AB 的距离d ＝|CP|＝|1＋4－5＋5|
12＋22
＝1.
在Rt △ACP 中，|AP|＝R 2－d 2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4. 34．(2013·高考山东卷)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． 解析：设A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r ＝2，当弦过点A(3,1)且与CA 垂直时为最短弦． |CA|＝(2－3)2＋(2－1)2＝ 2.
∴半弦长＝r 2－|CA|2＝4－2＝ 2. ∴最短弦长为2 2. 答案：2 2 35．(2013·高考安徽卷)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C ，
使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．
解析：设C(x ，x 2)，由题意可取A(－a ，a)，B(a ，a)， 则CA →＝(－a －x ，a －x 2)，CB →
＝(a －x ，a －x 2)，
由于∠ACB ＝π2，所以CA →·CB →
＝(－a －x )(a －x )＋(a －x 2)2＝0，
整理得x 4
＋(1－2a)x 2＋a 2－a ＝0， 即y 2＋(1－2a)y ＋a 2－a ＝0，
所以?????
－(1－2a )≥0，a 2
－a ≥0，
(1－2a )2－4(a 2－a )>0，
解得a ≥1.
答案：[1，＋∞)
36．(2013·高考江苏卷)双曲线x 216－y 2
9
＝1的两条渐近线的方程为________．
解析：由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3，
所以两条渐近线方程为y ＝±3
4
x .
答案：y ＝±3
4
x
37．(2013·高考江苏卷)在平面直角坐标系x Oy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a>b>0)，右
焦点为F,右准线为l ，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2,若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．
解析：依题意，d 2＝a 2c －c ＝b 2
c
.
又BF ＝c 2＋b 2＝a ，所以d 1＝bc
a
.
由已知可得b 2c ＝6·bc
a
，
所以6c 2＝ab ，即6c 4＝a 2(a 2－c 2)，整理可得a 2＝3c 2，所以离心率e ＝c a ＝3
3
.
答案：3
3
38．(2013·高考浙江卷) 直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________. 解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x －y ＋
3＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|
4＋1
＝5，所以弦长为2r 2－d 2＝2×25－5＝220＝
4 5.
答案：4 5 39．(2013·高考北京卷)若抛物线y 2＝2p x 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________；准线方程为________．
解析：∵ 抛物线y 2＝2p x 的焦点坐标为(p
2
，0)，
∴准线方程为x ＝－p
2
.
又抛物线焦点坐标为(1,0)，故p ＝2，准线方程为x ＝－1. 答案：2；x ＝－1 40．(2013·高考浙江卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P(－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若|FQ|＝2，则直线l 的斜率等于________．
答案：±1
41．(2013·高考天津卷)已知抛物线y 2
＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且
双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．
解析：由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－2，∴双曲线的半焦距c ＝2.又双曲线的离心率为
2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2
－y 23
＝1.
答案：x 2－y
23
＝1
42．(2013·高考福建卷)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直
线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．
解析：已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，
直线y ＝3(x ＋c)过点F 1，且斜率为3， ∴倾斜角∠MF 1F 2＝60°.
∵∠MF 2F 1＝1
2
∠MF 1F 2＝30°，
∴∠F 1MF 2＝90°，∴|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c. 由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，
∴离心率e ＝c a ＝2
1＋3
＝3－1.
答案：3－1
43．(2013·高考辽宁卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线
相交于A ，B 两点，连接AF ，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，co s ∠ABF ＝4
5
，则椭圆C 的离心率e ＝________.
解析：设椭圆的右焦点为F 1，因为直线过原点，所以|AF|＝|BF 1|＝6，|BO|＝|AO|.在△ABF 中，
设|BF|＝x ，由余弦定理得36＝100＋x 2－2×10x ×4
5
，解得x ＝8，即|BF|＝8.所以∠BFA ＝90°，所以
△ABF 是直角三角形，所以2a ＝6＋8＝14，即a ＝7.又因为在Rt △ABF 中，|BO|＝|AO|，所以|OF|＝12|AB|＝5，即c ＝5.所以e ＝57
. 答案：57
44．(2013·高考陕西卷)双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为5
4
，则m 等于________．
解析：x 216－y
2m ＝1中，a ＝4，b ＝m ，
∴c ＝16＋m.
而e ＝5
4，∴16＋m 4＝54，∴m ＝9.
答案：9
45．(2013·高考福建卷)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直
线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．
解析：已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，
直线y ＝3(x ＋c)过点F 1，且斜率为3， ∴倾斜角∠MF 1F 2＝60°.
∵∠MF 2F 1＝1
2
∠MF 1F 2＝30°，
∴∠F 1MF 2＝90°，∴|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c. 由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，
∴离心率e ＝c a ＝2
1＋3
＝3－1.
答案：3－1
46．(2013·高考辽宁卷)已知F 为双曲线C ：x 29－y 2
16
＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的
长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．
解析：由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ|＝16.由左焦点F(－5,0)，且A(5,0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a ，|QF|－|QA|＝2a ，两式相加得，|PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a ，则|PF|＋|QF|＝4a ＋|PQ|＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.
答案：44
47．(2013·高考陕西卷)双曲线x 216－y 2
9
＝1的离心率为________．
解析：由题意a 2＝16?a ＝4.又b 2＝9，则c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25?c ＝5，故e ＝c a ＝5
4
.
答案：54
49．(2013·高考湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P 是C 上一点．若
|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．
解析：设点P 在双曲线右支上，F 1为左焦点，F 2为右焦点，则|PF 1|－|PF 2|＝2a. 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a. ∵在双曲线中c>a ，
∴在△PF 1F 2中|PF 2|所对的角最小且为30°. 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|co s 30°，即4a 2＝16a 2＋4c 2－83
ac ，即3a 2＋c 2－23ac ＝0.∴(3a －c)2＝0，∴c ＝3a ，即c
a
＝ 3.∴e ＝ 3.
答案： 3
50．(2013·高考江西卷)抛物线x 2
＝2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23
＝1相交于A ，
B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.
解析：由于x 2＝2py(p>0)的准线为y ＝－p 2
，由?????
y ＝－p 2，x 2－y 2＝3，
解得准线与双曲线x 2－y 2＝3的
交点为A ?
???－
3＋14p 2，－p 2，B ???
?
3＋14p 2，－p 2，所以AB ＝23＋1
4
p 2.由△ABF 为等边三角形，得
3
2AB ＝p ，解得p ＝6. 答案：6
51．(2013·高考江西卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝3
2
，a ＋b ＝3.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)如图所示，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明：2m －k 为定值．
解：(1)因为e ＝32＝c a ，所以a ＝23c ，b ＝1
3
c.
代入a ＋b ＝3，得c ＝3，a ＝2，b ＝1.
故椭圆C 的方程为x 24
＋y 2
＝1.
(2)证明：法一：因为B(2,0)，点P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k(x －2)?
???k ≠0，k ≠±1
2，
①
①代入x 24＋y 2＝1，解得P ? ????8k 2－24k 2＋1
，－4k 4k 2＋1.
直线AD 的方程为y ＝1
2
x ＋1.②
①与②联立解得M ? ??
?
?4k ＋22k －1，4k 2k －1.
由D(0,1)，P ? ????8k 2
－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N(x ,0)三点共线知－4k
4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1
－0＝0－1x －0，解得N ? ??
??4k －22k ＋1，0.
所以MN 的斜率为
m ＝4k
2k －1－04k ＋22k －1－
4k －22k ＋1
＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)
2＝2k ＋14， 则2m －k ＝2k ＋12－k ＝1
2
(定值)．
法二：设P(x 0，y 0)(x 0≠0，x 0≠±2)，则k ＝y 0
x 0－2
，
直线AD 的方程为y ＝1
2(x ＋2)，
直线BP 的方程为y ＝y 0
x 0－2
(x －2)，
直线DP 的方程为y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0，由于y 0≠1可得N ? ??
??－x 0y 0－1，0，
联立，得???
y ＝1
2
(x ＋2)，y ＝
y
0x 0
－2(x －2)，
解得M ?
??
?
?4y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2，4y 02y 0－x 0＋2，
因此MN 的斜率为
m ＝4y 0
2y 0－x 0＋24y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2＋
x 0y 0－1
＝4y 0(y 0－1)
4y 20－8y 0＋4x 0y 0－x 20＋4
＝4y 0(y 0－1)4y 20－8y 0＋4x 0y 0－(4－4y 2
0)＋4＝y 0－1
2y 0＋x 0－2
， 所以2m －k ＝2(y 0－1)2y 0＋x 0－2－y 0
x 0－2
＝2(y 0－1)(x 0－2)－y 0(2y 0＋x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)
＝2(y 0－1)(x 0－2)－2y 20－y 0(x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)
＝2(y 0－1)(x 0－2)－1
2(4－x 20)－y 0(x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)
＝12(定值)．
52．(2013·高考四川卷)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
解析：设平面上任一点M ，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理
|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M 为所求．
又k AC ＝6－2
3－1
＝2，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，
即2x －y ＝0.①
又k BD ＝5－(－1)
1－7
＝－1，
∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②
由①②得?
????
2x －y ＝0，
x ＋y －6＝0，
∴????
?
x ＝2，y ＝4，
∴M(2,4)． 答案：(2,4) 53．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C.
(1)求C 的方程；
(2)l 是与圆P 、圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A 、B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.
解： 由已知得圆M 的圆心为M(－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N(1,0)，半径r 2＝4.设圆P 的圆心为P(x ，y)，半径为R.
(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切， 所以|PM|＋|PN|＝(R ＋r 1)＋(r 2－R)＝r 1＋r 2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左
顶点除外)，其方程为x 24＋y 2
3
＝1(x ≠－2)．
(2)对于曲线C 上任意一点P(x ，y)，由于|PM|－|PN|＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2，所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.
若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|＝2 3.
若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP||QM|＝R
r 1
，可
求得Q(－4,0)，所以可设l ：y ＝k(x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k|1＋k 2
＝1，解得k ＝±2
4.
当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 2
3＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝－4±627
，
所以|AB|＝1＋k 2|x 2－x 1|＝18
7
.
当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB|＝18
7
.
综上，|AB|＝23或|AB|＝18
7
.
54．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系x Oy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.
(1)求圆心P 的轨迹方程；
(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为2
2
，求圆P 的方程．
解：(1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r.
由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.
(2)设P(x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2
＝2
2.
又P 点在双曲线y 2
－x 2
＝1上，从而得?
????
|x 0－y 0|＝1，
y 20－x 20＝1.
由????? x 0－y 0＝1，y 20－x 2
0＝1，得?????
x 0＝0，
y 0＝－1.
此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由????? x 0－y 0＝－1，y 20－x 2
＝1，得????
?
x 0＝0，y 0＝1， 此时，圆P 的半径r ＝ 3.
故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.
55．(2013·高考大纲全国卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，
离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.
(1)求a 、b ；
(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等比数列．
解：(1)由题设知c
a ＝3，即a 2＋
b 2a 2＝9，故b 2＝8a 2.
所以C 的方程为8x 2－y 2
＝8a 2.
将y ＝2代入上式，求得x ＝± a 2＋1
2
.
由题设知，2a 2＋1
2
＝6，解得a 2＝1.
所以a ＝1，b ＝2 2.
(2)证明：由(1)知，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.①
由题意可设l 的方程为y ＝k(x －3)，|k|<22，将其代入①并化简，得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则
x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2
k 2－8，x 1x 2＝9k 2＋8k 2－8
.
于是|AF 1|＝(x 1＋3)2＋y 2
1＝(x 1＋3)2＋8x 21－8 ＝－(3x 1＋1)，
|BF 1|＝(x 2＋3)2＋y 22＝(x 2＋3)2＋8x 2
2－8＝3x 2＋1. 由|AF 1|＝|BF 1|，得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，
即x 1＋x 2＝－23，故6k 2k 2－8＝－2
3，
解得k 2＝45，从而x 1x 2＝－19
9
.
由于|AF 2|＝(x 1－3)2＋y 2
1＝(x 1－3)2＋8x 21－8＝1－3x 1，
|BF 2|＝(x 2－3)2＋y 22＝(x 2－3)2＋8x 2
2－8＝3x 2－1， 故|AB|＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16， 因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB|2，
所以|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等比数列．
56．(2013·高考山东卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为3
2
，
过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m ，0)，求m 的取值范围；
(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线
PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2.若k ≠0，试证明
1kk 1＋1
kk 2
为定值，并求出这个定值． 解：(1)由于c 2＝a 2－b 2
，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a
.
由题意知2b
2a ＝1，即a ＝2b 2.
又e ＝c a ＝3
2
，所以a ＝2，b ＝1.
所以椭圆C 的方程为x 24
＋y 2
＝1.
(2)法一：设P(x 0，y 0)(y 0≠0)， 又F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为 lPF 1：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0， lPF 2：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0.
由题意知|my 0＋3y 0|y 20＋(x 0＋3)2＝|my 0－3y 0|
y 20＋(x 0
－3)2
. 由于点P 在椭圆上，所以x 20
4
＋y 20＝1. 所以|m ＋3|(32x 0＋2)2＝|m －3|
(32x 0－2)2.
因为－3 x 0， 所以m ＝34x 0.因此－32 2 . 法二：设P(x 0，y 0)，当0≤x 0<2时， ①当x 0＝3时，直线PF 2的斜率不存在，易知P(3，12)或P(3，－1 2 )． 若P(3，1 2 )，则直线PF 1的方程为x －43y ＋3＝0. 由题意得|m ＋3| 7 ＝3－m ， 因为－3 4 . 若P(3，－12)，同理可得m ＝33 4 . ②当x 0≠3时，设直线PF 1，PF 2的方程分别为y ＝k 1(x ＋3)，y ＝k 2(x －3)． 由题意知|mk 1＋3k 1|1＋k 21＝|mk 2－3k 2| 1＋k 22 ， 所以(m ＋3) 2 (m －3)2 ＝1＋1k 211＋1k 2 2 . 因为x 204＋y 20＝1，且k 1＝y 0x 0＋3，k 2＝y 0 x 0－3 ， 所以(m ＋3)2(m －3)2＝4(x 0＋3)2＋4－x 20 4(x 0－3)2＋4－x 20 ＝3x 20＋83x 0＋163x 20－83x 0＋16＝(3x 0＋4)2 (3x 0－4)2 ， 即|m ＋3||m －3|＝|3x 0＋4||3x 0－4| . 因为－3 所以3＋m 3－m ＝4＋3x 0 4－3x 0 ， 整理得m ＝3x 04，故0≤m<32且m ≠33 4 . 综合①②可得0≤m<3 2 . 当－2 2 综上所述，m 的取值范围是(－32，3 2 )． (3)设P(x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k(x －x 0)． 联立得????? x 24＋y 2＝1， y －y 0＝k (x －x 0)， 整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2k x 0y 0＋k 2x 20－1)＝0. 由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 2 0＝0. 又x 20 4 ＋y 20＝1， 所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 2 0＝0，故k ＝－x 04y 0 . 由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0 y 0， 所以1kk 1＋1kk 2＝1k (1k 1＋1k 2)＝(－4y 0x 0)·2x 0 y 0＝－8， 因此1kk 1＋1 kk 2 为定值，这个定值为－8. 57．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系x Oy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴 上，短轴长为2，离心率为2 2 . (1)求椭圆C 的方程； (2)A ，B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为6 4 的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭 圆C 于点P.设OP →＝tOE → ，求实数t 的值． 解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a>b>0)， 由题意知????? a 2＝ b 2＋ c 2， c a ＝2 2， 2b ＝2， 解得??? a ＝2， b ＝1， 因此椭圆C 的方程为x 22 ＋y 2 ＝1. (2)(ⅰ)当A ，B 两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为x ＝m. 由题意得－2 将x ＝m 代入椭圆方程x 22＋y 2 ＝1，得|y|＝ 2－m 22. 所以 S △AOB ＝|m|·2－m 22＝6 4 . 解得m 2＝32或m 2＝1 2 .① 因为OP →＝tOE →＝12t(OA →＋OB → )＝12 t(2m,0)＝(mt,0)， 又P 为椭圆C 上一点， 所以(mt )2 2 ＝1.② 由①②，得t 2＝4或t 2＝4 3， 又t>0，所以t ＝2或t ＝23 3 . (ⅱ)当A ，B 两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为y ＝k x ＋h. 将其代入椭圆的方程x 22 ＋y 2 ＝1，得 (1＋2k 2)x 2＋4kh x ＋2h 2－2＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)． 由判别式Δ>0可得1＋2k 2>h 2， 此时x 1＋x 2＝－4kh 1＋2k 2，x 1x 2＝2h 2－21＋2k 2 ， y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2h ＝2h 1＋2k 2， 所以|AB|＝1＋k 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝22×1＋k 2 ×1＋2k 2－h 21＋2k 2 . 因为点O 到直线AB 的距离d ＝|h| 1＋k 2 ， 所以S △AOB ＝12|AB|d ＝12×22×1＋k 2 ×1＋2k 2－h 21＋2k 2 ×|h|1＋k 2 ＝2×1＋2k 2－h 2 1＋2k 2×|h|. 又S △AOB ＝6 4 ， 所以2×1＋2k 2－h 21＋2k 2 ×|h|＝6 4.③ 令n ＝1＋2k 2，代入③整理得3n 2－16h 2n ＋16h 4＝0. 解得n ＝4h 2或n ＝4 3 h 2， 即1＋2k 2＝4h 2或1＋2k 2＝4 3h 2.④ 因为OP →＝tOE →＝12t(OA →＋OB → )＝12 t(x 1＋x 2，y 1＋y 2) ＝(－2kht 1＋2k 2，ht 1＋2k 2 )， 又P 为椭圆C 上一点， 所以t 2[12(－2kh 1＋2k 2)2＋(h 1＋2k 2 )2 ]＝1， 即h 2t 21＋2k 2 ＝1.⑤ 将④代入⑤，得t 2＝4或t 2＝4 3 . 又t>0，故t ＝2或t ＝23 3 . 经检验，适合题意． 综合(ⅰ)(ⅱ)，得t＝2或t＝23 3. 58.(2013·高考江苏卷) 如图，在平面直角坐标系x Oy 中，点A(0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上． (1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 解：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C 的切线方程为y ＝k x ＋3. 由题意，得|3k ＋1|k 2＋1 ＝1，解得k ＝0或k ＝－3 4， 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上， 所以圆C 的方程为(x －a)2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M(x ，y)，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M(x ，y)在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3. 整理，得－8≤5a 2－12a ≤0. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤12 5 . 所以点C 的横坐标a 的取值范围为[0，12 5 ]． 59．(2013·高考浙江卷) 已知抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点为F (0,1)． (1)求抛物线C 的方程； (2)过点F 作直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点， 求|MN |的最小值. 解：(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p 2 ＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1. 由????? y ＝kx ＋1，x 2＝4y ， 消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1. 由????? y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2， 上海乌托邦教育 2014年上海市高考数学试卷（理科） 一、填空题（共14题，满分56分） 1．（4分）（2014?上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是_________． 2．（4分）（2014?上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）?=_________． 3．（4分）（2014?上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 _________． 4．（4分）（2014?上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为_________．5．（4分）（2014?上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为_________． 6．（4分）（2014?上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为_________（结果用反三角函数值表示）． 7．（4分）（2014?上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是 _________． 8．（4分）（2014?上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=_________．9．（4分）（2014?上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是_________． 10．（4分）（2014?上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_________（结果用最简分数表示）． 11．（4分）（2014?上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=_________． 12．（4分）（2014?上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3= _________． 13．（4分）（2014?上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为_________． 14．（4分）（2014?上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上 的Q使得+=，则m的取值范围为_________． 二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分 《曲线的方程和性质》专题 一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程 （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． ⒉圆锥曲线方程 （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． 二、高考试题回放 1．（福建）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A ． 33 B ．32 C ．2 2 D ．23 2．(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 3．（福建）如图，P 是抛物线C ：y=2 1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4．（湖北）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 （ ） A ．2 3 - B ．3 2- C ．4 1 D ．4 5.（湖北）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的 公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两 点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 7．（湖南）如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么 点 P 到右准线 的 距 离 是 （ ） 《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第九章 平面解析几何第11课时 直线与圆锥曲线的综 合应用 1. (选修11P 44习题4改编)以双曲线x 24－y 25 ＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的拋物线方程是__________． 答案：y 2＝12x 解析：双曲线x 24－y 25 ＝1的中心为O(0，0)，该双曲线的右焦点为F(3，0)，则拋物线的顶点为(0，0)，焦点为(3，0)，所以p ＝6，所以拋物线方程是y 2＝12x. 2. 以双曲线－3x 2＋y 2＝12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是________． 答案：x 24＋y 216＝1 解析：双曲线方程可化为y 212－x 24＝1，焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．∴ 椭圆的焦点在y 轴上，且a ＝4，c ＝23，此时b ＝2，∴ 椭圆方程为x 24＋y 216＝1. 3. 若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22 ＝1的右焦点重合，则p ＝________． 答案：4 解析：椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点(2，0)是抛物线y 2＝2px 的焦点，所以p 2 ＝2，p ＝4. 4. 已知双曲线x 2－y 23 ＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→2PF 2→的最小值为________． 答案：－2 解析：设点P(x ，y)，其中x≥1.依题意得A 1(－1，0)，F 2(2，0)，由双曲线方程得y 2＝3(x 2－1).PA 1→2PF 2→＝(－1－x ，－y)2(2－x ，－y)＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋y 2－x －2＝ x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4? ????x －182－8116 ，其中x≥1.因此，当x ＝1时，PA 1→2PF 2→取得最小值－2. 5. 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P(x 0，y 0)满足x 202 ＋y 20≤1，则PF 1＋PF 2的取值范围为________． 答案：[2，22] 解析：当P 在原点处时，PF 1＋PF 2取得最小值2；当P 在椭圆上时，PF 1＋PF 2取得最大值22，故PF 1＋PF 2的取值范围为[2，22]． 文科综合能力测试试卷 第1页（共40页） 文科综合能力测试试卷 第2页（共40页） 绝密★启用前 2014普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）理 科综合能力测试 使用地区：陕西、山西、河南、河北、湖南、湖北、江西 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分300分，考试时间150分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 可能用到的相对原子质量：H —1 C —12 N —14 O —16 F —19 Al —27 P —31 S —32 Ca —40 Fe —56 Cu —64 Br —80 Ag —108 第Ⅰ卷(选择题 共126分) 一、选择题（本题共13小题，每小题6分，共78分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1. 关于细胞膜结构和功能的叙述，错误的是 （ ） A. 脂质和蛋白质是组成细胞膜的主要物质 B. 当细胞衰老时，其细胞膜的通透性会发生改变 C. 甘油是极性分子，所以不能以自由扩散的方式通过细胞膜 D. 细胞产生的激素与靶细胞膜上相应受体的结合可实现细胞间的信息传递 2. 正常生长的绿藻，照光培养一段时间后，用黑布迅速将培养瓶罩上，此后绿藻细胞的叶绿体内不可能发生的现象是 （ ） A. 2O 的产生停止 B. 2CO 的固定加快 C. ATP/ADP 比值下降 D. NADPH/NADP +比值下降 3. 内环境稳态是维持机体正常生命活动的必要条件，下列叙述错误的是 （ ） A. 内环境保持相对稳定有利于机体适应外界环境的变化 B. 内环境稳态有利于新陈代谢过程中酶促反应的正常进行 C. 维持内环境中Na +、K +浓度的相对稳定有利于维持神经细胞的正常兴奋性 D. 内环境中发生的丙酮酸氧化分解给细胞提供能量，有利于生命活动的进行 4. 下列关于植物细胞质壁分离实验的叙述，错误的是 （ ） A. 与白色花瓣相比，采用红色花瓣有利于实验现象的观察 B. 用黑藻叶片进行实验时，叶绿体的存在会干扰实验现象的观察 C. 用紫色洋葱鳞片叶外表皮不同部位观察到的质壁分离程度可能不同 D. 紫色洋葱鳞片叶外表皮细胞的液泡中有色素，有利于实验现象的观察 5. 如图为某种单基因常染色体隐性遗传病的系谱图（深色代表的个体是该遗传病患者，其余为表现型正常个体）。近亲结婚时该遗传病发病率较高，假定图中第Ⅳ代的两个个体婚配生出一个患该遗传病子代的概率为1/48，那么，得出此概率值需要的限定条件是（ ） A. 2Ⅰ和4Ⅰ必须是纯合子 B. 1Ⅱ、1Ⅲ和4Ⅲ必须是纯合子 C. 2Ⅱ、3Ⅱ、2Ⅲ和3Ⅲ必须是杂合子 D. 4Ⅱ、5Ⅱ、1Ⅳ和2Ⅳ必须是杂合子 6. 某种植物病毒V 是通过稻飞虱吸食水稻汁液在水稻间传播的。稻田中青蛙数量的增加可减少该病毒在水稻间的传播。下列叙述正确的是 （ ） A. 青蛙与稻飞虱是捕食关系 B. 水稻与青蛙是竞争关系 C. 病毒V 与青蛙是寄生关系 C. 水稻和病毒V 是互利共生关系 7. 下列化合物中同分异构体数目最少的是 （ ） A. 戊烷 B. 戊醇 C. 戊烯 D. 乙酸乙酯 9. 已知分解1 mol 22H O 放出热量98 kJ 。在含少量I 的溶液中，22H O 分解的机理为 222I O H O I H O --??→++ 慢 2222IO O O O I H H --??++→+ 快 下列有关该反应的说法正确的是 （ ） ------------- 在 --------------------此 -------------------- 卷--------------------上 -------------------- 答-------------------- 题--------------------无 -------------------- 效---------------- 姓名________________ 准考证号_____________ 2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 参考公式： 圆柱的侧面积公式：cl S =圆柱侧，其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式：Sh V =圆柱, 其中S 是圆柱的底面积,h 为高. 一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲ . 2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为 ▲ . 3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ . 4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2 个数的乘积为6的概率是 ▲ . 5. 已知函数x y cos =与)2sin(?+=x y (0≤π?<),它 们的图象有一个横坐标为 3 π 的交点,则?的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率 分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm. 开始 0←n 1+←n n 202>n 输出n 结束 （第3题） N Y 组距 频率 100 80 90 110 120 130 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 底部周长/cm （第6题） 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 20XX 届高三数学题型与方法专题七：解析几何1【基础知识梳理】 班级： 姓名： ［例1］已知直线1l 的斜率是3 3 ，直线2l 过坐标原点且倾斜角是1l 倾斜角的两倍，则直线2l 的方程为＿＿＿x y 3= . ［例2］已知直线l 的方程为)0(,0≠=++ab c by ax 且l 不经过第二象限，则直线l 的倾斜角大小为（ B ） A 、arctan a b ； B 、arctan(-a b )； C 、p +arctan a b ； D 、p -arctan a b . ［例3］与圆1)2()1(2 2=-+-y x 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有――（ B ） A 、2条； B 、3条； C 、4条； D 、5条. ［例4］过点)3,2(P 与坐标原点距离为2的直线方程是＿＿＿026125=+-y x 与2=x . ［例5］直线21,l l 斜率相等是21//l l 的――――――――――――――――――（ D ） A 、充分不必要条件；B 、必要不充分条件；C 、充要条件；D 、既不充分又不必要条件. ［例6］直线l 过点)3,2(P 与以)3,1(),2,3(--B A 为端点的线段AB 有公共点，则直线l 倾斜角的取值范围是＿＿＿＿＿＿.]4 3, 2[π arctg . ［例7］将一张画有直角坐标系的图纸折叠使点)0,2(A 与点(0,6)B 重合，若点)0,3(C 与点D 重合，则点D 的坐标为 ＿；)5 28,51( D . ［例8］抛物线C 1：x y 22 =关于直线02=+-y x 对称的抛物线为C 2，则C 2的焦点坐标为＿＿＿＿.)2 5, 2(-. ［例9］已知点),(b a 是圆22 2 r y x =+外的一点，则直线2r by ax =+与圆的位置关系 是（ C ） A 、相离； B 、相切； C 、相交且不过圆心； D 、相交且过圆心. ［例10］若圆O ：22 2r y x =+上有且只有两点到直线01543:=-+y x l 的距离为2，则 圆的半径r 的取值范围是＿＿＿＿.51< 2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1． 满足 (z i i i z +=为虚数单位）的复数z = A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+ D ．1122 i -- 2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,,p p p 则 A ．123 p p p =< B ．231 p p p =< C ．132p p p =< D ．123p p p == 3．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1,f x g x x x -=++ (1)(1)f g +则＝ A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 4．5 1(2)2 x y -的展开式中23 x y 的系数是 A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20 5．已知命题2 2 :,;:,.p x y x y q x y x y >-<->>若则命题若则在命题 ①p q ∧②p q ∨③()p q ∧?④()p q ?∨中，真命题是 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 6．执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于 A ．[6,2]-- B ．[5,1]-- C ．[4,5]- D ．[3,6]- 7．一块石材表示的几何何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析几何专题二 1、已知点P (3，－4)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)渐近线上的一点，E ，F 是左、右两个焦点，若EP →·FP → ＝0， 则双曲线方程为( ) A.x 23－y 24＝1 B.x 24－y 23＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 216－y 2 9 ＝1 2、已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是x y 4±=，则该双曲线的离心率为（ 17 ）． 【解析】因为焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是x y 4±=，所以17,17,42 2===e a c a b 3、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲 线的离心率为 2 5 1+ . 【解析】因为直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，所以 2 1 5,1)(+=-=-?e c b a b 4、若双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，线段21F F 被抛物线2 2y bx = 的焦点分成5 :7的两段，则此双曲线的离心率为（ C ） A ． 9 8 B ． 637 C ． 32 4 D ． 31010 【解析】因为线段21F F 被抛物线2 2y bx = 的焦点分成5:7的两段，所以 4 23,4036,436,622222====e c a c b c b 5、 已知F 是椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆22 214 x y b +=相切 于点Q ，且→ → =QF PQ ，则椭圆C 的离心率为 3 5 ． 提示：设左焦点E ，连接PE ，由圆的切线可得OQ ⊥PF ，而OQ ∥PF ，故PF PE ⊥,2 2 2 4)2(c b a b =-+∴， 2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷） 文科数学 一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合M ={x |-1 专题10：三角函数 1.（2012年海淀一模理11）若1tan 2α= ，则cos(2)απ 2 += . 2.（2012年西城一模理5）已知函数44()sin cos f x x x ωω=-的最小正周期是π，那么正数ω=（ ） A ．2 B ．1 C ． 12 D ．1 4 3．（2012年门头沟一模理4）在ABC ?中，已知4 A π ∠=，3 B π ∠= ，1AB =，则BC 为 （ ） 1 1 4.（2012年东城11校联考理11）在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，若 sin A C =， 30=B ，2=b ，则边c = . 5.（2012年房山一模11）已知函数()()?ω+=x x f sin （ω>0, π?<<0）的图象如图所示，则ω=_ _，?=_ _. 6．（2012年密云一模理6） 已知函数sin(),(0,||)2 y x π ω?ω?=+>< 的简图如右上图， 则 ω ? 的值为（ ） A. 6π B. 6π C. 3π D. 3π 7.（2012年西城二模理9）在△ABC 中，BC ，AC =，π 3 A =，则 B = _____． 8.（2012年海淀二模理1）若sin cos 0θθ<，则角θ是（ ） A ．第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第二或第四象限角 x y O π2π 1 -1 9.（2012年朝阳二模理4）在△ABC 中， 2AB = ，3AC = ，0AB AC ?< ，且△ABC 的面积为3 2 ，则BAC ∠等于（ ） A ．60 或120 B ．120 C ．150 D ．30 或150 10.（2012年昌平二模理9）在?ABC 中，4 ,2,2π ===A b a 那么角C =_________. 11.（2012年东城二模理11）在平面直角坐标系xOy 中，将点 A 绕原点O 逆时针旋转 90到点 B ，那么点B 的坐标为____，若直线OB 的倾斜角为α，则sin2α的值为 ． 12.（2012年海淀二模理11）在AB C ?中，若 120=∠A ，5c =，ABC ? 的面积为， 则a = . 13．（2013届北京大兴区一模理科） 函数()cos f x x =（ ） A ．在ππ (,)22 -上递增 B ．在π(,0]2-上递增，在π(0,)2上递减 C ．在ππ (,)22 -上递减 D ．在π(,0]2-上递减，在π(0,)2上递增 14．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知函数sin() y A x ω?=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能．．是（ ） A ．41 sin(2)55y x =+ B ．31 sin(2)25y x = + C ．441 sin()555 y x =- D ．441 sin()555 y x =+ 15．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题）函数2sin()y x ω?=+在一个 周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ） A ．2sin(2)4 y x π =- B ．2sin(2)4y x π =+ C ．32sin()8 y x π =+ D ．72sin()216 x y π =+ 16．（2013届北京大兴区一模理科）函数 f x x x ()s i nc o s =的最大值是 。 高考解析几何的万能解题套路 一个套路，几乎解决所有高考解析几何问题！ 在教学中，一直有一个难以解决的悖论：“题海战术”广遭诟病，但似乎要取得好成绩，除了“题海战术”又别无良策。这是因为，我们每次考试面对的题目都不可能一样，大家心照不宣的想法是——通过平时的“题海战术”，也许可以穷尽问题的各种可能。 显然如果我们要穷尽问题的各种可能，是不现实的。为了让学生能真正从题海战术中走出来，事实上，我们可以将以往大量的、零碎的、彼此之间也看似没有多少联系性的某些数学问题，却能通过高度一致的方法获得解决，本文以解析几何为例的一套与高考解析几何演绎体系相对应的“万能解题套路”，几乎把近几年贵州省高考解析几何问题基本上统一了起来！希望对同学有所启发。 一、解析几何万能解题套路 解析几何是法国数学家笛卡儿（1596年～1650年）创立的。笛卡儿在总结前人经验的基础上，创造性地提出了一个划时代的设想——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。正是在这一设想的指引下，笛卡儿创建了解析几何的演绎体系。 以高考解析几何为例： 1、很多高考问题都是以平面上的点、直线、曲线（如圆、椭圆、抛物线、双曲线）这三大类几何元素为基础构成的图形的问题； 2、演绎规则就是代数的演绎规则，或者说就是列方程、解方程的规则。 有了以上两点认识，我们可以毫不犹豫地下这么一个结论，那就是解决高考解析几何问题无外乎做两项工作： 1、几何问题代数化。 2、用代数规则对代数化后的问题进行处理。 至此，整理了近几年来贵州省高考解析几何试题后总结出一套统一的解题套路： 二、高考解析几何解题套路及各步骤操作规则 步骤一：（一化）把题目中的点、直线、曲线这三大类基础几何元素用代数形式表示出来； 口诀：见点化点、见直线化直线、见曲线化曲线。 1、见点化点：“点”用平面坐标系上的坐标表示，只要是题目中提到的点都要加以坐标化； 2、见直线化直线：“直线”用二元一次方程表示，只要是题目中提到的直线都要加以方程化； 3、见曲线化曲线：“曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）”用二元二次方程表示，只要是题目中提到的曲线都要加以方程化； 步骤二：（二代）把题目中的点与直线、曲线从属关系用代数形式表示出来；如果某个点在某条直线或曲线上，那么这个点的坐标就可代入这条直线或曲线的方程。 口诀：点代入直线、点代入曲线。 1、点代入直线：如果某个点在某条直线上，将点的坐标代入这条直线的方程； 第4讲基本不等式 A级基础演练(时间：30分钟满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．(2013·宁波模拟)若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()． A.1 2B．1 C．2 D．4 解析∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1 2.当且仅当 a＝1，b＝1 2时等号成立． 答案 A 2．函数y＝x2＋2 x－1 (x>1)的最小值是()． A．23＋2 B．23－2 C．2 3 D．2 解析∵x>1，∴x－1>0， ∴y＝x2＋2 x－1 ＝ x2－2x＋1＋2(x－1)＋3 x－1 ＝(x－1)2＋2(x－1)＋3 x－1 ＝(x－1)＋ 3 x－1 ＋2≥23＋2. 当且仅当x－1＝ 3 x－1 ，即x＝3＋1时取等号． 答案 A 3．(2012·陕西)小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a ∵a a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v >a . 答案 A 4．(2013·杭州模拟)设a >b >c >0，则2a 2 ＋1ab ＋1 a (a － b ) －10ac ＋25c 2的最小值是 ( ) ． A ．2 B ．4 C ．2 5 D ．5 解析 2a 2＋1 ab ＋1 a (a － b ) －10ac ＋25c 2 ＝2a 2＋a －b ＋b ab (a －b )－10ac ＋25c 2 ＝2a 2＋1 b (a －b ) －10ac ＋25c 2 ≥2a 2＋1 ? ??? ?b ＋a －b 22－10ac ＋25c 2(b ＝a －b 时取“＝”) ＝2a 2＋4a 2－10ac ＋25c 2＝? ? ???a 2＋4a 2＋(a －5c )2≥4 ? ????当且仅当a ＝2，b ＝22，c ＝2 5时取“＝”，故选B. 答案 B 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．(2011·浙江)设x ，y 为实数．若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 解析 依题意有(2x ＋y )2 ＝1＋3xy ＝1＋32×2x ×y ≤1＋32·? ?? ??2x ＋y 22，得5 8(2x ＋y )2≤1，即|2x ＋y |≤2105.当且仅当2x ＝y ＝105时，2x ＋y 取最大值210 5. 2014年全国统一高考地理试卷（新课标Ⅰ） 一、本卷共4小题．每小题0分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 太阳能光热电站（如图）通过数以十万计的反光版聚焦太阳能，给高塔顶端的锅炉加热，产生蒸汽，驱动发电机发电．据此完成1﹣3题． 1．（4分）我国下列地区中，资源条件最适宜建太阳能光热电站的是（）A．柴达木盆地B．黄土高原C．山东半岛D．东南丘陵2．（4分）太阳能光热电站可能会（） A．提升地表温度B．干扰飞机电子导航 C．误伤途径飞鸟D．提高作物产量 3．（4分）若在北回归线上建一太阳能光热电站，其高塔正午影长于塔高的比值为P，则（） A．春、秋分日P=0B．夏至日P＞0 C．全年日P＜1D．冬至日P＞1 20世纪50年代，在外国专家的指导下，我国修建了兰新铁路．兰新铁路在新疆吐鲁番附近的线路如图所示．读图，完成4﹣6题． 4．（4分）推测外国专家在图示区域铁路选线时考虑的主导因素是（）A．河流B．聚落C．耕地D．地形 5．（4分）后来，我国专家认为，兰新铁路在该区域的选线不合理，理由可能是（） A．线路过长B．距城镇过远C．易受洪水威胁D．工程量过大6．（4分）50多年来，兰新铁路并没有改变该区域城镇的分布，是因为该区域的城镇分布受控于（） A．地形分布B．绿洲分布C．河流分布D．沙漠分布 人类活动导致大气中含氮化合物浓度增加，产生沉降，是新出现的令人担忧的全球变化问题．一科研小组选择受人类干扰较小的某地，实验模拟大气氮沉降初期对植被的影响．实验地植被以灌木植物为主，伴生多年生草本植物．如表数据为实验地以2009年为基数，2010﹣2013年实验中植被的变化值（测量时间为每年9月30日）．据此完成7﹣9题． 7．（4分）实验期间植被变化表现为（） ①生物量提高②生物量降低③植株密度改变④植被分布改变． A．①③B．②③C．①④D．②④ 8．（4分）实验期间大气氮沉降导致灌木、草本两类植物出现此消彼长竞争的是（） A．植株数量B．总生物量C．地上生物量D．地下生物量9．（4分）根据实验结果推测，随着大气氮沉降的持续，植被未来变化趋势是（） 2014届高考数学最后一讲 一、主要考点： （一）、填空题 1．复数，2．集合（简易逻辑），3．双曲线与抛物线，4．统计，5．概率，6．流程图，7．立体几何，8．导数，9．三角，10．向量，11．数列，12．解析几何，13．不等式，14．杂题（函数） 填空题的能力题体现在考试说明中的C级（8个）以及B级（36个）中，近几年，主要体现在：导数，三角计算，解析几何（直线与圆），平面向量（基本定理与数量积），不等式（线性规划、基本不等式或函数），数列综合，函数综合等． （二）、解答题 15．三角与向量，16．立体几何，17．应用题，18．解析几何，19．数列，20．函数综合二：时间安排（参考意见） 填空题（用时40分钟左右）：1—6题防止犯低级错误，平均用时在2分钟左右。 7—12题防止犯运算错误，平均用时在2.5分钟左右。13—14防止犯耗时错误，平均用时在5分钟左右。 解答题（用时在85分钟左右）：15—16题防止犯运算和表述错误，平均用时10分钟左右。17—18题防止犯审题和建模错误，平均用时在15分钟左右。19—20题防止犯第一问会而不做和以后的耗时错误，平均用时在16分钟左右。 三：题型分析 （一）填空题：解题的基本方法一般有：①直接求解法；②数形结合法；③特殊化法(特殊值法、特殊函数法、特殊角法、特殊数列法、图形特殊位置法、特殊点法、特殊方程法、特殊模型法)；④整体代换法；⑤类比、归纳法；⑥图表法等． （二）解答题：是高考数学试卷中的一类重要题型，这些题涵盖了中学数学的主要内容，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力，分值占90分，主要分六块：三角函数(或与平面向量交汇)、立体几何、应用问题、函数与导数(或与不等式交汇)、数列(或与不等式交汇)、解析几何(或与平面向量交汇)．从历年高考题看综合题这些题型的命制都呈现出显著的特点和解题规律，从阅卷中发现考生“会而得不全分”的现象大有人在，针对以上情况，最后几天时间里，能不断回顾之前做过的典型题目，从知识、方法等层面进行反思做到触类旁通，举一反三；考场上能将平时所掌握的知识、学到的方法体现在你的解题中，将你会做的做对，相信你的高考数学一定能取得满意成绩！！！ 四：特别提醒： (1)对会做的题目：要解决“会而不对，对而不全”这个老大难的问题，要特别注意表达准确，考虑周密，书写规范，关键步骤清晰，防止分段扣分．解题步骤一定要按教科书要求，避免因“对而不全”失分． (2)对不会做的题目：对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得分．我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略．对此可以采取以下策略： ①缺步解答：如遇到一个不会做的问题，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步．特别是那些解题层次明显的题目，每一步演算到得分点时都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半． ②跳步解答：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的．这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论．若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问作“已知”，先做第(2)问，跳一步再解答． ③辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步 平面解析几何 高考复习知识点 一、直线的倾斜角、斜率 1、直线的倾斜角： （1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条及x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 及x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0； （2）倾斜角的范围[)π,0。 2、直线的斜率 （1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为 ()212 12 1x x x x y y k ≠--= ； （3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量及直线的斜率有何关系？ （4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。 例题： 例1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变 化范围； 思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围 解析： ∵， ∴． 总结升华： 在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用 在和上是增函 数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立. 类型二：斜率定义 例2．已知△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在 边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB及AC所 在直线的斜率. 思路点拨： 本题关键点是求出边AB及AC所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率. 解析： 如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30° ∴直线AB的倾斜角为180°-30°=150°，直线AC的倾斜角为30°， ∴k AB=tan150°= k AC=tan30°= 总结升华： 在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角. 类型三：斜率公式的应用 例3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角． 第6章 第5节 课时作业 一、选择题 1．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0?a ＝b”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0?a ＝b”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋bi ＝c ＋di ?a ＝c ，b ＝d”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2?a ＝c ，b ＝d”； ③“若a ，b ∈R ，则a －b>0?a>b”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b>0?a>b”．其中类比结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【解析】 ①②正确，③错误，因为复数不能比较大小，如a ＝5＋6i ，b ＝4＋6i ，虽然满足a －b ＝1>0，但复数a 与b 不能比较大小． 【答案】 C 2．观察下列各式： 1＝12， 2＋3＋4＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝52， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72， …， 可以得出的一般结论是( ) A ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝n2 B ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1) 2 C ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝n2 D ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝(2n －1)2 【解析】 可以发现：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2，…，故第n 个式子的第一个数是n ；第一个式子中有1个数相加，第二个式子中有3个数相加，…，故第n 个式子中有2n －1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3的平方，…，第n 个式子应该是2n －1的平方，故可以得到n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2. 【答案】 B 3．“三角函数是周期函数，y ＝tan x ，x ∈－π2，π2是三角函数，所以y ＝tan x ，x ∈－π2，π 2是周期函数．”在以上演绎推理中，下列说法正确的是( ) A ．推理完全正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．推理形式不正确 【解析】 y ＝tan x ，x ∈－π2，π 2只是三角函数的一部分，并不能代表一般的三角函数，所以小 2014年全国统一高考历史试卷（新课标Ⅰ） 一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分） 1．（4分）中国古代，“天”被尊为最高神。秦汉以后，以“天子”自居的皇帝举行祭天大典，表明自己“承天”而“子民”，官员、百姓则祭拜自己的祖先。这反映了秦汉以后（） A．君主专制缘于宗教权威B．政治统治借助于人伦秩序 C．皇权至上促成祖先崇拜D．祭天活动强化了宗法制度 2．（4分）唐高祖李渊自认为是老子后裔，规定老子地位在孔子之上，佛教位居第三；武则天时明令佛教位在道教之上；后来唐武宗又大规模地“灭佛”。这反映出唐代（） A．帝的好恶决定宗教兴亡B．佛教的社会影响最大 C．儒学的政治地位最为稳固D．佛教的社会基础薄弱 3．（4分）人性是先秦以来一直讨论的问题。基于对人性的新认识，宋明理学家主张“存天理，灭人欲”，他们认为人性（） A．本质是善B．本质为恶C．非善非恶D．本善习远4．（4分）据记载，清初实施海禁前，“市井贸易，咸有外国货物，民间行使多以外国银钱，因而各省流行，所在皆有”。这一记载表明当时（） A．中国在对外贸易中处于优势地位 B．外来货币干扰了中国资本市场 C．自然经济受到进口货物的冲击 D．民间贸易发展冲击清廷的统治 5．（4分）据研究，1853年，印度人均消费英国棉纱、棉布9.09便士，而中国是0.94便士。这反映出当时中国（） A．经济受到鸦片战争的破坏B．实行保护本国经济的政策 C．经济的发展水平低于印度D．传统的小农经济根深蒂固 6．（4分）1898年，梁启超等联合百余举人上书，请废八股取士之制。参加会试的近万名举人，“闻启超此举，嫉之如不共戴天之仇，遍播谣言，几被殴击”。 这一事件的发生表明（） A．废八股断送读书人政治前途B．改制缺乏广泛的社会基础2014年上海市高考数学试卷(理科)
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