第三章 统计案例
3．1回归分析的基本思想及其初步应用
（共计4课时） 授课类型：新授课
一、教学内容与教学对象分析
学生将在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。
二、学习目标
1、知识与技能
通过本节的学习，了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析，明确建立回归模型的基本步骤，并对具体问题进行回归分析，解决实际应用问题。
2、过程与方法
本节的学习，应该让学生通过实际问题去理解回归分析的必要性，明确回归分析的基本思想，从散点图中点的分布上我们发现直接求回归直线方程存在明显的不足，从中引导学生去发现解决问题的新思路—进行回归分析，进而介绍残差分析的方法和利用R 的平方来表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，从中选择较为合理的回归方程，最后是建立回归模型基本步骤。
3、情感、态度与价值观
通过本节课的学习，首先让显示了解回归分析的必要性和回归分析的基本思想，明确回归分析的基本方法和基本步骤，培养我们利用整体的观点和互相联系的观点，来分析问题，进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用好数学的信心。加强与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关系。教学中适当地增加学生合作与交流的机会，多从实际生活中找出例子，使学生在学习的同时。体会与他人合作的重要性，理解处理问题的方法与结论的联系，形成实事求是的严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神。培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力。 三、教学重点、难点
教学重点：熟练掌握回归分析的步骤；各相关指数、建立回归模型的步骤；通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法。
教学难点：求回归系数 a , b ；相关指数的计算、残差分析；了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较。 四、教学策略：
教学方法：诱思探究教学法
学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。 教学手段：多媒体辅助教学 五、教学过程： （一）、复习引入：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。 （二）、新课:
探究：对于一组具有线性相关关系的数据：
（11,x y ) , (22,x y ) ，…， (,n n x y )，
我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为： a y bx =- （1）
1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=
-∑∑ （2）
其中11
11,n n
i i i i x x y y n n ====∑∑，（,x y ）成为样本点的中心.
注：回归直线过样本中心.
你能推导出这两个计算公式吗？
从我们已经学过的知识知道，截距a 和斜率b 分别是使 2
1
(,)()
n
i
i
i Q y bx a αβ==
--∑
取到最小值时,αβ的值. 由于 2
1
(,)[()()]
n
i
i
i Q y x y x y x αββββα==
---+--∑
221{[()]2[()][()][()]}n
i i i i i y x y x y x y x y x y x βββββαβα==---+---?--+--∑
2
21
1
[()]2[()]()[()]n
n
i i i i i i y x y x y x y x y x n y x βββββαβα===---+---?--+--∑∑
注意到
1
[()]()n
i
i
i y x y x y x βββα=-----∑
1
()[()]n
i i i y x y x y x βαββ==-----∑
1
1
()[()]n n
i i i i y x y x n y x βαββ===-----∑∑
()[()]0y x ny n x n y x βαββ=-----=.
221(,)[()]()n
i i i Q y x y x n y x αββββα==---+--∑
2
2
221
1
1
()
2()()()()n
n n
i
i i i i i i x x x x y y y y n y x β
ββα====----+-+--∑∑∑
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
()()
[()()]()()[]()()
()
n
n
i
i
i i n
n
i i i i n
n
i i i
i
i i x x y y x x y y n y x x x y y x x x x βαβ======----=--+--
--
+---∑∑∑∑∑∑ 在上式中，后两项和,αβ无关，而前两项为非负数，因此要使Q 取得最小值，当且仅当前两项的值均为0，即有
1
22
1
n
i
i
i n
i
i x y nx y
y x x
nx βαβ==?-?=
=--∑∑，.
这正是我们所要推导的公式．
下面我们从另一个角度来推导的公式． 人教A 版选修2-2P37习题1.4A 组第4题:
用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得n 个数据
12,,,n a a a .
证明：用这个数据的平均值1
1n
i i x a n ==∑
表示这个物体的长度，能使这n 个数据的方差
21
1()()n
i i f x x a n ==-∑
最小．
思考：这个结果说明了什么？通过这个问题，你能说明最小二乘法的基本原理吗？
证明：由于2
11()()n i i f x x a n ==-∑，所以
'
1
2()()n
i i f x x a n ==-∑，
令'
()0f x =, 得1
1n
i i x a n ==∑。
可以得到， 1
1n
i i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点．
这个结果说明，用n 个数据的平均值1
1n
i i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小
二乘法的基本原理．
由最小二乘法的基本原理即得
定理 设x R ∈,12n
x x x x n
++
+=
,则
2222222121211
[()()()][()()()]n n x x x x x x x x x x x x s n n
-+-++-≥-+-++-= (*) 当且仅当12n
x x x x x n
+++==时取等号.
(*)式说明, 12n
x x x x n
+++=是任何一个实数x 与12,,,n x x x 的差的平方的平均
数中最小的数.从而说明了方差具有最小性,也即定义标准差的合理性.
下面借助(*)式求2222211)()()(a bx y a bx y a bx y Q n n --++--+--= 的最小值.
1122()()()
n n y bx y bx y bx n
-+-++-
1212n n y y y x x x b y b x n n
++++++=-?=-?,
由(*)式知,
2221122[()][()][()]n n Q a y bx a y bx a y bx =--+--++--
2221122[()()][()()][()()]n n y b x y bx y b x y bx y b x y bx ≥-?--+-?--++-?--
2221122[()()][()()][()()]n n x x b y y x x b y y x x b y y =---+---+
+---
2
2
21
1
1
()2()()()n
n
n
i i i i i i i x x b x x y y b y y ====----+-∑∑∑
2
2
2
21
1
2
2
1
1
11()()
[()()]()[]()()
()
n
n
i
i
i i n
n
i i i i n
n
i i i
i
i i x x y y x x y y x x b y y x x x x ======----=--
+--
--∑∑∑∑∑∑
2
2221
1
2
2
1
1
11
()()[()()]()[]()()
()
n
n i
i
i i n
n
i i i i n
n
i i i
i
i i x x y y x x y y x x b y y x x x x ======----=--
+--
--∑∑∑∑∑∑
2
21
2
11
[()()]()()
n
i i n
i i n
i i
i x x y y y y x x ===--≥--
-∑∑∑
2
2
2
1
1
12
1
()()
[()()]()
n
n
n
i
i
i i i i i n
i
i x x y y x x y y x x ====-----=
-∑∑∑∑
当且仅当a y b x =-?,且1
12
2
2
1
1
()()()
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nx y
b x x x
nx
====---=
=
--∑∑∑∑时, Q 达到最小值
2
2
2
1
1
12
1
()()
[()()]()
n n
n
i
i
i i i i i n i
i x x y y x x y y x x ====------∑∑∑∑.
由此得到,?
?
???
??
-=-?-?=
---=∑∑∑∑====．
，
x b y a x
n x
y
x n y x
x x y y x x b n
i i
n
i i i
n i i n
i i i 2
1
21
1
2
1)())((其中b 是回归直线的斜率,a 是
截距.
借助||||||||||||a b a b a b -≤+≤+和配方法,我们给出了人教A 版必修3的第二章统计第三节变量间的相关关系中回归直线方程y bx a =+的一个合理的解释 1、回归分析的基本步骤：
(1) 画出两个变量的散点图. (2) 求回归直线方程.
(3) 用回归直线方程进行预报.
下面我们通过案例，进一步学习回归分析的基本思想及其应用 2、举例：
例1
43
求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为 172 cm 的女大学生的体重．
解：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量 x ，体重为因变量 y . 作散点图(图3 . 1 一 1)
从图3. 1一1 中可以看出，样本点呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程来近似刻画它们之间的关系
根据探究中的公式（1）和（2 ) ，可以得到??0.849,85.712b
a ==-.
于是得到回归方程
084985.712y x =-.
因此，对于身高172 cm 的女大学生，由回归方程可以预报其体重为
084917285.71260.316y =?-= ( kg ) .
?0.849b
=是斜率的估计值，说明身高 x 每增加1个单位时，体重y 就增加0.849 位，这表明体重与身高具有正的线性相关关系．如何描述它们之间线性相关关系的强弱？
在必修 3 中，我们介绍了用相关系数；来衡量两个变量之间线性相关关系的方法本相关系数的具体计算公式为
()(
)
n
i
i
x x y y r --=
∑
当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关．r 的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常，当r 的绝对值大于0. 75 时认为两个变量有很强的线性相关关系
在本例中，可以计算出r =0. 798．这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而也表明我们建立的回归模型是有意义的
显然，身高172cm 的女大学生的体重不一定是60. 316 kg ，但一般可以认为她的体重接近于60 . 316 kg .图3 . 1 一 2 中的样本点和回归直线的相互位置说明了这一点
由于所有的样本点不共线，而只是散布在某一条直线的附近，所以身高和体重的关系可用下面的线性回归模型来表示：
y bx a e =++, ( 3 )
这里 a 和 b 为模型的未知参数，e 是 y 与y bx a =+之间的误差．通常e 为随机变量，称为随机误差，它的均值 E (e ）=0，方差D （e ）=2
()D e σ=＞0 ．这样线性回归模型的完整表达式为：
2
,
()0,().
y bx a e E e D e σ=++??==? (4) 在线性回归模型（4）中，随机误差e 的方差护越小，通过回归直线
y bx a =+ (5)
预报真实值y 的精度越高．随机误差是引起预报值y 与真实值 y 之间的误差的原因之一，大小取决于随机误差的方差.
另一方面，由于公式（1）和（2）中a 和b 为截距和斜率的估计值，它们与真实值a 和b 之间也存在误差，这种误差是引起预报值y 与真实值y 之间误差的另一个原因．
思考：产生随机误差项e 的原因是什么?
一个人的体重值除了受身高的影响外，还受许多其他因素的影响．例如饮食习惯、是否喜欢运动、度量误差等．事实上，我们无法知道身高和体重之间的确切关系是什么，这里只是利用线性回归方程来近似这种关系．这种近似以及上面提到的影响因素都是产生随机误差 e 的原因．
因为随机误差是随机变量，所以可以通过这个随机变量的数字特征来刻画它的一些总体特征．均值是反映随机变量取值平均水平的数字特征，方差是反映随机变量集中于均值程度的数字特征，而随机误差的均值为0，因此可以用方差2
σ来衡量随机误差的大小． 为了衡量预报的精度，需要估计护的值．一个自然的想法是通过样本方差来估计总体方差．如何得到随机变量e 的样本呢？由于模型（3）或（4）中的e 隐含在预报变量 y 中，我们无法精确地把它从 y 中分离出来，因此也就无法得到随机变量e 的样本．
解决问题的途径是通过样本的估计值来估计2
σ．根据截距和斜率的估计公式（1）和（2 ) , 可以建立回归方程
y bx a =+,
因此y 是（5）中y 的估计量．由于随机误差e y y =-，所以e y y =-是e 的估计量．对于样本点（11,x y ) , (22,x y ) ，…， (,n n x y ) 而言，相应于它们的随机误差为
,1,2,
,i i i i i e y y y bx a i n =-=--=,
其估计值为
,1,2,
,i i i i i e y y y bx a i n =-=--=,
i e 称为相应于点(,)i i x y 的残差（resid ual )．类比样本方差估计总体方差的思想，可以用
22
111(,)(2)22
n i i e Q a b n n n σ===>--∑ 作为2
σ的估计量， 其中a 和b 由公式（1) (2）给出，Q （a ,b ）称为残差平方和（residual sum of squares )．可以用2σ衡量回归方程的预报精度．通常，2σ越小，预报精度越高． 在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据然后，可以通过残差
12,,,n e e e
来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据．这方面的分析工作称为残差分析．表3一 2 列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。
e -6.373 我们可以利用图形来分析残差特性作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重的估计值等，这样作出的图形称为残差图．图 3 . 1 一 3 是以样本编号为横坐标的残差图。
从图3 . 1 一 3 中可以看出，第 1 个样本点和第 6 个样本点的残差比较大，需要确认在采集这两个样本点的过程中是否有人为的错误．如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因．另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适.这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．另外，我们还可以用相关指数2
R 来刻画回归的效果，其计算公式是：
2
212
1()
1()
n
i
i
i n
i
i y y R y y ==-=-
-∑∑
显然，2
R 取值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．在线性回归模型中，2
R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率． 2
R 越接近于1，表示回归的效果越好（因为2R 越接近于1，表示解释变量和预报变量的线性相关性越强）．如果对某组数据可能采取几种不同的回归方程进行回归分析，也可以通过比较几个2
R ，选择2
R 大的模型作为
这组数据的模型。
在例 1 中，2
R =0. 64 ，表明“女大学生的身高解释了64 ％的体重变化”，或者说“女大学生的体重差异有 64 ％是由身高引起的” 用身高预报体重时，需要注意下列问题：
1．回归方程只适用于我们所研究的样本的总体．例如，不能用女大学生的身高和体重之间的回归方程，描述女运动员的身高和体重之间的关系．同样，不能用生长在南方多雨地区的树木的高与直径之间的回归方程，描述北方干旱地区的树木的高与直径之间的关系。
2．我们所建立的回归方程一般都有时间性．例如，不能用 20 世纪 80 年代的身高体重数据所建立的回归方程，描述现在的身高和体重之间的关系。
3．样本取值的范围会影响回归方程的适用范围．例如，我们的回归方程是由女大学生身高和体重数据建立的，那么用它来描述一个人幼儿时期的身高和体重之间的关系就不恰当（即在回归方程中，解释变量 x 的样本的取值范围为［155cm,170cm 〕 ，而用这个方程计算 x-70cm 时的y 值，显然不合适。)
4．不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值．事实上，它是预报变量的可能取值的平均值．
一般地，建立回归模型的基本步骤为：
(1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
(2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）
(3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程 y=bx+a )
(4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）;
(5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等 例2.现收集了一只红铃虫的产卵数y 和温度x 之间的7组观测数据列于下表：
(1)试建立与之间的回归方程；并预测温度为28o
C 时产卵数目。 (2)你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？ 探究：
方案1（学生实施）：
（1）选择变量，画散点图。
（2）通过计算器求得线性回归方程:y
=19.87x -463.73
（3）进行回归分析和预测： R 2=r 2
≈0.8642=0.7464
预测当气温为28 时，产卵数为92个。这个线性回归模型中温度解释了74.64%产卵数的变化。
困惑：随着自变量的增加，因变量也随之增加，气温为28 时，估计产卵数应该低于66个，但是从推算的结果来看92个比66个却多了26个，是什么原因造成的呢？
方案2：
(1)找到变量t=x 2
，将y=bx 2
+a 转化成y=bt+a ；
(2)利用计算器计算出y 和t 的线性回归方程：y=0.367t -202.54 (3)转换回y 和x 的模型：
(4)y=0.367x 2
-202.54
（5）计算相关指数R 2
≈0.802这个回归模型中温度解释了80.2%产卵数的变化。 预测：当气温为28 时，产卵数为85个。
困惑：比66还多19个，是否还有更适合的模型呢？ 方案3： (1)作变换z=lgy ，将x
c c y 2101 转化成z=c 2x+lgc 1（线性模型）。 (2)利用计算器计算出z 和x 的线性回归方程： z=0.118x-1.672
(3)转换回y 和x 的模型：672.1118.010-=x y
(4)计算相关指数R 2
≈0.985这个回归模型中温度解释了98.5%产卵数的变化。
预测：当气温为28 时，产卵数为4 2个。
解：根据收集的数据作散点图（图3. 1一4 ) .
在散点图中，样本点并没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系．根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线21c x
y c e =的周围，其中1c 和2c 是待定参数．现在，问题变为如何估计待定参数1c 和2c ．我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系．令
ln z y =，则变换后样本点应该分布在直线11(ln ,ln )z bx a a c b c =+==的周围．这样，就可
以利用线性回归模型来建立 y 和 x 之间的非线性回归方程了．
由表3一3 的数据可以得到变换后的样本数据表 3一4 ，图3.1一5 给出了表 3 一 4 中数据的散点图．从图3.1一5 中可以看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近，因此
由表 3 一 4 中的数据得到线性回归方程
0.272 3.849z x =-.
因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为
(1)
0.272 3.849x y
e -=. ( 6 )
另一方面，可以认为图3. 1一4 中样本点集中在某二次曲线234y c x c =+的附近，其中
3c 和4c 为待定参数．因此可以对温度变量做变换，即令2t x =，然后建立y 与t 之间的线性
回归方程，从而得到y 与x 之间的非线性回归方程．表3一5 是红铃虫的产卵数和对应的温度的平方，图3 . 1一6 是相应的散点图．
从图3.1一6 中可以看出，y 与t 的散点图并不分布在一条直线的周围，因此不宜用线性回归方程来拟合它，即不宜用二次曲线2
34y c x c =+来拟合 y 和 x 之间的关系．这个结论还可以通过残差分析得到，下面介绍具体方法．
为比较两个不同模型的残差，需要建立两个相应的回归方程．前面我们已经建立了y 关于x 的指数回归方程，下面建立y 关于x 的二次回归方程．用线性回归模型拟合表 3 一 5
中的数据，得到 y 关于 t 的线性回归方程
(2)
0.367202.543y
t =-,
即 y 关于 x 的二次回归方程为
(2)
20.367202.543y
x =- . ( 7 )
可以通过残差来比较两个回归方程（ 6 ）和（ 7 ）的拟合效果．用 x i 表示表3一3 中第 1 行第 i 列的数据，则回归方程（ 6 ）和（ 7 ）的残差计算公式分别为 (1)
(1)
0.272 3.849,1,2,
,7x i
i i
i e y y y e i -=-=-=;
(2)
(2)
20.367202.543,1,2,
,7i
i i
i e y y y x i =-=-+=.
表3一6 给出了原始数据及相应的两个回归方程的残差．从表中的数据可以看出模型 ( 6 ）的残差的绝对值显然比模型（ 7 ）的残差的绝对值小，因此模型（ 6 ）的拟合效果比模型（
在一般情况下，比较两个模型的残差比较困难．原因是在某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些样本点的情况则相反．这时可以通过比较两个模型的残差平方和的大小来判断模型的拟合效果．残差平方和越小的模型,拟合的效果越好．由表 3 一 6 容易算出模型（ 6 ）和（ 7 ）的残差平方和分别为
(1)
(2)
1550.538,15448.431Q
Q
==.
因此模型（6）的拟合效果远远优于模型（7）.
类似地，还可以用尸来比较两个模型的拟合效果，R 2
越大，拟合的效果越好．由表 3 一
6 容易算出模型（6）和（7）的R 2
分别约为 0 . 98 和 0 . 80 ，因此模型（ 6 ）的效果好于模型（7) 的效果．
对于给定的样本点（11,x y ) , (22,x y ) ，…， (,n n x y )，两个含有未知参数的模型
(1)(,)y f x a =和(2)
(,)y
g x b =,
其中 a 和 b 都是未知参数．可以按如下的步骤来比较它们的拟合效果：
(1)分别建立对应于两个模型的回归方程(1)
(,)y f x a =与(2)
(,)y g x b =, ，其中a 和b
分别是参数a 和b 的估计值；
(2)分别计算两个回归方程的残差平方和(1)
(1)
21
()n
i i i Q
y y ==-∑与
(2)
(2)
21
()n
i i
i Q
y y ==-∑;
( s ）若(1)
(2)
Q Q
<，则(1)
(,)y
f x a =的效果比(2)
(,)y
g x b =的好；反之，(1)
(,)y
f x a =的
效果不如(2)
(,)y
g x b =的好．
例2：（提示后做练习、作业）研究某灌溉渠道水的流速y 与水深x 之间的关系，测得一组数据如下：
水深xm 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 流速ym/s
1.70 1.79 1.88 1.95
2.03 2.10 2.16 2.21 （1）求y 对x 的回归直线方程；
（2）预测水深为1。95m 时水的流速是多少？
解：依题意，把温度作为解释变量x ，产卵个数y 作为预报变量 , 作散点图，由观察知
两个变量不呈线性相关关系。但样本点分布在某一条指数函数 y=c 1e c2 x
周围.
令 z=lny , a=lnc 1 , b=c 2 则 z=bx+a 此时可用线性回归来拟合 z=0.272x-3.843 因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为
Y=e
0.272x-3.843. 3、从上节课的例1提出的问题引入线性回归模型： Y=bx+a+e 解释变量x
预报变量y
随机误差 e 4、（1） 相关指数： 相关系数 r (公式) , r>0 正相关. R<0 负相关
R 绝对值接近于1相关性强接 r 绝对值 近于0 相关性几乎无
()()
()()()()()()()
()2
2
2
1
2
1
2???5?17i n
i i n i y y
y y
y y ---=-
-∑∑∑∑n
i 1
i i i n
i 12总偏差平方和 : y
3残差 e
=y -y 4残差平方和 y 回归平方和 = 总偏差平方和 - 残差平方和6回归效果的相关指数R 残差分析通过残差判断模型拟合效果判断原始数据是否存在可疑数据
5、回忆建立模型的基本步骤 ① 例2 问题背景分析 画散点图。 ② 观察
散点图，分析解释变量与预报变量更可能是什么函数关系。③ 学生讨论后建立自己的模型④ 引导学生探究如果不是线性回归模型如何估计参数。能否利用回归模型
通过探究体会有些不是线性的模型通过变换可以转化为线性模型⑤ 对数据进行变换后，对数据（新）建立线性模型⑥ 转化为原来的变量模型，并通过计算相关指数比较几个不同模型的拟合效果⑦ 总结建模的思想。鼓励学生大胆创新。⑧ 布置课后作业：习题1.1 1、
6、复习与巩固：练习1：某班5名学生的数学和化学成绩如下表所示，对x与y进行回归分析，并预报某学生数学成绩为75分时，他的化学成绩。
A B C D E
数学x 88 76 73 66 63
化学y 78 65 71 64 61
解略。
练习2：某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量 (mg/l) 与消光系数的结果如下：
（1）求回归方程。（2）求相关指数R2。
解：略。
（三）课堂小结
1.知识梳理：
2规律小结：（1）回归直线方程；（2）样本相关系数；（3）样本残差分析；（4）样本指数；（5）建立回归模型的基本步骤。
（四）作业：
（五）课后反思：
本节内容对回归分析的探讨过程很精彩，学生讨论很热烈，激发了学生的学习热情。但对残差分析学生只能欣赏它的过程，计算量太大，思维的跳跃性太强！
3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
（共计3课时）
授课类型：新授课
一、教学内容与教学对象分析
通过典型案例，学习下列一些常用的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题。
①通过对典型案例（如“患肺癌与吸烟有关吗”等）的探究。了解独立性检验（只要
求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用。
②通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”等）的探究，了解回归的基本思想、方法及其初步应用。
二. 学习目标
1、知识与技能
通过本节知识的学习，了解独立性检验的基本思想和初步应用，能对两个分类变量是否有关做出明确的判断。明确对两个分类变量的独立性检验的基本思想具体步骤，会对具体问题作出独立性检验。
2、过程与方法
在本节知识的学习中，应使学生从具体问题中认识进行独立性检验的作用及必要性，树立学好本节知识的信心，在此基础上学习三维柱形图和二维柱形图，并认识它们的基本作用和存在的不足，从而为学习下面作好铺垫，进而介绍K的平方的计算公式和K的平方的观测值R 的求法，以及它们的实际意义。从中得出判断“X与Y有关系”的一般步骤及利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并能较准确地给出这种判断的可靠程度的具体做法和可信程度的大小。最后介绍了独立性检验思想的综合运用。
3、情感、态度与价值观
通过本节知识的学习，首先让学生了解对两个分类博变量进行独立性检验的必要性和作用，并引导学生注意比较与观测值之间的联系与区别，从而引导学生去探索新知识，培养学生全面的观点和辨证地分析问题，不为假想所迷惑，寻求问题的内在联系，培养学生学习数学、应用数学的良好的数学品质。加强与现实生活相联系，从对实际问题的分析中学会利用图形分析、解决问题及用具体的数量来衡量两个变量之间的联系，学习用图形、数据来正确描述两个变量的关系。明确数学在现实生活中的重要作用和实际价值。教学中，应多给学生提供自主学习、独立探究、合作交流的机会。养成严谨的学习态度及实事求是的分析问题、解决问题的科学世界观，并会用所学到的知识来解决实际问题。
三．教学重点、难点
教学重点：理解独立性检验的基本思想；独立性检验的步骤。
教学难点；1、理解独立性检验的基本思想；
2、了解随机变量K2的含义；
3、独立性检验的步骤。
四、教学策略
教学方法：诱思探究教学法
学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。
教学手段：多媒体辅助教学
五、教学过程：
对于性别变量，其取值为男和女两种．这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．在现实生活中，分类变量是大量存在的，例如是否吸烟，宗教信仰，国籍，等等．在日常生活中，我们常常关心两个分类变量之间是否有关系．例如，吸烟与患肺癌是否有关系？性别对于是否喜欢数学课程有影响？等等．
为调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）
表3-7 吸烟与肺癌列联表
那么吸烟是否对患肺癌有影响吗？
像表3一7 这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．由吸烟情况和患肺癌情况的列联表可以粗略估计出：在不吸烟者中，有0.54 ％患有肺癌；在吸烟者中，有2.28％患有肺癌．因此，直观上可以得到结论：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异．与表格相比，三维柱形图和二维条形图能更直观地反映出相关数据的总体状况．图3. 2 一1 是列联表的三维柱形图，从中能清晰地看出各个频数的相对大小．
图3.2一2 是叠在一起的二维条形图，其中浅色条高表示不患肺癌的人数，深色条高表示患肺癌的人数．从图中可以看出，吸烟者中患肺癌的比例高于不吸烟者中患肺癌的比例．
为了更清晰地表达这个特征，我们还可用如下的等高条形图表示两种情况下患肺癌的比例．如图3.2一3 所示，在等高条形图中，浅色的条高表示不患肺癌的百分比；深色的条高表示患肺癌的百分比．
通过分析数据和图形，我们得到的直观印象是“吸烟和患肺癌有关”．那么我们是否能够以一定的把握认为“吸烟与患肺癌有关”呢？
为了回答上述问题，我们先假设
H 0：吸烟与患肺癌没有关系．用A 表示不吸烟， B 表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”独立”，即假设 H 0等价于
PAB ）=P(A ）+P(B) .
把表3一7中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表：
表
在表3一8中，a 恰好为事件AB 发生的频数；a+b 和a+c 恰好分别为事件A 和B 发生的频数．由于频率近似于概率，所以在H 0成立的条件下应该有
a a
b a
c n n n
++≈?, 其中n a b c d =+++为样本容量， (a+b+c+d)≈(a+b)(a+c) ,
即ad ≈bc.
因此，|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；|ad -bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强．
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上面的分析，我们构造一个随机变量
()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++ (1)
其中n a b c d =+++为样本容量．
若 H 0 成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则 K “应该很小．根据表3一7中的数据，利用公式（1）计算得到 K “的观测值为
()2
2996577754942209956.63278172148987491
K ?-?=≈???,
这个值到底能告诉我们什么呢？
统计学家经过研究后发现，在 H 0成立的情况下，
2( 6.635)0.01P K ≥≈. (2)
(2）式说明，在H 0成立的情况下，2
K 的观测值超过 6. 635 的概率非常小，近似为0 .
01，是一个小概率事件．现在2
K 的观测值k ≈56.632 ，远远大于6. 635，所以有理由断定
H 0不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系”．但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即我们有99％的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”
在上述过程中，实际上是借助于随机变量2
K 的观测值k 建立了一个判断H 0是否成立的规则：
如果k ≥6. 635，就判断H 0不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断H 0成立，即认为吸烟与患肺癌没有关系
在该规则下，把结论“H 0 成立”错判成“H 0 不成立”的概率不会超过
2( 6.635)0.01P K ≥≈,
即有99％的把握认为从不成立．
上面解决问题的想法类似于反证法．要确认是否能以给定的可信程度认为“两个分类变量有关系”，首先假设该结论不成立，即
H 0:“两个分类变量没有关系” 成立．在该假设下我们所构造的随机变量2
K 应该很小．如果由观测数据计算得到的2
K 的观测值k 很大，则在一定可信程度上说明H 0不成立，即在一定可信程度上认为“两个分类变量有关系”；如果k 的值很小，则说明由样本观测数据没有发现反对H 0 的充分证据
怎样判断2
K 的观测值 k 是大还是小呢？这仅需确定一个正数0k ，当0k k ≥时就认为
2K 的观测值k 大．此时相应于0k 的判断规则为：
如果0k k ≥，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”.
我们称这样的0k 为一个判断规则的临界值．按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系”错误地判断为“两个分类变量之间有关系”的概率为20()P K k ≥.
在实际应用中，我们把0k k ≥解释为有20(1())100%P K k -≥?的把握认为“两个分类
变量之间有关系”；把0k k <解释为不能以20(1())100%P K k -≥?的把握认为“两个分类变量之间有关系”，或者样本观测数据没有提供“两个分类变量之间有关系”的充分证据．上面这种利用随机变量2
K 来确定是否能以一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验
利用上面结论，你能从列表的三维柱形图中看出两个变量是否相关吗？
一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为｛12,x x ｝和｛12,y y ｝, 其样本频数列联表（称为2×2列联表）为：
表3一 9 2×2列联表
若要推断的论述为
H l :X 与Y 有关系，
可以按如下步骤判断结论H l 成立的可能性：
1．通过三维柱形图和二维条形图，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度．
① 在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积ad 与副对角线上的两个柱形高度的乘积bc 相差越大，H 1成立的可能性就越大．
② 在二维条形图中，可以估计满足条件X=1x 的个体中具有Y=1y 的个体所占的比例
a a b
+，也可以估计满足条件X=2x 的个体中具有Y=2y ，的个体所占的比例c c d +.“两个比例
的值相差越大，H l 成立的可能性就越大．
2．可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度．具体做法是：
① 根据实际问题需要的可信程度确定临界值0k ；
② 利用公式（ 1 ) ，由观测数据计算得到随机变量2
K 的观测值k ;
③ 如果0k k >，就以2
0(1())100%P K k -≥?的把握认为“X 与Y 有关系”；否则就说样本观测数据没有提供“X 与Y 有关系”的充分证据．
在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值： 表3一10
（四）、举例：
例1．在某医院，因为患心脏病而住院的 665 名男性病人中，有 214 人秃顶，而另外 772 名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175 人秃顶．
(1)利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系．
(2)能够以 99 ％的把握认为秃顶与患心脏病有关系吗？为什么？ 解：根据题目所给数据得到如下列联表：
(1)相应的三维柱形图如图3.2一4所示．比较来说，底面副对角线上两个柱体高度的乘积要大一些，可以在某种程度上认为“秃顶与患心脏病有关”
.
(2)根据列联表3一11中的数据，得到
21437(214597175451)3891048665772
k ??-?=???≈16.373>6 .
因此有 99 ％的把握认为“秃顶与患心脏病有关” .
例2．为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表：
表3一12 性别与喜欢数学课程列联表
由表中数据计算得2
K 的观测值 4.514k ≈．能够以95％的把握认为高中生的性别与是否喜欢
数学课程之间有关系吗？请详细阐明得出结论的依据．
解：可以有约95％以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”．作出这种判断的依
据是独立性检验的基本思想，具体过程如下：
分别用a , b , c , d 表示样本中喜欢数学课的男生人数、不喜欢数学课的男生人数、喜欢数学课的女生人数、不喜欢数学课的女生人数．如果性别与是否喜欢数学课有关系，则男生中喜欢数学课的比例
a a b
+与女生中喜欢数学课的人数比例c c d +应该相差很多，即
高中数学选修4-4全套教案 第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置
选修2-2 知识点及习题答案解析 导数及其应用 一.导数概念的引入 1. 导数的物理意义： 瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数 () y f x =在 x x =处的导数，记作 0() f x '或 |x x y ='，即 0()f x '=000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义： 曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数 ()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率 k ，即00 ()()lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时， ()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有 时也记作 y ',即 ()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 二.导数的计算 基本初等函数的导数公式: 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '= 7 若 ()log x a f x =,则1()ln f x x a '= 8 若 ()ln f x x =,则1()f x x '= 导数的运算法则 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? 3. 2 ()()()()()[]()[()] f x f x g x f x g x g x g x ''?-?'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内
教学目标： 1．通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵； 2．会求简单函数的导数，通过函数图象直观地了解导数的几何意义； 3．体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，进一步感受变量数学的思想方法． 教学重点： 导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵，导数的几何意义． 教学难点： 对导数的几何意义理解． 教学过程： 一、复习回顾 1．曲线在某一点切线的斜率． ()()PQ f x x f x k x ＋－＝??（当?x 无限趋向0时，k PQ 无限趋近于点P 处切线斜率） 2．瞬时速度． v 在t 0的瞬时速度＝00()()f t t f t t ??＋－ 当?t →0时． 3．物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度． x
v 在t 0的瞬时加速度＝ 00()()v t t v t t ??＋－ 当?t →0时． 二、建构数学 导数的定义． 函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）上有定义，x 0∈(a ，b )，如果自变量x 在x 0处 有增量△x ，那么函数y 相应地有增量△y ＝f (x 0＋△x )－f (x 0)；比值 y x ??就叫函数y ＝f （x ）在x 0到（x 0＋△x ）之间的平均变化率，即00()()f x x f x y x x +?-?=??．如果当0x ?→时，y A x ?→?，我们就说函数y ＝f （x ）在点x 0处可导，并把A 叫做函数y ＝f （x ）在点x 0处的导数，记为0x x y =' ， 0'000()()(),0x x f x x f x y y f x x x x =+?-?'===?→??当 三、数学运用 例1 求y ＝x 2＋2在点x ＝1处的导数. 解 ?y ＝－(12＋2)＝2?x ＋(?x )2 y x ??＝2 2()x x x ???＋＝2＋?x ∴y x ??＝2＋?x ，当?x →0时，1x y '∣＝＝2． 变式训练：求y ＝x 2＋2在点x ＝a 处的导数. 解 ?y ＝－(a 2＋2)＝2a ?x ＋(?x )2 y x ??＝2 2()a x x x ???＋＝2a ＋?x ∴y x ??＝2a ＋?x ，当?x →0时，y '＝2a ． 小结 求函数y ＝f (x )在某一点处的导数的一般步骤： （1）求增量 ?y ＝f (x 0＋?x )－f (x 0)； （2）算比值 y x ??＝00()()f x x f x x ??＋－； （3）求0x x y '∣＝＝y x ??，在?x →0时． 四、建构数学 导函数．
高中数学选修2-2知识点汇总 目录 第一章导数及其应用 (2) 常见的函数导数和积分公式 (2) 常见的导数和定积分运算公式 (3) 用导数求函数单调区间的步骤 (3) 求可导函数f(x)的极值的步骤 (3) 利用导数求函数的最值的步骤 (4) 求曲边梯形的思想和步骤 (4) 定积分的性质 (4) 定积分的取值情况 (4) 第二章推理与证明 (5) 第三章数系的扩充和复数的概念 (7) 常见的运算规律 (8)
高中数学选修2-2知识点总结 第一章 导数及其应用 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 常见的函数导数和积分公式
常见的导数和定积分运算公式 若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 用导数求函数单调区间的步骤 ①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的 点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/ ()f x 在方程根左右的值的符号， 如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值
人教版高中数学选修2-1 全册导学案
目录 1.1.1命题及其关系 1.1.2四种命题的关系 1.2.1充分条件 1.2.2充要条件 1.3.1逻辑联结词1 1.3.2简单的逻辑联结词2 1.4全称量词与存在量词 2.1.1曲线与方程(1)学案 2.1.2曲线与方程(2)学案 2.2.1椭圆及其标准方程(1)学案 2.2.1椭圆及其标准方程(2)学案 2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)学案 2.2.2椭圆及其简单几何性质(2)学案 2.3.1双曲线及其标准方程学案 2.3.2双曲线的简单几何性质(1)学案 2.3.2双曲线的简单几何性质(2)学案 2.4.2抛物线的简单几何性质（1） 2.4.2抛物线的简单几何性质（2） 2.5曲线与与方程学案 第二章圆锥曲线与方程复习学案 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算 3.1.3 空间向量的数量积运算 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 3.1.5 空间向量运算的坐标表示 3.1 空间向量及其运算 3.2 立体几何中的向量方法一 3.2 立体几何中的向量方法二--利用向量方法求距离 3.2 立体几何中的向量方法三--利用向量方法求角 3.2 立体几何中的向量方法一--平行与垂直关系的向量证法
§1.1.1 命题及四种命题 一．自主学习 预习课本2—6页完成下列问题 1、命题：； 2、真命题：假命题：。 3、命题的数学形式：。 4、四种命题：。 （1）互逆命题：。（2）互否命题：。 （3）互为逆否命题：。 注意：数学上有些命题表面上虽然不是“若p，则q”的形式，但可以将它的表述作适当的改变，写成“若p，则q”的形式，从而得到该命题的条件和结论。 二、自主探究： 〖例1〗判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ （1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数； （3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？ x<；（6）平面内不相交的两条直线一定平行； （5）215 > （7）明天下雨；（8）312 〖例2〗将下列命题改写成“若p，则q”的形式。 （1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等；（4）负数的立方是负数。 〖例3〗把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题： （1）两直线平行，同位角相等；（2）负数的平方是正数；（3）四边相等的四边形是正方形。 课堂小结
第一章常用逻辑用语1.1 命题 教学过程： 一、复习准备： 阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？ （1）矩形的对角线相等； >； （2）312 >吗？ （3）312 （4）8是24的约数； （5）两条直线相交，有且只有一个交点； （6）他是个高个子. 二、讲授新课： 1. 教学命题的概念： ①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）. 也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件. 上述6个语句中，（1）（2）（4）（5）（6）是命题. ②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）； 假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）. 上述5个命题中，（2）是假命题，其它4个都是真命题. ③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ （1）空集是任何集合的子集； （2）若整数a是素数，则a是奇数； （3）2小于或等于2； （4）对数函数是增函数吗？ x<； （5）215 （6）平面内不相交的两条直线一定平行； （7）明天下雨. （学生自练→个别回答→教师点评） ④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假. 2. 将一个命题改写成“若p，则q”的形式： ①例1中的（2）就是一个“若p，则q”的命题形式，我们把其中的p叫做命题的条件，q 叫做命题的结论. ②试将例1中的命题（6）改写成“若p，则q”的形式. ③例2：将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）两条直线相交有且只有一个交点； （2）对顶角相等； （3）全等的两个三角形面积也相等. （学生自练→个别回答→教师点评） 3. 小结：命题概念的理解，会判断一个命题的真假，并会将命题改写“若p，则q”的形式. 巩固练习： 教材 P4 1、2、3 4. （师生共析→学生说出答案→教师点评） ②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假： （1）同位角相等，两直线平行； （2）正弦函数是周期函数；
课题：椭圆及其标准方程 教材：普通高中课程标准试验教科书——《数学》选修2-1 一、教材分析： 《椭圆及其标准方程》是高中数学新教材选修2—1第二章第二节的第一课时。从知识上说，它是运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础；所以说，无论从教材内容，还是从教学方法上都是起着承上启下的作用，它是学好本章内容的关键。因此搞好这一节的教学，具有非常重要的意义。 二、教学目标分析： （一）知识与技能目标: 准确理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程及其推导. （二）过程与方法目标: 通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力. （三）情感态度与价值观目标： （1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣. （2）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识. 三、教学重点、难点： （一）．重点：椭圆定义及其标准方程 （二）．难点：椭圆标准方程的推导 四、教学方法与教学手段
采用启发和探究式教学相结合的教学模式，即在教师的引导下，创设情境，学生利用课前准备的工具亲自动手画出椭圆，并讨论椭圆上的点满足的条件，以此来充分调动学生学习的主动性和积极性，发展学生数形结合，等价转换等思想，培养学生综合运用知识解决问题的能力。 教学手段：计算机课件辅助教学。 五、教学过程： （一）认识椭圆，探求规律: 1．对椭圆的感性认识.通过演示课前老师准备的有关椭圆的图 片，让学生从感性上认识椭圆. 2．通过演示动画，展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是 点按一定“规律”运动的轨迹. （二）动手实验，亲身体会 用上面所总结的规律，指导学生互相合作（主要在于动手），体验画椭圆的过程（课前准备细绳），并以此了解椭圆上的点的特征. 请两名同学上黑板画 （三）归纳定义，完善定义 我们通过动画演示，实践操作，对椭圆有了一定的认识，下面由同学们归纳椭圆的定义. 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F =2c ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
高中数学人教版选修2-1全套教案 第一章常用逻辑用语 日期： 1.1.1命题 （一）教学目标 １、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式； ２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； ３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 （二）教学重点与难点 重点：命题的概念、命题的构成 难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 教学时间 （三）教学过程 学生探究过程： 1．复习回顾 初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2．思考、分析 下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？ （1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点． （2）2+4=7． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （４）若x2=1,则x=1． （５）两个全等三角形的面积相等． （６）３能被２整除． 3．讨论、判断 学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。 教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。 4．抽象、归纳 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句． 在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．
高中数学人教版选修1-2全套教案 第一章统计案例 第一课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一） 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析. 教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想. 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？ 2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报. 二、讲授新课： 1. 教学例题： ① 例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示： 体重. （分析思路→教师演示→学生整理）
第一步：作散点图第二步：求回归方程第三步：代值计算 ②提问：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？ 不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右. ③解释线性回归模型与一次函数的不同 事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一次=+来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体函数y bx a 重的关系）. 在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e（即残差变量或随机 =++，其中残差变量e中包含体重变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型y bx a e 不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式. 2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义. 3. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.
椭圆及其标准方程(2) 1．掌握点的轨迹的求法； 2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程． 4142 ，文P34~ P36找出疑惑之处） 复习1：椭圆上 22 1 259 x y +=一点P到椭圆的左焦点 1 F的距离为3，则P到椭圆右焦点 2 F的距 离 是． 复习2：在椭圆的标准方程中,6 a=,b则椭 圆的标准方程是． 二、新课导学 ※学习探究 问题：圆22650 x y x +++=的圆心和半径分别是什么? 问题：圆上的所有点到(圆心)的距离都等于(半径) ； 反之,到点(3,0) -的距离等于2的所有点都在 圆上． ※典型例题 例1在圆224 x y +=上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？
变式： 若点M 在DP 的延长线上，且32 DM DP =，则点M 的轨迹又是什么？ 小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆． 例2设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49 -，求点M 的轨迹方程 ． 变式：点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？ ※ 动手试试
练1．求到定点()2,0A 与到定直线8x =的动点的轨迹方程． 练2．一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线． 三、总结提升 ※ 学习小结 1. ①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式； ②相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程． ※ 知识拓展 椭圆的第二定义： 到定点F 与到定直线l 的距离的比是常数e (01)e <<的点的轨迹． 定点F 是椭圆的焦点； 定直线l 是椭圆的准线； 常数e 是椭圆的离心率． ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
教学目标： 1．能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式； 2．能利用导数公式求简单函数的导数． 教学重点： 基本初等函数的导数公式的应用． 教学过程： 一、问题情境 1．问题情境． （1）在上一节中，我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念，那么如何求函数的导数呢？ （2）求曲线在某点处的切线方程的基本步骤： ①求出P 点的坐标； ②利用切线斜率的定义求出切线的斜率； ③利用点斜式求切线方程． （3）函数导函数的概念
2．探究活动． 用导数的定义求下列各函数的导数： 思考由上面的结果，你能发现什么规律？ 二、建构数学 1．几个常用函数的导数： 思考由上面的求导公式（3）～（7），你能发现什么规律？ 2．基本初等函数的导数：
三、数学运用 例1 利用求导公式求下列函数导数． （1）5y x -＝； （2）y (3)πsin 3 y ＝； （4）4x y ＝； （5）3log y x ＝； （6）πsin()2 y x ＝＋； （7）cos(2π)y x ＝－． 例2 若直线y x b ＝－＋为函数1y x ＝图象的切线，求b 及切点坐标． 点评 求切线问题的基本步骤：找切点—求导数—得斜率． 变式1 求曲线2y x ＝在点(1，1)处的切线方程． 变式2 求曲线2y x ＝过点 (0，－1)的切线方程． 点评 求曲线“在某点”与“过某点”的切线是不一样的． 变式3 已知直线l ：1y x ＝－，点P 为2y x ＝上任意一点，求P 在什么位置时到直线l 的距离最短． 练习： 1．见课本P20练习． 第3题： ； 第5题： （1） ； （2） ；
高中数学选修2-2知识点总结 第一章、导数 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y = 在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 . 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；
6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导（可积），则有： f x，() .用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格， f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如检查/()
第一章 推理与证明 课题：合情推理（一）——归纳推理 课时安排：一课时课型：新授课 教学目标： 1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。 2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。 教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。 教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。 教学过程： 一、课堂引入： 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。 见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理 二、新课讲解： 1、 蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。 蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。 2、 三角形的内角和是180?，凸四边形的内角和是360?，凸五边形的内角和是540? 由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n -?? 3、221222221,,,331332333+++<<<+++，由此我们猜想：a a m b b m +<+（,,a b m 均为正实数） 这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳) 归纳推理的一般步骤： ⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。 例1已知数列{}n a 的通项公式21()(1) n a n N n +=∈+，12()(1)(1)(1)n f n a a a =--???-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值。 【学生讨论：】（学生讨论结果预测如下） （1）113(1)1144 f a =-=-= 1213824(2)(1)(1)(1)(1))94936 f a a f =--=?-=?== 12312155(3)(1)(1)(1)(2)(1)163168 f a a a f =---=?-=?=
§1.1平面直角坐标系与伸缩变换 一、三维目标 1、知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2、能力与与方法：体会坐标系的作用 3、情感态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程， 培养创新意识。 二、学习重点难点 1、教学重点：体会直角坐标系的作用 2、教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 三、学法指导：自主、合作、探究 四、知识链接 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何研究曲线与方程间的关系？ 五、学习过程 一．平面直角坐标系的建立 某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚了4s。已知各观测点到中心的距离是1020m，试确定
巨响发生的位置（假定声音传播的速度是340m/s，各观测点均在同一平面上） 问题1: 思考1：问题1：用什么方法描述发生的位置？ 思考2：怎样建立直角坐标系才有利于我们解决问题？ 问题2：还可以怎样描述点P的位置？ B例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。 探究:你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么问题？
小结：选择适当坐标系的一些规则： 如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点 如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴 使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上 二.平面直角坐标系中的伸缩变换 思考1：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=sin2x? 坐标压缩变换： 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横 坐标x 缩为原来 1/2，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为： ?????==y y x x ''21通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。 思考2：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来 3倍，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为： ???==y y x x 3' '通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。
2.2 椭 圆 ◆ 知识与技能目标 理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法． ◆ 过程与方法目标 （1）预习与引入过程 当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究P 41页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm 长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm ，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗2．1．1椭圆及其标准方程． （2）新课讲授过程 （i ）由上述探究过程容易得到椭圆的定义． 〖板书〗把平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse ）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={} 12|2M MF MF a +=． （ii ）椭圆标准方程的推导过程 提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系． 无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理． 设参量b 的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、,,a b c 的关系有明显的几何意义． 类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆的标准方程()22 2210y x a b a b +=>>． （iii ）例题讲解与引申 例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22??- ??? ，求它的标准方程． 分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出,,a b c ．引导学生用其他方法来解． 另解：设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b +=>>，因点53,22??- ??? 在椭圆上，
高二数学选修2－1知识点 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性： 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧． 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨． 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ?． 若p 是真命题，则p ?必是假命题；若p 是假命题，则p ?必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示． 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假
高中数学教案选修全套 【选修1-1教案｜全套】 目录 目录 .................................................................................................................................................................... I 第一章常用逻辑用语 (1) 第一课时 1.1.1 命题及其关系（一） (1) 第二课时 1.1.2 命题及其关系（二） (1) 第一课时 1.2.1充分条件与必要条件（一） (2) 第二课时 1.2.2充要条件 (3) 第一课时 1.3.1简单的逻辑联结词（一） (4) 第二课时 1.3.2简单的逻辑联结词（二） (5) 1.4全称量词和存在量词及其否定 (6) 第二章圆锥曲线与方程 (6) 2.1.1椭圆及其标准方程 (6) 2.1.2椭圆及其标准方程 (7) 2.2椭圆的简单几何性质 (8) 2.2.1 双曲线及其标准方程 (9) 2.2.2双曲线的几何性质（一） (10) 2.2.2双曲线的几何性质（二） (11) 2.3 抛物线及其标准方程（一） (12) 2.3 抛物线及其标准方程（二） (12) 2.3.2 抛物线的简单几何性质(一) (13) 2.3.2 抛物线的简单几何性质（二） (14) 第三章导数及其应用 (16) 第一课时 3.1.1导数的概念（一） (16) 第二课时 3.1.1 导数的概念（二） (16) 第三课时几种常见函数的导数 (17) 第四课时导数的四则运算 (18) 第五课时复合函数的导数（理科） (19) 第六课时导数的计算习题课 (20)
第一章常用逻辑用语 1.1命题及其关系 1.1.1 命题 （一）教学目标 １、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式； ２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； ３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 （二）教学重点与难点 重点：命题的概念、命题的构成 难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 （三）教学过程 学生探究过程： 1．复习回顾 初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2．思考、分析 下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？ （1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点． （2）2+4=7． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （４）若R2=1,则R=1． （５）两个全等三角形的面积相等． （６）３能被２整除． 3．讨论、判断 学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。 教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。 4．抽象、归纳 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句． 在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解． 5．练习、深化 判断下列语句是否为命题？ （１）空集是任何集合的子集．（２）若整数a是素数，则是a奇数． （３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行． （５） 2 )2 ( ＝－２．（６）R＞１５． 让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题． 解略。 引申：以前，同学们学习了很多定理、推论，这些定理、推论是否是命题？同学们可否举出一些定理、推论的例子来看看？ 通过对此问的思考，学生将清晰地认识到定理、推论都是命题． 过渡：同学们都知道，一个定理或推论都是由条件和结论两部分构成（结合学生所举定理和推论的例子，让学生分辨定理和推论条件和结论，明确所有的定理、推论都是由条件和结论两部分构成）。紧接着提出问题：命题是否也是由条件和结论两部分构成呢？
【新人教A版】高中数学选修2-1教案 第一章常用逻辑用语 1.1命题及其关系 1.1.1 命题 （一）教学目标 １、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式； ２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； ３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 （二）教学重点与难点 重点：命题的概念、命题的构成 难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假 教具准备：与教材容相关的资料。 教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 （三）教学过程 学生探究过程： 1．复习回顾 初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2．思考、分析 下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？ （1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点． （2）2+4=7． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （４）若x2=1,则x=1． （５）两个全等三角形的面积相等． （６）３能被２整除． 3．讨论、判断 学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。 教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。 4．抽象、归纳 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的述句． 在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．5．练习、深化 判断下列语句是否为命题？ （１）空集是任何集合的子集．（２）若整数a是素数，则是a奇数． （３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．