1.1 题 从{1，2，……50}中找两个数{a ，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b|≤5；
解：（1）：由|a-b|=5?a-b=5或者a-b=-5，
由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。 当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。 所以这样的序列有90对。 （2）：由题意知，|a-b|≤5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0； 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。 当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。 当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对， 当|a-b|=0时有50对
所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520
1.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？
解：（a ）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！×5！， （b ）用x 表示男生，y 表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y
在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数： C （8，5）×7！×5！ （c ）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下： 6. 若A ，B 之间存在0个男生， A ，B 之间共有3个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2 1．若A ，B 之间存在1个男生， A ，B 之间共有4个人，所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2 2．若A ，B 之间存在2个男生，A ，B 之间共有5个人，所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2 3．若A ，B 之间存在3个男生，A ，B 之间共有6个人，所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2 4．若A ，B 之间存在4个男生，A ，B 之间共有7个人，所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2 5．若A ，B 之间存在5个男生，A ，B 之间共有8个人，所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2
所以总的排列数为上述6种情况之和。
1.3题 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m,n 都是正整数，若
(a)男生不相邻)1(+≤n m ; (b)n 个女生形成一个整体； (c)男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案。
解：(a) 可以考虑插空的方法。
n 个女生先排成一排，形成n+1个空。因为1+≤n m 正好m 个男生可以插在n+1个空中，形成不相邻的关系。
则男生不相邻的排列个数为
p
p n m
n
n
1+?
(b) n 个女生形成一个整体有n ！种可能，把它看作一个整体和m 个男生排在一起，则排列数有(m+1)!种可能。 因此，共有)!1(!+?m n 种可能。
(c)男生A 和女生B 排在一起，因为男生和女生可以交换位置，因此有2！种可能， A 、B 组合在一起和剩下的学生组成排列有(m+n-1)！
(这里实际上是m+n-2个学生和AB 的组合形成的)种可能。共有组合数为)!1(!2-+?n m 1.4题 26个英文字母进行排列，求x 和y 之间有5个字母的排列数 解：C （24，5）*13！
1.5题 求3000到8000之间的奇整数的数目，而且没有相同的数字。
解：根据题意，千位可以从3，4，5，7，6中选取，个位可以从1，3，5，7，9中选取；因此 2*5*8*7+3*4*8*7=1232 1.6 题 计算，1·1！+2·2！+3·3！+。。。+n·n ！ 解：由序数法公式可知 1!+1=2! 2·2!+1·1!+1=3! 3·3！+2·2！+1·1！+1=4！
n·n!+(n-1)(n-1)!+。。。+2·2!+1·1!+1= (n+1)!
所以1·1！+2·2！+3·3！+。。。+n·n ！=(n+1)!－１
1.7题 试证：)2()2)(1(n n n ++被2n
除尽。
证明：因!)!12(!2)!2(-=n n n n
!)!12(2
!)!
2(2!)2()2)(1(!2)2()2)(1(-==++=++n n n n n n n n n n n n
n n 因为(2n-1)!!是整数所以)2()2)(1(n n n ++能被2n 除尽。
1．8题 求4010和30
20的公因数数目。
解：因为1030404040405*5*25*210== 30
20403060305*2*25*220==
它们最大公因子为30
405*2转化为求 最大公因子 能除尽的整数个数，能除尽它的整数是
300,400,5*2<=<=<=<=b a b
a
根据乘法法则，能除尽它的数个数为 41*31=1271
1.9题 试证2
n 的正除数的数目是奇数。
证明：设有20,a n n b n <<<<, 则一定有表达式2
n a b =?，
则 可知符合范围的a 和b 必成对出现，所以为偶数。
又当a=b=n 时，表达式2
n =a ?b 仍然成立。 所以2n 的正除数的数目是“偶数1+”为奇数。 1.10题 证任一正整数n 可唯一地表成如下形式:
,0≤a i ≤i,i ＝1,2,…。
证：对n 用归纳法。
先证可表示性：当n=0,1时，命题成立。 假设对小于n 的非负整数，命题成立。 对于n,设k!≤n ＜(k+1)!,即0≤n -k!＜k·k!
由假设对n-k!,命题成立，设
，其中a k ≤k -1,，命题成立。
再证表示的唯一性：设
, 不妨设a j ＞b j ,令j=max{i|a i ≠b i }
a j ·j!+a j-1·(j-1)!+…+a 1·1! =
b j ·j!+b j-1·(j-1)!+…+b 1·1!,
∑∑∑∑?-≥?-≥?>≥?-=?-!)(!!!!)(!)(i a b i a b i i j i a b j b a i i i i i i j j 矛盾，命题成立。
1.11题 证明nC(n-1,r)= (r+1)C(n,r+1),并给予组合解释.
证：(1)!(1)!(1)!
(1,)(1)(,1)!(1)!(1)!(1)!(1)!(1)!
n r n r n nC n r n
r C n r r n r r r n r r n r -+?+?-====++?--+??--+?--
所以左边等于右边
组合意义：等式左边：n 个不同的球，先任取出1个，再从余下的n-1个中取r 个；
等式右边：n 个不同球中任意取出r+1个，并指定其中任意一个为第一个。 所以两种方案数相同。 1.12题 证明等式：
1
1
2
),(-==∑n n
k n k n kC
证明： []11
110111(1,0)(1,1)(1,1)211n
n n n k k s n n n n n n n C n C n C n n n k k s --===---??????====-+-++--== ? ? ?--??????
∑∑∑L 等式左边右边 1.13题 有N 个不同的整数，从中间取出两组来，要求第1组的最小数大于另一组的最大数。
解题思路：（取法由大到小）
第1步：从N 个数由大到小取一个数做为第一组，其它N-1个数为第二组，
组合数为：c （n,1）*{c(n-1,1)+c(n-1,2)-…+c(n -1,n-1)}
第2步：从N 个数由大到小取两个数做为第一组，其它N-2个数为第二组，
组合数为：c （n,2）*{c(n-2,1)+c(n-2,2)-…+c(n -2,n-2)} …
第n-2步：从N 个数由大到小取n-2个数做为第一组，其它2个数为第二组，组合数为：c （n,n-2）*{c(2,1)} 第n-1步：从N 个数由大到小取n-1个数做为第一组，其它1个数为第二组，组合数为：c （n,n-1）*{c(1,1} 总的组合数为：
(,1){(1,1)(1,2)(1,1)}(,2){(2,1)(2,2)(2,2)}
(,2){(2,1)(,1)(1,1)}
C n C n C n C n n C n C n C n C n n C n n C C n n C ?-+-++--+?-+-++--++-?+-?
1.14 题 6个引擎分列两排，要求引擎的点火顺序两排交错开来，试求从特定一引擎开始有多少种方案？
解：第1步从特定引擎对面的3个中取1个有C(3,1)种取法，
第2步从特定引擎一边的2个中取1个有C(2,1)种取法，
第3步从特定引擎对面的2个中取1个有C(2,1)中取法，剩下的每边1个取法固定。 所以共有C(3,1)?C(2,1)?C(2,1)=12种方案。
1.15题 求1至1000000中0出现的次数。
解：当第一位为0时，后面6位组成的数可以从1-100000，共100000个0；
当第二位为0时，当第一位取0-9时，后面5位可以取1-9999，此外当第一位取0时，后面5位还可以取为
10000，这样共有9999*10+1=99991个0；
同理第三位为0时，共有99901个0； 第四位为0时，共有99001个0；第五位为0时，共有90001个0；
第六位为0时，只有1个0；
这样总共的0数为：100000+99991+99901+99001+90001+1=488895。
1.16题 n 个相同的球放到r 个不同的盒子里，且每个盒子里不空的放法。
解：如果用“O”表示球，用“|”表示分界线，就相当于用r-1个“|”把n 个“O”分成r 份，要求是每份至少有一个球。如下图所示： 00|00000000|00000000|00000|000000……
对于第一个分界线，它有n-1种选择，对于第二个分界线只有n-2个选择，(因为分界线不能相临，如果相临它们之间就没有了球，这不合要求)，依次第r-1个分界线只有n-(r-1)种选择。但是这样的分法中存在重复，重复度为(r-1)!,所以总得放法为：(n-1)*(n-2)*…*(n -r+1)/(r-1)!=C(n-1,r-1)。 1.18题 8个盒子排成一列，5个有标志的球放到盒子中，每盒最多放一个球，要求空盒不相邻，问有多少种排列方案？
解：要求空盒不相邻，这样球的位置共有8种。而不同标志的球的排列有!55
5=p 。所以共有8*5！种排列。 8种排列如下两类。因为要求空盒不相邻，途中1代表球
a) 1 1 1 1
b) 1 1 1 1
在a)中 剩下的一个球有四种位置，b)中剩下的一个球也有四种位置，两者合起来一共有8种 1.17题 n 和r 都是正整数，而且n r ≤，试证下列等式： 1111
11
11
1
1
1
()()
(1)()
,()
()
!()
n
n n n n n r r r
r r
r
n n n n n n r
r
r
r r
r r r n a n b n r c r n
n r
d r
e r r p p
p p p
p
p
p p
p
p
p
p
----++-----==-+=
<-=
+=++
++
L
解：(a) p
p
n r
n r r n n r n n n n
=
-=--?
=--)!(!
)!()!1(11
等式成立。
(b) p p n r n
r r n n r n n r n r n =-=+-?
+-=+--)!
(!
)!1(!)1()
1(1等式成立。
(c) p p n r n r r n n r n n r n n r n n =-=---?-=--)!
(!
)!1()!1(1等式成立。 (d)
11
!!!(1)!(1)!!!(1)!
()!(1)!(1)!(1)!(1)!(1)!
n n n r
r r
n n n n r n n n r r n n r r r n r n r n r n r n r n r p
p
p
+--++-?+?++=
+?=+?===--+-+-+-++-
(e)利用(d)的结论可证明本题。
111
1
1
1
1
1
1211
1
1
1
1
112111
1
1
1
!()n n r
r n n r
r r r r
r r r r r
r r n n
r
r r r r r r r r n n n r
r r r r r
r r r r r r r r r r r r r r p
p
p
p p p p
p p p p p p p p p p p p
--------++------+++-+----++
++
=
++++=++++++=+++++=L L L L
1.19题 n+m 位由m 个0，n 个1组成的符号串，其中n≤m+1,试问不存在两个1相邻的符号串的数目。 解：m 个0进行排列，留出m+1个空挡，任选n 个空挡放1，共有C(m+1,n)种方案.
1.21题 一个盒子里有7个无区别的白球，5个无区别的黑球，每次从中随机取走一个球，已知前面取走6个，其中3个是白的，试问取第6个球是白球的概率。
解：C （6,2）*C(5,2)*C(5,3)/C(5,3)C(7,3)C(6,3)=3/14
1.20 题 甲单位有10个男同志，4个女同志，乙单位有15个男同志，10个女同志，由他们产生一个7人的代表团，要求其中甲单位占4人，而且7人中男同志占5人，试问有多少中方案？
解：1.甲单位出4个男同志，乙单位出1个男同志，从乙单位出2个女同志 C(10,4)*C(15,1)*C(10,2)=141750 2. .甲单位出3个男同志，乙单位出2个男同志，从甲单位出1个女同志,从乙单位出1个女同志。 C(10,3)*C(15,2)*C(4.1)*C(10,1)=504000
3. .甲单位出2个男同志，乙单位出3个男同志，从甲单位出2个女同志. C(10,2)*C(15,3)*C(4,2)=122850 1+2+3即为所求，总的方案数为768600 1.22题 求图1-22中从O 到P 的路经数: (a) 路径必须经过A 点; (b) 路径必须过道路AB; (c) 路径必须过A 和C (d) 道路AB 封锁(但A,B 两点开放) 解: (a)分两步走O(0,0)→A(3,2) A(3,2)→P(8,5)，根据乘法法则: 560353223=???
?
??+????? ??+=N
(b)分两步走O(0,0)→A(3,2), B(4,2)→P(8,5)，根据乘法法则:350334223=?
??
? ??+????? ??+=N
(c)分三步走: O(0,0)→A(3,2), A(3,2)→C(6,3), C(6,3)→P(8,5), 根据乘法法则: 240
222113223=????
??+????? ??+????? ??+=N （d ）AB 封锁路径数加必经AB 路径数即O(0,0)→P(8,5)的所有路径数有加法法则可得：
9373501287334223585=-=???
?
??+????? ??+-???? ??+=N
1.23题 令s={1,2,…,n+1},n≥2,T={(x,y,z)|x,y,z ∈s, x 111||223n k n n T k =++????= =+ ? ????? ∑ 证明：要确定x,y,z 的取值，有两种方法， (1)可先确定z,由题意可得 当z=2时，x 可取1，y 可取1，根据乘法法则，x,y 取值共有1×1=12种可能； 当z=3时，x 可取1,2，y 可取1,2，根据乘法法则，x,y 取值共有2×2=22种可能； 当z=4时，x 可取1,2,3，y 可取1,2,3,根据乘法法则，x,y 取值共有3×3=32种可能； …… 当z=n+1时，x 可取1,2,…,n,y 可取1,2,…,n,根据乘法法则，x,y 取值共有n×n=n 2种可能。 根据加法法则，当z 取2,3,…,n+1时，x,y 取值共有2 2 2 2 1 12n k n k =+++= ∑…种可能。故2 1 ||n k T k == ∑。 (2)由x ①x=y ??? ； ②x ???； ③y ??? 。 所以满足题意的x,y,z 的组合数为12n +?? ???+13n +?? ?? ?+13n +?? ???＝11223n n ++????+ ? ?????。 由于这两种方法是等价的，故可得2111||223n k n n T k =++???? ==+ ? ????? ∑。证毕。 1.24题 A={(a , b)|a , b ∈Z, 0≤a ≤9,0≤b ≤5} (a) 求x-y 平面上以A 作顶点的长方形的数目. (b) 求x-y 平面上以A 作顶点的正方形数目. 解(a)：如图(a)，从图中可以看出，对于x-y 平面上满足题意的任一顶点A(a,b),除它本身以外，横坐标取值有9种可能，纵坐标取值有5种可能。顶点A(a,b)与和它不在同一水平线或垂直线上的任一点(x,y)均可构成一个长方形。故满足要求的长方形的数目为9×5=45个。 解(b)：如下图(b)，网格左边是b 的取值，下面是a 的取值。网格里是x-y 平面上对应每个顶点A(a,b)所得的正方形的数目。 1.26题 S={1,2,……，1000}，a,b ∈S,使ab≡0 mod 5,求数偶{a,b}的数目 解：根据题意，ab 可以整除5，2*C （200，1）*1000=400000 1.25题 平面上有15个点P 1,P 2。。。Ｐ15，其中P 1P 2P 3P 4P 5共线，此外不存在3点共线的。 (1)求至少过15个点中两点的直线的数目 (2)求由15个点中3点组成的三角形的数目 解：1)由题意知：P 1P 2P 3P 4P 5共线，此外不存在3点共线的，所以与这五点分别相连的其他的十点的直线数目为：5*10=50。另外十个点两两相连得直线数目为：C 102=45 又因为P 1P 2P 3P 4P 5共线，所以可算作一条至少2点相连的直线 所以至少过15个点中两点的直线的数目=50+45+1=96 2)有三种情况 a ：没有P 1P 2P 3P 4P 5这五个点的三角个数：C 103=120 b ：有这五个点的其中一个点：5*C 102 225 c ：有着五个点的两个点：10*C 52=100 由15个点中3点组成的三角形的数目=425 故数目为C(15,2)-C(5,2)+1 (b) C(5,0)C(10,3)+C(5,1)C(10,2)+C(5,2)C(10,1) 1.27 题 6位男宾，5位女宾围一圆桌而坐，（1）女宾不相邻有多少种方案？（2）所有女宾在一起有多少种方案？（3）一女宾A 和两位男宾相邻又有多少种方案？ 解 ：（1）若5位女宾不相邻，先考虑6位男宾围圆桌而做的方案数，然后女宾插入 Q （6，6）*6*5*4*3*2=86400 （2）把5位女宾看成一个整体，然后插入 Q （6，6）*6*P(5,5)=86400 （3）C （5，1）*C （6，2）*Q （8，8）=194000 C(5,1)*C(6,2)*C(5,2)*P(4,2)*7！ 1.28题 k 和n 都是正整数，kn 位来宾围着k 张圆桌而坐，试求其方案数。 解：若每个圆桌的的人数相等，则每个桌子有n 个人。因为圆周排列的个数为r p n r 因此本题的结果为 k n kn n n n kn )! ()!(=? 。 1.29 题 从n 个对象中取个r 做圆排列，求其方案数目。1<=r<=n 解：c(n,r)*Q （r,r ） =c(n,r)*(r-1)! 1.31题 试证任意r 个相邻数的连乘：(1)(2)()n n n r +++ 被r ！除尽. 证明：由 P （n ,r ）=n*(n-1)…（n-r+1） 可知：（n+1）（n+2）…（n+r ）= p （n+r,r ）=c （n+r,r ）* r! 所以 [（n+1）（n+2）…（n+r ）]/r!= p （n+r,r ）/ r! = c （n+r,r ） 故任意个相邻数连乘可被r ！除尽。 1．30题 （1）???? ??r n =n/r ???? ??--11r n ， 1≤r ≤n ；（2）???? ??r n =（n-r+1）/r ???? ??-1r n , 1≤r ≤n ；(3) ? ?? ? ??r n =n/(n-r)???? ??-r n 1 , 0≤r ≤n ； 解：（1）：=??? ? ??r n n!/(r!(n-r)!) n/r ???? ??--11r n =n/r*((n-1)!/((r-1)!(n-r)!))= n!/(r!(n-r)!)=上式 所以两式相等 （2）：=???? ??r n n!/(r!(n-r)!) (n-r+1)/r ??? ? ??-1r n =（n-r+1）/r*((n!)/((r-1)!(n-r+1)!))= n!/(r!(n-r)!)=上式 所以两式相等 （3）：=??? ? ??r n n!/(r!(n-r)!) n/（n-r ）???? ??-r n 1=（n-1）!/(r!(n-r-1)!))= n!/(r!(n-r)!)=上式 所以两式相等 1.32题 在a, b, c, d, e, f, x, x, x, y, y 的排列中，要求y 必须夹在两个x 之间，问这样的排列数等于多少？ 解：满足y 必须加在两个x 之间应为 x y x y x 然后再把a ，b ，c ，d ，e ，f 插入，a 插入时有6种选择， b 插入时有7种选择，c 插入时有8种选择，d 插入时有9种选择，e 插入时有10种选择，f 插入时有11种选择， 由此可得排列数 N=11*10*9*8*7*6=11!/5! 1.33题 已知r ，n ，k 都是正整数，nk r ≥，将r 个无区别的球放在n 个有标志的盒子里，每盒至少k 个球，试问有多少种方案？ 解：首先从r 个球中取出nk 个球放入n 个盒中，因为球是无区别的。因此只有一种排列方案。剩下的球，每个球 放的时候都有n 中可能。因此方案数为nk ) -(r n . 1.34 题 在r,s,t,u,v,w,x,y,z 的排列中求y 居于x 和z 中间的排列数 解 ： 2*（5+4+3+2+1）*6！=2430 1.35题 凸十边形的任意三条对角线不共点。试求这凸十边形的对角线相交于多少个点？ 解：根据题意，1个顶点有7条对角线，与它相邻的顶点有7条对角线，这样的点2个； 与它不相邻的顶点有6条对角线（有1条与它重复的），这样的点8个； 因此 （2* C （7，1）* C （7，1）+8* C （6，1）* C （7，1））*（9+1） =4340 1.36题 试证一整数是另外一整数的平方的必要条件是除尽他的数的数目是整数 证明：设N=P 1a1 P 2a2。。。P n an ，P 1，P 2，。。。P n 是n 个不同的素数，每个能整除尽数n 的正整数都可以选取每个素数P i 从0到a i 次，即每个素数都有a i +1种选择，所以能整除n 的正整数的数目为(a 1+1)(a 2+1)。。。(a i +1)个。而设M=N 2=P 12a1 P 22a2。。。P n 2an ，能被(2a 1+1)(2a 2+1)。。。2(a i +1)个整除。所以一整数是另外一整数的平方的必要条件是除尽他的数的数目是整数。 1.37题 .给出???? ?????? ??0r m n +???? ??+???? ??--1111r m n +???? ??+???? ??--2222r m n +…+???? ??+???? ??-m m r m n 0=??? ? ??++m r n 1的组合意义。 解： ） P 点到P’点只有一步；???? ??--+-k m k m m n =???? ??--k m k n 表示P’点到B 点的路径数;? ?? ? ??++m r n 1表示（0，0）点到B 点的路径数。 所以0点到B 点的路径由0点到P 点再从P 点到P’点，最后从P’点到达B 点。 ∑ M ???? ??+k k r *1*???? ??--k m k n =∑M 0???? ?????? ??0r m n +???? ??+???? ??--1111r m n +???? ??+???? ??--2222r m n +…+???? ??+???? ??-m m r m n 0=??? ? ??++m r n 1 1.41 题 分别写出按照字典序，有给定排列计算其对应序号的算法及有给定序号计算其对应排列的算法。 解：利用“字典序法”生成下一排列的算法 ，计算该排列的对应序号，生成已知排列序号算法： 设 int M 为每一排列的对应序号初始时：P 1_P 2_...P i-1_P i _P i+1_...P n _ (其中P 1_ 满足关系式P i-1 使P i-1与 P j 互换得(p _) = P 1_P 2_...P i-1_P i _P i+1_...P n _ IV. (p _) = P 1_P 2_...P i-1_P i _P i+1_...P n _ 中的P i _P i+1_...P n _部分的顺序逆转，得下一排列。 V. 判断(p _)排列是否与给定排列相同 ，相同则输出M ， ELSE M=M+1 GOTO Ι （2）给定序列号计算排列算法： 设 Int M 为每一排列的对应序号，M=N （N 为给定序号） 设 Int K 为循环次数 FOR （K=1；K++；K <=N ） { 满足关系式P j-1 (p _) = P 1_P 2_...P i-1_P i _P i+1_...P n _ 中的P i _P i+1_...P n _部分的顺序逆转，得下一排列 } 输出(p _)排列。 1.38题 给出? ?? ? ??++=???? ??++???? ??++???? ??++???? ??1121r n r n r r r r r r 的组合意义。 解：设A={1a ,2a ,….,1+-r n a ,……,1+n a },从A 中取r+1个元素组合成C ，考虑以下n-r+1种情况： (1) 1a ∈C ，则A 需要从A\{1a }中取r 个配合，构成C ，共??? ? ??r n 种可能 (2)c a ?1，,2c a ∈则需要从},{\21a a A 中取r-1个，加上2a 构成C ，共??? ? ??-r n 1中可能 …… (n-r)，，C a C a a a r n r n ∈?---121,...,,则需从A\{r n a a a -,...,,21}中取r 个组合，再加上r n a -构成C ，共??? ? ??+r r 1种可能。 ,,...,,)1(21C a a a r n r n ?+--这时只有??? ? ?? r r =1种可能。 故???? ??r n +???? ??-r n 1+???? ? ?-r n 2+…+???? ??+r r 1+???? ??r r =???? ??++11r n （法二）C(n+1,r+1)是指从n+1个元素a 1, a 2,…,a n+1中任取r+1个进行组合的方案数。 左边：若一定要选a n+1,则方案数为C(n,r).若不选a n+1,一定要选a n , 则方案数为C(n-1,r). 若不选a n+1,a n ,…a r+2, 则方案数为C(r,r). 所有这些可能性相加就得到了总方案数。 1.39 题 证明(m,0)C(m,n)+C(m,1)C(m-1,n-1)+…+C(m,n)C(m -n,0)=2n C(m,n) 证明：由公式C(n,l)C(l,r)=C(n,r)C(n-r,l-r) 其中：l>=r 得： C(m,0)C(m,n)=C(m,n)C(n,0) 同理： C(m,1)C(m-1,n-1)=C(m,n)C(n,1) … C(m,n)C(m -n,0)=C(m,n)C(n,n) 由上知：左边=[C(n,0)+C(n,1)+ … +C(n,n)]C(m,n) 由()n x y +=C(n,0)n x +C(n,1)1n x y -+C(n,2)22n x y -+…+C(n,n)n y 令x=y=1 可得 C(n,0) +C(n,1) +C(n,2) +…+C(n,n)=2n 左边=2n C(m,n)=右边 命题得证。 1.40题 从n 个人中选r 个围成一圆圈，问有多少种不同的方案？ 解：圆排列:共有P(n,r)/r 种不同的方案。 1.48题 在由n 个0及n 个1构成的字符串中，在任意前k 个字符中，0的个数不少于1的个数的字符串有多少？ 解：转化为格路问题(弱领先条件),即从(0,0)到(n,n),只能从对角线上方走,可以碰到对角线,故方案数为C(2n,n)-C(2n,n-1。 1.42题 (a) 按照1.41的要求，写出邻位对换法（排列的生成算法之二）的相应算法. (b) 写出按照邻位对换法由给定排列生成其下一个排列的算法. 解：1：给定排列求相应序号： 设 Int I 为每一排列的对应序号 I=1 （初始化） 假定A[1：n]和E[2：n]；D[2：n]；B[1：n]都是整数数组，其中B[1：n]为给定序列 123 S [1]1 2 [][][] 1 q 0 A[1n]B[1n] I I I 1 k n 2 A i n A i i D i i E i S S ←←←←-←←+：从到作 始，，终；：； 判断：是否与：相等若相等则输出值否则；：从降到作 始 D[k]D[k]E[k]; p D[k]; p k E[k]-1; p 0 E[k]1, q q 1 ←+←=←=←←+若则作否则作 始若则作 始终2 p p q; r A[p]; A[p]A[p 1]; A[p 1]r; S ←+←←++←否则作始转终终终 2：给定序号求相应排列： 设 Int I 为每一排列的对应序号 I=1 （初始化） M 为给定序列号 M=N 假定A[1：n]和E[2：n]；D[2：n]；都是整数数组 123 S [1]1 2 [][][] 1 q 0 I i 1n A[i] I I 1 k A i n A i i D i i E i S M S ←←←←-←←+：从到作 始，，终；：； 判断是否与相等 若相等则从到输出；否则；：从n 2 D[k]D[k]E[k]; p D[k]; p k E[k]-1; p 0 E[k]1, q q 1 ←+←=←=←←+降到作 始若则作否则作 始若则作 始终2 p p q; r A[p]; A[p]A[p 1]; A[p 1]r; S ←+←←++←否则作始转终终终 (a) 由给定排列生成其下一个排列的算法 。 转指向；大的数一律改变箭头的比：数互换位置。 和它箭头所指一侧相邻，设为的数值最大者，求处于活动状态各数中：停止。中无一处于活动状态则若在：生成下一个排列 从排列13221121S m m m S p p S p p S p p p p n n == 1.43题 对于给定的正整数N ，证明，当11222 N N N N K N -+??=???或若是奇数若是偶数时，C(N,K)是最大值。 证明：要证明C （N ，K ）是最大值，只需证明C （N ，K ）大于C （N ，K-1）即可 根据以往证明大小值的经验，可以用相减或是相除的方法来证明，就此题，相减不合适，采用相除可以消除等式中的一些项 C （N ，K ）/ C （N ，K-1）=（N ！/K ！（N-K ）！）*（（K-1）！（N-K+1）！/N ！） =（N-K+1）/K 当n 为偶数，k=n/2时 （N-K+1）/K=（（n+2）/n ）*（2/n ）=（n+2）/n >1 当n 为奇数,k=(n-1)/2时 （N-K+1）/K=((n+3)/2) * (2/(n-1))=1+4/(n-1) >1 当n 为奇数, k=(n+1)/2时 （N-K+1）/K=((n+1)2) * (2/(n+1)) =1 综上所述,当n 取以上三种情况, C （N ，K ）取最大值 1.46题 证明在由字母表{0,1,2}生成的长度为n 的字符串中. (a) 0出现偶数次的字符串有31 2 n +个； (b) 13122...2022n n n n q n n n q --?????? ++++= ? ? ??????? ，其中22n q ??=??. 证：(a)归纳法：当n=1时,0出现偶数次的字符串有(31+1)/2=2个(即1,2),成立。 假设当n=k 时,0出现偶数次的字符串有(3k +1)/2种。总的字符串有3种。0出现奇数次的字符串有(3k -1)/2种。 当n=k+1时，0出现偶数次的字符串包括两部分： n=k 时,0出现偶数次再增加一位不是0的，共有2(3k +1)/2种，0出现奇数次再增加一位0,共有(3k -1)/2种。 所以共有2(3k +1)/2+(3k -1)/2=(3k+1+1)/2种，证毕。 (b) 等式左边第m 项是0出现m 次的字符串数，总和就是0出现偶数次的字符串数， 右边由(a)得是0出现偶数次的字符串数，两边显然相等。 1.44题 （a ）用组合方法证明n n 2)!2(和n n n 32)! 3(?都是整数。 （b ）证明) !(12 )!(n n n +是整数。 解：(a) ①方法一：因为：!)!12(!2)!2(-??=n n n n 所以!)!12(!2! )!12(!22)!2(-?=-??= n n n n n n n n !)!12(!-?n n 是整数，因此 n n 2 )! 2(是整数。 方法二：设有2n 个不同球放入n 个不同的盒子里，每盒两个，这个方案数应该是整数。 对2n 个球进行排列得到方案数为(2n)!。 而把2个球放入同一个盒子里不计顺序， 应该把全排列数除掉这些重复计算的次数，n 个盒子内部的排列共重复计算了2 次。 得到2n 个不同球放入n 个不同的盒子里，每盒两个的方案数 n n 2 )! 2( ②若有3n 个不同的球,放入n 个不同盒子,每个盒子放三个，这个方案应该是整数。 对这3n 个球进行排列得到方案数为(3n)!。 而把3个球放入同一个盒子里不计顺序，应该把全排列数除掉这些重复计算的次数， n 个盒子内部的排列共重复计算了3！次。 得到3n 个不同的球放入n 个不同的盒子里，每盒三个的方案数 n n n n n 23)! 3()!3()!3(?= (b) 有2 n 个不同的球，放入n 个相同的盒子里，每盒n 个，求方案数，方案数应该是一个整数。 按前面(a)的方法，应该得到(n 2)!/(n!)n 是整数。另外由于n 个盒子相同，放入不同的盒子是没有区别的， 应该把n 个盒子的排列数n!除去。 因此得到(n 2)!/(n!)n+1是整数。 1.49 题 在1到n 的自然数中选取不同且互不相邻的k 个数,有多少种选取方案？ 解: 设从1-n 中选取互不相邻的k 个数的方案为g(n,k)。若选n ，则方案为g(n-2,k-1),若不选n,则方案数位g(n-1,k). 显然g(n,k)=g(n-2,k-1)+g(n-1,k)，且只有当n≥2k -1时,g(n,k)>0,否则g(n,k)=0,可给定初始值g(2k-1,k)=1,g(2k-2,k)=0. 1.45题 (a) 在2n 个球中，有n 个相同. 求从这2n 个球中选取n 个的方案数. (b) 在3n+1个球中，有n 个相同. 求从这3n+1个球中选取n 个的方案数. 解(a ）：有n 个相同就有n 个不相同 取n 个不相同和0个相同的为C(n,n), 取n-1个不相同的球和1个相同的球为C(n,n-1)，等等。 所以总的方案数为 ()()()n n n C n C n C 2,1,0,=+++ 解(b ）：方法同上，方案数为()()()n n C n C n C ,121,120,12++++++ 由于C(2n+1,0)=C(2n+1,2n+1),… ,C(2n+1,n)=C(2n+1,n+1) ()()() 12212,121,120,12+=+++++++n n n C n C n C 则()()()21212 21,021,121,22n n C n C n C n n +++++ ++== 1.47题 5台教学机器m 个学生使用，使用第一台和第二台的人数相等，有多少种分配方案？ 解：当使用第1台机器的学生为n 个时，使用第2台机器的学生也为n,从m 个学生中选出2n 个使用这两台机器， 剩余的学生可以任意使用剩下的机器的组合数为C(m,2n)C(2n,n)3(m-2n)。 所以总的方案数为 ?? ????=∑=-23 ),2()2,(0 ) 2(m q n n C n m C q n n m 1.50题 (1)在有5个0，4个1组成的字符串中，出现01或10的总次数为4的字符串，有多少个？ (2)在有m 个0，n 个1组成的字符串中，出现01或10的总次数为k 的字符串，有多少个？ 解：(1)、先将5个00000排成一排，1若插在两个0中间，即：“010”则出现2个“01”或“10”； 若插在两端，则出现1个“01”或“10”；要使出现“01”，“10”总次数为4，有两种办法： 1、把两个1插入0的空当内，剩下的1插入1的后面（类似010111000）。 2、把1个1插入0的空当，再取两个1分别插入两端，剩下的1插入1的前面。（类似10100011）。 由1和2得：30*3*31 424=+C C (2)、m 个0产生m-1个空当。 若k 为偶数时：要得到出现“01”与“10”总次数为k ，可以先按上题中1的情况讨论，则在m-1个空当中分别插入2 k 个1即可，也就是2 1k m C -。剩下的 1如何插入的问题与书P20页的定理1.2类似(在n 个不同元素中取r 个允许重复的组 合，其组合数为（C （n+r-1,r)），在这里无区别的球的个数也就是剩下的1的个数（即n-2 k ），盒子的个数也就是插入 到m-1个空当中的1的个数(即2 k )，则得出剩下的1的插入方法有21k n n C - -。即第一种情况的总的插入方法为：2121 *k n n k m C C - --。 同理可得，按2的情况讨论后的第二种情况的总的插入方法为：222 122 1 *--- ---k n n k m C C 。 1和2得总的插入方法为：222 1221 2121 **--- ---- --+k n n k m k n n k m C C C C 。 若k 为奇数时：则必有且只有一个1插入字符串的头或尾,剩下的1按照1的方法插入,只有这样才能使k 为奇数。 所以插入的总方法为：2 1121 1 **2+- ---k n n k m C C 。 1.51 题 从N={1,2,…,20}中选出3个数，使得没有两个数相邻，问有多少种方案？ 解：相当于从N={1,2,…,20}个数中取3个作不相邻的组合，故方案数为C(20-3+1,3)=C(18,3)种 1.52题 从s={1,2,n}中连取k 个数，使之没有两个数相邻，求不同方案数。 解：在n 个数中选k 个数，使之没有两个数相邻，相当于在n-k+1位置中插入k 个数，k 个数中没有俩个数相邻。 有! )! 1(1k k n C k k n +-= +-种方案。有定理1.4直接可得。 1.53题 把n 个无区别的球放进有标志1，2，…，n 的n 个盒子中，每个盒子可放多于一个球，求有多少种方案？ 解：把n 个无标志的球放进n 个有标志的盒子中，每个盒子允许多于一个球是允许重复的组合所以是 ???? ??-+n n n 1=??? ? ??-n n 12 1.54题 .m 个1，n 个0进行排列，求1不相邻的排列数.设n>m. 解：相当于n 个0排列后,使m 个1做不相邻的插入，共产生n+1个位置.第一个1插入有n+1种情况， 第二个是n 种情况…第m 个1插入就有n-m+1种情况。 所以是（n+1）（n ）（n-1）…（n-m+1），即此题解为p n+1 m 。 1.55题 偶数位的对称数，即从左向右读法与从优向左的读法相同，如3223。试证这样的数可被11整除。 证明： 根据所有偶数位置上的数字及所有奇数位置上的数字分别相加，再求出两个和的差， 如果所得的差能被11整除，那么这个整数必能被11整除。 例如12344321，偶数位上是：2，4，3，1。奇数位上是：1，3，4，2 因为对称数是偶数个，所以偶数为相加与奇数为相加的和是相等的，他们的差是零，而零能能被任何数整除， 所以原题成立。证毕。 1.56 题 n 个男人与n 个女人沿一圆桌坐下，问两个女人之间坐1个男人的方案数。又m 个女人n 个男人，且m 解：根据题意，两个女人之间坐1个男人的方案数Q (n,n)* P(n,n) 无两个女人并坐的方案数Q (n,n)* P (n,m) 1.57 题 n 个人分别沿着两张圆坐下，一张r 人，另一张个n-r 人，试问有多少种不同的方案数？ 解： C （n,r ）*(r-1)!(n-r-1)! 1.58题 一圆周上n 个点标以n ,,2,1 。每一点与其它n-1个点连以直线，试问这些直线交于圆内有多少点？ 解：这些直线交于圆内有C （n,4）个点 每4个点形成矩形，其对角线有一个交点，故圆内交点有： ) 3)(2)(1(241 1234)3)(2)(1()4,(---=???---= n n n n n n n n n C 因为四个点连在一起构成一个四边形，这个四边形的对角线相交于一个点， 求这些直线交于圆内多少点就是求这些点能构成几个四边形，即转化为从n 个点取出四个进行组合 2.1题 求序列{ 0，1，8，27， 3 n }的母函数。 解：由序列可得到3 2 3 3 3()23n G x x x x n x =+++++ 因为 231 11n x x x x x =++++++- 2311()'12341n x x x nx x -=++++++- 设 2311 ()()'23(1)1n n p x x x x x n x nx x -==++++-+- 2 2 222 21 [()] '123(1)n n p x x x x n x n x -- =+++ + +-+ 设 2 2 2 3 212()[()]'23(1)n n q x x p x x x x n x n x -==+++ +-+ 33 23231 [()] '123(1)n n q x x x n x n x -- =++++-+ 3233 313[()]'23(1)n n x q x x x x n x n x -=+++-+ 由以上推理可知[()]'x q x = ,[7*94*(6)], n n +- 所以可通过求得[()]'x q x 得到序列的母函数：32 ()4G x x x x =++ 2321 ()()[34(3)]6 n H x F x dx x x n x +==++ ++? 2.2题 已知序列343,, ,,333n ?+????????? ? ? ???????? ?，求母函数 解： 3*2*14*3*2(3)*(2)*(1)()3*2*13*2*13*2*1n n n n G x x +++= +++ =1[3.2.1 4.3.2(3)(2)(1)]6 n x n n n x ++++++ 21 1()()[3.2 4.3(3)(2)]6n F x G x dx x x n n x +==+++++? 232 1()()[34(3)] 6n H x F x d x x x n x +==++++? 3431 ()()[]6 n I x H x dx x X x ++==++? 因为23 111n x x x x +=+++ ++ - 所以2 11()(1)61I x x x x =---- 所以31()[ ]'''61x G x x =-就是所求序列母函数 2.3题 已知母函数2 378()1354x G x x x += --，求序列{n a }。 解：2378()1354x G x x x +=--=x x x B x A 614 9176191+- -=++- 由23111n x x x x +=+++++-得 277(19(9)(9)) 19n x x x x =++++- 24 4(1(6)(6)(6))16n x x x x =+-+-++-+ 所以由两式相加得：对应序列{n a }={11，39， ,[7*94*(6)], n n +-} 2.4题 已知母函数2 39()156x G x x x -= --，求序列{n a }。 解：2 39()156x G x x x -=--=12 18171817A B x x x x +=+-+-+ 则n a =82*(1)*7n n +- 2.5题 设2n n G F =，其中n F 是Fibonacci 数。证明：1230n n n G G G ---+=，n=2. 3.4…..求{012,,, G G G }的母函数。 解：(1).已知2n n G F = 则123n n n G G G ---+=222243n n n F F F ---+ 22122n n n F F F --=+ 21222n n n F F F ---=+ 22232n n n F F F ---=+ 则222243n n n F F F --=- 则1230n n n G G G ---+= (2)．011 22 ()()n n n n G x G G x G G x ∞ --==++ +∑ =1 2 20112 2 2 n n n n n n G G x x G x x G x ∞ ∞ ----==+++∑∑ =2 2 0102 2 ()n n n n n n G G x x G x G x G x ∞ ∞ --==++-+∑∑ =2010()()G G x xG x xG x G x ++-+ =2 1()()xG x x G x x ++- 2 1()1x G x x x -=-- 2.6题 求序列{1，0，2，0，3，0， }的母函数。 解：序列n a = 20 (1)n n n x ∞ =+∑=2200 n n n n nx x ∞ ∞ ==+∑∑=220011(21)22n n n n n x x ∞∞==++∑∑=22 111()'2121x x x +--=221(1)x - 2.7题 设 +++++++=n x n x x x G 2642)1(4321=1/(1-x^2)^2 求G x G x 222)1(,)1(-- 解：设246 211234(1)111n x T G x x x n x x x ==+++++++= -= --? L L 2 2)1(1)1(11x x x x x x G -=-+-=?? ? ??-=ι 所以 1） +++++=-=--=-n x x x x x x G x 2422 2222 111)1()1()1( 2）1)1(1)1()1(222222=--=-x x G x 2.8题 求下列序列的母函数：(1)1,0,1,0,1,0，… (2)0,-1,0,-1,0,-1,… (3)1,-1,1,-1,1,-1,… 解：(1) +++++=n x x x G 24212 11 x -= (2) ------=+1 253n x x x x G 242221(1)11 n x x x x x x x x =-+++++=-= --L L (3) +-+-+-++-n n x x x x x )1(14 3 2 2 2424 22 111(1)(1)111x x x x x x x x x x x --=+++-+++=-=---L L 2.9题 设 +??? ? ??++++++=n x n x x x G 22106313 2 证明：(1) +++++++=-n x n x x x G x )1(4321)1(32 (2) +++++=-n x x x G x 2 2 1)1( (3)因为1)1(3 =-G x ，所以有3 )1(1 x G -= 证明（1）2232 211 136(1)123(1)2(1)(1) n n n G x x x x G x x n x x x +??=+++ ++= ∴-==++++++ ?--?? （2）展开(1-x 2)G= (1+x)/(1-2x+x 2) 当1x 时 有 11 11x x x += -- (3)3 2 3 2 (1)(133)(136)x G x x x x x -=+--+++ =23423451361015391830x x x x x x x x ++++++++234391830x x x x -----34563610x x x x ----=1 3 1 (1) G x ∴= - 2.10题 +???? ??++++++=n x n x x x H 332010413 2 证明(1) ∑∞ =??? ? ??+==-022)1(n n x n G H x (2) 求H 的表达式。 证明(1) 设H 的第K+1项为h k ，则h k =??? ? ??+33n =1*2*3)1)(2)(3(+++k k k =66 11623+++k k k ， 设G 的前K+1项的和为G k ，则G k = ∑=k k k g 0=???? ??22+???? ??23+…+??? ? ??+22k 而???? ??22+???? ??23+…+??? ? ??+22k =1+22 *3 + 23*4+…+ 2)1(*)2(++k k =1+2 1 [3*2+4*3+…+(k+2)(k+1)] =1+ 2 1 (1+ 22+ 32+…+k 2+3+6+…+3k+2+2+…+2) ①{注释：均为k 项，分别为平方数列，等差数列，常数列} =1+21[61k(k+1)(2k+1)+ 2) 1(3k k ++2k] =1+12)1)(2(2++k k k +4 )1(3+k k +k =121212)1(9)1)(2(2++++++k k k k k k =6611623+++k k k = h k ∴H=x G -1 (2) 由H=1+4x+10x 2+20 x 3+…+(3 3 +n ) x n + (1) x 1*2*32*3*4+1*2*33*4*5x 2+…+n x n n n 1 *2*3)1)(2)(3(++++… 对其3次积分得???H =)1(63x x -，对此积分式3次求导得H=((() 1(63 x x - )))’’’。求解完毕。 2.11题 a n =(n+1)2 ,G= ∑∞ =0 n n n x a =1+4x+…(n+1)2x n +…,证明(1-3x+3x 2-x 2)G 是一个多项式,并求母函数G 。 解: G= ∑∞ =0 n n n x a =∑∞ =+0 2 ) 1(n n x n =∑∞ =++02 )12(n n x n n ?G =∑∞ =-1 1 2n n x n x +∑∞ =-0 1 2n n x n x + ∑∞ =0 n n x ① ? G =xG+ 2)1(2x x -+x -11 ?G(1－x)= 2)1(1x x -+ ? G=3 )1(1x x -+ 即为所求 (1－3x ＋3x 2—x 2)=(1－x)3 ∴(1－3x ＋3x 2 —x 2 )G =(1－x)3 G =(1－x)3 3 )1(1 x x -+=x+1 求解完毕。 ①说明：可以由 ∑∞ =-1 1 2n n x n = ∑∞ =+0 2 ) 1(n n x n 2.12题 已知a n =∑+=1 1 2 n k k , 3 )1(1x x -+=∑∞ =+02)1(n n x n ,求序列{ a n }的母函数。 解：设序列{ a n }的母函数为G(x), 则G(x)= a 0+a 1x+a 2x+…+ a n x n + a 1+n x 1 +n +… a n =∑+=1 1 2n k k =1+22+32+…+n 2+(n+1)2 ∴G(x)=1+(1+22)x+(1+22+32)x 2+…+(1+22+32+…+n 2+(n+1)2) x n +… =1+x+ x 2 +…x n +… +22 x(1+x+ x 2 +…x n +…) +32 x 2 (1+x+ x 2 +…x n +…)+… +(n+1)2 x n (1+x+ x 2 +…x n +…)+…. = (1+x+ x 2 +…x n +…)(1+22 x+32 x 2 +…+n 2 x 1 -n + (n+1)2 x n +…) = x -11 ∑∞ =+0 2 ) 1(n n x n 3)1(1x x -+=∑∞ =+02)1(n n x n ∴G=x -113 )1(1x x -+ ?G=4)1(1x x -+ 即为序列{ a n }的母函数。求解完毕。 2.13题 已知2 1 3 34 10 14,(1),{}(1)n n n n k n x x a k n x a x +∞ ==++==+-∑∑求序列的母函数。 解：B(x)=13+23x+33x 2+…… 1: a 0=13 b 0=13 x: a 1=13+23 b 1=23 x 2: a 2=13+23+33 b 2=33 …… a 0= b 0 a 1= b 0+ b 1 a 2= b 0+ b 1+ b 2 …… A(x)= b 0(1+x+ x 2+……)+ b 1x(1+x+ x 2+……)+ b 2x 2(1+x+ x 2+……) +…… =(1+x+ x 2 +……)( b 0+ b 1x+ b 2x 2 +……) = x x B -1)(=5 2 ) 1(x 41x x -++ 2.14题 已知2 {},12n x P x x --的母函数为 (a)求01;P P 和 (b) {}n P 求序列 的递推关系 解: 特征多项式 K(x)= x 2-2x-1 x 2 -2x-1=0 解得：r 1=1+2 r 2=1-2 P(x)= )x 2(11+-A + )x 2(11--B A+B=0 -A(1-2)-B(1+2)=1 得：A= 42, B=-4 2 P(x)= 42()x 2(111+- -)x 2(111--)= 4 2 k k k k x ∑∞ =--+ ])21()21[( P n = 4 2[(1+2)n -(1-2)n ] P 0=0, P 1=1 2.15 题 已知{}n a 的母函数为 2 1 ,1x x -+求序列{}n a 的递推关系01,a a 。 解：特征多项式 K(x)= x 2 -x+1 x 2 -x+1=0解得：r 1=21+23i=cos 3π+isin 3π=e i 3π, r 2=21-23i= cos 3π-isin 3 π = e i 3π - A(x)= x 11r A - +x 12r B - A 1+A 2=1, A 1r 2+ A 2r 1=0 解得：A 1=1，A 2= 3 1 a n =A 1cos π3n +A 2sin π3n = cos π3n + 3 1sin π3n a 0=1, a 1=1 2.16 题 证明序列??? ??m m ，??? ??+1m m ，??? ??+2m m ，…，?? ? ??+n m m 的母函数为（1-x ）1--m 证明：当m=0时，命题成立。 假设对于m-1，命题成立，即k k k m m X ∑∞ =+--?? ? ??011=（1-x ）m -， 则G m (X)= k k k m m X ∑∞ =+??? ??0=k k k m m X ∑∞=+-??? ??01+k k k m m X ∑∞=+--?? ? ??011=X ?G m (X)+ （1-x ）m - ∴(1-X) ? G m (X)= （1-x ）m -， G m (X)= X -11 () m X -11 =（1-x ）1--m 2.17题 2 2 4 3123 (1) ...()(1)() 3 n n n n G x x n x a G x x ∞ -=+=++++++=-=∑ 已知证明 2 3 (),(1)(1) ()( ),{0,1,2,...}3 n n n n n k n b G a x a k n k c a n ∞ ∞ ==+==++-==∑∑其中 ()32 4 3022 24 n 0() G (1) G 123(1)(1) G (1) 1n n n n n k k k a x x x x n x x x x x ∞ +-=--∞ =??=-= ?? ?=+++ +++ =-=-??±=± ???∑∑证明：由已知所以有又根据牛顿二项式展开定理（）4134 330032 4 30 n 4 1 G (1) k k k k k k n n n x x x x x ∞ ∞ +-+-==∞ +-=????=-== ? ???? ??? =-= ?? ?∑∑∑令则有（）得证 ∑∑=∞=-++==n k n n n k n k x a b 0 n 0 2 )1)(1(a , G 其中）（ x x x a x x n x x k i i n -= =-=++++++=∑=-1) A()B( b )1()1(321G 0 k 22则若：由性质已知证明： ()2i 2 00i 300002 i 4 000 1 A 111A()G g 1(1)11G()C c 1(1)11C() D G d (1)(1)1i i n n n i i n i n h n n h n i i n n n n h x x x x a x x x g a n x x x c h x x ========== =+++-====--=====+--=====+--∑∑∑∑∑∑∑∑∑即即 即 i 000101d c a (1) c a a a =+可将表示成如下形式： ：：120122 (a 2) c a a (a 3) a =++= ：n 012n n c a a a (a n 1) a ++++=+ ：n 0n 0 d (1)(1) 111 a (1)(1)n i i n k c i n i i n i k k n k ====++-++-+=++-∑∑其中（）表示每列上的数值，（）表示（）这个数的个数。所以成立 {} ()(){} ()()n 3n 3330 330 () a n 0,1,2, 11 n 0,1,2, (1) n 0 11 1 1 n n k n n k c k n k k n k ++=+=?? =∈ ??? ?? ++-=∈ ????? =++-== ???∑∑证证明：题目即证当时等式成立 ()()()()1 13233 (2) n m -1 11 11m 2(m-1) 3(m-2) m 1(m 2)(m 1)m 3n m k k m m k n k k m k -==-++=++-=+-=?+?+??++???? === ? ????? ∑∑假设，当时等式成立，即 ！ ()()()()0 (3) n m 11 11 1123(1)(1)1 1112(1)211(1)1 n m k k k n k k m k m m m m m m m m ===++-=++-=?++?+?-+++?=?+?+?-+?++?++?∑∑当时有（）()()()()1 01 112(1) (m 2)(m 1) 12 m k m k k m k m k m k -=-==+-+++ ++++=+-+ ∑∑ ()()()()m 3m 2m 23331 230 1 m 230(m 3)(m 2)(m 1)3(m 2)(m 1)(m 2)(m 1) 332 n m -1 1 (m 2)(m 1) 12m m k m k k m k k m k +++-+=-+=+++++++??????==+=+ ? ? ??????? ?? =+-= ? ??++??+-+=+ ???∑∑！！当时等式成立即所以()()m 330n 3n 3(m 2)(m 1) 2 11 12 3 a m k k m k +=+++?? ++-= ????? = ??? ∑即等式成立 综合（），（），（）得证 2.18题 用母函数法求下列递推函数关系的解. 1212212122()680()14490()90()670()12360 ()250 n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a b a a a c a a d a a a e a a a f a a -----------+=++=-=--=-+=-= 22103321443220102010010():680 :680:680)...... 0(())6(())8() (168)()6(6)a x a a a x a a a x a a a A x a a x x A x a x A x x x A x a a x a x a a a x -+=-+=-+=+=----+-+=+-=+-解： 102000100110011000101(6)(14)(12)()(42) ()1681214(12)(14)(12)(14) 1 622(6)41(4) 11(42)6242242 1 64(61142 n a a a x A B A x B x A B A B A x x x x x x x x x a A B a a a a a a a a a a A B a a a a a a a B +--+-+-+= =+== -+------+=-? ---===-?-+=---? --==所以所以有解之得:A=001100110 011001100001100)421(2) 24221(4)21(2) 2 111111()(4)(2)(4)(2)(2)(4)2122142211 [(4)2(2)4(2)22n n n n n n n a a a a a A a a B a a A x a a a a a a x a a x x x a a a a n ∞∞ ==∞ =--==---?=-??? ?=-??=-+-?=-?+-?--=-?+-?≥∑∑∑因此故此 221033214432():14490 :14490:14490):...... b x a a a x a a a x a a a ++=++=++=+解： 2010(())14(())49()0A x a a x x A x a x A x --+-+= 20100100102220 1010001010(1(449)()14(14)(14)(17)()7()11449(17)(17)(17)(17) 714111 (14)(14)(7) 777 x x A x a a x a x a a a x a a a x A B A x B A B Ax A x x x x x x x A B a A a a A a a B a A a a a a a ++=++=++++++++==+== +++++++=?? =+?=+=-=-+=-+所以所以有故此 10102 101000 101000011111()(14)(7)7177(17)111(14)(7)(7)()(7) 2.16) 17711 [(14)(7)(1)](1)77 71 [()](1)77 n n n n n n n n n n A x a a a a x x n a a x a a a a a a n x a a a a n ∞∞==∞ == +-++++=+--+-=+-++-=-+-∑∑∑n 故此(参见题所以 220331442():90 :90:90):...... c x a a x a a x a a -=-=-=+解： 201012(())9()0 (19)()0 (13)(13)()(33)()191313(13)(13)(13)(13) A x a a x x A x x A x a a x A B A x B x A B A B x A x x x x x x x x ---=-=+++-++-==+== --+-+-+所以有于是 0 1 01 010********* 010101010333311 26 1111 2626 112611261111111111()()()()3()(1)3261326132626n n n n n n A B a A B a x A a a A a a B a A a a a a a A a a B a a A x a a a a a a x a a x x x ∞ =+=?? -=?+=+=+=-=--=-?=+??? ?=-?? =++-=++---+∑①故此有②②①有6于是有③ 将③代入①有④ 即故此001010 01011111 [()()(1)]326261111 [()(1)()]3(2) 2626 n n n n n n n a a a a x a a a a a n ∞=∞ ==++--?=++--?≥∑∑n 所以 221033214432():670 :670:670):...... d x a a a x a a a x a a a --=--=--=+解： 201020100102010 10 (())6(())7()0(167)()6(6)(1)(17)()(7)()167(17)1(17)(1)(17)(1) 76781 8 A x a a x x A x a x A x x x A x a a x a x a a a x A B A x B x A B A B x A x x x x x x x x x A B a A B a a A a a A -----=--=+-+-++-++-==+== ---+-+-++=?? -=-?+?=+=所以因而①故此有②②①得于是有01()a a +③ 0001010101010101010001010 011188 1818111888118818()(7)()(7)111()()(7)()7(7)(1)1718[()7(7)(1)]()7n n n n n n n n n n n n B a A a a a a a A a a B a a A x a a a a a a x a a x x x a a a a x a a a ∞∞ ==∞ ==-=-+=-?=+?? =-?? =++-=++---+=+?+--=+?∑∑∑将③代入①有④ 从而故此所以0118 (7)(1)(2) n a a n +--≥ 221033214 432():12360 :12360:12360) :...... e x a a a x a a a x a a a -+=-+=-+=+解： 20102 010(())12(())36()0 (11236)()12A x a a x x A x a x A x x x A x a a a x ----+=-+=+-于是 010222 2 10(12)(16)()6()(11236)(16)(16)(16)(16)612a a a x A B A x B A B Ax A x x x x x x x A B a A a a +--++-= =+==-+----+=?? -=-?从而①故有② 01 000101 0101 1 26 11 (2)66 12616A a a B a A a a a a a A a a B a a =-=-=--=-+? =-??? ?=-+?? 由②有③ 代入③就有④即 01010012 000101001000011111111()(2)()(2)6()()616166(16)66111[(2)()(1)]6[()]66661 [()]6(2) 6 n n n n n n n n n n n n n n n A x a a a a a x a a x x x a a a a n x a a a n x a a a a n n ∞∞==∞ ∞ ==+=-?+-+?=-+-+--=-+-++?=+-+=+-+?≥∑∑∑∑从而所以 2203314 42():250 :250:250) :...... f x a a x a a x a a -=-=-=+解： 2012 01())25()0125)()A x a a x x A x x A x a a x ---=-=+(故此（ 0122 2 010101010101001212(15)(15)()(55)()1251515125125110155101111111111()()()()5(210152101521021n n n a a x A B A x B x A B A B x A x x x x x x A a a A B a A B a B a a A x a a a a a a x a x x ∞=+++-++-= =+==--+--?=+?+=?? ?? -=??=-?? =++-=++--+∑从而故此于是有从而1001010 )(1)501111 [()5()(1)5](2) 210210n n n n n n n n n n a x a a a a x x n ∞ =∞ =-=++--≥∑∑ 《组合数学》试题 姓名 学号 评分 一、填空题（每小题3分，共18分） 1、 红、黄、蓝、白4个球在桌上排种排法。成一圈，有 2、设P 、Q 为集合，则|P ∪Q| |P| + |Q|. 3、0max i n n i ≤≤????=?? ????? 。 4. 366个人中必有 个人生日相同。 5.的系数为的展开式中，342326 41x x x x i i ?? ? ??∑= 。 6.解常系数线性齐次递推关系的常用方法称为 法 。 二、单项选择题（每小题2分，共12分） 1、数值函数f = (1,1,1,...)的生成函数F(x) =（ ） A 、(1+x)n B 、1－x C 、(1－x)－1 D 、(1+x)－n 2、递推关系f(n) = 4f(n －1)－4f(n －2)的特征方程有重根2，则（ ）是它的一般解 。 A 、C 12n －1+C 22n B 、( C 1+C 2n)2n C 、C(1+n)2n D 、C 12n +C 22n . 3、由6颗不同颜色的珠子可以做成 （ ）种手链。 A 、720 B 、120 C 、60 D 、6 4、=??? ??-∑=n k k k n 0 )1(（ ）。 A 、2n B 、0 C 、n2n －1 D 、1 5、设F(x),G(x)分别是f 和g 的生成函数，则以下不成立的是（ ） 。 A 、F(x)+G(x) 是f+g 的生成函数 B 、F(x)G(x) 是fg 的生成函数 C 、x r F(x) 是S r (f)的生成函数 D 、F(x)－xF(x) 是?f 的生成函数. 6、在无柄茶杯的四周画上四种不同的图案，共有（ ）种画法。 A 、24 B 、12 C 、6 D 、3 三、 解答题（每小题10分，共70分） 1. 有4个相同的红球，5个相同的白球，那么这9个球有多少种不同的排列方 式？ 2. 公司有5台电视机，4台洗衣机，7台冰箱，现要把其中3台电视机，2台洗 衣机，4台冰箱选送到展销会，试问有多少种选法？ 3. 设S = {1, 3?2, 3?3, 2?4, 5}是一个多重集，那么由集合S 的元素能组成多少个 不同的四位数。 4.试求在1到300之间那些不能被3, 5和7中任何一个整除的整数个数。 5. 解非齐次递推关系 1201 693,20,1n n n a a a n a a --++=≥??==? 6. 将字母a,b,c,d,e,f,g 排成一行，使得模式beg 和cad 都不出现的排列总数是多少？ 7. 某次会议有10个代表参加，每一位代表至少认识其余9位中的一位，则10位代表中至少有两位代表认识的人数相等。 习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。 任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。 一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。 填空题 1．将 5 封信投入 3 个邮筒，有 _____243_种不同的投法． 2． 5 个男孩和 4 个女孩站成一排。如果没有两个女孩相邻，有43200方法． 3． 22 件产品中有 2 件次品，任取 3 件，恰有一件次品方式数为__ 380 ______． 4．( x y)6所有项的系数和是_64_ _．答案：645．不定方程 x1x2x3 2 的非负整数解的个数为 _ 6 ___． 6 ．由初始条件 f (0)1, f (1) 1 及递推关系 f ( n2) f (n1) f ( n) 确定的数列{ f (n)} ( n0) 叫做Fibonacci数列 10 7．（ 3x-2y ）20的展开式中 x10y10的系数是c20310( 2)10． 8．求 6 的 4 拆分数P4(6)2． 9．已知在Fibonacci数列中，已知 f (3)3,f (4)5, f (5) 8 ，试求Fibonacci 数f (20)10946 10 ．计算P4(12) 4 P4 (12)P k (12)P1 (8)P2 (8)P3 (8)P4 (8) k1 34 P1 (8) P2 (8)P k (5)P k (4)14 5 515 k1k 1 11．P4(9)（ D） A． 5 B. 8 C. 10 D. 6 12．选择题 1．集合 A{ a1 , a 2 ,L , a10 } 的非空真子集的个数为（A） C. 1024 2．把某英语兴趣班分为两个小组，甲组有 2 名男同学， 5 名女同学；乙组有 3 名男同学， 6名女同学，从甲乙两组均选出 3 名同学来比赛，则选出的 6 人中恰有 1 名男同学的方式数是（ D ） A． 800 B. 780 C. 900 D.850 3．设( x , y) 满足条件x y10 ，则有序正整数对( x, y) 的个数为（D） A. 100 C. 50 4．求( x03x12x2x3 )6中 x02 x13 x2项的系数是（C） B. 60 5．多项式(2 x0x14x2x3 )4中项 x02x12x2的系数是（C） A． 78 B. 104 C. 96 D. 48 6．有 4 个相同的红球， 5 个相同的白球，那么这9 个球有（ B）种不同的排列方式 A. 63 B. 126 C. 252 7．递推关系 f (n ) 4 f ( n1) 4 f (n 2) 的特种方程有重根2，则（ B ）是它的一般解 A．c12n 1c2 2n B.(c1c2n)2 n C.c(1n)2 n D.c1 2n c2 2n 8．用数字 1,2,3,4（数字可重复使用）可组成多少个含奇数个1、偶数个 2 且至少含有一个 3 的n (n1) 位数（）运用指数生产定理 A. 4n 3n ( 1)n B.4n3n14n2n 1 .4n3n( 1)n 4433 组合数学试题集 一.简单题目 可以根据需要改成选择题或者填空题 1．在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？（参见课本21页） 解：该题相当于从“1，3，5，7，9”五个数字中分别选出1，2，3，4作排列的方案数； （1）选1个，即构成1位数，共有15P 个； （2）选2个，即构成两位数，共有25P 个； （3）选3个，即构成3位数，共有35P 个； （4）选4个，即构成4位数，共有4 5P 个； 由加法法则可知，所求的整数共有：12345555205P P P P +++=个。 2．一教室有两排，每排8个座位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种做法？（参见课本21页） （1）规定某5人总坐在前排，某4人总坐在后排，但每人具体座位不指定； （2）要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。 解：（1）因为就坐是有次序的，所有是排列问题。 5人坐前排，其坐法数为(8,5)P ，4人坐后排，其坐法数为(8,4)P ， 剩下的5个人在其余座位的就坐方式有(7,5)P 种， 根据乘法原理，就座方式总共有： (8,5)(8,4)(7,5)28449792000P P P =（种） （2）因前排至少需坐6人，最多坐8人，后排也是如此。 可分成三种情况分别讨论： ① 前排恰好坐6人，入座方式有(14,6)(8,6)(8,8)C P P ； ② 前排恰好坐7人，入座方式有(14,7)(8,7)(8,7)C P P ； ③ 前排恰好坐8人，入座方式有(14,8)(8,8)(8,6)C P P ； 各类入座方式互相不同，由加法法则，总的入座方式总数为： (14,6)(8,6)(8,8)(14,7)(8,7)(8,7)(14,8)(8,8)(8,6)10461394944000 C P P C P P C P P ++= 3．一位学者要在一周安排50个小时的工作时间，而且每天至少工作5小时，问共有多少种安排方案？（参见课本21页） 解：用i x 表示第i 天的工作时间，1,2,,7i =，则问题转化为求不定方程 123456750x x x x x x x ++++++=的整数解的组数，且5i x ≥，于是又可以转化为求不定方程123456715y y y y y y y ++++++=的整数解的组数。 该问题等价于：将15个没有区别的球，放入7个不同的盒子中，每盒球数不限，即相异元素允许重复的组合问题。 故安排方案共有：(,15)(1571,15)54264RC C ∞=+-= （种） ? 另解： 因为允许0i y =，所以问题转化为长度为1的15条线段中间有14个空，再加上前后两个空，共16个空，在这16个空中放入6个“＋”号，每个空放置的“＋”号数不限，未放“＋”号的线段合成一条线段，求放法的总数。从而不定方程的整数解共有： 212019181716(,6)(1661,6)54264654321 RC C ?????∞=+-= =?????（组） 即共有54 264种安排方案。 4.求下列函数的母函数: {(1)}n n -；（参见课本51页） 母函数为： 2 323000222()(1)(1)2(1)(1)(1)n n n n n n x x x G x n n x n n x nx x x x ∞∞∞====-=+-=-=---∑∑∑； ? 方法二： ()()()()()220 22220 02222023 ()(1)00121121n n n n n n n n n n G x n n x x n n x x n n x x x x x x x x x x ∞∞-==∞∞ +==∞+==-=++-"=++=""????== ? ?-???? =-∑∑∑∑∑ 作业习题答案 习题二 2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。 证明： 假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n 个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。 假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。 2.3证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。 证明： 方法一： 有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为 奇数+奇数 = 偶数 ； 偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。 方法二： 对于平面上的任意整数坐标的点而言，其坐标值对2取模后的可能取值只有4种情况，即：(0,0) ,(0,1) ,(1,0), (1,1)，根据鸽巢原理5个点中必有2个点的坐标对2取模后是相同类型的，那么这两点的连线中点也必为整数。 2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？ 证明： 根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。 2.9将一个矩形分成(m +1)行112m m +?? + ??? 列的网格每个格子涂1种颜色，有m 种颜色可以选择，证明：无论怎么涂色，其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。 证明： （1）对每一列而言，有（m+1）行，m 种颜色，有鸽巢原理，则必有两个单元格颜色相同。 （2）每列中两个单元格的不同位置组合有12m +?? ??? 种，这样一列中两个同色单元格的位置组合共有 12m m +?? ??? 种情况 （3）现在有112m m +?? + ??? 列，根据鸽巢原理，必有两列相同。证明结论成立。 2.11证明：从S={1,3,5,…,599}这300个奇数中任意选取101个数，在所选出的数中一定存在2个数，它们之间最多差4。 证明： 数学广角 《课题一排列组合》教学设计 教学内容： 《义务教育课程标准实验教科书·数学（二年级上册）》第99页的的内容---排列、组合。 教材分析： 课标中指出数学不仅是人们生活和劳动必不可少的工具，通过学习数学还能提高人的推理能力和抽象能力。排列与组合的思想方法不仅应用广泛，而且是后面学习概率统计知识的基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。本节课我试图在渗透数学思想方法方面探索和研究，通过学生日常生活中简单的事例呈现出来，并运用操作、演示等直观手段解决问题。在向学生渗透这些数学思想和方法的同时，初步培养学生有顺序地、全面地思考解决问题的意识。教学目标： 1使学生通过观察、猜测实验等活动，找出最简单的事物排列数和组合数。 2培养学生初步的观察能力、分析能力及推理能力 3初步培养学生有序的全面思考问题的意识。 情感态度与价值观：通过解决生活中的一些实际问题，感受数学与生活的密切联系培养学生积极思维的品质。 教学重点：有序排列的思想和方法 过程与方法：通过实践活动，经历找排列数与组合数的过程，体验排 列与组合的思想方法。 课时：1课时 教学设计 情景导入 师：同学们喜欢去广场吗？为什么？ 走进新课 师：今天我们也要到一个有意思的地方，哪呢？课件（数学广角）对，那里没有好吃的，好玩的，但是那里有趣的数学问题等待我们开动我们聪明的小脑袋瓜儿解决他们，想去吗？ 在去之前，我们先打扮一下自己，穿上漂亮的衣服，老师这有四件衣服（课件）你喜欢那套衣服，同学们有这么多的选择。那到底能搭配多少套呢？拿出手中的学具摆摆看。 学生分组讨论 汇报交流 同学们表现的真不错，你喜欢那一套，我们就在心理穿上你喜欢的衣服去数学广角了。 展开活动 1、开启大门 数学广角的大门是由1和2 这两个数字摆成的两位数，这道 门的密码可能是那些数？ 生；12、21。 师：这两个数字有什么不同？ 组合数学 例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。问共有多少种不同的安全状态? 解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。 用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。这种对应显然是一对一的。因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。 例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。证明n 偶数。 证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。 例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。 证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。 例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k 《组合数学》期末试题（A ）姓名班级学号成绩 一，把m 个负号和n 个正号排在一条直线上，使得没有两个负 号相邻，问有多少种不同的排法。 二，在1和100之间既不是某个整数的平方，也不是某个整数的 立方的数有多少个？ 三，边长为1的等边三角形内任意放10个点，证明一定存在两 个点，其距离不大于1/3。 四，凸10边形的任意三条对角线不共点，试求(1)这凸10边形的 对角线交于多少个点？(2)又把所有对角线分割成多少段？五，求和=?? ???∑k－（－）k+1111n k n k 六，求解递推关系--++=??==?12016930,1 n n n a a a a a 七，用红白蓝三种颜色对1×n 的方格涂色，每个方格只能涂一种颜色，如果要求偶数个方格涂成红色，问有多少种方法？ 八，用红、蓝二种颜色对1×n 的方格涂色，每个方格只能涂一种颜色，如果要求涂成红色的两个方格不能相邻，问有多少种方法？注，1-4、6题各15分，第5题10分，第7题8分，第八题7分。 北京邮电大学2005 ——2006 学年第1 学期 《组合数学》期末试题答案 一， (15) 解： 由于正负号不能相连，故先将正号排好，产生n+1个空档。 --------5分 则负号只能排在两个正号之间，这相当于从n+1个数中取m 个数的组合，故有---------10分 1n m +????? ?种方式。----15 备注：若写出m>n+1时为0，m=n+1时为1，给5分 二， （19分） 解：设A 表示是1-100内某个数的平方的集合，则 |A|=10, -----4分 设B 表示是1-100内某个数的立方的集合，则|B|=4, --8分 |A ∩B|=2, -----12分 由容斥原理得 100|||||| 100104288A B A B A ∩=??+∩=??+=B --------19分 三， （15分） 证明：将此三角形剖分成9个小的边长为1/3的等边三角形。 - ------5分 由鸽巢原理，必有两点在某一个小三角形内，----12分 此时，这两点的距离不超过小三角形边长1/3。从而得证。 -------15分 四， （15分） 解：（1）由于没有三条对角线共点，所以这凸多边形任取4点，组成的多边形内唯一的一个四边形，确定唯一一个交点，--5分 从而总的交点数为C(10,4)=210-------------10分 （2）如图，不妨取顶点1，考察由1出发的对角线被其他对角线 剖分的总数。不妨设顶点标号按顺时针排列，取定对角线1 i ?1.证：对n 用归纳法。先证可表示性： 当n=0,1时，命题成立。 假设对小于n 的非负整数，命题成立。对于n,设k!≤n ＜(k+1)!,即0≤n-k!＜k·k!由假设对n-k!,命题成立， 设n-k!=∑a i ·i!，其中a k ≤k-1,n=∑a i ·i!+k!，命题成立。i=1 k i=1 k 再证表示的唯一性： 设n=∑a i ·i!=∑b i ·i!, 不妨设a j ＞b j ,令j=max{i|a i ≠b i }a j ·j!+a j-1·(j-1)!+…+a 1·1! =b j ·j!+b j-1·(j-1)!+…+b 1·1!,(a j -b j )·j!=∑(b i -a i )·i!≥j!＞∑i·i!≥∑|b i -a i |·i!≥∑(b i -a i )·i! 另一种证法：令j=min{i|a i ≠b i }∑a i ·i!=∑b i ·i!,两边被(j+1)!除,得余数a j ·j!=b j ·j!,矛盾. i=1 k i=1k i=1 j-1i=1 j-1 i=1j-1i=1 j-1 i ≥j i ≥j ?2.证： 组合意义： 等式左边：n 个不同的球，先任取出1个，再从余下的n-1个中取r 个； 等式右边：n 个不同球中任意取出r+1个，并指定其中任意一个为第一个。显然两种方案数相同。 nC(n-1,r) = n ————= ——————— (n-1)! (r+1)·n! r!·(n-r-1)! (r+1)·r!·(n-r-1)! = ——————= (r+1)C(n,r+1).(r+1)·n! (r+1)!·(n-r-1)! ?3.证： 设有n 个不同的小球，A 、B 两个盒子,A 盒中恰好放1个球,B 盒中可放任意个球。有两种方法放球： ①先从n 个球中取k 个球(k ≥1),再从中挑 一个放入A 盒,方案数共为∑kC(n,k),其余球放入B 盒。 ②先从n 个球中任取一球放入A 盒，剩下n-1个球每个有两种可能，要么放入B 盒， 要么不放，故方案数为n2 . 显然两种方法方案数应该一样。 k=1n n-1 ?4.解：设取的第一组数有a 个,第二组有b 个,而 要求第一组数中最小数大于第二组中最大的，即只要取出一组m 个数(设m=a+b),从大到小取a 个作为第一组,剩余的为第二组。此时方案数为C(n,m)。从m 个数中取第一组数共有m-1中取法。总的方案数为∑(m-1)C(n,m)=n ·2 +1. ?5.解：第1步从特定引擎对面的3个中取1个有 C(3,1)种取法，第2步从特定引擎一边的2个中 取1个有C(2,1)种取法，第3步从特定引擎对面的2个中取1个有C(2,1)中取法，剩下的每边1个取法固定。 所以共有C(3,1)·C(2,1)·C(2,1)=12种方案。 m=2 n n-1 ?6.解：首先所有数都用6位表示，从000000到 999999中在每位上0出现了10 次,所以0共出现 了6·10 次,0出现在最前面的次数应该从中去掉， 000000到999999中最左1位的0出现了10 次， 000000到099999中左数第2位的0出现了10 次， 000000到009999左数第3位的0出现了10 次, 000000到000999左数第4位的0出现了10 次, 000000到000099左数第5位的0出现了10 次, 000000到000009左数第6位的0出现了10 次。另外1000000的6个0应该被加上。所以0共出现了 6·10 –10 –10 –10 –10 –10 –10 +6 = 488895次。 5 5 5 4 3 2 1 5543210 ?7.解：把n 个男、n 个女分别进行全排列，然后 按乘法法则放到一起，而男女分别在前面,应该 再乘2,即方案数为2·(n!) 个. 围成一个圆桌坐下， 根据圆排列法则，方案数为2 ·(n!) /(2n)个. ?8.证：每个盒子不空，即每个盒子里至少放一 个球，因为球完全一样，问题转化为将n-r 个小球放入r 个不同的盒子，每个盒子可以放任意个球，可以有空盒，根据可重组合定理可得共有C(n-r+r-1,n-r) = C(n-1,n-r)中方案。根据C(n,r)=C(n,n-r),可得 C(n-1,n-r)=C(n-1,n-1-(n-r))=C(n-1,r-1)个方案。证毕。 2 2 ?9.解：每个能整除尽数n 的正整数都可以选取每个素数p i 从0到a i 次，即每个素数有a i +1种选择，所以能整除n 的正整数数目为(a 1+1)·(a 2+1)·…·(a l +1)个。 ?10.解：相当于把n 个小球放入6个不同的盒子里，为可重组合，即共有C(n+6-1,n)中方案，即C(n+5,n)中方案。 ?11.解：根据题意,每4个点可得到两条对角线,1个对角线交点,从10个顶点任取4个的方案有C(10,4)中,即交于210个点。 组合数学课后标准答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。 任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。2.3证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。 一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果？证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。 《简单的排列组合》教学案例分析 【教学背景】 在日常生活中，有很多需要用排列组合来解决的知识。如体育中足球、乒乓球的比赛场次，密码箱中密码的排列数，电话机容量超过多少电话号码就要升位等。在数学学习中经常要用到推理，如加法和乘法的一些运算定律的推导过程，能被2、5、3整除的数的推导等。这节课安排生动有趣额活动，让学生通过这些活动进行学习。例1给出了一副学生用数学卡片摆两位数的情境图，学生在进行小组合作学习，先用2个卡片摆，学生通过操作感受摆的方法以后，再用3个卡片摆；然后小组交流摆卡片的体会：怎样摆才能保证不重复、不遗漏。 【教材分析】 “数学广角”是新编实验教材新增设的内容，是新教材在向学生渗透数学思想方法方面做出的新的尝试。排列和组合的思想方法不仅应用广泛，而且是学生学习概率统计的知识基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材，这部分内容重在向学生渗透简单的排列、组合的数学思想方法，并初步培养学生有顺序地全面思考问题的意识。 【教学目标】 ．通过观察、实验等活动，使学生找出最简单的事物的 排列数和组合数，初步经历简单的排列和组合规律的探索过程； 2．使学生初步学会排列组合的简单方法，锻炼学生观察、分析和推理的能力； 3．培养学生有序、全面思考问题的意识，通过小组合作探究的学习形式，养成与人合作的良好习惯。 【教学重点】经历探索简单事物排列与组合规律的过程【教学难点】初步理解简单事物排列与组合的不同 【教学准备】多媒体、数字卡片。 【教学方法】观察法、动手操作法、合作探究法等。 【课前预习】 预习数学书99页，思考以下问题： 、用1、2两个数字能摆出哪些两位数？ 2、用1、2、3这3个数字能摆出哪些两位数？可以动手写一写。 3、想一想：你是怎么摆的，先摆什么，再摆什么？有什么好方法才会不遗漏，不重复。 【教学准备】PPT 【教学过程】 …… 一、以游戏形式引入新课 师：同学们，今天老师带大家去数学广角做游戏。在门 《组合数学》课程教学大纲 课程英文名Combinatorics 执笔人：晁福刚编写日期：2010.7.9 一、课程基本信息 1. 课程编号：07010132 2. 课程性质/类别：限选课/专业基础课 3. 学时/学分：48学时/ 2学分 4. 适用专业：数学与应用数学信息与计算科学专业 二、课程教学目标及学生应达到的能力 组合数学主要研究一组离散对象满足一定条件的安排的存在性，以及这种安排的构造、枚举计数及优化等问题，这是整个离散数学的一个重要组成部分。 《组合数学》课程的教学目标是通过本课程的学习，使学生初步掌握组合数学的基本原理和思想方法。了解和掌握并会应用鸽巢原理、排列与组合、容斥原理、递推关系、生成函数等组合数学基本知识。 三、课程教学内容与基本要求 （一）鸽巢原理（8学时） 1．主要内容： 鸽巢原理的简单形式，鸽巢原理的加强形式，Ramsey问题与Ramsey数，Ramsey 数的推广。 2．基本要求 1．了解鸽巢原理的简单形式和加强形式，会用鸽巢原理解决简单的问题。 2．了解Ramsey问题的历史由来，会求简单的Ramsey数，Schur数。 3．自学内容：无 4．课外实践：无 （二）基本计数问题（10学时） 1．主要内容： 加法原则与乘法原则，排列与组合，多重集合的排列与组合，二项式系数，集合的分划与第二类Stirling数，正整数的分拆，分配问题。 2．基本要求 1．了解加法原则和乘法原则，会求简单的排列组合问题。 2．掌握多重集合的排列和组合技巧。 3．会证明组合恒等式。 4．了解集合的分划与第二类Stirling数，知道两类数之间的关系。 5．知道正整数分拆问题的递推关系及研究进展。 6．知道一些简单的分配问题的解法。 3．自学内容： 排列组合 排例组合专题训练 1． 将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有A ．81 B ．64 C ．12 D ．14 2．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有 A ．33A B ．334A C ．523533A A A - D ．23113 23233A A A A A + 3．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总数是 A.20 B ．16 C ．10 D ．6 4．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是 A ．男生2人女生6人 B ．男生3人女生5人 C ．男生5人女生3人 D ．男生6人女生2人. 5．在8 2 x ? ?的展开式中的常数项是A.7 B ．7- C ．28 D ．28- 6．5 (12)(2)x x -+的展开式中3 x 的项的系数是A.120 B ．120- C ．100 D ．100- 7．22n x ???展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是 A ．180 B ．90 C ．45 D ．360 8．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 A ．60个 B ．48个 C ．36个 D ． 24个 9．3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是 A ．1260 B ．120 C ．240 D ．720 10．n N ∈且55n <,则乘积(55)(56) (69)n n n ---等于 A ．5569n n A -- B ．15 69n A - C ．15 55n A - D ．14 69n A - 11．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为 A ．120 B ．240 C ．280 D ．60 12．把10 )x -把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是 A ．135 B ．135- C ．- D ． 13．2122n x x ??+ ?? ?的展开式中，2 x 的系数是224，则2 1x 的系数是A.14 B ．28C ．56 D ．112 14．不共面的四个定点到面α的距离都相等，这样的面α共有几个A ．3 B ．4 C ．6 D ．7 李凡长版-组合数学课后习题答案-习题3 第三章递推关系 1.在平面上画n条无限直线,每对直线都在不同的点相交,它们构成的无限 区域数记为f(n),求f(n)满足的递推关系. 解： f(n)=f(n-1)+2 f(1)=2,f(2)=4 解得f(n)=2n. 2.n位三进制数中,没有1出现在任何2的右边的序列的数目记为f(n),求 f(n)满足的递推关系. 解：设a n-1a n-2 …a 1 是满足条件的n-1位三进制数序列，则它的个数可以用f(n-1) 表示。 a n 可以有两种情况： 1）不管上述序列中是否有2，因为a n 的位置在最左边，因此0 和1均可选； 2）当上述序列中没有1时，2可选； 故满足条件的序列数为 f(n)=2f(n-1)+2n-1 n 1, f(1)=3 解得f(n)=2n-1(2+n). 3.n位四进制数中,2和3出现偶数次的序列的数目记为f(n),求f(n)满足 的递推关系. 解：设h(n)表示2出现偶数次的序列的数目，g(n)表示有偶数个2奇数个3的序列的数目，由对称性它同时还可以表示奇数个2偶数个3的序列的数目。 则有 h(n)=3h(n-1)+4n-1-h(n-1),h(1)=3 （1） f(n)=h(n)-g(n),f(n)=2f(n-1)+2g(n-1) （2） 将（1）得到的h(n)=(2n+4n)/2代入（2），可得 n+4n)/2-2f(n), 4.求满足相邻位不同为0的n位二进制序列中0的个数f(n). 解：这种序列有两种情况： 1)最后一位为0，这种情况有f(n-3)个； 2)最后一位为1，这种情况有2f(n-2)个； 所以 f(1)=2,f(2)=3,f(3)=5. 5.求n位0,1序列中“00”只在最后两位才出现的序列数f(n). 解：最后两位是“00”的序列共有2n-2个。 f(n)包含了在最后两位第一次出现“00”的序列数，同时排除了在n-1位第一次出现“00”的可能； f(n-1)表示在第n-1位第一次出现“00”的序列数，同时同时排除了在n-2位第一次出现“00”的可能； 依此类推，有 17 《简单的排列组合》教学反思 本节课的知识是排列和组合简单的知识，但对学生来说，教师又不能直接讲解排列组合，如何讲解比较深奥的知识，这是应该正视的问题。在处理教材时，没有直接呈现排列组合原理，而是从排列组合的基本思考方法入手——科学枚举法。因为学生只有恰当的分类，将事情的各种情况能够一一列举出来，就能够保证计数时不重复不遗漏——这是本节课的重点和难点所在。所以本节课没有要求学生解决比较复杂的计数问题，也不要求发现加法原理与乘法原理，而是要求学生通过科学枚举法，感受计数方法。在教学中，为了突破重点，从多方面想办法：一是让学生认识到排列与组合学习是生活中的必须；二是让学生通过摆、画、列表等活动，学习“不重复、不遗漏”的计数的方法。本课教学后我进行了认真反思，觉得有以下可取之处和不足之处。 一、创设情境，激发学生探究的兴趣。 创设形象生动、亲近学生生活实际的教学情景，将有效地激发学生学习的兴趣。本节课通过创设“衣服的穿法、早餐搭配、数字游戏”等与学生的实际生活相似的情境，唤起了学生“独立思考、合作探究”解决问题、注意让小组合作学习从形式走向实质。 在合作探究中，保证了合作学习的时间，并深入小组中恰当地给予指导。合作探究后，教师还能够及时、正确的评价。教师从实际的学习效果出发，考虑如何组织合作学习，有利于调动广大学生参与学习的全过程，防止合作学习走过场。 二、让学生在丰富多彩的教学活动中感悟新知。 通过组织学生参与“连一连，写一写，画一画”等教学活动，充分调动了学生的多种感官协调合作，感悟了新知，发展了数感，体验了成功，获取了数学活动经验，真正体现了学生在课堂教学中的主体作用。2、注意让小组合作学习从形式走向实质。 三、利用自主探究的学习方式。 本节课设计时，注意精选合作的时机与形式，在教学关键点、重难点时，适应地组织了同桌或四人小组的合作探究。在学生合作探究前，提出了明确的要求。 第一部分：填空题。 题目1:求n 元布尔函数f (x1，x2，…，xn ）的数目，其中布尔函数是指含有与（∧）、或（∨）、非（－）等基本布尔运算的函数。 解答：设有n 个布尔变元x 1，x 2，…，x n ，其中x i ∈{0，1}，i =1，2，…，n ，根据乘法原理(x 1，x 2，…，x n )共有2n 种不同指派，对每个指派，布尔函数取值为{0，1}，故不同的布尔函数的数目为：22n 。 （考试中会给定n 的具体数值，带入公式直接计算即可。） 题目2：n 对夫妻围一圆桌而坐，求每对夫妻相邻而坐的方案数。 解答：夫妻相邻而坐，可以将一对夫妻看成一个整体，其圆排列数为(n -1)!，由于每对夫妻可以交换位置，故所求方案数为(n -1)!×2n 。 题目3：求多重集合M = {∞·a 1, ∞·a 2, …, ∞·a n }的r 排列数。 解答：在构造的M 的一个r 排列时，第一项有n 种选择，第二项有n 种选择，……， 第r 项有n 种选择，故M 的r 排列数为n r 。 (一般地，n 元多重集合表示为：M = {k 1·a 1, k 2·a 2, …, k n ·a n }其中：a i （i = 1, 2, …, n ）表示元素的种类，k i （i = 1, 2, …, n ）表示元素a i 的个数。) 题目4：求多重集合M = { k 1·a 1, k 2·a 2, …, k n ·a n }的全排列数。 解答：先把M 中的所有的k 1 + k 2 + … + k n 个元素看成是互不相同的，则它的全排列数为(k 1 + k 2 + … + k n )!。但是这里k i !个a i 是相同的，所以k i !个a i 的位置相同并且同其他元素排列也相同的排列是同一个，故M 的全排列数为： ! !!)! (2121n n k k k k k k +++。 题目5：确定1054321)(x x x x x ++++的展开式中x 13 x 2 x 34 x 52的系数。 解答：??? ? ??=???? ?????? ?????? ?????? ??2,4,1,310224617310 ! 2!4!1!3!10! 0!2!2! 2!4!6! 6!1! 7!7!3! 10= ? ? ? = （? ?? ? ??r n 表示从n 中取r 个的组合，与r n C 的意义完全相同。试题中可能会改变具体的数值，例如求15 54321)(x x x x x ++++的展开式中x 15x 24 x 34 x 52的系数，只需按上述过程计算即可。） 题目6： 求正整数n 的有序k 分拆的个数，要求第i 个分部量大于等于p i 。 解答：分拆的个数为：?? ? ? ? ??---+∑=111k p k n k i i ，其中（1≤i ≤k ）。 例如：9的有序3分拆，要求所有分部量都大于等于2，其个数为： 《组合数学》课程教学大纲 课程编号：（研究生院统一编写） 课程名称：组合数学 英文名称：Combinatorial Mathematics 课程类别：学位（基础理论课）课 授课对象：工程硕士 学分：2 学时：40 开课学期：1 开课周次：1-20周 开课系及教研室：（保定）计算机系计算机教研室 任课教师及职称：（保定）孟建良副教授 先修课程：高等数学、离散数学 适用专业：计算机应用技术 主要内容：随着计算机性能的持续提高及其应用的深入普及，组合数学自20世纪60年代以来得到了急速的发展。组合数学的思想和技巧不仅影响着数学的许多分支，而且广泛应用于计算机科学、社会科学、信息论、生物科学以及其他传统自然科学领域。每当我们求解实际问题，编制计算机程序的时候，它往往不仅提供具体的算法而且还知道对算法运行效率和存储需求的分析。正因为如此，组合数学所包含的内容越来越广泛。本课程主要包括以下基本内容： 1.排列与组合 加法法则、乘法法则及排列与组合，圆周排列，排列的生成算法，序数法、字典序法、换位法，组合的生成，允许重复的组合，司特林公式，瓦利斯公式。 2.递推关系与母函数 母函数的性质，若干基本的母函数，指数型母函数，费卜拉契数列，解线性常系数递推关系特征根法，任意阶齐次递推关系，司特林数，卡特朗数。 3.容斥原理与鸽巢原理 容斥原理的两个基本公式，有限制的排列，棋盘多项式，有禁区的排列问题，广义的容斥原理，广义容斥原理的若干应用，错排问题的推广，容斥原理在数论上的应用，一般的鸽巢原理，鸽巢原理的推广，拉蒙赛数。 4.Burnside引理与Po/lya定理 群的概念，群的基本性质，置换群，循环、奇循环与偶循环，Burnside引理，Po/lya定理，母函数形式的波利亚定理。 使用教材：《组合数学》,卢开澄,卢华明,清华大学出版社,2002年 参考书目：《组合数学》,Richard A.Brualdi 著,冯舜玺等译,机械工业出版社，2005年。 组合数学导论》,（美）C.L.Liu著,魏万迪译,四川大学出版社,1987年。 教研室意见： 系（院、部）意见： 研究生院审核意见：《组合数学》试题
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