明目标、知重点
1．了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
1．数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．2．应用数学归纳法时特别注意：
(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．
(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．
(3)步骤②的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件．
[情境导学]
多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下．请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？
探究点一数学归纳法的原理
思考1多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答(1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．
所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础．
思考2 对于数列{a n }，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n
1＋a n ，试写出a 1，a 2，a 3，a 4，并由此作出猜想．请
问这个结论正确吗？怎样证明？ 答 a 1＝1，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝1
4，
猜想a n ＝1
n (n ∈N *)．
以下为证明过程：
(1)当n ＝1时，a 1＝1＝1
1，所以结论成立．
(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝1
k ，
则当n ＝k ＋1时a k ＋1＝
a k
1＋a k
(已知) ＝
1k
1＋
1k
(代入假设) ＝1k k ＋1k (变形) ＝
1
k ＋1
(目标) 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．
由(1)(2)可得，对任意的正整数n 都有a n ＝1
n 成立．
思考3 你能否总结出上述证明方法的一般模式？
答 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题P (n )，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立． 上述证明方法叫做数学归纳法．
思考4 用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．
证明：(1)n ＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立． (2)假设n ＝k 时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k －1)＝k 2，
则当n ＝k ＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)×[1＋(2k ＋1)]2＝(k ＋1)2等式也成立．
由(1)和(2)可知对任何n ∈N *等式都成立．
答 证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n ＝k ＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．
探究点二 用数学归纳法证明等式 例1 用数学归纳法证明
12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)
6(n ∈N *)．
证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1，
等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即 12＋22＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)
6，
那么，12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2 ＝
k (k ＋1)(2k ＋1)
6
＋(k ＋1)2
＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26
＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6
＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)
6
＝
(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]
6
，
即当n ＝k ＋1时等式也成立．
根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．
反思与感悟 (1)用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关．由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
跟踪训练1 求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
2n (n ∈N *)．
证明 当n ＝1时，左边＝1－12＝1
2，
右边＝12，
所以等式成立． 假设n ＝k (k ∈N *)时，
1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝
1k ＋1＋1k ＋2
＋…＋12k 成立．
那么当n ＝k ＋1时，
1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12(k ＋1)－1－12(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－1
2(k ＋1) ＝1k ＋2＋1k ＋3
＋…＋12k ＋12k ＋1＋[1k ＋1－12(k ＋1)]
＝
1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋k ＋1
2(k ＋1)
，
所以n ＝k ＋1时，等式也成立．
综上所述，对于任何n ∈N *，等式都成立． 探究点三 用数学归纳法证明数列问题
例2 已知数列11×4，14×7，17×10，…，1(3n －2)(3n ＋1)，…，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根据计
算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明． 解 S 1＝11×4＝1
4；
S 2＝14＋14×7＝27；
S 3＝27＋17×10＝310；
S 4＝310＋110×13＝413
.
可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1. 于是可以猜想S n ＝n
3n ＋1
.
下面我们用数学归纳法证明这个猜想． (1)当n ＝1时，左边＝S 1＝1
4，
右边＝n 3n ＋1＝13×1＋1＝1
4，
猜想成立．
(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即
11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＝k 3k ＋1， 那么，
11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＋1[3(k ＋1)－2][3(k ＋1)＋1] ＝
k 3k ＋1＋1
(3k ＋1)(3k ＋4)
＝3k 2＋4k ＋1(3k ＋1)(3k ＋4) ＝(3k ＋1)(k ＋1)
(3k ＋1)(3k ＋4)
＝
k ＋1
3(k ＋1)＋1
，
所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立．
根据(1)和(2)，可知猜想对任何n ∈N *都成立．
反思与感悟 归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想．
跟踪训练2 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (S n 为数列{a n }的前n 项和)，先计算数列的前4项，再猜想a n ，并证明． 解 由a 1＝2－a 1， 得a 1＝1；
由a 1＋a 2＝2×2－a 2， 得a 2＝3
2
；
由a 1＋a 2＋a 3＝2×3－a 3， 得a 3＝7
4
；
由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2×4－a 4， 得a 4＝15
8.
猜想a n ＝2n －1
2n －1.
下面证明猜想正确：
(1)当n ＝1时，由上面的计算可知猜想成立． (2)假设当n ＝k 时猜想成立， 则有a k ＝2k －1
2
k －1，
当n ＝k ＋1时，S k ＋a k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1， ∴a k ＋1＝1
2
[2(k ＋1)－S k ]
＝k ＋1－1
2(2k －2k －12k －1)
＝2k ＋
1－1
2
(k ＋1)－1， 所以，当n ＝k ＋1时，等式也成立．
由(1)和(2)可知，a n ＝2n －1
2
n －1对任意正整数n 都成立．
1．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( ) A ．命题对所有正整数都成立
B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立
C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立
D ．以上说法都不正确 答案 C
解析 由已知得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立；在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C. 2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1
＝1－a 2n ＋
21－a
(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算
所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a ＋a 2＋a 3 D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4
答案 C
解析 将n ＝1代入a 2n
＋1
得a 3，故选C.
3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －
1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －
1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2
＋22＋…＋2
k －1
＋2k
＝1－2k ＋
11－2
＝2k ＋
1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何
n ∈N *，等式都成立． 上述证明的错误是________． 答案 未用归纳假设 解析 本题在由n ＝k 成立， 证n ＝k ＋1成立时，
应用了等比数列的求和公式， 而未用上假设条件， 这与数学归纳法的要求不符．
4．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤1
2＋n (n ∈N *)
证明 (1)当n ＝1时，左式＝1＋1
2，
右式＝1
2
＋1，
所以32≤1＋12≤3
2，命题成立．
(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立， 即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤1
2＋k ，
则当n ＝k ＋1时，
1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，命题成立．
由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N *都成立． [呈重点、现规律]
在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；
(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；
(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.
一、基础过关
1．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( ) A ．当n ＝6时命题不成立 B ．当n ＝6时命题成立 C ．当n ＝4时命题不成立
D ．当n ＝4时命题成立 答案 B
2．一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( )
A ．该命题对于n >2的自然数n 都成立
B ．该命题对于所有的正偶数都成立
C ．该命题何时成立与k 取值无关
D ．以上答案都不对 答案 B
解析 由n ＝k 时命题成立可以推出n ＝k ＋2时命题也成立．且n ＝2，故对所有的正偶数都成立．
3．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为1
2n (n －3)条时，第一步验证n 等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0 答案 C
解析 因为是证凸n 边形，所以应先验证三角形，故选C. 4．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋1
2n ＋1(n ∈N *)，则n ＝1时f (n )是( )
A ．1 B.13
C ．1＋12＋1
3
D ．以上答案均不正确
答案 C
5．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
n 2，则( )
A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1
3
B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1
4
C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1
3
D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1
4
答案 D
解析 观察分母的首项为n ，最后一项为n 2，公差为1， ∴项数为n 2－n ＋1.
6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n
3a n ＋1
(n ∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳推测出a n 的通项
表达式为( ) A.24n －3 B.2
6n －5 C.24n ＋3 D.22n －1
答案 B
解析 a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝2
6n －5，故选B.
7．用数学归纳法证明(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1n ＋2)＝2
n ＋2(n ∈N *)．
证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝2
3，等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即 (1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)＝2
k ＋2，
当n ＝k ＋1时，
(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)·(1－1k ＋3)
＝
2k ＋2(1－1k ＋3)＝2(k ＋2)(k ＋2)(k ＋3)＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋2
， 所以当n ＝k ＋1时等式也成立．
由(1)(2)可知，对于任意n ∈N *等式都成立． 二、能力提升
8．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为( ) A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3
k ＋1
答案 B
解析 n ＝k ＋1时，
左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )·(2k ＋1)·2， ∴应增乘2(2k ＋1)．
9．已知f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f (k ＋1)＝________.
答案 f (k )＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2－1
k ＋1
10．证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何n ∈N *
等式都成立．
以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为________． 答案 缺少步骤归纳奠基
11．用数学归纳法证明12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)
2
.
证明 (1)当n ＝1时，左边＝1， 右边＝(－1)1－
1×1×22＝1，
结论成立．
(2)假设当n ＝k 时，结论成立．
即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k (k ＋1)
2
，
那么当n ＝k ＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k －
1k 2＋(－1)k (k ＋1)2
＝(－1)k －1·k (k ＋1)
2
＋(－1)k (k ＋1)2
＝(－1)k ·(k ＋1)－k ＋2k ＋2
2
＝(－1)k ·(k ＋1)(k ＋2)
2.
即n ＝k ＋1时结论也成立．
由(1)(2)可知，对一切正整数n 都有此结论成立．
12．已知数列{a n }的第一项a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式． (1)解 a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10， a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，
猜想a n ＝?
????
5 (n ＝1)
5×2n －2， (n ≥2，n ∈N *
). (2)证明 ①当n ＝2时，a 2＝5×22－
2＝5，公式成立．
②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时成立， 即a k ＝5×2k －
2，
当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有 a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝5＋5＋10＋…＋5×2k －
2.
＝5＋5(1－2k －
1)1－2
＝5×2k －
1.
故n ＝k ＋1时公式也成立．
由①②可知，对n ≥2，n ∈N *，有a n ＝5×2n －
2.
所以数列{a n }的通项公式为
a n ＝?
????
5 (n ＝1)5×2n －2(n ≥2，n ∈N *
). 三、探究与拓展
13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－na n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4；
(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 解 (1)计算得a 1＝12；a 2＝16；a 3＝112；a 4＝120.
(2)猜想：a n ＝1
n (n ＋1).
下面用数学归纳法证明 ①当n ＝1时，猜想显然成立．
②假设n ＝k (k ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝1
k (k ＋1).
那么，当n ＝k ＋1时S k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1， 即S k ＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1. 又S k ＝1－ka k ＝k
k ＋1
，
所以k k ＋1＋a k ＋1
＝1－(k ＋1)a k ＋1，
从而a k ＋1＝1(k ＋1)(k ＋2)＝1
(k ＋1)[(k ＋1)＋1].
即n ＝k ＋1时，猜想也成立． 故由①和②，可知猜想成立．
高中化学选修4第二章知识点 一、外界条件对化学反应速率的影响规律 影响化学反应速率的因素包括内因和外因。内因是指反应物本身的性质；外因包括浓度、温度、压强、催化剂、反应物颗粒大小等。这些外界条件对化学反应速率影响的规律和原理如下： 1.浓度 (1)浓度增大，单位体积内活化分子数增多(活化分子百分数不变)，有效碰撞的几率增加，化学反应速率增大。 (2)浓度改变，可使气体间或溶液中的化学反应速率发生改变。固体或纯液体的浓度可视为常数，它们的物质的量的变化不会引起反应速率的变化，但固体颗粒的大小会导致接触面积的变化，故影响化学反应速率。 2.压强 改变压强，对化学反应速率产生影响的根本原因是引起浓度的改变。对于有气体参加的反应体系，有以下几种情况： 3.温度 (1)温度升高，活化分子百分数提高，分子间的碰撞频率提高，化学反应速率增大。 (2)温度升高，吸热反应和放热反应的速率都增大。实验测得，温度每升高10 ℃，化学 反应速率通常增大为原来的2～4倍。 4.催化剂 (1)催化剂对反应过程的影响通常可用下图表示(加入催化剂，B点降低)。催化剂能改变 反应路径、降低活化能、增大活化分子百分数、加快反应速率，但不影响反应的ΔH。 (2)催化剂只有在适宜的温度下活性最大，反应速率才达到最大。
(3)对于可逆反应，催化剂能够同等程度地改变正、逆反应速率，对化学平衡状态无影响，生产过程中使用催化剂主要是为了提高生产效率。 特别提示在分析多个因素(如浓度、温度、反应物颗粒大小、催化剂、压强等)对反应速率的影响规律时，逐一改变一个因素而保证其他因素相同，通过实验分析得出该因素影响反应速率的结论，这种方法叫变量控制法。 二、化学平衡状态的特征及其判断方法 1.化学平衡状态具有的“五大特征” (1)逆：指化学平衡状态只适用于可逆反应，同一可逆反应，在同一条件下，无论反应从正反应方向开始还是从逆反应方向开始，或同时从正、逆反应方向开始，以一定的配比投入反应物或生成物，则可以达到相同的平衡状态。 (2)动：指动态平衡，即化学反应处于平衡状态时，正、逆反应并未停止，仍在进行，只是正、逆反应速率相等。 (3)等：指“v正＝v逆≠0”。即某一物质在单位时间内消耗的物质的量浓度和生成的物质的量浓度相等，也可以用不同物质的化学反应速率表示该反应的正、逆反应速率相等。 (4)定：指参加反应的各组分的含量保持不变，即各组分的浓度、质量分数、体积分数(有气体参加的可逆反应)、反应物的转化率等均保持不变。 (5)变：指平衡移动。可逆反应的平衡状态是相对的、暂时的，当外界某一条件改变时，原平衡被破坏，化学平衡向着减弱这种改变的方向移动，在新的条件下达到新的平衡状态。 理解感悟“一定条件”、“可逆反应”是前提，“相等”是实质，“保持不变”是标志。 2.化学平衡状态判断的“四大依据” (1)对于普通可逆反应，以若各组分的物质的量、浓度不 发生变化，则反应已达到平衡状态。若用反应速率关系表示化学平衡状态，式中既要有正反应速率，又要有逆反应速率，且两者之比等于化学计量数之比，就达到化学平衡状态。 (2)对于有有色气体存在的反应体系，如2NO 2(g)N 2 O 4 (g)等，若体系的颜色不再发生 改变，则反应已达平衡状态。 (3)对于有气体存在且反应前后气体的物质的量发生改变的反应，如 下列各项均可说明该反应达到了平衡状态。 ①断裂1 mol N≡N键的同时生成1 mol N≡N键。 ②断裂1 mol N≡N键的同时生成3 mol H—H键。 ③断裂1 mol N≡N键的同时断裂6 mol N—H键。 ④生成1 mol N≡N键的同时生成6 mol N—H键。 特别提示(1)从反应速率的角度来判断反应是否达到平衡时，速率必须是一正一逆(不能同是v正或v逆)，且反应速率之比等于化学计量数之比。 (2)在可逆反应过程中，能发生变化的物理量(如各组分的浓度、反应物的转化率、混合气体密度、颜色、平均摩尔质量等)，若保持不变，说明可逆反应达到了平衡状态。
1.Linda worked for the Minnesota Manufacturing and Mining Company,______ as 3M. A.knowing B.known C.being known D.to be known 解析：known as “以……而著称”，过去分词短语作定语，相当于一个非限制性定语从句which is known as 3M。 答案：B 题干评注：非谓语动词 问题评注：在句子中充当除谓语以外的句子成分的动词形式叫做非谓语动词。非谓语动词分为三种形式:不定式，动名词，和分词。 2.The pilot asked all the passengers on board to remain ______ as the plane was making a landing. A.seat B.seating C.seated D.to be seating 解析：此句中的remain为连系动词，后跟过去分词作表语，构成remain/be seated结构。 答案：C 题干评注：非谓语动词 问题评注：在句子中充当除谓语以外的句子成分的动词形式叫做非谓语动词。非谓语动词分为三种形式:不定式，动名词，和分词。 3.You can give the books to ______ need them most. A.anyone you think B.whoever you think C.you think who D.those that 解析：从语法角度可以排除A、C两项，从主谓一致可排除B项，因为you think 为插入语，宾语从句中动词need不应该为复数。 答案：D 题干评注：宾语从句 问题评注：名词性从句包括：主语从句、表语从句、宾语从句和同位语从句。引导名词性从句的连词有：连词：that, whether, if（这三个词都不作从句的成分，同时，that无含义，而whether和if都表“是否”）；B.疑问代词：who, whom, whose, what, which；疑问副词：when, where, why, how 4.Of all the students ______ on the blackboard,Lily got the best grades in the exams. A.listing B.being listed C.listed D.to list 解析：此题考查过去分词在句中作定语的用法。list和students间存在逻辑上的动宾关系，表示“黑板上已经列出的学生当中”。 答案：C 题干评注：非谓语动词 问题评注：在句子中充当除谓语以外的句子成分的动词形式叫做非谓语动词。非谓语动词分为三种形式:不定式，动名词，和分词。过去分词在句中作定语 5.There is no point ______. A.working hard B.in studying hard C.on work hard D.study hard 解析：there is no point in doing sth.为固定搭配。 答案：B 题干评注：词语辨析 问题评注：词语辨析要求对所给的一组单词或短语进行比较辨别。做这类题时，要从词语的
Unit 1 Living well 知识目标 1．Get students to learn the useful words and expressions in this unit. eyesight，ambition，disabled，beneficial，in other words，clumsy，adapt，microscope，out of breath，absence，stupid，fellow，annoyed，all in all，industry，tank，make fun of，encouragement，adapt to 2．Help students to learn about disabilities and life of the disabled. 能力目标 1．Let students read the passage Marty's Story to develop their reading ability. 2．Enable students to know that people with disabilities can also live well. 情感目标 1．By talking about disabilities and life of the disabled，make sure students can learn some positive stories of the disabled. 2．Help them understand more about how challenging life can be for the disabled. 3．Develop students' sense of cooperative learning.
Unit 4 第1课时 Ⅰ.单词拼写 1．In this quiet way, the first________(两星期)of her visit soon passed away. 2．Much new knowledge is________(遥远的)from the immediate interest of the ordinary person. 3．There is an active demand for________(作口译的人)during the trade fair. 4．An officer climbed on to the________(平台)and spoke to him. 5．I can not understand so abstract c________. 6．What things do you do w________or monthly, but not every day? 7．He tried to a________his daily plan to leave time for everything. 8．What you said is not r________to the matter in hand. 9．Do you know how a(n)________(宇航员)flies in a spacecraft? 10．The rising sun is especially beautiful to look at from this________(角度)． 11．They celebrate their wedding a________annually. 12．The government calls on the youth to d________their blood voluntarily. 13．The purposes of the United Nations are to maintain international peace and s________. 14．The quickest way to sew is with a s________machine. 15．He gave his son some money for the p________of his school books. 16．Getting the balance between two________(政治的)forces involves a lot of arts. 17．The children's ________(门诊部)was open during school hours. 18．Having lost his job, he'd begun to interest himself in local________(志愿的)work. 19．It is quite necessary to know the age________(分布)in the population. 20．All the machines are listed in the________(目录)． 答案：1.fortnight 2.remote 3.interpreter 4.platform 5．concept 6.weekly7.adjust8.relevant9.astronaut 10．angle11.anniversary12.donate13.security 14．sewing15.purchase16.political17.clinic 18．voluntary19.distribution20.catalogue Ⅱ.完形填空 阅读下面短文，理解大意，从题中(1～20)所给的A、B、C、D四个选项中选出一个最佳答案。 This story is about a 92-year-old proud lady. She is fully__1__each morning by eight, with her hair fashionable coifed(戴头巾)and makeup perfectly applied，__2__she is legally blind. She is moving to a nursing home today. Her husband of 70 years old recently__3__，making the move necessary. After many hours of waiting__4__in the lobby of the nursing home, she smiled sweetly when__5__her room was ready. As she directed her walker to the elevator, I provided a visual__6__of her tiny room, including the eyelet(圆孔眼)sheets that had been hung on her window.“I__7__it，”she stated with the enthusiasm of an eight-year-old who had just been__8__with a new puppy(小狗)． “Mrs Jones, you haven't seen the__9__yet. Just wait.”“That doesn't have anything to do with it，”she replied.“__10__is something you decide on ahead of time. Whether I like my room or not doesn't__11__how the furniture is arranged. It's__12__I arrange my mind. I already__13__to love it. It's a decision I make every morning when I wake up.” “I have a__14__. I can spend the day in bed listing the difficulty I have with the parts of my body that no longer work, or get out of bed and be__15__for the ones that do. Each day is a__16__，and as long as my eyes open I'll focus on the new day and all the happy__17__I've stored away...just for this time in my life.” “Old age is__18__a bank account...you withdraw from what you've put in. So, my advice to
人教版选修4第二章《化学反应速率》测试题 一、选择题 1.下列情况下，反应速率相同的是 A．等体积0.1 mol/L HCl和0.1 mol/L H2SO4分别与0.2 mol/L NaOH溶液反应 B．等质量锌粒和锌粉分别与等量1 mol/L HCl反应 C．等体积等浓度HCl和HNO3分别与等质量的Na2CO3粉末反应 D．等体积0.2 mol/L HCl和0.1 mol/L H2SO4与等量等表面积等品质石灰石反应 2.在一密闭容器中充入一定量的N2和H2，经测定反应开始后的2s内氢气的平均速率：ν(H2)=0.45mol／ (L·s），则2s末NH3的浓度为 A．0.50mol／L B．0.60mol／L C．0.45mol／L D．0.55mol／L 3.下列各组实验中溶液最先变浑浊的是（） A．0.1mol／LNa2S2O3和H2SO4各5mL，加水5mL，反应温度10℃ B．0.1mol／LNa2S2O3和H2SO4各5mL，加水10mL，反应温度10℃ C．0.1mol／LNa2S2O3和H2SO4各5mL，加水5mL，反应温度30℃ D．0.2mol／LNa2S2O3和H2SO4各5mL，加水10mL，反应温度30℃ 4.将氯酸钾加热分解,在0.5min内放出氧气5mL,加入二氧化锰后,在同样温度下0.2 min内放出氧气50 mL, 加入二氧化锰后反应速率是未加二氧化锰时反应速率的多少倍( ) A．10 B．25 C．50 D．250 5.C+CO 22CO；ΔH1＞0，反应速率v1，N2+3H22NH3；ΔH2＜0，反应速率v2。如升温，v1和v2的 变化是( ) A．同时增大B．同时减少C．v1增大，v2减少D．v1减少，v2增大 6. 四位同学同时进行反应：A(g)＋3B(g)＝2C(g)＋2D(g) 的速率测定实验，分别测得反应速率如下：① v(A)= 0.15mol/(L·s)②v(B)= 0.6mol/(L·s) ③v(C)= 0.4mol/(L·s)④v(D)= 0.45mol/(L·s)。其中，反应进行得最快的 是( ) A．①B．②C．③D．④ 7.仅改变下列一个条件，通过提高活化分子的百分率来提高反应速率的是（） A.加热 B.加压 C.加催化剂 D.加大反应物浓度 8.对于在一密闭容器中进行的下列反应：C（s）+ O 2 （g）CO2（g）下列说法中错误的是( ) A．将木炭粉碎成粉末状可以加快化学反应速率 B．升高温度可以加快化学反应速率 C．增加压强不能加快化学反应速率 D．增加木炭的量可以加快化学反应速率 9. 100 mL 6 mol·L－1 H 2SO 4 跟过量锌粉反应，一定温度下，为了减缓反应进行的速率，但又不影响生成氢 气的总量，可向反应物中加入适量( ) A．碳酸钠溶液B．水C．硫酸钾溶液D．硝酸钠溶液
第二章化学反应速率和化学平衡测评卷(B卷) (时间：90分钟满分：100分) 第Ⅰ卷(选择题，共45分) 一、选择题(每小题3分，共45分) 1．对于A 2＋3B22AB3反应来说，以下反应速率表示反应最快的是() A．v(AB3)＝0.5 mol/(L·min) B．v(B2)＝0.6 mol/(L·min) C．v(A2)＝0.4 mol/(L·min) D．无法判断 解析：A项由v(AB3)＝0.5mol/(L·min)可推出v(A2)＝0.25 mol/(L·min)；B项由v(B2)＝0.6mol/(L·min)，可得v(A2)＝0.2 mol/(L·min)，由此可知表示反应最快的是C项。 答案：C 2．(2009·杭州高二检测)在一定温度下的刚性密闭容器中，当下列哪些物理量不再发生变化时，表明下述反应：A(s)＋2B(g)C(g)＋D(g)已达到平衡状态() A．混合气体的压强 B．混合气体的密度 C．各气体物质的物质的量浓度 D．气体的总物质的量 解析：解题时明确平衡状态的判断标志是变量不再发生变化。特别注意A的状态为固体。由于A为固体，反应前后气体的物质的量
相等，在刚性容器中整个反应过程中压强不变，故A 、D 错；由于A 为固体，气体的质量在反应中会发生变化，直到达平衡状态，ρ＝m V ，由于V 不变，故混合气体的密度平衡前后会发生变化，不变时即达到平衡，B 对；任何物质的物质的量浓度不变均可表明达到平衡状态，C 对。 答案：BC 3．下列是4位同学在学习“化学反应速率与化学平衡”一章后，联系工业生产实际所发表的观点，你认为不正确的是( ) A ．化学反应速率理论是研究怎样在一定时间内快出产品 B ．化学平衡理论是研究怎样使用有限原料多出产品 C ．化学反应速率理论是研究怎样提高原料转化率 D ．化学平衡理论是研究怎样使原料尽可能多地转化为产品 解析：化学反应速率是研究化学反应快慢的问题，化学平衡是研究化学反应进行的程度问题。 答案：C 4．常温常压下，注射器甲中装有NO 2气体，注射器乙中装有相同体积的空气，注射器与U 形管连通，如图所示，打开两个止水夹，同时向外拉两注射器的活塞，且拉动的距离相等，将会看到U 形管中液面(不考虑此条件下NO 2与水的反应)( )
Unit 3 Under the sea 同步练习 1. I thought, at the time, that this was just a story but then I ___________ (目睹) it with my own eyes many times. 2. The advantage of using ___________ (住所) agencies is that you will have access to a large number of apartments. 3. “Help me!” she ___________ (叫喊 ) at the top of her voice. 4. Other killers are stopping the whale ___________ (潜水) or fleeing. 5. Last time they ___________ (力劝) me to eat the strange food. 6. This T-shirt is made of high quality ____________ (纯的) cotton. 7. Isabelle’s body is unable to produce healthy red blood ____________ (细胞). 8. As we set out, I was shocked at how ____________ (狭窄的) the path was. 9. I explored small caves and shelves with my underwater ____________ (手电筒). 1. Set yourself targets that you can reasonably hope to achieve. (tasks / goals) 2. It was like discovering a whole new dimension of life. (aspect / meaning) 3. He always keeps his desk neat. (tidy / empty) 4. It was a simple but tasty meal. (excellent / delicious) 5. The boy understood the risk of climbing the giant mountain. (high / huge) 6. He tried to leap over the wall but did not succeed. (jump / climb) 1. If a net becomes free-floating, it is moved by the tides all over the ocean. ____________ 2. The storm moved offshore. ____________ 3. She is wearing a vivid red coat. ____________
人教新课标英语选修7 Unit2同步精选及答案 Unit Two Robots I．语法填空 Larry Belmont worked____1_____ a company that made robots. Recently it had begun________2______ (experiment) with a household robot. It was going to be _____3_______ (test) out by Larry’s wife, Claire. Claire didn’t want the robot in_____4_____ house, especially as her husband would be ____5____ (absence) for three weeks, _____6_____ Larry persuaded her that the robot wouldn’t harm her or allow her to be harmed. It would be a bonus. _____7______, when she first saw the robot, she felt _____8_____(alarm). His name was Tony and he seemed____9_____ (much) like a human than a machine. He was tall and handsome with smooth hair and a deep voice although his ______10_______(face) expression never changed. 1.____________ 2.____________ 3.___________ 4.___________ 5.___________ 6.____________ 7.____________ 8.___________ 9.___________ 10___________ II. 用所给词的词组适当形式填空 1. The moment he got up this morning, someone_________（ring). 2.Tony would have to be rebuilt because you cannot have women _________________(fall) machines. 3. I suggested to him that the new machines ______________(test) before going into production. 4. You shouldn’t have __________(leave)in the mountains, it w as very dangerous for her. 5. He heard a voice but when he_____________(turn), he saw nobody. 6. But for much of his working life, he has ___ （set)his enthusiasm for physics to devote himself to a career in administration. 7. Some members of the House complain that their vote ____(favour) the system could cost them their jobs in November. 8. You _________(bound) be disappointed if you hope to go to college without hard work. 9. My thought on improving the financial condition of the company ________ (similar)the boss’s.
（人教版）高中英语选修7（全册）课时同步练习+单元测试 卷汇总（打印版） 1.1 课时作业 Ⅰ.单句语法填空 1．Traditionally, Chinese people cut ________ the Chinese characters Double Happiness and stick them onto walls or doors for weddings. 2．—I think I'll stay home and listen to my favorite music. —Suit ________(you). I am leaving with my friends for the wonderful movie. 3．We're all ready to put it into operation; in ________ words, we're going to take action as soon as possible. 4．The football match lasted two hours, which made all the players ________ of breath. 5．As his disease ________(disable) him, Hawking has to sit in his wheelchair and speak through a computer. 6．Grey as well as his two companions ________(be) to leave ________ Paris tomorrow. 7．When you go to a foreign country, you must adapt yourself ________ new manners and customs.
Unit 5 中国学生适应能力强 六个月之前，谢蕾告别了她在中国的家人和朋友，登上了前往伦敦的飞机。这是她第一次离开自己的祖国。课间休息时我在学生餐厅碰见谢蕾，她告诉我的说，“我很激动，因为很久以前就梦想着能有这么一天，但是我又非常紧张，因为我不知道我所期望的是什么。” 谢蕾今年21岁，来我们大学上学，希望获得工商管理证书。大多数外籍学生在进入学位课程学习之前都要学一年预科，而谢蕾已经读完半年了。她非常看重预科课程。她说，“预科课程非常有益。在这儿学习跟在中国学习是相当不同的。你必须事先做好准备，或者在这里，或在中国。” “困难不仅仅是在学习方面，你还必须习惯一种全新的生活方式，在一开始的时候这就会占去你的全部注意力。”她说，“有时候我觉得自己像个小孩似的，我得学习如何使用电话，乘公交车时该怎样付款，在商店买东西时如果不知道商品的英文名字时，又怎样问店主。当我迷路不得不向路人问路时，经常听不懂他们说的话。他们说的话不像我们在听力磁带上听到的那样。”谢蕾说着笑了。 谢蕾同房东一家人住在一起，他们给了她许多建议。虽然有些外国学生同其他同学一起住在学生宿舍或公寓房里，但有些学生选择寄宿在英国人的家中。有的房东家也有上大学的孩子，跟这样的人住在一起会给外国学生提供机会，更好地了解这个国家的日常生活和风俗习惯。“当我听到不理解的话语，或看到似乎有人干了很奇怪的事情时，我就可以向房东家里的人请教。”谢蕾解释说。“还有，当我想家的时候，房东家就是我家的替身，给了我很大的安慰。” 谢蕾的预科课程还帮助她熟悉了西方大学里在学术方面的要求。她对我说，“还记得我交给老师第一篇论文。我在网上找到一篇文章，看来和我所需要的信息恰好一样。于是我就那篇论文写了一篇类似小结性的文章，交给了老师。我原以为我会得到高分，结果只得了一个E。我非常吃惊，于是去找导师说理。”他告诉我说，首先，我不能把别人的话写下来不表示感谢。此外。他认为，别人的想法并不是重要的。他想要知道的是我所想的是什么。这倒把我弄糊涂了，因为该文作者所知道的比我多得多。导师给我解释说，我得阅读大量的、有关不同观点的文章，并进行分析。然后，在我的论文中，我得表明我自己的观点，并且引用别的作者的观点来说明为什么我相信我的观点。起初，我缺乏信心这样做，而现在我开始懂了，我的分数也有所提高了。 谢蕾告诉我说，现在她在英国感到自在多了。开始时认为似乎很怪的事，如今觉得似乎很正常了。“我还有一件事要做，做了这件事后我才得安心。一直忙于适应环境，以至于我没有时间去搞社会活动。我认为在学习和社会生活之间的平衡也是很重要的。我打算参加大学了的几个俱乐部，我希望我会遇到一些有共同爱好的人。” 关于谢蕾的进步，我们将在今后几星期的报纸中做跟踪报道。同时我们衷心祝愿她事业有成。她是应该取得成功的。 Using language 秘鲁
第二章化学反应速率和化学平衡 一、化学反应速率 1. 化学反应速率（v） ⑴定义：用来衡量化学反应的快慢，单位时间内反应物或生成物的物质的量的变化 ⑵表示方法：单位时间内反应浓度的减少或生成物浓度的增加来表示 ⑶计算公式：v=Δc/ Δt （υ：平均速率，Δc：浓度变化，Δt ：时间）单位：mol/ （L?s） ⑷影响因素： ①决定因素（内因）：反应物的性质（决定因素） ②条件因素（外因）：反应所处的条件 外因对化学反应速率影响的变化规律 条件变化活化分子的量的变化反应速率的变化反应物的增大单位体积里的总数目增多，百分数不变增大 浓度 减小单位体积里的总数目减少，百分数不变减小 气体反应增大单位体积里的总数目增多，百分数不变增大 物的压强 减小单位体积里的总数目减少，百分数不变减小 反应物的升高百分数增大，单位体积里的总数目增多增大 温度 降低百分数减少，单位体积里的总数目减少减小 反应物的使用百分数剧增，单位体积里的总数目剧增剧增 催化剂撤去百分数剧减，单位体积里的总数目剧减剧减其他光，电磁波，超声波，固体反应物颗粒的大小，有影响 溶剂等 ※注意：（1）、参加反应的物质为固体和液体，由于压强的变化对浓度几乎无影响，可以 认为反应速率不变。 （2）、惰性气体对于速率的影响 ①恒温恒容：充入惰性气体→总压增大，但各分压不变，各物质浓度不变→反应速率不变 ②恒温恒体：充入惰性气体→体积增大→各反应物浓度减小→反应速率减慢
二、化学平衡 （一）1.定义：一定条件下，当一个可逆反应进行到正逆反应速率相等时，更组成成分浓度 不再改变，达到表面上静止的一种“平衡”，这就是这个反应所能达到的限度即化学平衡状 态。 2、化学平衡的特征 逆（研究前提是可逆反应）；等（同一物质的正逆反应速率相等）；动（动态平衡） 定（各物质的浓度与质量分数恒定）；变（条件改变，平衡发生变化） 3、判断平衡的依据 判断可逆反应达到平衡状态的方法和依据 例举反应mA(g)+nB(g) C(g)+qD(g) ①各物质的物质的量或各物质的物质的量的分数一定平衡 混合物体系中②各物质的质量或各物质质量分数一定平衡各成分的含量③各气体的体积或体积分数一定平衡 ④总体积、总压力、总物质的量一定不一定平衡 ①在单位时间内消耗了m molA 同时生成m molA ，即 平衡 V( 正)=V( 逆) ②在单位时间内消耗了n m olB 同时消耗了p molC，则 平衡正、逆反应V( 正)=V( 逆) 速率的关系③V(A):V(B):V(C):V(D)=m:n:p:q ，V( 正) 不一定等于 不一定平衡V( 逆) ④在单位时间内生成n molB，同时消耗了q molD ，因均 不一定平衡指V( 逆) 压强①m+n≠p+q 时，总压力一定（其他条件一定）平衡 ②m+n =p+q 时，总压力一定（其他条件一定）不一定平衡 混合气体平均相 ①Mr 一定时，只有当m+n≠p+q 时平衡 对分子质量Mr ②Mr 一定时，但m+n =p+q 时不一定平衡 温度任何反应都伴随着能量变化，当体系温度一定时（其他 不变） 平衡 体系的密度密度一定不一定平衡其他如体系颜色不再变化等平衡（二）影响化学平衡移动的因素 1、浓度对化学平衡移动的影响（1）影响规律：在其他条件不变的情况下，增大反应物的浓 度或减少生成物的浓度，都可以使平衡向正方向移动；增大生成物的浓度或减小反应物的 浓度，都可以使平衡向逆方向移动 （2）增加固体或纯液体的量，由于浓度不变，所以平衡不移动 （3）在溶液中进行的反应，如果稀释溶液，反应物浓度减小，生成物浓度也减小，V 正减小，V 逆也减小，但是减小的程度不同，总的结果是化学平衡向反应方程式中化学计量数之
READING TASKS Book 7 Unit 5 Pre-reading activities Task I If you are studying in a foreign country, what difficulties will you meet? Task II What are the advantages and disadvantages of living with a host family? Task III Which do you think is more important for a high school student, study or social life? While-reading activities Task I Read the text and fill in the blanks. Task II Read the text and find the reasons for the facts. Facts Reasons 1. Xie Lei felt newvous. A. Studying in Britain is quite different from that in their own countries. 2. Most foreign students will complete the preparation course. B. They were different from the listening tapes. 3. Xie Lei made great effort to get used to the new way of life in the beginning. C. She got an E for her first essay.4. Xie Lei did not understand the people there completely. D. She did not know what the future would hold. 5. Xie Lei had the chance to learn more about the new culture. E. She was living with students from other colleges. 6. Xie Lei went to her tutor to ask the reason. F. She had to learn almost everything again. 7. Xie Lei had no time for social activities.G. She was much too busy with her work. Task III Read Paragraph 4 and fill in the blanks. Try to understand why Xie Lei did not get a
Unit 1 Living well -Reading Hi, my n ame is Marry Field ing and I guess you could say that I am "one in a million". In other words, there are not many people like me. You see, I have a muscle disease which makes me very weak, so I can't run or climb stairs as quickly as other people. In additi on, sometimes I am very clumsy and drop thi ngs or bump into furn iture. Unfortun ately, the doctors don't know how to make me better, but I am very outgoing and have learned to adapt to my disability. My motto is: live One day at a time. Un til I was ten years old I was the same as every one else. I used to climb trees, swim and play football. In fact, I used to dream about playing professional football and possibly represe nti ng my country in the World Cup. Then I started to get weaker and weaker, until I could only enjoy football from a bench at the stadium. In the end I went into hospital for medical tests. I stayed there for n early three mon ths. I think I had at least a billion tests, including one in which they cut out a piece of muscle from my leg and looked at it un der a microscope. Eve n after all that, no one could give my disease a name and it is difficult to know what the future holds. One problem is that I don't look any different from other people. So sometimes some childre n in my primary school would laugh, whe n I got out of breath after running a short way or had to stop and rest halfway up the stairs. Sometimes, too, I was too weak to go to school so my education suffered. Every time I returned after an abse nee, I felt stupid because I was beh ind the others. My life is a lot easier at high school becausemy fellow students have accepted me. The few who cannot see the real pers on in side my body do not make me annoyed, and I just ignore them. All in all I have a good life. I am happy to have found many things I can do, like writing and computer programming. My ambition is to work for a firm that develops computer software when I grow up. Last year inven ted a computer football game and a big compa ny has decided to buy it from me. I have a very busy life with no time to sit around feeling sorry for myself. As well as going to the movies and football matches with my friends, I spend a lot of time with my pets. I have two rabbits, a parrot, a tank full of fish and a tortoise. To look after my pets properly takes a lot of time but I find it worthwhile. I also have to do a lot of work, especially if I have bee n away for a while. In many ways my disability has helped me grow stro nger psychologically and become more independent. I have to work hard to live a normal life but it has been worth it. If I had a chance to say one thing to healthy children, it would be this: having a disability does not mean your life is not satisfying. So don't feel sorry for the disabled or make fun of them, and don't ignore them either. Just accept them for who they are, and give them en courageme nt to live as rich and full a life as you do. Tha nk you for read ing my story.